ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA
TÓPICOS DE RESOLUÇÃO do 2o Teste A – 2010/2011
OpçãonQuestão 1
A)
B)
C)
D)
[2,0]
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1. Seja A uma matriz invertível de ordem n. Sabendo que A (adj A) = 5In , considere as
seguintes a…rmações:
I. det (A 1 ) = 15 :
II. A
1
= 15 adj A:
III. det AT = 5:
IV. A característica de A é menor do que n.
A lista completa das a…rmações correctas é:
A) I, II e IV.
B) I, III e IV.
C) III.
D) I, II e III.
Resolução:
Sabendo que A (adj A) = det(A)In então det(A) = 5, pelo que se conclui que
1
det (A 1 ) = det(A)
= 15 e que det AT = det(A) = 5, ou seja, as a…rmações I e III são verdadeiras.
Por outro lado, a a…rmação II também é verdadeira porque
1
1
A = det(A) adj A = 51 adj A: A a…rmação IV é falsa porque, sendo o determinante
de A diferente de zero, a característica de A é igual a n:
Resposta correcta: D)
[2,0]
2. Sejam A e B matrizes de ordem n, quaisquer.
Considere as seguintes a…rmações:
I. Se det A = det B então A = B:
II. det (A + B) = det A + det B:
III. Se
2 R, então det ( A) =
det A:
IV. Se n é ímpar, então det ( A) =
det A.
A lista completa das a…rmações correctas é:
A) I, III e IV.
B) IV.
C) I,II e III.
2o Teste A - ALGA 2010/11
D) Todas.
pág.1
Resolução: Como os determinantes de duas matrizes diferentes podem ser iguais a
a…rmação I é falsa. Também é falsa a a…rmação II porque o determinante da soma de
duas matrizes não é necessariamente igual à soma dos determinantes dessas matrizes. Da
homogeneidade vem que det ( A) = n det A, pelo que a a…rmação III é falsa. Contudo,
a a…rmação IV é verdadeira atendendo à mesma propriedade.
Resposta correcta: B)
[2,0]
3. Considere a matriz
2
6
6
A (x) = 6
6
4
1
0
0
0
0
O conjunto-solução em R da equação det
0
1
0
1
0
0
0
1
x
0
1 5
A
3
0
1
1
2
0
0
0
0
0
3
3
7
7
7:
7
5
(x) = 0 é
A) f0g :
B) ?.
C) f1g :
D) f0; 3; 1g.
Resolução: Tem-se que
2
1 0
6 0 1
6
det 6
6 0 0
4 0 1
0 0
2
1 0
6 0 1
6
= det 6
6 0 0
4 0 0
0 0
0
0
1
x
0
0
1
1
2
0
0
0
0
0
3
3
7
7
7
7
5
2
=
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0 1 x 0
0
0
3
L4
3
L2
6
6
det 6
6
4
7
7
7 = 3 (1
7
5
5
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
x
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
3
3
7
7
7
7
5
=
L4 xL3
x) :
Assim, det 31 A5 (x) = 0 () 13 det [A5 (x)] = 0 ()
1 5 5
3 (1 x)5 = 0 () 1 x = 0 () x = 1:
3
1 5
3
det [A (x)]5 = 0 ()
Resposta correcta: C)
[2,0]
2
3
a b c
4. Considere a matriz A = 4 d e f 5 de tal modo que det A =
g h i
7:
Qual das seguintes a…rmações é falsa?
2o Teste A - ALGA 2010/11
pág.2
A) det (3A) =
189:
B) det ( 2A 1 ) = 78 :
2
3
a g d
C) det 4 b h e 5 =
c i f
7:
T
D) Considerando X = x y z
e B uma matriz qualquer do tipo 3
de equações lineares AX = B é de Cramer.
1, o sistema
Resolução: Como det (3A) = 33 det (A) = 27
( 7) = 189 e det ( 2A 1 ) =
1
= ( 2)3 det (A 1 ) = 8
= 87 as a…rmações A) e B) estão correctas. Também
7
a a…rmação D) é verdadeira pois o sistema AX = B tem 3 equações e 3 incógnitas e
det A = 7 6= 0: A a…rmação C) é falsa, pois
2
3
2
3
2
3
a g d
a b c
a b c
det 4 b h e 5 = det 4 g h i 5 = det 4 d e f 5 = ( 7) = 7:
c i f
d e f
g h i
Resposta correcta: C)
[2,0]
5. Considere em R4 o produto interno canónico e os vectores ~u = (2; 1; 1; 1) e ~v = (1; 0; 1; 1):
Qual das seguintes a…rmações é verdadeira?
A) k~v k = 1:
B) O ângulo entre ~u e ~v é nulo .
C) vers ~u =
p2 ; p1 ; p1 ; p1
5
5
5
5
:
D) vers ~u e ~v são ortogonais.
p
p
Resolução: Comok~uk = 22 + 12 + 12 + 12 = 7, vers ~u = k~~uuk = p27 ; p17 ; p17 ; p17 e
q
p
k~v k = 12 + 02 + ( 1)2 + ( 1)2 = 3; pelo que, as a…rmações A) e C) são falsas. Por
outro lado, dado que ~uj~v = 2 + 0 1 1 = 0; o ângulo entre ~u e ~v é de 90o e os vectores
vers ~u e ~v são ortogonais.
Resposta correcta: D)
[2,0]
6. Considere em R3 o produto interno canónico e os vectores ~u =
~v =
p2 ; p2 ; 0
k
k
:
Considere as seguintes a…rmações:
I. O conjunto f~u; ~v g é ortogonal para qualquer k 2 Rn f0g :
II. Para k = 8; o conjunto f~u; ~v g é ortonormado.
2o Teste A - ALGA 2010/11
pág.3
p1 ;
2
p1 ; 0
2
e
III. Para k = 2, a área do paralelogramo de…nido por ~u e ~v é 1:
IV. Para k = 2, tem-se proj~v ~u = (0; 0; 0).
A lista completa das a…rmações correctas é:
A) II e III.
B) III e IV.
Resolução: Note-se que ~uj~v =
p 2p
2 k
k~uk = 1 e k~v k =
s
C) I e II.
p 2p
2 k
= 0 para qualquer k 2 Rn f0g,
2
2
p
8
D) I, II e IV.
+
2
p
8
2
= 1; se k = 8;
logo as a…rmações I e II estão correctas. Também a IV é correcta pois cos ^ (~u; ~v ) = 0,
ou seja proj~v ~u = (k~uk cos ^ (~u; ~v )) vers ~v = (0; 0; 0) :
r
p2
2
Por último , como sin 90o = 1 ( ~u e ~v são ortogonais), k~uk = 1 e k~v k =
2, então a
Area = k~u
2
+
p2
2
2
=
~v k = k~uk k~v k sin ^ (~u; ~v ) = 2:
Assim, a a…rmação III é falsa.
Resposta correcta: D)
[2,0]
1 0
e X e Y são as
0 2
7. Considere em R2 o produto interno ~xj~y = X T AY onde A =
representações matriciais de ~x e ~y , respectivamente.
Qual das seguintes a…rmações é falsa?
A) (1; 1)j( 1; 1) = 0.
p
B) k(1; 1)k = 3:
C) (1;
1
)j(1; 1)
2
= 0.
D) Os vectores (
p
p
2
2
;
)
2
2
e ( 1; 1) não formam uma base ortonormada para R2 :
Resolução: Temos que
(1; 1)j( 1; 1) =
k(1; 1)k =
1 1
1
1
j(1; 1) =
2
p p !
h p
2 2
2
;
j( 1; 1) =
2
2 2
1;
1 0
0 2
1 1
s
1
2
p
2o Teste A - ALGA 2010/11
2
2
1
1
= 1;
1 0
0 2
1
1
=
1 0
0 2
1
1
= 0;
i 1 0
0 2
1
1
p
3;
=
1p
2;
2
pág.4
logo a a…rmação A) é falsa.
Resposta correcta: A)
[2,0]
8. Suponha que ~v
wj~
~ u = 5:
Qual das seguintes a…rmações é falsa?
A) (3~v )
wj
~ (2~u) = 30:
B) ~ujw
~
~v = 5:
D) ~v jw
~
~u = 5:
C) Os vectores ~u; ~v e w
~ não são complanares.
Resolução: Como ~v wj~
~ u = 5 6= 0 os vectores ~u; ~v e w
~ não são complanares pelo que C) é
verdadeira. Também a opção A) é verdadeira pois (3~v ) wj
~ (2~u) = 6 (~v wj~
~ u) = 6 5 =
30: Por outro lado, como o produto misto não se altera se trocarmos "e" "; a opção D) é
igualmente verdadeira. Finalente, B) é falsa pois ~ujw
~ ~v = ~uj ( ~v w)
~ = ~v wj~
~ u = 5:
Resposta correcta: B)
[2,0]
1 2
8 1
9. Considere a matriz A =
e os vectores ~u = (3; 6) e ~v = (1; 1).
Qual das seguintes a…rmações é verdadeira?
A) ~u e ~v são vectores próprios de A:
B) ~u não é vector próprio de A e ~v é vector próprio de A.
C) Nem ~u nem ~v são vectores próprios de A:
D) ~u é vector próprio de A e ~v não é vector próprio de A.
Resolução: ~u é vector próprio de A se existir um escalar
1 2
8 1
e
1 2
8 1
3
6
=
15
30
1
1
=
1
7
=5
6=
tal que A~u = ~u. Como
3
6
1
1
; 8 2 R;
logo ~u é vector próprio de A e ~v não é vector próprio de A.
Resposta correcta: D)
[2,0]
10. Considere a matriz real A =
2 3
e as seguintes a…rmações:
I. Se = 0 e = 1, então E [1] = h( 3; 1)i é o subespaço próprio de A associado ao
valor próprio 1.
2o Teste A - ALGA 2010/11
pág.5
II. Se (3; 2) é vector próprio de A então 3 = 2 .
III. Se
= 0, então
não é valor próprio de A.
IV. Se (2; 2) é vector próprio de A então
+
= 5.
A lista completa das a…rmações correctas é:
A) I e III.
B) I e IV.
C) II e III.
D) III e IV.
Resolução: Temos que se = 0 e = 1 então os vectores próprios de A associados ao
valor próprio 1 são as soluções do sistema homogéneo (A 1I2 ) X = O. Como
2
1
3
0
1
j 0
1 j 0
1 3 j 0
0 0 j 0
=
as referidas soluções são da forma ( 3y; y) com y 6= 0, pelo que, E [1] = h( 3; 1)i : Assim
a a…rmação I é verdadeira.
Por outro lado, se
= 0 então
I2 ) = 0 , det
det (A
é um valor próprio de A, pois
2
3
= 0 , (2
0
)(
)=0,
=2_
= :
Assim, a a…rmação III é falsa.
Quanto à a…rmação II, se (3; 2) é vector próprio de A, tem-se
2 3
3
2
=
logo é obrigatório que
a…rmação II é falsa.
0
3
= 0 e 3
3
2
=
2
2
; para algum escalar
= 0, ou seja, 3
= 2 : Por consequência, a
Finalmente a a…rmação IV é verdadeira pois de
2 3
temos que
2
2
=
10
2 +2
= 5 e 2 + 2 = 10; ou seja
=
2
2
+
= 5.
; para algum
2 R;
Resposta correcta: B)
2o Teste A - ALGA 2010/11
2 R;
pág.6