Universidade Federal da Bahia
Instituto de Fı́sica
Unidade V – Meios Materiais
FIS123 – Fı́sica Geral e Experimental III - E - Turma: T07
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1. Determine na Figura 1 a capacitância equivalente da combinação. Suponha que C1 = 10, 0µF,
C2 = 5, 00µF e C3 = 4, 00µF.
Figura 1: Problemas: 1 e 2
2. Na Figura 1 suponha que o capacitor 3 sofra um ruptura elétrica, tornando-se equivalente a
um percurso condutor. Que mudanças (a) na carga e (b) na diferença de potencial ocorrem
para o capacitor 1? Suponha que V = 100V
3. A Figura 2 mostra dois capacitores em série; a seção central de comprimento b pode ser
movida verticalmente. Mostre que a capacitância equivalente desta combinação em série é
0 A
, onde A é a área da placa.
independente da posição da seção central e é dada por C =
a−b
Figura 2: Problema 3
1
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4. Na Figura 3, as capacitâncias são C1 = 1, 0µF e C2 = 3, 0µF e ambos os capacitores estão
carregados com uma diferença de potencial de V = 100V, mas com polaridades opostas, como
mostrado. As chaves S1 e S2 são agora fechadas. (a) Agora qual a diferença de potencial
entre os pontos a e b? Agora quais são as cargas sobre os capacitores (b) 1 e (c) 2?
Figura 3: Problema 4
5. Na Figura 4, a bateria B fornece 12V. Determine a carga sobre cada capacitor (a) primeiramente quando apenas a chave S1 for fechada e (b) mais tarde, quando a chave S2 também
for fechada. Adote C1 = 1, 0µF, C2 = 2, 0µF, C3 = 3, 0µF e C4 = 4, 0µF.
Figura 4: Problema 5
6. Quando a chave S é posicionada na esquerda na Figura 5, as placas do capacitor 1 adquirem
uma diferença de potencial ∆V0 . Os capacitores 2 e 3 estão inicialmente descarregados.
A chave agora é posicionada na direita. Quais são as cargas finais q1 , q2 e q3 sobre os
capacitores?
2
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Figura 5: Problema 6
7. Um capacitor cilı́ndrico possui raios a e b. Mostre que a metade da energia potencial elétrica
√
está localizada no interior de um cilindro cujo raio é r = ab.
8. Uma esfera metálica isolada e carregada com diâmetro de 10cm possui um potencial de 8000V
em relação a V = 0 no infinito. Calcule a densidade de energia no campo elétrico próximo à
superfı́cie da esfera.
9. (a) Mostre que as placas de um capacitor de placas paralelas se atraem com uma força dada
q2
por F =
. Para isso calcule o trabalho necessário para aumentar a separação entre as
20 A
placas de x para x + dx, com a carga q permanecendo constante. (b) Em seguida mostre que
a força por unidade de área (a tensão eletrostática) atuando sobre cada uma das placas do
1
capacitor é dada por 0 E 2 .1
2
10. Um capacitor de placas parelalas de área de placa A é preenchido com dois dielétricos como
na Figura 6a. Mostre que a capacitância é
C=
0 A κ1 + κ2
.
d
2
Verifique esta fórmula para casos limites.
1
2
2
Na verdade, esta é a força por unidade de área sobre qualquer condutor de qualquer formato com um campo
~ na sua superfı́cie.
elétrico E
Dica: Você pode justificar este arranjo como sendo dois capacitores em paralelo?
3
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Figura 6: Problemas 10 e 11
11. Um capacitor de placas paralelas com área A é preenchido com dois dielétricos como na
Figura 6b. Mostre que a capacitância é
C=
20 A κ1 κ2
.
d κ1 + κ2
Verifique esta fórmula para casos limites.
3
12. Qual a capacitância do capacitor, de área de placa A, mostrado na Figura 7?
4
Figura 7: Problema 12
13. O espaço entre duas cascas esféricas condutoras concêntricas de raios b e a (onde b > a) é
preenchido com uma substância com constante dielétrica κ. Existe uma diferença de potencial
V entre a casca interna e a casca externa. Determine
3
4
Dica: Você consegue justificar este arranjuo como sendo dois capacitores em série?
Dica: Veja os Problemas 40 e 41.
4
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(a) a capacitância do dispositivo,
(b) a carga livre q sobre a casca interna e
(c) a carga q 0 induzida ao longo da superfı́cie da casca interna.
14. Uma placa espessa dielétrica de espessura b é inserida entre as placas de um capacitor de
placas paralelas com separação d entre as placas. Mostre que a capacitância é então dada
por
C=
κ0 A
.
κd − b(κ − 1)
Verifique que a fórmula fornece resultados razoáveis para os casos especiais de b = 0, κ = 1
e b = d.
15. O capacitor com placas paralelas imerso no ar indicado na Figura 8 possui duas placas
condutoras de área A. A placa inferior repousa sobre um suporte fixo e a placa superior está
suspensa por quatro molas com constante k, colocadas nos quatro vértices da placa, como
mostra a figura. Quando descarregadas, as placas são separadas por um distância z0 . Uma
bateria é ligada produzindo uma diferença de potencial V entre placas. Isso faz a distância
entre as placas diminuir para z. Despreze os efeitos nas bordas das placas.
(a) Mostre que a força eletrostática entre as placas carregadas possui módulo
0 AV 2 5
.
2z 2
(b) Obtenha uma expressão que relacione a distância z com a diferença de potencial V . A
equação resultante será uma equação cúbica em z.
(c) Dados os valores A = 0, 300m2 , z0 = 1, 20mm, k = 25, 0N/m e V = 120V, calcule os
dois valores de z para os quais a placa do topo permanece em equilı́brio 6 .
(d) Para cada um dos valores de z encontrados na parte (c), verifique se o equilı́brio é estável
ou instável. Para o equilı́brio estável, um pequeno deslocamento do objeto dá origem a
uma força restauradora que força o objeto a voltar para a posição de equilı́brio. Para o
equilı́brio instável, um pequeno deslocamento dá origem a uma força resultante que faz
o objeto se afastar da posição de equilı́brio.
5
6
Dica: Veja o problema 33.
Dica: Você poderá resolver a equação cúbica substituindo o valor de z que satisfaça a equação com três algarismos
significativos. Se você fizer um gráfico, poderá localizar os valores iniciais de z para obter o resultado mais preciso
usando o método das tentativas. Uma das raı́zes da equação cúbica possui um valor negativo que não faz sentido
fı́sico.
5
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Figura 8: Problema 15
16. Um indicador do nı́vel de combustı́vel usa um capacitor para determinar a altura atingida
pelo combustı́vel em um tanque. A constante dielétrica efetiva κef varia de uma valor igual a
1 quando o tanque está vazio até um valor κ, a constante dielétrica do combustı́vel, quando o
tanque está cheio. Um circuito eletrônico apropriado pode determinar a constante dielétrica
efetiva da camada de ar combinada com a camada de combustı́vel entre as placas do capacitor.
Cada uma das duas placas retangulares possui largura w e um comprimento L (Figura 9).
A altura do combustı́vel entre as placas é h. Despreze qualquer efeito de borda.
Figura 9: Problema 16
(a) Deduza a expressão para κef em função de h.
(b) Qual é a constante dielétrica efetiva quando o tanque está cheio até um quarto de seu
volume, até a metade do volume e até três quartos de volume se o combustı́vel for
gasolina (κ = 1, 95)?
6
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(c) Repita a parte (b) para o metanol (κ = 33, 0).
(d) Para qual dos fluidos esse indicador do nı́vel de combustı́vel é mais prático?
17. Um capacitor simples é um dispositivo formado por dois condutores isolados, adjacentes.
Quando os condutores estão carregados com cargas iguais e opostas, existe uma certa diferença de potencial entre eles. A razão entre o módulo da carga em um dos condutores e o
módulo da diferença de potencial é denominada capacitância. Usando a lei de Gauss, calcule
a capacitância dos seguintes capacitores, desprezando os “efeitos de bordas”:
(a) Dois planos condutores, grandes, de área A, separados por uma pequena distância d;
(b) Duas esferas condutoras concêntricas com os raios a e b (b > a);
(c) Dois cilindros condutores coaxiais de comprimento L, compridos em comparação com
os raios a e b (b > a);
(d) Suponha que os capacitores dos itens anteriores (b) e (c) tenham raios aproximadamente
iguais (b − a = d, com d a). Mostre, sob estas condições, que esses dispositivos se
aproximam de um capacitor de placas paralelas do item (a).
18. Um capacitor simples é um dispositivo formado por dois condutores isolados, adjacentes.
Quando os condutores estão carregados com cargas iguais e opostas, existe uma certa diferença de potencial entre eles. A razão entre o módulo da carga em um dos condutores
e o módulo da diferença de potencial é denominada capacitância. Sejam dois condutores
cilı́ndricos (não coaxiais), longos, de raios a1 e a2 , paralelos e separados, em relação aos seus
centros, por uma distância d que é grande em comparação com qualquer dos raios. Mostre
que a capacitância por unidade de comprimento é dada aproximadamente por
−1
d
C ' π0 ln
a
onde a é a média geométrica dos raios, ou seja, a =
7
√
a1 a2 .
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RESPOSTAS
1. 3,16 µF
7. Mostre!
2. (a)
8.
ε0 V 2
2R2
C1 (C1 + C2 )
V
C1 + C2 + C3
9. (a) Mostre!
(b)
(b) Mostre!
C1 + C2
V
C1 + C2 + C3
10. Mostre!
3. Mostre!
11. Mostre!
4. (a) 50 V
12.
(b) 5, 0 × 10−5 C
ε0 A
2d
(c) 1, 5 × 10−4 C
κ
κ2 κ3
+
2
κ2 + κ3
13. (a)
5. (a)
C1 C3
q1 = q3 =
V
C1 + C3
C2 C4
q2 = q4 =
V
C2 + C4
4πε0
ab
b−a
(b)
(b)
4πκε0
C1 (C3 + C4 )
V
C1 + C2 + C3 + C4
C2 (C3 + C4 )
q2 =
V
C1 + C2 + C3 + C4
C3 (C1 + C2 )
q3 =
V
C1 + C2 + C3 + C4
C4 (C1 + C2 )
q4 =
V
C1 + C2 + C3 + C4
q1 =
ab
b−a
(c)
4π(κ − 1)ε0
ab
b−a
14. Mostre!
15. (a) Mostre!
(b)
6.
C12 (C2 + C3 )
∆V0
C1 C3 + C1 C2 + C2 C3
C1 C2 C3
q2 = q3 =
∆V0
C1 C3 + C1 C2 + C2 C3
2z 3 − 2z 2 z0 + ε0
q1 =
AV 2
=0
4k
(c) 0,537 mm e 1,01 mm
8
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(d) estável:
1,01
mm
e
instável:
(b)
0,537 mm
4πε0
16. (a)
1+
h
(κ − 1)
L
ab
b−a
(c)
−1
b
2πε0 L ln
a
(b) Gasolina: 1,24; 1,48 e 1,71.
(c) Metanol: 9; 17 e 25.
(d) Mostre!
(d) Discuta!
17. (a)
18. Mostre!
ε0 A
d
9