Matemática
Polinômios
CAPÍTULO 01 - INTRODUÇÃO
Se todos os coeficientes de um polinômio
forem nulos, ou seja
,
denomina-se o polinômio de Polinômio Nulo.
1- INTRODUÇÃO
Em matemática, polinômios ou funções
polinomiais são uma classe importante de funções
que, devido à sua simplicidade, são bastante usadas
em análises numéricas. Um fato interessante é que,
para qualquer função real, existe uma função
polinomial que se aproxime suficientemente dela
(alunos que ingressarem na área de exatas
estudarão esse fato mais a fundo).
Durante o estudo de matemáticos na Europa
do século XI, criou-se um paralelo entre o estudo de
equações algébricas polinomiais e o de números
complexos. Portanto, antes de iniciar o estudo sobre
polinômios é importante que o aluno esteja bem
familiarizado com os conceitos e as propriedades
dos números complexos.
( )
3 - GRAU DE UM POLINÔMIO
Define-se o grau de um polinômio como o
índice do termo de coeficiente não-nulo com maior
expoente do polinômio. O grau de ( ) normalmente
é representando por ( ) ou .
Exemplos:
( )

grau 3
( )

( )

( )

( )

2 – DEFINIÇÕES INICIAIS
é um polinômio de grau 5
é um polinômio de grau 1
é um polinômio de grau 0
é um polinômio de grau 20
Se o grau de um polinômio P é n, então
é
chamado de coeficiente dominante de P. No caso
do coeficiente dominante
ser igual a 1, P é
chamado polinômio unitário.
Uma função
:
é dita polinomial
quando ela é expressa da seguinte forma:
( )
Exemplos:
( )

e ( )
são polinô
mios unitários, pois, em ambos,
.
As constantes complexas (reais ou não)
são denominadas coeficientes e as
parcelas
são denominadas termos
do polinômio . O coeficiente
é chamado de
termo independente.
Observação:
Se o grau é dado pelo índice do termo de
coeficiente não-nulo com maior expoente, qual é o
grau do polinômio P(x) = 0, que não possui
coeficientes não-nulos?
Para manter a coerência da nossa
definição, diremos que o polinômio nulo, P(x) = 0,
não possui grau.
Exemplos:
( )

( )

( )

Uma função polinomial de um único termo é
denominada função monomial ou monômio.
4 – VALOR NUMÉRICO
Exemplos:
( )

( )

Dados o número complexo
e o polinômio
( )
, chama-se valor
numérico de em a imagem de pela função ,
isto é:
( )
Se P(x) é uma função que tenha como
domínio e imagem um subconjunto dos reais,
diremos que o polinômio é Real. Isto é, se x puder
assumir apenas valores reais e
forem
reais, P(x) será dito um Polinômio Real. Essa
notação será utilizada muitas vezes no decorrer dos
próximos capítulos.
Exemplos:
Se ( )
( )

( )

( )

()

ATENÇÃO!
( )
não é um polinômio,
pois
não é uma potência natural
de x (já que -1 IN).
16
é um polinômio de
Observação:
Algebra
CASD Vestibulares

A soma dos coeficientes de P(x) é dada por
P(1). Veja:
2
n
P(1) = a0 + a1.1 + a2.1 + … + an.1
( )
é um polinômio de
grau 3. Suas três únicas raízes são
,
e
.
( )
é um
polinômio de grau 4, mas suas únicas raízes
são
e
. Não pense que neste
caso o teorema não é válido, a raíz
é
uma raíz de multiplicidade 3, ou seja,
é
raíz de três vezes. Estudaremos esse fato
mais a fundo na frente.

P(1) = a0 + a1 + a2 + … + an
5 - RAÍZES DE UM POLINÔMIO
Se
é um número complexo e
é um
polinômio tal que ( )
, dizemos que
é uma
raiz ou um zero de . Por exemplo, os números
e
são raízes de ( )
, pois:
( )
( )
( )

( )
( )
( )
( )

( )
Observação:
Não se preocupe, por enquanto, em tentar
calcular raízes do polinômios de grau maior igual a 2,
veremos em capítulos mais a frente técnicas e
teoremas que nos permitirão fazer isso.
Exercício Resolvido 1
Determine a(s) raiz(es) de ( )
7 - IDENTIDADE DE POLINÔMIOS
Resolução:
Para determinar as raízes de ( ), temos que
resolver a equação ( )
Como
de ( ) é
Dois polinômios
e
são ditos idênticos
(ou iguais) quando assumem valores numéricos
iguais para todo
complexo. Em símbolos,
indicamos:
, temos que a única raíz
.
( )
Exercício Resolvido 2
A implicação direta disso é que dois
polinômios idênticos possuem todos os seus
coeficientes
correspondentes
iguais.
Simbolicamente:
Determine a(s) raiz(es) de ( )
Resolução:
Para determinar as raízes de ( ), temos que
resolver a equação ( )
Isso é uma equação do segundo grau.
Determinemos suas soluções:
(
(
Exercício Resolvido 4
)
)
√
( )
de
Se
e
( )
polinômios
e
são idênticos, determine o valor
( )
( )
Se são idênticos, devemos igualar os seus
coeficientes correspondentes. Sendo assim:
6 – TEOREMA FUNDAMENTAL DA
ÁLGEBRA
Enunciaremos agora um teorema de extrema
importância no estudo de polinômios, porém de difícil
demonstração.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Todo polinômio de coeficientes complexos
e de grau n possui exatamente n raízes
complexas.
Exemplos:
( )

é um
polinômio de grau 4. Suas 4 únicas raízes
são
,
,
e
, são os
únicos valores complexos de x que zeram a
expressão acima.
( )

é um polinômio de grau 2.
Suas duas únicas raízes são
e
.
03
os
{
Resolução:
Assim as raízes de ( ) são
( )
Nível I
01. (UFRN) Para qualquer número inteiro
( )
, então ( ) é igual a:
a) 2
b) 0
c) -2
d) 4
, se
02. (CESGRANRIO) O valor real de a para o qual i é
5
4
raiz do polinômio P(x) = x + x + ax -1 é:
a) -1 b) 1
c) -2
d) 2
e) 3
Algebra
CASD Vestibulares
2 10
15
03. (ITA) Se P(x) = (1 – x + x ) (2x 1) , então a
soma dos coeficientes numéricos de P(x) vale:
a) 0
b) 1
c) -1
d) ½
e) 2
15. (UBERL) Se P(x) é um polinômio tal que
2
3
2P(x) + x P(x-1) x + 2x +2, então P(1) é igual a:
a) 0
b) -1 c) 1
d) -2 e) 2
04. (VUNESP) Para quais valores reais de a, b e c
3
2
as funções f(x) = x
+ x
+ x e
3
2
g(x) = x + (a+b)x + (b+c)x + a – b – c, são iguais?
Nível III
16.
(ITA-2008)
Considere
o
polinômio
( )
, em que uma
das raízes é
. Sabendo que
e
são reais e formam, nesta ordem, uma progressão
aritmética com
, então ( ) é igual a:
a) -25 b) -27 c) -36 d) -39 e) -40
05. (FUVEST) Calcule os coeficientes do polinômio
do 1º grau P:
tal que P(0) = 1 + i e P(1+i) = 0.
3
2
06. (LAVRAS) Seja f(x) = x + a.x + b.x + c.
Sabendo-se que o gráfico de f passa pelos pontos
( 1; 7), (0; 1) e (1; 1), encontre os valores de a,
de b e de c.
17. (UESPI – 2012) Uma função f, tendo como
domínio e contradomínio o conjunto dos números
reais, satisfaz f(3  x)  f(3  x), para todo x real. Se
f(x)  0 admite exatamente quatro raízes reais,
quanto vale a soma destas raízes?
a) 12
b) 11
c) 10
d) 9
e) 8
07. (PUC-RS) Dado o polinômio
n
n-1
p(x) = x + x + … + x + 1, onde n é ímpar, o valor
de p(-1) é:
a) -2 b) -1 c) 0
d) 1
e) 2
18. (EUA) A função f(x) satisfaz f(2+x) = f(2-x) para
todos os numeros reais x. Se a equação f(x) = 0 tem
exatamente 4 raízes reais distintas, então a soma
dessas raízes é:
a) 0
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8
Nível II
08. (UEL-PR) O valor de
para que o polinômio
( )
satisfaça
a
sentença
( )
(
) é:
a)
b) 0
c)
d) 1
e)
GABARITO
09.
(UFSM-RS)
No
polinômio
n+1
n
n-1
2
p(x) = x
+ x + x + … + x + x + 1, n é par e
maior do que 2. Assim o valor da expressão
2p( 1) + p(1) – 1 é:
a) n
b) n+1 c) n+2 d) 2n-1 e) 0
n
n-1
n-2
01 02 03 04 05
D
A
B
(*) (*)
11 12 13 14 15
6
B
(*)
C
E
(*) 04. a = 1, b = 0 e c = 1
05. a = -1 e b = 1 + i
06. a = -2, b = 3 e c = -1
13. a) c.q.d.
2
10. (UESB) Se P(x) = x – x + x - ... + x – x +1 e
P(-1) = 19, então n é igual a:
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18
3
2
|e ( )
idênticos, então o valor de
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5
09
B
10
E
02. Lembre-se das potências cíclicas do i.
03. P(1)
04. Iguale os coeficientes e resolva o sistema linear.
05. Lembra daquelas questões de função do 1º
grau? É igual, só que com complexos.
06. Lembre-se que o gráfico de f passar pelo ponto
(a; b) é o mesmo que f(a) = b.
são
é:
13. (UNICAMP 2000) Considere a equação:
2
2
2 [x + (1/x )] + 7 [x + (1/x)] + 4 = 0
a) Mostre que x = i é raiz dessa equação.
b) Encontre as outras raízes da mesma equação.
n
07. Lembrando que (-1) = {
08. x = 1
09 e 10. Mesma dica da 7.
11. Tente achar o P(0) e o P(-1)
13. x + 1/x = k
14. x = 3 e x = -1 na equação dada.
15. x = 1 e x = 0.
16. Calcule p(-1) e em seguida substitua os termos
da PA.
17 e 18. Suponha que as raízes podem ser escritas
na forma x = a + b e x = a – b, onde a = 3 e a = 2,
nas questões 17 e 18, respectivamente.
14. (EsPCEx - 2012) Os polinômios A(x) e B(x) são
tais que A  x   B  x   3x3  2x2  x  1. Sabendo-se
que 1 é raiz de A(x) e 3 é raiz de B(x), então
A  3   B  1 é igual a:
a) 98 b) 100 c) 102
d) 103 e) 105
03
08
C
18
E
DICAS
12. (UECE-2008) Se os polinômios
|
07
C
17
A
b) -i; (- 7+ 33 )/4 e (- 7- 33 )/4
11. (FUVEST) Um polinômio P(x) = x + ax + bx + c
satisfaz as seguintes condições: P(1) = 0 e
P(-x) + P(x) = 0; x IR. Calcule o valor de P(2).
( )
06
(*)
16
A
Algebra
CASD Vestibulares
03
Algebra
CASD Vestibulares