Disciplina: Mecânica dos Fluidos
Escola de Engenharia de Lorena
EEL – USP
1) CONCEITOS E PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS DOS FLUIDOS;
2) ESTÁTICA DOS FLUIDOS;
3) CONCEITOS LIGADOS AO ESCOAMENTO DOS FLUIDOS;
4) ESCOAMENTO INCOMPRESSÍVEL DE FLUIDOS NÃO VISCOSOS;
5) ESCOAMENTO VISCOSO INCOMPRESSÍVEL.
Profa. Dra. Daniela Helena Pelegrine Guimarães
(email: [email protected])
5. ESCOAMENTO VISCOSO INCOMPRESSÍVEL:
 CONCEITOS LIGADOS AO ESCOAMENTO DOS FLUIDOS (EQ.
CONTINUIDADE, TIPOS DE ESCOAMENTO, REGIÃO DE
ENTRADA);
 PERFIL DE VELOCIDADES PARA ESCOAMENTO, EM
CONDUTOS NA REGIÃO DE ESCOAMENTO COMPLETAMENTE
DESENVOLVIDO.
 ATRITO E PERDA DE CARGA;
 AVALIAÇÃO DAS PERDAS DE CARGA: REGIME LAMINAR E
TURBULENTO;
 DIAGRAMA DE MOODY.
I. CONCEITOS LIGADOS AO ESCOAMENTO DOS
FLUIDOS :
 RELEMBRANDO:

EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE: CORRELACIONA VAZÃO À VELOCIDADE
MÉDIA DE ESCOAMENTO:
1 V1  A1  2 V2  A2
V1  A1  V2  A2


m1  m 2
Q1  Q2
FL. COMPRESSÍVEIS E
INCOMPRESSÍVEIS
FLUIDOS INCOMPRESSÍVEIS
EXEMPLO: ÁGUA A 20 C ESCOA NO INTERIOR DE UMA TUBULAÇÃO DE AÇO DE 3,5 cm DE
DIÂMETRO E 10 m DE COMPRIMENTO A 6720 L/h. CALCULE A VAZÃO MÁSSICA E A
VELOCIDADE MÉDIA DO FLUIDO.

TIPOS DE ESCOAMENTO: LAMINAR E TURBULENTO:
 ESCOAMENTO LAMINAR:

m
1
 ESCOAMENTO DE TRANSIÇÃO:


m m
2
1
 ESCOAMENTO TURBULENTO:


m
3
 m1

 V  D
4m
Re 


forças vis cos as

   D
forças inerciais
 PARA ESCOAMENTO DE UM FLUIDO NO INTERIOR DE UM TUBO:
Re  2.100  ESCOAM ENTOLAM INAR
2.100  Re  4.000  TRANSIÇÃO
Re  4.000  ESCOAM ENTOTURBULENTO
 PARA ESCOAMENTO DE UM FLUIDO SOBRE UMA PLACA :
Re  500.000 ESCOAMENTOLAMINAR
Re  500.000 ESCOAMENTOTURBULENTO
EXEMPLO: ÁGUA A 20 C ESCOA NO INTERIOR DE UMA TUBULAÇÃO DE AÇO DE 3,5 cm DE
DIÂMETRO E 1 m DE COMPRIMENTO A 6720 L/h. DETERMINE O TIPO DE ESCOAMENTO.
 DESCRIÇÃO QUANTITATIVA DAS CARACTERÍSTICAS DE ESCOAMENTO DOS
FLUIDOS:
 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE: VELOCIDADE MÉDIA DO ESCOAMENTO
ESCOAMENTO LAMINAR
 NÚMERO DE REYNOLDS:
ESCOAMENTO TURBULENTO
ESCOAMENTO DESENVOLVIDO
 REGIÃO DE ENTRADA:
ESCOAMENTO NÃO DESENVOLVIDO
 PERFIL DE VELOCIDADES.
 REGIÃO DE ENTRADA E ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO:



X
Y
Le
REGIÃO DE ENTRADA
Le
D
ESCOAMENTO
COMPL.
DESENVOLVIDO
 COMPRIMENTO DE ENTRADA ADIMENSIONAL
ESCOAMENTO LAMINAR:
Le
 0,06  N Re
D
Le
16



4
,
4

N
ESCOAMENTO TURBULENTO:
Re
D
EXEMPLO: ÁGUA A 20 C ESCOA NO INTERIOR DE UMA TUBULAÇÃO DE AÇO DE 3,5 cm DE
DIÂMETRO E 10 m DE COMPRIMENTO A 6720 L/h. QUAL A FRAÇÃO DO TUBO QUE
REPRESENTA A REGIÃO DE ENTRADA?
ÁGUA A
20C
6720 litros
3,5 cm
min.
10 m
II. PERFIL DE VELOCIDADES PARA ESCOAMENTO,
EM CONDUTOS NA REGIÃO DE ESCOAMENTO
COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO.
 PERFIL DE VELOCIDADE PARA ESCOAMENTO LAMINAR COMPLETAMENTE
DESENVOLVIDO:
EM t + t
EM t
R
D
A´
A
PA    r
2
B
  2   r  L
A
B
r
B´
PB    r 2
L
P  PA  PB

PB  PA  P
(1)
PA    r
2
  2   r  L
A
B
r
PB    r 2
L
 FORÇAS DEVIDO À PRESSÃO:
- NO PONTO A:
FPA  PA    r 2
(2)
- NO PONTO B:
FPB  PB    r
(3)
2
-SUBSTITUINDO (1) EM (3):
FPB  PA  P    r 2
FP  PA    r  PA  P     r
2
(4)
2
(5)
 FORÇAS DEVIDO AOS EFEITOS VISCOSOS:
PA    r
2
  2   r  L
A
B
PB    r 2
r
L
FV    2    r  L
(6)
 FORÇA TOTAL: SEGUNDA LEI DE NEWTON:
F
x
 m  ax  FP  FV
- ESCOAMENTOS COMPLETAMENTE DESENVOLVIDOS:
ax  0  Fx  0  FP  FV  0
(7)
-SUBSTITUINDO (5) E (6) EM (7):
PA    r 2  PA  P   r 2    2    r  L  0
P 2

L
r
- PARA FLUIDOS NEWTONIANOS:
dv x
   
dr
(9)
- SUBSTITUINDO (9) EM (8):
dv x
 P 
  r
 
dr
 2  L 
(10)
(8)
- INTEGRANDO A EQUAÇÃO (10):
 P  2
P
 dv x   2  L  r  dr  v x r    4  L   r  C1
(11)
- CONDIÇÃO DE CONTORNO:
r R
r  R  vx  0
(12)
- APLICANDO A CONDIÇÃO (12) NA EQUAÇÃO (11):
 P  2
 P  2
  R  C1  C1  
  R
0  
 4  L 
 4  L 
(13)
- SUBSTITUINDO (13) EM (11):
 P  2  P  2
P
  r  
  R 
v x r   
R2  r 2
4  L
 4  L 
 4  L 


2

P  R
r  
v x r  
 1    
4  L   R  
2
(14)
  r 2 
Vx r   Vmax.  1    
  R  
PARA CALCULAR A VELOCIDADE MÁXIMA:
r R
r  0  v x  v max
(15)
- APLICANDO A CONDIÇÃO (15) NA EQUAÇÃO (14):
P  R
P  D


4  L 16  L
2
vmax.
2
(16)
- RELAÇÃO ENTRE VELOCIDADES MÉDIA E MÁXIMA:
r
R
dr
v x  cte
dA  2    r  dr
Qanel  vx r  dA  vx r  2    r  dr
Q   vx r  dA  
r R
r 0
vx r  2    r  dr
(17)
2

  P  R 4   R 2
P  R
r 
Vx r  
 1      Q 

Vmáx .
4  L   R  
8  L
2
2
(18)
- PELA EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE:
P  R
Vx 
8   L
2
Vx 
Q
AT

Q
 R
2

P  R


4  L
2
- COMO
Vmax.
Vx
 0,5
Vmax
EXEMPLO: ÁGUA A 20 C ESCOA NO INTERIOR DE UMA TUBULAÇÃO DE AÇO DE 3,5 cm DE
DIÂMETRO E 10 m DE COMPRIMENTO A 67,20 L/h. DETERMINE AS VELOCIDADES MÉDIA E
MÁXIMA DE ESCOAMENTO.
ÁGUA A
20C
67,20 litros
3,5 cm
h
1,0 m

VELOCIDADE
PERFIL
DE
VELOCIDADE
COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO:
PARA
ESCOAMENTO
  r 1 j 
V
 1    
v max   R  
vx
vx
v x,  v x  v x
TEMPO
- PARA A MAIORIA DAS APLICAÇÕES:
v r   v max
j7
17
r 

 1  
 R
(22)
TURBULENTO
dr
v x  cte
r R
dA  2    r  dr
1 j
R2 j 2
 r
Q   Vmax  1    2    r  dr  2   Vmax 
r 0
 j  1 2 j  1
 R
r R
Vx
2 j2

Vmax  j  1 2 j  1
j 7

Vx
 0,82
Vmax
(25)
EXEMPLO: ÁGUA A 20 C ESCOA NO INTERIOR DE UMA TUBULAÇÃO DE AÇO DE 3,5 cm DE
DIÂMETRO E 1 m DE COMPRIMENTO A 6720 L/h. DETERMINE AS VELOCIDADES MÉDIA E
MÁXIMA DE ESCOAMENTO.
ÁGUA A
20C
6720 litros
3,5 cm
min.
1,0 m
III. ATRITO E PERDA DE CARGA:
 FORÇAS DEVIDO À FRICÇÃO:
f  f Re, 
 FATOR DE FRICÇÃO PARA ESCOAMENTO LAMINAR:
f 
W
 V 2
2
(26)
- PELA EQUAÇÃO DO BALANÇO DE FORÇAS (8):
P 2
P 2  2   W
D  P



 W 
L
r
L
D
4L
(27)
- SUBSTITUINDO A EQUAÇÃO (27) NA (26):
D  P
D  P
4

L
f 

2
2
  Vx 
2  L    Vx 
2
(28)
- PARA ESCOAMENTO LAMINAR:
8  L Vx 32   L Vx
P  R 2
Vx 
 P 

2
8  L
R
D2
(29)
- MAS:
D  P
f 
2
2  L    Vx 
16  
16
f 

  v x  D N Re
FATOR DE FRICÇÃO OU FATOR DE FANNING
OBS: EM REERÊNCIAS DE LITERATURA ABORDANDO PROBLEMAS TÍPICOS DE
ENGENHARIA MECÂNICA OU CIVIL, O FATOR DE DARCY (4*f) É MAIS UTILIZADO.
PORÉM, EM PROBLEMAS TÍPICOS DE ENGENHARIA QUÍMICA, O FATOR DE FANNING É
UTILIZADO COM MAIS FREQUÊNCIA.
EXEMPLO: ÁGUA A 20 C É BOMBEADA, SENDO FORÇADA A ESCOAR NO INTERIOR DE UMA
TUBULAÇÃO DE AÇO DE 3,5 cm DE DIÂMETRO E 1 m DE COMPRIMENTO A 67,20 L/h.
DETERMINE O FATOR DE FRICÇÃO, ASSOCIADO AO ATRITO DO FLUIDO COM A PAREDE DO
TUBO, ASSIM COMO DAS DIFERENTES CAMADAS DO MESMO. CALCULE TAMBÉM A PERDA
DE CARGA ASSOCIADA AO PROCESSO.
IV. AVALIAÇÃO
TURBULENTO:
DAS
PERDAS
DE
CARGA
EM
REGIME
FATOR DE FRICÇÃO PARA ESCOAMENTOS TRANSIENTE E TURBULENTO:
 DIAGRAMA DE MOODY: FATOR DE FRICÇÃO EM FUNÇÃO DO NÚMERO DE
REYNOLDS, PARA VÁRIAS RUGOSIDADES ();
 VALORES DA RUGOSIDADE PARA TUBOS DE MATERIAIS COMUNS DE
ENGENHARIA:
tubo
Rugosidade (m)
Aço comercial
0,00006
Alumínio
0,000004
Concreto liso
0,0001
Ferro fundido
0,0005
Latão, cobre
0,000007
 REGIÃO DE TRANSIÇÃO LAMINAR – TURBULENTO: FATOR DE FRICÇÃO
PARA ESCOAMENTO TURBULENTO, PARA QUE A QUEDA DE PRESSÃO NÃO
SEJA SUBESTIMADA.
EXEMPLO: ÁGUA A 20 C É BOMBEADA, SENDO FORÇADA A ESCOAR NO INTERIOR DE UMA
TUBULAÇÃO DE AÇO DE 3,5 cm DE DIÂMETRO E 1 m DE COMPRIMENTO A 6720 L/h.
DETERMINE O FATOR DE FRICÇÃO, ASSOCIADO AO ATRITO DO FLUIDO COM A PAREDE DO
TUBO, ASSIM COMO DAS DIFERENTES CAMADAS DO MESMO. CALCULE TAMBÉM A PERDA
DE CARGA ASSOCIADA AO PROCESSO.
EXEMPLO 2: ÁGUA A 30 C É BOMBEADA, SENDO FORÇADA A ESCOAR NO INTERIOR DE UMA
TUBULAÇÃO DE AÇO-CARBONO DE 2,5 cm DE DIÂMETRO E 30 m DE COMPRIMENTO A 2 Kg/s.
DETERMINE O FATOR DE FRICÇÃO, ASSOCIADO AO ATRITO DO FLUIDO COM A PAREDE DO
TUBO, ASSIM COMO DAS DIFERENTES CAMADAS DO MESMO. CALCULE TAMBÉM A PERDA
DE CARGA ASSOCIADA AO PROCESSO.
D  P
f 
2
2  L    Vx 
V. EQUAÇÃO PARA CÁLCULO DE POTÊNCIA
EM BOMBEAMENTO:
C
D
P2
u2
S2
P1
A
B
u1
Z1
Z2
 S1
 INICIALMENTE UMA CERTA QUANTIDADE DO FLUIDO ESTÁ ENTRE
OS PONTOS A E C E, APÓS UM PEQUENO INTERVALO DE TEMPO t, A
MESMA
QUANTIDADE
DO
FLUIDO
MOVE-SE
PARA
OUTRA
LOCALIZAÇÃO, SITUADA ENTRE OS PONTOS B E D.
- SUPOSIÇÕES:
 ESCOAMENTO CONTÍNUO E ESTACIONÁRIO, SENDO A VAZÃO
MÁSSICA CONSTANTE;
 ENERGIAS ELÉTRICA E MAGNÉTICA SÃO DESPREZÍVEIS.
 PROPRIEDADES DO FLUIDO CONSTANTES;
 CALOR E TRABALHO DE EIXO ENTRE O FLUIDO E A VIZINHANÇA
SÃO TRANSFERIDOS À TAXA CONSTANTE.
C
D
P2
u2
S2
P1
A
B
u1
Z1
 S1
E aumento  E BD  E AC
E AC  E AB  EBC
EBD  EBC  ECD
Eaumento  EC D  EAB
Z2
 , 1

2
EC  D  m  U 2   V2   g  z 2 
2


 , 1

2
E A B  m  U 1   V1   g  z1 
2


Eaumento




1
 ,

,
2
2
 m   U 2  U 1   V2  V1  g  z 2  z1 
2


(*)
- MAS DE QUE MANEIRA OCORRE A TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA
ENTRE O SISTEMA E SUAS VIZINHANÇAS ?
CALOR (Q)
TRABALHO (W)
 P2 1 2
  P1 1 2

Qm     u 2  g  z2      u1  g  z1   U 2,  U1,  Wm
 2 2
  1 2



EQUAÇÃO GERAL DE ENERGIA
- PARA UM FLUIDO IDEAL, INCOMPRESSÍVEL, EM UM PROCESSO QUE
NÃO ENVOLVA TRANSFERÊNCIA DE CALOR E SEM REALIZAÇÃO DE
TRABALHO E COM A ENERGIA INTERNA DE ESCOAMENTO DO FLUIDO
PERMANECENDO CONSTANTE:


2
2
1
1
P1     u 1    g  z1  P2     u 2    g  z2
2
2
EQUAÇÃO DE BERNOULLI
-NO CASO DE UM FLUIDO REAL Wm  0 , PARA QUE AS FORÇAS VISOCSAS SEJAM
SUPERADAS. DEVIDO A ESTE TRABALHO DE FRICÇÃO, PARTE DA ENERGIA
FORNECIDA É CONVERTIDA EM CALOR, FAZENDO COM QUE HAJA UMA PERDA DE
ENERGIA ÚTIL.
P 1 2
 P 1 2

Qm   2   v 2  g  z 2    1   v 1  g  z1   E f  E p
 2 2
  1 2

- PARA UM FLUIDO INCOMPRESSÍVEL:
 2  1  
- SUPONDO QUE O SISTEMA NÃO TROQUE CALOR COM A VIZINHANÇA, A ENERGIA
REQUERIDA POR UMA BOMBA, POR UNIDADE MÁSSICA PODE SER DETERMINADA
POR:
Ep 
P2  P1



2
1 2
 v 2  v 1  g z 2  z1   E f
2
A) ENERGIA DE PRESSÃO: DENOTA A DISSIPAÇÃO DE ENERGIA RELACIONADA À
VARIAÇÃO DE PRESSÃO ENTRE OS PONTOS (1) E (2).
P1  P2  0
B) O P PRECISA SER LEVADO EM CONTA PARA O CÁLCULO DA ENERGIA REQUERIDA
NO BOMBEAMENTO:
P2
P1
B) ENERGIA CINÉTICA:
2
2
2
1
u u
Ec 
2 
 É O FATOR DE CORREÇÃO DA VELOCIDADE, AO LONGO DA SEÇÃO TRANSVERSAL
DO TUBO.
  0,5  ESCOAM ENTOLAM INAR
  1,0  ESCOAM ENTOTURBULENTO
2
u 2 m 2 Kg  m 2  Kg  m
ENERGIA CINÉTICA:
 2 

2
s
Kg  s 2  s 2
 m N m
J
 


Kg
Kg
 Kg
C) ENERGIA POTENCIAL: QUANTIDADE DE ENERGIA PARA SUPERAR UMA
VARIAÇÃO DE ALTITUDE, DURANTE O TRANSPORTE DO FLUIDO.
m 2 Kg  m 2  Kg  m
ENERGIA POTENCIAL: gz  2 
 
2
2
s
Kg  s
 s
 m N m
J
 


Kg
Kg
 Kg
D) PERDA DE ENERGIA DEVIDO À FRICÇÃO:
Ef  Efmaior  Efmenor
- PERDAS MAIORES: DEVIDO AO ESCOAMENTO DE FLUIDOS VISCOSOS;
f 
D  P
2 L   u
2
 E f maior
P
2 f  L u



D
2
- PERDAS MENORES: DEVIDO AOS COMPONENTES UTILIZADOS NOS SISTEMAS DE
TUBULAÇÃO (VÁLVULAS, COTOVELOS,...) E À CONTRAÇÃO OU EXPANSÃO DO
FLUIDO:
Efmenor  Efcontração  Ef exp ansão  Efajustes
D.1) PERDA DE ENERGIA DEVIDO À CONTRAÇÕES:
1
2
P
2
u
 C fc 

2

 A2 
 PARA
C fc  0,40  1,25  
 A1 


 A2 
 PARA
C fc  0,75  1,00  
 A1 

A2 A1  0,715
A2 A1  0,715
D.2) PERDA DE ENERGIA DEVIDO À EXPANSÕES:
2
1
P
u2
 C fe 

2
C fe  1  A1 A2 
2
D.3) PERDA DE ENERGIA DEVIDO AOS AJUSTES NA TUBULAÇÃO:
P
2
u
 C ff 

2
TIPOS DE AJUSTES
Cff
COTOVELOS
Longo, 45, flanjado
Longo, 90, rosqueado
Longo, 90, flanjado
Regular, 45,rosqueado
Regular, 90, flanjado
Regular, 90, rosqueado
0,2
0,7
0,2
0,4
0,3
1,5
JOELHOS 180
Flanjado
Rosqueado
0,2
1,5
UNIÕES RAMIFICADAS
0,8
VÁLVULAS
Bloqueio
Esfera, 1/3 fechada
Esfera, 2/3 fechada
Esfera, totalmente aberta
Diafragma, aberta
Diafragma, ¼ fechada
Diafragma, ½ fechada
Controle, ¾ fechada
Controle, ¼ fechada
Controle, ½ fechada
Controle, totalmente aberta
Globo, totalmente aberta
C. P. a jusante
C. P. a montante
2,0
5,5
210
0,05
2,3
2,6
4,3
17
0,26
2,1
0,15
10

2
 POTÊNCIA REQUERIDA POR UMA BOMBA:
Ep 
Ep 
P2  P1

P2  P1

0,75
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
4,0


2
2
2
2
2
1 2
u L
u
u
u
  u 2  u1  g  z2  z1   2  f 
 C fc   C fe   C ff 
2
D
2
2
2
DIÂMETRO
NOMINAL
(in)
0,5


2
1 2
  u 2  u1  g  z2  z1   E fmaior  E fmenor
2
TUBO EM AÇO
ID
OD
in/(m)
in/(m)
0,622
0,840
(0,01579)
(0,02134)
0,824
1,050
(0,02093)
(0,02667)
1,049
1,315
(0,02644)
(0,03340)
1,610
1,900
(0,04089)
(0,04826)
2,067
2,375
(0,0525)
(0,06033)
2,469
2,875
(0,06271)
(0,07302)
3,068
3,500
(0,07793)
(0,08890)
4,026
4,500
(0,10226)
(0,11430)
TUBO SANITÁRIO
ID
OD
in/(m)
in/(m)
----
--
0,902
(0,02291)
1,402
(0,03561)
1,870
(0,04749)
2,370
(0,06019)
2,870
(0,07289)
3,834
(0,09739)
1,00
(0,0254)
1,50
(0,0381)
2,00
(0,0508)
2,5
(0,0635)
3,0
(0,0762)
4,0
(0,1016)
EXEMPLO: ÁGUA A 30C SENDO BOMBEADA. QUAL A ENERGIA TOTAL NECESSÁRIA
PARA O BOMBEAMENTO?
DADOS:
TUBO SANITÁRIO (AÇO-INOX);
FLUIDO ESCOA A 1 Kg/s;
COMPRIMENTO TOTAL DA TUBULAÇÃO = 30 m;
DIÂMETRO NOMINAL DA TUBULAÇÃO = 1 POLEGADA (DI=0,02291 m);
A VÁLVULA É DE BLOQUEIO (Cff=2,0);
Z1 = 3 m;
Z2 = 12 m.
(2)
Z2
(1)
Z1
)
-