Matemática 3
Módulo 13
4.
1) Det(A . B) = Det(A) . Det(B)
2) Det(K . A) = Kn . Det(A), onde "n" é a ordem da matriz.
PROPRIEDADES DE DETERMINANTES – II
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES
1.
PARA
Lembrando:
SALA
3
Det(A . 2B) = Det(A) . Det(2B), como Det(2B) = 2 . Det(B),
temos:
II. Det(A . 2B) = Det(A) . 23 . Det(B). Como sabemos que
Det(A) = 3 e Det(B) = 4, então:
III. Det(A . 2B) = 3 . 23 . 4 = 96
I.
Atenção!
Considere a matriz (A–1) como a matriz inversa da matriz
(A). Assim, temos:
1
–1
Det(A ) =
Det(A)
Resposta correta: E
⎛ 4
⎞
⎜ 5 a⎟
–1
⎟ . Assim, temos:
Seja a matriz (A ) = ⎜
⎜ −1 2 ⎟
⎜
⎟
⎝ 5 5⎠
4
a
4 2
8
a
⎛ 1⎞
5
–1
= . – a. ⎜ − ⎟ =
Det(A ) =
+
⇒
−1 2
5 5
5
⎝ 5 ⎠ 25
5 5
8 + 5a
–1
Det(A ) =
25
I.
II.
Como temos Det(A–1) =
8 + 5a
25 ○
5
1
5○
1
=
5.
1) Para que uma matriz seja inversível, temos que seu
determinante seja diferente de zero.
2) Se x1 e x2 são as raízes de uma equação do 2o grau, então
podemos escrevê-la como x2 – (x1 + x2)x + (x1 . x2) = 0,
ou seja, x2 – Sx + P = 0
↓
↓
soma produto
Para que a matriz (AB) seja inversível, então Det(A . B) ≠ 0.
Sabemos que Det(A . B) = Det(A) . Det(B), então temos que Det(A) ≠ 0 e Det(B) ≠ 0.
II. Um determinante é diferente de zero, quando não
temos filas proporcionais, ou seja, quando não formam proporção. Assim temos:
2a
0
3a −1
* Det(A) ≠ 0 ⇒ ≠ a ⇒ (3a )2 ≠ 1⇒ (3) ≠ 3 ⇒ 2a ≠ 0 ⇒
−1 3
⇒a≠ 0 .
I.
1
, então:
Det(A)
⇒ 5a + 8 = 5 ⇒ a = −
3
5
Resposta correta: D
2.
Lembrando:
7a − 1 8a − 3
8a − 3
≠ −3 ⇒ 7(a − 1) − 1 ≠ −1 ⇒ 7a − 2 ≠ 8a − 2 .
7
2
8
Observe que, aparentemente, a sentença é sempre
0
0
verdadeira, porém, quando a = 2, temos 7 ≠ 8 . Assim, temos que "a" também não pode ser 2.
2
III. Como a ≠ 0 e a ≠ 2, então a – 2a ≠ 0.
*
Temos que:
–1
P = 3M
det P–1 = det 3M
1
= 32 . det M
detP
1
9.5
=
detP
1
45 det P = 1
1
det P =
45
Det(B) ≠ 0 ⇒
Resposta correta: D
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS
Resposta correta: A
1.
3.
1 2 3
÷ 3 6 9 12 = − 12
x y z
1
Det(A)−1
2) Det(K A) = Kn . Det(A), onde "n" é a ordem da matriz.
1) Det(A) =
1 2 3
2 3 4
x y z
x
y
Lembrando:
I.
= −4
Det(2A) = 23 . Det(A) = 8 . 5 = 40
–1
3
–1
II. Det(2A ) = 2 . Det(A) = 8 .
z
1 8
=
5 5
III. Det(2 . A) + Det(2 . A–1) = 40 +
2 3 4 =4
1 2 3
8 208
=
5
5
Resposta correta: D
Resposta correta: D
PRÉ-VESTIBULAR
|
VOLUME 4 |
MATEMÁTICA 3
1
2.
Sendo K o valor do determinante:
0
0
1
K = cos x sen x 0
sen y cos y 0
a b c
a 2d g
a d g
Se d e f = k, então b 2e h = 2. b e h .
g h i
c 2f i
c f i
⎛a
⎜
Como ⎜ d
⎜g
⎝
a d g
2⋅ b e h
c f i
K = cos x . cos y – sen x . sen y
π
K = cos (x + y), como x + y =
3
π
K = cos
3
1
K=
2
Para a matriz ser inversível, é necessário que seu determinante seja diferente de zero, sendo K o valor do determinante, então, K ≠ 0.
6.
a) Falso. Na álgebra temos que (A + B) (A – B) = A2 – B2,
como também (A – B) (A + B) = A2 – B2, assim (A + B)
(A – B) = (A – B)(A + B). Na alternativa, temos que A
e B são matrizes, então (A + B) e (A – B) são também
matrizes, logo (A – B) (A + B) ≠ (A + B) (A – B).
b) Falso. Temos por uma propriedade das matrizes que
Det(k A) = kn . Det(A), onde "n" é a ordem da matriz.
Assim Det(2A) = 2n . Det(A) ≠ 2 Det(A).
c) Falso. Somente é verdade quando satisfaz a propriedade da decomposição de uma fila.
e) Falso. Considere uma matriz A3x2 e uma matriz B2x4.
Pela condição do produto, é possível multiplicar A
com B. Porém, se pegarmos as transpostas, temos
t
A 2x3
e B4t x2 e assim não é possível. Desta forma só
podemos garantir que sempre existe, quando são
quadradas.
sen θ cos θ 0 1
K=
sen θ cos θ 0 0
sen θ
1
0 0
0
0
1 0
K = a41 A41 + a42 A42 + a43 A43 + a44 A44
K = 0 . A41 + 0 . A42 + 1 . (– 1)4+3 ⇒
sen θ cos θ 1
sen θ cos θ 0 + 0 . A43
sen θ
1
0
K = – 1 (sen θ – sen θ cos θ)
Como K ≠ 0, então:
sen θ cos θ – sen θ ≠ 0
sen θ (cos θ – 1) ≠ 0
sen θ ≠ 0
ou
θ ≠ 0 + nπ, n ∈
Resposta correta: D
7.
cos θ – 1 ≠ 0
cos θ ≠ 1
det (2 A . At) = 4x
23 det (A . At) = 4x
8 . det A . det At = 4x, como det At = det A, então:
8 . det A . det A = 4x, como det A = 4, então:
8 . 4 . 4 = 4x
x = 32
θ ≠ 0 + n . π, K ∈
Resposta correta: A
Sendo K o valor do determinante, teremos:
a1
3
K = a1q
6
a1q
a1q
4
a1q
7
a1q
Resposta correta: D
2
a1q
a1q
5
8.
8
Resposta correta: B
⎛ 3 −5 ⎞
2o – Troca o sinal da diagonal secundária ⇒ ⎜
⎟
⎝ −1 2 ⎠
Lembrando:
1) Det(A) = Det(A)t, onde At é a transposta de A.
2) Considere "k" um número real e "A" a matriz
⎛ a d g⎞
⎜
⎟
⎜b e h ⎟ .
⎜c f i ⎟
⎝
⎠
a 2d g
a d g
Assim b 2e h = 2 ⋅ b e h = 2.Det(A).
c 2f i
c f i
2
Encontrando P–1:
⎛3 5⎞
o
1 – Troca os elementos da diagonal principal ⇒ ⎜
⎟
⎝ 1 2⎠
a1q
O determinante é nulo, pois 1ª linha x q3 = 2ª linha.
5.
Temos que:
elevado à ordem
Desta maneira, θ ≠ nπ, n ∈
4.
= 2k
Resposta correta: C
Resposta correta: A
3.
b c⎞
⎛ a d g⎞
⎟
⎜
⎟
e f ⎟ é a transposta de ⎜ b e h ⎟ , então
⎜c f i ⎟
h i ⎟⎠
⎝
⎠
PRÉ-VESTIBULAR
|
⎛ 3 /1 −5 /1⎞
3o – Divide todos os elementos por det P ⇒ ⎜
⎟
⎝ −1/1 2 /1 ⎠
Desta maneira:
⎛ 3 −5 ⎞
–1
P = ⎜
⎟
⎝ −1 2 ⎠
VOLUME 4 |
MATEMÁTICA 3
12. Para i < j, teremos aij = 0, ou seja, a12 = a13 = a23 = 0.
Sendo assim:
⎛ 2 5 ⎞ ⎛ 3 −5 ⎞ ⎛ 5 0 ⎞
–1
P+P = ⎜
⎟+⎜
⎟=⎜
⎟
⎝ 1 3 ⎠ ⎝ −1 2 ⎠ ⎝ 0 5 ⎠
Portanto:
5 0
= 25
det (P + P–1) =
0 5
Para i ≥ j, teremos aij =
⎛ 1⎞
a11 = ⎜ ⎟ = 1
⎝ 1⎠
⎛2⎞
a21 = ⎜ ⎟ = 2
⎝1 ⎠
i=1ej=1 ⇒
i=2ej=1 ⇒
Resposta correta: C
9.
O determinante se trata de um determinante de Vandermond:
k=
1
og8
1
og80
2
( og80)
3
( og80)
( og8)
( og8)
1
og800
1
og8000
2
( og800)
3
( og800)
( og8000)
2
3
( og8000)
3
i=3ej=3 ⇒
8000 – og 8) . ( og 800 – og 80) . ( og 800 – og 8) .
Desta maneira:
( og 80 – og 8)
k=
8000
8000
8000
800
800
. og
. og
. og
. og
.
800
80
8
80
8
80
. og
8
og
og 10 . og 100 . og 1000 . og 10 . og 100 . og 10
k = 1 . 2 . 3 . 1 . 2 . 1 ⇒ k = 12
Resposta correta: A
10.
I.
Considere a matriz "A" de ordem 2 e determinante 6.
⎛ a1 a3 ⎞
A=⎜
⎟
⎝ a2 a4 ⎠
II. Multiplicando a primeira linha por 2 e a segunda por 3,
temos a matriz B.
⎛ 2a1 2a3 ⎞
B=⎜
⎟
⎝ 3a2 3a4 ⎠
III. Assim Det(B) = 2 . 3 . Det(A) ⇒ Det(B) = 6 . 6 ⇒
Det(B) = 36
Resposta correta: C
Assim:
a + m +1 b + n +1 c + p +1
Det(m) =
1
2x
1
2y
1
2z
x
+
(–1) = ⇒
a+m b +n c +p
1
2y
=⇒
1
2z
a+n b +n c +p
⎛ a 5 2⎞
⎜
⎟
t
A = ⎜b 3 4⎟
⎜c 2 6⎟
⎝
⎠
det A =
13. Seja a matriz:
⎛ a + m + 1 b + n + 1 c + p + 1⎞
⎜
⎟
m= ⎜
1
1
1 ⎟.
⎜ 2x
2y
2z ⎟⎠
⎝
1
2x
11. Sabemos que det At = det A, então:
a 5
⎛ 1 0 0⎞
⎜
⎟
A = ⎜2 1 0⎟
⎜ 3 3 1⎟
⎝
⎠
det A = 1
1
det A–1 =
det A
det A–1 = 1
Portanto:
67 + det A–1 = 68
Resposta correta: B
t
⎛ 3⎞
a32 = ⎜ ⎟ = 3
⎝2⎠
⎛ 3⎞
a33 = ⎜ ⎟ = 1
⎝ 3⎠
i=3ej=2 ⇒
k = ( og 8000 – og 800) . ( og 8000 – og 80) . ( og
k=
⎛ 3⎞
a31 = ⎜ ⎟ = 3
⎝1 ⎠
⎛2⎞
a22 = ⎜ ⎟ = 1
⎝2⎠
i=3ej=1 ⇒
i=2ej=2 ⇒
2
( ĵ ) . Atribuindo valores a i e j:
– 2x
1
2y
1
=⇒
2z
1
a+m b +n c +p
–2
2 .1
b 3 2 .2
c 2 2 .3
x
1
a b c
x
a 5 1
det A = 2 b 3 2
c 2 3
y
1
m n p
y z + x
1 1 1
1
y
A
B
–2(A + B) = –2A −2B
Resposta correta: A
Resposta correta: A
|
VOLUME 4 |
z
=⇒
1 1
det A = 2 det B
PRÉ-VESTIBULAR
=⇒
z
1
MATEMÁTICA 3
3
14. Atenção!
1) ogab = ogac ⇔ b = c
2) Det (K . A) = kn . Det (A), em que “A” é a matriz
quadrada de ordem “n”.
3) Det (A . B) = Det (A) . Det (B), em que “A” e “B”
são matrizes quadradas de ordem “n”.
I.
Como “A” é a matriz quadrada de ordem 5, então
temos que n = 5.
II.
Det(2 . A–1) = 25 . Det(A–1).
III.
Det(2A)–1 = Det(2–1 . A–1) = (2–1)5 . Det(A–1) = ⇒
2–5 . Det(A–1).
1
Como Det(A–1) =
, então temos:
Det(A)
5
IV. Det(2 . A–1) = 25 . Det(A–1) = 25 .
2
1
=
Det(A)
Det(A)
−5
V.
Det(2–1 . A–1) = 2–5 . Det(A–1) = 2–5 .
1
2
=
Det(A) Det(A)
VI. og3 Det(2 . A–1) = og27 Det(2A)–1 ⇒
og3 Det(2 . A–1) = og33 Det(2A)–1 ⇒
og3 Det(2A–1) =
1
. og3 Det(2A)–1 ⇒
3
−1
og3 Det(2A ) =
(
(
og3 Det(2A)
Det(2A)–1 = Det(2A)
)
1
−1 3
)
1
−1 3
⇒
5
⇒
2
=⇒
Det(A)
3
1
1
3
⎡
⎤
⎛ 2−5 ⎞ 3
⎛ 25 ⎞
⎛ 2−5 ⎞ 3 ⎥
⎢
⎟⎟ ⎥ ⇒
⎜⎜
⎟⎟ ⇒ ⎜⎜
⎟⎟ = ⎢⎜⎜
Det(A) ⎠
⎝ Det(A) ⎠
⎝ Det(A) ⎠
⎢⎣⎝
⎥⎦
15
−5
15
(Det(A))
2
2
2
⇒ −5 =
=
3
Det(A)
Det(A)
Det(A)
2
220 = (Det(A) ) ⇒
2
2
20
(Det(A) )
=
2
3
⇒
⇒
10
2 = Det(A)
Resposta correta: B
15. Atenção!
1)
2)
Det(A . B) = Det(A) . Det(B)
1
Det(A–1) =
Det(A)
Assim:
Det (4A . B–1) = Det (4A) . Det (B–1). Como a ordem das
matrizes é n, então:
Det (4A . B–1) = Det(4A) . Det (B–1) = ⇒
n
4n . Det(A) .
n
1
4 Det(A)
4 .a
=
=
Det(B)
Det(B)
b
Resposta correta: A
4
PRÉ-VESTIBULAR
|
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MATEMÁTICA 3