PROVA DE MATEMÁTICA - TURMAS DO 3o ANO DO ENSINO MÉDIO
COLÉGIO ANCHIETA-BA - JUNHO DE 2012.
ELABORAÇÃO: PROFESSORES ADRIANO CARIBÉ
E WALTER PORTO.
RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA
QUESTÃO 01
15% dos membros de uma população foram afetados por uma doença epidêmica. 8% das pessoas
afetadas morreram. A porcentagem de mortalidade relativamente à população inicial, é:
01) 23%
02) 12%
03) 7%
04) 1,2%
05) 0,8%
RESOLUÇÃO:
Seja x o número da população inicial.
0,15x dessa população foram afetados por uma doença epidêmica.
Destes, 8% morreram, logo 0,08. 0,15x = 0,012x = 1,2% de x.
RESPOSTA: Alternativa 04
QUESTÃO 02
Um tanque de um pesque-pague contém apenas 12 peixes, sendo 75% destes carpas. Um usuário do
pesque-pague lança uma rede no tanque e pesca apenas 10 peixes. Sabe-se que a probabilidade de que
ele tenha pescado exatamente 8 carpas é igual à fração irredutível a/b. O valor numérico de a + b é:
01) 23
02) 25
03) 27
04) 29
05) 31
RESOLUÇÃO:
Os carpas contidos no tanque são em número de 0,75 × 12 = 9.
O número de possibilidades do usuário pescar exatamente 9 carpas é: C9,8 × C3,1 = 9 × 3 = 27 .
O número de possibilidades do usuário pescar 10 peixes é: C12,10 = C12,2 =
A probabilidade pedida é: p =
RESPOSTA: Alternativa 05.
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27 9 a
=
= , logo, a + b = 31.
66 22 b
12 ×11
= 66.
2
QUESTÃO 03
8


Em relação ao desenvolvimento do binômio  2 x 2 +
1
 , foram feitas as seguintes afirmações:
x
I) Este desenvolvimento possui 9 termos.
II) O termo médio desse binômio é aquele que possui o maior de todos os coeficientes.
III) Não existe termo independente de x.
01) Existe apenas uma alternativa correta
02) Somente as alternativas I e II estão corretas
03) Somente as alternativas I e III estão corretas
04) Somente as alternativas II e III estão corretas
05) Todas as alternativas estão corretas ou todas são falsas.
RESOLUÇÃO:
I) VERDADEIRA.
8
1

O desenvolvimento do binômio  2 x 2 +  tem 8 + 1 = 9 termos.
x

II) FALSA.
O termo médio desse binômio é o de número
9 +1
= 5.
2
Os coeficientes do desenvolvimento desse binômio são:
C 8,0 × 28 = 256, C 8,1 × 2 7 = 1024, C 8,2 × 2 6 = 1792, C 8,3 × 2 5 = 1792, C 8,4 × 2 4 = 1120, C 8,5 × 2 3 = 448, C 8,6 × 2 2 = 112,
C 8,7 × 2 = 16, C 8,8 × 2 0 = 1.
Onde C8,4 × 2 4 = 1120 é o coeficiente do quinto termo que não é o maior coeficiente.
III) VERDADEIRA.
8
1

O termo geral do desenvolvimento de  2 x 2 +  é dado pela expressão
x

p
1
8− p 2
x
  = C 8,p 2
x
8− p 
( )
Tp +1 = C 8,p 2x 2
8− p
−1 p
( ) (x ) .
Logo no termo independente de x deve-se ter: 16 – 2p – p = 0 ⇒ p = 16/3, o que é impossível, pois o
8
1

valor de p deve ser um número natural. Conclui-se que no desenvolvimento de  2 x 2 +  não exste
x

termo independente de x.
RESPOSTA: Alternativa 03.
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2
QUESTÃO 04
Sobre Geometria Plana considere as seguintes afirmativas:
(I) Se na figura ao lado, as retas r e s são
paralelas, então a medida x do ângulo
assinalado é 35°.
(II) Se na circunferência ao lado, de
centro O, os ângulos BÂO e AÔC medem
respectivamente 28° e 140°, então a
medida x do ângulo assinalado é 42°.
(III) Se o triangulo ABC tem lados medindo AB = 13, AC = 13 e BC = 10, então o raio da circunferência
inscrita no triângulo ABC é menor que 4.
Podemos afirmar que:
01) apenas a afirmativa I é falsa.
02) apenas a afirmativa II é falsa.
03) apenas a afirmativa III é falsa.
04) apenas uma afirmativa é verdadeira.
05) todas as afirmativas são verdadeiras.
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RESOLUÇÃO:
(I) VERDADEIRA.
Denominando de C e E, respectivamente, os vértices dos ângulos
de 80° e 100°, e por esses pontos passando as retas u e t
paralelas às retas r e s, tem-se a figura ao lado.
Nesta figura
AB̂C e BĈD
são ângulos colaterais internos,
DĈE e CÊF são ângulos alternos internos e FÊG e HĜI são
ângulos
correspondentes,
todos
formados
por
paralelas
e
transversais.
Do triângulo HGI, vem que a medida x do ângulo assinalado é 35°.
(II) VERDADEIRA.
Na circunferência dada, prolonga-se o raio OC determinando em
AB o ponto D. O ângulo BD̂O externo ao triângulo ADO mede
68°. O ângulo inscrito AB̂C mede 70°.
Como x +70° + 68° = 180°, então x mede 42°.
(III) VERDADEIRA
Na figura ao lado tem-se o triângulo ABC da questão onde foram
traçadas a altura relativa à base e a circunferência inscrita nesse
triângulo.
Resolvendo o triângulo retângulo AHC tem-se a altura h do triângulo
AHC: h 2 = 25 + 169 ⇒ h 2 = 144 ⇒ h = 12 .
Os triângulos AHC e ADO são semelhantes, então:
h − r 13 12 − r 13
= ⇒
= ⇒ 60 − 5r = 13r ⇒ 18r = 60 ⇒ r = 3,33..
r
5
r
5
RESPOSTA: Alternativa 05
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4
QUESTÃO 05 (UNIOESTE)
x2
7,5
A equação
10
1
que
0
0
0
1
x − 1/10
5
2
= 0 possui duas raízes. A respeito destas raízes pode-se afirmar
4
2
1
1
01) uma delas é nula.
02) sua soma é 1.
03) seu produto é 1.
04) sua soma é –1.
05) seu produto é –1.
RESOLUÇÃO:
x2
0 x − 1/10
7,5 0 5
2
10
1
2
1
0 4
1 1
x2
4+ 2
= 0 ⇒ 1(− 1)
2x 2 + 5x + 2 = 0 ⇒ x'.x' ' =
x −
7,5 5
10 4
1
10
2 = 0 ⇒ 10x 2 − 3 + 20x + 5 − 8x 2 − 15x = 0 ⇒
2
2
=1
2
RESPOSTA: Alternativa 03.
QUESTÃO 06
Na figura abaixo, a reta t é tangente a circunferência de centro 0.
Calcule a medida x do ângulo assinalado:
01) 20°
02) 30°
03) 40°
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04)50°
5
05) 60°
RESOLUÇÃO:
Como o ângulo de segmento FÂE mede 70°, o menor arco AC mede
140°.
Se a medida do ângulo DB̂C é x, a medida do arco CD é 2x.
Sendo 80° a medida do ângulo excêntrico interno AÊB, então,
2x + y
= 80° ⇒ 2x + y = 160° (I) .
2
Da figura tem-se também 140° − 2x + y = 180° ⇒ −2x + y = 40° (II)
Resolvendo o sistema formado pelas equações (I) e (II) :
2y = 200°
2x + y = 160°

⇒  y = 100°

− 2x + y = 40° x = 30°

RESPOSTA: Alternativa 02.
QUESTÃO 07
2x + y = 4
, podemos afirmar que a
px
+
(p
−
2)y
=
1
+
p

(UEPB) Em relação ao sistema linear nas variáveis x, y 
única alternativa correta é:
01) O sistema admite solução qualquer que seja “p” real
02) Se p = 4, o sistema tem infinitas soluções
03) O sistema não admite solução para p ≠ 4
04) Se p = 4, o sistema não tem solução
05) O sistema admite solução única se p = 4
RESOLUÇÃO:
2x + y = 4

px + (p − 2)y = 1 + p
Seja A a matriz formada pelos coeficientes das variáveis:
1 
2
1
2
A=
⇒ det(A) = ∆ =
= 2p − 4 − p = p − 4 .

p p−2
 p p − 2
O sistema somente terá solução para ∆ ≠ 0 ⇒ p – 4 ≠ 0 ⇒ p ≠ 4
RESPOSTA: Alternativa 04.
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QUESTÃO 08 (BAHIANA 2010.2)
O origami é uma tradicional arte japonesa de criar seres ou objetos através
de dobras geométricas de uma peça de papel, sem cortá-la ou colá-la, com
o objetivo de desenvolver a atenção, a coordenação motora e,
consequentemente, o cérebro.
Para fazer um objeto, utilizou-se uma peça quadrada de papel,
representada na figura, sendo que a primeira dobra foi feita levando-se o
canto inferior esquerdo do quadrado a um ponto P da diagonal AC, de tal
modo que o triângulo MNP fosse isósceles e o MNC, equilátero.
Tendo o triângulo MNP hipotenusa igual a 8 2 cm , o valor que mais se aproxima do perímetro, em cm,
da peça quadrada de papel utilizada é:
01) 36
02) 40
03) 44
04) 48
05) 52
RESOLUÇÃO:
Sendo MNC, um triângulo equilátero e se MN mede 8 2 cm ,
também tem essa medida.
MC
Como o triângulo MNP é retângulo e isósceles, os catetos AM e AN
medem 8 cm, logo MD = l – 8.
Resolvendo o triângulo retângulo CDM:
l 2 + (l − 8) 2 = 128 ⇒ 2l 2 − 16l + 64 = 128 ⇒ l 2 − 8l − 32 = 0 ⇒
8 ± 64 + 128 8 ± 192 8 ± 13,86
8 + 13,86
=
≅
⇒l=
= 10,93 ≅ 11 ⇒
2
2
2
2
4l = 44
l=
RESPOSTA: Alternativa 03.
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QUESTÃO 09
1 4 x 0
1



 − 1 8 y − 1
 −1
Sejam as matrizes A = 
, B=

1 24 z 1
1



 2 16 t 2 
2



1
0
x

2 −1 y
com x, y, z e t números reais. Sabendo
6 1 z

4 2 t 
que
det A = – 20, então det (2B–1) é um número N tal que:
01) N < –5
02) –5 < N < –1
03) –1 < N < 1
04) 1 < N < 5
05) N > 5
RESOLUÇÃO:
1 4 x 0


 − 1 8 y − 1
⇒ det A =
Se A = 
1 24 z 1 


 2 16 t 2 


1
1 x
0
−1 2 y −1
1
6 z
1
2
4
2
t
1

−1
Como B = 
1

2

1
= −5 ⇒
1
1
0
1
4
x
−1
8
y −1
1
24 z
1
2
16
2
t
0
1
⇒4
1 x
0
−1 2 y −1
1
6 z
1
2
4
2
t
= −20 ⇒
x
−1 2 −1 y
1
6
1
z
2
4
2
t
=5
0
x

2 −1 y
1
1 16
⇒ detB = 5 ⇒ detB −1 = ⇒ N = det 2B −1 = 2 4 × =
= 3,2 .

6 1 z
5
5 5

4 2 t 
(
RESPOSTA: Alternativa 04.
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)
QUESTÃO 10
Na figura abaixo, AB é o diâmetro da circunferência maior e as quatro
circunferências são todas tangentes entre si. Sabendo que o diâmetro da
circunferência menor mede 20 cm, calcule o diâmetro da circunferência
maior.
01) 40 cm
02) 48 cm
03) 80 cm
04) 60 cm
05) 64 cm
RESOLUÇÃO:
De acordo com a figura ao lado, o diâmetro da circunferência
maior mede 4r.
Na figura, ligando-se os pontos D, O e C tem-se o triângulo
retângulo DOC. Resolvendo este triângulo:
(2r − 10)2 + r 2 = (r + 10) 2 ⇒ 5r 2 − 40r + 100 = r 2 + 20r + 100 ⇒
4r 2 − 60r = 0 ⇒ r = 15 ⇒ 4r = 60.
RESPOSTA: Alternativa 04.
QUESTÃO 11
. Três esferas rígidas estão imóveis em uma superfície plana horizontal, sendo que cada esfera está
encostada nas outras duas. Dado que a maior delas tem um raio de 4 cm e as outras duas têm raios de
1 cm, os pontos em que as esferas tocam o chão formam um triângulo cujo perímetro é:
01) Menor que 10 cm.
02) 10 cm.
03) Maior que 10 cm e menor que 12 cm.
04) 12 cm.
05) Maior que 12 cm.
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RESOLUÇÃO:
FIGURA I
FIGURA II
FIGURA I :
Ligando-se o centro da esfera maior ao centro da esfera menor, a ela tangente sendo T o ponto de
tangência, e projetando ortogonalmente o centro A ao raio OC , tem-se o triângulo retângulo ABO.
Resolvendo este triângulo: 9 + x 2 = 25 ⇒ AB = x = 4
Procedendo-se do mesmo modo em relação a outra esfera menor tem-se BF = 4.
FIGURA II
Projetando-se ortogonalmente o triângulo AOB sobre o plano α determina-se o triângulo CDE cujos lados
medem 4cm, 4cm e 2cm e cujo perímetro é 10cm.
RESPOSTA: Alternativa 02.
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QUESTÃO 12
BENEFICIÁRIO
FEV/10
VALOR DA
CONTRIBUIÇÃ
R$ 200,00
MAR/10
R$ 203,00
Guilherme
ABR/10
R$ 206,00
Zé Carlos
MÊS
Em 2010, Marília organizou um caixa do
qual participaram 11 pessoas
Em 2010, Marília organizou um caixa do
qual participaram11 pessoas e que teve
duração de 11 meses.
Todo o mês 10 pessoas contribuiam com
uma certa quantia e uma recebia total
arrecadado com as contribuições das
demais. Ficou combinado entre os
participantes que o valor da contribuição de
cada mês seria R$3,00 maior que a
contribuição do mês anterior. Na tabela ao
lado temos o beneficiário de cada mês e o
valor das contribuições dos três primeiros
meses:
Marília
MAI/10
Wanderlei
JUN/10
Marcelo
JUL/10
Valença
AGO/10
Caribé
SET/10
Edvaldo
OUT/10
Lílian
NOV/10
Cátia
DEZ/10
Chico
Ao final do caixa, em dezembro de 2010, depois de efetuadas todas as contribuições, podemos afirmar
que Chico:
01) não obteve lucro nem prejuízo com esse caixa.
02) lucrou R$ 300,00.
03) lucrou R$ 185,00.
04) lucrou R$ 165,00.
05) lucrou R$ 150,00.
RESOLUÇÃO:
Os valores pagos por Chico, de fevereiro a novembro, formam uma PA de 10 termos onde o primeiro é
200 e o último é 200 + (10 – 1 ). 3 = 227. Sendo assim o valor total pago por Chico foi a soma dos termos
desta PA que é
(200 + 227).10
= 2135 .
2
No mês de dezembro as contribuições foram de 227 + 3 = 230. Como 10 pessoas contribuíram Chico
recebeu 230 x 10 = 2300. Portanto Chico Lucrou 2300 – 2135 = 165.
RESPOSTA: Alternativa 04.
12-35206(S)_1ªAval-Matem-3ªEM-U1-(prof)-20-03_nil
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