Matemática II- 2004/05 - Oceanogra…a
12
52. (a) Calcule o sinal das seguintes permutações:
(i) (5; 4; 3; 2; 1)
(ii) (2; 5; 3; 6; 4; 1)
(b) Calcule os seguintes determinantes usando a de…nição:
2
2
3
0
0 0
0
0
3
6 0
6 0 0
6
0
4
0 7
6
7
6 0
7
6
0
0
1
0
0
(i) det 6
(ii)
det
6
7
6 0
6
4 0 2
0
0
0 5
4 0
5 0
0
0
0
5
4
0
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
1
0
0
0
0
3
0
0
0
2
0
0
7
7
7
7
7
7
5
53. Seja A = [aij ] uma matriz de ordem 6 cujas únicas entradas não nulas estão nas
posições (1; 3) ; (2; 1) ; (3; 4) ; (4; 6) ; (5; 2) ; (6; 5) : Assinale a resposta correcta:
det (A) = a13 a21 a34 a46 a52 a65
det (A) =
a13 a21 a34 a46 a52 a65
det (A) = 0
det (A) = a11 a22 a33 a44 a55 a66
54. Calcule:
1 2
3 3
(a) det
1
1
(c) det
2
(e) det 4
2
1
1
3
3
1 5
2
1 2
3 2
2 0
55. Determine os valores de
(a)
(b)
1+
(d) det 4
2
1
1
1
sin
cos
1
1
0
1
1
4
(f) det 0 cos
0 sin
2 R:
;
3
1
0 5
1
1
sin
cos
3
5;
2 R:
para os quais as seguintes matrizes são invertíveis:
.
1
+1
cos
sin
(b) det
2
1
56. Se possível, dê exemplos de:
(a) Uma matriz do tipo 2
3 com determinante igual a 2.
(b) Uma matriz de ordem 3, com as entradas todas diferentes e determinante nulo.
p
2
:
(c) Uma matriz de ordem três com determinante
3
p
2
(d) Uma matriz de ordem três, sem entradas nulas e com determinante
:
3
(e) Uma matriz escalar, de ordem quatro, com determinante igual a 4:
(f) Uma matriz escalar, de ordem quatro, com determinante igual a 16:
(g) Uma matriz de ordem quatro, com a primeira coluna nula, e determinante 5.
Matemática II- 2004/05 - Oceanogra…a
13
57. Calcule o determinante de cada uma das seguintes matrizes:
3
2 p
2 p
3
3 0 1
3 0 1
0
1 0 5
(b) 4 p
(a) 4 0 1 p0 5
3 0 3
3
3
2
3
2 1 0
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
6 2 0 2 2 2 2 7
6 2 0 2 2 2 2 7
7
6
7
6
6 3 3 0 3 3 3 7
6 3 3 0 3 3 3 7
7
6
7
6
(d) 6
(c) 6
7
7
4
4
4
4
4
4
4
4
4
0
4
4
7
6
7
6
4 5 5 5 5 0 5 5
4 5 5 5 5 0 5 5
2 6 6 6 6 6 0
2 1 1 1 1 1 1
3
59
43
59
2735
3
2735
0
6
6
7
6
6
9
6
6
7
6
6
7
9
9
6 27
6 27
7
2
0
2i
0
221
6
6
7
5
5
6
6
7
333 7
6 83
6 83
(f) 6
(e) 6
7
0 37 0
0
37 0
6 5
6 5
7
45
6
6
7
59
9
6
6
7
3
2 0
6 2735
6 987 31
7
6
7
6
6
5
4
4
5
9
8
8
9
24 0
24 0
2292
5
5
5
5
2
3
a b c
58. Seja A = 4 d e f 5 : Sabendo que det A = 5; calcule:
g h i
2
3
2
g h i
a
b
2e
(a) det 4 d e f 5 :
(b) det 4 2d
3h
2 a b c
3
2 3g
g
h
i
a 2d d
(c) det 4 a d b e c f 5
(d) det 4 b 2e e
a
b
c
c 2f f
59. Calcule o
2
1
6 2
6
6 3
A=6
6 4
6
4 5
26
6
6 6
6
6 6
C=6
6 6
6
4 6
0
determinante de cada uma das seguintes matrizes:
3
2
1 1 1 1 1
6
0 2 2 2 2 7
7
6
6
3 0 3 3 3 7
7
B=6
7
6
4 4 0 4 4 7
6
4
5 5 5 0 5 5
6 6 6 6 0 3
2
2 3 4 5 1
6
0 3 4 5 1 7
7
6
6
2 0 4 5 1 7
7
D=6
7
6
2 3 0 5 1 7
6
4
2 3 4 0 1 5
2 3 4 5 1
2
3
3 0
0 0
6 0
1 0 7
7 é:
60. O valor do determinante da matriz A = 6
4 0
1 0 5
0 0
0 2
12
0
12
43
9
3
7
7
7
221 7
7
7
333 7
7
45 7
7
43
7
7
7
9
5
2292
3
4c
8f 5
12i
3
5g
5h 5
5i
3
1 2 3 4 5 6
1 0 3 4 5 6 7
7
1 2 0 4 5 6 7
7
1 2 3 0 5 6 7
7
1 2 3 4 0 6 5
1 2 3 4 5 0 3
31 2 3 4 5 6
31 0 3 4 5 6 7
7
31 2 0 4 5 6 7
7
31 2 3 0 5 6 7
7
31 2 3 4 0 6 5
31 2 3 4 5 0
2
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61. Diga, justi…cando, se é verdadeira ou falsa cada uma das a…rmações:
(a) Se A; B são matrizes de ordem n e det A = det B; então A = B:
(b) Para quaisquer matrizes A; B de ordem n, det (A + B) 6= det A + det B:
(c) Se A é uma matriz de ordem n e
2 R, então det ( A) =
(d) Se A é uma matriz de ordem n e
2 R, então det ( A) =
det A:
n
det A:
(e) Se A é uma matriz de ordem n; com n ímpar, então det ( A) =
det A:
(f) Se A é uma matriz de ordem n, com n par, então det ( A) = det A:
(g) Se A é uma matriz de ordem n e a diagonal principal de A é não nula então A
é invertível.
62. Seja A uma matriz de ordem n; invertível, com n ímpar. Sabendo que det A =
determine:
(b) det (A3 )
(a) det ( A)
2
6
63. Considere a matriz A = 6
4
que:
1
1
3
(c) det (A 1 )
3
2
1
(d) det
1
A
2
4;
1
3
1
1 7
7 : Se possível, complete A de modo a
2 5
(a) det (A) = 0
(b) det (A) =
5
64. Sejam A; B matrizes de ordem n: Mostre que:
(a) Se AB é uma matriz invertível então A e B também o são.
(b) Se AB não é uma matriz invertível então pelo menos uma das duas matrizes A
ou B também não é invertível.
65. Considere duas matrizes de ordem 3, A e B; e a seguinte lista de a…rmações:
(i) det (AB) = det (BA)
(ii) Se det A = 0 e det B = 0; então det (A + B) = 0:
(iii) det (2AB) = 8 det (AB)
Assinale qual a lista correcta das a…rmações verdadeiras:
(i) e (ii).
(i) e (iii)
(ii) e (iii)
(i), (ii) e (iii)
66. Sejam A; B matrizes de ordem 3; tais que det (A) =
det
( 2B)
1 3
>
3 e det (AB) =
2. Calcule
:
67. Sabendo que A e B são matrizes de ordem 3 tais que det (2 (AB)) = 64 , det(B) > 0
3
e det (AB 1 ) = 8; calcule det (A) e det (B) :
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15
68. Sabendo que A e B são matrizes de ordem 3 tais que det (2 (AB)) = 24 , det(B) > 0
3
e det (AB 1 ) = 27; então:
det (A) = 4 e det (B) = 3
det (A) = 1 e det (B) = 3
6
6
6
70. Considere as matrizes A = 6
6
6
4
2
1
0
2
se possível:
(a) det A e det B:
1
det (A) = 3 e det (B) = 1
69. Calcule o determinante das seguintes matrizes:
3
2
3
2
2
0
0
0
1
1
1
1
1
7
6
7
6
7
6
9
7
6
7
6 2 2
0
2
1
2
2
3
2
7
6
7
6
5
7
6
7
6
7
6
5
7
6
A=6 4 5 5
B=6 1 2 1 1 1 7
2
7
6
7
4 7
6
9
7
6
7
6
7
6
3
1
1
1
0
0 7
6 1 0
5
4
5
5
4
1 5 8 7 1
0
2 0
0
3
2
2
1 1 1 1 1
5 5 5 5 5
6
7
6
6
7
6
6 1 2 2 3 2 7
6 5 10 10 15 10
6
7
6
6
7
6
C=6 1 2 1 1 1 7
D = 6 5 10 5 5 5
6
7
6
6
7
6
6 5 9 15 5 5 7
6 5 9 15 5 5
4
5
4
1 5 8 7 1
5 10 40 35 5
2
3 e det (B) =
det (A) =
0 2 0
3
2
7
6
7
6
6
1 2 2 7
7eB=6
7
6
6
1 1 0 7
4
5
2 0 1
(b) det AT e det
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
2
0 1
3
3 1
1
2 1
2
1 0
3B T :
(e) det (A 1 ) e det (B 1 ) :
2
3
k
0
1 7
7
6
7
6
6 1
1
0 1 7
7 = 0 são:
6
71. As soluções da equação det 6
7
6 0
1
1 0 7
4
5
1
0
1 k
p
p
k = 7; k =
7
k = 1; k = 1
3
1
3
7
7
3 7
7 : Calcule,
7
0 7
5
1
(c) det (AB) e det (BA) :
(d) det ( 2B 2 ) :
k=
7
k=0
72. Sejam A; B matrizes de ordem n: Diga, justi…cando, se é verdadeira ou falsa cada
uma das a…rmações:
(a) AB = BA ) det (A2
B 2 ) = det (A + B) det (A
2
(b) [det (A + B)] = det A + det B + 2 det (AB) :
(c) det (A + B) = det AT + B T :
(d) Se A
1
= AT , então jdet Aj = 1:
B) :
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2
6
6
73. Sejam A = 6
4
74.
75.
76.
77.
78.
1
1
0
3
2
7
7
0 7e B = 4
5
1
1
16
1 0 2
3 1 3
3
5:
Calcule det (AB) e det (BA) :Será que o resultado obtido contradiz a propriedade
estudada sobre o determinante do produto de duas matrizes?
2
3
2
1
3
6
7
6
7
Seja A = 6 3
1
5 7 : Calcule:
4
5
1
2
3
b
(a) det A:
(b) A:
(c) adj (A) :
(d) A 1 :
2
3
1 k k 2
6
7
6
7
6 0 1 3 1 7
7 ; k 2 R:
Considere a matriz A = 6
6
7
6 1 k 1 2k 7
4
5
0 0 k 0
(a) Calcule adj (A) :
(b) Determine os valores de k para os quais det A = 4:
(c) Para os valores determinados na alínea anterior calcule A 1
2
3
1
3
6
7
6
7
Considere a matriz real A = 6 0
1
3 7 ; ; 2 R:
4
5
1
2
(a) Utilizando determinantes calcule os valores de e para os quais carA < 3:
(b) Diga para que valores de e a matriz A é invertível.
(c) Calcule A 1 , para todos os valores encontrados em (b):
2
3
2
+
6
7
6
7
Considere a matriz A = 6 1
7 ; ; 2 R:
4
5
2
+
+
(a) Determine para que valores de e a matriz A é invertível.
(b) Para um dos pares e encontrados em (a), calcule a primeira coluna de A 1 :
2
3
1 0 0 0
6
7
6
7
6 0 a 0 b 7
6
7.
Considere, para a; b; c; d 2 R; a matriz A = 6
7
6 0 0 2 0 7
4
5
0 c 0 d
(a) Determine o produto de A pela sua adjunta.
(b) Calcule a entrada (4,2) de adj (A) :
(c) Determine, se existirem, os valores reais de a; b; c; d para os quais A é invertível: