geometria descritiva
eber nunes ferreira
geometria descritiva
2013.2
eber nunes ferreira
MATERIAL PROVISÓRIO
A CORREÇÃO NÃO FOI FINALIZADA
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eber nunes ferreira
2
ÍNDICE
1. INTRODUÇÃO
01
2. SISTEMAS DE PROJEÇÃO
01
3. GEOMETRIA DESCRITIVA
06
3.1 COORDENADAS
07
3.2 SINAIS
08
3.2 REPRESENTAÇÃO EM ÉPURA
09
3.3 VISTA DE PERFIL (TERCEIRA PROJEÇÃO)
10
4. ESTUDO DA RETA
13
4.1 DETERMINAÇÃO DE RETAS
13
4.2 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E PLANO
13
4.3 CLASSIFICAÇÃO DAS RETAS
13
4.3 PARTICULARIDADES
20
4.4 PERTINÊNCIA DE PONTO À RETA
22
4.5 PONTOS NOTÁVEIS DA RETA
23
4.5.1 DETERMINAÇÃO DO TRAÇO HORIZONTAL
23
4.5.2 DETERMINAÇÃO DO TRAÇO VERTICAL
23
4.5.3 TRAÇOS HORIZONTAL E VERTICAL NA RETA DE PERFIL
24
4.5.4 TRAÇOS HORIZONTAL E VERTICAL NAS DEMAIS RETAS
25
26
4.6 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS
4.6.1 ANÁLISE DAS POSIÇÕES RELATIVAS EM ÉPURA
26
4.7 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS DE PERFIL
29
4.8 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DO CONTEÚDO
30
5. ESTUDO DOS PLANOS
32
5.1 DETERMINAÇÃO DE PLANOS
32
5.2 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DOIS PLANOS
34
5.3 CLASSIFICAÇÃO DOS PLANOS
35
5.4 RETAS PERTENCENTES AOS PLANOS
39
5.5 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DO CONTEÚDO
40
5.6 PERTINÊNCIA DA RETA AO PLANO EM ÉPURA
42
5.6.1 RETAS DO PLANO HORIZONTAL OU DE NÍVEL
45
5.6.2 RETAS DO PLANO FRONTAL OU DE FRENTE
46
geometria descritiva
eber nunes ferreira
3
5.6.3 RETAS DO PLANO DE PERFIL
48
5.6.4 RETAS DO PLANO VERTICAL
50
5.6.5 RETAS DO PLANO DE TOPO
52
5.6.6 RETAS DO PLANO PARALELO A LINHA DE TERRA
54
5.6.7 RETAS DO PLANO QUE PASSA PELA LINHA DE TERRA
55
5.6.8 RETAS DO PLANO QUALQUER
57
5.6.9 QUADRO SÍNTESE DE PERTINÊNCIA DE RETA A PLANOS
60
5.7 RETAS DE MÁXIMO DECLIVE (MD) E MÁXIMA INCLINAÇÃO (MI)
61
5.7.1 QUADRO SÍNTESE DAS RETAS DE MD E MI
63
6. SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
65
6.1 ÂNGULOS SÓLIDOS
66
6.2 POLIEDROS REGULARES
67
6.3 POLIEDROS IRREGULARES
71
6.4 SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO
72
6.5 EXERCÍCIOS
74
6.6 DUAIS
79
7. SEÇÃO PLANA
80
88
7.1 EXEMPLOS
8. MÉTODOS DESCRITIVOS
102
103
8.1 REBATIMENTO
104
8.1.1 EXEMPLOS
115
8.2 MUDANÇA DE PLANO
8.2.1 MUDANÇA DE PLANO DE PLANO VERTICAL
116
8.2.2 MUDANÇA DE PLANO HORIZONTAL
117
8.2.3 EXEMPLOS
120
127
8.3 ROTAÇÃO
9. PLANIFICAÇÃO
137
138
9.1 EXEMPLOS
10. PLANO QUALQUER E OS MÉTODOS DESCRITIVOS
144
145
10.1 EXEMPLOS
11. BIBLIOGRAFIA
geometria descritiva
146
eber nunes ferreira
4
1. INTRODUÇÃO
Vive-se em um mundo tridimensional, onde os objetos são descritos esquematicamente,
fazendo-se referência à altura ,largura e profundidade. Durante muitos séculos, desde quando o
homem pré-histórico esboçava suas caças nas paredes das cavernas procurou-se a forma de como
representar objetos de um universo tridimensional em superfícies bidimensionais
Este questionamento se dá, inicialmente, ao nível da representação dos objetos já existentes,
mas em se tratando de elementos que ainda estão na mente do seu criador, o fato se agrava, e ainda
mais quando um é o que concebe e outro é o que materializa. Nesse caso, torna-se imprescindível
uma maneira de transmitir a idéia do projetista ao seu realizador.
Com o advento da Revolução Industrial, esta necessidade tornou-se ainda mais imperativa,
pois o sistema produtivo até então, utilizava-se de mão-de-obra artesanal, onde a "comunicação
técnica" ainda não requeria um maior grau de complexidade.
A partir do momento em que objetos passam a ser produzidos em quantidade considerável,
fez-se necessário o uso da de uma representação projetiva baseada não mais no "olhar humano" que
sabidamente vê e interpreta os objetos deformando suas medidas, ângulos e formas, mas, uma
representação que contemplasse as reais medidas do objeto, para que sua confecção fosse precisa e
confiável.
Em sua genialidade, Gaspar Monge, com uma idéia "escandalosamente simples",
revoluciona a representação de objetos tridimensionais, imprimindo-lhe um caráter técnico e de
precisão.
Gaspard Monge nasceu a 10 de maio de 1746, na cidade de Beaune e faleceu em Paris, a 28
de julho de 1818. Com 16 anos já revelava a diversidade de suas aptidões técnicas e intelectuais,
mostrando sua habilidade como desenhista e inventor. Era possuidor de "dedos capazes de traduzir
com fidelidade geométrica seus pensamentos".
2. SISTEMAS DE PROJEÇÃO
Ao olharmos ao nosso redor, podemos perceber que estamos envolvidos por diferentes
sistemas projetivos. Uma sessão de cinema,ou a simples sombra de um objeto que varia em função
da direção dos raios luminosos, são suficientes para fazermos uma analogia com os diferentes
sistemas projetivos.
As diversas sombras ou imagens formadas se devem, entre outros fatores, a relação de
distância com a superfície onde a sombra é projetada, à direção dos raios, e ao tipo de fonte luminosa,
quer seja solar ou artificial.
Em função da grandeza do Sol,
quando comparada a Terra, e de sua
distância para com a mesma, podemos
considerar seus raios paralelos entre si. Já a
iluminação artificial é considerada puntiforme
e sua emissão de raios luminosos se dá de
forma radial. Tudo isto, determina diferentes
resultados.
Consideremos um ponto qualquer no espaço, posicionado no finito ou no infinito, como sendo
o olho de um observador. Se fosse possível interceptarmos com um plano,os raios visuais que
chegam ao olho observador, teríamos uma imagem correspondente ao objeto observado. Esta
imagem recebe o nome técnico de projeção.
geometria descritiva
eber nunes ferreira
5
Também, ao colocarmos uma tela móvel diante dos raios luminosos de um projetor, obteremos
distintas projeções (imagens) de acordo com a posição e o tipo de superfície da tela.
Analisando os exemplos anteriores, podemos fazer uma analogia com os elementos de um
sistema de projeção. Um sistema de projeção é constituído por cinco elementos básicos. São eles:
Centro de Projeção, Linha Projetante, Objeto, Projeção e Plano de Projeção.
(O)
FINITO / INFINITO
( P)
(r)
Do centro de projeção (O) parte uma linha
projetante (r) que, cortada pelo plano (a), determina a
projeção P, do ponto (P).
Ângulo de Incidência
da linha Projetante
P
Assim podemos estabelecer a seguinte relação:
(O)
(r)
(P)
P
()
Centro de Projeção
Linha Projetante
Ponto Objetivo
Projeção do Ponto (P)
Plano de Projeção
geometria descritiva
Fonte de Luz / Olho do observador
Raio Luminoso / Raio Visual
Objeto
Sombra / Imagem
Tela / Anteparo
eber nunes ferreira
6
O centro de Projeção (P) é o ponto ou local de onde partem as linhas projetantes, podendo
localizar-se no Finito ou Infinito, denominando-se centro Próprio ou Impróprio, respectivamente.
(O)
Quando consideramos o centro de
projeção PRÓPRIO, as linhas projetantes partem
divergentes em direção ao plano de projeção
correspondendo assim aos raios de uma lâmpada
incandescente. Desta forma, temos o Sistema
Cônico de Projeção.
(A)
A
(A)
Quando consideramos o centro de
projeção IMPRÓPRIO, as linhas projetantes
partem paralelas em direção ao plano de projeção,
correspondendo assim aos raios do sol.
A
(A)
A
Observe que no sistema Cilíndrico o ângulo de incidência de todas as linhas projetantes são iguais
para uma mesma direção, e o centro de projeção não é percebido por se encontrar no infinito.
Estudaremos agora cada um dos sistemas, percebendo suas características e
particularidades. Inicialmente, consideraremos o objeto (bidimensional) em uma posição fixa no
espaço equidistante (paralelo) ao plano de projeção.
A
No Sistema Cônico a projeção não registra as reais dimensões
do objeto, ou seja, ele NÃO É representado em sua verdadeira
grandeza (VG). Observe que no exemplo da figura ao lado ocorre uma
ampliação do objeto projetado. Neste sistema, o centro de projeção
pode ocupar várias posições, o que interferirá no resultado da projeção.
(A)
A
(A)
A
No Sistema Cilíndrico Oblíquo o objeto é representado em
VERDADEIRA GRANDEZA, mas devido aos diferentes valores que o
ângulo de incidência pode assumir (em função da direção das linhas
projetantes) teremos várias opções para a localização da projeção
sobre o plano.
(A)
Já no Sistema Cilíndrico Ortogonal, o objeto está expresso em
sua VG mas, ao contrário dos sistemas anteriores, existe uma única
projeção que o representa, pois a direção também é única.
geometria descritiva
eber nunes ferreira
7
No sistema cônico, quando o objeto (bidimensional) não está paralelo ao plano, a projeção
deixa de estar semelhante ao objeto no espaço. Já no sistema cilíndrico a projeção deixa de estar
congruente ao objeto.
VG
VG
VG
(C)
(A)
(C)
(A)
(A)
(B)
(C)
(B)
(B)
C
A
A
B
C
B
C
A
B
A classificação oblíquo e ortogonal dentro do sistema cilíndrico não está em função do
ângulo que a linha projetante forma com o objeto , e sim com o plano de projeção.
Esta observação se faz necessária, pois até agora temos considerado o objeto paralelo ao
plano, onde os ângulos que a linha projetante forma com o objeto e com o plano de projeção são
iguais, no entanto serão diferentes quando não houver tal paralelismo.
Conhecendo melhor o Sistema Cilíndrico Ortogonal (PROJEÇÃO ORTOÉDRICA)
(A)
(B)
A
Na figura ao lado,o sistema de projeção é o cilíndrico oblíquo; cilíndrico
porque as linhas projetantes são paralelas entre si, e oblíquo porque o ângulo de
incidência das linhas projetantes com o plano não é reto.
B
(B)
Na figura ao lado, o sistema de projeção é o cilíndrico ortogonal. Em ambas
figuras o sistema é cilíndrico, classificação esta que está em função do paralelismo
entre as projetantes.
Quanto à classificação de oblíquo ou ortogonal, depende do ângulo de incidência da
projetante com o plano de projeção. Neste caso, sendo o referido ângulo, reto, este
recebe a classificação de ortogonal.
(A)
A
B
Observe que nos desenhos anteriores o objeto não é projetado em suas dimensões reais, pois
no Sistema Cilíndrico o paralelismo é a condição exigida para a obtenção da projeção em
verdadeira grandeza.
Veja a síntese do Sistema Cilíndrico Ortogonal de Projeção que é o sistema que fundamenta a
Geometria Descritiva.
a - A linha projetante sempre será
perpendicular ao plano de projeção.
b - O objeto somente será representado em
sua VG quando estiver paralelo ao plano de
projeção.
(A)
90º
A
geometria descritiva
(B)
VG
B
eber nunes ferreira
8
c - A distância do objeto ao plano de projeção não interfere na dimensão da projeção, pois as linhas
projetantes são paralelas, possuindo, portanto, um mesmo ângulo de incidência.
(B)
(B)
(A)
(A)
(B)
(A)
(A)
(B)
(B)
(A)
(A)
A
B
A
B
A
B
VG
A
VG
B
A
(B)
VG
B
A
B
d - O que altera as dimensões da projeção em relação ao objeto é o ângulo do mesmo em relação ao
plano de projeção.
(A)
(A)
(B)
(A)
(B)
(B)
A
B
A B
VG
A
B
Veja o exemplo do círculo inscrito em um quadrado, posicionado de maneira paralela, oblíqua
e perpendicular ao plano de projeção. As projeções comportam-se de formas diferentes.
PERSPECTIVA
VISTA ORTOÉDRICA
geometria descritiva
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9
3. GEOMETRIA DESCRITIVA
A geometria descritiva (GD)promove o estudo dos objetos através de suas projeções
ortoédricas sobre planos perpendiculares entre si. Inicialmente utiliza-se de um plano horizontal e
outro vertical. A partir destes dois elementos, Gaspar Monge cria um sistema projetivo que permite
registrar a tridimensionalidade dos objetos.
A interseção dos planos horizontal e vertical determina uma reta denominada de Linha de
Terra que os divide em semi-planos e estes, por sua vez, delimitam o espaço em quatro regiões
denominadas de "diedros".
A linha de terra recebe duas barrinhas paralelas em suas extremidades posicionadas sobre o
PH. Assim, a correta interpretação da linha de terra permite identificar as posições do PH e PV.
Coube ao geômetra italiano Gino Lória o recurso de introduzir, no sistema mongeano de
projeção, o terceiro plano perpendicular aos dois primeiros, plano este que recebe o nome de plano de
perfil, PP.
Embora o estudo da Geometria Descritiva contemple os quatro diedros, este material didático
dará um enfoque quase que exclusivo ao primeiro diedro. Isto facilitará a transição entre o desenho
técnico e o desenho arquitetônico.
2º
PV
DIEDRO
PV
PP
PV
1º
DIEDRO
PH
3º
PH
PH
DIEDRO
4º
DIEDRO
Um ponto situado no espaço estabelece uma relação de distância com os planos de projeção.
Portanto, cada ponto é definido por 3 coordenadas que são registradas através das projeções sobre
os planos. Vale salientar que a Geometria Descritiva faz uso do Sistema Cilíndrico Ortogonal de
Projeção, fato este que determina uma única projeção em cada plano de projeção.
Antes de apresentarmos as coordenadas vamos estabelecer uma convenção para
distinguirmos as diferentes projeções de um mesmo objeto em cada plano.
P"
P'
(P)
(P)
(P)
P"
P'
(P)
P
A projeção do ponto (P) no
PH é denominada projeção
horizontal P.
P
A projeção do ponto (P) no
PV é denominada projeção
vertical P'.
A projeção do ponto (P) no
PP é denominada projeção
de perfil P''.
A notação do ponto será feita com letras maiúsculas ou números do alfabeto arábico, que
deverão estar entre parênteses. A expressão "Ponto" deve ser empregada somente para o objeto.
geometria descritiva
eber nunes ferreira
10
IMPORTANTE: quando representarmos um objeto no diedro, estaremos utilizando somente
os planos, Horizontal e Vertical de projeção, consequentemente o objeto será representado através
de duas projeções; mas quando a representação for feita no triedro, estaremos inserindo o plano de
Perfil que também é conhecido por Terceiro Plano.
A linha imaginária, que contém as projeções P e P', é
denominada LINHA DE CHAMADA.
P'
P"
linha de chamada
PV
PP
(P)
0
lin
ha
de
P
ch
am
ad
a
PH
3.1 COORDENADAS
Para que possamos situar um objeto no espaço, precisamos conhecer as distâncias de seus
pontos para com os planos de projeção. Assim, cada ponto é definido por um trio ordenado composto
por x, y e z, denominados abcissa, afastamento e cota, respectivamente, onde:
PV
P'
af
ab
P"
PP
(P)
0 ct
Abcissa (ab): é a distância do ponto ao PP.
Afastamento (af): é a distância do ponto ao PV
Cota (ct): é a distância do ponto ao plano PH
Está implícito que a "distância" é a menor possível,ou seja,
medida sobre um alinhamento perpendicular ao plano.
P
PH
IDENTIFIQUEMOS ALGUMAS IGUALDADES
PV
PP
PH
A distância do ponto (P) ao PP é igual à
distância da Linha de Chamada à
origem (intersecção dos três planos).
Ambas traduzem a abcissa.
A distância do ponto (P) ao PV é igual à
distância da projeção horizontal P à LT.
Ambas traduzem o afastamento.
A distância do ponto (P) ao PH é igual à
distância da projeção vertical P' à LT.
Ambas traduzem a cota.
Logo, podemos ter duas definições para as coordenadas: uma ao nível espacial,
relacionando o objeto ao plano, e outra ao nível projetivo, relacionando as projeções à Linha de
Terra.
geometria descritiva
eber nunes ferreira
11
É muito importante esta dupla conceituação das coordenadas, pois é objetivo da Geometria
Descritiva registrar os objetos através de suas projeções, e isto exige que desenhemos usando o
"conceito projetivo", mas que visualizemos o "conceito espacial", ou seja, se tivermos um objeto no
espaço seremos capazes de desenhá-lo, e se nos depararmos com o seu desenho seremos capazes
de concebê-lo.
PV
PP
PH
CONCEITO ESPACIAL
CONCEITO PROJETIVO
Abcissa (ab): é a distância do ponto ao PP.
Afastamento (af): é a distância do ponto ao PV.
Cota (ct): é a distância do ponto ao PH.
Abcissa: é a distância da Linha de Chamada à origem.
Afastamento: é a distância da projeção horizontal à LT.
Cota: é a distância da projeção vertical à linha de terra.
3.2 SINAIS
Os planos de projeção, quando observados lateralmente, reduzem suas superfícies à linhas
retas, e assemelham-se ao plano cartesiano da matemática, assumindo os mesmos valores (positivo
e negativo), tanto para cota, quanto para o afastamento. Já a abcissa terá como referencial a origem
marcada sobre a linha de terra.
Então, os pontos (diferentes de projeções) situados:
à direita da origem possuem........................................................ abcissas positivas;
á esquerda da origem possuem.................................................. abcissas negativas;
acima do plano horizontal possuem ...................................................cotas positivas;
abaixo do plano horizontal possuem .................................................cotas negativas;
anteriores ao plano vertical possuem .................................afastamentos positivos e
posteriores ao plano vertical possuem ...............................afastamentos negativos.
Visto que estaremos priorizando o Primeiro Diedro, estaremos excluindo os sinais negativos
para afastamento e cota.
geometria descritiva
eber nunes ferreira
12
3.2 REPRESENTAÇÃO EM ÉPURA
Até agora, temos utilizado a perspectiva, que não é baseada no sistema cilíndrico ortogonal,
para apresentação e compreensão da geometria descritiva. A partir deste momento, começaremos a
caminhar no sentido de nos valer dela própria, para a análise de figuras e objetos no espaço.
Tomemos um ponto com coordenadas
genéricas: (A) ( Ab ; Af ; Ct ).
Entre o centro de projeção e o objeto,
posicionaremos um observador que enxergue com
"olhos do sistema cilíndrico ortogonal".
Consideremos que, após o registro das
projeções, o objeto seja retirado; com isto, o
observador nas posições 1 e 2, estaria recebendo as
seguintes imagens.
LINHA DE TERRA
Obs.: A origem sobre a linha de terra
registra a posição a ser ocupada
oportunamente pelo Plano de Perfil .
LINHA DE TERRA
POSIÇÃO
1
POSIÇÃO
2
Atente para o fato de que o observador 1
percebe as coordenadas abcissa e afastamento, e o
observador 2 percebe abcissa e cota. Novamente,
uma das coordenadas não é percebida de acordo
com a posição do observador.
Mas se unirmos as duas figuras pela Linha de
Te r r a , t e r e m o s e m u m ú n i c o d e s e n h o a s
coordenadas Ab, Af e Ct, onde a linha de chamada
posiciona-se perpendicular à LT.
geometria descritiva
eber nunes ferreira
13
Outra maneira de obtermos o mesmo resultado seria submeter o Plano Horizontal a um giro
de 90º no sentido horário.
ÚNICO
OBSERVADOR
Esta operação denomina-se REBATIMENTO. Desta forma, o observador faz "leitura" de todas
as coordenadas em uma única posição. Esta forma de representação denomina-se ÉPURA.
Observe que o resultado é exatamente o mesmo quando da junção das imagens vistas
separadamente pelo observador nas posições 1 e 2 na página anterior.
ÉPURA - Chama-se épura a representação e o estudo dos problemas descritivos das figuras e
corpos do espaço, dados por suas projeções nos dois planos ortogonais, depois da coincidência
desses dois planos após o rebatimento. Este rebatimento poderia acontecer também com o giro do
plano vertical sobre o horizontal no sentido anti-horário, e teríamos o mesmo resultado final; mas por
questões didáticas adotaremos o giro horário do plano horizontal.
Desta maneira, as projeções horizontais positivas, na representação em épura, após o
rebatimento, passam a ser registradas abaixo da LT, respeitando, assim, o rebatimento.
Como o plano vertical permanece fixo no espaço, as projeções verticais com cotas positivas
continuam a ser registradas acima da LT.
De igual maneira, as abcissas não sofrem alterações em face ao rebatimento, permanecendo
positivas à direita da origem e negativas à esquerda.
Devido ao fato dos planos horizontal e vertical receberem sobre si as três coordenadas
necessárias ao estudo dos sólidos durante anos procurou-se desenvolver todos os estudos espaciais
apenas com duas vistas ortogonais. No entanto, o uso sistemático do Plano de Perfil tornou a GD mais
fácil. Então, o que acontece quando o Plano de Perfil está presente?
3.3 VISTA DE PERFIL (TERCEIRA PROJEÇÃO)
Eixo
Para que tenhamos um único observador com capacidade de leitura em épura dos três planos
simultaneamente, faz-se necessário um segundo rebatimento, agora do Plano de Perfil que sofrerá
um giro de 90º para a direita conforme a figura a seguir.
af
A"
af
A"
A'
A'
ct
ct
ct
A'
ct
ct
af
af
af
A
geometria descritiva
A
A
af
A"
ct
Neste exemplo, os
planos foram rebatidos após o
registro das três projeções, ou
seja, a terceira projeção já
existe. Mas como seria obter a
terceira projeção à partir das
projeções representadas
apenas no diedro? Observe que
a projeção sobre o Plano de
Perfil é composta apenas pelas
coordenadas afastamento e da
cota.
eber nunes ferreira
14
A'
A'
A'
A
A
A
1º PASSO
Levar as informações relativas ao
afastamento e cota até o eixo.
2º PASSO
Alçar a distância correspondente ao
afastamento até a LT.
A"
3º PASSO
Cruzar as informações e obter a
Vista de Perfil (3ª projeção).
A operação alçamento deve ser feita de maneira a manter inalterada a medida da informação
que está sendo transportada. Para isto é necessário o uso do compasso ou do esquadro de 45º,
apoiado na régua paralela.
Centrar o compasso
A'
A"
A'
A"
OU
A'
A"
OU
45º
A
A
A
A posição primitiva do plano PP é na abcissa "zero", por isto o eixo encontra-se junto à origem.
No entanto um objeto pode possuir pontos que podem ficar à direita, à esquerda ou mesmo sobre o
PP.
A'
A"
A
A'
A"
A"
A
A
geometria descritiva
A'
eber nunes ferreira
15
Podemos concluir que em relação ao eixo, os resultados são iguais. No entanto, podemos nos
deparar com situações em que utilizar o eixo sobre a origem pode dificultar a interpretação das
projeções, o que não é desejável.
V'
A'
V"
B'
D'
C'
D"
A"
C"
V"
B"
D"
A"
V'
C"
A'
B"
B'
D
D'
C'
D
A
A
V
V
C
B
C
B
O exemplo acima mostra o congestionamento causado pela sobreposição das projeções,
embora ambos os desenhos estejam tecnicamente corretos. Visto que o objetivo deste material
didático é facilitar o ensino da GD, estaremos, sempre que for conveniente, permitindo o
deslocamento do eixo para uma abcissa diferente de zero ou ainda, utilizando um plano de perfil
auxiliar.
Observe que em todos os casos a terceira projeção está na mesma altura da projeção vertical.
Tome isto como regra. Veja o exemplo a seguir.
VISTA FRONTAL
VISTA LATERAL
VISTA LATERAL DIREITA
(SE CONSIDERARMOS O OBJETO)
VISTA LATERAL ESQUERDA
(SE CONSIDERARMOS O OBSERVADOR)
VISTA SUPERIOR
geometria descritiva
eber nunes ferreira
16
4. ESTUDO DA RETA
Chama-se projeção de uma reta sobre um plano ao lugar geométrico das projeções de todos
os seus pontos sobre esse plano.
4.1 DETERMINAÇÃO DAS RETAS
Uma reta pode ser determinada por:
(r)

(A)
(A)


(B)
a - dois pontos distintos;
b - um ponto e uma direção;

(r)
c - dois planos secantes
4.2 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E PLANO
a- Equidistantes:
b- Concorrentes:
(B)
(A)
(B)
(B)
(A)
(A)
VG
A
VG
B
1- paralela
(A) A
(B) B
A
2- pertencente
A B
B
1- oblíqua
2- perpendicular
4.3 CLASSIFICAÇÕES DAS RETAS
Dois pontos distintos no espaço podem definir sete tipos genéricos de retas.
Primeiramente estaremos reunindo-as em três grupos.
Grupo 1 - Grupo das retas que estão perpendiculares a um dos planos de projeção e
consequentemente paralelas aos outros dois. Assim possuem uma projeção pontual e duas
projeções em verdadeira grandeza. São denominadas retas PROJETANTES.
PP
PV
s'
VG
VG
PV
s"
s'
VG
s"
(s)
PP
PV
s'
s"
VG
PP
(s)
(s)
VG
s
s
s
VG
PH
PH
PH
RETA VERTICAL
RETA DE TOPO
RETA FRONTO-HORIZONTAL
geometria descritiva
eber nunes ferreira
17
Grupo 2 - Grupo das retas que estão paralelas a somente um dos planos de projeção,
consequentemente oblíqua aos outros dois. Assim possuem apenas uma projeção em verdadeira
grandeza.
s'
PV
PP
s"
PV
PP
PV
s'
(s)
PP
VG
VG
(s)
s'
s"
s"
(s)
VG
s
s
s
PH
PH
PH
RETA HORIZONTAL
RETA FRONTAL
RETA DE PERFIL
Grupo 3 - Grupo das retas oblíquas aos três planos de projeção. Suas projeções não possuem
verdadeira grandeza.
PP
PV
s"
RETA QUALQUER
s'
(s)
s
PH
Agora estudaremos, uma a uma, as retas. Você deverá utilizar a maquete do triedro para
analisar a reta que será apresentada por sua perspectiva e épura.
a - RETA VERTICAL
CARACTERÍSTICAS
PP
PV
s'
VG
VG
VG
s"
s
geometria descritiva
VG
OS PONTOS da reta possuem:
- abcissas iguais;
- afastamentos iguais; e
- cotas diferentes.
(s)
PH
s"
s'
PP
PV
NO ESPAÇO a reta é:
- perpendicular ao PH;
- paralela ao PV; e
- paralela ao PP.
s
PH
EM ÉPURA (Triedro) a projeção:
- horizontal é pontual; e a
- vertical é perpendicular à LT.
Possui VG no PV e PP.
eber nunes ferreira
18
b - RETA DE TOPO
CARACTERÍSTICAS
PP
PV
PV
s"
s'
NO ESPAÇO a reta é:
- paralela ao PH;
- perpendicular ao PV; e
- paralela ao PP.
s"
s'
VG
PP
VG
(s)
OS PONTOS da reta possuem:
- abcissas iguais;
- afastamentos diferentes; e
- cotas iguais.
s
EM ÉPURA (Triedro) a projeção:
- horizontal é perpendicular à LT;
ea
- vertical é pontual.
s
VG
VG
PH
PH
Possui VG no PH e PP.
c - RETA FRONTO-HORIZONTAL
PP
PV
VG
PV
s'
s"
VG
NO ESPAÇO a reta é:
- paralela ao PH;
- paralela ao PV; e
- perpendicular ao PP.
s"
s'
CARACTERÍSTICAS
PP
(s)
OS PONTOS da reta possuem:
- abcissas diferentes;
- afastamentos iguais; e
- cotas iguais.
VG
EM ÉPURA (Triedro) a projeção:
- horizontal é paralela à LT;
- vertical é paralela à LT; e a
- projeção de perfil é pontual no
PP.
VG
s
s
PH
PH
Possui VG no PH e PV
d - RETA HORIZONTAL ou de NÍVEL
PP
PV
s'
PV
s'
s"
PP
(s)
VG
NO ESPAÇO a reta é:
- paralela ao PH;
- oblíqua ao PV; e
- oblíqua ao PP.
OS PONTOS da reta possuem:
- abcissas diferentes;
- afastamentos diferentes; e
- cotas iguais.
s
VG
s
PH
s"
CARACTERÍSTICAS
EM ÉPURA (Triedro) a projeção:
- horizontal é oblíqua à LT; e a
- vertical é paralela à LT.
PH
Possui VG no PH.
geometria descritiva
eber nunes ferreira
19
e - RETA FRONTAL ou de FRENTE
PP
PV
PV
s'
PP
NO ESPAÇO a reta é:
- oblíqua ao PH;
- paralela ao PV; e
- oblíqua ao PP.
s"
VG
s'
VG
s"
(s)
CARACTERÍSTICAS
OS PONTOS da reta possuem:
- abcissas diferentes;
- afastamentos iguais; e
- cotas diferentes.
s
EM ÉPURA (Triedro) a projeção:
- horizontal é paralela à LT; e a
- vertical é oblíqua à LT.
s
PH
PH
Possui VG no PV.
f - RETA DE PERFIL
PP
PV
PV
PP
s"
s'
VG
VG
s'
CARACTERÍSTICAS
s"
NO ESPAÇO a reta é:
- oblíqua ao PH;
- oblíqua ao PV;
- paralela ao PP.
(s)
s
s
OS PONTOS da reta possuem:
- abcissas iguais;
- afastamentos diferentes; e
- cotas diferentes.
PH
PH
RETA DE PERFIL
ORTOGONAL À LT.
PP
PV
s'
PV
s"
VG
PP
EM ÉPURA (Triedro) a projeção:
- horizontal é perpendicular à LT;
ea
- vertical é perpendicular à LT.
Possui VG no PP.
s"
s'
VG
(s)
s
s
PH
PH
RETA DE PERFIL
PERPENDICULAR À LT.
Esta é a única reta que possui verdadeira grandeza somente na vista de perfil (terceira
projeção), daí alguns autores enfatizarem o assunto "vista de perfil", quase que exclusivamente para
a reta de perfil.
A reta de perfil pode espacialmente tocar ou não a Linha de Terra, isto se reflete em épura
através de suas projeções. Observe as terceiras projeções destas retas de perfil, e compare-as. A
última delas possui afastamento nulo no mesmo ponto em que a cota também é nula, portanto é
uma reta de perfil perpendicular à LT. A outra é ortogonal à LT.
geometria descritiva
eber nunes ferreira
20
g - RETA QUALQUER
CARACTERÍSTICAS
PP
PV
OS PONTOS da reta possuem:
- abcissas diferentes;
- afastamentos diferentes;
- cotas diferentes.
PP
PV
s'
s"
s"
s'
(s)
EM ÉPURA (Triedro) a projeção:
- horizontal é oblíqua à LT; e
- vertical é oblíqua à LT.
s
s
NO ESPAÇO a reta é:
- oblíqua ao PH;
- oblíqua ao PV; e
- oblíqua ao PP.
NÃO POSSUI PROJEÇÃO EM
VERDADEIRA GRANDEZA
PH
PH
RETA QUALQUER
REVERSA À LT.
PP
PV
PV
PP
s'
s"
s"
s'
(s)
s
s
PH
PH
RETA QUALQUER
CONCORRENTE À LT.
Da mesma forma que a reta de perfil, a reta qualquer também poderá tocar ou não a LT sendo
classificada de concorrente ou reversa à LT respectivamente. Faça com elas a mesma comparação
que foi feita entre as retas de perfil.
Dica: para memorizar o nome das retas utilize
um cubo "aramado" com as faces paralelas aos
planos de projeção.
(h)
(t)
(fh)
- As arestas do cubo serão as retas do 1º Grupo.
- As diagonais das faces serão as retas do 2º Grupo.
- As diagonais do cubo serão as retas do 3º Grupo.
(v)
RETAS DO 1º GRUPO
(p)
(q)
(f)
RETAS DO 2º GRUPO
RETAS DO 3º GRUPO
Utilize as maquetes relacionadas a este assunto. (Maquetes - Sequência B)
geometria descritiva
eber nunes ferreira
21
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DO CONTEÚDO
Analise pirâmide representada no triedro e preencha os espaços com o nome da reta e do
grupo correspondente. Cada reta (segmento de reta) é determinada por dois pontos distintos.
V'
V"
A' D'
C' B'
D" C"
Evidencie com caneta ou lápis colorido
cada dupla de pontos nas épuras reduzidas
A resposta correta é desejável, porém o
raciocínio espacial é o principal objetivo. Por isso
use as maquetes.
A" B"
C
D
V
A
B
Utilize as maquetes relacionadas a este assunto.
(Maquetes - Sequências B e C)
EXEMPLO:
V'
I
V"
C' B'
A' D'
D" C"
A" B"
A
A
V'
V"
C' B'
A' D'
C
D
A" B"
D" C"
A" B"
VI
D" C"
A" B"
C
A
B
V'
V"
C' B'
A' D'
D" C"
A" B"
C
D
V
B
A" B"
C
A
V"
C' B'
D
D" C"
V
B
A' D'
V"
C' B'
A' D'
D
V'
V
V
A
D" C"
V
B
IV
V'
III
C
D
V
V"
C' B'
A' D'
C
D
V'
II
V
B
A
B
Quando necessário, corte o sinal de igual (=) para transformá-lo em diferente (=)
I
Os pontos (V) e (A) determinam uma reta
II
qualquer
abs =s
afs = s
cts = s
Os pontos (C) e (D) determinam uma reta
abs =s
afs = s
cts = s
III
Os pontos (C) e (A) determinam uma reta
abs =s
afs = s
cts = s
IV
Os pontos (B) e (C) determinam uma reta
abs =s
afs = s
cts = s
V
Os pontos (C) e (V) determinam uma reta
abs =s
afs = s
cts = s
VI
Os pontos (V) e (G), eixo da pirâmide, determinam uma reta
abs =s
afs = s
cts = s
(3º Grupo)
IDENTIFIQUE O PONTO (G) NO CENTRO DA BASE
Solicite outras listas complementares com exercícios de identificação das retas nos sólidos.
geometria descritiva
eber nunes ferreira
22
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DO CONTEÚDO
Analise o hexaedro representado no triedro e preencha os espaços com o nome da reta e do
grupo correspondente. Cada reta (segmento de reta) é determinada por dois pontos distintos.
4'
1' 3'
D'
2'
A' C'
B'
3"
2" 4"
C"
1"
B" D"
Evidencie com caneta ou lápis colorido
cada dupla de pontos nas épuras reduzidas
A resposta correta é desejável, porém o
raciocínio espacial é o principal objetivo. Por isso
use as maquetes.
A"
C 3
D 4
B 2
A
Utilize as maquetes relacionadas a este assunto.
(Maquetes - Sequências B e C)
1
I
II
4'
D'
1'
3'
A'
C'
B'
3"
C"
2" 4"
B"
1"
D" A"
4'
D'
3
C
D
2'
III
C
B
4
2
D
3'
2'
A'
C'
B'
3"
C"
2" 4"
B"
1"
D" A"
C
B
2
D
1'
3'
2'
A'
C'
3"
C"
B'
2" 4"
B"
1"
D" A"
D'
C
B
4
2
A 1
D
3'
A'
C'
2'
B'
3"
2" 4"
C"
B"
1"
D" A"
3
B
4
2
VI
4'
3
C
1'
A 1
V
D'
D'
A 1
IV
4'
4'
3
4
A 1
D
1'
1'
3'
2'
A'
C'
3"
C"
B'
2" 4"
B"
1"
D" A"
4'
D'
3
C
B
4
A 1
2
D
1'
3'
A'
C'
2'
3"
2" 4"
C"
B'
B"
1"
D" A"
3
B
4
2
A 1
Quando necessário, corte o sinal de igual (=) para transformá-lo em diferente (=)
I
Os pontos (4) e (B) determinam uma reta
abs =s
afs = s
cts = s
II
Os pontos (A) e (3) determinam uma reta
abs =s
afs = s
cts = s
III
Os pontos (B) e (2) determinam uma reta
abs =s
afs = s
cts = s
IV
Os pontos (1) e (3) determinam uma reta
abs =s
afs = s
cts = s
V
Os pontos (4) e (1) determinam uma reta
abs =s
afs = s
cts = s
Os pontos (G) e (4) determinam uma reta
abs =s
afs = s
cts = s
VI
IDENTIFIQUE O PONTO (G) NO CENTRO DA BASE INFERIOR
Solicite outras listas complementares com exercícios de identificação das retas nos sólidos.
geometria descritiva
eber nunes ferreira
23
4.3 PARTICULARIDADES
O estudo das retas envolve algumas particularidades que destacaremos a seguir.
Toda a reta paralela a um plano de projeção poderá pertencer a ele, bastando que a
coordenada correspondente seja nula. Isto implica que, espacialmente, a reta se torne pertencente ao
plano e coincidente com a própria projeção.
(A)
(B)
PP
PV
s"
VG
VG
(A) A
s'
A
(B) B
pertencente
B
(s)
A única reta que não pode
pertencer a nenhum dos planos
de projeção é a reta qualquer,
pois a mesma se encontra
oblíqua aos três planos de
projeção.
s
paralela
PH
Assim sendo, as retas do segundo grupo, horizontal, frontal e de perfil podem pertencer a
somente um plano de projeção.
PV
s'
s"
PP
PV
PP
PV
(s)
VG
PP
VG
s'
(s)
s'
s"
s"
(s)
VG
s
s
s
PH
PH
PH
RETA HORIZONTAL
RETA FRONTAL
RETA DE PERFIL
PP
PV
PV
PP
(s) s'
s"
PV
s'
PP
VG
s" (s)
VG
s'
s"
VG
s
s
(s) s
PH
PH
PH
RETA HORIZONTAL do PH
RETA FRONTAL do PV
RETA DE PERFIL do PP
Para evidenciarmos esta condição particular da reta vamos acrescentar por "sobrenome”, tal
característica.
geometria descritiva
eber nunes ferreira
24
As retas do primeiro grupo, vertical, de topo e fronto-horizontal podem pertencer a até dois
planos de projeção.
PP
PV
s'
VG
VG
PV
s"
s'
PP
PV
s'
s"
s"
VG
VG
PP
(s)
(s)
(s)
VG
s
s
s
VG
PH
PH
PH
RETA VERTICAL
RETA DE TOPO
RETA FRONTO-HORIZONTAL
s"
PV
PP
PV
PP
PV
PP
VG
s' (s)
VG
s'
s'
s"
s
VG
s"
VG
VG
(s)
VG
s
s (s)
PH
PH
PH
RETA VERTICAL do PV
RETA de TOPO do PH
RETA FRONTO-HORIZONTAL do PH
s'
s'
PP
PV
(s) s"
PV
PP
VG
VG
s
s
PV
PP
s' (s)
VG
s" (s)
s"
PV
VG
s
VG
VG
PH
PH
PH
RETA VERTICAL do PP
RETA de TOPO do PP
RETA FRONTO-HORIZONTAL do PV
s" (s) s'
VG
PP
PV
PP
PV
PP
s'
s
s"
(s) s s"
VG
PH
RETA VERTICAL do PV e do PP
geometria descritiva
s s' (s)
VG
PH
PH
RETA de TOPO do PH e PP
RETA FRONTO-HORIZONTAL
do PH e do PV (Linha de Terra)
eber nunes ferreira
25
4.4 PERTINÊNCIA DE PONTO À RETA
Um ponto pertence a uma reta quando suas projeções pertencem às projeções de mesmo
nome da reta, ou seja:
- a projeção horizontal do ponto sobre a projeção horizontal da reta
- a projeção vertical do ponto sobre a projeção vertical da reta
- a terceira projeção do ponto sobre a terceira projeção da reta
PP
PV
P’
P”
PP
PV
P”
s'
P’
s"
s"
(P)
s'
P
(s)
s
P
s
PH
PH
Qualquer que seja a reta e um ponto pertencente a ela, estas três condições deverão ser
satisfeitas; mas, excetuando-se a reta de perfil, as demais retas podem ser analisadas apenas no
diedro (PH e PV), ou seja, um ponto pertencerá a reta se as projeções do ponto pertencerem as
respectivas projeções horizontal e vertical da reta.
PV
P"
PP
P'
P'
P"
s"
(P)
s'
s'
VG
VG
s"
(s)
P
s
P
s
PH
RETA DE PERFIL
VISTA DE PERFIL
Portanto, a reta de perfil deverá necessariamente ser analisada nas três projeções, o que
implica na obtenção da terceira projeção.
geometria descritiva
eber nunes ferreira
26
4.5 PONTOS NOTÁVEIS DA RETA
São pontos onde a reta atravessa planos notáveis. Estaremos enfocando a interseção das
retas com os planos horizontal e vertical de projeção. Estes pontos onde a reta "fura" o plano são
denominados de traços de reta. (Na GD traço = interseção)
PV
(V)
(H)
PH
Uma reta somente possui traço sobre um plano quando for
concorrente a ele; estando equidistante (paralela ou pertencente)
não possuirá o traço. Considerando o ambiente Diédrico e a posição
da reta, ela poderá ter de um a dois traços.
A exceção fica para a reta frontohorizontal, que é a única reta
não concorrente ao PH e PV.
TRAÇOS DA RETA NOS PLANOS HORIZONTAL E VERTICAL DE PROJEÇÃO
O traço de uma reta sobre um plano é sempre um ponto único. Em relação aos planos
horizontal e vertical no ambiente do primeiro diedro a reta pode concorrer com eles em três posições
genéricas: no PH, no PV e sobre a Linha de Terra.
Então o que temos a fazer é a identificação da existência destes pontos na reta.
B’
PONTO NO PH
A’
C C’
B
PONTO NO PV
PONTO NA LT
A
4.5.1 DETERMINAÇÃO DO TRAÇO HORIZONTAL
B'
s’
A'
H’
s
H
B
A
O traço horizontal (H) sempre
pertencerá ao plano horizontal pois,
sempre terá cota nula.
Portanto, em épura prolongase a projeção vertical até a LT (onde a
cota se torna nula) e determina-se a
linha de chamada do ponto (H)
procurado.
A projeção H pertencerá a
projeção s e a projeção H' pertencerá a
projeção s'.
PV
PP
s'
VG
s"
(s)
H"
H'
s
(H) H
PH
4.5.2 DETERMINAÇÃO DO TRAÇO VERTICAL
A'
V’
s’
B'
V
A
s
B
O traço vertical (V) sempre
pertencerá ao plano vertical pois,
sempre terá afastamento nulo.
Portanto, em épura prolonga-se a
projeção horizontal até a LT (onde o
afastamento se torna nulo) e
determina-se a linha de chamada do
ponto (V) procurado.
A projeção V pertencerá a projeção
s e a projeção V' pertencerá a
projeção s'.
V"
s'
PV
(V) V'
s"
PP
(s)
V
s
PH
geometria descritiva
eber nunes ferreira
27
EM RESUMO TEMOS:
Para determinarmos um traço prolonga-se inicialmente a projeção de nome contrário até que a
mesma concorra com a LT, onde será determinada a linha de chamada correspondente ao traço
procurado.
Atenção: esta regra não é válida para a reta de perfil que exige a determinação de seus
pontos na vista de perfil. Vejamos outros exemplos em épura.
A'
VG
r'
V’
r' A' B' V’
r'
B'
H’
V
V
H’
A
r A B H
r
r
VG
H
B
PV
PP
H" V"
s"
s'
(s)
s
Se a reta é concorrente à LT, mas possui dois traços
(retas de perfil e qualquer), eles estarão coincidentes na
própria LT, ou seja, o ponto de afastamento nulo, também é o
ponto de cota nula. Atente para o fato de que dois pontos
coincidentes não definem uma reta.
(V) V' V
(H) H H'
PH
Observe nos exemplos anteriores que duas projeções encontram-se obrigatoriamente sobre
a LT. São elas:
V - projeção horizontal do traço vertical (projeção referente ao afastamento nulo);
H' - projeção vertical do traço horizontal. (projeção referente a cota nula).
Ou seja, V H' na LT. Tome isto como regra.
4.5.3 TRAÇOS HORIZONTAL E VERTICAL NA RETA DE PERFIL
A obtenção dos traços horizontal e vertical na reta de perfil é realizada através da utilização da
terceira projeção (vista lateral), pois neste tipo de reta a simples análise no diedro não é suficiente
para a identificação da pertinência do ponto à reta.
Desta maneira, temos que prolongar a terceira projeção da reta que encontrará as projeções
H" e V" e retornar com as informações para a abcissa correspondente determinando assim as
projeções dos traços horizontal e vertical respectivamente.
geometria descritiva
eber nunes ferreira
28
4.5.4 TRAÇOS HORIZONTAL E VERTICAL NAS DEMAIS RETAS
V"
PP
PV
s'
VG
VG
PV
s"
s'
(V ) V'
s"
PP
s'
PV
s"
VG
PP
(s)
(s)
(s)
V
H"
H'
VG
s
s
s (H) H
PH
PH
PH
RETA VERTICAL
RETA DE TOPO
RETA FRONTO-HORIZONTAL
V"
(V) V'
V"
s'
PV
PP
s"
PV
PP
PV
PP
s'
(V) V'
VG
(s)
s'
s"
(s)
(s)
H"
V
s"
V
H'
H'
s
H"
s
s
(H) H
(H) H
PH
PH
PH
RETA HORIZONTAL
RETA FRONTAL
RETA DE PERFIL
ORTOGONAL À LT
(V) V'
V"
PP
PV
PV
PP
H" V"
s'
PP
s"
s'
(s)
s"
(s)
H"
H'
(s)
s
s
s
(H) H
PH
H" V"
s"
s'
V
PV
(V) V' V
(H) H H'
PH
(V) V' V
(H) H H'
PH
RETA QUALQUER
RETA QUALQUER
RETA DE PERFIL
REVERSA À LT
CONCORRENTE À LT
PERPENDICULAR À LT
geometria descritiva
eber nunes ferreira
29
4.6 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS
a - Quando coplanares podem ser:
RETAS QUE ADMITEM A POSSIBILIDADE DE PERTENCEREM A UM MESMO PLANO
(b)
(a) (b)
(a)
COINCIDENTES
PARALELAS
(a)
(a)
(b)
(b)
CONCORRENTES
PERPENDICULARES
Quando concorrentes, e formarem um ângulo reto,
são denominadas de retas perpendiculares.
Tanto as retas paralelas, quanto as
concorrentes, podem pertencer a planos
distintos, mas ainda assim são
consideradas coplanares, pois sempre
existirá um plano que as contenham
b - Quando não coplanares podem ser:
RETAS QUE NÃO ADMITEM A POSSIBILIDADE DE PERTENCEREM A UM MESMO PLANO
(r)
(r)
(c)
(a)
(b)
REVERSAS
Todas as retas de um plano que não
concorrem com uma reta oblíqua a ele são
denominadas reversas, ou ainda revessas
em relação à referida reta.
(a)
(c)
(b)
ORTOGONAIS
Todas as retas de um plano que não
concorrem com uma reta perpendicular a ele
são denominadas ortogonais em relação à
referida reta.
Duas retas podem:
- não possuir ponto comum (paralelas e reversas);
- possuir um único ponto comum (concorrentes ou incidentes);
- possuir mais de um ponto comum (coincidentes).
4.6.1 ANÁLISE DAS POSIÇÕES RELATIVAS EM ÉPURA
Com exceção das retas de perfil, poderemos, através da análise das projeções no diedro (PH
e PV), conhecer qual é a posição relativa entre ambas, isto porque a reta de perfil necessita de ser
analisada no triedro.
a- Retas Concorrentes: duas retas coplanares que possuem um único ponto comum são
denominadas concorrentes ou incidentes.
Teorema: duas retas concorrentes projetam-se em geral, segundo projeções concorrentes.
geometria descritiva
eber nunes ferreira
30
PRIMEIRO CASO
SEGUNDO CASO
TERCEIRO CASO
b’
b’
a’
b’
a’
a’
b
a
a b
b
a
AS PROJEÇÕES DE MESMO NOME,
DAS DUAS RETAS, CONCORREM EM
UMA MESMA LINHA DE CHAMADA.
DUAS PROJEÇÕES DE MESMO NOME,
SE CONFUNDEM, E AS OUTRAS DUAS
SÃO CONCORRENTES.
UMA PROJEÇÃO PONTUAL PERTENCE
A PROJEÇÃO DE MESMO NOME DA
OUTRA RETA.
Duas retas concorrentes podem ser perpendiculares. Veja o teorema de Monge na página
seguinte
b- Retas Paralelas: duas retas coplanares, que não possuem ponto comum são
denominadas, retas paralelas.
Teorema: duas retas paralelas projetam-se em geral, segundo projeções paralelas.
PRIMEIRO CASO
SEGUNDO CASO
TERCEIRO CASO
a’
a’
b’
a’
b’
b’
a
a
b
a b
AS PROJEÇÕES DE MESMO NOME
SÃO PARALELAS ENTRE SI.
b
DUAS PROJEÇÕES DE MESMO NOME
SE CONFUNDEM E AS OUTRAS DUAS
SÃO PARALELAS.
DUAS PROJEÇÕES PONTUAIS DE
MESMO NOME SÃO DISTINTAS.
c- Retas Reversas: duas retas são reversas quando não possuírem ponto comum e não
forem paralelas; portanto, poderemos identificá-las por exclusão, ou observando os dois casos
abaixo.
PRIMEIRO CASO
SEGUNDO CASO
a’
b’
b’
Duas retas reversas podem
ser ortogonais.
a’
a
a
b
b
AS PROJEÇÕES DE MESMO NOME,
DAS DUAS RETAS, NÃO CONCORREM EM
UMA MESMA LINHA DE CHAMADA.
geometria descritiva
UMA PROJEÇÃO PONTUAL NÃO
PERTENCE À PROJEÇÃO DE MESMO
NOME DA OUTRA RETA.
eber nunes ferreira
31
d- Retas Coincidentes: duas retas são coincidentes quando suas projeções de mesmo nome
se confundem. Na prática, é uma única reta com dois nomes. Atenção: podemos ter segmentos não
coincidentes sobre retas coincidentes.
a’ b’
a’ b’
A’
B’
R’
S’
a b
a b
A
B R
S
e- Perpendicularismo
Teorema de Monge: "Quando duas retas são perpendiculares entre si no espaço, sendo uma
delas paralela a um plano dado, sem que a outra seja perpendicular ao plano, as projeções destas
duas retas sobre o plano são perpendiculares entre si.
(s)
(r)
Em épura, isto significa que, se uma projeção de uma
reta forma um ângulo reto com a projeção em VG de
uma outra, as retas serão perpendiculares se
concorrentes...
s
VG
r
PERPENDICULARES
(s)
(r)
... e ortogonais se forem reversas.
s
VG
r
PERPENDICULARES
(r)
(s)
Mas quando uma for paralela e a outra perpendicular
ao plano, basta a projeção pontual pertencer à outra
projeção e serão perpendiculares entre si no espaço ...
s
VG
r
PERPENDICULARES
(s)
... contudo, se a projeção pontual estiver fora,
serão ortogonais.
(r)
s
r
ORTOGONAIS
Observação: quando duas retas perpendiculares ou ortogonais no espaço (casos particulares
de retas concorrentes e retas reversas respectivamente) estiverem oblíquas a um plano dado,
somente serão identificadas, com o uso de métodos descritivos,mas por hora poderemos identificálas como concorrentes ou reversas.
geometria descritiva
eber nunes ferreira
32
4.7 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS DE PERFIL
No estudo das posições relativas entre duas retas de perfil, iremos recorrer ao uso da terceira
projeção, também conhecida por vista lateral. Podemos encontrá-las em duas situações genéricas:
quando possuírem a mesma abcissa e quando as abcissas forem distintas.
a - Duas Retas de Perfil em uma mesma abcissa.
POSSUINDO A MESMA ABCISSA JAMAIS SERÃO REVERSAS OU ORTOGONAIS.
a"
PV
b"
PP
PP
a" b" PP
PV
PV
PV
a"
PP
b"
(a) (b)
(b)
(b)
(a)
a"
(a)
(a)
b"
(b)
PH
PH
PH
PH
PARALELAS
projeções de perfil
paralelas
COICIDENTES
projeções de perfil
coincidentes
CONCORRENTES
projeções de perfil
concorrentes
PERPENDICULARES
projeções de perfil
perpendiculares
b - Duas Retas de Perfil em abcissas diferentes
POSSUINDO ABCISSAS DIFERENTES, JAMAIS SERÃO CONCORRENTES OU PERPENDICULARES.
a"
a" b"
b"
PV
PP
PV
PV
PP
b"
PV
PP
PV
PP
a"
(b)
(b)
(a)
(a)
b"
(b)
(b)
a"
(a)
(b)
(a)
PH
PH
PH
PH
PARALELAS
projeções de perfil
paralelas
PARALELAS
projeções de perfil
coincidentes
REVERSAS
projeções de perfil
concorrentes
ORTOGONAIS
projeções de perfil
perpendiculares
geometria descritiva
eber nunes ferreira
33
4.8 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DO CONTEÚDO
Analise a pirâmide representada no triedro e preencha os espaços com o nome da posição
relativa entre cada dupla de retas. As posições relativas entre duas retas distintas podem ser:
paralelas, concorrentes, perpendiculares, reversas, ortogonais. Lembre-se que retas
perpendiculares e retas ortogonais são casos particulares das retas concorrentes e retas reversas
respectivamente.
V'
V"
Evidencie com caneta ou lápis colorido
cada dupla de retas (segmentos) nas épuras
reduzidas.
A' D'
C' B'
D" C"
A" B"
C
D
V
A
Utilize as maquetes relacionadas a este assunto.
(Maquetes - Sequência B)
B
EXEMPLOS:
V'
I
V"
C' B'
A' D'
D" C"
A" B"
A
A
V'
V"
C' B'
A' D'
C
D
D" C"
A" B"
D" C"
VI
A" B"
C
A
B
V'
V"
C' B'
A' D'
D" C"
A" B"
C
D
V
B
A" B"
C
A
V"
C' B'
D
D" C"
V
B
A' D'
V"
C' B'
A' D'
D
V'
V
V
A
A" B"
V
B
IV
D" C"
V'
III
C
D
V
V"
C' B'
A' D'
C
D
V'
II
V
B
A
B
I
As retas dadas pelos pontos (V)(A) e (V)(B) são
concorrentes
(1º caso)
II
As retas dadas pelos pontos (A)(B) e (C)(D) são
paralelas
(2º caso)
III
As retas dadas pelos pontos (A)(C) e (B)(D) são
IV
As retas dadas pelos pontos (A)(B) e (C)(V) são
V
As retas dadas pelos pontos (A)(D) e (V)(B) são
VI
As retas dadas pelos pontos (V)(G) e (C)(B) são
IDENTIFIQUE O PONTO (G) NO CENTRO DA BASE
Solicite outras listas complementares com exercícios de identificação das posições relativas das retas nos sólidos.
geometria descritiva
eber nunes ferreira
34
Analise o hexaedro representado no triedro e preencha os espaços com o nome da posição
relativa entre cada dupla de retas. As posições relativas entre duas retas distintas podem ser:
paralelas, concorrentes, perpendiculares, reversas, ortogonais. Lembre-se que retas
perpendiculares e retas ortogonais são casos particulares das retas concorrentes e retas reversas
respectivamente.
4'
1' 3'
2'
3"
2" 4"
1"
Evidencie com caneta ou lápis colorido
cada dupla de retas (segmentos) nas épuras
reduzidas.
D'
A' C'
B'
C"
B" D"
A"
C 3
D 4
B 2
A
Utilize as maquetes relacionadas a este assunto.
(Maquetes - Sequência B)
1
I
II
4'
D'
1'
3'
A'
C'
B'
3"
C"
2" 4"
B"
1"
4'
D" A"
D'
3
C
D
2'
III
C
B
4
2
D
3'
A'
C'
2'
B'
3"
C"
2" 4"
B"
1"
D" A"
C
B
2
D
1'
3'
2'
A'
C'
3"
C"
B'
2" 4"
B"
1"
D" A"
4'
D'
C
B
4
2
A 1
3'
A'
C'
2'
B'
3"
C"
2" 4"
B"
1"
D" A"
3
B
4
2
VI
3
C
1'
A 1
V
D'
D'
A 1
IV
4'
4'
3
4
A 1
D
1'
D
1'
3'
A'
C'
2'
3"
C"
B'
2" 4"
B"
1"
D" A"
4'
D'
3
C
B
4
2
A 1
I
As retas dadas pelos pontos (D)(2) e (4)(B) são
II
As retas dadas pelos pontos (C)(3) e (B)(2) são
III
As retas dadas pelos pontos (A)(4) e (D)(1) são
IV
As retas dadas pelos pontos (A)(D) e (2)(3) são
V
As retas dadas pelos pontos (4)(B) e (A)(C) são
VI
As retas dadas pelos pontos (G)(1) e (D)(4) são
D
1'
3'
A'
C'
2'
3"
C"
B'
2" 4"
B"
1"
D" A"
3
B
4
2
A 1
IDENTIFIQUE O PONTO (G) NO CENTRO DA BASE INFERIOR
Solicite outras listas complementares com exercícios de identificação das posições relativas das retas nos sólidos.
geometria descritiva
eber nunes ferreira
35
5. ESTUDO DOS PLANOS
5.1 DETERMINAÇÃO DE PLANOS
Na geometria elementar temos planos definidos por:
PV
PP
(A)
(B)
PV
PP
PH
PH
PH
TRÊS PONTOS DISTINTOS
NÃO COLINEARES
PV
PP
DUAS RETAS
PARALELAS
PV
(A)
(C)
PH
PP
UMA RETA E UM PONTO
EXTERIOR A ELA
PV
DUAS RETAS
CONCORRENTES
PP
PH
UMA RETA E
UMA DIREÇÃO
Assim como as retas, os planos podem ocupar várias posições em relação aos planos de
projeção, recebendo por isso nomes diferentes.
A GD representa os planos, além dos modos fornecidos pela geometria elementar, pelos seus
traços.
Traço de plano é a reta resultante da interseção deste em outro plano.
geometria descritiva
eber nunes ferreira
36
O traço de um plano sobre o plano horizontal de projeção é uma reta de cota nula, sendo
denominada de TRAÇO HORIZONTAL.
O traço de um plano sobre o plano vertical de projeção é uma reta de afastamento nulo, sendo
denominada de TRAÇO VERTICAL.
Denominaremos de TRAÇO DE PERFIL ou TERCEIRO TRAÇO, a interseção do plano com o
plano de perfil. Este traço será uma reta de abcissa constante.
TRAÇO HORIZONTAL
TRAÇO VERTICAL
TRAÇO DE PERFIL
Estaremos adotando as iniciais dos nomes genéricos dados aos planos na língua portuguesa.
Utilizando por exemplo o plano (Q) temos:
As posições dos traços de um plano em relação à LT são variáveis, isto é, podem os traços
ocupar posições diferentes, conforme a situação do plano, mas quando um plano for oblíquo à LT,
determinará sobre ela um único ponto de concorrência. Deste ponto nascem os traços horizontal e
vertical.
Q'
Qo
O valor da abcissa deste ponto, permite
determinar os traços dos planos à partir do
conhecimento da angulação destes com a LT.
Este ponto recebe a notação em épura de Qo
para um plano (Q), To para um plano (T) e assim por
diante. Lembre-se que ele possui afastamento e cota
nulos, mas, sua abcissa pode assumir diferentes
valores.
Q
geometria descritiva
eber nunes ferreira
37
5.2 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DOIS PLANOS
Um plano em relação a outro plano poderá estar oblíquo ou equidistante.
a) - quando equidistantes:
PARALELOS
COINCIDENTES
b) - quando oblíquos:
CONCORRENTES
PERPENDICULARES
Na GD quando um plano está perpendicular a um plano de projeção, ele é denominado de
plano projetante. Esta particularidade, se bem entendida, facilitará em muito o estudo dos planos.
Antes de classificarmos os planos segundo suas posições no triedro, detalharemos melhor as
características dos planos projetantes.
Denominaremos o traço (interseção) resultante do perpendicularismo entre dois planos de
traço projetante. (Um dos dois é plano de projeção).
Observe que as linhas projetantes, ao incidirem perpendicularmente sobre o
plano de projeção, têm suas trajetórias sobre o plano (), o que implica na localização das
projeções dos elementos pertencentes a este plano, sobre o próprio traço projetante.
Quando um plano é projetante, seu traço representa, não somente a si próprio,
mas, toda infinita superfície plana.
Quando um plano não é projetante, seu traço traduz tão somente sua interseção
com o plano de projeção, portanto todos os demais elementos do plano projetam-se fora
dele.
Então podemos concluir que:
O traço projetante recebe sobre si todas as projeções de mesmo
nome, dos elementos pertencentes ao plano. Tome isto como regra.
Isto significa que:
- o traço horizontal, quando projetante, recebe as projeções horizontais dos elementos
pertencentes ao plano;
- o traço vertical, quando projetante, recebe as projeções verticais dos elementos
pertencentes ao plano; e
- o traço de perfil, quando projetante, recebe as projeções de perfil dos elementos
pertencentes ao plano.
geometria descritiva
eber nunes ferreira
38
O entendimento do conceito de plano projetante é
estendido as figuras planas no espaço. Sempre que uma figura
plana estiver perpendicular a um plano sua projeção sobre ele,
será um segmento de linha reta.
5.3 CLASSIFICAÇÃO DOS PLANOS
PORÇÃO ÚTIL
DO PLANO NO
1º DIEDRO
Os planos são ilimitados, o que permite que os mesmos
alcancem mais de um diedro. Contudo, priorizaremos o estudo
dos planos às suas porções úteis no primeiro diedro, ou seja,
todos os pontos que possuam afastamentos e cotas iguais ou
superiores a zero.
Analisados em relação aos três planos de projeção, os planos podem ser classificados em
três grupos.
Grupo 1 - Grupo dos planos que são paralelos a um dos planos de projeção, e
consequentemente, perpendiculares (projetantes) aos outros dois.
PV
PP
PV
PV
PP
PP
PH
PH
PH
PLANO HORIZONTAL
PLANO FRONTAL
PLANO DE PERFIL
Grupo 2 - Grupo dos planos que são perpendiculares a somente um dos planos de projeção, e
consequentemente, oblíquos aos outros dois.
PV
PP
PV
PP
PV
PP
PH
PH
PH
PLANO VERTICAL
PLANO DE TOPO
PLANO PARALELO À LT
PV
PP
PH
PLANO QUE PASSA
PELA LT
Grupo 3 - Grupo dos planos que são oblíquos aos três planos de projeção,
consequentemente, jamais será paralelo ou perpendicular a qualquer um dos planos de projeção.
PP
PV
PH
PH
PLANO QUALQUER
geometria descritiva
eber nunes ferreira
39
a - PLANO HORIZONTAL ou DE NÍVEL (PLANO PROJETANTE NO PV E NO PP)
PV
L'
L''
PP
L'
L''
(L)
PH
CARACTERÍSTICAS NO ESPAÇO:
- paralelo ao PH;
- perpendicular ao PV; e
- perpendicular ao PP.
CARACTERÍSTICAS EM ÉPURA (DIEDRO)
- possui apenas o traço vertical paralelo à LT.
b - PLANO FRONTAL ou DE FRENTE (PLANO PROJETANTE NO PH E NO PP)
PV
PP
F''
F"
(F)
F
F
PH
CARACTERÍSTICAS NO ESPAÇO:
- perpendicular ao PH;
- paralelo ao PV; e
- perpendicular ao PP.
CARACTERÍSTICAS EM ÉPURA (DIEDRO):
possui apenas o traço horizontal paralelo à LT
c - PLANO DE PERFIL (PLANO PROJETANTE NO PH E NO PV)
P'
PV
P'
PP
(P)
Po
Po
P
PH
P
CARACTERÍSTICAS NO ESPAÇO:
- perpendicular ao PH;
- perpendicular ao PV; e
- paralelo ao PP.
geometria descritiva
CARACTERÍSTICAS EM ÉPURA (DIEDRO)
- os traços horizontal e vertical são
perpendiculares à LT.
eber nunes ferreira
40
d - PLANO DE TOPO (PLANO PROJETANTE NO PV)
T''
T'
To
PV
T"
PP
T'
To
(T)
T
T
CARACTERÍSTICAS NO ESPAÇO:
- oblíquo ao PH;
- perpendicular ao PV; e
- oblíquo ao PP.
CARACTERÍSTICAS EM ÉPURA (DIEDRO):
- traço vertical oblíquo à LT; e
- traço horizontal perpendicular à LT.
e - PLANO VERTICAL (PLANO PROJETANTE NO PH)
Z'
(Z)
PV
PP
Z"
Z'
Zo
Z''
Zo
Z
PH
CARACTERÍSTICAS NO ESPAÇO:
- perpendicular ao PH;
- oblíquo ao PV; e
- oblíquo ao PP.
f - PLANO PARALELO A LT
CARACTERÍSTICAS EM ÉPURA (DIEDRO)
- traço horizontal oblíquo à LT; e
- traço vertical perpendicular à LT.
(PLANO PROJETANTE NO PP)
K'
K'
K"
PV
PP
K''
(K)
K
PH
K
CARACTERÍSTICAS NO ESPAÇO:
- oblíquo ao PH;
- oblíquo ao PV; e
- perpendicular ao PP.
geometria descritiva
CARACTERÍSTICAS EM ÉPURA (DIEDRO)
- traços horizontal e vertical paralelos à LT.
eber nunes ferreira
41
g - PLANO QUE PASSA PELA LT (PLANO PROJETANTE NO PP)
Este plano não consegue ser definido por seus traços no diedro, pois para os mesmos traços
pode o plano assumir diferentes angulações com o PV e o PH, necessitando portanto, de um ponto
que o fixe no espaço. No exemplo abaixo o ponto (A) é o ponto auxiliar.
X"
PV
A'
PP
X"
X
X'
A’
A”
(A)
X X'
(X)
A
A
PH
CARACTERÍSTICAS NO ESPAÇO:
- oblíquo ao PH;
- oblíquo ao PV; e
- perpendicular ao PP.
CARACTERÍSTICAS EM ÉPURA (DIEDRO)
- traços horizontal e vertical coincidentes na LT.
h - PLANO QUALQUER (ÚNICO PLANO NÃO PROJETANTE)
Q'
PP
PV
Q"
Q'
Q''
Qo
(Q)
Qo
Q
Q
PH
PV
CARACTERÍSTICAS NO ESPAÇO
- oblíquo ao PH;
- oblíquo ao PV; e
- oblíquo ao PP.
geometria descritiva
CARACTERÍSTICAS EM ÉPURA (DIEDRO)
- traços horizontal e vertical oblíquos à LT.
eber nunes ferreira
42
5.4 RETAS PERTENCENTES AOS PLANOS
Antes de analisarmos em épura, a pertinência das retas aos planos, apresentaremos os tipos
de retas genéricas que cada plano pode conter. Atente para o fato de que o plano qualquer é o único
plano que contém quatro tipos diferentes de retas, enquanto os demais, apenas três. Lembre-se que
os traços dos planos (que são retas), já revelam tipos de retas pertencentes ao plano.
Abreviações dos nomes das retas:
h- horizontal
f - frontal
v - vertical
PV
PP
t - de topo
fh - fronto-horizontal
PV
PP
(t)
( fh)
p - de perfil
q - qualquer
PV
(v)
PP
(v)
(f )
(p)
(h)
( fh)
(t )
PH
PH
PH
PLANO HORIZONTAL
PLANO FRONTAL
PLANO DE PERFIL
PV
PP
PV
PP
(v)
PV
PP
(fh)
(q)
(p)
(f)
(q)
(q)
(h)
(t)
PH
PH
PH
PLANO DE TOPO
PLANO VERTICAL
PLANO PARALELO À LT
PV
PP
PP
PV
(q)
(q)
(p)
(fh)
( p)
PH
PLANO QUE PASSA PELA LT
geometria descritiva
(f)
(h)
PH
PV
PLANO QUALQUER
eber nunes ferreira
43
Exemplos:
5.5 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DO CONTEÚDO
Analise a pirâmide representada no triedro e preencha os espaços com o nome do plano
definido pelos três pontos indicados. Lembre-se de que três pontos distintos não colineares no
espaço determinam um Plano.
V'
Evidencie com caneta ou lápis colorido
cada triângulo formado pelas retas (segmentos)
nas épuras reduzidas.
V"
QUADRO SÍNTESE
A' D'
C' B'
D" C"
A" B"
C
D
V
A
B
V'
V"
C' B'
A' D'
D" C"
A" B"
A
V"
C' B'
C
D
D" C"
D" C"
A" B"
A" B"
D" C"
VI
A" B"
C
A
A" B"
C
A
V"
C' B'
D
D" C"
V
B
A' D'
V"
C' B'
A' D'
B
V'
V"
C' B'
A' D'
D" C"
A" B"
C
D
V
B
VG
V'
III
D
V'
V
V
A
PROJEÇÕES EM FORMA DE:
FIGURA - FIGURA - FIGURA
V
V'
A' D'
Figuras Planas do
Grupo 3
C
D
B
IV
PROJEÇÕES EM FORMA DE:
FIGURA - FIGURA - LINHA
V"
C' B'
A' D'
V
A
Figuras Planas do
Grupo 2
V'
II
C
D
PROJEÇÕES EM FORMA DE:
FIGURA (EM VG) - LINHA - LINHA
Utilize as maquetes relacionadas a este assunto.
(Maquetes - Sequências B e D)
EXEMPLOS:
I
Figuras Planas do
Grupo 1
V
B
A
B
de TOPO
FIGURA - FIGURA - LINHA
Os pontos (V),(D) e (B) determinam um plano
VERTICAL
FIGURA - FIGURA - LINHA
III
Os pontos (A),(B) e (V) determinam um plano
PARALELO a LT
FIGURA - FIGURA - LINHA
IV
Os pontos (V),(A) e (D) determinam um plano
V
Os pontos (A),(B) e (C) determinam um plano
VI
Os pontos (A),(G) e (V) determinam um plano
I
Os pontos (V),(C) e (B) determinam um plano
II
IDENTIFIQUE O PONTO (G) NO CENTRO DA BASE
Solicite outras listas complementares com exercícios de identificação de figuras planas nos sólidos.
geometria descritiva
eber nunes ferreira
44
Analise o hexaedro (cubo) representado no triedro e preencha os espaços com o nome do
plano definido pelos três pontos indicados. Lembre-se de que três pontos distintos não colineares no
espaço determinam um Plano.
4'
1' 3'
D'
A' C'
2'
3"
2" 4"
1"
B" D"
A"
Evidencie com caneta ou lápis colorido
cada triângulo formado pelas retas (segmentos)
nas épuras reduzidas.
QUADRO SÍNTESE
B'
C"
Figuras Planas do
Grupo 1
PROJEÇÕES EM FORMA DE:
FIGURA (EM VG) - LINHA - LINHA
Figuras Planas do
Grupo 2
PROJEÇÕES EM FORMA DE:
FIGURA - FIGURA - LINHA
Figuras Planas do
Grupo 3
PROJEÇÕES EM FORMA DE:
FIGURA - FIGURA - FIGURA
VG
C 3
D 4
B 2
A
Utilize as maquetes relacionadas a este assunto.
(Maquetes - Sequências B e D)
1
I
II
4'
D'
1'
3'
A'
C'
B'
3"
C"
2" 4"
B"
1"
D" A"
4'
D'
3
C
D
2'
III
C
B
4
2
D
3'
A'
C'
2'
B'
3"
C"
2" 4"
B"
1"
D" A"
C
B
2
D
1'
3'
2'
A'
C'
3"
C"
B'
2" 4"
B"
1"
D" A"
D'
C
B
4
2
A 1
D
3'
A'
C'
2'
B'
3"
C"
2" 4"
B"
1"
D" A"
3
B
4
2
VI
4'
3
C
1'
A 1
V
D'
D'
A 1
IV
4'
4'
3
4
A 1
D
1'
1'
3'
A'
C'
2'
3"
C"
B'
2" 4"
B"
1"
D" A"
4'
D'
3
C
B
4
2
A 1
I
Os pontos (A),(2) e (4) determinam um plano
II
Os pontos (4),(B) e (2) determinam um plano
III
Os pontos (A),(D) e (2) determinam um plano
IV
Os pontos (1),(3) e (C) determinam um plano
V
Os pontos (D),(1) e (3) determinam um plano
VI
Os pontos (D),(1) e (G) determinam um plano
D
1'
3'
A'
C'
2'
3"
C"
B'
2" 4"
B"
1"
D" A"
3
B
4
2
A 1
IDENTIFIQUE O PONTO (G) NO CENTRO DA BASE INFERIOR
Solicite outras listas complementares com exercícios de identificação de figuras planas nos sólidos.
geometria descritiva
eber nunes ferreira
45
5.6 PERTINÊNCIA DA RETA AO PLANO EM ÉPURA
De maneira prática uma reta pertence a um plano quando possui dois pontos distintos sobre
ele. Apresentaremos cinco condições para uma reta pertencer a um plano para analise em épura.
As condições a e b não requerem a utilização dos traços do plano.
a - Toda reta concorrente com duas retas de um plano, em pontos distintos, pertence ao plano
A'
A'
r’
r’
s’
PV
s’
2’
(r)
x’
1’
(s)
(x)
A
s
A
r
1
r
s
2
x
PH
b - Toda reta concorrente com uma reta de um plano e paralela a outra do mesmo plano está
contida no plano.
s’
s’
A'
PV
A'
(s)
x’
1’
r’
r’
(x)
(r)
s
A
s
A
x
1
PH
geometria descritiva
r
r
eber nunes ferreira
46
As condições c e d utilizam-se dos traços do plano
c - Toda reta que tem seus traços (V) e (H) distintos, sobre os traços de mesmo nome do plano,
está contida no plano.
V'
B'
Q'
PV
s'
(V )
Q’
A'
(s)
Qo
H'
V
Qo
(H)
s
Q
B
A
H
PH
Q
Quando uma reta (qualquer ou perfil) possuir os
dois traços, e estes forem coincidentes (isto só acontece
na LT), embora sejam nominalmente dois pontos se
constituem geometricamente em um único ponto, o que
não é suficiente para determinar a pertinência da reta
sobre o plano.
Neste caso, faz-se necessário a utilização de um
ponto auxiliar sobre o plano.
Q'
PV
( A)
(s)
Qo
(V)
 (H)
Q
PH
d - Toda reta que se apóia em um dos traços do plano e é paralela ao outro, está contida no plano.
Q'
B'
PV
s'
Q'
A’
Qo
H'
(s)
s
Qo
H
(H)
B
A
Q
Q
PH
geometria descritiva
eber nunes ferreira
47
e - CASOS IMEDIATOS (PLANOS PROJETANTES) - Toda reta (neste caso válido para
qualquer ente geométrico possível de pertencer a um plano) que possui sua projeção sobre o traço
projetante de mesmo nome, pertence ao plano. (Ver páginas 34)
O único plano não projetante é o plano qualquer, portanto ele está fora desta análise.
Os demais planos poderão ser analisados no diedro, exceto os planos paralelos à LT e os
planos que passam pela LT, que deverão ser analisados no triedro (uso da terceira projeção).
É importante salientar que nesta condição de análise, não se necessita dos traços da reta,
mas quando determinados obedecerão às condições respectivas expostas anteriormente.
T'
T'
B'
a'
PP
PV
A'
A'
a'
T'
To
B'
r'
To
(a)
A
To
A
a
a
r
T
B
B
T
PH
T
PLANO DE TOPO
PROJETANTE NO PV
V’
K’
B'
V"
(V) V'
K'
K"
PV
s”
K"
A'
(K)
s'
B"
s'
PP
V”
s"
(s)
V
A”
V
H’
H”
H"
B
H'
K
s
s
(H) H
PH
H
A
K
PLANO PARALELO À LT
PROJETANTE NO PP
A seguir apresentaremos através da perspectiva e da épura as retas pertencentes a
cada plano, observe que os traços das retas pertencem aos traços de mesmo nome do plano.
Utilize as maquetes relacionadas a este assunto. (Maquetes - Sequência E)
geometria descritiva
eber nunes ferreira
48
5.6.1 RETAS DO PLANO HORIZONTAL OU DE NÍVEL
PLANO HORIZONTAL / reta de topo
PLANO HORIZONTAL
reta de topo
V"
L'
PV
)
s'
L'
V'
s"
 (V
A' B' V' s'
V"
s"
A"
VG
B"
L"
PP
L"
(L)
V
(s)
V
A
s
s
PH
VG
B
PLANO HORIZONTAL / reta fronto-horizontal
PLANO HORIZONTAL
reta fronto-horizontal
L'
PV
L'
s'
VG
B
s
VG
A'
s"
A"
B"
L"
PP
L"
s'
B'
s"
(L)
(s)
A
s
PH
geometria descritiva
eber nunes ferreira
49
RETAS DO PLANO HORIZONTAL OU DE NÍVEL (Continuação)
PLANO HORIZONTAL / reta horizontal
PLANO HORIZONTAL
reta horizontal
L'
(V)  V'
PV
s'
B'
A'
V"
B" s"
A"
L"
PP
s"
s'
V'
L"
L'
(s)
V
(L)
V
B
s
VG
s
A
PH
5.6.2 RETAS DO PLANO FRONTAL OU DE FRENTE
PLANO FRONTAL / reta fronto-horizontal
F"
PLANO FRONTAL
reta fronto-horizontal
F"
PV
s'
B'
s'
B
s
VG
A'
s” A"
B"
PP
s"
(s)
(F)
s
F
A
VG
F
PH
geometria descritiva
eber nunes ferreira
50
RETAS DO PLANO FRONTAL ou DE FRENTE (Continuação)
PLANO FRONTAL / reta vertical
F''
PLANO FRONTAL
reta vertical
A'
A"
s'
s"
VG
VG
F"
PV
PP
s"
s'
B'
B"
H"
H'
(s)
(F)
s
A B H
F
s  (H)  H
F
PH
PLANO FRONTAL / reta frontal
F"
PLANOFRONTAL
reta frontal
F"
PV
s'
B"
B'
PP
VG
s'
s"
(s)
A'
A"
H"
H'
(F)
H'
s"
F
s
(H)  H
PH
geometria descritiva
H
A
s
B
R
eber nunes ferreira
51
5.6.3 RETAS DO PLANO DE PERFIL
PLANO DE PERFIL / reta vertical
P'
PLANO DE PERFIL
reta vertical
A'
A”
VG
VG
s’
s"
B'
B”
Po H'
H"
P'
PV
PP
s"
s'
(s)
Po
H"
H'
(P)
s A B H
(H)  H  s
P
PH
P
PLANO DE PERFIL /
reta de topo
PLANO DE PERFIL
reta de topo
P'
V"
P'
PV
(V)  V'  s'
s' A' B' V'
s"
(P)
V"
A"
s"
VG
B"
PP
(s)
Po
V
V  Po
A
s
s
P
VG
PH
B
P
geometria descritiva
eber nunes ferreira
52
RETAS DO PLANO DE PERFIL (Continuação)
PLANO DE PERFIL
PLANO DE PERFIL
reta de perfil ortogonal
a linha de terra
P'
V"
V"
V'
P"
(V)  V'
/ reta de perfil ort. a LT
P'
B"
B'
PV
PP
(P)
s"
s'
s'
s"
VG
A'
A"
H"
V H'
Po
(s)
V
 H'
B
H"
Po
s
s
(H)  H
PH
P
A
H
P
PLANO DE PERFIL
/ reta de perfil perp. a LT
P'
PLANO DE PERFIL
reta de perfil perpendicular
a linha de terra
A"
P'
A'
PV
PP
s"
VG
s'
s'
s"
(s)
V" H"
V V' H H'
Po
H"  V"
Po
s
(P)
(V)  V'  V
(H)  H  H'
P
s
A
PH
P
geometria descritiva
eber nunes ferreira
53
5.6.4 RETAS DO PLANO VERTICAL
PLANO VERTICAL
/ reta vertical
PLANO VERTICAL
reta vertical
Z"
Z'
A'
A"
VG
VG
s"
s'
PV
s'
Z'
s"
(s)
(Z)
PP
Z"
Zo
B'
B"
H'
H"
H"
H'
Zo
s  (H)  H
Z
s A B H
PH
Z
PLANO VERTICAL / reta horizontal
PLANO VERTICAL
reta horizontal
Z'
V'
Z"
s'
A'
B'
V"
A"
s"
B"
V"
Z'
s'
PV
(V)  V'
s"
(Z)
(s)
PP
Z"
Zo
Zo V
A
V
s
Z
s
VG
B
PH
Z
geometria descritiva
eber nunes ferreira
54
RETAS DO PLANO VERTICAL (Continuação)
PLANO VERTICAL / reta qualquer reversa a LT
PLANO VERTICAL
reta qualquer reversa
a linha de terra
Z'
Z"
V"
V'
Z'
PV
V"
A'
(V)  V'
s" (Z)
(s)
PP
A"
s'
s"
s'
B'
Z"
V
B"
Zo
H'
H"
H'
V
H"
Zo
s
(H)  H
A
Z
s
B
PH
H
Z
PLANO VERTICAL / reta qualquer conc. a LT
PLANO VERTICAL
reta qualquer concorrente
a linha de terra
PV
s'
(s)
(Z)
Z'
s"
V''
Z"
Z'
PP
Z"
H
V V’ H H’
B'
B"
s’
A"
A'
Zo
s"
V” H”
"
Zo
A
s
Z
(V)  V'  V
(H)  H  H'
s
B
PH
Z
geometria descritiva
eber nunes ferreira
55
5.6.5 RETAS DO PLANO DE TOPO
PLANO DE TOPO / reta de topo
PLANO DE TOPO
reta de topo
T"
T'
V"
A' B' V' s'
V"
s'
VG
s"
B"
T ''
s"
T'
A"
To
V
(s)
V
To
s
(T)
A
T
s
VG
T
B
PLANO DE TOPO / reta frontal
PLANO DE TOPO
reta frontal
T"
T'
B'
T'
PV
s'
PP
s"
A'
T ''
A"
s'
To
s"
(s)
H'
B"
VG
H"
H'
H"
s
To
T
(T)
(H) H
H
A
s
B
PH
T
geometria descritiva
eber nunes ferreira
56
RETAS DO PLANO DE TOPO (Continuação)
PLANO DE TOPO / reta qualquer reversa a LT
PLANO DE TOPO
reta qualquer reversa
a linha de terra
T"
V'
V"
T'
B'
B"
s'
T'
PV
(V)
s"
PP
V"
T ''
V'
A'
s"
s'
A"
To H'
(s)
V
H'
H"
V
(T)
B
s
H"
s
To
A
H
T
(H) H
PH
T
PLANO DE TOPO / reta qualquer conc. A LT
PLANO DE TOPO
reta qualquer concorrente
a linha de terra
T"
T'
B'
B"
s'
PV
s"
PP
T'
H"
T ''
V"
s"
s'
A'
To
A"
V V’ H H’
V” H”
(s)
A
To
s
s
(T)
T
(V) V' V
(H) H H'
B
PH
T
geometria descritiva
eber nunes ferreira
57
5.6.6 RETAS DO PLANO PARALELO A LINHA DE TERRA
PV
PP
PLANO PARALELO A LT / reta fronto-horizontal
PLANO PARALELO À LT
reta fronto-horizontal
K’
K'
K"
PV
PP
K"
A'
s'
A
s
VG
s” A"
B'
B"
(K)
s"
s'
(s)
s
B
K
VG
PH
K
PH
PV
PP
PLANO PARALELO A LT / reta qualquer reversa a LT
PLANO PARALELO À LT
reta qualquer reversa
a linha de terra
(V)  V'
K'
V"
K'
PP
B"
s”
s'
(K)
s'
(s)
A”
A'
s"
V”
K"
B'
K"
PV
V’
H”
H’
V
V
H"
B
H'
s
K
s
(H)  H
PH
H
A
K
PH
geometria descritiva
eber nunes ferreira
58
RETAS DO PLANO PARALELO A LINHA DE TERRA (Continuação)
PV
PP
PLANO PARALELO A LT / reta de perfil ort. a LT
PLANO PARALELO À LT
reta de perfil ortogonal
a linha de terra
( V)
V"
K'
'
V
K'
V'
V''
K"
B"
B'
PV
PP
K"
s''
s'
VG
(K) s'
s"
A'
A''
H''
V H'
(s)
V'  H'
B
H"
s
(H)  H
s
K
A
PH
H
K
PH
5.6.7 RETAS DO PLANO QUE PASSA PELA LINHA DE TERRA
PLANO QUE PASSA PELA LT / reta fronto-horizontal
ponto auxiliar (M)
PLANO QUE PASSA PELA L.T.
reta fronto-horizontal
X"
M’
PV
PP
M"
A'
s'
A
s
VG
B'
s"
A"
B"
M'
s"
s'
X'
(X)
M"
X"
X X'
X
(s)
(M)
B
VG
s
M
PH
M
Faz-se necessário o uso de
uma reta e um ponto auxiliar
geometria descritiva
eber nunes ferreira
59
RETAS DO PLANO QUE PASSA PELA LINHA DE TERRA (Continuação)
PLANO QUE PASSA PELA LT / reta de perfil perp. a lt
ponto auxiliar (M)
PLANO QUE PASSA PELA LT
reta de perfil
perpendicular a linha de terra
X"
M’
M"
A"
X"
A'
s'
V" H"
X X'
(X)
X'
VG
V V’ H H’
s"
(s)
s"
s'
PP
PV
H"
V"
X
s
s
(V) V' V
(H) H H'
A
M
PH
Faz-se necessário o uso de
uma reta e um ponto auxiliar
PLANO PARALELO A LT / reta qualquer conc. A LT
PLANO QUE PASSA PELA LT
reta qualquer concorrente
a linha de terra
PP
PV
X"
M"
M'
A"
A'
H"
s'
s'
V"
s"
s"
X"
X X'
V" H"
(s)
X'
X
(X)
s
V V' H H'
s
(V) V' V
(H) H H'
PH
A
M
Faz-se necessário o uso de
uma reta e um ponto auxiliar
geometria descritiva
eber nunes ferreira
60
5.6.8 RETAS DO PLANO QUALQUER
PLANO QUALQUER / reta horizontal
PLANO QUALQUER
reta horizontal
Q'
Q'
PV
PP
V'
V"
s" Q"
s'
(V)
Qo
A'
V" B"
s"
A"
B
s
V
s'
B'
V
V'
(s)
Qo
Q"
s VG
(Q)
Q
A
Q
PH
No plano Qualquer todas as retas horizontais são paralelas ao traço horizontal do plano.
PLANO QUALQUER / reta frontal
PLANO QUALQUER
reta frontal
Q'
PP
PV
Q'
s'
B'
s"
VG
A’
s'
Q"
B"
A"
H"
Qo
H'
s"
(s)
Qo
H'
s
(H) H
PH
s
H"
(Q)
H
B
A
Q
Q
No plano Qualquer todas as retas frontais são paralelas ao traço vertical do plano.
geometria descritiva
eber nunes ferreira
61
RETAS DO PLANO QUALQUER (Continuação)
PLANO QUALQUER / reta de perfil ort. à LT
PLANO QUALQUER
reta de perfil ortogonal
a linha de terra
V"
V'
PV
PP
V"
A"
A'
Q'
s"
s'
(V)  V'
VG
B'
Q"
s"
Q' s'
Qo
B"
V H'
H"
A
(s)
V  H'
H"
(Q) s
Qo
Q"
(H)  H
s
B
Q
Q
H
PH
No plano Qualquer todas as retas de perfil são paralelas ao traço de perfil do plano.
PLANO QUALQUER / reta qualquer reversa a LT
PLANO QUALQUER
reta qualquer reversa
a linha de terra
V'
Q'
Q"
s"
s'
PV
PP
(Q)
(V)  V'
Qo
B"
B'
Q'
V"
V
V"
H'
s'
A'
Q"
A"
Qo
V
H'
s"
s
(s)
s
H"
Q
(H)  H
H"
B
A
H
Q
PH
geometria descritiva
eber nunes ferreira
62
RETAS DO PLANO QUALQUER (Continuação)
PLANO QUALQUER / reta qualquer conc. a LT
(reta horizontal auxiliar)
PLANO QUALQUER
reta qualquer concorrente
a linha de terra
Q'
PV
PP
Q'
V'a
P"
V" H"
Va
a
V V' H H'
(Q)
(V) V' V
(H) H H'
a"
Qo
(s)
s
V"a
s"
s'
Q"
s'
P'
a'
H" V"
s"
Qo
Q"
Q
s
P
Q
PH
Faz-se necessário o uso de
uma reta e um ponto auxiliar
Quando uma reta qualquer possuir os dois traços coincidentes (isto só acontece na LT),
embora nominalmente sejam dois pontos, geometricamente se constituem em um único ponto, o que
não é suficiente para determinar a pertinência da reta sobre o plano. Assim, faz-se necessária a
utilização de um ponto auxiliar sobre o plano (P) que por sua vez necessita de uma reta auxiliar
(preferencialmente as retas horizontal e frontal do plano).
Utilize as maquetes relacionadas a este assunto.
(Maquetes - Sequência E)
geometria descritiva
eber nunes ferreira
63
5.7 QUADRO SÍNTESE DE PERTINÊNCIA DE RETA A PLANOS
Utilize as maquetes relacionadas a este assunto.
(Maquetes - Sequências A e E)
geometria descritiva
eber nunes ferreira
64
5.7 RETAS DE MÁXIMO DECLIVE (MD) E MÁXIMA INCLINAÇÃO (MI)
São as retas de um plano que formam o maior ângulo possível com os planos Horizontal e/ou
Vertical de projeção respectivamente, ou seja, formam o mesmo ângulo que o plano, ao qual
pertencem, forma com o PV e ou com o PH.
Sendo a reta (i) o traço (interseção) entre os planos genéricos (A) e (B), que formam entre si
um ângulo , podemos fazer as seguintes considerações. (Tomemos  = 45º, por exemplo)
(A)
(u)
(u)
(t)
(t)
(s)
(s)
(i)
(B)
O plano (A) pode conter infinitas retas sobre si. Estas retas poderão formar com o plano (B)
diferentes ângulos que podem variar de 0º a 45º (neste caso o valor de =45º).
A reta (s), perpendicular ao traço entre os planos, forma com o plano (B) um ângulo de 45º.
A reta (t), oblíqua ao traço entre os planos, forma com o plano (B) um ângulo superior a 0º e
inferior a 45º.
A reta (u), paralela ao traço entre os planos, forma um ângulo igual a 0º com o plano (B),
estando, portanto equidistante em relação ao referido plano.
Observando a reta (s), podemos concluir que toda reta pertencente ao plano (A) que formar
um ângulo reto como o traço (i), formará o maior ângulo possível com o plano (B), que é o valor de alfa.
Se esta análise for estendida aos planos que possuem traços sobre o Plano Horizontal de
projeção (PH), podemos afirmar que: toda reta do plano, que formar um ângulo reto com o traço
horizontal também formará o maior ângulo possível com o PH. Estas retas são denominadas de Retas
de Máximo Declive.
VE
RT
IC
AL
PV
(s)
TR
AÇ
O
(s)
TRAÇ
O HO
RIZO
NTAL
PH
RETA DE MÁXIMO DECLIVE
RETA DE MÁXIMA INCLINAÇÃO
Em relação aos planos que possuem traços sobre o Plano Vertical de projeção (PV), podemos
afirmar que: toda reta do plano, que formar um ângulo reto com o traço vertical também formará o
maior ângulo possível com o PV. Estas retas são denominadas de Retas de Máxima Inclinação
geometria descritiva
eber nunes ferreira
65
Todo este raciocínio exemplificado através de planos não projetantes é extensivo aos planos
projetantes em relação ao PH e PV (Os planos projetantes são aqueles perpendiculares aos planos
de projeção). O fato de o plano ser ou não ser projetante interfere apenas na representação em épura.
Observe que nos planos NÃO PROJETANTES, a reta perpendicular ao traço do plano gera
sobre o PH ou PV, uma projeção também perpendicular ao traço.
Já nos planos PROJETANTES, a reta perpendicular ao traço, também é perpendicular ao PH
ou PV, gerando assim, uma projeção pontual sobre o traço correspondente.
PV
RT
IC
AL
(A)
VE
RT
IC
AL
(A)
PV
VE
(s)
(s)
TR
AÇ
O
TR
AÇ
O
(s)
(s)
(A)
(A)
PH
TRAÇ
O HO
TRAÇ
O HO
RIZO
NTAL
RIZO
PH
NTAL
Vejamos estas retas de MD e MI no plano Qualquer.
Em épura a reta de máximo declive de planos não projetantes no PH, é caracterizada por
possuir sua projeção horizontal também perpendicular ao traço horizontal.
(V)
V’
Q'
B'
º
(V)
Q'
90
V’
A'
s'
s'
A'
Qo
B'
H'
V
Qo
V
B
H'
A
s
s
A
º
H
90
(H)
Q
B
Q
(H)
H
Na página seguinte, apresentamos um quadro síntese com todos os Planos e suas
respectivas retas de máximo declive e/ou máxima inclinação.
geometria descritiva
eber nunes ferreira
66
5.7.1 QUADRO SÍNTESE DAS RETAS DE MÁXIMO DECLIVE E MÁXIMA INCLINAÇÃO
- Não existe reta de MI;
- Todas as retas verticais
do plano são retas de MD;
PV
s'
(v)
- Sobre este plano, todas as
retas de MD são perpendiculares
as retas fronto-horizontais.
s
Q
Q'
PV
- Todas as retas verticais
do plano são retas de MD;
Q'
PV
s'
s'
(t)
(v)
- Todas as retas de topo
do plano são retas de MI;
Qo
Qo
s
PH
Q
PH
- Sobre este plano, todas as
retas de MD são perpendiculares
as retas de de topo.
s
Q
PLANO DE TOPO
Q'
Q'
PV
PLANO VERTICAL
Qo
Qo
(f)
s
(t)
s
Q
Q
PH
Q'
PV
PV
s'
(h)
s'
Qo
Qo
s
s
Q
PH
Q
Q'
0º
Q'
PV
9
PV
s'
s'
(q)
Qo
Qo
(q)
PH
PV
Q
º
90
PH
PV
s
s
Q
Q'
s'
(p)
- Sobre este plano, as retas de
MD são perpendiculares a todas
as retas horizontais. As retas de
MI são perpendiculares a todas
as retas verticais
- Todas as retas verticais do
plano são retas de MD;
- Todas as retas de topo do
plano são retas de MI;
- Sobre este plano, as retas de
MD são perpendiculares a todas
as retas horizontais. As retas de
MI são perpendiculares a todas
as retas frontais.
- Sobre este plano todas as retas
de MD são simultaneamente
retas de MI.
V’
PV
- Todas as retas frontais do
plano são retas de MD;
- Todas as retas de topo do
plano são retas de MI;
- Sobre este plano, as retas de
MD são perpendiculares a todas
as retas de topo. As retas de MI
são perpendiculares a todas
as retas frontais.
- Todas as retas verticais do
plano são retas de MD;
- Todas as retas horizontais do
plano são retas de MI;
Q'
(v)
PH
PLANO QUALQUER
s'
PV
PH
PLANO PARALELO A LT
s'
V H’
s
H
Q
PH
Q"
M'
PV
M''
A'
( p)
A''
s
A
geometria descritiva
s''
s'
Q' Q
- Todas as retas de perfil do
plano são retas de MD e MI
simultaneamente.
M
PLANO HORIZONTAL
PH
PLANO FRONTAL
- Sobre este plano, todas as
retas de MI são perpendiculares
as retas fronto-horizontais.
s
PLANO DE PERFIL
PLANO DE PERFIL
- Todas as retas de topo
do plano são retas de MI;
(t)
PLANO DE TOPO
PLANO FRONTAL
- Não existe reta de MD;
s'
Q'
PV
PH
PLANO QUE PASSA P/ LT
OBSERVAÇÕES
PLANO VERTICAL
(ÉPURA)
PLANO QUALQUER
MÁX. INCLINAÇÃO
(ÉPURA)
PLANO PARALELO A LT
MÁXIMO DECLIVE
(PERSPECTIVA)
PLANO QUE PASSA P/ LT
MÁX. INCLINAÇÃO
(PERSPECTIVA)
PLANO HORIZONTAL
MÁXIMO DECLIVE
eber nunes ferreira
67
Se soltarmos uma moeda sobre um plano, o percurso da mesma será correspondente ao de
uma reta de MD. A reta de MD também determina o ângulo que o Plano (X) forma com o PH.
(X)
(X)
O ângulo que a reta (r) forma
com o plano PH é menor do
que o ângulo que (X) forma
com o PH.
(r)
O ângulo que a reta (s) forma
com o plano PH é igual ao
ângulo que (X) forma com o PH.
(s)
PH
PH
O ângulo que uma reta de MD forma com o PH é o mesmo formado pelo plano (X) com o PH.
Se esta reta for uma qualquer será necessário o uso de um método descritivo para o obtenção de sua
VG.
As retas de MD e MI podem ser determinadas sem a necessidade de recorrer aos traços do
Plano. Veja os desenhos abaixo. Uma reta de MD de um plano qualquer definido por seus traços e
outro definido por uma figura triangular. Veja as observações no quadro da página anterior.
B'
Q'
s'
s'
A'
C'
1'
Qo
A
s
s
º
90
º
90
1
B
Q
C
O triângulo (ABC) é uma porção de plano Qualquer. O lado (AC) é uma reta horizontal,
portanto, é paralela ao traço do horizontal do Plano. Se apoiarmos uma reta sobre o triângulo de
forma que a projeção horizontal s seja perpendicular a projeção horizontal AC, podemos afirmar que
(1B) é uma reta de MD da figura.
B'
B'
s'
2'
2'
em VG
A' C'
1'
s'
A'
não é a VG do ângulo
C'
1'
A
B
1
s
A
2
s
1
2
B
C
A figura acima é um telhado de quatro águas. O
segmento (12) é a reta de MD. Por ser uma reta
frontal a projeção vertical expressa a VG do ângulo
com o PH.
geometria descritiva
C
A figura acima é o mesmo telhado de quatro águas
em uma posição que o triângulo (ABC) é um plano
Qualquer. O segmento (12) é a reta de MD. Por ser
uma reta qualquer a projeção vertical não
expressa a VG do ângulo com o PH.
eber nunes ferreira
68
6. SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
Poliedros
Regulares
Tetraedro (4 Faces)
Hexaedro (6 Faces)
Octaedro (8 Faces)
Dudecaedro (12 Faces)
Icosaedro (20 Faces)
Reto
Prisma
Oblíquo
Regular
Sólidos
Geométricos
Irregulares
Reta
Pirâmide
Oblíqua
Regular
Reto
Sólidos de
Revolução
Cone
Oblíquo
Cilindro
Reto
Oblíquo
Esfera
Utilize as maquetes relacionadas a este assunto.
(Maquetes - Sequência A)
geometria descritiva
eber nunes ferreira
69
6.1 ÂNGULOS SÓLIDOS
Um feixe de três semi-retas não coplanares partem de um ponto (P) no espaço. Cada dupla
sucessiva de semi-retas determina o que denominamos "Ângulo Sólido", onde temos  = ângulo da
face e = ângulo diedro.
No exemplo abaixo o ângulo sólido é
denominado ângulo triedro, pois é
formado por três direções.
( r)
( z)
1
( s)
( P)
1
2
3
1
2
3
( v)
( y)
1
( t)
= Ângulo entre (Pr) e (Ps)
= Ângulo entre (Ps) e (Pt)
= Ângulo entre (Pt) e (Pr)
= Ângulo Diedro entre as faces que contém (Pr)
= Ângulo Diedro entre as faces que contém (Ps)
= Ângulo Diedro entre as faces que contém (Pt)
( w)
( x)
(P)
Os ângulos sólidos são formas abertas
ilimitadas. Se o feixe for composto por quatro
direções o ângulo sólido é denominado ângulo
quadraedro. Se forem cinco, ângulo pentaedro
e assim sucessivamente.
A interseção do ângulo sólido com um plano determinará polígonos côncavos ou convexos
classificando assim os ângulos sólidos.
Ângulos das faces iguais entre si determinam ângulos diedros iguais e consequentemente o
ângulo sólido é regular e é convexo. O ângulo sólido possui uma direção denominada eixo que forma
ângulos iguais com cada semi-reta do feixe. Quando o eixo é interceptado por um plano
perpendicular a ele, determinará um polígono regular.
geometria descritiva
eber nunes ferreira
70
6.2 POLIEDROS REGULARES
Poliedro é todo sólido limitado por polígonos planos. Pitágoras e Platão desenvolveram
cálculos sobre os poliedros regulares, e em seguida, Euclides prova que os poliedros
regulares são apenas cinco, e estuda a inscrição deles em uma esfera.
TETRAEDRO (4)
HEXAEDRO (6)
OCTAEDRO (8)
DODECAEDRO (12)
ICOSAEDRO (20)
6.2.1 TETRAEDRO
Poliedro composto de quatro faces iguais ao TRIÂNGULO EQUILÁTERO
(V)
(V)
(C)
h
h
(C)
h
h
(B)
(B)
(A)
0,8167 A
h
RA
TU CE
AL FA
DA
0,8
66
A
0
DA LTU A
FA RA
CE
(A)
PLANIFICAÇÃO
A
0,
7
A 071
D LT
A
A U
FA RA
C
E
A
ALTURA
DA FACE
0,8660 A
0,5773 A
QUADRADO
A/2
A/2
Ângulo Central
Ângulo Diedro
Raio Circunsfera
Raio Insfera
Raio Meiasfera
Volume
Área do Envoltório
geometria descritiva
109º 28'
70º 32'
0,6124 A
0,2041 A
0,3536 A
3
0,1179 A
2
1,7321 A
eber nunes ferreira
71
6.2.2 HEXAEDRO
Poliedro composto de seis faces iguais ao QUADRADO.
HEXÁGONO
REGULAR
A
1,4142 A
Cubo apoiado pela
diagonal do sólido
QUADRADO
A = Aresta
INSFERA
MEIASFERA
Ângulo Central
Ângulo Diedro
Raio Circunsfera
Raio Insfera
Raio Meiasfera
Volume
Área do Envoltório
A
CIRCUNSFERA
70º 32'
90º 00'
0,8660 A
0,5 A
0,7071 A
3
A
2
6A
CIRCUNSFERA
MEIASFERA
INSFERA
PLANIFICAÇÃO
6.2.3 OCTAEDRO
Poliedro composto de oito faces iguais ao TRIÂNGULO EQUILÁTERO. Pode ser
compreendido como sendo duas pirâmides de base quadrada unidas pela base.
Diagonal do
Quadrado
INSFERA
MEIASFERA
PLANIFICAÇÃO
A
geometria descritiva
D
Q iago
ua n
dr al
ad do
o
A
CIRCUNSFERA
A = Aresta
Ângulo Central
Ângulo Diedro
Raio Circunsfera
Raio Insfera
Raio Meiasfera
Volume
Área do Envoltório
90º
109º 28'
0,7071 A
0,4082 A
0,5 A
3
0,4714 A
2
3,4641 A
eber nunes ferreira
72
6.2.4 DODECAEDRO
1,6180 A
2,6185 A
Raio
Circuns.
Apótema
0,9511A
0,5257A
0,8507A
A
0,6882A 0,8507A
0,5878A
DIAGONAL FACE
0,8507A
A
A = Aresta
66 A
1,37
66 A
1,37
DECÁGONO
REGULAR
Ângulo Central
Ângulo Diedro
Raio Circunsfera
Raio Insfera
Raio Meiasfera
Volume
Área do Envoltório
41º 49'
116º 34'
1,4013 A
1,1135 A
1,3092 A
3
7,6631 A
2
20,6457 A
PLANIFICAÇÃO
geometria descritiva
eber nunes ferreira
73
6.2.5 ICOSAEDRO
1,6182 A
Curiosidade
A = Aresta
0,5257A
A
0,5257A
0,8509A
Retângulo Áureo
Triedro de
Retângulos Áureos
0,3091 A
0,3091 A
A/2
A/2
07 A
0,85
82 A
0,68
DECÁGONO
REGULAR
As ligações dos vértices
geram o Icosaedro
PLANIFICAÇÃO
Ângulo Central
Ângulo Diedro
Raio Circunsfera
Raio Insfera
Raio Meiasfera
Volume
Área do Envoltório
geometria descritiva
63º 26'
138º 11'
0,9511 A
0,7558 A
0,8090 A
3
2,1817 A
2
8,6603 A
eber nunes ferreira
74
6.3 POLIEDROS IRREGULARES
PRISMA - Poliedro irregular formado por duas bases poligonais, paralelas e iguais e
por faces laterais que são paralelogramos.
PRISMA RETO
ARESTAS LATERAIS
PERPENDICULARES À BASE
PRISMA REGULAR
PRISMA OBLÍQUO
ARESTAS LATERAIS
OBLÍQUAS À BASE
ALÉM DE RETO POSSUI BASE
POLIGONAL REGULAR
PARALELEPÍPEDO - É o prisma que tem paralelogramos como base. Assim sendo, todas as suas
faces são paralelogramos, possuindo portanto, 6 faces, 12 arestas e 8 vértices. Por possuir faces paralelas
duas a duas, qualquer face pode ser tomada como base.
ORTOEDRO - É o paralelepípedo que
possui suas faces iguais a quadrados
e retângulos. Os ângulos diedros são
sempre retos.
ROMBOEDRO - É o paralelepípedo
que possui as suas faces iguais ao
losango.
TRONCO DE PRISMA - Quando
um prisma é seccionado por um
plano não paralelo a base
PIRÂMIDE - Poliedro irregular tendo por base um polígono e arestas laterais convergentes à
um vértice que é o ápce do sólido, formando faces triangulares..
PIRÂMIDE OBLÍQUA
PIRÂMIDE REGULAR
O EIXO É
PERPENDICULAR À BASE
O EIXO É
OBLÍQUO À BASE
ALÉM DE RETA POSSUI
BASE POLIGONAL REGULAR
eixo=h
eix
TRONCO DE PIRÂMIDE Quando uma pirâmide é secionadas de tal
forma a perder o vértice (ápice) podendo
possuir bases paralelas ou não conforme o
plano secante
o
PIRÂMIDE RETA
h
Eixo - linha que une o centro da base ao ápce da pirâmide
geometria descritiva
eber nunes ferreira
75
6.4 SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO
São sólidos gerados através da rotação de uma figura plana qualquer em torno de um eixo imaginário.
geratriz
diretriz
Sólidos de revolução Regulares
Cilindro - Sólido de revolução gerado através da rotação de um retângulo em torno de um eixo coincidente com
um de seus lados.
geratriz
diretriz
GERATRIZES
PERPENDICULARES
À BASE
GERATRIZES
OBLÍQUAS
À BASE
CILINDRO OBLÍQUO
CILINDRO RETO
PLANIFICAÇÃO
O cilindro é formado por duas bases circulares paralelas e uma superfície cilíndrica. Sua planificação é
portanto dois círculos (bases) e um retângulo onde um dos lados é a altura do sólido (geratriz) e o outro lado é a
retificação da base (circunferência retificada = 3 diâmetro + 1/7 do diâmetro)
D
h
3D+1/7D ou 2r
D
D
D
1/7D
D = DIÂMETRO
geometria descritiva
eber nunes ferreira
76
Cone - Sólido de revolução gerado através da rotação de um triângulo retângulo em torno de um eixo
coincidente com um de seus catetos.
CONE RETO
CONE OBLÍQUO
geratriz
diretriz
O EIXO É
PERPENDICULAR
À BASE
O EIXO É
OBLÍQUO À BASE
Esfera - Sólido de revolução gerado através da rotação de uma semi-circunferência em torno de um eixo
coincidente com o diâmetro.
geratriz
diretriz
Planificação
O cone é formado por uma base circular e uma superfície cônica. Sua planificação é portanto um círculo
(base) e um triângulo mistilíneo onde dois dos lados são a lateral do sólido (geratriz) e o outro lado é um arco de
circunferência que possui como comprimento o perímetro da base e como raio a geratriz.



.
=
=
geometria descritiva
B

.
=
r
RAIO DA BASE
A
g
RAIO = GERATRIZ
.
eber nunes ferreira
77
6.4 EXERCÍCIOS
Represente no DIEDRO as projeções da PIRÂMIDE RETA DE BASE RETANGULAR
conhecendo-se as coordenadas de seus vértices.
(A) (-7 ; 4 ; 1)
(B) (-5 ; ? ; 1)
(C) (-1 ; ? ; 1)
(D) (-3 ; 1 ; 1)
(V) ( ? ; ? ; 6)
0
Anotações:
Utilize as maquetes relacionadas a este assunto.
(Maquetes - Sequência A)
geometria descritiva
eber nunes ferreira
78
Nomeie os pontos projetados em Épura de acordo com a perspectiva.
(V)
(D)
(C)
(E)
(B)
(F)
(A)
PERSPECTIVA ARAMADA
Nomeie os pontos projetados em Épura de acordo com a perspectiva.
(V)
(D)
(E)
(C)
(F)
(B)
(A)
Utilize as maquetes relacionadas a este assunto.
(Maquetes - Sequência A)
geometria descritiva
PERSPECTIVA ARAMADA
eber nunes ferreira
79
Nomeie os pontos projetados em Épura de acordo com a perspectiva.
(V)
(E)
(C)
(D)
(B)
(F)
(A)
PERSPECTIVA ARAMADA
Utilize folhas A4 para representar no triedro os vários sólidos cujas maquetes foram montadas.
Folha A4
30º
30º
geometria descritiva
eber nunes ferreira
80
Utilize folhas A4 para representar no triedro os vários sólidos cujas maquetes foram montadas.
45º
45º
30º
30º
geometria descritiva
eber nunes ferreira
81
Utilize folhas A4 para representar no triedro os vários sólidos cujas maquetes foram montadas.
60º
60º
30º
30º
45º
15º
geometria descritiva
45º
eber nunes ferreira
82
6.6 DUAIS
Os poliedros duais são também chamados recíprocos.
Chama-se dual de um poliedro ao poliedro que se obtém unindo por os centros das faces
consecutivas do primeiro através de retas, ou seja, ao poliedro formado por dois poliedros, um dentro
do outro, de modo que os vértices do sólido interior coincidam com o centro das faces do sólido
exterior.
Dual do tetraedro:
O tetraedro é o poliedro dual do tetraedro.
Dual do cubo:
Consideremos um cubo. Em cada um dos seus vértices
concorrem três faces cujos centros são equidistantes entre si. Unindo
esses três centros obtemos então um triângulo equilátero. Como o
cubo tem oito vértices, é possível formar, da mesma maneira, oito
triângulos equiláteros que constituem um octaedro regular. Por este
motivo, diz-se que o octaedro é o poliedro dual do cubo.
Dual do octaedro:
Em cada vértice do octaedro concorrem quatro faces. Unindo os
centros dessas faces obtemos um quadrado. Procedendo da mesma
forma para as faces que convergem em cada um dos vértices,
obtemos seis quadrados que são as faces do cubo dual do octaedro,
ou seja, o cubo é o poliedro dual do octaedro
Dual do dodecaedro:
Em cada vértice do icosaedro concorrem cinco triângulos.
Unindo os centros desses triângulos, obtém-se um pentágono regular
e, repetindo o processo para cada um dos doze vértices do icosaedro,
obtêm-se doze pentágonos que são as faces de um dodecaedro
regular, ou seja, o dodecaedro é o poliedro dual do icosaedro.
Dual do icosaedro:
E o icosaedro é o poliedro dual do dodecaedro.
geometria descritiva
eber nunes ferreira
83
7. SEÇÃO PLANA
Seção Plana é a interseção de um plano com um sólido. Para se obter a seção plana de um
poliedro teremos que identificar em épura onde o plano intercepta as arestas (ou geratrizes). O
ambiente triédrico facilita este raciocínio em virtude de sete dos oito planos serem projetantes. Assim,
esta identificação fica facilitada.
O único plano não projetante é o Plano Qualquer que é obliquo aos três planos de projeção.
Ele exige um conhecimento mais específico para a realização desta tarefa, ou podemos nos valer dos
métodos descritivos para posicioná-lo de forma que ele se torne projetante. Aí não teremos
dificuldade. Exemplificaremos após o assunto Métodos Descritivos.
Os planos duplamente projetantes no triedro (planos do primeiro grupo: Horizontal, Frontal e
Perfil) geram seções planas em Verdadeira Grandeza, pois estão paralelos a um dos planos de
projeção. Isto não acontece nos demais planos.
Para se obter a Verdadeira Grandeza da seção plana de um sólido pode ser necessário o uso
de um dos métodos descritivos ou das combinações destes. Este assunto será visto posteriormente
ainda neste material didático.
Denominaremos o traço de um plano perpendicular a outro, de
traço projetante, sendo portanto, o resultado do perpendicularismo de
um plano em relação a um plano de projeção.
Observe que as linhas projetantes, ao incidirem perpendicularmente sobre o plano de
projeção, tem suas trajetórias sobre o plano (), o que implica na localização das projeções dos
elementos pertencentes a este plano, sobre o próprio traço projetante.
Quando um plano é projetante, seu traço representa, não somente a si próprio, mas também a
toda infinita superfície plana.
O TRAÇO PROJETANTE RECEBE SOBRE SI TODAS AS PROJEÇÕES DE MESMO NOME, DOS ELEMENTOS
PERTENCENTES AO PLANO.
V'
Vale lembrar que a Geometria Descritiva aqui
apresentada tem o objetivo de fazer a transição do Desenho
Técnico para o Desenho Arquitetônico. O desenho mecânico
certamente exigiria um aprofundamento maior.
Por isso, vamos utilizar o conceito de plano
projetante.
1’ 4’
H'
A'
2’ 3’
D'
C' B'
D
C
4
O processo consiste em determinar os pontos das
arestas que pertencem ao traço onde o plano é perpendicular
ao plano de projeção.
3
VG
1
V
2
A
geometria descritiva
B
eber nunes ferreira
84
PIRÂMIDE REGULAR DE BASE QUADRADA
PLANO HORIZONTAL
PLANO PROJETANTE NO PV E PP.
A seção é composta por retas: de topo e fronto-horizontal
V'
H’
1’ 4’
A'
V"
2’ 3’
D'
C' B'
D
C"
H”
A" B"
3
VG
1
geometria descritiva
D"
1” 2”
C
4
A
4” 3”
V
2
B
eber nunes ferreira
85
PIRÂMIDE REGULAR DE BASE QUADRADA
PLANO FRONTAL
PLANO PROJETANTE NO PH E PP.
A seção é composta por retas: frontal e fronto-horizontal
F”
V'
V"
3’
2’
2” 3”
VG
A'
F
D'
C' B'
1’
4’
D
C
1
3
2
D"
C"
1” 4”
A" B"
4
V
A
geometria descritiva
B
eber nunes ferreira
86
PIRÂMIDE REGULAR DE BASE QUADRADA
PLANO DE PERFIL PLANO PROJETANTE NO PH E PV.
A seção é composta por retas: de topo e de perfil.
P’
V'
V"
2’ 3’
3”
2”
VG
A'
1’
D'
4’
C' B'
A" B"
4”
Po
4
D
D" C"
1”
C
3
V
2
A
geometria descritiva
1
P
B
eber nunes ferreira
87
PIRÂMIDE REGULAR DE BASE QUADRADA
PLANO DE TOPO (PROJETANTE NO PV)
A seção é composta por retas: de topo e qualquer.
V'
V"
T’
3’ 2’
3”
1’ 4’
4”
C' B'
To
A'
D"
C"
2”
1”
A" B"
D'
D
C
4
3
V
T
1
A
geometria descritiva
2
B
eber nunes ferreira
88
PIRÂMIDE REGULAR DE BASE QUADRADA
PLANO VERTICAL (PROJETANTE NO PH)
A seção é composta por retas: horizontal e qualquer.
V’
V'
V"
2”
2’
A'
D'
1’
3’
C' B'
C"
3”
A" B"
1”
Vo
D
D"
1
C
2
V
A
3
B
V
geometria descritiva
eber nunes ferreira
89
PIRÂMIDE REGULAR DE BASE QUADRADA
PLANO PARALELO A LINHA DE TERRA (PROJETANTE NO PP)
A seção é composta por retas: fronto-horizontal e qualquer.
V'
V"
W'
w"
3’
4’
1’
A'
3" 4"
2’
D'
C' B'
D
1" 2"
D"
C"
A" B"
C
4
3
V
1
A
2
B
W
geometria descritiva
eber nunes ferreira
90
PIRÂMIDE REGULAR DE BASE QUADRADA
PLANO QUE PASSA PELA LINHA DE TERRA (PROJETANTE NO PP)
A seção é composta por retas: fronto-horizontal e qualquer.
(1)
(2)
R
1" 2"
R
R
R
V'
V"
w"
VG
1'
2'
1" 2"
3" 4"
R
(4)
(3)
R
R
3'
4'
A'
R
3" 4"
D'
C' B'
D"
C"
A" B"
W W'
D
C
3
4
1
A
geometria descritiva
V
CEN
CO TRAR
MPA
O
SSO
2
B
eber nunes ferreira
91
7.1 EXEMPLOS
Hexaedro / Plano de Topo
4'
1' 3'
2'
1"
2"
3"
3'
4'
2" 4"
X'
2'
1'
3"
A' C'
B'
1"
C"
4"
A"
B" D"
D'
C 3
3
4
2
B 2
D 4
1
A
X
1
Exemplo:
X'
4'
D'
Hexaedro / Plano Vertical
1' 3'
2'
3'
A' C'
1'
4'
2'
3"
B'
C"
2" 4"
2"
3"
1"
4"
B" D"
1"
A"
C 3
1 2
3 4
B 2
D 4
A
geometria descritiva
X
1
eber nunes ferreira
92
Exemplo:
Hexaedro / Plano Paralelo a LT.
1'
4'
2'
3'
4" 3"
1" 2"
W'
W"
3"
A' D'
4'
3'
1'
2'
B' C'
4"
C" D"
1" 2"
A" B"
D
C 3
4
4
3
1
2
A 1
B 2
W
Exemplo:
Pirâmide Regular de Base Hexagonal / Plano Frontal
W"
V'
V"
3'
3"
2'
4'
2"
1" 5"
5'
1'
A'
F'
B'
E'
C' D'
4"
E"
F" D"
A" C"
B"
E
D
F
1
2
3
W
A
V
4
5
C
B
geometria descritiva
eber nunes ferreira
93
Exemplo:
Pirâmide Regular de Base Hexagonal / Plano de Topo
V"
V'
X'
4"
4'
5"
5' 3'
6"
2' 6'
F'
3"
A' E'
B' D'
C'
E"
2"
D"
C"
F"
7"
1' 7'
E
A"
B"
A"
B"
1"
D
6
5
7
F
4
C
V
1
3
2
A
B
X
Exemplo:
Pirâmide Regular de Base Hexagonal / Plano Vertical
V"
V'
X'
2'
2"
3"
3'
F'
A' E'
B' D'
C'
4'
1'
E
E"
D"
C"
F"
4"
1"
D
1
2
F
3
V
A
geometria descritiva
C
4
X
B
eber nunes ferreira
94
Exemplo:
Cone Reto / Plano Paralelo a LT
A'
A"
W'
W"
A
W
Exemplo:
Cone Reto / Plano Frontal
A'
A"
W"
3'
3"
2'
4'
2"
4"
1" 5"
5'
1'
A
W
1
geometria descritiva
2
3
4
5
eber nunes ferreira
95
Exemplo:
Prisma Oblíquo / Plano Horizontal
1' 4'
3" 4"
2' 3'
W'
2' 3'
1' 4'
A' D'
B' C'
4" 3"
1" 2"
C" D"
A" B"
W"
3
4
3
4
D
C
2
1
1
2
A
B
Exemplo:
Prisma Oblíquo / Plano Frontal
4'
1'
3'
4'
D'
1" 2"
1'
A'
C'
2'
4"
B'
2'
3"
3'
C"
1"
4"
2"
1"
3"
2"
D"
B"
A"
C
3
W
1
3
2
4
D
4
B
2
A
1
geometria descritiva
eber nunes ferreira
96
geometria descritiva
F
F'
X'
A
6
E
5
1
1' 5'
A' E'
6'
V
2'
V'
2
4
4'
B
3
D
B' D'
3'
C
C'
E"
PLANO HORIZONTAL
D"
4"
5"
C"
3"
V"
F"
6"
A"
1" 2"
B"
X"
X
F
1'
1
E
F'
E'
2
2'
A
A'
V
V'
3
D
3'
D'
B
B'
4
4'
C
C'
D"
PLANO FRONTAL
E"
1"
3"
X"
C"
4"
2"
V"
F"
B"
A"
Exemplos:
eber nunes ferreira
97
geometria descritiva
X
A'
A
F
F'
1'
1
2
2'
B
3
E
3' 6'
6
V
B'
V'
E'
4' 5'
5
4
C
D
C' D'
X'
E"
PLANO DE TOPO
3"
F" D"
2"
4"
V"
A" C"
5"
1"
6"
B"
D
D'
X'
4'
4
1'
A
1
V
3
C
3'
A' C'
V'
2'
2
B
B'
C"
PLANO HORIZONTAL
3"
2"
V"
D" B"
4"
1"
A"
X'
Exemplos:
eber nunes ferreira
98
geometria descritiva
A
A'
X
1
1'
V
2'
V'
2
C
C'
3
3'
B
B'
PLANO FRONTAL
C"
1" 3"
2"
X"
V"
A" B"
A
A'
X'
1
1'
V
V'
3
C
C'
3'
2
2'
B
B'
C"
PLANO HORIZONTAL
3"
V"
1"
A"
2"
B"
Exemplos:
eber nunes ferreira
99
geometria descritiva
X
A
1
D
1'
A'
D'
2
2'
V
V'
3
3'
4'
B
4
C
C' B'
D"
PLANO FRONTAL
C"
1"
2"
4"
3"
X"
V"
A" B"
D
D'
Xo
X'
A
A'
V
1
1'
V'
2
C
2'
C'
3
4
4'
3'
B
X
B'
C"
1"
2"
D"
V"
OBSERVE QUE O ÂNGULO DE "X" COM A L.T. É 45º
ISTO FAZ COM QUE AS PROJEÇÕES HORIZONTAL
E DE PERFIL SEJAM EXATEMENTE IGUAIS.
PLANO VERTICAL
3"
B"
4"
A"
Exemplos:
eber nunes ferreira
100
geometria descritiva
X
A
6
D
6'
D' A'
X'
5'
5
1
1'
X Y
X'
Y'
2
2'
4
4'
B
3
C
3'
C' B'
C" D"
5" 4"
3" 6"
PLANO PARALELO A LINHA DE TERRA
Y"
X"
1" 2"
1"
X"
A" B"
D
D'
6
5
X X'
5'
6'
A
A'
1
X Y
1'
C
4
Y'
4'
X'
C'
2
3
3'
2'
B
B'
C"
4"
D"
PLANO QUE PASSA PELA LINHA DE TERRA
5"
Y"
3" 6"
X"
B"
2"
1"
A"
X"
Exemplos:
eber nunes ferreira
101
geometria descritiva
X
A
1'
A'
1
2
6'
2'
6
D
D'
X Y
3 5
3'
5'
Y'
X'
B
B'
4
4'
C
C'
D"
PLANO FRONTAL
C"
Y"
4" 1"
X"
5"
6"
2"
3"
A"
X"
B"
A
A'
D
D'
X Y
Y'
X'
B
B'
4
X
3
2
1
Xo
4'
3' 1'
2'
X'
C
C'
D"
PLANO DE PERFIL
C"
1"
4"
2"
X"
Y"
A"
3"
B"
Exemplos:
eber nunes ferreira
102
geometria descritiva
2
12
X
1
1'
3
11
2' 12'
3' 11'
4
O1
10
O'1
4' 10'
O'2
5
O2
9
5' 9'
6
8
6'
7
8'
7'
X'
10"
PLANO DE TOPO
11"
9"
12"
8"
O"1
1"
7"
O"2
2"
6"
3"
5"
4"
X'
1
4
1' 4'
O1
O2
O'1
O'2
2
3
2' 3'
4" 3"
O"2
PLANO HORIZONTAL
1" 2"
O"1
X"
Exemplos:
eber nunes ferreira
103
X'
geometria descritiva
V
V'
4
3 5
X
4'
5'
2'
2 6
3'
6'
7'
1 7
1'
PLANO VERTICAL
3"
4"
5"
2"
6"
V" O"
1"
7"
1
O1
4
1'
O'1
4'
3
2
O2
2'
O'2
3'
3" 4"
PLANO PARALELO A LINHA DE TERRA
O"1
O"2
1" 2"
X"
Exemplos:
eber nunes ferreira
104
geometria descritiva
eber nunes ferreira
105
X
1'
1
2
12
2' 12'
3
11
3' 11'
4' 10'
V'
4
9
5
V O
10
O'
6' 8'
5' 9'
7
6
8
7'
X'
PLANO DE TOPO
10"
12"
11"
9"
8"
1"
7"
O"
6"
V"
3"
2"
5"
4"
a'
X
c
b a
b'
c'
7
7'
d
1
1'
d'
2
2'
3
4
5'
V
4'
3'
6'
X'
5
O
6
O' V'
e
e'
7"
O"
6"
a"
b"
c"
d"
e"
PLANO DE TOPO
1"
5"
2"
4"
3"
V"
8. MÉTODOS DESCRITIVOS
Vários problemas da Geometria Descritiva são solucionados com maior facilidade ao usarmos
os métodos descritivos. Eles valem-se de uma alteração do sistema (planos ortoédricos) ao redor do
objeto ou da alteração da posição do objeto em relação aos planos de projeção. O objetivo principal é
a obtenção da projeção em Verdadeira Grandeza através do paralelismo entre o objeto e o plano de
projeção.
São três os métodos descritivos: Rebatimento, Rotação e Mudança de Plano.
Rebatimento - consiste girar o plano que contém uma
figura (ou outro ente geométrico) para que ele coincida ou
fique paralelo com um dos planos de projeção. Este giro
se dá ao redor de uma reta do plano que recebe o nome de
charneira. (As retas projetantes são as mais utilizadas).
Os traços do plano podem ser utilizados como charneira.
Neste caso após o rebatimento o plano que contém a
figura coincidirá com o plano de projeção.
PV
TO
EN V
IM E P
T
BA BR
RE SO
VG
PH
VG
O
ENT
ATIM
REB BRE PH
SO
MUDANÇA DE PV
PV
PV1
Mudança de Plano - consiste em mudarmos os Planos
Horizontal e/ou Vertical de projeção para obtermos novas
projeções. (É muito utilizado no desenho arquitetônico)
PH
eixo
PV
Rotação - consiste em girarmos um objeto em torno de
um eixo (preferencialmente perpendicular a um dos
planos de projeção) buscando uma nova posição do
mesmo.
PH
geometria descritiva
eber nunes ferreira
106
8.1 REBATIMENTO
Rebatimento - consiste girar o plano que contém uma figura (ou outro ente geométrico) para
que ele coincida ou fique paralelo com um dos planos de projeção. Este giro se dá ao redor de uma
reta do plano que recebe o nome de charneira. Nos exemplos abaixo foram utilizados: o traço
horizontal para o Rebatimento sobre o PH, traço vertical para o Rebatimento sobre o PV e o traço de
perfil para o Rebatimento sobre o PP.
PV
PV
PV
VG
VG
Ch
ar
ne
ra
ira
i
ne
ar
Ch
Ch
PH
ar
ne
ira
VG
PH
REBATIMENTO SOBRE PH
O Rebatimento promove
a igualdade das cotas.
PH
REBATIMENTO SOBRE PV
O Rebatimento promove
a igualdade dos afastamentos.
REBATIMENTO SOBRE PP
O Rebatimento promove
a igualdade das abcissas.
Os planos, Horizontal, Frontal e Perfil não necessitam do Rebatimento quando o objetivo é a
Verdadeira Grandeza das figuras a eles pertencentes. Todo e qualquer objeto pertencente ao plano
estará projetado em VG nos respectivos planos de projeção com os quais eles são paralelos.
No desenho abaixo temos duas charneiras distintas para obtenção das VGs.
RO
TRA O
CEN PASS
M
CO
3' 2'
R
T'
3' 2'
1' 4'
1' 4'
R
R
R
A'
Charneira
To
(3)
(4)
CE
CO NTR
MP AR
AS O
SO
V'
V'
3' 2'
D'
C'
D
B'
C
R
3
4
R
3
VG
VG
DE
V3
V
V
2
(2)
1
R
(1)
T
geometria descritiva
R
A
2
2
B
VG
V
DE
VG DA FACE LATERAL
eber nunes ferreira
107
8.1.1 EXEMPLOS
PIRÂMIDE REGULAR DE BASE QUADRADA
PLANO DE TOPO (PROJETANTE NO PV)
VG
REBATIMENTO DA SEÇÃO
SOBRE O PH.
CONSERVAM-SE OS
ASFASTAMENTOS.
V'
V"
RO
TRA O
CEN PASS
M
CO
T'
3' 2'
3''
4''
1' 4'
2''
1''
C' B'
3' 2'
R
R
1' 4'
R
To
R
(4)
(3)
A'
D'
D" C"
D
A" B"
C
R
R
4
VG
3
V
T
(2)
1
R
(1)
R
A
2
B
A SEÇÃO É COMPOSTA POR RETAS: DE TOPO E QUALQUER.
geometria descritiva
eber nunes ferreira
108
PIRÂMIDE REGULAR DE BASE QUADRADA
PLANO VERTICAL (PROJETANTE NO PH)
REBATIMENTO DA SEÇÃO
SOBRE O PV.
VG
CONSERVAM-SE AS COTAS
RO
TRA O
CEN PASS
M
CO
(2)
V’
V'
V"
2”
2’
R
VG
A'
(3)
3
R
(1)
R
2
R
D'
1’
3’
C' B'
C"
3”
A" B"
1”
Vo
R
D"
1
R
D
1
C
2
V
A
3
B
V
A SEÇÃO É COMPOSTA POR RETAS: HORIZONTAL E QUALQUER.
geometria descritiva
eber nunes ferreira
109
PIRÂMIDE REGULAR DE BASE QUADRADA
PLANO PARALELO A LINHA DE TERRA (PROJETANTE NO PP)
VG
REBATIMENTO DA SEÇÃO
SOBRE O PV.
VG
CONSERVAM-SE AS ABCISSAS.
(1)
(2)
R
1" 2"
R
R
R
VG
3" 4"
R
(4)
(3)
R
O
AR SO
R
NT AS
CE OMP
C
V"
R
R
V'
W'
w"
3’
4’
1’
A'
3" 4"
2’
D'
C' B'
D
1" 2"
D"
C"
A" B"
C
4
3
V
1
A
2
B
W
A SEÇÃO É COMPOSTA POR RETAS: FRONTO-HORIZONTAL E QUALQUER.
geometria descritiva
eber nunes ferreira
110
PIRÂMIDE REGULAR DE BASE QUADRADA
PLANO QUE PASSA PELA LINHA DE TERRA (PROJETANTE NO PP)
REBATIMENTO DA SEÇÃO
SOBRE O PV.
CONSERVAM-SE AS ABCISSAS.
(1)
(2)
R
1" 2"
R
R
R
V'
V"
w"
VG
1’
2’
1" 2"
3" 4"
R
(4)
(3)
R
R
3’
4’
A'
R
3" 4"
D'
C' B'
D"
C"
A" B"
W W'
D
C
3
4
1
A
V
CEN
CO TRAR
MPA
O
SSO
2
B
ATENÇÃO:
O REBATIMENTO PRODUZ UMA SOBREPOSIÇÃO DE PROJEÇÕES VERTICAIS
COM A FIGURA REBATIDA.
A SEÇÃO É COMPOSTA POR RETAS: FRONTO-HORIZONTAL E QUALQUER.
geometria descritiva
eber nunes ferreira
111
REBATIMENTO DO PLANO (X) SOBRE O PH / TRAÇO HORIZONTAL = CHARNEIRA
H'
E'
G'
F'
X'
3'
4'
2'
D'
A'
1' 5'
C'
B'
X'R
C G
4
(4)R
(5)R
5
D H
VG
B F
3
(3)R
1
(1)R
2
(2)R
A
X
Ch
E
X'
3'
Seção Plana isolada do sólido
4'
(ESCALA REDUZIDA)
2'
1' 5'
X'R
(4)R
4
(5)R
5
VG
3
(3)R
1
(1)R
2
(2)R
geometria descritiva
X
Ch
eber nunes ferreira
112
REBATIMENTO DO PLANO (X) SOBRE O PV / TRAÇO VERTICAL = CHARNEIRA
(3)R
(2)R
XR
VG
H'
(1)R
E'
G'
F'
X'
3'
Ch
(4)R
(5)R
4'
2'
D'
C'
B'
A'
1' 5'
C G
4
5
D H
B F
3
1
2
A
X
(3)R
E
(2)R
XR
VG
X'
(1)R
3'
Seção Plana isolada do sólido
(ESCALA REDUZIDA)
Ch
(4)R
(5)R
4'
2'
1' 5'
4
5
3
1
2
X
geometria descritiva
eber nunes ferreira
113
REBATIMENTO DO PLANO (X) SOBRE O PV / TRAÇO VERTICAL = CHARNEIRA
(1)R
VG
C' G'
(2)R
G"
C"
(3)R
X'
Ch
D' H'
B' F'
3'
F" H"
B" D"
3" 2"
2'
X"
1'
A'
E G
H
1"
E"
A"
E'
F
2
3
1
X
(1)R
A C
D
B
VG
(2)R
(3)R
Seção Plana isolada do sólido
X'
(ESCALA REDUZIDA)
Ch
3'
3" 2"
2'
X"
1'
E"
1"
2
3
1
X
geometria descritiva
eber nunes ferreira
114
REBATIMENTO DO PLANO (X) SOBRE O PH / TRAÇO HORIZONTAL = CHARNEIRA
G"
C' G'
C"
X'
D' H'
B' F'
3'
F" H"
B" D"
3" 2"
2'
X"
1'
A'
E"
E G
H
1"
A"
E'
F
2
3
1
Ch
X
(1)R
A C
D
B
VG
(2)R
(3)R
X'
Seção Plana isolada
do sólido
3'
2'
3" 2"
X"
(ESCALA REDUZIDA)
1"
1'
2
3
1
Ch
X
(1)R
VG
(3)R
geometria descritiva
(2)R
eber nunes ferreira
115
REBATIMENTO DO PLANO (X) SOBRE O PV / TRAÇO VERTICAL = CHARNEIRA
(2)R
(1)R
Ch
X'
E' H'
1'
F' G'
2'
4'
VG
(3)R
(4)R
A'
D'
3'
B' C'
D
H
C G
1 4
2 3
A E
B F
(2)R
(1)R
X
Ch
X'
Seção Plana isolada do sólido
(ESCALA REDUZIDA)
1'
2'
4'
3'
VG
(3)R
(4)R
1 4
2 3
X
geometria descritiva
eber nunes ferreira
116
REBATIMENTO DO PLANO (X) SOBRE O PH - TRAÇO HORIZONTAL = CHARNEIRA
X'
H'
D'
4' E'
A'
G'
C'
F'
3'
B'
1'
2'
C
(1)R
G
1
D
4
H
B
X'R
2
F
(2)R
A
(4)R
3
Ch
X
VG
E
X'
3'
4'
(3)R
Seção Plana isolada do sólido
1'
(ESCALA REDUZIDA)
(1)R
2'
1
4
X'R
2
(2)R
3
(4)R
VG
Ch
X
(3)R
geometria descritiva
eber nunes ferreira
117
REBATIMENTO DO PLANO (X) SOBRE O PV / LINHA DE TERRA = CHARNEIRA
(1)R
REBAT
IMEN
TO
SO
BR
E
(2)R
VG
A' D'
(4)R
B'
C'
C" D"
X"
O
PV
A" B"
(3)R
1'
1" 2"
2'
4'
3" 4"
3'
Ch
V'
D
X X'
V"
C
3
4
A
B
1
2
V
(1)R
(2)R
VG
(4)R
Seção Plana isolada do sólido
REBAT
IMEN
TO
SO
BR
E
X"
O
PV
(3)R
1'
1" 2"
2'
(ESCALA REDUZIDA)
4'
3" 4"
3'
Ch X X'
4
1
geometria descritiva
3
2
eber nunes ferreira
118
8.2 MUDANÇA DE PLANO
Na Mudança de Plano, o objeto permanece fixo. O sistema é que se modifica ao redor do
objeto. Podemos alterar o PV ou PH mantendo-os perpendiculares entre si. A alteração pode ser
sucessiva, mas não simultânea. A Linha de Terra é a interseção do PH e PV, por isto, este processo
determinará uma nova linha de terra.
LINHA DE TERRA ORIGINAL
LINHA DE TERRA NA 1ª MUDANÇA
LINHA DE TERRA NA 2ª MUDANÇA
(Um par de barrinhas a mais)
(Dois pares de barrinhas a mais)
Utilizaremos as abreviações:
MPH para Mudança de Plano Horizontal
MPV para Mudança de Plano Vertical
MPV
PV
PV1
PV
PH1
MPH
PH
PH
O desenho arquitetônico utiliza o conceito da Mudança de Plano
Vertical para construção das vistas e cortes. Logicamente que a disposição na
prancha vale-se de maior liberdade.
geometria descritiva
eber nunes ferreira
119
8.2.1 MUDANÇA DE PLANO DE PLANO VERTICAL
MUDANÇA DE PV
MUDANÇA DE PV
PV
PV
A'
PV1
PV1
A'1
(A)
ct
ct
s'
s'1
V.G.
(s)
A
s
PH
PH
MPV
PV
PV1
A'
ct
MPV
A
PH
ct
A'1
Em épura a mudança de plano vertical deve seguir os seguintes procedimentos:
- escolha convenientemente a posição da nova linha de terra
- traçar as novas linhas de chamadas à partir da projeção horizontal
- transporte as cotas correspondentes
geometria descritiva
eber nunes ferreira
120
8.2.1 MUDANÇA DE PLANO DE PLANO HORIZONTAL
PV
PV
VG
s1
af
A'
s'
A1
(s)
PH1
PH1
(A)
af
s
A
PH
PH
MUDANÇA DE PH
MUDANÇA DE PH
PV
A1
PH1
af
PH
MPH
A'
MPH
af
A
Em épura a mudança de plano horizontal deve seguir os seguintes procedimentos:
- escolha convenientemente a posição da nova linha de terra
- traçar as novas linhas de chamadas à partir da projeção vertical
- transporte os afastamentos correspondentes
geometria descritiva
eber nunes ferreira
121
ORGANOGRAMA DE MUDANÇA DE PLANO APLICADO ÀS RETAS
q
t
h
MPH
MPV
f
MPV
v
MPH
p
fh
fh
t - reta de topo
h - reta horizontal
q - reta qualquer
p - reta de perfil
f - reta frontal
v - reta vertical
fh - reta fronto-horizontal
MPV - Mudança de Plano Vertical
MPH - Mudança de Plano Horizontal
ORGANOGRAMA DE MUDANÇA DE PLANO APLICADO AOS PLANOS
Q
H
T
MPV
MPH
MPH
V
F
MPV
// à LT
P/p/ LT
P
P
H - PLANO HORIZONTAL
T - PLANO DE TOPO
Q - PLANO QUALQUER
V - PLANO VERTICAL
F - PLANO FRONTAL
P - PLANO DE PERFIL
// à LT - PLANO PARALELO A LINHA DE TERRA
P / p / LT - PLANO QUE PASSA PELA LINHA DE TERRA
MPV - Mudança de Plano Vertical
MPH - Mudança de Plano Horizontal
geometria descritiva
eber nunes ferreira
122
t - reta de topo
q
t
h
MPH
f
MPV
h - reta horizontal
q - reta qualquer
p - reta de perfil
f - reta frontal
v - reta vertical
fh - reta fronto-horizontal
MPV - Mudança de Plano Vertical
MPH - Mudança de Plano Horizontal
v
MPV
MPH
p
fh
fh
Nos exemplos abaixo temos a obtenção da Verdadeira Grandeza da figura plana através da
transformação das retas. O objetivo é transformar uma reta qualquer em reta projetante, topo ou
vertical, o que determina um plano Horizontal ou Frontal respectivamente.
O organograma de mudança de plano aplicado aos planos da página anterior também é
válido aos mesmos exemplos.
MPH
3ª Mudança
B'
C3
FIGURA DEFINE UM
PLANO HORIZONTAL
C'2
(AB) qualquer
VG
A'
(AB) de topo
C'
A3
FIGURA DEFINE UM
PLANO DE TOPO
B3
A'2B'2
FIGURA DEFINE UM
PLANO QUALQUER
(AB) de topo
B1
MPV
2ª Mudança
FIGURA DEFINE UM
PLANO QUALQUER
FIGURA DEFINE UM
PLANO QUALQUER
C
A
C1
B'
B
A1
A'1
C'1
(AB) frontal
(AB) horizontal
A'
MPV
1ª Mudança
(AB) vertical
MPH
1ª Mudança
C'
B'1
(AB) qualquer
C
A
FIGURA DEFINE UM
PLANO QUALQUER
(AB) vertical
B'3
FIGURA DEFINE UM
PLANO VERTICAL
A2 B2
MPH
2ª Mudança
A'3
VG
C2
C'3
B
geometria descritiva
FIGURA DEFINE UM
PLANO FRONTAL
MPV
3ª Mudança
eber nunes ferreira
123
8.2.3 EXEMPLOS
Exemplos de Mudança de Plano aplicada aos sólidos.
B'
A'
E' F'
D'
C'
E
MP
V
A
C
D
B
B
C
C'1
F
E'1
D'1
B'1
V1
H
MP
F'1
A'1
A1
F1
V'
B1
E1
C1
D1
F'
A' E'
B' D' C'
E
D
F
C
V
A
geometria descritiva
B
eber nunes ferreira
124
EXEMPLO
1'2
2'2
O uso dos objetos no Primeiro Diedro determinam as
projeções horizontais sempre do mesmo lado inferior da linha
de terra, ou seja do lado das barrinhas.
8'2
A'2
B2
3'2
H'2
C2'
7'2
4'2
G'2
2
V'
6'2
5'2
2
D'
F'2
E'2
21
31
B1
C1
11
D1
41
A1
PV
M
V1
51
81
E1
H1
71
61
G1
F1
MPH
V'
D'
E'
C'
F'
B'
4'
G'
5'
A'
3'
H'
6'
2'
7'
1'
F
6
E5
8'
G
D
7
4
V
H
8
C
A
geometria descritiva
1
B
3
2
eber nunes ferreira
125
EXEMPLO
Mudança de Plano utilizada para determinação da VG da Seção Plana.
31
21
MPH
VG
11
41
H'
51
E'
G'
G"
F'
H"
X'
F"
E"
3"
3'
4"
4'
2"
2'
D'
C'
B'
A'
1' 5'
C"
D"
5"
B"
1"
A"
C G
4
5
D H
3
B F
1
2
X
geometria descritiva
A
E
eber nunes ferreira
126
Transformação do Plano Qualquer em Plano de Topo através de Mudança de Plano
O plano Qualquer poderia ter sido transformado em Plano Vertical, no entanto, a VG da seção plana seria a mesma.
P'
Q'
O ponto (P) é auxiliar e pode pertencer a
qualquer parte do Plano (Q). No entanto, é
mais fácil utilizar um ponto pertencente ao
Traço Vertical Q' visto que o plano Qualquer
não projetante e exige retas auxiliares para
determinar um ponto sobre sua superfície.
4’
5’
3’
6’
2’
1’
Q0
F’
A’
E’
B’
D’
C’
P
MPV
E
D
5
Q
4
F
6
D’
3
C
C’
E’
1
2
1’
A
B
P'1
F’
3’
4’
B’
Q'1
5’
2’
6’
A’
1’
MPH
3
2
4
VG
1
5
6
Seção plana em VG através de Mudança de Plano
geometria descritiva
eber nunes ferreira
127
EXEMPLO
Transformação do Plano Qualquer em Plano de Topo através de Mudança de Plano.
A VG da seção foi obtida através do Rebatimento.
P'
Q'
4’
5’
3’
6’
2’
1’
Q0
F’
A’
E’
B’
D’
C’
P
E
D
VG da abertura
angular de
(Q) com o PH
5
4
F
Q
6
D’
3
C
C’
E’
1
2
1’
A
B
R
F’
3’
4’
B’
)
)R
(1
(6
P'1
5’
2’ 6
’
Q'1
A’
VG
(5
)
R
(2
)
R
(4
)R
)R
(3
geometria descritiva
eber nunes ferreira
128
EXEMPLOS
A inclinação do telhado na vista frontal (projeção vertical) expressa um ângulo que não está
em Verdadeira Grandeza. A MUDANÇA DE PLANO permite determinar o ângulo
geometricamente correto.
Exercício Proposto
(ESCALA REDUZIDA)
Ângulo Irreal
Ân
gu
lo
em
VG
(Aparenta ser maior)
geometria descritiva
eber nunes ferreira
129
EXEMPLO
A melhor posição da cobertura do edifício dado pelo paralelepípedo abaixo é a seção
promovida pelo plano que contém as retas (r) e (s). Assim, a cobertura teria a melhor posição
possível para uso de placas de aquecimento solar na busca de maior eficiência energética.
Complete a épura e determine a nova cobertura.
Exercício Proposto
Considere a altura do edifício com 7,5m na escala 1/100
Faça Mudança de Plano Vertical mantendo o edifício afastado
1m do novo PV.
P'
(ESCALA REDUZIDA)
s'
r'
Q'
45º
60º
H'
E'
G'
r
3'
CG
s
F'
DH
2'
BF
s'
H'
45º
1'
D'
A'
r'
V'
Q0
4'
MEDIDAS TRANSPORTADAS
DA NOVA PROJEÇÃO VERTICAL
AE
V
C'
B'
P
60º
3
CG
s
H
4
DH
r
2B
F
Q
AE
1
Q01
1'4'
2'3'
Q'1
geometria descritiva
P'1
eber nunes ferreira
130
8.3 ROTAÇÃO
PV
eixo
Rotação - consiste em girarmos um objeto em
torno de um eixo, preferencialmente
perpendicular a um dos planos de projeção,
buscando uma nova posição do mesmo.
PH
eixo vertical
São três os elementos necessários para a execução da Rotação:
a- Eixo de Rotação, preferencialmente reta de topo, vertical ou fronto-horizontal. Outras retas
exigirão uso do método descritivo Mudança de Plano para torná-las projetantes.
b- Raio de Rotação, segmento de reta perpendicular ao eixo (para eixos projetantes, o raio será
sempre uma reta paralela a no mínimo um dos planos de projeção)
a- Amplitude da rotação, abertura angular do deslocamento da projeção rotacionada
PV
PV
eixo
o
eix
PH
eixo de topo
PH
eixo fronto-horizontal
geometria descritiva
eber nunes ferreira
131
ORGANOGRAMA DE ROTAÇÃO APLICADO ÀS RETAS
q
COTAS
IGUAIS
t
AFASTAMENTOS
IGUAIS
EIXO
DE
TOPO
h
v
f
EIXO
VERTICAL
EIXO
DE
TOPO
EIXO
VERTICAL
p
ABCISSAS
IGUAIS
fh
fh
t - reta de topo
h - reta horizontal
q - reta qualquer (NÃO POSSUI V.G.)
p - reta de perfil
f - reta frontal
v - reta vertical
fh - reta fronto-horizontal
EIXO DE RETA VERTICAL
EIXO DE RETA DE TOPO
RETA QUALQUER EM RETA FRONTAL UTILIZANDO EIXO DE RETA VERTICAL
EIXO CONCORRENTE A
EXTREMIDADE DO SEGMENTO
EIXO CONCORRENTE AO
PROLONGAMENTO DO SEGMENTO
e'
e'
B'
B'
B'1
V.G
.
V.G
.
B'1
A'
A'
A'1
A'1
B
e
A A1
A1
B1
A
B1
e
B
geometria descritiva
eber nunes ferreira
132
EIXO E O SEGMENTO
SÃO RETAS REVERSAS
EIXO DE RETA VERTICAL
t
q
h
EIXO DE RETA DE TOPO
v
f
p
e'
fh
fh
ORGANOGRAMA DE ROTAÇÃO
APLICADO ÀS RETAS
A'
A'1
V.G
.
B'
B'1
R
IA
XIL
P
U
AA
H
LIN
A
e
B
P1
LINHA AUXILIAR
A1
B1
PA = P1 A1
USO DE LINHA AUXILIAR
(PROLONGAMENTO DO SEGMENTO AB)
E DO PONTO AUXILIAR 1
O SEGMENTO DE RETA PERPENDICULAR É UMA RETA
QUE MEDE A DISTÂNCIA ENTRE A RETA QUALQUER DADA
E O EIXO DE RETA VERTICAL
geometria descritiva
eber nunes ferreira
133
RETA QUALQUER EM RETA DE PERFIL UTILIZANDO EIXO DE RETA VERTICAL
EIXO CONCORRENTE A
EXTREMIDADE DO SEGMENTO
EIXO CONCORRENTE AO
PROLONGAMENTO DO SEGMENTO
e'
e'
B'
B'
B'1
B'1
A'
A'1
A'
B
e
e
A
A
A1
B
B1
B1
EIXO DE RETA VERTICAL
t
q
h
EIXO DE RETA DE TOPO
EIXO E O SEGMENTO
SÃO RETAS REVERSAS
v
f
e'
p
fh
fh
A'
ORGANOGRAMA DE ROTAÇÃO
APLICADO ÀS RETAS
A'1
B'
B'1
B1
R
IA
XIL
P
A
NH
AU
LI
A1
A
PA = P1 A1
O SEGMENTO DE RETA PERPENDICULAR É UMA RETA
QUE MEDE A DISTÂNCIA ENTRE A RETA QUALQUER DADA
E O EIXO DE RETA VERTICAL
P1
LINHA AUXILIAR
e
B
USO DE LINHA AUXILIAR
(PROLONGAMENTO DO SEGMENTO AB)
E DO PONTO AUXILIAR 1
geometria descritiva
eber nunes ferreira
134
RETA QUALQUER EM RETA HORIZONTAL UTILIZANDO EIXO DE RETA DE TOPO
EIXO CONCORRENTE A
EXTREMIDADE DO SEGMENTO
EIXO CONCORRENTE AO
PROLONGAMENTO DO SEGMENTO
B'
A'
e' A'
B'1
e'
A'1
B'1
B'
A
VG
A
VG
e
A1
e
B
B1
B
B1
EIXO E O SEGMENTO
SÃO RETAS REVERSAS
USO DE LINHA AUXILIAR
(PROLONGAMENTO DO SEGMENTO AB)
E DO PONTO AUXILIAR 1
EIXO DE RETA VERTICAL
t
q
h
EIXO DE RETA DE TOPO
v
f
P'A' = P'1 A'1
A'1
LINHA AUXILIAR
p
B'1
P'1
fh
fh
ORGANOGRAMA DE ROTAÇÃO
APLICADO ÀS RETAS
B'
e'
A'
P'
LIN
HA
AU
XIL
IAR
O SEGMENTO DE RETA PERPENDICULAR É UMA RETA
QUE MEDE A DISTÂNCIA ENTRE A RETA QUALQUER DADA
E O EIXO DE RETA VERTICAL
B
B1
VG
e
A
geometria descritiva
A1
eber nunes ferreira
135
RETA QUALQUER EM RETA DE PERFIL UTILIZANDO EIXO DE RETA DE TOPO
EIXO CONCORRENTE A
EXTREMIDADE DO SEGMENTO
EIXO CONCORRENTE AO
PROLONGAMENTO DO SEGMENTO
B'
A'
e' A'
e'
A'1
B'
B'1
B'1
A
A1
A
e
B
B1
B
B1
e
EIXO E O SEGMENTO
SÃO RETAS REVERSAS
LINHA AUXILIAR
USO DE LINHA AUXILIAR
(PROLONGAMENTO DO SEGMENTO AB)
E DO PONTO AUXILIAR 1
P'A' = P'1 A'1
P'1
B'
e'
A'
A'1
P'
EIXO DE RETA VERTICAL
q
EIXO DE RETA DE TOPO
LIN
HA
AU
XIL
IAR
t
h
p
B'1
fh
B
B1
v
f
fh
ORGANOGRAMA DE ROTAÇÃO
APLICADO ÀS RETAS
e
A
A1
O SEGMENTO DE RETA PERPENDICULAR É UMA RETA
QUE MEDE A DISTÂNCIA ENTRE A RETA QUALQUER DADA
E O EIXO DE RETA VERTICAL
geometria descritiva
eber nunes ferreira
136
EXEMPLOS
er
qu
al
qu
ROTAÇÃO DA RETA QUALQUER
horizont
B'
A'
EIXO DE RETA VERTICAL
t
q
e'1
e'2
al
A'1 B'1
A'2 B'2
B'2
V.G.
A'2
B2
V.G.
A2
EIXO DE RETA DE TOPO
h
v
f
p
fh
fh
ORGANOGRAMA DE ROTAÇÃO
APLICADO ÀS RETAS
A
A1
.
VG
e1
e2
C'1
B'
e'2
A'
A'2
ÇÃ
e'1
B2
2ª RO
TA
B'2
V.G.
C'1
O
A'1
B1
B
ROTAÇÃO DE FIGURA PLANA
B'1
C'
e'3
A'3 B'3
C'3
A2
C1
C
A
A1
VG
B1
B
e1
e2
B2
B3
A2
C2
geometria descritiva
V.G.
V.G.
e3
V.G.
A3
C3
eber nunes ferreira
137
ROTAÇÃO DA RETA QUALQUER
q
EIXO DE RETA VERTICAL
t
EIXO DE RETA DE TOPO
h
v
f
p
fh
fh
A'2
VG
ORGANOGRAMA DE ROTAÇÃO
APLICADO ÀS RETAS
B'2
B'2
A'2
VG
e'2
B'1
nta
l
VG
l
e'1
zo
nta
B'
fro
o
front
A'
A'1
i
or
h
-
e2
e1
A1
B1
A2
B2
V.G.
A2
B2
A
qu
al
qu
e
r
B
geometria descritiva
eber nunes ferreira
138
EXEMPLO
Rotação usando eixo de topo
F'
A' E'
V'
B' D'
V'
C'
F'
A' E'
B'
D'
C'
e'
e
E
D
D
E
F
F
C
V
C
V
A
geometria descritiva
B
B
A
eber nunes ferreira
139
EXEMPLO
Rotação usando eixo de topo
E'
A'
D'
5'
1'
B'
C'
4'
2'
3'
5'
4'
1'
2'
3'
e'
E'
A'
D'
B'
C'
D 4
D
C 3
4
3
C
E
E 5
5
e
B 2
A
1
geometria descritiva
B
2
A
1
eber nunes ferreira
140
9. PLANIFICAÇÃO
A planificação é o procedimento de "desmontar o sólido com todas as superfícies em
Verdadeira Grandeza. Por isto, ele só é possível com o uso dos Métodos Descritivos.
RO
TRA O
CEN PASS
M
CO
RO
TRA O
CEN PASS
M
CO
T’
3’ 2’
CE
CO NT
MP RAR
AS O
SO
V'
1’ 4’
R
R
1’ 4’
R
A'
1’ 4’
To
R
(4)
(3)
D'
C' B'
D
C
R
4
R
3
4
4
EV
3
GD
V
VG
V
VG
DE
V3
V
V
VG
(2)
V'
3’ 2’
V
3’ 2’
2
DE
V3
1
1
R
(1)
R
2
2
A
T
VG
V
DE
VG DA FACE LATERAL
B
VG
DE
DE
V4
V
VG
3
3
3
V
4
D
4
V3
V
2
B
V
1
A
2
1
4
V
PERSPECTIVA
D
VG
VG
DE
DE
C
V4
3
VG
V1
V3
DE
V
V2
2
1
A
B
1
3
C
4
D
V
2
2
2
V2
EV
1
DE
A
1
VG
1
D
VG
B
VG
V
DE
VG
3
4
4
PERSPECTIVA
V3 = V2
V1 = V4
V
V
geometria descritiva
eber nunes ferreira
141
3
V
3
3
V
4
D
4
4
2
1
A
V
VG
3
C
4
D
V
2
1
2
A
B
B
VG
V
3
2
1
3
4
C
4 D
B
V
1
A
1
1
V3 = V2
2
V1 = V4
2
V
9.1 EXEMPLOS
Dada as projeções da PIRÂMIDE REGULAR DE BASE HEXAGONAL e a seção produzida pelo plano
de Topo, pede-se: planificar o tronco de pirâmide (a parte que contém a base).
2'
UTILIZE EIXO DE TOPO
SOBRE O PONTO (V)
PARA ROTAÇÕES DAS
ARESTAS LATERAIS
V'
3'
4'
X'
5'3'
2'6'
1'
X'
F'
A'E'
B'D'
E
D
(6)R
VG
(5)R
C'
6
de
V5
5
5
=V
3
F
(4)R
(1)R
4
1
C
V
3
(3)R
2
(2)R
VG
de
V2
6
=V
2
(V1) e (V4) estão sobre retas frontais.
X
geometria descritiva
A
B
eber nunes ferreira
142
2
5
6
1
6
4
6
1
5
3
A
F
B
E
2
C
D
5
3
4
3
4
EXEMPLOS
É importante "pendurar" a VG da seção
para a planificação ficar completa.
geometria descritiva
eber nunes ferreira
143
EXEMPLO DE EXERCÍCIO PROPOSTO
Complete no TRIEDRO a representação da Seção Plana e determine a Verdadeira Grandeza da
seção através do método descritivo REBATIMENTO (sobre o PH) ou MUDANÇA DE PLANO.
O'
O"2
X'
O'1
10
11
9
12
8
O1
O2
1
7
6
2
5
3
4
X
Complete a planificação do Tronco de Cilindro. O retângulo abaixo corresponde planificação da
superfície lateral do cilindro.
0...
geometria descritiva
12
eber nunes ferreira
144
geometria descritiva
(7)R
(6)R
(8)R
(4)R
VG DA
SEÇÃO PLANA
(10)R
(3)R
(11)R
REBATIMENTO
(5)R
(9)R
(2)R
(1)R
(12)R
2
12
X
1
1'
3
11
2' 12'
3' 11'
4
O1
10
O'1
4' 10'
O'2
5
O2
9
5' 9'
6
8
6'
7
8'
7'
X'
PLANO DE TOPO
10"
11"
9"
12"
8"
O"1
1"
7"
O"2
2"
6"
3"
5"
4"
EXEMPLO
eber nunes ferreira
145
MEDIDAS TRANSPORTADAS
PARA O CILINDRO PLANIFICADO
EXEMPLO
(5)R
(6)R
(4)R
(7)R
(3)R
VG
DA SEÇÃO
(8)R
(2)R
MPH
(9)R
PLANO DE TOPO
(10)R
(1)R
2
(12)R
(11)R
MEDIDAS TRANSPORTADAS
PARA O CILINDRO PLANIFICADO
O'
O"2
X'
7'
7"
6"
6'
8"
8'
5"
5' 9'
9"
10"
4"
4' 10'
11"
3' 11'
12"
2' 12'
1'
O'1
3"
1"
2"
O"1
10
11
9
12
8
O1
O2
1
7
6
2
5
3
4
X
geometria descritiva
eber nunes ferreira
146
EXEMPLO
BASE
SUPERIOR
6
7
8
9
5
10
4
3
11
2
12
1
1
VG DA SEÇÃO
VG DA SEÇÃO
6
7
8
9
5
10
4
3
11
2
12
1
1
BASE
INFERIOR
geometria descritiva
eber nunes ferreira
147
10. PLANO QUALQUER E OS MÉTODOS DESCRITIVOS
geometria descritiva
eber nunes ferreira
148
10.1 EXEMPLOS
P'
Q'
O ponto (P) é auxiliar e pode pertencer a
qualquer parte do Plano (Q). No entanto, é
mais fácil utilizar um ponto pertencente ao
Traço Vertical Q' visto que o plano Qualquer
não projetante e exige retas auxiliares para
determinar um ponto sobre sua superfície.
4’
5’
3’
6’
2’
1’
Q0
F’
A’
E’
B’
D’
C’
P
MPV
E
D
5
Q
4
F
6
D’
3
C
C’
E’
1
2
1’
A
B
P'1
F’
3’
4’
B’
Q'1
5’
2’
6’
A’
1’
MPH
3
2
4
VG
1
5
6
Seção plana em VG através de Mudança de Plano
geometria descritiva
eber nunes ferreira
149
11. BIBLIOGRAFIA
ARNHEIM, Rudolf. Arte e percepção visual: uma psicologia da visão criadora. São Paulo: Pioneira
Thomson Learning, 2005. 503p.
JÚNIOR, Alfredo dos Reis Príncipe. Geometria Descritiva Volume 1
JÚNIOR, Alfredo dos Reis Príncipe. Geometria Descritiva Volume 2
SÁ, José Ricardo Cunha da Costa e. Edros. São José dos Campos: Ed. PINI, 1982, 124p.
ULBRICHT, S. M. Geometria e Desenho - História, Pesquisa e Evolução, 1a ed. Florianópolis, S. M.
Ulbricht, 1998.
WONG, Wucios. Princípios de Forma e Desenho. Tradução Alvamar Helena Lamparelli. São Paulo:
Martins Fontes, 1998.
geometria descritiva
eber nunes ferreira
150
MAQUETES
MINIATURAS DAS IMAGENS REFERENTE AO ARQUIVO DAS
MAQUETES CITADAS NESTA APOSTILA
Sequência A 4 Páginas
04 em papel (color plus ou cartolina)
páginas 02 a 05
MODELOS REDUZIDOS PARA VISUALIZAÇÃO
9
8
10
11
7
12
5
6
4
PRISMA REGULAR DE
BASE PENTAGONAL
3
PRISMA REGULAR DE
BASE TRIANGULAR
OCTAEDRO
1
2
HEXAEDRO / CUBO
CILIINDRO RETO
CONE RETO
TETRAEDRO
PIRÂMIDE REGULAR DE
BASE HEXAGONAL
PRISMA REGULAR DE
BASE HEXAGONAL
Sequência B 2 Páginas
RECORTE E MONTE
(2)
(1)
(3)
(4)
(V)
AR
COL
1' 3'
(3)
(C)
(2)
(B)
(1)
COL
AR
(V)
(A)
(B)
(A)
(D)
AR
COL
COLAR
COLAR
(C)
(D)
(4)
(C)
(B)
A"
(A)
B" D"
(A)
C"
(4)
A" B"
B'
(D)
C"
A' C'
C 3
(D)
(C)
D
(3)
COLAR
D"
1"
(V)
C' B'
2" 4"
(B)
D'
3"
(B)
D'
A'
2'
COLAR
(A)
4'
(C)
V"
02 em papel (color plus ou cartolina)
páginas 06 a 07
COLAR
COLAR
V'
(D)
PARALELEPÍPEDO
C
B 2
D 4
COL
AR
V
1
(V)
B
(1)
A
COLAR
COLAR
(2)
A
Sequência C 3 Páginas
03 em papel (color plus ou cartolina)
dobrar
páginas 08 a 10
PP
PV
PH
PH
VG
s"
s'
s"
s'
PH
PP
PV
PP
PV
s
VG
s
s'
s"
s
dobrar
dobrar
VG
s
VG
VG
s'
s
s
s"
VG
s'
VG
PH
s'
s"
s"
PV
PP
PP
dobrar
dobrar
PV
PH
PH
PV
PP
PP
PV
PP
PV
PP
PV
s"
s'
s'
VG
s'
s"
VG
VG
dobrar
s"
s
s
s
PH
PH
PH
Sequência D 5 Páginas
04 em papel (color plus ou cartolina)
01 em transparência laser ou jato de tinta (acetato mais grosso)
X'
X'
X''
VG
PH
Plano Paralelo à LT
VG
PH
PH
Plano de Perfil
X''
PH
Plano de Topo
PP
PP
PV
VG
X'
PV
PP
PP
X X'
X''
PV
Plano que Passa
pela LT
X'
X
Plano Vertical
X'
X
X'
Plano que Passa
pela LT
VG
Plano de Perfil
Plano Horizontal
Plano Paralelo à LT
X
X
X
X
X''
X''
PV
X''
X'
X Plano Qualquer
X''
X''
páginas 11 a 15
X
X
Plano Paralelo à LT
Plano Frontal
X
Plano Frontal
X'
X''
PV
X'
PV
PP
PV
PP
PP
PV
PP
X'
X''
X''
X
Plano Horizontal
PH
PH
VG
VG
X'
Plano de Topo
Plano Vertical
Plano Qualquer
PH
PH
X''
X''
X
Plano que Passa
pela LT
Plano de Topo
Plano Vertical
X
Sequência E 12 Páginas
11 em papel (color plus ou cartolina)
01 em transparência laser ou jato de tinta (acetato mais grosso)
páginas 16 a 27
geometria descritiva
eber nunes ferreira
151