Universidade do Sul de Santa Catarina Cálculo Integral nas Ciências Sociais Disciplina na modalidade a distância Palhoça UnisulVirtual 2011 Créditos Universidade do Sul de Santa Catarina | Campus UnisulVirtual | Educação Superior a Distância Avenida dos Lagos, 41 – Cidade Universitária Pedra Branca | Palhoça – SC | 88137-900 | Fone/fax: (48) 3279-1242 e 3279-1271 | E-mail: [email protected] | Site: www.unisul.br/unisulvirtual Reitor Ailton Nazareno Soares Vice-Reitor Sebastião Salésio Heerdt Chefe de Gabinete da Reitoria Willian Corrêa Máximo Pró-Reitor de Ensino e Pró-Reitor de Pesquisa, Pós-Graduação e Inovação Mauri Luiz Heerdt Pró-Reitora de Administração Acadêmica Miriam de Fátima Bora Rosa Pró-Reitor de Desenvolvimento e Inovação Institucional Valter Alves Schmitz Neto Diretora do Campus Universitário de Tubarão Milene Pacheco Kindermann Diretor do Campus Universitário da Grande Florianópolis Hércules Nunes de Araújo Secretária-Geral de Ensino Solange Antunes de Souza Diretora do Campus Universitário UnisulVirtual Jucimara Roesler Equipe UnisulVirtual Diretor Adjunto Moacir Heerdt Secretaria Executiva e Cerimonial Jackson Schuelter Wiggers (Coord.) Marcelo Fraiberg Machado Tenille Catarina Assessoria de Assuntos Internacionais Murilo Matos Mendonça Assessoria de Relação com Poder Público e Forças Armadas Adenir Siqueira Viana Walter Félix Cardoso Junior Assessoria DAD - Disciplinas a Distância Patrícia da Silva Meneghel (Coord.) Carlos Alberto Areias Cláudia Berh V. da Silva Conceição Aparecida Kindermann Luiz Fernando Meneghel Renata Souza de A. Subtil Assessoria de Inovação e Qualidade de EAD Denia Falcão de Bittencourt (Coord.) Andrea Ouriques Balbinot Carmen Maria Cipriani Pandini Assessoria de Tecnologia Osmar de Oliveira Braz Júnior (Coord.) Felipe Fernandes Felipe Jacson de Freitas Jefferson Amorin Oliveira Phelipe Luiz Winter da Silva Priscila da Silva Rodrigo Battistotti Pimpão Tamara Bruna Ferreira da Silva Coordenação Cursos Coordenadores de UNA Diva Marília Flemming Marciel Evangelista Catâneo Roberto Iunskovski Auxiliares de Coordenação Ana Denise Goularte de Souza Camile Martinelli Silveira Fabiana Lange Patricio Tânia Regina Goularte Waltemann Coordenadores Graduação Aloísio José Rodrigues Ana Luísa Mülbert Ana Paula R.Pacheco Artur Beck Neto Bernardino José da Silva Charles Odair Cesconetto da Silva Dilsa Mondardo Diva Marília Flemming Horácio Dutra Mello Itamar Pedro Bevilaqua Jairo Afonso Henkes Janaína Baeta Neves Jorge Alexandre Nogared Cardoso José Carlos da Silva Junior José Gabriel da Silva José Humberto Dias de Toledo Joseane Borges de Miranda Luiz G. Buchmann Figueiredo Marciel Evangelista Catâneo Maria Cristina Schweitzer Veit Maria da Graça Poyer Mauro Faccioni Filho Moacir Fogaça Nélio Herzmann Onei Tadeu Dutra Patrícia Fontanella Roberto Iunskovski Rose Clér Estivalete Beche Vice-Coordenadores Graduação Adriana Santos Rammê Bernardino José da Silva Catia Melissa Silveira Rodrigues Horácio Dutra Mello Jardel Mendes Vieira Joel Irineu Lohn José Carlos Noronha de Oliveira José Gabriel da Silva José Humberto Dias de Toledo Luciana Manfroi Rogério Santos da Costa Rosa Beatriz Madruga Pinheiro Sergio Sell Tatiana Lee Marques Valnei Carlos Denardin Sâmia Mônica Fortunato (Adjunta) Coordenadores Pós-Graduação Aloísio José Rodrigues Anelise Leal Vieira Cubas Bernardino José da Silva Carmen Maria Cipriani Pandini Daniela Ernani Monteiro Will Giovani de Paula Karla Leonora Dayse Nunes Letícia Cristina Bizarro Barbosa Luiz Otávio Botelho Lento Roberto Iunskovski Rodrigo Nunes Lunardelli Rogério Santos da Costa Thiago Coelho Soares Vera Rejane Niedersberg Schuhmacher Gerência Administração Acadêmica Angelita Marçal Flores (Gerente) Fernanda Farias Secretaria de Ensino a Distância Samara Josten Flores (Secretária de Ensino) Giane dos Passos (Secretária Acadêmica) Adenir Soares Júnior Alessandro Alves da Silva Andréa Luci Mandira Cristina Mara Schauffert Djeime Sammer Bortolotti Douglas Silveira Evilym Melo Livramento Fabiano Silva Michels Fabricio Botelho Espíndola Felipe Wronski Henrique Gisele Terezinha Cardoso Ferreira Indyanara Ramos Janaina Conceição Jorge Luiz Vilhar Malaquias Juliana Broering Martins Luana Borges da Silva Luana Tarsila Hellmann Luíza Koing Zumblick Maria José Rossetti Marilene de Fátima Capeleto Patricia A. Pereira de Carvalho Paulo Lisboa Cordeiro Paulo Mauricio Silveira Bubalo Rosângela Mara Siegel Simone Torres de Oliveira Vanessa Pereira Santos Metzker Vanilda Liordina Heerdt Gestão Documental Patrícia de Souza Amorim Poliana Simao Schenon Souza Preto Karine Augusta Zanoni Marcia Luz de Oliveira Mayara Pereira Rosa Luciana Tomadão Borguetti Gerência de Desenho e Desenvolvimento de Materiais Didáticos Assuntos Jurídicos Márcia Loch (Gerente) Bruno Lucion Roso Sheila Cristina Martins Desenho Educacional Marketing Estratégico Rafael Bavaresco Bongiolo Carolina Hoeller da Silva Boing Vanderlei Brasil Francielle Arruda Rampelotte Cristina Klipp de Oliveira (Coord. Grad./DAD) Roseli A. Rocha Moterle (Coord. Pós/Ext.) Aline Cassol Daga Aline Pimentel Carmelita Schulze Daniela Siqueira de Menezes Delma Cristiane Morari Eliete de Oliveira Costa Eloísa Machado Seemann Flavia Lumi Matuzawa Geovania Japiassu Martins Isabel Zoldan da Veiga Rambo João Marcos de Souza Alves Leandro Romanó Bamberg Lygia Pereira Lis Airê Fogolari Luiz Henrique Milani Queriquelli Marcelo Tavares de Souza Campos Mariana Aparecida dos Santos Marina Melhado Gomes da Silva Marina Cabeda Egger Moellwald Mirian Elizabet Hahmeyer Collares Elpo Pâmella Rocha Flores da Silva Rafael da Cunha Lara Roberta de Fátima Martins Roseli Aparecida Rocha Moterle Sabrina Bleicher Verônica Ribas Cúrcio Reconhecimento de Curso Acessibilidade Multimídia Lamuniê Souza (Coord.) Clair Maria Cardoso Daniel Lucas de Medeiros Jaliza Thizon de Bona Guilherme Henrique Koerich Josiane Leal Marília Locks Fernandes Gerência Administrativa e Financeira Renato André Luz (Gerente) Ana Luise Wehrle Anderson Zandré Prudêncio Daniel Contessa Lisboa Naiara Jeremias da Rocha Rafael Bourdot Back Thais Helena Bonetti Valmir Venício Inácio Gerência de Ensino, Pesquisa e Extensão Janaína Baeta Neves (Gerente) Aracelli Araldi Elaboração de Projeto Maria de Fátima Martins Extensão Maria Cristina Veit (Coord.) Pesquisa Daniela E. M. Will (Coord. PUIP, PUIC, PIBIC) Mauro Faccioni Filho (Coord. Nuvem) Pós-Graduação Anelise Leal Vieira Cubas (Coord.) Biblioteca Salete Cecília e Souza (Coord.) Paula Sanhudo da Silva Marília Ignacio de Espíndola Renan Felipe Cascaes Gestão Docente e Discente Enzo de Oliveira Moreira (Coord.) Capacitação e Assessoria ao Docente Alessandra de Oliveira (Assessoria) Adriana Silveira Alexandre Wagner da Rocha Elaine Cristiane Surian (Capacitação) Elizete De Marco Fabiana Pereira Iris de Souza Barros Juliana Cardoso Esmeraldino Maria Lina Moratelli Prado Simone Zigunovas Tutoria e Suporte Anderson da Silveira (Núcleo Comunicação) Claudia N. Nascimento (Núcleo Norte- Nordeste) Maria Eugênia F. Celeghin (Núcleo Pólos) Andreza Talles Cascais Daniela Cassol Peres Débora Cristina Silveira Ednéia Araujo Alberto (Núcleo Sudeste) Francine Cardoso da Silva Janaina Conceição (Núcleo Sul) Joice de Castro Peres Karla F. Wisniewski Desengrini Kelin Buss Liana Ferreira Luiz Antônio Pires Maria Aparecida Teixeira Mayara de Oliveira Bastos Michael Mattar Vanessa de Andrade Manoel (Coord.) Letícia Regiane Da Silva Tobal Mariella Gloria Rodrigues Vanesa Montagna Avaliação da aprendizagem Portal e Comunicação Catia Melissa Silveira Rodrigues Andreia Drewes Luiz Felipe Buchmann Figueiredo Rafael Pessi Gerência de Produção Arthur Emmanuel F. Silveira (Gerente) Francini Ferreira Dias Design Visual Pedro Paulo Alves Teixeira (Coord.) Alberto Regis Elias Alex Sandro Xavier Anne Cristyne Pereira Cristiano Neri Gonçalves Ribeiro Daiana Ferreira Cassanego Davi Pieper Diogo Rafael da Silva Edison Rodrigo Valim Fernanda Fernandes Frederico Trilha Jordana Paula Schulka Marcelo Neri da Silva Nelson Rosa Noemia Souza Mesquita Oberdan Porto Leal Piantino Sérgio Giron (Coord.) Dandara Lemos Reynaldo Cleber Magri Fernando Gustav Soares Lima Josué Lange Claudia Gabriela Dreher Jaqueline Cardozo Polla Nágila Cristina Hinckel Sabrina Paula Soares Scaranto Thayanny Aparecida B. da Conceição Conferência (e-OLA) Gerência de Logística Marcelo Bittencourt (Coord.) Jeferson Cassiano A. da Costa (Gerente) Logísitca de Materiais Carlos Eduardo D. da Silva (Coord.) Abraao do Nascimento Germano Bruna Maciel Fernando Sardão da Silva Fylippy Margino dos Santos Guilherme Lentz Marlon Eliseu Pereira Pablo Varela da Silveira Rubens Amorim Yslann David Melo Cordeiro Avaliações Presenciais Graciele M. Lindenmayr (Coord.) Ana Paula de Andrade Angelica Cristina Gollo Cristilaine Medeiros Daiana Cristina Bortolotti Delano Pinheiro Gomes Edson Martins Rosa Junior Fernando Steimbach Fernando Oliveira Santos Lisdeise Nunes Felipe Marcelo Ramos Marcio Ventura Osni Jose Seidler Junior Thais Bortolotti Gerência de Marketing Eliza B. Dallanhol Locks (Gerente) Relacionamento com o Mercado Alvaro José Souto Relacionamento com Polos Presenciais Alex Fabiano Wehrle (Coord.) Jeferson Pandolfo Carla Fabiana Feltrin Raimundo (Coord.) Bruno Augusto Zunino Gabriel Barbosa Produção Industrial Gerência Serviço de Atenção Integral ao Acadêmico Maria Isabel Aragon (Gerente) Ana Paula Batista Detóni André Luiz Portes Carolina Dias Damasceno Cleide Inácio Goulart Seeman Denise Fernandes Francielle Fernandes Holdrin Milet Brandão Jenniffer Camargo Jessica da Silva Bruchado Jonatas Collaço de Souza Juliana Cardoso da Silva Juliana Elen Tizian Kamilla Rosa Mariana Souza Marilene Fátima Capeleto Maurício dos Santos Augusto Maycon de Sousa Candido Monique Napoli Ribeiro Priscilla Geovana Pagani Sabrina Mari Kawano Gonçalves Scheila Cristina Martins Taize Muller Tatiane Crestani Trentin Clarice Borges de Miranda Joseane Borges de Miranda Cálculo Integral nas Ciências Sociais Livro didático Design instrucional Marina Melhado Gomes da Silva Palhoça UnisulVirtual 2011 Copyright © UnisulVirtual 2011 Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer meio sem a prévia autorização desta instituição. Edição – Livro Didático Professor Conteudista Clarice Borges de Miranda Joseane Borges de Miranda Designer Instrucional Marina Melhado Gomes da Silva ISBN 978-85-7817-373-9 Projeto Gráfico e Capa Equipe UnisulVirtual Diagramação Fernanda Fernandes Revisão Smirna Cavalheiro 515.33 M64 Miranda, Clarice Borges de Cálculo integral nas ciências sociais : livro didático / Clarice Borges de Miranda, Joseane Borges de Miranda ; design instrucional Marina Melhado Gomes da Silva. – Palhoça : UnisulVirtual, 2011. 214 p. : il. ; 28 cm. Inclui bibliografia. ISBN 978-85-7817-373-9 1. Cálculo integral. 2. Cálculo diferencial. I. Miranda, Joseane Borges de. II. Silva, Marina Melhado Gomes da. III. Título. Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universitária da Unisul Sumário Apresentação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Palavras da(s) professora(s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Plano de estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 UNIDADE 1 - Integral indefinida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 UNIDADE 2 - Métodos de integração. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 UNIDADE 3 - Integral definida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 UNIDADE 4 - Aplicação da integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 UNIDADE 5 - Álgebra matricial aplicada a um problema de Econometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Para concluir o estudo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Referências. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Sobre as professoras conteudistas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Respostas e comentários das atividades de autoavaliação. . . . . . . . . . . . . . 175 Biblioteca Virtual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Apresentação Este livro didático corresponde à disciplina Cálculo Integral nas Ciências Sociais. O material foi elaborado visando a uma aprendizagem autônoma e aborda conteúdos especialmente selecionados e relacionados à sua área de formação. Ao adotar uma linguagem didática e dialógica, objetivamos facilitar seu estudo a distância, proporcionando condições favoráveis às múltiplas interações e a um aprendizado contextualizado e eficaz. Lembre que sua caminhada, nesta disciplina, será acompanhada e monitorada constantemente pelo Sistema Tutorial da UnisulVirtual, por isso a “distância” fica caracterizada somente na modalidade de ensino que você optou para sua formação, pois na relação de aprendizagem professores e instituição estarão sempre conectados com você. Então, sempre que sentir necessidade entre em contato; você tem à disposição diversas ferramentas e canais de acesso tais como: telefone, e-mail e o Espaço Unisul Virtual de Aprendizagem, que é o canal mais recomendado, pois tudo o que for enviado e recebido fica registrado para seu maior controle e comodidade. Nossa equipe técnica e pedagógica terá o maior prazer em lhe atender, pois sua aprendizagem é o nosso principal objetivo. Bom estudo e sucesso! Equipe UnisulVirtual. 7 Palavras da(s) professora(s) Prezado(a) acadêmico(a), A organização deste material didático se esmerou para chegar ao máximo de seu aproveitamento e, desta forma, incentivar sua aprendizagem autônoma. Não é novidade que qualquer disciplina que comece com a palavra cálculo cause certo temor a quem está aprendendo, principalmente aos que estavam afastados das salas de aula há muito tempo. Mas não se preocupe! Se você chegou até os estudos de Cálculo Integral nas Ciências Sociais, certamente já superou muitas dificuldades e está pronto para iniciar o estudo dos conteúdos desta disciplina. O mundo globalizado requer decisões rápidas e precisas, pois evitarão prejuízos ou custos desnecessários para uma organização produtiva ou para os cofres públicos. Minimizando os custos, no entanto, o benefício geral será sempre maior. É muito importante o aprendizado de técnicas matemáticas para a resolução de problemas e minimização de custo e de tempo nas Ciências Sociais, envolvendo variáveis macro e microeconômicas que farão parte das decisões estratégicas e desafios da sua profissão. Para tanto, são necessárias algumas técnicas e métodos matemáticos que facilitarão essas análises de impactos internos e externos. Dentre elas, você estudará integrais definidas e indefinidas, que permitem avaliações de áreas que são aplicadas nas resoluções de problemas tais como investimento de capitais, renda e consumo e desafios do consumidor e do produtor. Além disso, uma introdução à álgebra matricial facilitará a compreensão de problemas econométricos. Esses ferramentais de cálculo são suporte para a aplicação de teorias nas Ciências Sociais. Embarque neste desafio conosco. Bons estudos! Profa. Clarice Borges de Miranda Profa. Joseane Borges de Miranda Plano de estudo O plano de estudos visa a orientá-lo no desenvolvimento da disciplina. Ele possui elementos que o ajudarão a conhecer o contexto da disciplina e a organizar o seu tempo de estudos. O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual leva em conta instrumentos que se articulam e se complementam, portanto, a construção de competências se dá sobre a articulação de metodologias e por meio das diversas formas de ação/mediação. São elementos desse processo: o livro didático; o Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem (EVA); as atividades de avaliação (a distância, presenciais e de autoavaliação); o Sistema Tutorial. Ementa Métodos de integração. Integral definida. Aplicações da integral definida nas Ciências Sociais. Universidade do Sul de Santa Catarina Objetivos Geral Possibilitar ao aluno o desenvolvimento de competências e habilidades para compreender e desenvolver ferramentas do cálculo diferencial para resolver problemas inerentes à tomada de decisão nas Ciências Sociais. Específicos Compreender a relação entre integral e derivada. Calcular a integral de funções reais. Reconhecer e aplicar os métodos de integração. Compreender a relação entre o cálculo da área sob uma curva e o cálculo da integral definida de funções reais. Aplicar as regras de integração a conceitos das Ciências Sociais. Compreender as definições e operações. Carga Horária A carga horária total da disciplina é 60 horas-aula. 12 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Conteúdo programático/objetivos Veja, a seguir, as unidades que compõem o livro didático desta disciplina e os seus respectivos objetivos. Estes se referem aos resultados que você deverá alcançar ao final de uma etapa de estudo. Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de conhecimentos que você deverá possuir para o desenvolvimento de habilidades e competências necessárias à sua formação. Unidades de estudo: 5 Unidade 1– Integral indefinida Esta unidade apresentará a definição de integral, a relação entre cálculo diferencial e cálculo integral, as regras básicas, as propriedades e algumas aplicações utilizando as regras de integração indefinida. Unidade 2 – Métodos de integração Nesta unidade, estudaremos dois métodos de integração: o método integração por substituição e o método integração por partes, além de algumas aplicações utilizando os métodos de integração. Unidade 3 – Integral definida A integral definida será abordada através de sua interpretação geométrica e através do teorema fundamental do cálculo. Será estabelecida a sua relação com o cálculo diferencial. Todas as regras e métodos estudados na unidade 1 serão retomados para calcular as integrais definidas. 13 Universidade do Sul de Santa Catarina Unidade 4 – Aplicação da integral definida Todas as ferramentas trabalhadas nas unidades anteriores serão aplicadas aos seguintes conceitos: renda nacional, consumo e poupança, excedente do consumidor, excedente do produtor, investimento e formação de capital. Unidade 5 – Álgebra matricial aplicada a um problema de Econometria A álgebra matricial é uma ferramenta de resolução de problemas tão importante quanto o cálculo integral. Por este motivo, decidimos abordar este assunto aqui nesta disciplina para que você tenha um suporte para as disciplinas posteriores. Os conceitos e propriedades de matrizes serão abordados conforme a necessidade de resolução de um problema de econometria que será apresentado. 14 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Agenda de atividades/Cronograma Verifique com atenção o EVA, organize-se para acessar periodicamente a sala da disciplina. O sucesso nos seus estudos depende da priorização do tempo para a leitura, da realização de análises e sínteses do conteúdo e da interação com os seus colegas e professor. Não perca os prazos das atividades. Registre no espaço a seguir as datas com base no cronograma da disciplina disponibilizado no EVA. Use o quadro para agendar e programar as atividades relativas ao desenvolvimento da disciplina. Atividades obrigatórias Demais atividades (registro pessoal) 15 unidade 1 Integral indefinida Objetivos de aprendizagem Compreender a relação entre integral e derivada. Introduzir a definição de integral indefinida. Calcular integral de funções reais. Aplicar a integral indefinida a problemas que envolvem conceitos de Ciências Sociais. Seções de estudo Seção 1 Primitiva Seção 2 Definição de integral indefinida Seção 3 Regras básicas de integração Seção 4 Aplicações da integral indefinida 1 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo Ao estudar cálculo diferencial, você foi apresentado ao conceito e às técnicas de derivação e aplicou essas técnicas a problemas que envolviam as taxas de variação de uma quantidade em relação à outra. Agora o nosso objetivo é o inverso, ou seja, o estudo do cálculo integral vai nos possibilitar descobrir a relação entre duas quantidades conhecendo sua taxa de variação. Podemos afirmar que há uma relação muito forte entre cálculo diferencial e cálculo integral, bem como podemos dizer que esta relação tem a mesma ideia das operações inversas. Duas operações são inversas quando uma “desfaz” o que a outra “faz”, como, por exemplo: multiplicação e divisão 5 × 3 = 15 15 ÷ 3 = 5. A partir do cálculo diferencial, explicaremos as definições e provaremos as regras e propriedades do cálculo integral. Seção 1 – Primitiva Para entendermos a definição de integral indefinida, é preciso conhecer outra definição: a de funções primitivas. Uma função F é chamada uma primitiva de sobre um intervalo I se F’(x) = (x) para todo x em I. Temos, então, que uma primitiva F é a função cuja derivada é a . Exemplo 1: F (x) = x3 é uma primitiva de (x) = 3x, pois F ’(x) = (x3)’ = 3x = (x). Exemplo 2: F(x) = 2x2 é uma primitiva de (x) = 4x, pois F ’(x) = (2x2)’ = 4x = (x). Exemplo 3: F(x) = 2x + ex é uma primitiva de (x) = 2 + ex, pois F ’(x) = (2x + ex)’ = 2 + ex = (x). 18 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Mas uma função (x) não tem uma única primitiva. Para mostrar este fato, vamos considerar (x) = 3x, sua primitiva F(x) = x3 e analisar duas funções: H(x) = x3 + 2 e G(x) = x3 + 5 Observe a derivada de H(x) e G(x): H'(x) = (x3 + 2)' = 3x + 0 = 3x = (x) G'(x) = (x3 + 5)' = 3x + 0 = 3x = (x). Pela definição, H'(x) e G'(x) também são primitivas da função (x) = 3x. Portanto, podemos concluir que: a partir de F, uma primitiva já conhecida de para encontrar outras primitivas basta adicionar uma constante. Note que H(x) = F(x) + 2 e G(x) = F(x) + 5 O teorema a seguir afirma que, dada uma primitiva, para encontrar outra basta adicionar uma constante qualquer (a demonstração será omitida). Teorema: Seja F uma primitiva de uma função . Então, qualquer primitiva de G de deve ser da forma G(x) = F(x) + C, onde C é uma constante. Uma consequência imediata do teorema é que, dada uma função, se existe uma primitiva, existem infinitas, pois basta adicionar uma constante qualquer à primitiva. Exemplo 4: Seja a função . Mostre que F é 4 uma primitiva de (x) = x + 4x e escreva uma expressão para todas as primitivas de : Solução: Para mostrar basta derivar F e verificar se é igual a : = x4 + 4x + 0 = x4 + 4x = (x) Portanto, F é uma primitiva de . Como o teorema afirma que basta somar uma constante qualquer, então + C, onde C é uma constante. Unidade 1 19 Universidade do Sul de Santa Catarina Para a compreensão dos exemplos, relembre as regras de derivação. Exemplo 5: Sejam F(x) = 3x + 2, G(x)= 3x + 8 e H(x) = 3x + C, onde C é uma constante, prove que F, G e H são primitivas da função ƒ, definida por ƒ(x) = 3. Solução: Para provar que F, G e H são primitivas de ƒ, basta derivar cada uma das funções, então: F ’(x) = (3x + 2)’ = 3 + 0 = 2 = ƒ(x) G’(x) = (3x + 8)’ = 3 + 0 = 2 = ƒ(x) H’(x) = (3x + C)’ = 3 + 0 = 2 = ƒ(x) Portanto, F, G e H são primitivas de ƒ. Exemplo 6: Prove que a função G(x) = 2x é uma primitiva da função ƒ(x) = 2. Escreva uma expressão geral para as primitivas de ƒ: Solução: Derivando G(x), temos: G’(x) = (2x)’ = 2 = ƒ(x). Então, G(x) = 2x é uma primitiva de ƒ(x) = 2. Para encontrar uma expressão geral, basta adicionar uma constante, ou seja, G(x) = 2x + C, onde C é uma constante qualquer. Seção 2 – Definição de integral indefinida Na seção anterior, apresentamos a definição de primitivas de uma função, mas não foi formalizado o processo para determinar todas as primitivas de uma função, denominado integração. Para indicar que a operação de integração deve ser executada sobre uma função, é usado o símbolo ∫, chamado de sinal de integração, da seguinte forma: 20 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Leia-se: [“a integral indefinida ƒ(x) em relação à x é igual a F(x) mais C”], onde ƒ é o integrando, C é a constante de integração, dx indica que a operação é sobre a variável independente x. Atenção: Se a variável independente for y, temos , ou seja, a integral indefinida é calculada sobre a variável y. A integral indefinida de uma função é a família de primitivas desta função, representada acima por F(x) = C , onde F(x) é uma primitiva particular de ƒ e C é uma constante arbitrária. No exemplo 6 da seção 1, o enunciado pede uma expressão geral para as primitivas de ƒ. Este problema pode ser rescrito da seguinte forma: Exemplo 1: Encontre a integral indefinida : Solução: Como já conhecemos uma primitiva de ƒ(x) = 2, temos: Utilizando a definição de integrais indefinidas e as informações dos exemplos da seção 1, mesmo sem conhecer as regras, propriedades e os métodos de integração, podemos compreender os seguintes exemplos: Exemplo 2: Exemplo 3: Exemplo 4: Unidade 1 21 Universidade do Sul de Santa Catarina Seção 3 – Regras básicas de integração Para calcular a integral indefinida não é preciso ficar adivinhando as primitivas do integrando, pois existem regras, propriedades e métodos para facilitar o cálculo integral. Nesta seção, estudaremos algumas regras básicas e propriedades de integração. Todas as regras serão provadas através do cálculo diferencial e, para melhor compreensão, seguidas de exemplos. Em todas as regras e propriedades, vamos considerar o integrando ƒ e a primitiva F(x). Regra 1: Integral indefinida de uma constante (k uma constante) A integral indefinida de uma função constante é igual à constante multiplicada pela variável independente mais uma constante arbitrária. Prova: Vamos derivar a primitiva F'(x) = (k + C)' = k + 0 = k. Como temos dx, a variável independente é x. Note que , dy indica que a integral indefinida é é sobre a variável independente y. Portanto, uma integral indefinida de uma constante, então: = ty + C. Exemplo 1: Calcule as seguintes integrais indefinidas: a) e é um número irracional cujo valor é 2,7182818.... 22 b) c) Cálculo Integral nas Ciências Sociais Solução: Nas três integrais indefinidas o integrando é uma constante, então basta aplicar a regra 1: a) b) c) Regra 2: Integral indefinida de uma potência (n ≠ - 1) A integral indefinida de uma potência é igual a outra função potência com expoente aumentado em uma unidade, dividida pelo novo expoente mais uma constante. Prova: Para provar esta regra, vamos relembrar como se deriva uma potência. Basta diminuir o expoente em uma unidade e multiplicar a expressão pelo expoente. Agora, é só aplicar a regra de derivação: Exemplo 2: Calcule as seguintes integrais indefinidas: a) b) c) Solução: Todos os integrandos são funções potências com expoente. Para aplicar a regra 2, aumentaremos em uma unidade o expoente do integrando e dividiremos a expressão pelo novo expoente; ou seja, exatamente o contrário da derivação: a) b) Unidade 1 23 Universidade do Sul de Santa Catarina c) Se você encontrou dificuldade para compreender a resolução dos itens b e c, pesquise sobre soma de frações e propriedade de potência. Retome o material visto na disciplina de Tópicos de Matemática Elementar I ou pesquise na bibliografia listada no saiba mais. Regra 3: A integral indefinida de uma função exponencial (a > 0) logea = ln a, logaritmo de base e é igual a ln. A integral indefinida de uma função exponencial é igual à mesma função exponencial, dividida por logaritmo de a (base da função exponencial), na base e mais uma constante. Prova: Vamos aplicar a regra de derivação de funções exponenciais: Um caso particular da integral indefinida de uma função exponencial é quando temos como base da potência o número e. Note: A integral definida da função exponencial com base e é igual à própria função, isto ocorre porque ln e = 1. 24 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Exemplo 3: Calcule as integrais indefinidas: a) b) Solução: Os integrandos das integrais indefinidas são funções exponenciais. Portanto, vamos aplicar diretamente a regra 3: a) b) Regra 4: A integral indefinida de uma potência quando n = –1 A integral indefinida de uma potência, quando n = –1, é igual ao logaritmo do módulo da base da potência na base e mais uma constante. Prova: Para provar a regra 4, temos que lembrar como se deriva ln x: Exemplo 4: Calcule a integral indefinida Solução: Como , então basta aplicar a regra 4: Unidade 1 25 Universidade do Sul de Santa Catarina Propriedades Além dessas quatro regras sobre as integrais indefinidas imediatas, temos duas propriedades que facilitam o cálculo das integrais indefinidas. São elas: Propriedade 1 – A integral indefinida de uma função multiplicada por uma constante: (c é uma constante) Quando um fator constante multiplica o integrando, este fator pode ser passado para fora da integral indefinida. Exemplo 5: Calcule as integrais indefinidas: a) b) c) Soluções: a) O integrando é uma função potência multiplicada por uma constante, sendo que primeiro aplicamos a propriedade 1, depois a regra 2. onde C = 3K. Se K é uma constante arbitrária, multiplicada por outra constante não nula, o resultado é uma constante arbitrária. b)O integrando é uma função exponencial multiplicada por uma constante, sendo que primeiro aplicamos a propriedade 1, depois a regra 3: Note que omitimos a multiplicação das constantes, pois não é necessário indicar. 26 Cálculo Integral nas Ciências Sociais c) O integrando é uma função potência com expoente n = –1, sendo que primeiro aplicamos a propriedade 1, depois a regra 4: Propriedade 2 – A integral indefinida da soma e subtração de funções. Quando a integral indefinida envolve uma soma ou uma subtração de duas ou mais funções, podemos calcular a soma ou subtração de suas integrais indefinidas. Exemplo 6: Calcule as integrais indefinidas: a) b) Soluções: a) Primeiro vamos aplicar a propriedade 2: Temos que a primeira integral indefinida é uma função potência, então se aplica a regra 2. Já a segunda é uma função exponencial com base e, por isso aplica-se a regra 3. A terceira é uma função constante, assim aplica-se a regra 1. Unidade 1 27 Universidade do Sul de Santa Catarina Como C1, C2 e C3 são constantes arbitrárias, o resultado após somá-las e subtraí-las é uma constante arbitrária. Portanto, b)Primeiro vamos aplicar a propriedade 2: Note que nas duas primeiras integrais indefinidas o integrando está multiplicado por uma constante, então aplicaremos a propriedade 1: Para cada integral indefinida aplica-se a regra de acordo com o integrando, sendo que a primeira o integrando é uma função potência, a segunda, uma exponencial de base e e, a terceira, uma função constante. Como C1, C2 e C3 são constantes arbitrárias, o resultado, após multiplicá-las por constantes não nulas, somá-las e subtraí-las, é uma constante arbitrária. Portanto, Para facilitar seu estudo, segue o quadro que contém todas as regras e propriedades apresentadas nesta seção: 28 Cálculo Integral nas Ciências Sociais REGRA/PROPRIEDADE FUNÇÃO Integral indefinida de uma constante ƒ(x) = k k uma constante Integral indefinida de uma potência ƒ(x) = xn INTEGRAL INDEFINIDA n ≠ –1 A integral indefinida de uma função exponencial ƒ(x) = a x a>0 A integral indefinida de uma função exponencial (base e) ƒ(x) = ex A integral indefinida de uma potência quando n = –1 ƒ(x) = x–1 A integral indefinida de uma função multiplicada por uma constante Qualquer função A integral indefinida da soma de funções Quaisquer funções A integral indefinida da subtração de funções Quaisquer funções Quadro 1.1 – Resumo das fórmulas da seção Fonte: Elaboração das autoras (2011). Seção 4 – Aplicações da integral indefinida Nosso objetivo em estudar o cálculo integral é saber a relação entre duas quantidades, conhecendo sua taxa de variação. Agora que já conhecemos as regras e propriedades de integral indefinida, podemos aplicá-las a alguns problemas, conforme seguem os exemplos de aplicação de integral indefinida: Exemplo 1: A circulação de certa revista é de 2000 exemplares por semana. O editor-chefe da revista projeta uma taxa de crescimento de exemplares por semana, daqui a t semanas, pelos próximos dois anos. Com base nesta projeção, qual será a circulação da revista daqui a 64 semanas? Unidade 1 29 Universidade do Sul de Santa Catarina Solução: As duas quantidades, cuja relação queremos determinar, são: a circulação da revista e o tempo em semanas. A relação é dada pela função S(t), que é a circulação da revista daqui a t semanas. Temos a taxa de crescimento, ou seja, . Então, para saber a função S(t), basta integrar : Como a solução de uma integral indefinida é uma família de primitivas, temos infinitas soluções para a integral, mas o problema determina que, no tempo zero, a circulação da revista é de 2000 exemplares. Por isso, usaremos este dado para achar uma solução particular do problema. Assim: Para t = 0, S(0) = 2000 . Então: Portanto, C = 2000 e a solução é: 30 . Cálculo Integral nas Ciências Sociais Assim, a circulação da revista daqui a 64 semanas será de: exemplares por semana. Exemplo 2: Suponha que, entre 1999 e 2008, das motos novas vendidas no mercado do Brasil, a porcentagem vendida pela empresa A estava variando à razão de: ƒ(t) = –0,0213t 3 + 0,12t 2 – 1,6 ( 0 ≤ t ≥ 8) por cento ao ano t (t = 0 corresponde ao início de 1999). A fatia de mercado da empresa no início de 1999 era de 40,2%. Qual era a fatia de mercado da empresa A no início de 2008? Solução: Como a informação dada é sobre a variação da porcentagem em relação ao ano, integrando a função que representa a variação, iremos obter a função da fatia do mercado em relação ao ano t. Seja F(t) a função da fatia do mercado da empresa A em relação ao ano t, temos: F(t) = 0,005325t4 + 0,04t 3 – 1,6t + C Para determinar o valor da constante C, utilizamos o valor da função no ano zero, ou seja, do ano 1999. F(0) = – 0,0053259(0)4 + 0,04(0)3 – 1,6(0) + C = 40,2 Portanto, C = 40,2 e a função é: F(t) = –0,005325t4 + 0,04t 3 – 1,6t + 40,2 Unidade 1 31 Universidade do Sul de Santa Catarina Encontramos a função da fatia do mercado da empresa A em relação ao ano t. Para o ano 2008 t = 8, então: F(8) = –0,005325(8)4 + 0,04(8)3 – 1,6(8) + 40,2 F(8) = –0,005325(4096) + 0,04(512) – 1,6(8) + 40,2 F(8) = –21,8112 + 20,48 – 12,8 + 40,2 F(8) = 26,06 Assim, a fatia do mercado da empresa A em 2008 era de 26,06%. Exemplo 3: As projeções são que a taxa de variação do Produto Interno Bruto (PIB) de certo país é G(t) = 2t + 2 0 ≤ t ≤ 0 bilhões de reais ao ano t (t = 0 corresponde a 2011). O PIB deste país é de 50 bilhões de reais em 2011. Qual será o produto PIB deste país no ano de 2014? Solução: O problema nos pede o PIB em 2014, ou seja, t = 3, mas não temos a função que determina o PIB em relação ao tempo, e sim a taxa de variação do PIB em relação ao tempo. Para encontrar a função, integraremos a taxa de variação e denominar a função que determina o PIB em relação ao tempo de N(t): N(t) = t 2 + 2t + C 32 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Para determinar a constante C, vamos calcular o valor da função para t = 0, ou seja, N(0) = 50 N(0) = (0)2 + 2(0) + C = 50 Portanto, C = 50 e a função que determina o PIB em relação ao tempo é: N(t) = t 2 + 2t + 50 em bilhões de reais ao ano. Para determinar o PIB em 2014, basta substituir, na função t = 3: N(3) = (3)2 + 2(3) + 50 N(3) = 9 + 6 + 50 = 65 Então, no ano de 2014, o PIB será de 65 bilhões. Dada uma função total na Economia, como, por exemplo, o custo total, para encontrar a função custo marginal é preciso derivar a função custo total, sendo esta uma aplicação de derivada. Nosso problema aqui é o inverso: dada uma função marginal (por exemplo, o custo marginal), para encontrar o custo total é preciso integrar a função marginal, sendo esta uma das aplicações de integral. Exemplo 4: Em uma fábrica de móveis, o custo marginal diário associado à produção de camas é dado por: C'(x) = 0,008x3 – 8x + 20 onde C'(x) é medido em reais/unidade e x denota o número de unidades produzidas. O custo fixo diário incorrido na produção das camas é de R$ 600,00. Determine o custo total incorrido pela fabrica ao produzir 80 camas/dia. Unidade 1 33 Universidade do Sul de Santa Catarina Solução: Para determinar a função custo vamos integrar a função custo marginal: Como a função custo é C, determinamos K como constante de integração para não confundir as notações. Assim: C(x) = 0,002x4 – 4x2 + 20x + K Encontramos a função custo, falta determinar K, a constante de integração. Como o problema informa, o custo fixo diário é de R$ 600,00, ou seja, independentemente da quantidade produzida a fábrica terá este custo. Calcularemos o custo através da função para x = 0: C(x) = 0,002(0)4 – 4(0)2 + 20(0) + K = K Para nenhuma cama produzida teremos o custo igual a K. Portanto, K é o custo fixo e a função custo que queremos é: C(x) = 0,002x4 – 4x2 + 20x + 600 Assim, na produção de 80 camas/dia o custo incorrido é: C(80) = 0,002(80)4 – 4(80)2 + 20(80) + 600 C(80) = 0,002(40960000) – 4(6400) + 1600 + 600 C(80) = 81920 – 25600 + 1600 + 600 C(80) = 58520 O custo total incorrido pela fábrica ao produzir 80 camas/dia é de R$ 58.520,00. 34 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Ficou com dificuldade para compreender os problemas? Pesquise sobre funções marginais em economia nos livros de Matemática aplicada à Economia, listados no Saiba Mais. Síntese Nesta unidade, você estudou os principais conceitos de integral indefinida e suas primitivas. Com esses conceitos baseados em fórmulas, você pode calcular uma integral indefinida, ou seja, encontrar uma expressão ou infinitas funções que são primitivas da função que você deseja integrar. Como em cálculo sempre se faz necessário o uso dessas funções, vimos algumas regras de integração que são importantes para aplicações no seu curso. E, por fim, aplicamos os conceitos desenvolvidos em exemplos práticos envolvendo decisões nas Ciências Sociais. Unidade 1 35 Universidade do Sul de Santa Catarina Atividades de autoavaliação Ao final de cada unidade, você realizará atividades de autoavaliação. O gabarito está disponível no final do livro didático. Mas esforce-se para resolver as atividades sem ajuda do gabarito, pois, assim, você estará promovendo (estimulando) a sua aprendizagem. 1) Em cada alternativa, prove que F é primitiva de ƒ: ; ƒ(x) = 2x5 + 3x2 + 8 a) b) F(x) = ln x + e 2x ; c) ; 2) Sejam F(x) = e5x+1 e G(x) = e5x+1 + 8, prove que F e G são primitivas da função ƒ definida por ƒ(x) = 5 e5x+1, e encontre todas as primitivas de ƒ. 3)Calcule as integrais indefinidas: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) 36 Cálculo Integral nas Ciências Sociais m) n) o) 4) A implantação de uma empresa multinacional nos arredores de uma cidade aumentará a população da mesma a uma taxa de pessoas/ano, sendo t o número de anos após a implantação. A população, antes da implantação, é de 25.000 habitantes. Determine a população projetada quatro anos após o início da implantação da empresa. Saiba mais Se você desejar, aprofunde os conteúdos estudados nesta unidade ao consultar as seguintes referências: TAN, S. T. Matemática aplicada à Administração e Economia. São Paulo: Thomson, 2003. WEBER, J. E. Matemática para Economia e Administração. 2. ed. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1986. Unidade 1 37 unidade 2 Métodos de integração Objetivos de aprendizagem Compreender o método de integração por substituição. Relacionar o método de integração por substituição à regra da cadeia do cálculo diferencial. Compreender o método de integração por partes. Relacionar o método de integração por partes à regra do produto do cálculo diferencial. Aplicar a integral indefinida a problemas que envolvem conceitos de ciências sociais usando os métodos de integração. Seções de estudo Seção 1 Método de integração por substituição Seção 2 Método de integração por partes Seção 3 Aplicações de integrais indefinidas usando os dois métodos de integração 2 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo Na unidade anterior, as integrais indefinidas calculadas eram imediatas e relacionadas diretamente a uma regra do cálculo diferencial. Essa relação entre o cálculo diferencial e o cálculo integral é que permitirá compreender os dois métodos abordados nesta unidade. Os dois métodos, método de integração por substituição e método de integração por partes, aplicam funções cuja primitiva não é encontrada de imediato, assim como na integral indefinida. Não basta saber a regra de diferenciação; é preciso um olhar mais detalhado para a função e, ainda, saber qual dos dois métodos utilizar para integrá-la. Como fazer a escolha é o que iremos explicar nesta unidade. Seção 1 – Método de integração por substituição O método de integração por substituição está relacionado à regra da cadeia do cálculo diferencial. Vamos explicar o método e a que funções é aplicado através do seguinte exemplo: Considere a integral indefinida . Observando o integrando, notamos que não é possível aplicar as regras vistas, pois não conhecemos a função primitiva do integrado. Assim, vamos fazer uma troca de variável, ou seja: u = 5x2 + 8 o diferencial de u é du = 10xdx. Para você entender melhor a substituição, relembre a definição de diferencial de uma função: Definição diferencial de y : y = ƒ(x) é y = ƒ'(x)dx. 40 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Vamos substituir na integral , du = 10xdx u = 5x2 + 8 e Após a substituição, a integral indefinida tem, como integrando, uma função potência, que é facilmente integrável ao utilizar a regra de integral indefinida de uma potência. Então, Como a nossa integral indefinida, antes da mudança de variável, era sobre a variável x, para a solução ficar completa basta substituir u = 5x2 + 8 na solução. Portanto, Desta forma, o método de integração por substituição tem como objetivo transformar um integrando complicado, cuja primitiva não conhecemos, em um integrando mais simples, cuja primitiva já é conhecida. Para entender como funciona o processo e a relação com a regra da cadeia do cálculo diferencial, vejamos como funciona o método de integração por substituição. Unidade 2 41 Universidade do Sul de Santa Catarina Seja, ƒ(x) = x3 e g(x) = 5x2 + 8 , então nosso integrando, antes da substituição, era da seguinte forma: ƒ(g(x)).g'(x) = (5x2 + 8)310x e . nossa integral indefinida em que A substituição feita foi u = g(x) e du = g'(x). Suponha que F é uma primitiva de ƒ, e então, . Para provar que F(u) + C é a solução da integral indefinida, vamos derivar F(u) + C utilizando a regra da cadeia do cálculo diferencial: Portanto, . Comparando com o nosso exemplo, . É assim que o método de integração por substituição funciona e é aplicado a integrando do tipo ƒ(g(x)).g'(x). Para compreender melhor o método, seguem alguns exemplos: Exemplo 1: Calcular : Solução: O integrando envolve uma função composta em que ƒ(x) = x3 e g(x) = x3 + 10. Portanto, podemos resolver usando o método da substituição. Para facilitar, definimos a seguir alguns passos para a resolução: 42 Passo 1: Fazer a escolha de u, u é sempre a g(x); portanto, u = x3 + 10. Passo 2: Calcular o diferencial de u, du=3x2dx. Passo 3: Fazer a substituição: Cálculo Integral nas Ciências Sociais Passo 4: Calcular a integral indefinida: Passo 5: Retornar à variável x: . : Exemplo 2: Calcular Solução: O integrando envolve uma função composta em que ƒ(x) = x6 e g(x) = ex + 5. Portanto, podemos resolver usando o método da substituição: Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(x) . Portanto, u = ex + 5. Passo 2: Calcular o diferencial de u, du = exdx. Passo 3: Fazer a substituição: . Passo 4: Calcular a integral indefinida , sendo o integrando uma função potência: . Passo 5: Retornar à variável x: . Unidade 2 43 Universidade do Sul de Santa Catarina Exemplo 3: Calcular : Solução: O integrando envolve uma função composta em que ƒ(x) = x–2 e g(x) = x4 – 15: Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(x); portanto, u = x4 – 15. Passo 2: Calcular o diferencial de u , du = 4x3dx. Passo 3: Fazer a substituição: . Neste caso, a substituição não é imediata. Falta uma constante 4 multiplicando x3dx para resolver este problema. Note que . e 1 é o elemento neutro da multiplicação. Usando a propriedade , agora podemos fazer a substituição: . Passo 4: Calcular a integral indefinida, sendo o integrando uma função potência: . 44 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Passo 5: Retornar à variável x: . Exemplo 4: Calcular : Solução: O integrando envolve uma função composta em que ƒ(y) = ey e g(y) = –2y. Portanto, podemos resolver usando o método da substituição: Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(y); portanto, u = –2y. Passo 2: Calcular o diferencial de u, du = –2y Passo 3: Fazer a substituição: Passo 4: Calcular a integral indefinida, sendo o integrando uma função exponencial de base e: Passo 5: Retornar à variável y: . Exemplo 5: Calcular : Solução: O integrando envolve uma função composta em que ƒ(x) = ex e g(x) = 3x2. Portanto, podemos resolver usando o método da substituição: Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(x); portanto, u = 3x2 Passo 2: Calcular o diferencial de u, du = 6xdx Unidade 2 45 Universidade do Sul de Santa Catarina Passo 3: Fazer a substituição: . Como no exemplo 3, a substituição não é imediata. Vamos usar a mesma propriedade: Agora podemos fazer a substituição: Passo 4: Calcular a integral indefinida, sendo o integrando uma função exponencial de base e: Passo 5: Retornar à variável x: . : Exemplo 6: Calcular Solução: O integrando envolve uma função composta em que ƒ(x) = x2 e g(x) = ln x. Portanto, podemos resolver usando o método da substituição: Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(x); portanto, u = ln x Passo 2: Calcular o diferencial de u, Passo 3: Fazer a substituição: Passo 4: Calcular a integral indefinida, sendo o integrando uma função potência: . 46 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Passo 5: Retornar à variável x: . Para facilitar seu estudo, leia no quadro 2.1 um resumo para aplicação do método de integração por substituição. Método de integração por substituição Integrando ƒogxg' Passo 1 Fazer a escolha de u, u é sempre a g Passo 2 Calcular o diferencial de u Passo 3 Fazer a substituição Passo 4 Calcular a integral indefinida Passo 5 Retornar à variável inicial Quadro 2.1 – Método de integração por substituição Fonte: Elaboração das autoras (2011). Seção 2 – Método de integração por partes O método de integração por partes, assim como o método de integração por substituição, está relacionado a uma regra do cálculo diferencial. A regra que correspondente ao método de integração por partes é a regra do produto, e é a partir dela que iremos deduzir a fórmula usada neste método. A regra do produto afirma que se ƒ e g são diferenciáveis, então (ƒ(x)g(x)) = ƒ(x)g'(x) + g(x)ƒ'(x). Vamos integrar os dois lados da equação em relação à x: . Unidade 2 47 Universidade do Sul de Santa Catarina Como ƒ(x)g(x) é uma primitiva de (ƒ(x)g(x)), então , e a equação pode ser escrita desta forma: . Esta é a fórmula de integração por partes, que ainda pode ser simplificada da seguinte forma: u = ƒ(x) du = ƒ'(x)dx dv = g'(x)dx v = g(x) A fórmula de integração por partes é . Note que o método não calcula diretamente a integral indefinida, mas a transforma em uma integral indefinida mais simples, que pode ser resolvida usando uma das regras já vistas ou o método de integração por substituição. O que é muito importante para a sua eficiência são as escolhas de u, dv. Para compreender melhor o método, vejamos alguns exemplos: Exemplo 1: Calcular : Solução: Nenhuma regra de integração já vista pode ser aplicada, pois o integrando não é uma função cuja primitiva já conhecemos. O método da substituição não pode ser aplicado porque o integrando não é uma composição de funções. Para integrar esta função, usaremos o método de integração por partes. Vamos definir dois critérios para a escolha de u e dv para facilitar. 48 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Critérios: 1. u tem que ser a função em que du é mais simples; 2. dv tem que ser fácil de integrar. Passo 1: Obedecendo aos critérios, vamos escolher u e dv: u = x dv = exdx Observe que, se escolhermos u = ex, então du = exdx e não obedece ao critério 1, pois u e du são a mesma função. Passo 2: Determinar du e v: u = x ⇒ ldx = dx (desconsideramos a constante de integração) Passo 3: Aplicar a fórmula : Passo 4: Resolver Passo 5: Escrever a solução completa: : . Unidade 2 49 Universidade do Sul de Santa Catarina Exemplo 2: Calcular Solução: Passo 1: Obedecendo aos critérios de escolha definidos para u e dv, vamos escolher u e dv: u = ln x dv = xdx Observe que, se escolhermos dv = ln xdx, a integral é complicada e ainda não sabemos como resolvê-la. Passo 2: Determinar du e v: constante de integração) (desconsideramos a Passo 3: Aplicar a fórmula : Passo 4: Resolver Passo 5: Escrever a solução completa: : . 50 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Exemplo 3: Calcular : Solução: Como foi comentado no exemplo 2, ainda não conhecemos a integral indefinida de ln x, mas com o método de integração por partes é possível calcular, como veremos agora: Passo 1: Escolher u e dv: u = ln x dv = dx. Passo 2: Determinar du e v: integração) (desconsideramos a constante de Passo 3: Aplicar a fórmula : Passo 4: Resolver Passo 5: Escrever a solução completa: : . Exemplo 4: Calcular : Solução: Para calcular esta integral indefinida teremos de aplicar o método de integração por partes duas vezes. Para algumas integrais, a repetição da aplicação do método de integração por partes é necessária. Unidade 2 51 Universidade do Sul de Santa Catarina Passo 1: Escolher u e dv: u = (ln x)2 dv = xdx Passo 2: Determinar du e v: constante de integração) (desconsideramos a Passo 3: Aplicar a fórmula Passo 4: Resolver : : Esta integral foi resolvida no exemplo 2, pelo método de integração por partes. Se não fosse conhecido o resultado, teríamos que aplicar o método de integração por partes novamente: Passo 5: Escrever a solução completa: . Exemplo 5: Calcular : Solução: Podemos reescrever a integral : Passo 1: Escolher u e dv: u = x 52 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Passo 2: Determinar du e v: u = x ⇒ du = dx Para que algumas integrais sejam resolvidas, é preciso aplicar os dois métodos de integração. Para não confundir com as variáveis do método por partes que estamos resolvendo, neste exemplo usaremos o método integração por substituição para determinar v, em que s é a variável de substituição. Assim, : → Escolher s, s = x – 3. → Determinar ds, ds = dx. . → Fazer a substituição, → Calcular a integral indefinida : → Retornar à variável x: Portanto, (desconsideramos a constante de integração). Passo 3: Aplicar a fórmula Unidade 2 : 53 Universidade do Sul de Santa Catarina Passo 4: Resolver Para calcular esta integral, teremos de aplicar novamente o método substituição, em que t é a variável de substituição: → Escolher t, t = x – 3. → Determinar dt, dt = dx. . → Fazer a substituição → Calcular a integral indefinida: . → Retornar à variável x: . Passo 5: Escrever a solução completa: Para facilitar seu estudo, segue resumo para aplicação do método de integração por partes, no quadro 2.2: 54 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Método de integração por partes Passo 1 Escolher u e dv Passo 2 Determinar du e v Passo 3 Aplicar a fórmula Passo 4 Resolver Passo 5 Escrever a solução completa Quadro 2.2 – Método de integração por partes Fonte: Elaboração das autoras (2011). Seção 3 – Aplicações da integral indefinida usando os dois métodos de integração Nesta unidade, os dois métodos de integração serão aplicados a situações práticas. Serão apresentados três problemas cujas soluções requerem a utilização dos métodos de integração. Exemplo 1: Um estudo feito pelo departamento de marketing de uma fábrica de sapatos estima que o novo lançamento outono inverno 2011 no mercado fará com que as vendas cresçam à taxa de 20000 – 4000e-2t 0 ≤ t ≤ 5 pares por mês. Encontre uma expressão que forneça o número total de sapatos vendidos t meses após se tornarem disponíveis no mercado. Quantos pares de sapatos a fábrica venderá nos três primeiros meses? Solução: Como é fornecida a taxa de crescimento, para encontrar a expressão que relaciona tempo em meses com a quantidade de sapatos vendidos, basta integrar a função que representa a taxa de variação: Unidade 2 55 Universidade do Sul de Santa Catarina Na primeira integral, o integrando é uma função constante, simples de integrar. A segunda será calculada usando o método de integração por substituição: Passo 1: Fazer a escolha de u, u é sempre a g(t); portanto, u = –2t. Passo 2: Calcular o diferencial de u, du = –2t. Passo 3: Fazer a substituição: . Passo 4: Calcular a integral indefinida, sendo o integrando uma função exponencial de base e: . Passo 5: Retornar à variável t: . Voltando à resolução do problema, S(t) representa a expressão que relaciona tempo em meses à quantidade de sapatos vendidos; assim: S(t) = 20000t + 2000e–2t + C. Para definir a constante C, assumimos que, no instante t = 0, nenhum sapato foi vendido, então S(0) = 0. Usando esta informação: S(0) = 20000.(0) + 2000e–2.0 + C = 0 0 + 2000e 0 + C = 0 Lembre que e0 = 1. 56 C = –2000 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Portanto, a expressão desejada é: S(t) = 20000t + 2000e–2t –2000 Vamos calcular a venda nos três primeiros meses: S(3) = 20000.3 + 2000e–2×3 – 2000 = 60000 + 2000e–6 – 2000 = 6000 + 5 – 2000 = 58005 Desta forma, a fábrica espera vender 58.005 pares de sapatos nos três primeiros meses. Exemplo 2: Em abril de 2011, certo instituto de pesquisa afirmou que a taxa de variação da audiência do programa diário de TV “A”, de uma emissora aberta “B” era de 0 ≤ t ≤ 45 por cento ao dia pelos próximos t dias (t = 0 corresponde ao primeiro dia de abril de 2011). Em primeiro de abril de 2011, a audiência era de 40%. Qual seria a audiência do programa de TV no trigésimo dia de abril de 2011? Solução: Seja N(t) a função que relaciona o tempo em dias, e a audiência do programa de TV “A”, então: Para calcular esta integral, usaremos o método de integração por substituição: Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(t); portanto, u = 15t – 0,1. Passo 2: Calcular o diferencial de u, du = 15dt. Passo 3: Fazer a substituição: . Unidade 2 57 Universidade do Sul de Santa Catarina Passo 4: Calcular a integral indefinida: . Passo 5: Retornar à variável t: Portanto, a função N(t) é: . Para definir a constante C,usamos a informação dada no problema que, no instante t = 0, N(0) = 40. Usando esta informação: 10 + C = 40 C = 40 – 10 = 30. A função que satisfaz o problema é: . No trigésimo dia de abril t = 29; então: N(29) = 29,99. A audiência do programa de TV “A” no trigésimo dia de abril de 2011 foi de 29,99%. 58 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Exemplo 3: Uma fábrica de bolsas femininas investiu em novos maquinários. Com esta reforma, os proprietários estimam que a taxa de produção será de P(t) = 20tet mil bolsas por mês. Encontre uma função que descreva a produção de bolsas nesta fábrica em t meses. Solução: Como é fornecida a taxa de produção, para encontrar a função p(t) que relaciona a produção com o tempo t basta integrar a função que representa a taxa de produção: Para calcular esta integral indefinida método de integração por partes: Passo 1: Fazer a escolha de u e dv: u = t , vamos usar o dv = etdt Passo 2: Determinar du e v: u = t ⇒ du = 1dt = dt Passo 3: Aplicar a fórmula Passo 4: Resolver Passo 5: Escrever a solução completa: : : Unidade 2 59 Universidade do Sul de Santa Catarina Então, nossa função é: . Para definir a constante C, assumimos que quando t = 0 não temos produção, ou seja: 20 (0 – 1) + C = 0 –20 + C = 0 C = 20. A função que satisfaz o problema é: . Síntese As funções abordadas nesta unidade são um pouco mais complexas que as vistas anteriormente, e a utilização dos dois métodos que você aprendeu são as únicas alternativas que você dispõe para entregar funções desta forma. Além dos dois métodos de integração que foram abordados nesta unidade, você também pode verificar, mais uma vez, como o cálculo integral está relacionado com o cálculo diferencial e aplicar os dois métodos de integração a situações práticas importantes para o seu curso. 60 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Atividades de autoavaliação Ao final de cada unidade, você realizará atividades de autoavaliação. O gabarito está disponível no final do livro didático. Mas, esforce-se para resolver as atividades sem ajuda do gabarito, pois, assim, você estará promovendo (estimulando) a sua aprendizagem. 1) Calcule as integrais indefinidas usando o método de integração por substituição: a) b) c) d) e) f) 2) Calcule as integrais indefinidas usando o método de integração por partes: a) b) c) d) Unidade 2 61 Universidade do Sul de Santa Catarina 3) Uma empresa estima que a partir de março de 2011 sua produção cresça a uma taxa de 20e2t 0 ≤ t ≤ 5 por mês. Em março de 2011, sua produção era de 80 unidades. Encontre uma expressão que forneça o número total de produção, t meses após estimativa. Qual a produção total após dois meses da estimativa? Saiba mais CHIANG, A. C. Matemática para economista. São Paulo: McGraw-Hill/Edusp, 1982. WEBER, J. E. Matemática para economia e administração. 2. ed. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1986. 62 unidade 3 Integral definida Objetivos de aprendizagem Compreender a relação entre a área limitada por uma curva e a integral definida. Entender a definição de integral definida. Calcular as integrais definidas. Calcular a área sob uma curva. Calcular a área entre duas curvas. Seções de estudo Seção 1 Área sob uma curva Seção 2 Integral definida Seção 3 Cálculo da integral definida Seção 4 Cálculo de área usando integral definida 3 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo Nesta unidade você compreenderá a necessidade, através de problemas, de estudar a área sob uma curva, e a relação entre o cálculo da área e a integral definida. A partir desses cálculos da área sob uma curva, vamos apresentar a definição da integral definida. Neste processo, você compreenderá como calcular a integral definida a partir de definições e fórmulas, relacionando o cálculo a todas as regras, propriedades e métodos estudados até este momento. Seção 1 – Área sob uma curva Para compreender a definição da integral definida é importante conhecer como se calcula a área sob uma curva e a relação que ela tem com a integral definida. Para começar, vamos explorar dois exemplos práticos para que você compreenda a necessidade de calcular a área sob uma curva e a integral definida. Nesta seção, todas as funções são contínuas e não negativas no intervalo determinado em cada caso. Vamos supor que a taxa mensal de consumo de água de um bairro durante cinco meses seja de 12 mil metros cúbicos, então a função que representa esta taxa de consumo é: ƒ(t) = 12 0≤t≤5 em que é medido em meses e ƒ(t) mil metros cúbicos por mês. O gráfico desta função é 64 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Gráfico 3.1 – Gráfico da função ƒ(t) = 12 Fonte: Elaboração das autoras (2011). O consumo de água no bairro no primeiro mês é de 12 mil metros cúbicos, e até o quinto mês este consumo se mantém o mesmo a cada mês. Assim, o consumo total, no período, é 60 mil metros cúbicos. A área abaixo do gráfico da função é um retângulo, uma forma geométrica muito simples de calcular: basta multiplicar comprimento por altura. Calculando esta área, temos A = 5 × 12 = 60 que é exatamente o consumo total de água no bairro durante os cinco meses. Logo, para saber o consumo total de água do bairro basta calcular a área sob o gráfico da função limitada pelas retas t = 0 e t = 5 O problema de cálculo de área sob uma curva seria muito simples se, nas situações práticas, todas as funções fossem constantes, pois todas as curvas seriam retas paralelas ao eixo x Mas, em geral, nessas situações, as funções não são constantes e, consequentemente, as áreas não serão retângulos, o que torna o cálculo da área sobre a curva mais complicado. Para compreender como se calcula área não retangular, vamos modificar o exemplo dado sobre o consumo de água: Unidade 3 65 Universidade do Sul de Santa Catarina Exemplo 1: Suponha que a taxa mensal de consumo de água de um bairro durante 5 meses é dado pela seguinte função: ƒ(t) = t 2 0≤t≤5 em que t é medido em meses e ƒ(t) mil metros cúbicos por mês. O gráfico desta função é Gráfico 3.2 – Gráfico da função ƒ(t) = t2 Fonte: Elaboração das autoras (2011). A área A representa o consumo total de água consumida nos cinco meses no bairro. Mas como a função não é uma função constante, a área A não é mais um retângulo e sim uma forma geométrica para a qual não existe uma fórmula para calcular. Como não é possível calcular a área através de uma fórmula, usaremos uma aproximação, dividindo a área A em pequenos retângulos de mesmo comprimento, como mostra a figura abaixo. A ideia é simplificar o cálculo da área. 66 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Gráfico 3.3 – Gráfico da divisão da área A em 5 retângulos iguais Fonte: Elaboração das autoras (2011). Dividimos em retângulos porque, como já vimos, o retângulo é uma forma geométrica cuja área é fácil de calcular. Uma vez calculada a área de cada retângulo e depois somadas, obteremos um valor aproximado da área total. Chamamos esse tipo de aproximação de aproximação por excesso, pois estamos calculando uma área um pouco maior que a área A que representa o consumo de água do bairro nos cinco meses. Vamos calcular a área de cada retângulo e depois somar para obter uma aproximação de A 1º retângulo, intervalo [0;1] Comprimento: 1 unidade Altura: Para encontrar a altura, calculamos o valor de t = 1 na função, ou seja, ƒ(1) = 12 = 1 Área: 1 × 1 = 1 2º retângulo, intervalo [1;2] Comprimento: 1 unidade Altura: Para encontrar a altura, calculamos o valor de t = 2 na função, ou seja, ƒ(2) = 22 = 4 Área: 1 × 4 = 4 Unidade 3 67 Universidade do Sul de Santa Catarina 3º retângulo, intervalo [2;3] Comprimento: 1 unidade Altura: Para encontrar a altura, calculamos o valor de t = 3 na função, ou seja, ƒ(3) = 32 = 9 Área: 1 × 9 = 9 4º retângulo, intervalo [3;4] Comprimento: 1 unidade Altura: Para encontrar a altura, calculamos o valor de na função, ou seja, ƒ(4) = 42 = 16 Área: 1 × 16 = 16 5º retângulo, intervalo [4;5] Comprimento: 1 unidade Altura: Para encontrar a altura, calculamos o valor de t = 5 na função, ou seja, ƒ(5) = 52 = 25 Área: 1 × 25 = 25 Seja A1 a soma das áreas de todos os retângulos, então A1 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55 , temos que A1 > A. Mas esta não é a única aproximação possível: podemos subdividir os intervalos de forma que ainda fiquem com comprimentos iguais para encontrar outra aproximação mais precisa, conforme mostra o gráfico da figura 3.4 a seguir: 68 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Gráfico 3.4 – Gráfico da subdivisão A1 Fonte: Elaboração das autoras (2011). Quanto menores os retângulos, menor é o excesso no cálculo da área. Dividimos os retângulos de A1 em dois, mantendo sempre, na divisão, retângulos de mesmo comprimento. Quando o comprimento de cada retângulo passa a ser já podemos notar que a aproximação é um pouco melhor, conforme demonstra o gráfico 3.4. Novamente vamos calcular a área de cada retângulo para depois somarmos as áreas e obtermos uma aproximação de A Observe foi desconsiderado. que de t = 0 até 1º retângulo, intervalo Comprimento: unidade Altura: Para encontrar a altura, calculamos o valor de t = 1 na função, ou seja, ƒ(1) = 12 = 1 Área: Unidade 3 69 Universidade do Sul de Santa Catarina 2º retângulo, intervalo Comprimento: unidade Altura: Para encontrar a altura, calculamos o valor de na função, ou seja, Área: 3º retângulo, intervalo Comprimento: unidade Altura: Para encontrar a altura, calculamos o valor de t = 2 na função, ou seja, ƒ(2) = 22 = 4 Área: 4º retângulo, intervalo Comprimento: unidade Altura: Para encontrar a altura, calculamos o valor de na função, ou seja, Área: 5º retângulo, intervalo Comprimento: unidade Altura: Para encontrar a altura, calculamos o valor de t = 3 na função, ou seja, ƒ(3) = 32 = 9 Área: 70 Cálculo Integral nas Ciências Sociais 6º retângulo, intervalo Comprimento: unidade Altura: Para encontrar a altura, calculamos o valor de na função, ou seja, Área: 7º retângulo, intervalo Comprimento: unidade Altura: Para encontrar a altura, calculamos o valor de t = 4 na função, ou seja, ƒ(4) = (4)2 = 16 Área: 8º retângulo, intervalo Comprimento: unidade Altura: Para encontrar a altura, calculamos o valor de na função, ou seja, Área: 9º retângulo, intervalo Comprimento: unidade Altura: Para encontrar a altura, calculamos o valor de t = 5 na função, ou seja, ƒ(5) = (5)2 = 25 Área: Unidade 3 71 Universidade do Sul de Santa Catarina Seja a soma das áreas de todos os retângulos, então temos que A1 > A 2 > A que é uma boa aproximação para nosso problema. Assim, o consumo total de água no bairro nos cinco meses é aproximadamente 49.125 mil metros cúbicos. Para o nosso problema, esta aproximação é uma boa solução, mas é possível subdividir A2 em retângulos do mesmo tamanho dividindo sempre na metade do intervalo. Essas divisões podem ser feitas infinitamente até que a soma das áreas dos retângulos seja praticamente a área sob a curva. Agora que você entendeu a ideia do cálculo da área sob uma curva, vamos aplicá-la a um caso geral, como mostra o gráfico 3.5: Gráfico 3.5 – Gráfico de caso geral Fonte: Elaboração das autoras (2011). A é a área sob o gráfico de ƒ(x), ƒ(x) é contínua em todo o intervalo . A está limitada à esquerda pela reta x = a à direita por x = b e subdividida em n retângulos com o mesmo comprimento, chamado de Δx Para calcular Δx usamos a seguinte fórmula: . No exemplo 1, para obter a área de cada retângulo, calculamos o valor da função no extremo direito do intervalo e depois multiplicamos pelo o comprimento do intervalo. No entanto, não é necessário calcularmos o valor da função no extremo direito do intervalo para saber a altura, podemos escolher qualquer ponto no intervalo. 72 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Por exemplo, no intervalo define-se que representa qualquer número entre a e x1 no intervalo define-se que representa qualquer número entre x1 e x2 Fazendo sempre as escolhas desta forma, calculamos o valor da função nos números , , , , ... , . Logo, a área A é aproximadamente a soma das áreas dos n , , retângulos com comprimento Δx e alturas ... Portanto: , A soma das áreas dos n retângulos é chamada de soma de Riemann, para qualquer escolha de quando n for um número arbitrariamente grande; ou seja, quando o intervalo for dividido em um número muito grande de retângulos, a soma de Riemann deve convergir para um único número que definimos como área A. Se você entendeu a ideia do cálculo da área sob uma curva no exemplo 1 e conseguiu assimilar a aplicação ao caso geral para qualquer função não negativa em um intervalo qualquer, podemos, enfim, enunciar a definição de área sob uma curva. Definição de área sob uma curva: Seja ƒ função contínua não negativa em área sob a curva do gráfico de ƒ é Então, a que são pontos arbitrários pertencentes aos subintervalos de de igual comprimento . Unidade 3 73 Universidade do Sul de Santa Catarina Seção 2 – Integral definida Nesta seção você irá conhecer a definição de integral definida e o teorema fundamental do cálculo. Porém, não faremos demonstração porque nosso objetivo neste livro é aplicar os conceitos e técnicas do cálculo integral a problemas relativos às Ciências Sociais. Tendo lido a seção anterior, você já tem o suporte para que possa compreender a definição de integral definida, conforme segue: Definição de integral definida Seja ƒ função contínua e definida em dividirmos o intervalo em n subintervalos de comprimentos iguais escolha de pontos arbitrários , Em algumas literaturas também encontramos a como extremo inferior de integração e b superior de integração. . Se e para qualquer , , ... , subintervalos, então a integral definida de é nos n O símbolo de integração é o mesmo para integral definida e integral indefinida. A diferença é que, na integral definida, existem dois números – a e b – que são os limites de integração, a sendo o limite de integração inferior e b sendo o limite de integração superior. Outra diferença é que a integral indefinida de ƒ representa infinitas primitivas, como vimos na unidade anterior, e a integral definida representa um número. Quando a função do integrando é uma função contínua e não negativa no intervalo então a integral definida é a área sob a curva do gráfico do integrando. O gráfico 3.6 mostra a representação geométrica da integral definida quando a função do integrando assumir valores positivos e negativos no intervalo 74 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Gráfico 3.6 – Gráfico de interpretação geométrica da integral definida Fonte: Elaboração das autoras (2011). Portanto, quando o integrando assumir valores positivos e negativos no intervalo a integral definida será a soma das áreas que estão sobre o eixo x no intervalo e sob a função do integrando, menos as áreas que estão sob o eixo x no intervalo e sobre a função do integrando. Exemplo: Vamos aplicar as definições de soma de Reimann e integral definida a um exemplo: Considerando a função ƒ(x) = x2 + 3 e o intervalo a) Calcular a soma de Riemann, tomando como pontos arbitrários os extremos direitos de cada intervalo, para n = 6; b)Calcular tomando como pontos arbitrários os extremos direitos de cada intervalo. Solução: a) Primeiro vamos calcular Δx que é o comprimento dos subintervalos: Os seis subintervalos são , , , , e então os pontos arbitrários são x1 = 0,5, x 2 = 1, x3 = 1,5, x4 = 2, x5 = 2,5 e x6 = 3. Unidade 3 75 Universidade do Sul de Santa Catarina Portanto, a soma de Riemann é calculada por: R = (0,52 + 3) × 0,5 + (12 + 3) × 0,5 + (1,52 + 3) × 0,5 + (22 + 3) × 0,5 + (2,52 + 3) × 0,5 + (32 + 3) × 0,5 R = (0,25 + 3) × 0,5 + (1 + 3) × 0,5 + (2,25 + 3) × 0,5 + (4 + 3) × 0,5 + (6,25 + 3) × 0,5 + (9 + 3) × 0,5 R = 3,25 × 0,5 + 4 × 0,5 + 5,25 × 0,5 + 7 × 0,5 + 9,25 × 0,5 + 12 × 0,5 R = 1,625 + 2 + 2,625 + 3 + 3,5 + 4,625 + 5,5 = 19,875 Resposta: a soma de Riemann é 19,875. a) Primeiro vamos calcular Δx que é o comprimento dos subintervalos. Lembre-se de que a integral definida n um número muito grande, ou seja, n → ∞ Temos n subintervalos que podemos escrever da seguinte forma: , em que , , ..., , ..., , é o i-ésimo intervalo. Então, os pontos arbitrários são , ... xn = 3 , , , ..., . 76 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Para calcular este limite, teremos de organizar a expressão dentro dos colchetes. Como está multiplicando todas as parcelas, podemos colocar este fator em evidência: Note que . Então, Como temos n parcelas da soma, então o 3 está somando n vezes. Portanto, Nas n da soma, vamos colocar em evidência: . Usaremos a fórmula da soma dos quadrados dos n primeiros termos positivos: Unidade 3 77 Universidade do Sul de Santa Catarina Substituindo esta fórmula em nossa expressão, obtemos: . Enfim, podemos calcular o limite. Lembre-se de que e Portanto, . Note que a soma de Riemann apresentou um valor bem próximo da integral definida, e como a função do integrando é não negativa no intervalo a integral definida representa a área sob a curva da função no intervalo. Achou complicado calcular a integral usando a definição? Uma boa notícia é que o teorema que veremos agora nos poupa deste trabalho árduo e pouco prático de calcular a integral definida. O teorema, que se chama teorema fundamental do cálculo, mostra como calcular a integral definida conhecendo uma primitiva do integrando, fazendo novamente uma relação com o cálculo diferencial. 78 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Teorema fundamental do cálculo: Seja função contínua e definida em , então , em que F é uma primitiva de ƒ. Para calcular a integral definida de uma função contínua e definida em basta saber a primitiva e aplicar o limite superior na primitiva. Em seguida, é preciso aplicar o limite inferior na primitiva e subtrair o segundo resultado do primeiro. Usamos a seguinte notação: . Para verificar como ficou fácil, vamos resolver alguns exemplos usando o teorema: Exemplo 1: Calcular Solução: Primeiro, vamos encontrar uma primitiva para ƒ(x) = x2, que é o mesmo que encontrar a integral indefinida de ƒ(x) = x2, ou seja, , em que C é uma constante arbitrária, usando o teorema fundamental do cálculo: Portanto, . Exemplo 2: Calcular Solução: Primeiro, vamos encontrar uma primitiva para ƒ(x) = x, que é o mesmo que encontrar a integral indefinida , em que C é uma constante de ƒ(x) = x, ou seja, arbitrária, usando o teorema fundamental do cálculo: Portanto, . Unidade 3 79 Universidade do Sul de Santa Catarina Note que, na integral definida, a constante arbitrária sempre será cancelada, pois vamos somar e subtrair a mesma constante. Portanto, para a integral definida vamos desconsiderar a constante arbitrária. Exemplo 3: Calcular a área sob o gráfico da função ƒ(x) = 2x no intervalo Solução: Como a função ƒ(x) = 2x é positiva no intervalo então a área sob o gráfico de ƒ(x) = 2x é igual à integral definida. Portanto, Logo, a área sob o gráfico de ƒ(x) = 2x é igual a 39 unidades de área. Seção 3 – Cálculo da integral definida Estudamos que, para calcular a integral definida, fica muito simples aplicar o teorema fundamental do cálculo. Mas, para aplicá-lo, é preciso conhecer uma primitiva da função do integrando. Nesta seção, iremos aprender como se encontra a primitiva da função do integrando, as propriedades das integrais definidas e como se aplicam os dois métodos de integração nas integrais definidas: o método de integração por substituição e o método de integração por partes. Acompanhe! Primitivas Para encontrar as primitivas da função do integrando podemos utilizar as mesmas regras aplicadas para encontrar as primitivas na integral indefinida. Conhecendo a primitiva para calcular a integral definida, usamos o teorema fundamental do cálculo, como mostra o exemplo a seguir: 80 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Exemplo: Calcular as integrais definidas abaixo: a) b) c) Solução: a) O integrando é uma função constante, então a primitiva de ƒ(x) = 5 é F(x) = 5x Lembramos que a constante de integração será desconsiderada porque ela se anula no cálculo da integral definida. Portanto, a integral definida é: . b)O integrando é uma função potência, então a primitiva . Portanto, a integral definida é: de ƒ(x) = x5 é . c) O integrando é uma função exponencial de base , então a primitiva de ƒ(x) = ex é F(x) = ex Portanto, a integral definida é: . Note que não há nenhuma diferença entre encontrar as primitivas na integral indefinida e na integral definida, a não ser que a solução da integral definida é um número e a solução da integral indefinida são infinitas funções. Unidade 3 81 Universidade do Sul de Santa Catarina Propriedades da integral definida Para facilitar o cálculo das integrais definidas, vamos conhecer suas propriedades: Propriedade 1: Esta propriedade garante que a integral definida em um ponto seja igual a zero. Se analisarmos a definição, notamos que mas a = b então Como Δx multiplica todas as parcelas da soma, portanto: . Exemplo 1: Calcular Solução: Como o limite superior é igual ao limite inferior, não é preciso encontrar a primitiva do integrando, pois a propriedade 1 garante que . Propriedade 2: Esta propriedade garante que, se trocarmos os limites de integração, inverteremos o sinal da integral definida. Como assumimos que a < b se invertermos os limites de integração , que é um número negativo, teremos: . Exemplo 2: Calcular Solução: Vamos usar a propriedade 2 e o resultado da integral definida já conhecida em exemplo anterior. Neste exemplo, calculamos . Assim, usando a propriedade 2, obtemos: . 82 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Propriedade 3: (c uma constante) Esta propriedade é semelhante à propriedade 1 da integral indefinida, pois garante que, quando um fator constante multiplica o integrando da integral definida, ele corresponderá à integral definida vezes este fator constante. Exemplo 3: Calcular Solução: Vamos usar a propriedade 3, ou seja, vamos encontrar a primitiva do integrando e aplicar o teorema fundamental do cálculo: Logo, . Outra forma de resolver de maneira mais direta seria: . Propriedade 4: Esta propriedade é semelhante à propriedade vista na integral indefinida, ou seja, garante que a integral definida da soma ou subtração seja igual à soma ou à subtração das integrais definidas. Unidade 3 83 Universidade do Sul de Santa Catarina Exemplo 4: Calcular as integrais definidas abaixo: a) b) Solução: a) Vamos aplicar a propriedade 4, encontrar a primitiva de cada função e aplicar o teorema fundamental do cálculo: Portanto, . b)Vamos aplicar as propriedades 4 e 3 para encontrar a primitiva de cada função e aplicar o teorema fundamental do cálculo: 0 84 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Portanto, . (a < c < b) Propriedade 5: Esta propriedade garante que, se é um número entre e então a integral definida no intervalo é igual à soma da integral definida no intervalo e da integral definida no intervalo . Exemplo 5: Se ? e qual é o valor de Solução: Mesmo não sabendo qual é o integrando, podemos aplicar a propriedade 5: Como a integral definida é um número, podemos manipular a equação acima da seguinte forma: Agora, basta substituir os valores dados no enunciado: Portanto, . Os métodos de integração por substituição para integral definida Os métodos de integração por substituição e por partes foram aplicados à integral indefinida para encontrar a primitiva do integrando. Vimos que para calcular a integral definida temos primeiro que encontrar uma primitiva. As propriedades vistas são muito úteis para encontrar as primitivas, mas não são suficientes, pois alguns integrandos são complexos. Nesses casos, antes na integral indefinida, podemos usar os dois métodos de integração, encontrando as primitivas, e aplicar o teorema fundamental do cálculo. Unidade 3 85 Universidade do Sul de Santa Catarina Vamos ver como funcionam os métodos de integração para integral definida através de dois exemplos: Exemplo 6: Calcular Solução: O integrando envolve uma função composta em que ƒ(x) = x2 e g(x) = 8x + 5. Portanto, podemos resolver usando o método da substituição. Para a integral definida, há duas formas de resolver usando o método da substituição: Primeira forma: Resolver a integral indefinida para encontrar a primitiva, depois calcular a integral definida: Passo 1: Fazer a escolha de u sendo que u é sempre a g(x) portanto, u = 8x + 5 Passo 2: Calcular o diferencial de u, du = 8dx Passo 3: Fazer a substituição: Passo 4: Calcular a integral indefinida, sendo que o interando é uma função potência: Passo 5: Retornar à variável x: Conhecendo a primitiva do integrado, podemos calcular a integral definida: . 86 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Segunda forma: Junto com a mudança de variável também se faz a mudança dos limites de integração: Passo 1: Fazer a escolha de u, sendo que u é sempre a g(x), portanto, u = 8x + 5 Passo 2: Calcular o diferencial de u, du = 8dx Passo 3: Fazer a mudança dos limites de integração: Limite superior x = 4 então u = 8 × 4 + 5 = 37 Limite inferior x = 1 então u = 8 × 1 + 5 = 13 Passo 4: Fazer a substituição: Passo 5: Calcular a integral definida, sendo que o interando é uma função potência: . Note que na segunda forma de resolver não é necessário retornar à variável e o resultado não se altera, então você pode escolher uma das duas formas para resolver. Exemplo 7: Calcular Solução: Já conhecemos este integrando quando estudamos método de integração por partes aplicado à integral indefinida. Para a integral definida, calcularemos a integral indefinida usando o método de integração por partes, e a seguir iremos aplicar o teorema fundamental do cálculo: Unidade 3 87 Universidade do Sul de Santa Catarina Passo 1: Escolher u e dv: u = ln x dv = xdx Passo 2: Determinar du e v: constante de integração) (desconsideramos a Passo 3: Aplicar a fórmula Passo 4: Resolver Passo 5: Escrever a solução completa: : Conhecendo a primitiva do integrado, podemos calcular a integral definida: . 88 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Seção 4 – Cálculo de área usando integral definida No início desta unidade, introduzimos a definição de integral definida usando o cálculo de áreas e concluímos que a área sob uma curva é igual à integral definida para funções contínuas, não negativas e definidas no intervalo . Nesta seção, calcularemos a área sob uma curva e entre duas curvas para integrais contínuas e definidas em . A hipótese de a função ser não negativa não será mais necessária. Cálculo de área Se a função for contínua, não negativa e definida no intervalo , para calcular a área sob a curva no intervalo calcula-se a integral definida no intervalo . Veja nos exemplos a seguir: Exemplo 1: Calcular a área limitada pela curva de ƒ(x) = 2x2pelo eixo x e as retas x = 0 e x = 8: Solução: Vamos desenhar um esboço do gráfico da área que queremos calcular: Gráfico 3.7 – Gráfico da área do exemplo 1 Fonte: Elaboração das autoras (2011). Como toda a área desejada está sobre o eixo portanto, toda a área é positiva. Para calcular a área, calcularemos a integral definida no intervalo Unidade 3 89 Universidade do Sul de Santa Catarina Logo, a área é igual unidades de área. Se a função for negativa em uma parte ou em todo intervalo a integral definida da função na parte negativa será negativa. Neste caso, a área será o valor absoluto da integral, ou seja, o valor da integral sem considerar o sinal. Exemplo 2: Calcular a área limitada pela a curva de ƒ(x) = x3 pelo eixo x e as retas x = –2 e x = 2. Solução: Vamos desenhar um esboço do gráfico da área que queremos calcular: y –2 2 x Gráfico 3.8 – Gráfico da área do exemplo 2 Fonte: Elaboração das autoras (2011). Note que a área no intervalo está sob o eixo x portanto é negativa. Usando a propriedade 5 da seção anterior, conseguimos separar a áreas em duas para calcular separadamente, como segue: . O valor absoluto da primeira integral definida é o valor da área . Então, no intervalo . 90 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Como o valor da área é o valor absoluto da integral no intervalo, então a área é –(–4) de área. Vamos calcular a área no outro intervalo, ou seja, a integral definida em : A área total é: . Logo, o valor da área delimitada é de 8 unidades de área. Área entre duas curvas Suponha que as projeções do consumo de água de certo bairro em 5 meses cresça a uma taxa de ƒ(t) mil metros cúbicos e este crescimento seja insustentável. Por este motivo, será necessário implementar medidas de conscientização para não haver racionamento de água. Após essas medidas, a taxa de crescimento passou a ser de g(t) mil metros cúbicos. O consumo de água, no primeiro momento, é dado pela área sob o gráfico de ƒ(t) como mostra o gráfico 3.9. Após a implementação de medidas de conscientização, o consumo de água será dado pela área sob o gráfico de g(t) como mostra o gráfico 3.10. y f(t) t 5 Gráfico 3.9 – Gráfico do consumo de água previsto para 5 meses Fonte: Elaboração das autoras (2011). Unidade 3 91 Universidade do Sul de Santa Catarina y g(t) t 5 Gráfico 3.10 – Gráfico do consumo de água após a implementação de medidas de conscientização Fonte: Elaboração das autoras (2011). O importante nesta situação é saber quanto foi economizado de água após a implementação de medidas de conscientização do consumo de água e, para isto, é preciso saber a diferença do consumo. Uma vez que a área abaixo do gráfico de ƒ(t) representa o consumo na primeira projeção e o gráfico de g(t) representa o consumo após a implementação de medidas de conscientização, o gráfico a seguir mostra a quantidade de água economizada. Gráfico 3.11 – Gráfico da quantidade de água economizada após a implementação de medidas de conscientização Fonte: Elaboração das autoras (2011). A área entre as duas curvas representa a quantidade de água economizada. O cálculo desta área é simples: subtraia a área que está sob a curva de g(t) da área que está abaixo da curva de ƒ(t). Depois, vamos definir a área entre as duas curvas por A Assim, usando integrais definidas, temos: . 92 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Definição de área entre duas curvas: Sejam ƒ e g funções contínuas tais que ƒ(x) ≥ g(x) no intervalo , então a área da região limitada superiormente por y = ƒ(x) e inferiormente por y = g(x) em dada por: é . Note que na nossa situação inicial as funções eram não negativas, mas esta condição não é necessária para o cálculo de área entre duas curvas. Veja no exemplo 3: Exemplo 3: Calcular a área que é limitada pelos gráficos das funções ƒ(x) = 3x – 3 e g(x) = x2 – 3 Solução: Dividiremos a solução em três passos: Passo 1: Determinar os pontos de intersecção das duas funções. Para encontrar estes pontos, devemos igualar as duas funções: 3x – 3 = x2 – 3 3x – x2 = –3 + 3 3x – x2 = 0 x (3 – x) = 0 x = 0 e x = 3. Para x = 0 ⇒ y = –3 e x = 3 ⇒ y = 6. Portanto, os pontos de intersecção são (0. –3) e (3, 6). Unidade 3 93 Universidade do Sul de Santa Catarina Passo 2: Esboçar o gráfico das funções: Gráfico 3.12 – Gráfico da área limitada pelas funções ƒ(x) = 3x – 3 e g(x) = x2 – 3 Fonte: Elaboração das autoras (2011). Passo 3: Calcular a área entre os gráficos: A função ƒ(x) = 3x – 3 é a limitante superior da área, e a função g(x) = x2 – 3 é a limitante inferior da área no intervalo . Usando a definição: . Logo, a área limitada por ƒ(x) = 3x – 3 e g(x) = x2 – 3 é 4,5 unidades de área. 94 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Síntese Nesta unidade, você teve a oportunidade de compreender a necessidade de aprender o cálculo da integral definida no seu curso, através de exemplos aplicados e de fácil compreensão. Ao finalizar esta unidade, você deve estar apto a aplicar a definição, as regras e propriedades da integral definida e do cálculo de área sob uma curva, bem como a aplicação desses conceitos a outras definições do seu curso, que veremos na unidade seguinte. Atividades de autoavaliação Ao final de cada unidade, você realizará atividades de autoavaliação. O gabarito está disponível no final do livro didático. Mas esforce-se para resolver as atividades sem ajuda do gabarito, pois, assim, você estará promovendo (estimulando) a sua aprendizagem. 1) Para as funções abaixo, use a soma de Riemann para encontrar uma aproximação para a área sob o gráfico usando as informações indicadas: a) ƒ(x) = x2 + 2; b) ƒ(x) = 3x3; c) ; ; n = 4; pontos arbitrários: os extremos direitos. ; n = 5; pontos arbitrários: os extremos esquerdos. ; n = 3; pontos arbitrários: os extremos direitos. Unidade 3 95 Universidade do Sul de Santa Catarina 2) A gerência de uma fabrica de lápis determinou que o custo marginal diário associado à produção é dada por: C'(x) = 0,000023x2 – 0,01x + 2 em que C'(x) é medido em reais por unidade e x é o número de unidades produzidas. A gerência também determinou que o custo fixo diário envolvido na produção destes lápis é de R$ 90,00. Determine o custo total diário para produzir: a) As primeiras 300 unidades. b) Da unidade 250 à unidade 354. 3) Dado que e a) b) c) 4) Calcule as integrais definidas: a) b) c) d) e) f) g) h) 96 , calcule: Cálculo Integral nas Ciências Sociais 5) Calcule a área limitada pela curva de ƒ(x) = x2 – 3x –4 pelo eixo x e as retas x = 0 e x = 4. 6) Calcule a área limitada pela curva de ƒ(x) = 3x + 3 pelo eixo x e as retas x = –1 e x = 1. 7) Calcule a área limitada pela curva de ƒ(x) = x3 + 1 pelo eixo x e as retas x = –1 e x = 2. 8) Nos itens abaixo, esboce o gráfico da função ƒ e g e determinar a área da região delimitada pelos mesmos: e a) b) e c) e Saiba mais Se você desejar, aprofunde os conteúdos estudados nesta unidade ao consultar as seguintes referências: TAN, S. T. Matemática aplicada à Administração e Economia. São Paulo: Thomson, 2003. WEBER, J. E. Matemática para Economia e Administração. São Paulo: Habra, 1986. Unidade 3 97 unidade 4 Aplicação da integral definida Objetivos de aprendizagem Aplicar a definição e as regras de integração a variáveis macroeconômicas, tais como os conceitos de renda nacional, consumo e poupança. Aplicar a definição e as regras de integração a variáveis microeconômicas, tais como os conceitos de excedente do consumidor e excedente do produtor. Aplicar a definição e as regras de integração a variáveis financeiras, tais como os conceitos de investimento e formação do capital. Seções de estudo Seção 1 Renda nacional, consumo e poupança Seção 2 Excedente do consumidor e do produtor Seção 3 Investimento e formação do capital 4 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo Para fazer sentido estudar o cálculo integral nos cursos de Ciências Sociais é de fundamental importância conhecer as aplicações do cálculo integral a conceitos de Ciências Sociais. Em todas as unidades, você teve contato com as aplicações do cálculo integral a problemas que envolvem conceitos de seu curso, mas nesta unidade daremos ênfase a alguns conceitos muito importantes nas áreas de Economia, Administração e Contábeis: renda nacional, consumo e poupança, excedente do consumidor, excedente do produtor, investimento e formação do capital. A renda nacional relaciona tudo o que foi produzido no país e afeta o planejamento tanto do setor público quanto do privado; o consumo, ou seja, o montante que as pessoas ou famílias gastam ou compram afeta o crescimento do país e outras variáveis, como renda e emprego. Para aqueles consumidores que não gastam toda sua renda, uma das opções é poupar para consumir no futuro. A poupança de cada indivíduo da sociedade aumenta o montante de renda nacional, o que, por consequência, permite ao sistema financeiro ofertar mais recursos (dinheiro) para projetos de investimentos produtivos, ou seja, na formação de capital da nação. Esses conceitos envolvem as variáveis macroeconômicas e variáveis exógenas, que dificilmente você ou a organização em que você trabalha ou gerencia podem influenciar (e por isso dizemos que essas variáveis são dados na economia). Os conceitos e os problemas abordados nesta unidade são de fácil entendimento e resolução utilizando a integral definida e indefinida que você aprendeu nas unidades anteriores. É muito importante que, neste momento, todas as regras, propriedades e conceitos abordados nas unidades anteriores estejam compreendidas. Note que o desenvolvimento das funções e métodos foi feito através de vários exemplos e exercícios justamente porque acreditamos que é com a prática que aprendemos a desenvolver e aplicar cálculos. 100 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Seção 1 – Renda nacional, consumo e poupança Para compreender a aplicação do cálculo integral aos conceitos de renda nacional, consumo e poupança, vamos relembrar, primeiramente, que esses são variáveis macroeconômicas, para então buscarmos compreender como estão relacionados. De forma geral, apresentamos os conceitos: Renda nacional – Corresponde à soma da remuneração de todos os fatores que participam da produção. Em termos gerais, é o Produto Interno Bruto (PIB) de uma nação. No Brasil, assim como nos demais países, é uma medida de crescimento da nação. Quanto maior for esta variável, que é medida anualmente, maior será o bem-estar da sociedade. Consumo – Corresponde à despesa em bens e serviços com vista à satisfação de necessidades e desejos dos consumidores. O consumo é uma variável que tem impacto positivo na renda da nação; ou seja, quanto maior o consumo, maior o PIB. O consumo é a soma da demanda dos três agentes econômicos: governo, empresas e famílias. Poupança – Corresponde à diferença entre a renda nacional disponível (renda disponível é a renda menos os impostos) e os gastos com bens e serviços. Reflete na riqueza das famílias e da nação. Por exemplo: um país que tem um nível elevado de poupança interna tem maiores possibilidades de financiar seus investimentos produtivos, como fábricas e prestadoras de serviços. Quanto mais unidades produtivas (empresas), mais empregos e mais renda. Esses conceitos são mais detalhados nos livros didáticos indicados no Saiba Mais. Procure o livro de seu curso que aborda este conteúdo e aprofunde seus conhecimentos! Unidade 4 101 Universidade do Sul de Santa Catarina Com base nos conceitos acima e fazendo uma análise simplificada da renda nacional, podemos dizer que esta tem dois destinos: o consumo e a poupança, que podem ser representados através da seguinte equação: Y = C + S, em que y é a renda nacional, c é o consumo e s é a poupança. Existe uma relação entre o consumo e a renda nacional: quando a renda nacional aumenta ou diminui, o consumo aumenta ou diminui, mas não na mesma intensidade. Chamamos a relação entre consumo e renda nacional de função consumo, que é dada por: C = ƒ(Y), em que y é a renda nacional e c é o consumo. À variação do consumo, que ocorre à medida que a renda nacional varia, chamamos de propensão marginal a consumir (PMg). A PMg nada mais é que a taxa de variação do consumo em relação à renda nacional, ou seja, a derivada do consumo em relação à renda nacional. Portanto, temos: Propensão Marginal a Consumir: Cmg = ƒ′(x) Da mesma forma, existe também uma relação da poupança com a renda nacional, que é dada por s = g(y), em que Y é a renda nacional e s é a poupança. Considerando que Y = c + s e fazendo uma manipulação simples na equação, obtemos s = y – c. Derivando a poupança em relação à renda, temos: g′(y) = 1 – ƒ′(y), que representa a variação da poupança à medida que a renda nacional varia (propensão marginal a poupar). Substituindo Cmg = ƒ′(x) na equação acima, deduzimos a seguinte fórmula para propensão marginal a poupar: Propensão Marginal a Poupar: Smg = 1 – Cmg 102 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Portanto, o consumo total é igual à integral em relação a x da propensão marginal a consumir, pois . A constante de integração é definida com uma condição inicial, como veremos nos exemplos a seguir. Exemplo 1: A propensão marginal a consumir é em bilhões de reais. Sabendo que quando a renda é igual a zero o consumo é de 8 bilhões de reais, determinar a função consumo e a função poupança. Solução: Para determinar a função consumo, temos que integrar a propensão marginal a consumir em relação à y. Portanto, . Para determinar C, vamos usar a condição inicial. Quando a renda é zero, o consumo é de 8 bilhões, ou seja, temos que para y = 0 ⇒ c(0) = 8, então: 8=0+C C=8 Logo, . Para determinar a função poupança, temos que y = c + s. Manipulando a equação, ficamos com s = y – c ou s(y) = y – c(y). Unidade 4 103 Universidade do Sul de Santa Catarina Substituindo a função consumo, temos: Logo, . Exemplo 2: A propensão marginal a consumir é em bilhões de reais. Sabendo que quando a renda é igual a zero o consumo é de 6 bilhões de reais, determinar a função consumo e a função poupança. Solução: Para determinar a função consumo, temos que integrar a propensão marginal a consumir em relação à y. Assim: Portanto, . Para determinar C, usaremos a condição inicial. Quando a renda é igual a zero, temos o consumo igual a 6 bilhões, ou seja, temos que para y = 0 ⇒ c(0) = 6, então: 6=0+C C=6 Logo, 104 . Cálculo Integral nas Ciências Sociais Para determinar a função poupança, temos que y = c + s. Manipulando a equação, ficamos com s = y – c ou s(y) = y – c(y). Substituindo a função consumo, temos: . Logo, . Exemplo 3: A propensão marginal a poupar é smg = 0,25. Sabendo que quando a renda é igual a zero o consumo é igual a 15 bilhões de reais, determinar a função consumo e a função poupança. Solução: Para determinar a função consumo, primeiro vamos determinar a propensão marginal a consumir: smg = 1 – cmg cmg = 1 – smg cmg = 1 – 0,25 cmg = 0,75. Integrando a propensão marginal a consumir em relação à y , temos a função consumo dada por: Portanto, c(y) = 0,75y + C. Para determinar C, vamos usar a condição inicial. Quando a renda é igual a zero o consumo é de 15 bilhões, ou seja, temos que para y = 0 ⇒ c(0) = 15, então: c(0) = 0,75 × 0 + C 15 = 0 + C C = 15 Logo, c(y) = 0,75y + 15. Unidade 4 105 Universidade do Sul de Santa Catarina Para determinar a função poupança, temos s(y) = y – c(y). Vamos substituir a função consumo: s(y) = y – (0,75y + 15) = y – 0,75y – 15 = 0,25y –15. Logo, s(y) = 0,25y – 15. Exemplo 4: A propensão marginal a poupar é . Sabendo que quando a renda é igual a zero o consumo igual a 5 bilhões de reais, determinar a função consumo e a função poupança. Solução: Para determinar a função consumo, primeiro vamos determinar a propensão marginal a consumir: smg = 1 – cmg cmg = 1 – smg . Integrando a propensão marginal a consumir em relação à y, temos a função consumo dada por: . Portanto, Para determinar C, vamos usar a condição inicial. Quando a renda é igual a zero o consumo é de 5 bilhões, ou seja, temos que para y = (0) ⇒ c(0) = 5, então: c(0) = 0,75 × 0 + C 5=0+C C=5 Logo, 106 . Cálculo Integral nas Ciências Sociais Para determinar a função poupança, temos s(y) = y – c(y). Vamos, então, substituir a função consumo: Logo, . Quando determinamos a propensão marginal a consumir de um país, podemos ter uma previsão de quando as empresas daquele país poderão vender no ano em questão. O outro indicativo derivado, que é a poupança, pode ajudar o governo a planejar seus investimentos, principalmente de infraestrutura. Como em economia todas as variáveis estão interligadas, o lado “real” da economia, ou seja, o que envolve produção, consumo, etc., afeta o lado monetário. No que se refere à decisão do governo sobre o valor da taxa de juros, esta tanto pode ser usada para atrair poupança externa como para frear o consumo, caso o aumento de demanda reflita em aumento de inflação. Taxas de juros elevadas, por exemplo, também inibem os investimentos produtivos e, como consequência, os empresários poderão deixar de fazer um projeto de implementação de uma nova unidade ou até de expansão da unidade produtiva atual. Por outro lado, taxas de juros elevadas refletem em maiores retornos em investimentos financeiros. Seção 2 – Excedente do consumidor e do produtor Os conceitos de excedente do consumidor e do produtor estão relacionados à Microeconomia, mais particularmente à “teoria da firma”. Desta teoria tiramos que, em termos gerais, as firmas procuram maximizar seus lucros, dado sua tecnologia, preço do trabalho, preço do capital, preço dos recursos naturais, e preço da terra. Em resumo, entendemos que o objetivo maior da empresa é maximizar seus lucros. Unidade 4 107 Universidade do Sul de Santa Catarina Excedente do consumidor A teoria da demanda é derivada de hipóteses da teoria do consumidor. Parte-se do pressuposto de que o consumidor tenha orçamento limitado e acesso a uma determinada cesta de produtos, assim a teoria da demanda visa a explicar as possibilidades de escolha do consumidor. O consumidor fará escolhas com seu orçamento limitado e tentará alcançar a melhor combinação de bens e serviços consumidos, ou seja, aquela que lhe trará maior nível de satisfação. Diferentemente da empresa, o objetivo maior do consumidor é maximizar seu bem-estar. Por isso, a Microeconomia parte do pressuposto de que o consumidor tenha orçamento limitado e acesso a uma determinada cesta de produtos. Assim, a “teoria da demanda” visa a explicar as possibilidades de escolha do consumidor. O consumidor fará escolhas com seu orçamento limitado e tentará encontrar os bens e serviços que lhe trarão maior grau de satisfação e, em última instância, maior bem-estar. Para obter a satisfação desejada, o consumidor está disposto a pagar um preço. Mas o preço que ele se dispõe a pagar não corresponde necessariamente ao que efetivamente pagará, e a essa diferença damos o nome de excedente do consumidor. Nesta seção, veremos uma aplicação da integral definida a esse conceito. Primeiro, leia a definição de excedente do consumidor. Em seguida, vamos entender como a integral definida é utilizada para calcular o excedente do consumidor. Excedente do consumidor – mede o benefício obtido pelo consumidor numa determinada transação. É a diferença entre o que ele está disposto a pagar por um determinado produto e o que efetivamente pagará. A integral definida é utilizada na fórmula que se calcula o excedente do consumidor. Vamos desenvolver a fórmula e compreender a necessidade de utilizar a integral definida. Para isso, suponha que p = D(x) é uma função de demanda que relaciona o preço unitário p de um determinado bem à quantidade demandada x. Função de demanda – representa as quantidades de um bem que pode ser comprado a vários preços. 108 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Se o preço de mercado é p 0 e a quantidade demandada correspondente é x 0, então o consumidor que estiver disposto a pagar um preço superior a p 0 tem um ganho pelo fato de o preço ser inferior ao que ele está disposto a pagar. Por exemplo, se o consumidor está disposto a pagar R$ 60,00 por uma camisa e a camisa custa R$ 55,00, isto significa que o consumidor economizará R$ 5,00, que representa o excedente do consumidor. O gráfico 4.1 mostra a função de demanda correspondente ao preço de mercado p 0 em relação à quantidade demandada correspondente x 0: Preço p p0 p = D ( x) A x0 x Quantidade Gráfico 4.1 – Gráfico da função de demanda Fonte: Elaboração das autoras (2011). Analisando o gráfico, podemos notar que, se o consumidor estiver disposto a pagar qualquer valor acima de p 0, ele estará economizando. Portanto, a área sob a curva do gráfico de p = D(x) e sobre a reta p = p 0 no intervalo representa o excedente do consumidor. Para calcular o excedente do consumidor, basta calcular a área A destacada no gráfico no intervalo . Na unidade anterior, calculamos esta área usando integral definida. É o que vamos fazer para encontrar a fórmula que calcula o excedente do consumidor. Unidade 4 109 Universidade do Sul de Santa Catarina A área que desejamos calcular está limitada inferiormente por p = p 0 e superiormente por p = D(x). Usando a definição de cálculo de área já apresentada, encontramos: Definição de área entre duas curvas: Sejam f e g funções contínuas tais que f(x) ≥ g(x) no intervalo , então a área da região limitada superiormente por y = f(x) e inferiormente por y = g(x) em é dada por . . Logo, para calcular o excedente do consumidor, . usamos a fórmula Vamos, a seguir, aplicar essa fórmula nos exemplos apresentados: Exemplo 1: Se a função demanda de uma marca de secador de cabelo é p = –x2 –4x + 32, determine o excedente do consumidor: a) Se a demanda de mercado for de 3 unidades. b)Se o preço de mercado for de R$ 27,00. Soluções: a) Se a demanda de mercado for 3, temos que é x 0 = 3. Com o valor de x 0 e a função demanda, vamos calcular o valor de p 0: 110 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Antes de aplicar a fórmula, apresentamos um esboço do gráfico da função da demanda: p 32 11 3 x Gráfico 4.2 – Gráfico da função de demanda p = –x2 –4x + 32 com x 0 = 3 Fonte: Elaboração das autoras (2011). Para encontrar o excedente do consumidor, vamos aplicar a fórmula: Portanto, o excedente do consumidor é R$ 36,00. b)Se o preço de mercado é de R$ 27,00, temos que é p 0 = 27. Com o valor de p 0, vamos calcular o valor de x 0: Resolvendo a equação do segundo grau, chegamos ao valor de x 0 = –5 e x 0 = 1. Como x 0 é quantidade, x 0 tem que ser um valor positivo. Assim, a solução da equação do segundo grau, que é também solução do problema, é x 0 = 1. Unidade 4 111 Universidade do Sul de Santa Catarina Antes de aplicar a fórmula, apresentamos um esboço do gráfico da função da demanda: p 32 27 1 x Gráfico 4.3 – Gráfico da função demanda p = –x2 –4x + 32 com p 0 = 27 Fonte: Elaboração das autoras (2011). Para encontrar o excedente do consumidor, vamos aplicar a fórmula: Portanto, o excedente do consumidor é de aproximadamente R$ 2,70. Exemplo 2: Se a função de demanda de um produto é e a demanda de mercado é 9 unidades, determine o excedente do consumidor. Solução: Se a demanda de mercado é 9, temos que é x 0 = 9. Com o valor de x 0 e com a função de demanda dados, vamos calcular o valor de p 0: 112 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Antes de aplicar a fórmula, apresentamos um esboço do gráfico da função da demanda: p 5 4 9 Gráfico 4.4 – Gráfico da função de demanda Fonte: Elaboração das autoras (2011). x com x 0 = 9 Para encontrar o excedente do consumidor, vamos aplicar a fórmula: Vamos usar o método de integração por substituição para resolver a integral definida . . Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g (x) Portanto, u = 25 – x Passo 2: Calcular o diferencial de u, sendo du = –dx Passo 3: Fazer a mudança dos limites de integração: Limite superior x = 9, então u = 25 – 9 = 16 Limite inferior x = 0 , então u = 25 – 0 = 25 Unidade 4 113 Universidade do Sul de Santa Catarina Passo 4: Fazer a substituição: Como o limite superior é menor que o limite inferior, podemos modificar usando a propriedade que garante que, se trocarmos os limites de integração, inverteremos o sinal da integral definida, estudada anteriormente. Assim: Passo 5: Calcular a integral definida: Voltando à fórmula do excedente do consumidor, temos: Logo, o excedente do consumidor é de aproximadamente R$ 4,70. Excedente do produtor A integral definida também é usada na fórmula que calcula o excedente do produtor. Para compreender como e por que, vamos conhecer o conceito de excedente do produtor e depois desenvolver a fórmula. 114 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Excedente do produtor: corresponde ao montante (em unidades monetárias) de que o produtor se beneficia por produzir as quantidades que lhe proporcionam a maximização do seu lucro. É, ainda, a diferença entre o preço da mercadoria negociada e o custo marginal do produtor. O excedente do produtor surge por que os custos marginais estão abaixo do atual preço que as firmas recebem por seus bens no mercado. Suponha que y = S(x) é uma função de oferta que relaciona o preço unitário y de um bem com a quantidade x que o produtor tornará disponível no mercado. Função oferta: representa as respectivas quantidades de um bem que pode ser ofertado a vários preços. Se o preço de mercado é p 0 e a quantidade ofertada de mercado correspondente é x 0, então os produtores que podem ofertar produtos com preço inferior a p 0 têm lucro. Por exemplo: Se um produtor de camisas consegue produzir camisas para serem comercializadas a R$ 45,00, mas o preço de mercado é de R$ 50,00 reais, então o produtor vai ganhar, a cada camisa, R$ 5,00 a mais, e este ganho representa o excedente do produtor. Custo marginal (CMg): representa quanto os custos totais aumentam pela produção de uma unidade adicional do produto. Consideramse como custos totais: gastos com máquinas, equipamentos e outros capitais produtivos, custos com mão de obra e insumos necessários para produzir bens. Matematicamente, o custo marginal corresponde à derivada primeira da função de custo. O gráfico 4.5, a seguir, mostra a função oferta o preço de mercadop 0 e a quantidade x 0 ofertada: Preço p p = S ( x) p0 A x0 x Quantidade Gráfico 4.5 – Gráfico da função oferta Fonte: Elaboração das autoras (2011). Unidade 4 115 Universidade do Sul de Santa Catarina O gráfico mostra que os produtores que estiverem em condições de ofertar o produto a qualquer valor abaixo de p0 estarão ganhando. Portanto, a área sobre a curva do gráfico de p = S(x) e sob a reta p = p0 no intervalo representa o excedente do produtor. Para calcular o excedente do produtor, basta calcular a A destacada . Como fizemos no caso do cálculo no gráfico no intervalo do excedente do consumidor, vamos também usar a definição de cálculo vista na unidade anterior e relembrada nesta seção. A área que desejamos calcular está limitada superiormente por p = p 0 e inferiormente por p = S(x), novamente aplicando a definição de cálculo de área, temos: . Logo, para calcular o excedente do produtor usamos a . fórmula Vamos, a seguir, aplicar a fórmula acima nos exemplos apresentados: Exemplo 1: Se a função de oferta de um produto é p = x 2 + 20, e o preço de mercado é R$ 36,00, determine o excedente do produtor. Solução: Se o preço de mercado de um produto é R$ 36,00, então y 0 = 36. Com o valor de p 0 e com a função oferta, vamos calcular x 0: . 116 Cálculo Integral nas Ciências Sociais A equação tem como solução x 0 = –4 e x 0 = 4. Mas como x 0 representa quantidade, e quantidade é positiva, a solução da equação e também solução do problema só pode ser x 0 = 4. Antes de aplicar a fórmula, apresentamos um esboço do gráfico da função da oferta: p 36 20 4 x Gráfico 4.6 – Gráfico da função oferta p = x 2 + 20 com x 0 = 4 Fonte: Elaboração das autoras (2011). Para encontrar o excedente do produtor, vamos aplicar a fórmula: Logo, o excedente do produtor é de aproximadamente R$ 42,70. Exemplo 2: Se a função de oferta de um produto é p = 2x2 + 8, e o preço de mercado é R$ 58,00, determine o excedente do produtor. Solução: Se o preço de mercado de um produto é R$ 58,00, então y 0 = 58. Com o valor de p 0 e com a função oferta, vamos calcular x 0: Unidade 4 117 Universidade do Sul de Santa Catarina A equação tem como solução x 0 = –5 e x 0 = 5. Mas como x 0 representa quantidade, e quantidade é positiva, a solução da equação e também solução do problema só pode ser x 0 = 5. Antes de aplicar a fórmula, apresentamos um esboço do gráfico da função da oferta: Preço p p = S ( x) p0 A x0 x Quantidade Gráfico 4.7 – Gráfico da função oferta p = 2x2 + 8 com x 0 = 5 Fonte: Elaboração das autoras (2011). Para encontrar ao excedente do produtor, aplicamos a fórmula: Logo, o excedente do produtor é de aproximadamente R$ 166,70. 118 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Exemplo 3: Se a função de oferta de uma marca de aparelho de DVD é p = (x + 1)2 e o preço de mercado é de R$ 225,00, determine o excedente do produtor. Solução: Se o preço de mercado de um produto é R$ 225,00, então y 0 = 225. Com o valor de p 0 e com a função oferta, vamos calcular x 0: Consideramos a quantidade. o valor positivo porque x 0 é Antes de aplicar a fórmula, apresentamos um esboço do gráfico da função da oferta: p 225 1 16 x Gráfico 4.8 – Gráfico da função oferta p = (x + 1)2 com x 0 = 16 Fonte: Elaboração das autoras (2011). Unidade 4 119 Universidade do Sul de Santa Catarina Para encontrar ao excedente do produtor, aplicamos a fórmula: . Vamos usar o método de integração por substituição para resolver a integral definida: . Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(x). Portanto, u = x + 1 Passo 2: Calcular o diferencial de u, sendo du = dx Passo 3: Fazer a mudança dos limites de integração: Limite superior x = 16, então u = 16 + 1 = 17 Limite inferior x = 0, então u = 0 + 1 = 1 Passo 4: Fazer a substituição: Passo 5: Calcular a integral definida: Voltando à fórmula de excedente do consumidor, temos: Logo, o excedente do produtor é de aproximadamente R$ 1.962,70. 120 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Seção 3 – Investimento e formação do capital A formação do capital está diretamente ligada ao investimento e esta ligação é fácil de ser notada através da integral indefinida e da integral definida. Para compreender esta ligação, primeiro vamos entender os conceitos de formação de capital e investimento. Formação de capital – É o processo de adição a um determinado estoque de capital. Investimento – Investimento é toda e qualquer ação que visa à obtenção de uma determinada rentabilidade. Em economia, ele está relacionado ao investimento produtivo, ou seja, a bens de capital que geram outros bens. No caso aqui apresentado estamos falando do mundo financeiro, que envolve matemática financeira, análise de investimento e engenharia econômica. Ou seja, estamos falando de investimento no mercado financeiro. Vamos considerar que o processo de formação de capital, definido acima, é contínuo no tempo, então o estoque de capital varia a cada instante. Podemos expressar o estoque de capital através de uma função do tempo definida por k(t). Assim, a cada instante t temos um novo estoque de capital. Já a taxa de variação com que este estoque de capital varia é determinada pela derivada da função k(t). Então, a taxa de formação de capital é k'(t). A taxa de formação de capital no instante t é idêntica ao fluxo de investimento líquido no instante t, definido por I(t). Portanto, a ligação existente entre a formação de capital e o investimento é que a derivada da formação de capital é igual ao investimento; ou seja, a função que representa a formação de capital no instante t é primitiva da função que representa o fluxo de investimento no instante t. Unidade 4 121 Universidade do Sul de Santa Catarina Conhecendo a função que representa o fluxo de investimento no instante t e o valor do capital inicial no instante t = 0, podemos determinar a função que representa a formação do capital no instante t, que é a trajetória temporal do capital k. Exemplo 1: Suponhamos que o fluxo de investimento seja descrito pela função I(t) = 4t 3 e que o capital inicial no tempo t = 0 seja R$ 5.000,00, determine a trajetória temporal do capital k. Solução: Para encontrar a trajetória temporal do capital k, basta integrar a função que descreve o fluxo de investimento. Assim: Portanto, . O valor de C é determinado com a informação do valor do capital no instante t = 0, então: Logo, a trajetória temporal do capital k é . Exemplo 2: Suponhamos que o fluxo de investimento seja descrito pela função e que o capital inicial no tempo t = 0 seja R$ 2.000,00, determine a trajetória temporal do capital k. Solução: Para encontrar a trajetória temporal do capital k, basta integrar a função que descreve o fluxo de investimento. Assim: Portanto, 122 . Cálculo Integral nas Ciências Sociais O valor de C é determinado com a informação do valor do capital no instante t = 0, então: Logo, a trajetória temporal do capital k é . Quando se quer saber o valor do montante da formação do capital durante um intervalo de tempo, usamos o conceito da integral definida, da seguinte forma: dado um intervalo de tempo , o valor do montante da formação do capital durante é dado por: . em milhões de reais por ano, calcule Exemplo 3: Se qual será o montante da formação de capital durante o intervalo . Solução: Para saber o montante da formação de capital durante , vamos calcular a seguinte integral definida: o intervalo Logo, o montante da formação de capital durante o intervalo é R$ 45.000.000,00. Exemplo 4: Suponhamos que o fluxo de investimento seja em milhões de reais por ano, descrito pela função e que o capital inicial no tempo t = 0 seja de R$ 6.000,00, determine: a) A trajetória temporal do capital k. b)O montante da formação de capital durante o intervalo . Unidade 4 123 Universidade do Sul de Santa Catarina Soluções: a) Para encontrar a trajetória temporal do capital k , basta integrar a função que descreve o fluxo de investimento. Assim: Portanto, . O valor de C é determinado com a informação do valor do capital no instante t = 0, então: Logo, a trajetória temporal do capital k é . b)Para saber o montante da formação de capital durante o intervalo , vamos calcular a seguinte integral definida: Logo, o montante da formação de capital durante o intervalo é R$ 56.000.000,00. Esses conjuntos de ferramentas ajudam a calcular o capital no futuro ou o deslocamento do capital no tempo a partir do custo, ou seja, a taxa de juros. 124 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Síntese Nesta unidade, você teve contato com alguns conceitos importantes de variáveis macro e microeconômicas e financeiras. Compreendeu que o cálculo integral é uma grande ferramenta para resolver esses problemas, pois mostramos o porquê de usar a integral nas fórmulas que solucionam tais problemas. Em Macroeconomia, você aprendeu a aplicação de problemas envolvendo a renda nacional, consumo e poupança. Já na Microeconomia você estudou os excedentes do produtor e do consumidor, aplicando a integração dessas áreas. Para as análises gráficas desses conceitos, são muito importantes as técnicas de integração. No que tange às variáveis financeiras, destacamos nesta unidade o investimento e a formação de capital. Esperamos que você tenha notado a importância de estudar cálculo no seu curso. Atividades de autoavaliação Ao final de cada unidade, você realizará atividades de autoavaliação. O gabarito está disponível no final do livro didático. Mas, esforce-se para resolver as atividades sem ajuda do gabarito, pois, assim, você estará promovendo (estimulando) a sua aprendizagem. em bilhões de 1) A propensão marginal a consumir é reais. Quando a renda é igual a zero, o consumo é 11 bilhões de reais. Determine a função consumo e a função poupança. 2) A propensão marginal a poupar é . Quando a renda é igual a zero, o consumo é de 5 bilhões de reais. Determine a função consumo e a função poupança. Unidade 4 125 Universidade do Sul de Santa Catarina 3) Se a função demanda de um produto é y = 20 – x2, determine o excedente do consumidor: a) Se a demanda de mercado é de 2 unidades. b) Se o preço de mercado é R$ 4,00. e o preço de mercado é 4) Se função oferta de um produto é igual a R$ 6,00, determine o excedente do produtor. e a quantidade ofertada é 4 5) Se a função oferta de um produto é unidades, determine o excedente do produtor. 6) Suponha que o fluxo de investimento seja descrito pela função em mil reais por ano, e que o capital inicial no tempo t = 0 é de R$ 2.000,00. Determine: a) A trajetória temporal do capital k. b) O montante da formação de capital durante o intervalo . Saiba mais Se você desejar, aprofunde os conteúdos estudados nesta unidade ao consultar as seguintes referências: CHIANG, A. C. Matemática para economistas. São Paulo: Edusp-McGraw-Hill, 1982. WEBER, J. E. Matemática para Economia e Aministração. São Paulo: Habra, 1986. 126 unidade 5 Álgebra matricial aplicada a um problema de Econometria Objetivos de aprendizagem Utilizar matrizes para modelar problemas de Economia. Resolver soma de matrizes, multiplicação de matriz por escalar e multiplicação de matrizes. Conhecer a definição de matrizes e entender algumas operações com matrizes. Determinar a inversa de uma matriz e a solução de um sistema. Aplicar as operações com matrizes a problemas de previsão com variáveis econômicas. Seções de estudo Seção 1 O problema e a modelagem matricial Seção 2 Resolução de sistemas Seção 3 Aplicação a um problema que envolve previsão de variáveis econômicas 5 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo É importante que, no seu curso, você tenha um contato com a álgebra matricial, pois muitos problemas são resolvidos através de matrizes. Levando isso em consideração, elaboramos esta unidade em que trataremos deste tema. Nesta unidade, apresentaremos um exemplo simples de econometria sobre regressão linear múltipla, com o objetivo de abordar alguns conceitos importantes de álgebra matricial, sem se preocupar em citar e demonstrar as propriedades. Seção 1 – O problema e a modelagem matricial Nesta seção, você conhecerá o problema de econometria sobre regressão linear múltipla. Para isso, vamos relembrar o conceito de econometria: Econometria é o ramo do conhecimento humano que aplica a Matemática e a Estatística à Teoria Econômica, objetivando dar-lhe conteúdo empírico. (CAPITÃO, 2009). Serão apresentadas algumas definições sobre matrizes que são úteis para modelar o problema na forma matricial. Nosso objetivo, aqui, não é aprofundar o conceito de regressão linear múltipla, mas simplesmente apresentar o problema através de alguns conceitos e propriedades para que você possa usar a álgebra matricial para modelá-lo. Para compreender regressão linear: Imagine duas variáveis Y e X (que poriam ser, por exemplo, investimento e juros), ou quaisquer duas variáveis que, supostamente, tenham relação entre si, em que X é a variável independente e Y a variável dependente, isto é, Y que é afetado por X, e não o contrário. 128 Cálculo Integral nas Ciências Sociais O processo de encontrar a relação entre Y e X é chamado de regressão. Se esse processo for uma reta, é uma regressão linear. Se houver apenas uma variável independente (só tem um X), é uma regressão linear simples. E quando tiver dois ou mais X explicativos, temos uma regressão múltipla. O problema econômico para essas várias hipotéticas poderia ser a receita total nos últimos doze dias, representando o Y, X 2 (gastos com propaganda) e X3 (preços).(adaptado de SARTORIS, 2003). Com os dados do quadro 5.1, estimar a regressão Y em função X2 e X3 e fazer os testes da regressão e de cada um dos parâmetros: I Y X2 X3 1 800 2 0,8 2 1.160 4 0,7 3 1.580 6 0,5 4 2.010 8 0,4 5 1.890 7 0,2 6 2.600 12 0,2 7 2.070 11 0,8 8 1.890 10 0,7 9 1.830 9 0,6 10 1.740 8 0,1 11 1.380 6 0,5 12 1.060 4 0,4 Quadro 5.1 – Valores de Y, X2 e X3 Fonte: SARTORIS (2003). Unidade 5 129 Universidade do Sul de Santa Catarina Modelo de regressão linear múltipla: Em que: Y é a variável explicativa. são coeficientes de regressão. são variáveis explicativas. ε é o erro residual. i é o índice referente à linha da tabela, podendo ser tempo ou quantidade. Usando o modelo de regressão linear múltipla, podemos reescrever o quadro através de equações. Para isso, primeiro reescrevemos as equações de acordo com os índices i apresentados no quadro, depois, usando os valores, da seguinte forma: Neste caso, Y é uma variável que depende dos valores de X2 e X3 e o objetivo é encontrar os valores de β1, β2 e β3 Como Y1 é o Y que está na primeira linha, X21 é o X2 que está na primeira linha, e X31 é o X3 que está na primeira linha. Note que o mesmo acontece para as demais linhas. Portanto, na segunda linha todos têm o índice 2, na terceira linha todos têm tem o índice 3, e assim sucessivamente. Desta forma, podemos escrever as equações acima com os valores do quadro 5.1: 130 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Essas equações podem ser escritas em forma de matriz, mas, para isso, precisamos entender o que é uma matriz e conhecer algumas operações, para depois voltarmos ao problema. Matriz é uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Os elementos podem ser números reais ou complexos. Analisemos os seguintes exemplos de matriz: Exemplo 1: A matriz A tem 3 linhas e 3 colunas, a matriz B tem 2 linhas e 3 colunas e a matriz C tem uma linha e 4 colunas. Unidade 5 131 Universidade do Sul de Santa Catarina Uma matriz é sempre denotada por letra maiúscula e seus elementos por letras minúsculas. Então, se quisermos representar uma matriz A de m e n colunas, ou seja, de ordem m × n a representação é feita da seguinte forma: Uma matriz com m e 1 coluna também é chamada de vetor. Para localizar um elemento da matriz, precisamos indicar a linha e a coluna que ele se encontra. Por exemplo: o elemento a23 da matriz A do exemplo 1 é o elemento que está na segunda linha e terceira coluna; então, a23 = 10. Podemos fazer algumas operações com as matrizes, como: Soma de matriz: Para somar duas matrizes, elas têm que ter a mesma ordem, ou seja, o mesmo número de linhas e mesmo número de colunas. Para efetuar a operação, somamos elemento a elemento. Exemplo 2: 132 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Multiplicação por escalar: Para multiplicar uma matriz por um escalar, um número qualquer, basta multiplicar cada elemento pelo escalar. Exemplo 3: Multiplicação de matrizes: Para multiplicar duas matrizes a primeira tem que ter o número de colunas igual ao número de linhas da segunda, e os elementos da matriz produto são obtidos como mostra o exemplo a seguir. Para multiplicar as matrizes, temos de multiplicar os elementos da primeira linha pelos elementos da primeira coluna e somar os resultados, assim temos o elemento da primeira linha e primeira coluna da matriz produto, como no exemplo 4: Exemplo 4: Unidade 5 133 Universidade do Sul de Santa Catarina Devemos proceder assim sucessivamente até determinar todos os elementos. Agora que você conhece algumas operações básicas, podemos inserir o conceito de sistema que usa essas definições. Sistema de equações: É um conjunto de m equações com n incógnita e é representado genericamente da seguinte forma: Podemos escrever o sistema acima na forma matricial: ou A.X=B Em que e A é a matriz dos coeficientes numéricos do sistema. 134 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Exemplo 5: Escrever o sistema abaixo, na forma matricial: Solução: ou A . X = B Em que e . Modelando o problema de regressão linear múltipla Depois de ver a definição de matriz, a definição de sistema e aprender algumas operações, podemos reescrever o problema usando matrizes, pois este é um sistema de 12 equações e 3 variáveis, a saber: Unidade 5 135 Universidade do Sul de Santa Catarina Este sistema de equação é um pouco diferente do visto no exemplo 5, pois tem a soma de uma matriz que representa o erro, como podemos ver a seguir: ou Y = X . β + ε Em que , , e Agora, nosso problema já está escrito de forma matricial, e é um sistema de equações. Na próxima seção, veremos como resolver sistemas. 136 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Seção 2 – Resolução de sistemas O problema de regressão linear múltipla é um sistema de equações que, na seção anterior, escrevemos de duas formas matriciais. Nesta seção, o objetivo é mostrar como resolver este sistema usando algumas definições de matrizes. Primeiramente, vamos definir o que é solução de um sistema e, após, trabalharemos algumas definições importantes para resolver o sistema. Depois desta seção já estaremos prontos para resolver o nosso problema de Econometria. Solução de sistema: Dado o sistema: Uma solução desse sistema é n-upla de números (x1, x2, x3, ..., xn) que satisfazem simultaneamente todas as m equações. Veja o exemplo a seguir: Exemplo 1: Uma solução é (2,4), pois Para encontrar a solução de sistemas lineares existem algumas técnicas. Vamos apresentar apenas uma, a que é mais utilizada nas literaturas de econometria para resolver os problemas de regressão linear múltipla. Mas antes precisamos compreender outras propriedades que irão nos auxiliar na resolução de sistemas. Unidade 5 137 Universidade do Sul de Santa Catarina Se você ficou interessado em saber como resolver de outra forma, consulte o livro de álgebra linear que está listado no Saiba Mais desta unidade. Outra definição fundamental a ser entendida para resolver sistemas é a transposição de matriz, conceituada e exemplificada a seguir. Transposição de matriz: Dada uma matriz A podemos obter uma matriz transposta trocando as linhas pelas colunas, a que chamamos de transposta de A Denotamos a transposta de A por A'; então se Am×n , a transposta de é A'n×m. Exemplo 2: Dada a matriz , determinar A': Solução: Basta trocar a linha pela coluna . Se multiplicarmos a transposta de uma matriz pela matriz a partir da qual foi feita a transposição, obteremos uma matriz que tem o mesmo número de linhas e colunas, chamada de matriz quadrada. Matriz quadrada é a matriz que tem o mesmo número de linhas e de colunas. Vamos acompanhar o exemplo a seguir: Exemplo 3: Dada a matriz o produto de B’ por B. , determinar B’ e Solução: Vamos obter primeiro a transposta de B, 138 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Agora vamos determinar o produto de B’ por B e verificar se o produto é uma matriz quadrada. A matriz produto é uma matriz quadrada. Se multiplicarmos a matriz por sua transposta também teremos uma matriz quadrada, conforme segue: A matriz produto também é uma matriz quadrada. Observe que B’ . B ≠ B . B’ Portanto, nas matrizes, a ordem dos fatores altera o produto. Unidade 5 139 Universidade do Sul de Santa Catarina Existem algumas matrizes quadradas especiais, denominadas identidade, como veremos a seguir: Matriz identidade: É uma matriz quadrada cujos elementos da diagonal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos. Observe o exemplo a seguir: Exemplo 4: a) b) c) A matriz identidade é o elemento neutro na multiplicação de matrizes, ou seja, In . An = An e An . In = An. Mais um conceito importante para resolução de sistemas é o conceito de determinante: Determinante é um número associado a uma matriz quadrada, o qual denotamos por det A. Calcular o determinante de matrizes quadradas de ordem 1, 2 e 3 é simples, como mostraremos a seguir: 140 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Determinante de matriz de ordem 1, 2 e 3 Matriz de ordem 1: Matriz de ordem 2: Matriz de ordem 3: então det A = a11 então det A = a11a22 – a12a21 , então det A = a11a22a33 – a11a23a32 – a12a21a33 + a12a23a32 + a13a21a11 – a13a22a31. Mas antes de calcular o determinante de matrizes de ordem n, onde n é um número maior ou igual a 3, é preciso conhecer outras definições, como a de cofator, utilizada no desenvolvimento de Laplace, que é o método que iremos usar para resolver o determinante de matrizes de ordem n. Seja uma matriz A de ordem n com n ≥ 2, o cofator do elemento aij é o produto (–1)i + j × det Aij, em que Aij é a submatriz da matriz A, e onde a i-ésima linha e a j-ésima coluna foram retiradas. Denotamos o cofator por Δij = (–1)i + j × det Aij. Veja um exemplo do cálculo de cofatores: Exemplo 5: Seja , determinar o cofator dos elementos a11, a21 e a31. Solução: Cofator do elemento a11, Δ11 = (–1)1 +1 × det A11. Para determinar det A11, temos de calcular o determinante da submatriz, que é a matriz original sem a primeira linha e sem a primeira coluna. Unidade 5 141 Universidade do Sul de Santa Catarina , det A11 = 5 × 7 – 6 × 4 = 35 – 24 = 11 Δ11 = (–1)1+1 × 11 = (–1)2 × 11 = 1 × 11 = 11. Cofator do elemento a21, Δ21 = (–1)2+1 × det A21. Para determinar det A 21, temos que calcular o determinante da submatriz, que é a matriz original sem a segunda linha e sem a primeira coluna. , det A21 = 2 × 7 – 3 × 4 = 14 – 12 = 2 Δ21 = (–1)2+1 × 2 = (–1)3 × 2 = –1 × 2 = –2. Cofator do elemento a31, Δ31 = (–1)3+1 × det A31. Para determinar det A31 temos que calcular o determinante da submatriz, que é a matriz original sem a terceira linha e sem a primeira coluna. , det A31 = 2 × 6 – 3 × 5 = 12 – 15 = –3 Δ31 = (–1)3+1 × 2 = (–1)4 × 2 = 1 × –3 = –3. Matriz de ordem n – Desenvolvimento de Laplace Com a definição de cofator podemos compreeender o desenvolvimento de Laplace: , det An = a1iΔ1i + a2iΔ2i + ... + aniΔni. Note que o determinante foi desenvolvido pela i-ésima coluna, mas nada mudaria se fosse pela i-ésima linha. No próximo exemplo calcularemos o determinante de uma matriz de ordem 3, pelo desenvolvimento de Laplace definido acima. 142 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Exemplo 6: Seja matriz A. , encontrar o determinante da Solução: Vamos usar os dados do exemplo 5, já que a matriz é a mesma. det A3 = a11Δ11 + a21Δ21 + a31Δ31 det A3 = 1 × 11 + 5 × +(–2) + (–1) × (–3) det A3 = 11 – 10 + 3 det A3 = 4 Portanto, o determinante de A é 4. O desenvolvimento de Laplace é aplicado a qualquer matriz quadrada com ordem superior a 3. Para resolver um sistema, além da definição de determinantes, precisamos conhecer mais três definições: a de matriz de cofatores, matriz adjunta e matriz inversa, que é o que veremos agora. Matriz dos cofatores: Se para cada elemento de uma matriz A for calculado um cofator Δij = (–1)i + j × det Aij temos o número de cofatores igual ao número de elementos de A e a matriz desses cofatores é denotada por . Veja a aplicação desta definição no exemplo abaixo: Exemplo 7: Seja cofatores de A. determinar a matriz de Solução: Os cofatores dos elementos a11, a21 e a31 já foram calculados no exemplo 5. Δ11 = 11, Δ21 = –2 e Δ31 = –3. Unidade 5 143 Universidade do Sul de Santa Catarina Vamos calcular os cofatores para os outros elementos: Cofator do elemento a12: , det A12 = 5 × 7 – (–1) × 6 = 35 + 6 = 41 Δ12 = (–1)1+2 × 41 = (–1)3 × 41 = –1 × 41 = –41. Cofator do elemento a22: , det A22 = 1 × 7 – (–1) × 3 = 7 + 3 = 10 Δ22 = (–1)2+2 × 10 = (–1)4 × 10 = 1 × 10 = 10. Cofator do elemento a32: , det A32 = 1 × 6 – 5 × 3 = 6 – 15 = –9 Δ32 = (–1)3+2 × –9 = (–1)5 × –9 = –1 × –9 = 9. Cofator do elemento a13: , det A13 = 5 × 4 – (–1) × 5 = 20 + 5 = 25 Δ13 = (–1)1+3 × 25 = (–1)4 × 25 = 1 × 25 = 25. Cofator do elemento a23: , det A23 = 1 × 4 – (–1) × 2 = 4 + 2 = 6 Δ23 = (–1)2+3 × 6 = (–1)5 × 6 = –1 × 6 = –6. Cofator do elemento a33: , det A33 = 1 × 5 –5 × 2 = 5 – 10 = –5 Δ33 = (–1)3+3 × –5 = (–1)6 × –5 = 1 × –5 = –5. Portanto, a matriz de cofatores de A é 144 . Cálculo Integral nas Ciências Sociais Vamos, a seguir, entender o conceito de matriz adjunta. Matriz adjunta: Dada uma matriz quadrada A, a matriz adjunta de A é a transposta da matriz dos cofatores de . A. Denotaremos a matriz adjunta por Veja no exemplo: Exemplo 8: Seja de A. , determinar a matriz adjunta Solução: Como no exemplo 7 já calculamos a matriz dos cofatores, para ter a matriz adjunta temos de transpor a matriz . Portanto, . Em seguida, entenda mais um conceito importante no cálculo de matrizes: o de matriz inversa, que tem uma importante função na resolução de sistemas. Matriz inversa: Dada uma matriz A quadrada de ordem n, a matriz inversa de A é uma matriz B, tal que A . B = B . A = In, em que In é a matriz identidade de ordem n. Denotamos A–1 para a inversa de A. Para determinar a inversa de A usamos a seguinte fórmula: Note que a inversa de A existe se o determinante de A for diferente de zero. Unidade 5 145 Universidade do Sul de Santa Catarina Esta não é única forma de calcular a inversa de uma matriz. Se você ficou interessado, procure no livro de álgebra linear do saiba mais desta unidade ou no livro Matemática para Economia e Administração, de J. E. Weber, que está na bibliografia. Vamos calcular a matriz inversa do exemplo seguinte, usando as definições acima e os resultados encontrados nos exemplos anteriores. Exemplo 9: Seja inversa de A. , determinar a matriz Solução: No exemplo 6, calculamos o determinante de A: det A3 = 4. No exemplo 8, determinamos a matriz adjunta de A: . Para calcular a inversa de A, basta aplicar a fórmula: Portanto, 146 . Cálculo Integral nas Ciências Sociais Resolução de sistemas Vamos analisar o sistema do exemplo 5 da seção 1: O sistema na forma matricial é da seguinte forma, como já vimos: ou A. X = B em que , e . Resolver o sistema A. X = B é encontrar os valores de x1, x2 e x3 que tornam a igualdade verdadeira. Para isso, vamos trabalhar com o sistema na forma matricial, como se fosse uma equação, e na resolução usaremos algumas das definições que vimos nesta unidade. Primeiramente, vamos multiplicar a inversa de A em ambos os lados da equação: A–1 A . X = A–1B Como pela definição de inversa A–1 A = I, então A–1 A . X = A–1B IX = A–1B A identidade é o elemento neutro da multiplicação, portanto X = A–1B. Logo, para encontrar os valores de x1, x2 e x3, basta multiplicar a inversa de A pela matriz B. Unidade 5 147 Universidade do Sul de Santa Catarina Esta resolução é válida quando estamos trabalhando com a matriz A quadrada. Lembre-se de que definimos inversa de matriz para matrizes quadradas, ou seja, de ordem n. Vamos a um novo exemplo: Exemplo 10: Resolver o sistema Solução: O sistema na forma matricial é: ou A . X = B em que , e . Para resolver o sistema, temos de encontrar a inversa de A, e para encontrar a inversa primeiro temos de encontrar a matriz de cofatores de A. Cofator do elemento a11: , det A11 = (–2) × (–0,5) –6 × 5 = 1 – 30 = –29 Δ11 = (–1)1+1 × –29 = (–1)2 × –29 = 1 × –29 = –29. Cofator do elemento a21: , det A21 = 6 × (–0,5) –6 × 7 = –3 – 42 = –45 Δ21 = (–1)2+1 × –45 = (–1)3 × –45 = –1 × –29 = 45. Cofator do elemento a31: , det A31 = 6 × 5 – (–2) × 7 = 30 + 14 = 44 148 Δ31 = (–1)3+1 × –44 = (–1)4 × 44 = 1 × 44 = 44. Cálculo Integral nas Ciências Sociais Vamos calcular o determinante para verificar se a matriz tem inversa, mas lembre-se de que o determinante tem que ser diferente de zero para que a inversa exista. Como o determinante é diferente de zero, a matriz A tem inversa. Vamos continuar calculando os cofatores: Cofator do elemento a12: , det A12 = 7 × (–0,5) – 0,3 × 5 = –3,5 – 1,5 = –5 Δ12 = (–1)1+2 × –5 = (–1)3 × –5 = –1 × –5 = 5. Cofator do elemento a22: –4,6 , det A22 = 5 × (–0,5) – 0,3 × 7 = –2,5 – 2,1 = Δ22 = (–1)2+2 × (–4.6) = (–1)4 × (–4,6) = 1 × (–4,6) = –4,6. Cofator do elemento a32: , det A32 = 5 × 5 – 7 × 7 = 25 – 49 = –24 Δ32 = (–1)3+2 × (–24) = (–1)5 × (–24) = –1 × –24 = 24. Cofator do elemento a13: , det A13 = 7 × 6 – 0,3 × (–2) = 42 + 0,6 = 42,6 Δ13 = (–1)1+3 × 42,6 = (–1)5 × 42,6 = 1 × 42,6 = 42,6. Cofator do elemento a23: , det A23 = 5 × 6 – 0,3 × 6 = 30 – 1,8 = 28,2 Δ23 = (–1)2+3 × 28,2 = (–1)5 × 28,2 = –1 × 28,2 = –28,2. Unidade 5 149 Universidade do Sul de Santa Catarina Cofator do elemento a33: , det A33 = 5 × (–2) – 7 × 6 = –10 – 42 = –52 Δ33 = (–1)3+3 × –52 = (–1)6 × –52 = 1 × –52 = –52. . Portanto, a matriz de cofatores de A é Agora, com a matriz de cofatores de A podemos determinar a matriz adjunta de A: Para encontrar a inversa, aplicamos a fórmula: Logo, . Com a matriz inversa, podemos encontrar os valores de x1, x2 e x3. 150 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Portanto, x1 = 30,0776, x2 = 15,5024 e x3 = –35,916. Unidade 5 151 Universidade do Sul de Santa Catarina Seção 3 – Aplicação a um problema que envolve previsão de variáveis econômicas Até este momento, todas as definições necessárias para modelar o problema de Econometria já foram apresentadas. Além disso, você aprendeu a resolver sistemas de equações quando a matriz de coeficientes do sistema é uma matriz quadrada. O nosso problema de Economia é que a matriz dos coeficientes numéricos não é uma matriz quadrada, portanto não podemos resolver diretamente, como vimos na seção anterior. No entanto, existe uma forma de transformá-la em uma matriz quadrada, como mostraremos nesta seção. O sistema da seção anterior é: ou Y = X . β + ε 152 Cálculo Integral nas Ciências Sociais em que , e . Obs.: Vamos desconsiderar por enquanto o ε pois sobre ele será feita uma análise mais adiante no livro. Note que a matriz X tem 12 linhas e 3 colunas. Como você já estudou, o produto da multiplicação de uma matriz por sua transposta é uma matriz quadrada. Assim, vamos usar a transposta da matriz X para transformá-la em uma matriz quadrada. Usaremos primeiro a notação matricial, depois entraremos com os números do problema para descrever a solução. Acompanhe. Unidade 5 153 Universidade do Sul de Santa Catarina Solução matricial Y=X.β X'Y = X'X . β Agora que a matriz do nosso sistema é uma matriz quadrada, podemos resolver o problema, como foi mostrado na seção anterior: Então, para determinar os valores de β1, β2 e β3, precisamos determinar a transposta de X, multiplicar a transposta de X por X e por Y, determinar a inversa do produto X 'X e, finalmente, multiplicar a inversa (X 'X)–1 por X 'Y para encontrar os valores de β1, β2 e β3. Acompanhe a solução do problema: 154 Determinar a transposta de X: Cálculo Integral nas Ciências Sociais Determinar o produto Por questão de espaço e para melhor compreensão, vamos calcular cada elemento da matriz produto. x'x11 = 1 × 1 + 1 × 1 + 1 × 1 + 1 × 1 + 1 × 1 + 1 × 1 + 1 × 1 + 1 × 1+1×1+1×1+1×1+1×1=1+1+1+1+1+1+1+1+ 1 + 1 + 1 + 1 = 12 x'x12 = 1 × 2 + 1 × 4 + 1 × 6 + 1 × 8 + 1 × 7 + 1 × 12 + 1 × 11 + 1 × 10 + 1 × 9 + 1 × 8 + 1 × 6 + 1 × 4 = 2 + 4 + 6 + 8 + 7 + 12 + 11 + 10 + 9 + 8 + 6 + 4 = 87 x'x13 = 1 × 0,8 + 1 × 0,7 + 1 × 0,5 + 1 × 0,4 + 1 × 0,2 + 1 × 0,2 + 1 × 0,8 + 1 × 0,7 + 1 × 0,6 + 1 × 0,1 + 1 × 0,5 + 1 × 0,4 = 0,8 + 0,7 + 0,5 + 0,4 + 0,2 + 0,2 + 0,8 + 0,7 + 0,6 + 0,1 + 0,5 + 0,4 = 5,9 x'x21 = 2 × 1 + 4 × 1 + 6 × 1 + 8 × 1 + 7 × 1 + 12 × 1 + 11 × 1 + 10 × 1 + 9 × 1 + 8 × 1 + 6 × 1 + 4 × 1 = 2 + 4 + 6 + 8 + 7 + 12 + 11 + 10 + 9 + 8 + 6 + 4 = 87 Unidade 5 155 Universidade do Sul de Santa Catarina x'x22 = 2 × 2 + 4 × 4 + 6 × 6 + 8 × 8 + 7 × 7 + 12 × 12 + 11 × 11 + 10 × 10 + 9 × 9 + 8 × 8 + 6 × 6 + 4 × 4 = 4 + 16 + 36 + 64 + 49 + 144 + 121 + 100 + 81 + 64 + 36 + 16 = 731 x'x23 = 2 × 0,8 + 4 × 0,7 + 6 × 0,5 + 8 × 0,4 + 7 × 0,2 + 12 × 0,2 + 11 × 0,8 + 10 × 0,7 + 9 × 0,6 + 8 × 0,1 + 6 × 0,5 + 4 × 0,4 = 1,6 + 2,8 + 3 + 3,2 + 1,4 + 2,4 + 8,8 + 7 + 5,4 + 0,8 + 3 + 1,6 = 41 x'x31 = 0,8 × 1 + 0,7 × 1 + 0,5 × 1 + 0,4 × 1 + 0,2 × 1 + 0,2 × 1 + 0,8 × 1 + 0,7 × 1 + 0,6 × 1 + 0,1 × 1 + 0,5 × 1 + 0,4 × 1 = 0,8 + 0,7 + 0,5 + 0,4 + 0,2 + 0,2 + 0,8 + 0,7 + 0,6 + 0,1 + 0,5 + 0,4 = 5,9 x'x32 = 0,8 × 2 + 0,7 × 4 + 0,5 × 6 + 0,4 × 8 + 0,2 × 7 + 0,2 × 12 + 0,8 × 11 + 0,7 × 10 + 0,6 × 9 + 0,1 × 8 + 0,5 × 6 + 0,4 × 4 = 1,6 + 2,8 + 3 + 3,2 + 1,4 + 2,4 + 8,8 + 7 + 5,4 + 0,8 + 3 + 1,6 = 41 x'x33 = 0,8 × 0,8 + 0,7 × 0,7 + 0,5 × 0,5 + 0,4 × 0,4 + 0,2 × 0,2 + 0,2 × 0,2 + 0,8 × 0,8 + 0,7 × 0,7 + 0,6 × 0,6 + 0,1 × 0,1 + 0,5 × 0,5 + 0,4 × 0,4 = 0,64 + 0,49 + 0,25 + 0,16 + 0,04 + 0,04 + 0,64 + 0,49 + 0,36 + 0,01 + 0,25 + 0,16 = 3,53 Logo, 156 . Cálculo Integral nas Ciências Sociais Determinar o produto X'X: Por questão de espaço e para melhor compreensão, vamos calcular cada elemento da matriz produto: x'y11 = 1 × 800 + 1 × 1160 + 1 × 1580 + 1 × 2010 + 1 × 1890 + 1 × 2600 + 1 × 2070 + 1 × 1890 + 1 × 1830 + 1 × 1740 + 1 × 1380 + 1 × 1060 = 800 + 1160 + 1580 + 2010 + 1890 + 2600 + 2070 + 1890 + 1830 + 1740 + 1380 + 1060 = 20010 x'y21 = 2 × 800 + 4 × 1160 + 6 × 1580 + 8 × 2010 + 7 × 1890 + 12 × 2600 + 11 × 2070 + 10 × 1890 + 9 × 1830 + 8 × 1740 + 6 × 1380 + 4 × 1060 = 1600 + 4640 + 9480 + 16080 + 13230 + 31200 + 22770 + 18900 + 16470 + 13920 + 8280 + 4240 = 160810 x'y31 = 0,8 × 800 + 0,7 × 1160 + 0,5 × 1580 + 0,4 × 2010 + 0,2 × 1890 + 0,2 × 2600 + 0,8 × 2070 + 0,7 × 1890 + 0,6 × 1830 + 0,1 × 1740 + 0,5 × 1380 + 0,4 × 1060 = 640 + 812 + 790 + 804 + 378 + 520 + 1656 + 1323 + 1098 + 174 + 690 + 424 = 9309 Unidade 5 157 Universidade do Sul de Santa Catarina . Determinar a inversa (X'X)–1: Primeiro vamos determinar a matriz de cofatores: Cofator do elemento x'x11: , det X'X11 = 731 × 3,53 – 41 × 41 = = 2580,43 – 1681 = 899,43 Δ11 = (–1)1+1 × 899,43 = (–1)2 × 899,43 = 1 × 899,43 = 899,43. Cofator do elemento x'x21: , det X'X21 = 87 × 3,53 – 41 × 5,9 = 307,11 – 241,9 = 65,21 Δ21 = (–1)2+1 × 65,21 = (–1)3 × 65,21 = –1 × 65,21 = –65,21. Cofator do elemento x'x31: , det X'X31 = 87 × 41 – 731 × 5,9 = 3567 – 4312,9 = –745,9 Δ31 = (–1)3+1 × –745,9 = (–1)4 × –745,9 = 1 × –745,9 = –745,9. Vamos calcular o determinante para verificar se a matriz tem inversa. Lembre-se de que o determinante tem que ser diferente de zero para que a inversa exista. 158 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Como o determinante é diferente de zero, a matriz X'X tem inversa. Assim, vamos continuar calculando os cofatores: Cofator do elemento x'x12: , det X'X12 = 87 × 3,53 – 5,9 × 41 = 307,11 – 241,9 = 65,21 Δ12 = (–1)1+2 × 65,21 = (–1)3 × 65,21 = –1 × 65,21 = –65,21. Cofator do elemento x'x22: , det X'X22 = 12 × (3,53) – 5,9 × 5,9 = 42,36 – 34,81 = 7,55 Δ22 = (–1)2+2 × 7,55 = (–1)4 × 7,55 = 1 × 7,55 = 7,55. Cofator do elemento x'x32: , det X'X32 = 12 × 41 – 87 × 5,9 = 492 – 513,3 = –21,3 Δ32 = (–1)3+2 × (–21,3) = (–1)5 × (–21,3) = –1 × (–21,3) = 21,3. Cofator do elemento x'x13: , det X'X13 = 87 × 41 – 5,9 × 731 = 3567 – 4312,9 = –745,9 Δ13 = (–1)1+3 × –745,9 = (–1)5 × –745,9 = 1 × –745,9 = –745,9. Cofator do elemento x'x23: , det X'X23 = 12 × 41 – 5,9 × 87 = 492 – 513,3 = –21,3 Δ23 = (–1)2+3 × (–21,3) = (–1)5 × (–21,3) = –1 × (–21,3) = 21,3. Unidade 5 159 Universidade do Sul de Santa Catarina Cofator do elemento x'x33: , det X'X33 = 12 × 731 – 87 × 87 = 8772 – 7569 = 1203 Δ33 = (–1)3+3 × 1203 = (–1)6 × 1203 = 1 × 1203 = 1203. Portanto, a matriz de cofatores de X'X é . Agora, com a matriz de cofatores de X'X, podemos determinar a matriz adjunta de X'X: . Para encontrar a inversa, aplicamos a fórmula: Logo, a inversa é 160 . Cálculo Integral nas Ciências Sociais Determinar a solução β1, β2 e β3. O objetivo de resolver o sistema é encontrar os valores de β1, β2 e β3. Encontramos estes valores, mas para resolver o problema, falta analisar ε que é o vetor erro residual da regressão linear múltipla. Para isso, vamos voltar ao problema na forma de equações, substituindo os β1, β2 e β3 pelos valores encontrados na resolução do sistema, e calcular cada elemento do vetor erro residual. Unidade 5 161 Universidade do Sul de Santa Catarina Vamos relembrar as equações da seção 1: Vamos, então, calcular os elementos do vetor erro residual: Cálculo do elemento ε1: Cálculo do elemento ε2: 162 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Cálculo do elemento ε3: Cálculo do elemento ε4: Cálculo do elemento ε5: Cálculo do elemento ε6: Unidade 5 163 Universidade do Sul de Santa Catarina Cálculo do elemento ε7: Cálculo do elemento ε8: Cálculo do elemento ε9: Cálculo do elemento ε10: 164 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Cálculo do elemento ε11: Cálculo do elemento Portanto, o vetor erro residual é Logo, o modelo estimado de regressão linear múltipla é . Desconsiderando os devidos testes econométricos, esta equação representaria quanto a receita total de uma determinada empresa iria variar, dependendo do preço e do gasto com a propaganda. Podemos perceber que, quanto maior o gasto com propagada maior será a receita, e quanto maior o preço menor será a receita, o que indica que a demanda deste bem é inelástica. Unidade 5 165 Universidade do Sul de Santa Catarina Síntese Através de um exemplo de Econometria, você teve contato com algumas definições importantes de álgebra matricial e operações com matrizes, tais como: inverter uma matriz; achar o determinante; resolver um sistema. Essas definições são aplicadas a este exercício de Econometria, que representa apenas um exemplo inicial dos métodos econométricos que serão desenvolvidos ao longo do curso de Ciências Econômicas. Atividades de autoavaliação Ao final de cada unidade, você realizará atividades de autoavaliação. O gabarito está disponível no final do livro didático. Mas esforce-se para resolver as atividades sem ajuda do gabarito, pois, assim, você estará promovendo (estimulando) a sua aprendizagem. 1) Sejam , e , determinar: a) A + B b) 2A c) AC d) A – 3B 2) Dada a matriz 166 , calcular o determinante. Cálculo Integral nas Ciências Sociais 3) Determinar a matriz de cofatores e a matriz adjunta das seguintes matrizes: a) b) 4) Determinar a matriz inversa da matriz A do exercício anterior. 5) Dado o sistema a) Escrever na forma matricial. b) Resolver o sistema. Unidade 5 167 Universidade do Sul de Santa Catarina Saiba mais Se você desejar, aprofunde os conteúdos estudados nesta unidade ao consultar as seguintes referências: BOLDRINI, J. S.; COSTA, S. I. R.; FIGUEIREDO, V. L.; WETZLER, H. G. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1986. SARTORI, A. Estatística e introdução à Economia. São Paulo: Saraiva, 2003. 168 Para concluir o estudo Parabéns por mais esta etapa concluída! Para chegar aqui, você estudou sobre os principais conceitos de integral indefinida e suas primitivas, que o(a) ajudaram a compreender a relação entre integrais e derivadas. Para isso, foi necessário introduzir algumas regras que possibilitassem aprender e aplicar as definições em problemas característicos das Ciências Sociais. Você estudou, também, os métodos de integração, entre os quais temos como principais os métodos por substituição e de integração por partes. Outro ponto importante que você estudou foi a definição de integral definida e o cálculo das integrais definidas de funções. Quando falamos em integral definida, estamos falando de cálculo de área sob uma curva, tema importante para várias aplicações de conceitos de macro e microeconomia, e finanças em geral. Além disso, você estudou a aplicação das teorias desenvolvidas ao longo do livro, envolvendo algumas variáveis fundamentais para a economia de um país, tais como renda nacional, que afeta o crescimento econômico, o consumo e a poupança; e investimentos, que movimentam o mercado financeiro. Outra razão importante do aprendizado dos métodos de integração é o cálculo dos excedentes, tanto do consumidor quanto do produtor, ambos variáveis da microeconomia. Você também conheceu algumas regras básicas ou mínimas para a compreensão de álgebra linear, que serão muito úteis na resolução de problemas que envolvam estudos de probabilidades avançadas e Universidade do Sul de Santa Catarina econometria; além da aplicação de matrizes para o cálculo da relação entre renda, preços e gastos em marketing, fenômenos bem factíveis em Ciências Sociais. Grande abraço! Profa. Clarice Borges de Miranda Profa. Joseane Borges de Miranda 170 Referências ANTON, H. B.; DAVIS, I. S. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. v. 1. ARTORIS, A. Estatística e introdução à Economia. São Paulo: Saraiva, 2003. BOLDRINI, J. S.; COSTA, S. I. R.; FIGUEIREDO, V. L.; WETZLER, H. G. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1986. CAPITÃO, A. C. de O. Estatística. Econometria. Regressão potencial; exponencial; hiperbólica; regressão linear múltipla. Disponível em: <http://www.ebah.com.br/content/ABAAAA5tkAH/ econometria‑regressao‑linear>. Acesso em: 4 ago. 2011. CHIANG, A. C. Matemática para economistas. São Paulo: McGraw‑Hill/Edusp, 1982. LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. São Paulo: Harbra, 1982. v. 1. SARTORI, A. Estatística e introdução à Economia. São Paulo: Saraiva, 2003. SILVA, S. M. da et al. Matemática para os cursos de Economia, Administração, Ciências Contábeis. 5. ed. São Paulo: Atlas, 1999. v. 1. SIMMONS, G. F. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Makron Books, 1987. v. I. STEWART, J. Cálculo. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2009. v. 1. TAN, S. T. Matemática aplicada à Administração e Economia. São Paulo: Thomson, 2003. WEBER, J. E. Matemática para Economia e Administração. 2. ed. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1986. Sobre as professoras conteudistas Clarice Borges de Miranda é natural de Imbituba, cidade litorânea de Santa Catarina. É licenciada em Matemática pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC), em 2003. Seu TCC analisou as “Equações do 2º grau e técnicas de resolução: um estudo didático da classe 8ª”, demonstrando técnicas mais amigáveis para cativar os alunos. É pós‑graduada em Matemática Aplicada e Computacional pela Universidade Federal de Santa Catarina (2006), com o trabalho “Usando o MATLAB para Resolução de Problema de Minimização com Restrições Lineares de Igualdade”, que objetivou usar técnicas computacionais na resolução de problemas; e mestre em Matemática também pela UFSC. Ajudou na coordenação e organização de vários cursos de aperfeiçoamento para professores de Matemática do Ensino Médio no Estado de Santa Catarina, ofertados pela UFSC. Foi professora substituta desta universidade entre 2003 e 2005, ministrando disciplinas como Cálculo I e Matemática Financeira, principalmente nos cursos de Ciências Sociais. Desde 2008, leciona na Cooperativa Educacional de Imbituba. Joseane Borges de Miranda também é natural de Imbituba. É bacharel em Ciências Econômicas pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC, 1998). Seu TCC analisou o impacto da política cambial sobre os preços agrícolas em Santa Catarina. É especialista e mestre em Economia Industrial também pela Universidade Federal de Santa Catarina (2000). Sua dissertação foi um estudo focado nos aspectos macroeconômicos da competitividade sistêmica no setor de revestimento de Universidade do Sul de Santa Catarina Santa Catarina. Atualmente, é doutoranda do programa de pós‑graduação em Engenharia e Gestão do Conhecimento da UFSC, com foco na área de Engenharia do Conhecimento. Sua tese versará sobre indicadores de capital intelectual da modalidade EaD e indicadores de desempenho. Além da EaD, seu foco de pesquisa é o e‑gov no Brasil. É professora há mais de nove anos da disciplina de Econometria nos cursos de Economia. Na Unisul, é professora dos cursos de Engenharias de Produção, Civil e Ambiental, ministrando disciplinas como Probabilidade e Estatística, Introdução à Economia e Macroeconomia. Na UnisulVirtual, é professora das disciplinas de Gestão do Conhecimento, Gestão da Informação, Finanças Internacionais, Estatística e Econometria. É autora do livro “Engenharia Econômica” e coordenadora do curso de bacharelado em Ciências Econômicas da UV. 174 Respostas e comentários das atividades de autoavaliação Unidade 1 1) Para provar é necessário derivar F e lembrar‑se das regras de derivação. a) Portanto, F é primitiva de ƒ. b) Portanto, F é primitiva de ƒ. c) Portanto, F é primitiva de ƒ. 2) Para provar é necessário derivar F e G, Então, as duas funções são primitivas de ƒ. Usando o teorema, todas as primitivas de ƒ são da seguinte forma: H(x) = e5x+1 + C em que C uma constante. Universidade do Sul de Santa Catarina 3) Para cada item aplicar a regra adequada: a) b) c) d) e) f) g. h) i) j) k) l) m) n) 176 Cálculo Integral nas Ciências Sociais o) 4) Para determinar a população projetada após 4 anos da implantação da empresa, usaremos a taxa de crescimento para encontrar a função (P(t)) que relaciona a população e o tempo usando integral indefinida: Como a solução de uma integral indefinida é infinita, para determinar a solução única que satisfaz o problema temos que determinar C. Para isso sabemos que no tempo t = 0 (início da implantação da empresa) a população é de 25.000 habitantes, então: 177 Universidade do Sul de Santa Catarina Portanto, C = 25.000 e nossa função é: E a população, após quatro anos da implantação, é: Logo, a população projetada para quatro anos após o início da implantação da empresa é de 70.600 habitantes. Unidade 2 1) a) Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(x); portanto, u = 5x + 8. Passo 2: Calcular o diferencial de u, du = 5dx Passo 3: Fazer a substituição: Passo 4: Calcular a integral indefinida: Passo 5: Retornar à variável x: b) Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(x); portanto, u = x 3 + 3x. Passo 2: Calcular o diferencial de u, du = (3x2 + 3)dx Passo 3: Fazer a substituição: Passo 4: Calcular a integral indefinida: Passo 5: Retornar à variável x: 178 Cálculo Integral nas Ciências Sociais c) Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(x); portanto, u = 3x2 + 8. Passo 2: Calcular o diferencial de u, du = 6xdx Passo 3: Fazer a substituição: Passo 4: Calcular a integral indefinida: Passo 5: Retornar à variável x: d) Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(x); portanto, u = 5x + 1. Passo 2: Calcular o diferencial de u, du = 5dx Passo 3: Fazer a substituição: Passo 4: Calcular a integral indefinida: Passo 5: Retornar à variável x: e) Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(x); portanto, u = x + 10. Passo 2: Calcular o diferencial de u, du = dx Passo 3: Fazer a substituição: Passo 4: Calcular a integral indefinida: Passo 5: Retornar à variável x: 179 Universidade do Sul de Santa Catarina f) Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(x); portanto, u = ln6x. Passo 2: Calcular o diferencial de u, Passo 3: Fazer a substituição: Passo 4: Calcular a integral indefinida: Passo 5: Retornar à variável x: 2) a) Passo 1: Escolher u e dv: u = x dv = e2x dx Passo 2: Determinar du e v: Para determinar v, usaremos o método de integração por substituição em que s é a variável de substituição, para não confundir com as variáveis do método por partes que estamos resolvendo. Escolher s, s = 2x. Determinar ds, ds = 2dx Fazer a substituição: Calcular a integral indefinida (desconsiderando a constante de integração): Retornar à variável x : Portanto, 180 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Passo 3: Aplicar a fórmula : Passo 4: Resolver: Observe que a integral já foi resolvida no início do exercício usando o método de integração por substituição. Passo 5: Escrever a solução completa: b) Passo 1: Escolher u e dv: u=x+4 dv = (x + 5)3 dx Passo 2: Determinar du e v: Para determinar v, usaremos o método de integração por substituição em que s é a variável de substituição, para não confundir com as variáveis do método por partes que estamos resolvendo: Escolher s, s = x + 5. Determinar ds, ds = dx Fazer a substituição: Calcular a integral indefinida (desconsiderando a constante de integração): Retornar à variável x : Portanto, 181 Universidade do Sul de Santa Catarina Passo 3: Aplicar a fórmula Passo 4: Resolver: Para determinar , usaremos o método de integração por substituição em que t, é a variável de substituição, para não confundir com as variáveis do método por partes que estamos resolvendo: Escolher t, t = x + 5 Determinar dt, dt = dx Fazer a substituição: Calcular a integral indefinida (desconsiderando a constante de integração): Retornar à variável x : Passo 5: Escrever a solução completa: c) Passo 1: Escolher u e dv: u = ln x dv= x2 dx Passo 2: Determinar du e v: (desconsideramos a constante de integração). Passo 3: Aplicar a fórmula 182 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Passo 4: Resolver Passo 5: Escrever a solução completa: d) Passo 1: Escolher u e dv: Passo 2: Determinar du e v: Para determinar v, usaremos o método de integração por substituição em que s é a variável de substituição, para não confundir com as variáveis do método por partes que estamos resolvendo: Escolher s, s = x + 3 Determinar ds, ds = dx Fazer a substituição: Calcular a integral indefinida (desconsiderando a constante de integração): Retornar à variável x : Passo 3: Aplicar a fórmula : 183 Universidade do Sul de Santa Catarina Passo 4: Resolver Para determinar usaremos o método de integração por substituição em que t é a variável de substituição, para não confundir com as variáveis do método por partes que estamos resolvendo: Escolher t, t = x + 3 Determinar dt, dt = dx Fazer a substituição: Calcular a integral indefinida (desconsiderando a constante de integração): Retornar à variável x : Passo 5: Escrever a solução completa: 3) Como é fornecida a taxa de produção, para encontrar a expressão que relaciona tempo em meses com a produção, basta integrar a função que representa a taxa de variação: Vamos calcular usando o método de integração por substituição: 184 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(t); portanto, u = 2t. Passo 2: Calcular o diferencial de u, du = 2dt. Passo 3: Fazer a substituição: Passo 4: Calcular a integral indefinida em que o interando é uma função exponencial de base e : Passo 5: Retornar à variável t : Voltando à resolução do problema, Denotando por S(t) a expressão que relaciona tempo em meses com quantidade produzida, temos: S(t) = 10e2t + C Para definir a constante C usamos que no instante t = 0, S(0) = 80; usando esta informação, temos: . Portanto, a expressão desejada é: S(t) = 10e2t + 70 Vamos calcular a produção nos dois primeiros meses: . Assim, a empresa espera produzir aproximadamente 609 unidades até o segundo mês após a estimativa. 185 Universidade do Sul de Santa Catarina Unidade 3 1) a) Vamos calcular Δx, que é o comprimento dos subintervalos: . , Os quatros subintervalos são e , , então os pontos arbitrários são x1 = -0,25, x2 = 0,5, x3 = 1,25 e x4 = 2. Portanto, a soma de Riemann é: . Logo, a área aproximada sob o gráfico de 10,41 unidades de área. é de b) Vamos calcular Δx, que é o comprimento dos subintervalos: . Os cinco subintervalos são e , , , , então os pontos arbitrários são x1 = 0, x2 = 0,4, x3 = 0,8, x4 = 1,2 e x5 = 1,6. Portanto, a soma de Riemann é: . Logo, a área aproximada sob o gráfico de de área. 186 é de 7,68 unidades Cálculo Integral nas Ciências Sociais c) Vamos calcular Δx, que é o comprimento dos subintervalos: . Os três subintervalos são , , e , então os pontos arbitrários são x1 = 3, x2 = 4 e x3 = 3. Portanto, a soma de Riemann é: . Logo, a área aproximada sob o gráfico de de área. é de 2,4 unidades 2) Como a função C'(x) é o custo marginal sua primitiva C(x) é o custo total. O custo fixo total na produção de lápis é R$ 90,00, ou seja, C(0) = 90. a) Para calcular o custo total para produzir as primeiras 300 unidades temos que calcular variação C(300) – C(0) no intervalo, isto é, a integral : definida de C’(x) no intervalo Portanto, ou seja, o custo total diário para produzir as primeiras 300 unidades é de R$ 537,00. 187 Universidade do Sul de Santa Catarina b) O custo total diário que a fábrica tem na produção da unidade 250 à unidade 354 é dado por: Portanto, o custo total diário é de R$ 114,20 na produção da unidade 250 à unidade 354. 3) a) Para resolver, vamos usar as propriedades de integral definida: Agora, vamos usar os valores das integrais definidas: Portanto, . b) Para resolver, vamos usar as propriedades de integral definida: Agora, vamos usar os valores das integrais definidas: Portanto, . c) Para resolver, vamos usar as propriedades de integral definida: Agora, vamos usar os valores das integrais definidas: Portanto, 188 . Cálculo Integral nas Ciências Sociais 4) a) . b) . c) . d) . e) . Para resolver esta integral definida, vamos usar o método integração por substituição: Passo 1: Fazer a escolha de u, u é sempre a g(x),portanto, u = 2x + 1 Passo 2: Calcular o diferencial de u, du = 2dx Passo 3: Fazer a mudança dos limites de integração: Limite superior x = 4, então u = 2 × 4 + 1 = 9 Limite inferior x = 0, então u = 2 × 0 + 1 = 1 189 Universidade do Sul de Santa Catarina Passo 4: Fazer a substituição: Passo 5: Calcular a integral definida, sendo o interando uma função potência: Logo, . f) Para resolver esta integral definida, vamos usar o método integração por substituição: Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(x); portanto, u = x2 + 1 Passo 2: Calcular o diferencial de u, du = 2xdx Passo 3: Fazer a mudança dos limites de integração: Limite superior x = 1, então u = 12 + 1 = 2 Limite inferior x = 0, então u = 02 + 1 = 1 Passo 4: Fazer a substituição: Passo 5: Calcular a integral definida, sendo o interando uma função potência, com potência igual a ‑1: Logo, 190 . Cálculo Integral nas Ciências Sociais g) Para resolver esta integral definida vamos usar o método integração por substituição: Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(x); portanto, u = x2 + 5 Passo 2: Calcular o diferencial de u, du = 2xdx Passo 3: Fazer a mudança dos limites de integração: Limite superior x = 2, então u = 22 + 5 = 9 Limite inferior x = –1, então u = (–1)2 + 5 = 6 Passo 4: Fazer a substituição: Passo 5: Calcular a integral definida, sendo o interando uma função potência: Logo, . h) Para resolver esta integral definida, vamos usar o método integração por partes: Passo 1: Vamos escolher u e dv: u = 6x dv = ex dx Passo 2: Determinar du e v: (desconsideramos a constante de integração) 191 Universidade do Sul de Santa Catarina Passo 3: Aplicar a fórmula Passo 4: Resolver Passo 5: Escrever a solução completa: Conhecendo a primitiva do integrado, podemos calcular a integral definida: . 5) Vamos desenhar um esboço do gráfico da área que queremos calcular: Note que a área no intervalo está sob o eixo x. Portanto, o valor da : área é o valor absoluto da integral definida da função no intervalo Logo, a área A = 18,67 unidades de área. 192 Cálculo Integral nas Ciências Sociais 6) Vamos desenhar um esboço do gráfico da área que queremos calcular: A área A é igual à integral definida da função no intervalo : Logo, a área A = 6 unidades de área. 7) Vamos desenhar um esboço do gráfico da área que queremos calcular: A área A é igual à integral definida da função no intervalo : Logo, a área A = 4,75 unidades de área. 193 Universidade do Sul de Santa Catarina 8) a) Vamos dividir a solução em três passos: Passo 1: Determinar os pontos de intersecção das duas funções. Para encontrar estes pontos, igualamos as duas funções: x + 2 = x2 x2 – x – 2 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, temos x = –1 e x = 2. Para x = –1 ⇒ y = 1 e x = 2 ⇒ y = 4; portanto, os pontos de intersecção são (–1,1) e (2,6). Passo 2: Esboçar o gráfico das funções: Passo 3: Calcular a área entre os gráficos: A função ƒ(x) = x + 2 é a limitante superior da área, e a função g(x) = x2 é a limitante inferior da área no intervalo . Usando a definição: Logo, a área limitada por ƒ(x) = x + 2 e g(x) = x2 é de 4,5 unidades de área. 194 Cálculo Integral nas Ciências Sociais b) Vamos dividir a solução em três passos: Passo 1: Determinar os pontos de intersecção das duas funções: Para encontrar estes pontos, igualamos as duas funções: Resolvendo a equação, temos x = 1 e x = 0. Para x = 0 ⇒ y = 0 e x = 1 ⇒ y = 1; portanto, os pontos de intersecção são (0,0) e (1,1). Passo 2: Esboçar o gráfico das funções: Passo 3: Calcular a área entre os gráficos: A função é a limitante superior da área e a função g(x) = x é a limitante inferior da área no intervalo Logo, a área limitada por . Usando a definição: e g(x) = x é de unidades de área. 195 Universidade do Sul de Santa Catarina c) Vamos dividir a solução em três passos: Passo 1: Determinar os pontos de intersecção das duas funções. Para encontrar estes pontos, igualamos as duas funções: Resolvendo a equação do segundo grau, temos x = –1 e x = 1. Para x = –1 ⇒ y = 3 e x = 1 ⇒ y = 3; portanto, os pontos de intersecção são (–1,3) e (1,3). Passo 2: Esboçar o gráfico das funções: y -1 1 x Passo 3: Calcular a área entre os gráficos: A função g(x) = –x2 + 4 é a limitante superior da área e a função f(x) = x2 + 2 é a limitante inferior da área no intervalo [–1,1]. Usando a definição: Logo, a área limitada por f(x) = x2 + 2 e g(x) = –x2 + 4 é de de área. 196 unidades Cálculo Integral nas Ciências Sociais Unidade 4 1) Para determinar a função consumo, temos que integrar a propensão marginal a consumir em relação à y. . Para determinar C, usaremos a Portanto, condição inicial. Temos que para x = 0 ⇒ c(o) = 11, então: 11 = 0 + C C = 11. Logo, . 2) Para determinar a função poupança temos que y = c + s. Manipulando a equação: s = y – c ou s(y) = y – c(y). Substituindo a função consumo, temos: Logo, . Para determinar a função consumo, primeiro vamos determinar a propensão marginal a consumir. Assim: smg = 1 – cmg cmg = 1 – smg . Integrando a propensão marginal a consumir em relação y, temos a função consumo dada por . 197 Universidade do Sul de Santa Catarina . Para determinar C, vamos usar a condição Portanto, inicial. Temos que, para y = 0 ⇒ c(0) = 5, então: 5=0+C C = 5. Logo, . Para determinar a função poupança, temos s(y) = y – c(y). Vamos, então, substituir a função consumo: Logo, . 3) a) Se a demanda de mercado é 2, temos que x 0 = 2. Com o valor de x 0, vamos calcular o valor p 0: p 0 = 20 – x2 p 0 = 20 – 22 p 0 = 20 – 4 p 0 = 16 Antes de aplicar a fórmula, apresentamos um esboço do gráfico da função da demanda: Gráfico da demanda com x 0 = 2 y 20 16 2 198 x Cálculo Integral nas Ciências Sociais Para encontrar o excedente do consumidor, aplicamos a fórmula: Portanto, o excedente do consumidor é R$ 5,30. b) Se o preço de mercado é de R$ 4,00, temos p 0 = 4. Com o valor de p 0, vamos calcular o valor de x 0: p 0 = 20 – x 02 4 = 20 – x 02 4 – 20 = x 02 –16 = –x 02 16 = x 02 x0 = ± 4 Resolvendo a equação do segundo grau, temos que x 0 = –4 e x 0 = 4. Como x 0 é quantidade, portanto x 0 tem que ser um valor positivo, a solução da equação do segundo grau que é também solução do problema só pode ser x 0 = 4. Para encontrar o excedente do consumidor, aplicamos a fórmula: Portanto, o excedente do consumidor é de aproximadamente R$ 42,70. 4) Se o preço de mercado de um produto é R$ 6,00, então p 0 = 6. Com o valor de p 0 e com a função oferta, vamos calcular x 0: 199 Universidade do Sul de Santa Catarina Para encontrar ao excedente do produtor aplicamos a fórmula: . Vamos usar o método de integração por substituição para resolver a integral definida: . Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(x); portanto, u = 25 + x. Passo 2: Calcular o diferencial de u, du = dx. Passo 3: Fazer a mudança dos limites de integração: Limite superior x = 11, então u = 25 + 11 = 36 Limite inferior x = 0, então u = 25 + 0 = 25. Passo 4: Fazer a substituição: . Passo 5: Calcular a integral definida, sendo o interando uma função potência: Voltando à fórmula de excedente do consumidor, temos: Logo, o excedente do consumidor é de aproximadamente R$ 5,30. 5) Se a quantidade ofertada é 4 unidades, então x 0 = 4. Com o valor de x 0 e com a função oferta, vamos calcular p 0: Para encontrar ao excedente do produtor, aplicamos a fórmula: . 200 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Vamos usar o método de integração por substituição para resolver a integral definida. Assim: . Passo 1: Fazer a escolha de u, onde u é sempre a g(x); portanto, Passo 2: Calcular o diferencial de u, Passo 3: Fazer a mudança dos limites de integração: Limite superior x = 4, então Limite inferior x = 0, então Passo 4: Fazer a substituição: Passo 5: Calcular a integral definida: Voltando à fórmula de excedente do consumidor, temos: Logo, o excedente do consumidor é de aproximadamente R$ 20,00. 6) a) Para encontrar a trajetória temporal do capital k basta integrar a função que descreve o fluxo de investimento. Assim: Portanto, . O valor de C é determinado com a informação do valor do capital no instante t = 0, então: Logo, a trajetória temporal do capital k é . 201 Universidade do Sul de Santa Catarina b) Para saber o montante da formação de capital durante o intervalo , vamos calcular a seguinte integral definida: Logo, o montante da formação de capital durante o intervalo R$ 1.266.000,00. é Unidade 5 1) a) Como a matriz A e B tem a mesma ordem, podemos efetuar a soma: . b) Para multiplicar um escalar por uma matriz, basta multiplicar todos os elementos da matriz pelo escalar: . c) Para multiplicar duas matrizes, temos de verificar a ordem, o número de colunas de A precisa ser igual ao número de linhas de C. Como A tem três colunas e C tem três linhas, podemos multiplicar as matrizes: 202 Cálculo Integral nas Ciências Sociais d) Primeiro vamos multiplicar por 3, depois fazer a subtração: . 2) Primeiro vamos calcular os cofatores dos elementos da primeira coluna: Cofator do elemento a11: , Obs.: Este determinante pode ser calculado por cofator. Cofator do elemento a21: , 203 Universidade do Sul de Santa Catarina Cofator do elemento a31: , Cofator do elemento a41: , Logo, o determinante é: . 3) a) Como a matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores, vamos primeiro determinar a matriz dos cofatores: Cofator do elemento a11: , det A11 = (–2) × (–0,2) – 0 × 3 = 0,4 – 0 = 0,4 ∆11 = (–1)1+1 × 0,4 = (–1)2 × 0,4 = 1 × 0,4 = 0,4. Cofator do elemento a21: , det A21 = 3 × (–0,2) – 0 × 1 = –0,6 – 0 = –0,4 204 ∆21 = (–1)2+1 × (–0,6) = (–1)3 × (–0,6) = –1 × (–0,6) = 0,6. Cálculo Integral nas Ciências Sociais Cofator do elemento a31: , det A31 = 3 × 3 – (–2) × 1 = 9 + 2 = 11 ∆31 = (–1)3+1 × 11 = (–1)4 × 11 = 1 × 11 = 11. Cofator do elemento a12: , det A12 = –1 × (–2) – 4 × 3 = 0,2 – 12 = 11,8 ∆12 = (–1)1+2 × (–11,8) = (–1)3 × (–11,8) = –1 × (–11,8) = 11,8. Cofator do elemento a22: , det A22 = 0 × (–0,2) – 4 × 1 = 0 – 4 = –4 ∆22 = (–1)2+2 × (–4) = (–1)4 × (–4) = 1 × (–4) = –4. Cofator do elemento a32: , det A32 = 0 × 3 – (–1) × 1 = 0 + 1 = 1 ∆32 = (–1)3+2 × 1 = (–1)5 × 1 = –1 × 1 = –1. Cofator do elemento a13: , det A13 = –1 × 0 – 4 × (–2) = 0 + 8 = 8 ∆13 = (–1)1+3 × 8 = (–1)4 × 8 = 1 × 8 = 8. Cofator do elemento a23: , det A23 = 0 × 0 – 4 × 3 = 0 – 12 = –12 ∆23 = (–1)2+3 × (–12) = (–1)5 × (–12) = –1 × (–12) = 12. Cofator do elemento a33: , det A33 = 0 × (–2) – (–1) × 3 = 0 + 3 = 3 ∆33 = (–1)3+3 × 3 = (–1)6 × 3 = 1 × 3 = 3. 205 Universidade do Sul de Santa Catarina Portanto, a matriz de cofatores de A é . Agora, com a matriz de cofatores de A, vamos determinar a matriz adjunta de : . b) Como a matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores, vamos primeiro determinar a matriz dos cofatores: Cofator do elemento b11: , det B11 = (–1) × (–3) – 1 × 3 = 3 – 3 = 0 ∆11 = (–1)1+1 × 0 = (–1)2 × 0 = 1 × 0 = 0. Cofator do elemento b21: , det B21 = (–1) × (–3) – 1 × 3 = 3 – 3 = 0 ∆21 = (–1)2+1 × (–6) = (–1)3 × (–6) = –1 × (–6) = 6. Cofator do elemento b31: , det B31 = 1 × 3 – (–1) × 3 = 3 + 3 = 6 ∆31 = (–1)3+1 × 6 = (–1)4 × 6 = 1 × 6 = 6. Cofator do elemento b12: , det B12 = 2 × (–3) – 2 × 3 = –6 – 6 = –12 ∆12 = (–1)1+2 × (–12) = (–1)3 × (–12) = –1 × (–12) = 12. 206 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Cofator do elemento b22: , det B22 = 2 × (–3) – 2 × 3 = –6 – 6 = –12 ∆22 = (–1)2+2 × (–12) = (–1)4 × (–12) = 1 × (–12) = –12. Cofator do elemento b32: , det B32 = 2 × 3 – 2 × 3 = 6 – 6 = 0 ∆32 = (–1)3+2 × 0 = (–1)5 × 0 = –1 × 0 = 0. Cofator do elemento b13: , det B13 = 2 × 1 – 2 × (–1) = 2 + 2 = 4 ∆13 = (–1)1+3 × 4 = (–1)4 × 4 = 1 × 4 = 4. Cofator do elemento b23: , det B23 = 2 × 1 – 2 × 1 = 2 – 2 = 0 ∆23 = (–1)2+3 × 0 = (–1)5 × 0 = –1 × 0 = 0. Cofator do elemento b33: , det B33 = 2 × (–1) – 2 × 1 = –2 – 2 = –4 ∆33 = (–1)3+3 × (–4) = (–1)6 × (–4) = 1 × (–4) = (–4). Portanto, a matriz de cofatores de B é . Agora, com a matriz de cofatores de B vamos determinara matriz adjunta de B: . 207 Universidade do Sul de Santa Catarina 4) No exercício 3, calculamos a matriz adjunta de A. Para determinar a matriz inversa falta calcular o determinante e aplicar a fórmula . Primeiro, vamos usar o cálculo do exercício anterior de cofatores da primeira coluna para calcular o determinante: Temos que a matriz adjunta de A é . Agora vamos aplicar a fórmula para encontrar a matriz inversa: Logo, a matriz inversa de A é . 5) a) Vamos escrever na forma matricial: ou A X = B onde 208 , e . Cálculo Integral nas Ciências Sociais b) Para resolver o sistema, temos que encontrar a inversa de A. Primeiro vamos encontrar os cofatores de A: Cofator do elemento a11: , det A11 = 2 × 1 – 1 × 1 = 2 – 1 = 1 ∆11 = (–1)1+1 × 1 = (–1)2 × 1 = 1 × 1 = 1. Cofator do elemento a21: , det A21 = –2 × 1 – 1 × 1 = –2 – 1 = –3 ∆21 = (–1)2+1 × (–3) = (–1)3 × (–3) = –1 × (–3) = 3. Cofator do elemento a31: , det A31 = (–2) × 1 – 2 × 1 = –2 – 2 = –4 ∆31 = (–1)3+1 × (–4) = (–1)4 × (–4) = 1 × (–4) = –4. Vamos calcular o determinar para verificar se a matriz tem inversa. Lembre‑se de que o determinante tem que ser diferente de zero para que a matriz tenha inversa. Como o determinante é diferente de zero, a matriz A tem inversa. Portanto, vamos continuar calculando os cofatores: Cofator do elemento a12: , det A12 = 2 × 1 – 1 × 1 = 2 – 1 = 1 ∆12 = (–1)1+2 × 1 = (–1)3 × 1 = –1 × 1 = –1. 209 Universidade do Sul de Santa Catarina Cofator do elemento a22: , det A22 = 1 × 1 – 1 × 1 = 1 – 1 = 0 ∆22 = (–1)2+2 × 0 = (–1)4 × 0 = 1 × 0 = 0. Cofator do elemento a32: , det A32 = 1 × 1 – 2 × 1 = 1 – 2 = –1 ∆32 = (–1)3+2 × (–1) = (–1)5 × (–1) = –1 × (–1) = 1. Cofator do elemento a13: , det A13 = 2 × 1 – 1 × 2 = 2 – 2 = 0 ∆13 = (–1)1+3 × 0 = (–1)4 × 0 = 1 × 0 = 0. Cofator do elemento a23: , det A23 = 1 × 1 – 1 × (–2) = 1 + 2 = 3 ∆23 = (–1)2+3 × 3 = (–1)5 × 3 = –1 × 3 = –3. Cofator do elemento a33: , det A33 = 1 × 2 – 2 × (–2) = 2 + 4 = 6 ∆33 = (–1)3+3 × 6 = (–1)6 × 6 = 1 × 6 = 6. Portanto, a matriz de cofatores de A é . Agora, com a matriz de cofatores de A vamos determinar a matriz adjunta de A: 210 Cálculo Integral nas Ciências Sociais Para encontrar a inversa, aplicamos a fórmula: Com a matriz inversa podemos encontrar os valores de x1, x2 e x3. Portanto, x1 = –3,6665, x2 = 1,6665 e x 3 = –7,9994. 211 Biblioteca Virtual Veja a seguir os serviços oferecidos pela Biblioteca Virtual aos alunos a distância: Pesquisa a publicações on‑line <www.unisul.br/textocompleto> Acesso a bases de dados assinadas <www.unisul.br/bdassinadas> Acesso a bases de dados gratuitas selecionadas <www.unisul.br/bdgratuitas> Acesso a jornais e revistas on‑line <www.unisul.br/periodicos> Empréstimo de livros <www.unisul.br/emprestimos> Escaneamento de parte de obra* Acesse a página da Biblioteca Virtual da Unisul, disponível no EVA, e explore seus recursos digitais. Qualquer dúvida escreva para: [email protected] * Se você optar por escaneamento de parte do livro, será lhe enviado o sumário da obra para que você possa escolher quais capítulos deseja solicitar a reprodução. Lembrando que para não ferir a Lei dos direitos autorais (Lei 9610/98) pode‑se reproduzir até 10% do total de páginas do livro.
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