Medidas de Posição
Profª Ms. Mara Cynthia
1. Introdução
O estudo das distribuições de frequências, nos permite localizar a maior concentração de
valores de uma distribuição. Porém, para ressaltar as tendências características de cada
distribuição, isoladamente, ou em confronto com outras, são necessários outros conceitos, que
se expressem através de números, que nos permitam traduzir essas tendências. Esses
conceitos são denominados elementos típicos da distribuição e são as:
a) Medidas de posição;
b) Medidas de variabilidade ou dispersão;
c) Medidas de assimetria;
d) Medidas de curtose.
Medidas de Posição: Representam uma série de dados orientando-nos quanto à posição da
distribuição em relação ao eixo horizontal (eixo das abscissas).
As medidas de posição mais importantes são as medidas de tendência central, que recebem
tal denominação pelo fato de os dados observados tenderem, em geral, a se agrupar em torno
dos valores centrais. Dentre as medidas de tendência central, destacamos:
a) média aritmética;
b) mediana;
c) moda.
As outras medidas de posição são as separatrizes, que englobam:
a) a própria mediana;
b) os quartis;
c) os percentis.

2. Média Aritmética x
A média aritmética é empregada, quando desejamos obter a medida de posição que possui
maior estabilidade, ou quando houver necessidade de um tratamento algébrico ulterior.
É o quociente da divisão da soma dos valores das variáveis pelos números deles:
x

x
n
i
sendo:
x = média aritmética
xi = os valores da variável
n = o número de valores
2.1 Dados não agrupados:
Quando desejamos conhecer a média dos dados não agrupados, determinamos a média
aritmética simples.
Exemplo: Sabendo-se que a produção leiteira diária da vaca A, durante uma semana, foi de 10,
14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros. Qual é a produção média de leite desta semanal desta vaca?
Medidas de Posição Média Aritmética
Profª Ms. Mara Cynthia
1
10  14  13  15  16  18  12 98

 14
7
7
Logo: x = 14 litros.
x
2.2 Desvio em relação à média
Denominamos desvio em relação à média a diferença entre cada elemento de um conjunto de
valores e a média aritmética.
Designamos o desvio por dn= xi - x
Para cada exemplo dado, temos:
D1= x1 - x  10 – 14 = -4
D2= x2 - x  14 – 14 = 0
D3= x3 - x  13 – 14 = -1
D4= x4 - x  15 – 14 = 1
D5= x5 - x  16 – 14 = 2
D6= x6 - x  18 – 14 = 4
D7= x7 - x  12 – 14 = -2
2.3 Propriedades da média
1ª Propriedade:
A soma algébrica dos desvios tomados em relação á média é nula:
k
d
i 1
i
7
d
i 1
0
No exemplo anterior, temos:
7
i
 (4)  0  (1)  1  2  4  (2)  (7)  7  0   d i  0
i 1
2ª Propriedade:
Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante ( c ) a todos os valores de uma variável, a
média do conjunto fica aumentada (ou diminuída) dessa constante:
y1  x1  c  y  x  c
Assim, somando-se 2 a cada um dos valores da variável do exemplo dado, temos:
Y1 = 12, y2 = 16, y3 = 15, y4 = 17, y5= 18, y6 = 20 e y7 = 14
Daí:
7
y
i 1
i
 12  16  15  17  18  20  14  112
Como n = 7, vem:
y
112
 16  y  16  14  2  y  x  2
7
3ª Propriedade:
Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma constante ( c ), a
média do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa constante:
Medidas de Posição Média Aritmética
Profª Ms. Mara Cynthia
2
x1
x
y
c
c
Multiplicando por 3 cada um dos valores da variável do exemplo dado, obtemos:
y1  x1  c  y  x  c ou y1 
Y1 = 30, y2 = 42, y3 = 39, y4 = 45, y5= 48, y6 = 54 e y7 = 36
Daí:
7
y
i 1
i
 30  42  39  45  48  54  36  294
Como n = 7, temos
y
294
 42  y  42  14  3  y  x  3
7
2.4 Dados Agrupados
2.4.1 Sem intervalos de classe
Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de 4 filhos, tomando por variável o número
de filhos do sexo masculino:
Nº de meninos
0
1
2
3
4
fi
2
6
10
12
4
=34
Neste caso, como as freqüências são números indicadores da intensidade de cada valor da
variável, elas funcionam como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a média
aritmética ponderada, dada pela fórmula:
x
x f
f
i
i
i
O modo mais prático de obtenção da média ponderada é abrir, na tabela, uma coluna
correspondente aos produtos xifi:
Nº de meninos fi
xifi
0
2
0
1
6
6
2
10
20
3
12
36
4
4
16
=34
=78
Temos, então:
xifi = 78 e fi = 34
Medidas de Posição Média Aritmética
Profª Ms. Mara Cynthia
3
Logo:
x
x f
f
i
i
x
i
78
 2,29  x  2,3
34
Isto é:
x  2,3 meninos, o que nos sugere que a maioria das famílias tem 2 meninos e duas meninas,
sendo, porém, a tendência geral de uma leve superioridade numérica em relação ao número de
meninos.
2.4.2. Com intervalos de classe.
Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de
classe coincidem com o seu ponto médio, e determinamos a média aritmética ponderada por
meio da fórmula:
x
x f
f
i
i
onde xi é o ponto médio da classe
i
Consideremos a distribuição:
i
1
2
3
4
5
6
Estaturas
(cm)
150154
154158
158162
162166
166170
170174
fi
4
9
11
8
5
3
=40
Pela mesma razão do caso anterior, abriremos uma coluna para os produtos xifi:
i
1
2
3
4
5
6
Estaturas
(cm)
150154
154158
158162
162166
166170
170174
fi
4
9
11
8
5
3
=40
xi
Xifi
152
156
160
164
168
172
608
1404
1760
1312
840
516
= 6440
Como neste caso:
xifi = 6 440,  fi = 40
Medidas de Posição Média Aritmética
Profª Ms. Mara Cynthia
4
x
x f
f
i
i
x
i
6440
 161  x  161cm
40
3. Média Aritmética Ponderada
É utilizada para facilitar o cálculo de médias, quando há valores que se repetem várias vezes.
Nesse caso, multiplicamos os valores pelo número de vezes (peso) em que eles ocorrem.
n
x
x1 f 1  x 2 f 2  ...  x n f n
f 1  f 2  ...  f n
x
ou
x
i 1
n
i
f
i 1
fi
i
A tabela a seguir mostra a distribuição de salários de uma empresa
Salários (em Reais)
600,00
900,00
1200,00
1800,00
4500,00
Total
Número
Funcionários
12
7
5
6
8
38
de
Qual é a média salarial dessa empresa?
600,00  12  900,00  7  1200,00  5  1800,00  6  4500,00  8
12  7  5  6  8
7200,00  6300,00  6000,00  10800,00  36000,00
x
38
66300,00
x
38
x  1744,73 ou x  R$1744,73
x
Portanto, a média salarial dos funcionários dessa empresa é de R$ 1 744,73.
Exercícios
1. Determine a média aritmética das distribuições:
a)
Xi
fi
1
2
2
4
3
6
4
8
5
3
6
1
b)
Medidas de Posição Média Aritmética
Profª Ms. Mara Cynthia
5
Custos
(R$)
Fi
450  550
8
 650
 750  850
10
11
 950
16
 1050  1150
13
5
8
c)
Classes
30  50
 70
 90
 110
 130
12
10
5
fi
2
8
2. É dado um conjunto de 20 números cuja média aritmética é 64. Cada número
desse conjunto é multiplicado por 2 e, em seguida, acrescido de 5 unidades. Qual
é a média aritmética dos 20 números assim obtidos?
3. A média das idades de um grupo de estudantes é 22 anos. Excluindo-se o mais
novo deles, que tem 17 anos, a média do novo grupo formado, passa a ser 23
anos. Quantos estudantes há no primeiro grupo?
4. As alturas dos jogadores de um time de basquete são 1,98 m, 2,02m, 2,08 m,
1,92 m e 1,95 m. Qual é a média de altura desse time?
5. A média aritmética das idades de um grupo de 120 pessoas é de 40 anos. Se a
média aritmética das mulheres é de 35 anos e a dos homens é de 50 anos, qual é
o número de pessoas de cada sexo, no grupo?
6. Para ser aprovado em uma disciplina, o aluno precisa ter média maior ou igual a
5,0, obtida num conjunto de cinco provas, sendo quatro parciais, com peso 1
cada, e uma prova exame, com peso 2. Um aluno obteve nas quatro provas
parciais, notas iguais a 3,0; 6,0; 5,0 e 7,0. Calcule a nota mínima que esse aluno
deverá obter na prova-exame para ser aprovado?
7. Um comerciante mistura 4 Kg do café tipo A, que custa R$ 6,00 o quilo; 10 Kg do
café tipo B que custa R$ 5,60 o quilo; e 6 Kg do café tipo C, que custa R$ 5,00 o
quilo. Qual o preço por quilo da mistura?
8. No ano de 2000, o número de nascimentos, por mês em uma maternidade foi:
Mês
Jan.
Nascimentos 38
Fev.
25
Mar.
42
Abr.
30
Mai.
29
Jun.
47
Jul.
18
Ago.
36
Set.
38
Out.
43
Nov.
49
Dez.
37
a) Calcule a média mensal de nascimentos.
b) Em que meses o número de nascimentos ficou acima da média?
9. O quadro de distribuição de frequências representa os salários mensais de 40
empregados de uma firma. Calcule o salário médio mensal dos empregados
dessa firma.
Classe (em reais)
Ponto médio da
Frequência
classe
[180;200[
190
4
[200;220[
210
18
[220;240[
230
10
[240;260[
250
5
[260;280[
270
3
Medidas de Posição Média Aritmética
Profª Ms. Mara Cynthia
6
10. Uma livraria vende a seguinte quantidade de livros:
2ª Feira
3ª Feira
4ª Feira
5ª Feira 6ª Feira
Sábado
28
23
22
27
25
13
Qual foi a média diária de livros vendidos durante a semana?
Bibliografia
CRESPO, A. A. Estatística Fácil. 10ª. ed. São Paulo: Saraiva, 1993.
Medidas de Posição Média Aritmética
Profª Ms. Mara Cynthia
7