PA – Progressão Aritmética
1. (Unicamp 2014) O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 m e as medidas dos
lados estão em progressão aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a
a) 3,0 m2.
b) 2,0 m2.
c) 1,5 m2.
d) 3,5 m2.
2. (Uece 2014) Seja (an ) uma progressão aritmética crescente, de números naturais, cujo
primeiro termo é igual a 4 e a razão é igual a r. Se existe um termo desta progressão igual a
25, então a soma dos possíveis valores de r é
a) 24.
b) 28.
c) 32.
d) 36.
3. (Uerj 2014) Admita a realização de um campeonato de futebol no qual as advertências
recebidas pelos atletas são representadas apenas por cartões amarelos. Esses cartões são
convertidos em multas, de acordo com os seguintes critérios:
- os dois primeiros cartões recebidos não geram multas;
- o terceiro cartão gera multa de R$ 500,00;
- os cartões seguintes geram multas cujos valores são sempre acrescidos de R$ 500,00 em
relação ao valor da multa anterior.
Na tabela, indicam-se as multas relacionadas aos cinco primeiros cartões aplicados a um
atleta.
Cartão amarelo
recebido
1º
2º
3º
4º
5º
Valor da multa (R$)
–
–
500
1.000
1.500
Considere um atleta que tenha recebido 13 cartões amarelos durante o campeonato.
O valor total, em reais, das multas geradas por todos esses cartões equivale a:
a) 30.000
b) 33.000
c) 36.000
d) 39.000
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4. (Uerj 2014) Uma farmácia recebeu 15 frascos de um remédio. De acordo com os rótulos,
cada frasco contém 200 comprimidos, e cada comprimido tem massa igual a 20mg.
Admita que um dos frascos contenha a quantidade indicada de comprimidos, mas que cada um
destes comprimidos tenha 30mg. Para identificar esse frasco, cujo rótulo está errado, são
utilizados os seguintes procedimentos:
- numeram-se os frascos de 1 a 15;
- retira-se de cada frasco a quantidade de comprimidos correspondente à sua numeração;
- verifica-se, usando uma balança, que a massa total dos comprimidos retirados é igual a
2540mg.
A numeração do frasco que contém os comprimidos mais pesados é:
a) 12
b) 13
c) 14
d) 15
5. (Espcex (Aman) 2014) Os números naturais ímpares são dispostos como mostra o quadro
1ª linha
2ª linha
3ª linha
4ª linha
5ª linha
...
1
3
7
13
21
...
5
9
15
23
...
11
17
25
...
19
27
...
29
...
...
O primeiro elemento da 43ª linha, na horizontal, é:
a) 807
b) 1007
c) 1307
d) 1507
e) 1807
6. (Cefet MG 2013) Durante o mesmo período, dois irmãos depositaram, uma vez por semana,
em seus respectivos cofrinhos, uma determinada quantia, da seguinte forma: o mais novo
depositou, na primeira semana, R$ 1,00, na segunda, R$ 2,00, na terceira, R$ 3,00 e assim,
sucessivamente, enquanto que o mais velho colocou R$ 10,00 semanalmente até que ambos
atingissem a mesma quantidade de dinheiro. Não havendo retirada em nenhum dos cofrinhos,
a quantia que cada irmão obteve ao final desse período, em R$, foi de
a) 19.
b) 21.
c) 190.
d) 210.
e) 290.
7. (Uerj 2013) Na figura, está representada uma torre de quatro andares construída com cubos
congruentes empilhados, sendo sua base formada por dez cubos.
Calcule o número de cubos que formam a base de outra torre, com 100 andares, construída
com cubos iguais e procedimento idêntico.
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8. (Fgv 2013) Um anfiteatro tem 12 fileiras de cadeiras. Na 1Ŗ fileira hį 10 lugares, na 2Ŗ hį 12, na 3Ŗ
hį 14 e assim por diante (isto é, cada fileira, a partir da segunda, tem duas cadeiras a mais que a da frente).
O nśmero total de cadeiras é
a) 250
b) 252
c) 254
d) 256
e) 258
9. (Ufmg 2013) Dentro dos bloquinhos que formam uma pirâmide foram escritos os números
naturais, conforme ilustrado na figura abaixo, de forma que:
— na primeira linha da pirâmide aparece um número: 1;
— na segunda linha da pirâmide aparecem dois números: 2 e 3;
— na terceira linha da pirâmide aparecem três números: 4, 5 e 6;
— na quarta linha da pirâmide aparecem quatro números: 7, 8, 9 e 10, e assim
sucessivamente.
Considerando essas informações,
a) DETERMINE quantos bloquinhos são necessários para construir as 10 primeiras linhas da
pirâmide.
b) DETERMINE o último número escrito na trigésima linha da pirâmide.
c) DETERMINE a soma de todos os números escritos na trigésima linha da pirâmide.
10. (Fgv 2013) Entre 2006 e 2010, foram cometidos em média 30 crimes por ano em Kripton
(entre roubos, estelionatos e assassinatos). Em 2007, foram cometidos 40 crimes no total.
Entre 2006 e 2010, o número de crimes evoluiu em uma progressão aritmética.
a) Qual é a razão da progressão aritmética em que evoluiu o número de crimes, entre 2006 e
2010?
b) Em 2010, houve duas vezes mais roubos que assassinatos e igual número de roubos e
estelionatos. Quantos estelionatos ocorreram em 2010?
c) Em 2011, foram cometidos 30 crimes. Qual é o número médio de crimes cometidos entre
2007 e 2011?
11. (G1 - utfpr 2013) A quantidade de números inteiros entre 50 e 100 que sejam múltiplos dos
números 3 e 4 ao mesmo tempo é:
a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 13.
e) 17.
12. (Uepg 2013) Um total de n bolas está distribuído em 20 caixas, de modo que a primeira
caixa contém 3 bolas, a segunda caixa contém 6 bolas, a terceira caixa contém 9 bolas e assim
sucessivamente, formando uma P.A. Sobre o número n de bolas, assinale o que for correto.
01) n é um múltiplo de 6.
02) n > 600.
04) n é um múltiplo de 4.
08) n < 650.
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13. (Ufg 2013) Pretende-se levar água de uma represa até um reservatório no topo de um
morro próximo. A potência do motor que fará o bombeamento da água é determinada com
base na diferença entre as alturas do reservatório e da represa.
Para determinar essa diferença, utilizou-se uma mangueira de nível, ou seja, uma mangueira
transparente, cheia de água e com as extremidades abertas, de maneira a manter o mesmo
nível da água nas duas extremidades, permitindo medir a diferença de altura entre dois pontos
do terreno. Esta medição fica restrita ao comprimento da mangueira, mas, repetindo o
procedimento sucessivas vezes e somando os desníveis de cada etapa, é possível obter a
diferença de altura entre dois pontos quaisquer.
No presente caso, realizaram-se 50 medições sucessivas, desde a represa até o reservatório,
obtendo-se uma sequência de valores para as diferenças de altura entre cada ponto e o ponto
seguinte, h1, h2 , h3 , ..., h50 , que formam uma progressão aritmética, sendo h1  0,70 m,
h2  0,75 m, h3  0,80 m, e assim sucessivamente. Com base no exposto, calcule a altura do
reservatório em relação à represa.
14. (Mackenzie 2013) Em uma progressão aritmética o primeiro termo é 2 e a razão é 4. Nessa
progressão, a média aritmética ponderada entre o terceiro termo, com peso 2, e 10% da soma
dos cincos primeiros termos, com peso 3, é
a) 1
b) 3
c) 5
d) 7
e) 9
15. (Espcex (Aman) 2013) Em uma progressão aritmética, a soma Sn de seus n primeiros
termos é dada pela expressão Sn  5n2  12n, com n 
a) –2
b) 4
c) 8
d) 10
e) 12

. A razão dessa progressão é
16. (Ufg 2013) Participaram de uma reunião 52 pessoas, entre homens e mulheres. Uma a
uma, todas as mulheres passaram a convidar alguns dos homens presentes para adicioná-las
como contatos em suas redes sociais, de maneira que a primeira mulher convidou sete
homens, a segunda convidou oito, a terceira nove, e assim sucessivamente. Cada uma
convidou um homem a mais que a anterior, até que a última das mulheres convidou todos os
homens presentes. Nestas condições, calcule o número de mulheres e o de homens na
reunião.
17. (Pucrj 2013) Se a soma dos quatro primeiros termos de uma progressão aritmética é 42, e
a razão é 5, então o primeiro termo é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
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18. (Enem 2013) As projeções para a produção de arroz no período de 2012–2021, em uma
determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da
produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida
nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção.
Ano
Projeção da produção (t)
2012
50,25
2013
51,50
2014
52,75
2015
54,00
A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 2012 a
2021 será de
a) 497,25.
b) 500,85.
c) 502,87.
d) 558,75.
e) 563,25.
19. (Upf 2012) Num laboratório está sendo realizado um estudo sobre a evolução de uma
população de vírus. A seguinte sequência de figuras representa os três primeiros minutos da
reprodução do vírus (representado por um triângulo).
Supondo que se mantém constante o ritmo de desenvolvimento da população de vírus, qual o
número de vírus após uma hora?
a) 140
b) 180
c) 178
d) 240
e) 537
20. (Unioeste 2012) Quantos múltiplos de 13 existem entre 100 e 1000?
a) 65.
b) 80.
c) 69.
d) 49.
e) 67.
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[C]
Sejam x, x  r e x  2r as medidas, em metros, dos lados do triângulo, com x, r  0.
Aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos x  3r. Logo, os lados do triângulo medem
3r, 4r e 5r.
Sabendo que o perímetro do triângulo mede 6,0 m, vem
3r  4r  5r  6  r 
1
.
2
Portanto, a área do triângulo é igual a
2
3r  4r
 1
 6     1,5 m2.
2
2
Resposta da questão 2:
[C]
an  a1  (n  1)  r
23  4  (n  1)  r
(n  1)  r  21
Logo:
n – 1 = 3 e r = 7 ou
n – 1 = 7 e r = 3 ou
n – 1 = 1 e r = 21 ou
n – 1 = 21 e r = 1
Portanto, a soma dos possíveis valores de m será dada por
7 + 3 + 21 + 1 = 32.
Resposta da questão 3:
[B]
As multas relacionadas formarão uma P.A. de 11 termos e de razão 500 (500, 1000, 1500, ... ,
a11).
Onde, a11 = 500 + 10 . 500 = 5500
Calculando a soma dos 11 primeiros termos dessa P.A., temos:
S
(500  5500)  11
 33000
2
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Resposta da questão 4:
[C]
Supondo que todos os comprimidos tivessem massa igual a 20mg, a massa total retirada dos
frascos seria igual a
20  (1  2  3 
(1  15)
 15
2
 2400mg.
 15)  20 
Daí, como a diferença entre a massa dos comprimidos é de 30  20  10mg, segue que o
número do frasco que contém os comprimidos mais pesados é
2540  2400
 14.
10
Resposta da questão 5:
[E]
a
Até a 42 linha, temos:
1 2  3  4 
 40  41  42 
(1  42)  42
 903 termos.
2
Portanto, o primeiro elemento da 43ª linha será o 904º número natural ímpar. Então:
a904  1  903  2  1807.
Resposta da questão 6:
[C]
Considerando n a quantidade de depósitos, temos:
Primeiro irmão: 1  2  3  4 
Segundo irmão: 10  10  10 

n n  1
2
  10n
Igualando as duas expressões, temos:
n n  1
2
 10n  n2  19n  0  n  não convém ou n  19
Portanto, no final do período cada irmão, obteve 10  19  R$190,00.
Resposta
da
questão
O número de cubos que formam a base de uma torre de 100 andares é dado por
1 2  3 
7:
1  100
 100
2
 101 50
 5050.
 100 
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Resposta da questão 8:
[B]
O número de lugares cresce segundo uma progressão aritmética de primeiro termo igual a 10
e razão 2. Logo, o número total de cadeiras é
 2  10  11 2 

  12  252.
2


Resposta da questão 9:
a) O número de bloquinhos para construir as 10 primeiras linhas é igual à soma dos
números naturais de 1 até 10.
S10 
(1  10)  10
 55.
2
b) O último número escrito na trigésima linha da pirâmide é igual a soma dos 30 primeiros
números naturais
S30 =
(1  30).30
 465
2
c) O último número escrito na trigésima linha é 465 e o primeiro é 465 – 29 = 436.
Calculando agora a soma dos 30 termos da P.A. (436, 437, 438, ..., 464, 465)
 436  465  30
 13515.
2
Resposta da questão 10:
a) Sabendo que a média anual de crimes é igual a 30, segue que foram cometidos
30  5  150 crimes entre 2006 e 2010. Além disso, como a2  40, temos:
 a  a5 
a1  a5
150   1
 30
5 
2
 2 
 a3  30
 a2  r  30
 r  10.
b) Sejam e, a e r, respectivamente, o número de estelionatos, o número de assassinatos e o
número de roubos cometidos em 2010.
Sabemos que r  e  2a.
Do item (a), podemos concluir que o número de crimes cometidos em 2010 é
a2  3r  40  30  10.
Portanto,
e
 e  10
2
 e  4.
e  a  r  10  e 
c) Dos itens anteriores, podemos concluir que o número total de crimes cometidos entre 2007 e
2010 foi de 150  50  100. Portanto, o número médio de crimes cometidos entre 2007 e
2011 é dado por
100  30
 26.
5
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Resposta da questão 11:
[B]
MMC(3,4) = 12
Múltiplos de 12 são múltiplos de 3 e de 4 ao mesmo tempo.
Múltiplos de 12 entre 50 e 100 (60, 72, ..., 84, 96).
Utilizando a fórmula do termo geral da P.A., temos:
96 = 60 + (n–1)  12 (em que n é o número de múltiplos de 12 entre 50 e 100)
36  n  1  12
n 1 3
n4
Resposta da questão 12:
01 + 02 + 08 = 11.
Determinando o total de bolas na última caixa:
an = 3 + 19  3 = 60 (termo geral da P.A.)
Determinando agora o total n de bolas:
n
3  60  20
2
 630
Portanto, estão corretas as afirmações [01], [02] e [08].
Resposta da questão 13:
Como a razão da progressão aritmética é 0,05 m, segue que a altura do reservatório em
relação à represa é dada por

49  0,05 
 0,7 
  50  35  61,25
2


 96,25 m.
Resposta da questão 14:
[D]
O terceiro termo da P.A. será dado por: a3 = 2 + 2.4 = 10
O quinto termo da P.A. será dado por: a5 = 2 + 4.4 = 18
A soma dos cinco primeiros termos será dada por: S5   2  18 
5
 50.
2
Logo, a média M pedida será dada por:
10  2  3  0,1 50   20  15 
M

 7.
5
5
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Resposta da questão 15:
[D]
O primeiro termo da progressão aritmética é dado por
a1  S1  5  12  12  1  7.
Desse modo, o segundo termo da progressão é tal que
a2  S2  a1
 5  22  12  2  ( 7)
 20  24  7
 3.
Portanto, a razão da progressão aritmética é r  a2  a1  3  (7)  10.
Resposta da questão 16:
Admitindo n como o número de mulheres, temos: 52  n homens.
Se a primeira mulher convidar 7 homens, a segundo mulher convidar 8 homens e assim por
diante, a mulher n convidará 52  n homens. Temos então uma P.A de razão 1 e primeiro
termo 7.
52  n  7  (n 1)  1  2n  46  n  23.
Então, na reunião havia 23 mulheres e 52  23  29 homens.
Resposta da questão 17:
[C]
Seja (a, a  5, a  10, a  15, ) a progressão aritmética cujo primeiro termo (a) queremos
calcular. Como S4  42, segue que
4a  30  42  a  3.
Resposta da questão 18:
[D]
Como 51,50  50,25  52,75  51,50  54  52,75  1,25, podemos concluir que a sequência
50,25; 51,50; 52,75; 54,00;
é uma progressão aritmética de primeiro termo a1  50,25 e
razão r  1,25. Portanto, queremos calcular a soma dos 10 primeiros termos dessa progressão
aritmética, ou seja,
 2a  9r 
S10   1
  10
2


 2  50,25  9  1,25 

  10
2


 558,75.
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Resposta da questão 19:
[C]
A população de vírus desenvolve-se segundo a progressão aritmética 1, 4, 7,
Portanto, o número de vírus após uma hora é 1  (60  1)  3  178.
.
Resposta da questão 20:
[C]
Os múltiplos de 13 entre 100 e 1000 formam a P.A. de razão 13 a:
(104, 26, 39,..., 988)
Admitindo que n é o número de termos da P.A., temos:
988  104   n  1  13
988  104   n  1  13
884   n  1  13
n  1  68
n  69
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