ANO 4 - NO 24
AGOSTO - 2005
PÁGINA 1
Do átomo de Bohr à molécula - parte 1
Marcelo Cordeiro Fonte Boa
[email protected]
1. Introdução
O entendimento da Natureza sempre se constituiu em um grande desafio para o espírito humano.
Nesse particular, o intrigante “universo do muito pequeno” sempre teve o seu destaque. Faz muito tempo que
filósofos e cientistas procuram, das mais variadas maneiras, descobrir a “verdadeira” estrutura da matéria.
No ocidente, essa história(1) remonta ao atomismo grego, passando pela “visão dos quatro elementos”
(terra, água, ar e fogo), defendida por Aristóteles(2), até chegar ao nosso atual modelo atômico / molecular.
Neste texto, partindo do modelo atômico de Bohr(3), vamos explorar as estruturas moleculares e,
mais precisamente, a formação da molécula de Hidrogênio.
2. Relembrando o modelo de Bohr
Em 1913, Niels Bohr (1885-1962) propôs seu modelo atômico, no qual mesclou as “novas” idéias
quânticas (surgidas na “virada” entre os séculos XIX e XX) com “antigas” idéias clássicas, conseguindo
explicar com sucesso o espectro do átomo de Hidrogênio, até então só “explicado” empiricamente(4).
As figuras ilustram (parcialmente) as séries espectroscópicas de Lyman, Balmer e Paschen, através do modelo
de Bohr (esquerda) e do respectivo diagrama de energia (direita). Em destaque, o nível de energia do estado
fundamental do Hidrogênio (−13,6eV), valor que corresponde à energia de ligação desse elemento.
Entre outras coisas, Bohr propôs o átomo de Hidrogênio como sendo um elétron ligado ao núcleo,
através de uma força elétrica. Nesse estado ligado, o elétron estaria orbitando o núcleo com movimento
circular, sem irradiar energia (o que era escancaradamente contrário ao eletromagnetismo conhecido(5)).
Disse que o elétron só poderia ocupar “órbitas permitidas” (que correspondiam a estados estacionários).
Disse ainda que em cada órbita o elétron teria um certo nível de energia característico - nível esse que
estaria relacionado à órbita através de um número quântico principal (n). Por exemplo, n = 1 corresponderia
ao estado fundamental (situação de maior estabilidade atômica, na qual o elétron teria seu menor valor de
energia). Para o Hidrogênio, esse valor seria de −13,6eV(6)[em destaque no quadro anterior].
ANO 4 - NO 24
AGOSTO - 2005
PÁGINA 2
Para Bohr, as raias espectrais(7) dos elementos seriam originadas
na emissão (ou absorção) dos quanta(8) de radiação eletromagnética
(mais tarde denominados fótons) emitidos (ou absorvidos)(9) pelos
elétrons ao realizarem saltos quânticos entre as órbitas permitidas
em seu modelo. Isto significa que transições entre os níveis atômicos
só seriam possíveis com a emissão (ou absorção) de fótons cuja energia
correspondesse exatamente ao desnível de energia entre a órbita de
origem e a órbita de destino do salto.
Se, por exemplo, um átomo de Hidrogênio no estado fundamental,
no qual seu elétron possui o mais baixo nível de energia (−13,6eV),
absorvesse um fóton com energia de módulo igual (ou maior) à desse
nível, seu elétron saltaria “para fora” do átomo, desligando-se do núcleo.
Por esta razão, esse particular valor de energia, característico em cada
elemento, recebe o nome de energia de ligação ou energia de ionização.
Representação (fora de escala) dos
dois primeiros orbitais atômicos do
modelo de Bohr. Destaque para o
estado fundamental, onde n = 1.
3. Alguns problemas com o modelo de Bohr
Embora a experiência de Frank-Hertz(10) tenha confirmado as hipóteses de quantização de Bohr, a
contradição com o eletromagnetismo e os problemas enfrentados na modelagem de átomos maiores que o
Hidrogênio forçavam a busca de ajustes para o modelo.
Essas “tentativas de melhorar o modelo de Bohr” podem ser ilustradas pelo destaque à contribuição
de Arnold Sommerfeld (1868-1951) que, em 1916, propôs a inclusão de órbitas elípticas na tentativa de
explicar o efeito Zeeman(11).
Representação (fora de escala) dos primeiros orbitais do modelo atômico Bohr-Sommerfeld. Nesse
modelo, cada nível de energia n conteria nθ subníveis, tais que nθ = 1, 2, 3, ... , n. Esses números n e nθ
eram denominados, respectivamente, número quântico principal e número quântico azimutal. Por
exemplo, para o nível de energia n = 3, teriamos os orbitais: nθ = 1, nθ = 2 e nθ = 3 (acima, em vermelho).
Todavia, por mais que se tentasse “consertar” o modelo, uma pergunta permanecia sem resposta:
Por que, no nível atômico, os elétrons “respeitariam” a lei de Coulomb mas não as leis de Maxwell?(12)
ANO 4 - NO 24
AGOSTO - 2005
PÁGINA 3
Esta pergunta não consegue resposta com a abordagem proposta por Bohr. Na verdade sua “resposta”
está associada ao desenvolvimento da Teoria Quântica, com a qual surge uma nova perspectiva para a
modelagem do átomo. Isto significa que o atual modelo atômico não surge simplesmente do
“aperfeiçoamento” do modelo de Bohr. Todavia, mesmo com as imperfeições encontradas nesse modelo,
Bohr pode ser reverenciado como um dos “pais” do atual entendimento da estrutura da matéria. Assim é, que
a “perspectiva quântica” defendida por Bohr (e outros), embora tenha sido um verdadeiro “tiro n’água”, por
sua importância histórica é conhecida como a “velha mecânica quântica”.
4. “Pinceladas” sobre a “evolução da coisa”
A passagem da visão clássica para a quântica não ocorreu por nenhum “salto quântico”. Foram
necessárias muitas discussões, e cerca de três décadas, para o estabelecimento do novo paradigma. Durante
esse “período de mudanças”, a modelagem atômica também evoluiu com os trabalhos e resultados de
pesquisas que promoveram, e ainda promovem, diversos avanços científicos e tecnológicos.
Apesar de extremamente interessante, a história detalhada sobre tais acontecimentos não será tratada
aqui. Até porque os detalhes de cada “episódio” merecem, por si só, artigos próprios (que ficam prometidos
para outras oportunidades). Entretanto, existem alguns “marcos no caminho” que não podem ser “deixados
de lado”. Esse é o caso, por exemplo, das contribuições de Albert Einstein (1879-1955).
Einstein(13), além de ter contribuído brilhantemente para o aprimoramento de nosso atual entendimento
sobre o universo do muito pequeno, “abriu novos caminhos” e inspirou diversos pesquisadores. Uma
destas “inspirações” surge com a proposição da ‘dualidade onda-partícula’ para a radiação eletromagnética,
que geraria, entre outras, uma interessante questão:
⎯ Se a luz (“onda” eletromagnética) tem natureza/caráter dual, por que razão as “partículas”
também não poderiam ter?
Um questionamento deste tipo levaria Louis de Broglie (1892-1987) a propor uma natureza dual
para os elétrons (e as outras “partículas”), tal como a proposta de Einstein para a luz. Idéia esta, confirmada
“pouco” depois, por G. P. Thomson (1892-1975) com a verificação experimental da difração de elétrons(14).
Não é sem razão que, no outono de 1926, grandes nomes da Ciência se reuniriam em Copenhagem,
para discutir suas interpretações sobre as ‘novas questões’ surgidas com a Teoria Quântica. Resultou desta
famosa reunião o que hoje conhemos como a interpretação de Copenhagem.
Na “nova Física”, conceitos e grandezas sofreram reformulações para se adequar ao novo paradigma.
Hoje, não há melhor aparato teórico que a Física Quântica, no que se refere à incursões no terreno do
muito pequeno. Entretanto, a real compreensão dessa nova visão requer uma grande “viagem” ao terreno
das idéias. Definitivamente, o concreto dá lugar ao formal e, sem dúvida, os conceitos físicos se distanciam,
como nunca, do ‘senso comum’. A matemática assume uma vigorosa posição de destaque e, por exemplo,
“entram em cena” os ‘operadores’. Mas deixemos isto para a próxima seção.
O interessante dessa história é que ela não está acabada. Muito do que se tem hoje como “certo”, em
verdade faz parte de uma grande teia de idéias, informações, teorias etc. que funcionam. Tudo está
baseado em modelos da realidade. Aliás, a Ciência não trabalha com a Natureza, mas, a rigor, com modelos
teóricos dela. Não é muito importante se algo é ou não é, dessa ou daquela forma. O importante é que
funcione, e que não apresente falhas ...
Bem, voltando às “pinceladas históricas”, verificamos que após de Broglie, o processo de mudança
assume “um ritmo forte” e surgem diversas contribuições “de peso”, tais como: a famosa ‘equação de onda’
ANO 4 - NO 24
AGOSTO - 2005
PÁGINA 4
ou, como é mais conhecida, ‘equação de Schrödinger’ de Erwin Schrödinger (1887-1961); o ‘princípio
da incerteza’ e a ‘mecânica matricial’ de Werner Heisenberg (1901-1976); a ‘interpretação probabilística’
de Max Born (1882-1970); entre outras tantas.
São estas “novidades”, em conjunto com uma ‘matemática sofisticada’, que promoverão o surgimento
do novo modelo atômico. Por exemplo, as antigas órbitas bem definidas do modelo de Bohr cedem lugar
aos modernos orbitais atômicos, que correspondem à “nuvens eletrônicas” ou, de outra forma, à densidade
de probabilidade de encontrarmos o elétron em tais “regiões”. A própria concepção de “partícula” sofre
uma grande reformulação.
5. O atual modelo atômico
Atualmente, entender o modelo atômico significa ‘saber “brincar” com as soluções da equação de
Schrödinger aplicada à função de onda que descreve o estado do elétron ligado ao átomo’. O
que,“traduzindo para os leigos” significa: tem-se que entender “algo” da Teoria Quântica. Rigorosamente
falando, esse entendimento requer uma matemática sofisticada, que está fora do nível deste artigo.
É necessário entender que o estado de qualquer partícula,
como o elétron por exemplo, pode ser descrito através de uma
função de onda complexa Ψ(r→ , t) [lê-se: psi em função de
‘erre’e ‘tê’]. E ainda, que através desta Ψ(r→, t) e sua conjugada
∗
complexa Ψ (r→, t), podemos determinar a probabilidade P(r→, t)
de encontrarmos o elétron, no instante t, em um certo entorno
(δV) do ponto →
r , através de:
(eq. 1)
É aqui que precisaremos entender um pouco mais sobre
os tais ‘operadores’, mencionados na seção anterior. Afinal, a
Mecânica Quântica associa um ‘operador matemático’ à cada
grandeza física e, quando esse operador é aplicado na função
de onda, obtemos as informações sobre a grandeza. Por
exemplo, o operador energia cinética (ECop):
(eq. 2)
Coordenadas de localização do ponto
P em dois sistemas: cartesiano (x, y, z)
e esférico (r, θ, ϕ).
, onde:
m é a massa da partícula em questão;
[lê-se: ‘agá cortado’] corresponde à
, sendo h a constante de Planck;
é o operador de Laplace ou Laplaciano. É um operador escalar equivalente
à derivada segunda.
Em geral, quando aplicamos um operador (Kop) a uma função de onda (Ψ) não obtemos diretamente
o valor da grandeza física associada, mas um de seus “possíveis valores”.
Se, entretanto, da aplicação do operador Kop sobre a função Ψ resultar a função Ψ multiplicada por
uma constante k (matematicamente: KopΨ = k Ψ ), diremos que essa função Ψ é uma autofunção do
operador Kop e essa constante k será chamada de autovalor da grandeza física relacionada.
ANO 4 - NO 24
AGOSTO - 2005
PÁGINA 5
Bem, se você acha que está ficando complicado, podemos dizer que você ainda não viu nada!
Porém, neste texto, vamos utilizar uma certa ‘licença poético-matemática’ para podermos tratar e “entender”
o modelo atômico, sem termos que “entrar em todos os detalhes e jargões matemáticos”.
Isso é possível graças ao conjunto de regras (e imagens) desenvolvido pela Teoria Quântica, do qual
poderemos lançar mão e com o qual faremos, eventualmente, “algumas analogias”.
Mas antes de “nos livrarmos da matemática”, daremos uma olhadinha na famosa equação de
Schrödinger que, aplicada sobre a função de onda, nos permite analisar a evolução dos sistemas. Não se
assuste. Lembre-se do ditado: as aparências enganam. Vamos lá. A equação tem o seguinte “jeitão”:
(eq. 3)
Podemos ver que ela é recheada por operadores. Vemos também que a função de onda aparece
como uma incógnita e, como acontece com qualquer equação, ela pode apresentar diversas soluções.
Observando com mais atenção a equação 3, podemos perceber que se trata de uma “versão quântica”
da lei de conservação de energia que ensinamos no nível médio como
. Veja que o primeiro
termo correspondendo ao operador energia cinética (ECop), já apresentado anteriormente. O segundo
termo seria o operador potencial (Vop) e o terceiro termo o operador energia (Eop), sendo:
(eq. 4)
Para facilitar o entendimento (simplificando o modelo), trabalharemos com funções independentes do
tempo(15). Com o uso de alguns recursos matemáticos a equação 3 se transforma em:
(eq. 5)
Que é uma equação de autovalores E, associados à energia. Isso é particularmente interessante para
o modelo atômico, pois o que realmente nos interessa são as autofunções dos estados estacionários do
elétron, que recebem o nome de orbitais atômicos, e os autovalores de suas energias.
Retomando o início desta seção, você pode agora entender o que significa ‘saber “brincar” com as
soluções da equação de Schrödinger aplicada à função de onda que descreve o estado do elétron
ligado ao átomo’. Ahh, no caso do átomo de Hidrogênio o potencial (gerado pela interação eletrostática
elétron-núcleo) é dado por:
(eq. 6)
⎯ Complicando novamente?
Bem, seria necessário continuar, para podermos justificar matematicamente que, no caso em questão
(o átomo de Hidrogênio), as soluções da equação de Schrödinger fornecerão valores quantizados para a
energia do elétron e, como no modelo de Bohr, essa quantização estará associada a um número quântico
principal n. Porém, as funções de onda associadas aos estados do elétron (ou autofunções) apresentam
mais dois números quânticos: l (azimutal) e ml (magnético). Serão esses três números, inter-relacionados em
cada nível ‘n’, que nos fornecerão informações sobre a energia e a geometria do orbital atômico (OA).
ANO 4 - NO 24
AGOSTO - 2005
PÁGINA 6
Neste novo modelo não existem mais as “bem definidas órbitas de Bohr”, tão pouco a “precisão
clássica de localização do elétron”. Agora, cada OA (com seu números quânticos n, l e ml, relacionados
entre si e com a energia, a forma e orientação espacial) permite pela autofunção associada, o cálculo da
probabilidade de encontrar o elétron em um dado “ponto”. Melhor dizendo, o elétron não é mais aquela
“partícula discreta” da visão clássica, ele passa a ser encarado como uma espécie de “nuvem” difundida no
orbital. A densidade desta nuvem tem íntima relação com a probabilidade dele ser encontrado nesse orbital.
Em suma, esse modelo tem suas configurações definidas pelas autofunções associadas aos OA e seus
autovalores de energia. As denominações dos OA são específicas e estão relacionadas com suas características,
tais como: energia, forma etc. A densidade eletrônica [ver o quadro] pode fornecer a probabilidade de
encontrarmos o elétron “em um dado ponto”. Como exemplo desse novo modelo atômico apresentamos,
fora de escala, as configurações dos dois primeiro níveis de energia do Hidrogênio. Veja como as densidades
de probabilidade (que são funções de n, l e ml) originam os OA com denominações: 1s, 2s, 2px, 2py, 2pz.
Para n = 1: OA (1s) [com: l = 0 e ml = 0];
Distribuição da densidade eletrônica
em função da distância ao núcleo (r).
Para n = 2: OA (2s) [l = 0 e ml = 0];
e OA (2p) {2pz: [l = 1 e ml = 0] e 2px = 2py: [l = 1 e ml = ±1]*}
Um dos resultados mais importantes obtidos com a equação de Schrödinger foi, sem dúvida, o que
se conseguiu com sua aplicação ao átomo de Hidrogênio, pois o cálculo dos autovalores encontrados para
a energia são rigorosamente idênticos aos níveis de energia permitidos pelo modelo de Bohr. Estando ambas
as previsões de acordo com os resultados experimentais, a vantagem do modelo atual reside no fato de que
ele pode ser estendido a outros sistemas, bastando alguns “ajustes matemáticos”. Já o modelo de Bohr...
A partir desse novo modelo atômico, na segunda parte deste artigo, vamos discutir a formação das
moléculas (de Hidrogênio ou H2) através da formação de seus orbitais moleculares (OM). Mas isso ...
*[Os orbitais 2p
x
e 2py têm a mesma geometria. Por opção, representamos 2py. O orbital 2px é “igual”, só que girado de 90o no plano XY].
ANO 4 - NO 24
AGOSTO - 2005
PÁGINA 7
Notas da parte 1:
(1) Sobre este assunto, não deixe de ler o artigo “O Átomo de Bohr - parte 1”, de Luiz Alberto Guimarães,
publicado no Folhetim no 21.
(2) Filósofo por excelência, em nossa opinião, Aristóteles de Estagira (384aC-322aC) [datas aproximadas] foi
um dos maiores gênios da Humanidade. Mesmo com a total falta de recursos de sua época trabalhou sobre
inúmeras questões em diferentes áreas do conhecimento. Organizou compêndios sobre diversos temas, podendo
ser considerado como uma das “pedras basilares” da cultura e da civilização ocidental.
(3) Sobre este assunto, não deixe de ler o artigo “O Átomo de Bohr - parte 2”, de Luiz Alberto Guimarães,
publicado no Folhetim no 22.
(4) Empirismo: doutrina que se baseia exclusivamente na experiência, como única fonte de conhecimentos.
(5) Este foi um dos maiores problemas enfrentados pelo modelo de Bohr. A esse respeito, além do artigo citado
na nota (3), consulte também a página 228 do volume Eletricidade e Ondas da coleção Fisica (dos autores
Luiz Alberto Guimarães e Marcelo Fonte Boa).
(6) O eV [lê-se: elétron-volt] é uma unidade de energia. Corresponde à energia que um elétron adquire quando
percorre uma d.d.p. de um volt. Convertendo para o SI: 1,0eV ≅ 1,6 . 10−19J.
(7) Assunto superinteressante e empolgante, um daqueles que merecem artigo. Mas por enquanto ... podemos
adiantar que as raias espectrais foram inicialmente observadas por William Wollaston (1766-1828), em 1802.
Todavia, avanços científicos e tecnológicos devem-se a Joseph von Fraunhofer (1787-1826) que em 1814
iniciou amplo registro de observações sobre o fenômeno. Essas observações estimularam o interesse de diversos
físicos e contribuíram com a descoberta de novos elementos. Em 1859, Gustav Kirchhoff (1824-1887) e Robert
Bunsen (1811–1899), constróem um espectroscópio. Em 1885, Johann Balmer (1825-1898) propôs uma fórmula
empírica capaz de calcular a posição de dezenove das linhas de Fraunhofer na região do espectro visível do
Hidrogênio. Em 1890, Johannes Rydberg (1854-1919) expressou a fórmula de Balmer em termos do número de
onda (inverso do comprimento de onda) e observou que as posições das raias espectrais de outros elementos
apresentavam um fator numérico constante, hoje conhecido como constante de Rydberg. Em 1908, Louis
Paschen (1865-1947) encontrou um série espectral do Hidrogênio, desta vez na região do infravermelho. E ...
(8) No latim quanta é plural de quantum. Fóton foi o nome proposto em 1926, por Gilbert Lewis (1875-1946),
em uma carta para a revista Nature.
(9) Vale a consulta às páginas 228 e seguintes do, já citado, volume Eletricidade e Ondas.
(10) A experiência de Frank-Hertz é outro daqueles “episódios” que merecem um artigo. Em breve estaremos
apresentando esse tema.
(11) Observado inicialmente em 1896 por Pieter Zeeman (1865-1943) esse efeito, que leva seu nome, consiste
na “separação” das raias espectrais por influência magnética. Daqui sairá mais um artigo ...
(12) Nessa questão, além dos comentários (3) e (5) anteriores, sugerimos a você refletir sobre a frase: “As leis
de Maxwell estão para o eletromagnetismo assim como as leis de Newton estão para a Mecânica Clássica.”
(13) Estamos no “Ano Mundial da Física”, comemorando 100 anos dos trabalhos de Einstein de 1905. Há uma
série de atividades de divulgação científica ocorrendo por todo esse Brasil. Não deixe de verificar na universidade
mais próxima seu cronograma de eventos. O site oficial da SBF é http://www.sbf1.sbfisica.org.br/eventos/amf/
(14) O mais interessante dessa história é observar que em 1927, ou seja, 30 anos após “a descoberta do elétron
como partícula” realizada por J. J. Thomson (1856-1940) , seu filho G. P. Thomson verifica experimentalmente
a difração de elétrons, um fenômeno eminentemente ondulatório, confirmando as idéias propostas por de Broglie.
Ambos os Thomson’s ganharam prêmios Nobel, com a diferença de 30 anos.
(15) Uma derivada parcial temporal de uma função que não depende do tempo fornece um valor constante.