Tópico 3. Limites e continuidade de uma função (Parte 1)
O Cálculo Diferencial e Integral, também chamado de Cálculo Infinitesimal, ou
simplesmente Cálculo, é um ramo importante da matemática, desenvolvido a partir da Álgebra e da
Geometria, que se dedica ao estudo de taxas de variação de grandezas (como a inclinação de uma
reta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido).
Onde há movimento ou crescimento e onde forças variáveis agem produzindo aceleração, o cálculo
é a matemática a ser empregada.
O cálculo foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exatas.
Desenvolvido por Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), em
trabalhos independentes. O Cálculo auxilia em vários conceitos e definições na matemática, química,
física clássica, física moderna e economia. O estudante de cálculo deve ter um conhecimento em
certas áreas da matemática, como funções, geometria e trigonometria, pois são a base do cálculo. O
cálculo tem inicialmente três "operações-base", ou seja, possui áreas iniciais como o cálculo de
limites, o cálculo de derivadas de funções e a integral de diferenciais.
A integral indefinida também pode ser chamada de antiderivada, uma vez que é um processo
que inverte a derivada de funções. Já a integral definida, inicialmente conhecida como Soma de
Riemann, estabelece limites de integração, ou seja, é um processo estabelecido entre dois intervalos
bem definidos, daí o nome integral definida.
Para podermos adentrar nos assuntos pertinentes ao Cálculo, primeiramente se faz necessário
o estudo de Limites. Os limites são usados no cálculo diferencial e integral, e em outros ramos da
análise matemática para definir derivadas e a continuidade de funções.
3.1 Limite
3.1.1. Noção intuitiva de limite
Inicialmente faremos algumas considerações. Sabemos que, no conjunto dos números reais,
podemos sempre escolher um conjunto de números segundo qualquer regra pré-estabelecida.
Analisemos os seguintes exemplos de sucessões numéricas.
(1) 1, 2, 3, 4, 5, ...
(2) 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, ...
(3) 1, 0, - 1, - 2, - 3, ...
(4) 1, 3/2, 3, 5/4, 5, 7/6, 7, ...
Na sucessão (1), os termos tornam-se cada vez maiores sem atingir um LIMITE. Dado um
número real qualquer, por maior que seja, podemos sempre encontrar na sucessão, um termo maior.
Dizemos então que os termos dessa sucessão tendem para o infinito ou que o limite da sucessão é
infinito.
Denota-se
𝑥 →+∞.
Na sucessão (2) os termos crescem mas não ilimitadamente. Os números aproximam-se cada
vez mais do valor 1, sem nunca atingirem esse valor. Dizemos que
𝑥→1.
De maneira análoga, dizemos que na sucessão (3)
𝑥 → − ∞.
Em (4) os termos da sucessão oscilam sem tender para um limite.
3.1.2. Definição de limite de uma função
O conceito de limite é uma das ideias que distinguem o cálculo da álgebra e da trigonometria.
Aproveitaremos a ideia intuitiva de limite de se aproximar o máximo possível de um ponto e, mesmo
assim, nunca alcançá-lo. A noção de limite nos fornece assim um caminho preciso para verificar
como as funções variam continuamente. Também usamos limites para definir retas tangentes a
gráficos de funções e posteriormente a derivada de uma função. A derivada que veremos adiante,
fornece um caminho para quantificar a taxa a que valores de uma função variam a cada instante.
Antes, porém, é conveniente observar que a existência do limite de uma função, quando x
tende a “a”, não depende necessariamente que a função esteja definida no ponto “a”, pois quando
calculamos um limite, consideramos os valores da função tão próximos quanto desejamos do ponto
“a”, porém não coincidente com “a”, ou seja, consideramos os valores da função na vizinhança do
ponto “a”.
(I) Consideremos a função definida por
tende a 2, ou seja,
. Vamos estudar o limite de f(x) quando x
.
Observemos que para x = 2, a função não é definida, ou seja, não existe o f(2). Entretanto,
lembrando que 4x2 - 16 = (2x + 4) (2x - 4), substituindo e simplificando, a função fica igual a f(x) =
2x + 4.
Mesmo não existindo f(2), o limite de f(x) quando x tende a 2 existe e pode ser calculado da
seguinte forma:
Estudaremos a função f quando x assume valores próximos de 2, porém, diferente de 2.
Atribuindo a x valores próximos de 2, porém menores que 2, temos:
Se atribuirmos a x valores próximos de 2, porém maiores que 2, temos:
Observemos em ambas as tabelas que, quando x se aproxima cada vez mais de 2, f(x)
aproxima-se cada vez mais de 8.
(II) Seja y = 1 - 1/x (ver Tabela e respectivo gráfico da função a seguir).
2
Gráfico da função y = 1 - 1/x.
Esta função tende para 1 quando x tende para o infinito. Basta observar as tabelas e o gráfico para
constatar que:
𝑦 → 1 quando 𝑥 → ±∞.
Denota-se
lim (1 − 1/𝑥) = 1
𝑥→±∞
(III) A função y = x2 + 3x - 2 tende +∞ para quando 𝑥 → ±∞.
Denota-se
lim (x2 + 3x − 2) = +∞
𝑥→±∞
De fato, intuitivamente, basta analisar o gráfico desta função e as sucessões da tabela usada para construir
o gráfico.
Gráfico da função y = x2 + 3x – 2.
Definição: Se os valores da função f(x) se aproximarem cada vez mais do número L, enquanto x se
aproximar cada vez mais do número a, diz-se que L é o limite de f(x), quando x tende a a, e escrevese
lim 𝑓 (𝑥) = 𝐿
𝑥→𝑎
3
 Algumas situações especiais:
Exemplo 1. O valor do limite NÃO depende do modo como a função está definida em a.
Exemplo 2. Duas funções que tem limites em todos os pontos.
Exemplo 3. Algumas funções podem não ter limites definidos em todos os pontos.
4
3.1.3. Definição formal (precisa) de limite
Exemplo: Para a função g(x) ilustrada encontre os seguintes limites ou explique
porque eles não existem.
3.1.4. Propriedades dos limites
Se lim 𝑓 (𝑥 ) e lim 𝑔(𝑥 ) existem, e c é um número real qualquer, então:
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
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Observação:
Enfatizamos que a propriedade (d) de limites é válida apenas quando o limite da função, que aparece
no denominador, não é igual a zero no ponto em questão. Caso o denominador seja igual a zero,
podemos simplificar a expressão, solucionando assim nosso problema, conforme exemplo seguinte:
resulta numa indeterminação com o denominador igual a zero. Logo, não podemos aplicar
imediatamente a propriedade 3, temos que primeiro contornar essa indeterminação, simplificando as
expressões:
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Indeterminações Matemáticas:
As indeterminações matemáticas são normalmente apresentadas da seguinte forma:
0/0
00
0×∞
∞0
∞/∞
∞−∞
1∞
Exemplos:
7
(iv) Cancelando um fator comum
(v) Criando e cancelando um fator comum
8
Exercícios propostos:
(1)
(2)
9
(3) Demonstrar que:
(4) Calcular os limites nos exercícios a seguir, usando as propriedades de Limites.
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3.1.5. Limites laterais
Para ter um limite L quando x se aproxima de a, uma função f(x) deve ser definida
em ambos os lados de a e seus valores f(x) devem se aproximar de L quando x se aproxima
de a de cada lado. Por isso, limites comuns são bilaterais. Se f(x) não tem um limite bilateral
em a, ainda pode ter um limite lateral ou seja, um limite cuja aproximação ocorre apenas de
um lado.
Exemplos:
11
12
O gráfico de f(x) pode ser visto na Figura abaixo. Observamos que:
A Figura abaixo, mostra o esboço do gráfico da função. Neste exemplo, podemos observar
que:
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Teorema. Se f é definida em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no ponto a,
então:
lim 𝑓 (𝑥 ) = 𝐿 se e somente se
𝑥→𝑎
lim 𝑓(𝑥 ) = 𝐿 e lim+ 𝑓 (𝑥 ) = 𝐿.
𝑥→𝑎−
𝑥→𝑎
Exemplos:
da função.
Gráfico:
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(ii) Determine os limites laterais nos pontos da função abaixo:
Exemplos práticos:
(1) Um carro está em movimento progressivo e passa pela origem da trajetória em t = 0s, com uma
velocidade escalar constante de 6 m/s. A tabela 01 demonstra as posições do objeto ao longo do
tempo.
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Plotando os dados em um gráfico (Figura 01) posição (x) em função do tempo (t), é possível
explorar limites da função.
 O que acontece com os valores de posição, quando o tempo se aproxima de 4 s? ou
que acontece com os valores de posição quando o tempo se aproxima de zero?
O
Para a primeira pergunta, os valores de posição para tempos próximos de 4 s são próximos de 24 m.
Assim, quanto mais próximo de 4 s for o tempo, mais próximo ele estará da posição 24 m. Logo, é
possível escrever a função de limite:
(1)
Para a segunda pergunta, para valores de tempo próximos a 0 s, a posição do objeto tende a também
a 0 m. Diferente do que ocorreu no primeiro questionamento, neste caso só é possível ter valores de
tempo acima de zero. Com isso, é possível ter a noção de limite pela esquerda e pela direita. Assim,
é possível escrever as funções de limite da função. Para valores de tempo que se aproximam de zero
pela direita, a posição tende a zero (Eq. 2). Mas não existem valores de tempo que se aproximam de
zero pela esquerda (Eq. 3)
(2)
(3)
(2) Tendo um tanque cheio de água, ao abrir uma tampa no fundo do reservatório, a água iniciará a
escoar. Supondo que sua taxa inicial de vazão seja de 4,0 L/s, o que acontece com esta vazão ao
longo do tempo? Observa-se que a vazão da água diminui, isto porque a vazão depende diretamente
da pressão exercida pela altura da coluna de água do tanque e com o escoamento da água, esta coluna
diminui sua altura.
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Ilustrando essa situação em um gráfico (Figura 02), observa-se que a taxa de vazão (V, em
L/s) diminui em função do tempo (t, em s) até que todo o líquido contido no tanque se tenha esvaído.
Figura 2. Vazão de água em função do tempo.
O gráfico anterior serviu para trabalhar limites para o eixo do x tendendo ao infinito. Para a
presente função, para valores de tempo muito grandes (infinitos) os valores de vazão se aproximam
de zero. Assim, pode-se escrever a Eq. 4.
(4)
(3) Supõe-se, agora, que uma torneira seja acoplada neste tanque. Tem-se uma entrada e uma saída
de fluido (Figura 03). Em um momento inicial, a vazão de entrada, supõe-se aqui constante, é maior
que a vazão de saída. Com isso, gera-se um acúmulo de fluido no interior de um taque. Com o passar
do tempo, a altura h da coluna de líquido aumenta, elevando a pressão e, por consequência,
aumentando a vazão de saída. Supondo um tanque grande o bastante para não transbordar, esse
aumento vai ocorrer até que, em determinado instante, a vazão de entrada se igualará a vazão de
saída.
Pode-se realizar, então, um estudo do comportamento da altura h da coluna no tanque.
Simulando valores em um gráfico, inicialmente a altura da coluna sobe rapidamente, visto que a
vazão de saída é baixa. Com o tempo, a altura da coluna aumenta gradativamente em valores cada
vez menores para um mesmo intervalo de tempo, até que se estabeleça um equilíbrio entre vazão de
entrada e saída. A partir desse momento, a altura da coluna não se altera mais.
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Figura 4. Altura da coluna no tanque em função do tempo.
Com essas informações, é possível escrever o limite da função quando o tempo se estende
ao infinito. Ao contrário do gráfico anterior onde a vazão tendia a zero, neste caso a altura do tanque
tende a 2 m. Assim, a nova equação de limite será
(5)
A Eq. 5 mostra que nem sempre os limites de uma função, cuja variável independente tenda
ao infinito, terá como resposta zero.
Exercícios propostos:
(1)
Esboce o gráfico de f(x)
18
(2)
(3)
(4) Utilize os gráficos abaixo para estimar os limites e os valores das funções ou explique
por que os limites não existem.
+
19
+
-
+
Referências
1. Wikipédia, O cálculo. http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo (acesso em 12/08/2014).
2. https://sites.google.com/site/profdjalmafeuc/ (acesso em 01/03/2013).
3. Apostila Prof. Sérgio Pilling, http://www1.univap.br/spilling/C1/C1.htm (acesso em
01/03/2013).
4. Fleming, Diva Maria; Gonçalves, Mirian Buss, “Cálculo A”, 6a Edição,
Pearson Prantice Hall, 2009.
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