Carlos Alberto Kamienski ([email protected])
UFABC
INF-103: Avaliação de Desempenho
Geração de Números
Aleatórios
Motivação
Um dos principais passos para a realização de
simulações e experimentações é a geração de
valores aleatórios para algumas variáveis com
alguma distribuição e probabilidade específica,
como normal e exponencial
Procedimento composto de 2 passos


Gerar um número aleatório entre 0 e 1
Transformar esse número em um valor que satisfaça a
distribuição específica
2
Motivação
Algumas geradores de números aleatórios são
melhores do que os outros
Como gerar números aleatórios para
simulação/experimentação?
O que são números aleatórios adequados para
simulação/experimentação?
Como funciona a geração de números
aleatórios/experimentação?
3
Um gerador simples
O métodos mais comum é usar uma relação
recursiva na qual o próximo número na seqüência
é uma função do último número gerado (ou dos
últimos dois números)

xn = f (xn-1, xn-2, ...)
Por exemplo

xn = 5 xn-1 + 1 mod 16
Começando com x0 = 5

x1 = 5(5) + 1 mod 16 = 26 mod 16 = 10
4
Um gerador simples
Os primeiros 32 números obtidos através do
procedimento acima são

10, 3, 0, 1, 6, 15, 12, 13, 2, 11, 8, 9, 14, 7, 4, 5 10, 3, 0, 1, 6, 15,
12, 13, 2, 11, 8, 9, 14, 7, 4, 5
Dividindo os xi por 16

0,6250; 0,1875;
0,1250; 0,6875;
0,6250; 0,1875;
0,1250; 0,6875;
0,0000;
0,5000;
0,0000;
0,5000;
0,0625; 0,3750, 0,9375; 0,7500;
0,5625; 0,8750; 0,4375; 0,2500;
0,0625; 0,3750, 0,9375; 0,7500;
0,5625; 0,8750; 0,4375; 0,2500;
0,8125;
0,3125;
0,8125;
0,3125
5
Terminologia
Semente

x0 = valor usado para iniciar a seqüência = 5
Ciclo




Somente os 16 primeiros números são únicos
O 17º é igual ao primeiro
Dado um número, o próximo será sempre o mesmo
O tamanho do ciclo deste gerador é 16
Cauda

Alguns geradores não repetem a parte inicial da seqüência de
números, que é chamada de cauda
6
Números pseudo-aleatórios
A função f é determinística

Dada a mesma semente, a função f sempre gerará a mesma
seqüência de números
Os números ainda pode ser considerados aleatórios porque
passam em testes de aleatoriedade
Esses números são apenas parcialmente aleatórios
Em simulação, são preferíveis a números totalmente
aleatórios porque é possível repetir os experimentos
Se um resultado diferente é necessário, é possível alterar a
semente
Controle sobre a reprodutibilidade dos experimentos
7
Tipos de Geradores
Geradores congruo-lineares
Geradores de Tausworthe
Geradores de Fibonacci estendidos
Geradores combinados
8
Geradores congruo-lineares
Descobertos por D.H. Lehmer em 1951: Os resíduos de
potências sucessivas de um número têm boas propriedades
aleatórias.
xn = an mod m
Ou de forma equivalente,
xn = a.xn-1 mod m

a multiplicador

m
módulo
Lehmer escolheu os seguintes valores: a = 23 e m = 108
Bom para o ENIAC: máquina com 8 dígitos decimais.
9
Geradores congruo-lineares
Generalizacão (atualmente em uso):
xn = (a.xn-1 + b) mod m
Pode ser analisado utilizando a teoria das
congruências

Geradores Congruo-Lineares Mistos

Geradores Congruo-Lineares (LCG)
misto = possui tanto uma multiplicação por a como uma adicão de b
10
Seleção dos Parâmetros do LCG
a, b e m afetam o período e a autocorrelação
O módulo m deve ser grande

O período nunca será maior do que m
Para o cálculo ser eficiente, m deve ser potência de 2

Assim, mod m pode ser obtido por truncamento
Se b é não-nulo, período máximo m será obtido se e só se:



Os inteiros m e b forem primos entre si.
Todo número primo que for um fator de m deve ser também um fator de a
-1
Se m for múltiplo de 4, a -1 também deve ser múltiplo de 4.
Essas condições são satisfeitas se m = 2k, a = 4c + 1 e b
for ímpar
Onde, c,b e k são inteiros positivos
11
Correlação
Indica a força e a direção do relacionamento
linear entre duas variáveis aleatórias
 Correlação 1: correlação perfeita
 Correlação -1: anti-correlação perfeita
 Correlação 0: nenhuma correlação
Exemplos:

X={1,2,3,4,5}, Y={30,40,50,60,70}, correção = 1

X={1,2,3,4,5}, Z={70,60,50,40,30}, correção = -1

X={1,2,3,4,5}, W={1,10,1,10,1}, correção = 0

X={1,2,3,4,5}, V={1,20,5,10,15}, correção = 0,3746749
12
Auto-Correlação
Medida que informa o quanto o valor de uma
realização de uma variável aleatória é capaz de
influenciar seus vizinhos
Descreve a correlação entre valores da variável
em tempos diferentes
É uma ferramenta matemática usada para
encontrar padrões que se repetem

Ex.: presença de um sinal periódico
Na geração de números aleatórios, demonstra
aleatoriedade dos números
13
Auto-Correlação
X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4, 5,6,7,8,9,10,1,2,...}
14
Auto-Correlação
X= “1000 números: distribuição uniforme de 0 a 1”
15
Período x Auto-correlação
Um gerador que possua um período máximo é chamado de
gerador de período completo

xn = (234 + 1) xn-1 + 1 mod 235

xn = (218 + 1) xn-1 + 1 mod 235
É preferível aquele que exibir baixa auto-correlação entre
números sucessivos
Ambos os geradores têm o mesmo período completo, mas
o primeiro tem uma correlação de 0,25 entre xn-1 e xn,
enquanto que o segundo tem uma correlação desprezível
de menos do que 2-18
16
Seleção dos Parâmetros
0.58
Média Empírica
0.56
0.54
m = 231 – 1, a = 4, b = 1
0.52
0.5
m = 482, a = 13, b = 14
0.48
m = 27, a = 26, b = 5
0.46
0.44
m = 9, a = 4,b= 1
0.42
0
500
1000
1500
Tamanho da amostra
2000
17
Recomendações para Escolha da
Semente
Simulações com múltiplas seqüências:

necessitam de mais de uma cadeia de números aleatórios
Fila única = Duas cadeias

Intervalo entre chegadas e tempos de serviços aleatórios
Não usar zero

Pode ser usada com LCGs. Mas, LCGs multiplicativos ou um LCG de Tausworthe ficarão presos
em zero
Evite valores pares. Para LCGs multiplicativos com módulo m = 2k, a
semente deve ser ímpar
* É melhor evitar geradores que possuam muitas restrições sobre os
valores das sementes ou cujo desempenho (período e aleatoriedade)
dependam do valor da semente
18
Recomendações para Escolha da
Semente
3. Não subdivida uma cadeia.
Não gere sementes sucessivas: u1 para gerar intervalos entre chegadas,
u2 para gerar o tempo de serviço implica em Forte correlação
4. Use cadeias que não se superponham. Superposição Correlação.
Ex.: Mesma raiz implica na mesma cadeia
5. Reutilize sementes em replicações sucessivas.
6. Não utilize sementes aleatórias tais como a hora do dia:
Não dá para garantir ausência de superposição
19
Mitos Sobre a Geração de
Números Aleatórios
Um conjunto complexo de operações leva a resultados
aleatórios

É melhor usar operações simples que possam ser avaliadas analiticamente
quanto à sua aleatoriedade
Um teste simples, como o teste do qui-quadrado, é
suficiente para testar a qualidade de um gerador de
números aleatórios. A seqüência 0, 1, 2, ...m-1 passa no
teste do qui-quadrado com uma boa nota, mas falharia num
teste de execução.
Use tantos testes quantos forem possíveis
20
Mitos Sobre a Geração de
Números Aleatórios
3. Números aleatórios são imprevisíveis. É fácil
obter os parâmetros a,c e m a partir de alguns
números. Isso implica em LCGs serem
inadequados para aplicações de criptografia.
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Mitos Sobre a Geração de
Números Aleatórios
4. Algumas sementes são melhores do que outras.
xn = (9806 xn-1 + 1) mod (217 _ 1)

Funciona corretamente para todas as sementes exceto x0 = 37911

Fica preso em xn = 37911 para sempre

Geradores deste tipo devem ser evitados.



Qualquer semente diferente de zero na faixa válida deveria produzir seqüências de
igual qualidade.
Para alguns a semente deve ser ímpar.
Geradores cujo período ou aleatoriedade dependam da semente não devem ser
usadas, dado que um usuário desavisado pode não se lembrar de seguir todas as
diretrizes.
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Geração de Valores para Variáveis
Aleatórias (diferentes de U(0,1))
Seja F(x) a distribuição acumulada da função X
A inversa da função F
F 1( y )  inf x : F( x)  y ,0  y  1.
Gerar X como
X  F 1(U )
X  F 1(U )
Exemplo: Exponencial
F ( x )  1  e x
1
X  F (U )   ln(1  U )

1
23
Geração Números Aleatórios Java
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Geração Números Aleatórios Java
25
Geração Números Aleatórios Java
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Geração de Números
Aleatórios