Exercı́cio 18 com uma pequena variação
A questão 18 poderia colocar-se substituindo a expressão “desde que a velocidade
do sangue se mantenha constante” por “desde que a pressão do sangue aos extremos da
arterı́ola se mantenha constante”. A nova pergunta lê-se então assim:
Responda às seguintes questões:
a) Mostre que se o raio de uma arterı́ola se reduzir de 0.1 mm para 0.08 mm o caudal
de sangue que a atravessa se reduz de um factor superior a 2, desde que a pressão do
sangue aos extremos da arterı́ola se mantenha constante.
b) Suponha que o decréscimo pretendido de 90%. Para quanto é que o raio deveria
diminuir?
A relevância desta alteração é que num fluido viscoso as condições “velocidade
= constante” e “pressão = constante” não são equivalentes !. O resultado
obtido (e a forma de o obter) dependem de se ter no enunciado uma ou outra condição.
Vejamos então como resolver o problema se a condição imposta for pressão constante
(ao invés de velocidade constante, como se fez na resolução anterior).
a)
A expressão do caudal para um fluido viscoso é dada por
πa4
Q=
∆P.
8ηl
(1)
No enunciado não se diz qual é o valor de ∆P , a variação de pressão. Isso quer dizer que
não é necessário para resolver o exercı́cio. A mesma coisa se pode dizer do comprimento
l. O exercı́cio deve ser resolvido para valores de ∆P e l genéricos.
Para um raio de 0.1 mm temos um caudal de
Q0.1 =
π(10−4)4
∆P.
8ηl
(2)
Para um raio de 0.08 mm temos um caudal de
Q0.08 =
π(8 × 10−5 )4
∆P.
8ηl
(3)
Precisamos de saber a razão entre estes caudais, para saber de quanto é a redução de
caudal induzida por uma constrião da arterı́ola. Temos então
Q0.1
Q0.08
π(10−4 )4
∆P
(10−4)4
8ηl
=
=
= 2.44.
π(8 × 10−5 )4
(8 × 10−5 )4
∆P
8ηl
1
(4)
O resultado obtido é diferente do que se obteve no exercı́cio anterior (onde se obteve
um factor de redução de 1.56). A redução do caudal é maior se a pressão for constante.
b)
Agora o valor de r é desconhecido. Então, tal como há pouco,
Q0.1
π(10−4 )4
∆P
=
8ηl
(5)
e para um raio der temos um caudal de
πr 4
∆P.
8ηl
(6)
π(10−4 )4
∆P
(10−4 )4
8ηl
=
.
=
πr 4
r4
∆P
8ηl
(7)
Qr =
Dividindo uma expressão pela outra vem
Q0.1
Qr
Tal como na resolução do exercı́cio 18 inalterado, devemos ter
Q0.1
= 10
Qr
(8)
(se há dúvidas nesta equação, voltar a ler a resolução do ex. 18). Então
(10−4 )4
(10−4 )4
4
=
10
⇒
r
=
= 10−17 ⇒ r = (10−17 )1/4 = 56.2 × 10−6 m = 0.0562 mm.
r4
10
(9)
Este valor é maior do que o do exercćio inalterado (0.032 mm). Isto quer dizer que
nestas condições não é necessário uma constricção tão grande para reduzir o caudal a
10% do inicial.
2