Exercícios de Determinante ()
Álgebra Linear II (MAE125)
Prof. Marco Cabral (IM/UFRJ) e
Prof. Paulo Goldfeld (IM/UFRJ)
Licença Creative Commons
(nenhuma solução/uma
única solução/infinitas soluções);
(c) se B = [u|v] então u
(é
múltiplo de v / é perpendicular a v / pode ser ou
não múltiplo de v)
;
(d) se B = [u|v|w] então u
Exercícios de Fixação
(é múltiplo de v / é perpendicular a w / é múltiplo
de v + w / pertence ao plano gerado por v e w /
pode pertencer ou não ao plano gerado por v e w);
Exercício 1. Se det(A) = 0 então
(a) colunas de A são
(LIs/LDs);
(b) linhas de A são
(LIs/LDs).
Exercício 6. A, B, C são matrizes quadradas.
(a) det(A+B)
(=, 6=) det(A)+det(B);
(b) det(AB)
(=, 6=) det(A) det(B);
(c) Se det(A) = −3, det(B) = 2 e
.
det(C) = 5, então det(ABC) =
Exercício 2. B uma matriz quadrada.
(a) se uma linha é múltipla de outra
então B
(possui/não possui) inversa;
(b) se nenhuma linha é múltipla de nenhuma outra então
(det(B) 6= 0,
det(B) = 0, nada podemos afirmar).
Exercício 7. Se A é uma matriz n × n e
λ ∈ R com det(A) = −3 então:
(a) det(At ) =
;
(b) det(A−1 ) =
;
t
(c) det(A A) =
;
(d) det(A + A) =
;
(e) det(3A) =
;
(f) det(A5 /3) =
;
(g) det(λA) =
.
Exercício 3. A = [u|v|w] com det(A) = 7.
;
(a) det[u + 3u|v|w] =
(b) det[u|3v − w|w] =
;
(c) det[2v|w|u]
=
; 

wt
(d) det  v t + ut − wt  =
;
t
u
 t

u + ut
(e) det  v t + v t  =
.
wt + wt
Exercício 4.

1 1 1 1
 1 1 1 1 

(a) det 
 1 1 1 1 = ;
1 1 1 1


1 1 1 1
 0 2 1 1 

(b) det 
 0 0 3 1 = ;
0 0 0 4


1 2 ... n

.. =
(c) det  ... ... ...
.
. 
1 2 ... n
Exercício 5. B quadrada
 = 0.
 comdet(B)
x
1
(a) O sistema B  y  =  2  possui
z
3
(nenhuma solução/uma
Exercício 8. Seja T : V → V linear.
(a) ker T 6= {0} se, e somente se det T
(= 0, 6= 0);
(b) det T = 5 então dim ker T
(= 5, = 0, 6= 0);
(c) se ker T = {0} então det T
(= 0,
6= 0);
(d) se existe T −1 então det T
(= 1, = −1, = 0, 6= 0)
(e) se T é bijeção então det T
(= 0, 6= 0).
Exercício 9. Seja A 4 × 4.
(a) se posto(A) = 4 então det A
(= 0, 6= 0);
(b) se posto(A) = 2 então det A =
(= 0, 6= 0);
(c) se det(A) = 3 então posto(A) =
(0, 1, 2, 3, 4);
(d) se det(A) = 0 então posto(A)
(= 0, = 1, = 2, = 3, = 4, > 0, > 2, < 4).
2 3
Exercício 10. A =
e det(A) =
a b
4.
única solução/infinitas soluções/nenhuma ou infinitas soluções);

  
x
0
(b) o sistema B  y  =  0  possui
z
0
1
(a) O sistema A
x
y
=
1
2
· Q é ortogonal se QT Q = In×n (identidade).
· N é nilpotente se N k = 0 para algum
k ∈ N.
Determine os valores possíveis para:
(a) det(P ); (b) det(Q); (c) det(N ).
possui
(nenhuma solução/uma
única solução/infinitas soluções/4 soluções);
x
0
(b) O sistema A
=
possui
y
0
(nenhuma solução/uma
única solução/infinitas soluções/4 soluções);
(c) a área do triângulo com vértices em
(0, 0), (2, a), (3, b) é
;
(d) a área do triângulo com vértices em
(0, 0), (2, 3), (a, b) é
; 2
3
(e) u =
ev=
. Se λ1 u =
a
b
λ2 v para λ1 , λ2 ∈ R então λ1 =
e λ2 =
.
Problema 4. Diz-se que uma matriz quadrada
S é anti-simétrica se S T = −S (identidade). Mostre que :
(a) det(S) = 0 se S é 3 × 3;
(b) det(S) = 0 se S é n × n com n
impar.
Problema 5. Considere T : R4 → R4 definido
por T (x, y, z, w) = (z+y, x−2y, z, w). Calcule o det(T ).
Problemas
Problema 1. Calcule o determinante das
matrizes abaixo (utilize a expansão em cofatores): 

2 5 4
(a)  3 1 2 ;
5 4 6


0 2 3 0
 0 4 5 0 

(b) 
 0 1 0 3 ;
2 0 1 3


4 11 −7 −1 −3
 −2
2
1
0
3 



(c)  2
7
0
0 −2 
.
 0
3
0
0
0 
3 −1
6
0
5
Problema 2. Para cada matriz A abaixo
determine λ ∈ R de modo que a matriz
A − λI não seja inversível:
2 4
(a) A =
;
3 3
4 2
(b) A =
;
1 3


1 0 0
(c) A =  2 1 2 ;
1 1 0


3 0 0 0
 4 1 0 0 

(d) A = 
 0 0 2 1 .
0 0 0 2
Problema 3. Diz-se que uma matriz quadrada:
· P é uma projeção se P 2 = P .
2
Problema 6. (a) Calcule

λ
 0

da matriz λIn×n =  .
 ..
o
0
λ
..
.
determinante

··· 0
··· 0 

..  .
..
. . 
0 0 ··· λ
(b) Seja A uma matrix n×n. Se det(A)
é conhecido, calcule det(λA), onde λ ∈ R.
Note que, em geral, não é λ det(A).
(c) Interprete estes resultados em termos de volume. O que acontece com a
área de um quadrado se dobramos o comprimento dos seus lados? O que acontece
com o volume de um cubo se dobramos o
comprimento das suas arestas? Mais geralmente, o que acontece com um sólido em
Rn se ampliamos (ou reduzimos) suas dimensões lineares por um fator multiplicativo λ?
Problema 7. Calcule o determinante de
cada uma das matrizes abaixo (Dica: troca
de linhas):


0 0 0 d
 0 0 c e 

(a) 
 0 b f g .
a h i j


0 . . . 0 a1
 0 . . . a2 x 


(b)  .
.
.. .
 .. . . . ..
. 
an . . .
x
x
Problema 8. Suponha que A = P DP −1
com



D=


1
Prove que
2
..
.
det(Ak )
(z/c)2 ≤ 1} encontrando um conjunto B ⊂
R3 e uma transformação linear T tal que
T (B) = E.


 diagonal.

Problema 16. Suponha que A e B são
matrizes quadradas n × n com AB = I.
Prove que BA = I.
n
= (n!)k .
Problema 9. Suponha Ak = I. Prove que
(a) se k é impar então det(A) = 1;
(b) se k é par então det(A) = 1 ou −1.
Desafios
a b
Desafio 1. Se A =
então
c d
d −b
1
. Qual o erro na
A−1 = ad−bc
−c
a
−1
“prova”
sempre 1: det(A−1 ) =
quedet(A ) é
d −b
1
det ad−bc
=
−c
a
d −b
1
1
= ad−bc
(ad − bc) =
ad−bc det
−c
a
1.
Problema 10. (a) Prove (usando determinante) que não existe A 3×3 (com entradas
reais) tal que A2 = −I3×3 (identidade);
0 −1
(b) Tome B =
e mostre que
1
0
B 2 = −I2×2 (identidade). Esta matriz
representa geometricamente uma rotação
de 180o .
Problema 11. Se A e B são inversíveis:
(a) A + B é inversível?
(b) AB é inversível?
(c) At B é inversível?
Desafio 2. Dados u, v ∈ R3 definimos w =
u×v ∈ R3 (produto vetorial de u e v)
com
ponente a componente por wi = det u v ei .
Prove que:
(a) u × u = 0;
(b) u × v = −v × u (antisimétrica);
(c) (u + λv) × w = u × w + λv × w
(linear);
(d) e1 × e2 = e3 (orientação e normalização);
(e) Mostre que u × v é perpendicular a
u e v.
Problema 12. A imagem do círculo {(x, y) ∈
R2 | x2 + y 2 = 1} pela transformação linear (x, y) 7→ (2x − y, 2x + y) é a elipse
{(x, y) ∈ R2 | 5x2 − 6xy + 5y 2 = 16}. Qual
é a área compreendida por esta elipse?
Problema 13. Calcule o volume do paralelepípedo abaixo, cujos vértices são
A = (2, 3, 4), B = (0, 8, 7),
C = (−1, 5, 9), D = (2, −1, 10),
E = (−3, 10, 12), F = (0, 4, 13),
G = (−1, 1, 15), H = (−3, 6, 18).
H
G
D
F
C
Desafio 3. O exercício anterior pode ser
generalizado para se definir o produto vetorial entre n − 1 vetores em Rn . Dados
u1 , . . . , un−1 ∈ Rn definimos w = u1 ×· · ·×
un−1 ∈ Rn componente a componente
por
wi = det u1 · · · un−1 ei .
Este produto possuirá as mesmas propriedades que o produto vetorial em R3
(antisimétrica, linear, orientação e normalização). Mostre que u1 × u1 × · · · un−1 é
perpendicular a cada ui para i = 1, . . . , n−
1.
E
B
A
Problema 14. Sabe-se que três arestas adjacentes ao vértice (0, 0, 0) de um paralelepípedo
Desafio 4. (a) Mostre que a equação da
no R3 são determinados pelos vértices (−1, 2, 2),
reta em R2 que passa por v1 = (x1 , y1 ) 
e
(2, −1, 2) e (2, 2, −1). Calcule o volume do
x y 1
paralelepípedo.
v2 = (x2 , y2 ) é dada por det  x1 y1 1  =
Problema 15. Sejam a, b, c números reais
x2 y2 1
positivos. Determine o volume do elipsóide
0;
E = {(x, y, z) ∈ R3 ; (x/a)2 + (y/b)2 +
3
Desafio 8. Suponha que T : R2 → R2
linear preserva área. Isto implica que T
preserva comprimentos também?
(b) Mostre que a equação do plano em
3
R que passa por v1 = (x1 , y1 , z1 ), v2 =
(x2 ,y2 , z2 ) e v3 = (x3
, y3 , z3 ) é dado por
x y z 1
 x1 y1 z1 1 

det 
 x2 y2 z2 1  = 0.
x3 y3 z3 1
Desafio 5. Considere
a matriz tridiagonal


a b


 c a ...


. Defina
n × n An = 

.
.
.
.

.
. b 
c a
dn = det(An ).
(a) Suponha que a = c = 1 e b = −1.
Prove que dn+1 = dn + dn−1 , que gera a
famosa sequência de Fibonnaci 1, 2, 3, 5,
8, 13, 21, . . . ;
(b) Suponha que a = b = c = 1. Prove
que dn+1 = dn − dn−1 . Mostre que a seqüência gerada é periódica;
(c) Suponha que a = 2 e b = c = −1.
Prove que dn+1 = 2dn −dn−1 . Conclua que
dn = n + 1;
(d) Prove que dn+1 = adn − bcdn−1 .
Desafio 9. (prova 1 que det AB = det A det B)
(a) Suponha que det B = 0. Prove que
AB não possui inversa. Conclua que neste
caso a fórmula é válida;
(b) Suponha que det B 6= 0. Defina
f (A) = det(AB)/ det(B). Prove que f é
linear, alternada e f (I) = 1. Conclua que
f (A) = det A, concluindo a prova.
Desafio 10. (prova 2 que det AB = det A det B,
Shilov p.103)
Considere
a matriz (em bloA −I
cos) M =
. Multiplicando a
0 B
“primeira linha” (n primeiras linhas) por
B e somando
linha” obte com a “segunda
A
−I
f=
f possuem
mos M
. M eM
AB
0
o mesmo determinante (porque?). Calcule
o determinante de cada uma.
Desafio 6. Considere o seguinte problema:
Dados pontos (xi , yi ) ∈ R2 com i = 0, . . . , n
determine polinômio p(x) de grau n tal que
p(xi ) = yi .
(a) Monte um sistema linear para determinar
ai do polinômio
Pnos coeficientes
i
p(x) = i=0 ai x ; 

1 ··· 1
 x0 · · · xn 


(b) Defina M =  .
..  (con.
 .
. 
n
x0 · · · xnn
hecida como matriz de Vandermonde). Mostre
queo sistema
 pode ser escrito como
a0
y0
 ..   .. 
M  .  =  . ;
Desafio 11. Use exercício anterior para calcular o 
determinantes 
das matrizes abaixo:
3 4 0 0
 2 3 0 0 

(a) 
 5 6 7 1 ;
0 1 1 2


3 4 5 6 7
 2 3 4 5 6 



(b) 
0
0
1
1
1


 0 0 1 0 1 
0 0 0 1 1
an
yn
Q
(c) Mostre que det M = k<n (xn −
xk ).
Desafio 7. (Strang) Considere matrizes
A, B,C, D
A B
2×2. Mostre que de forma geral det
6=
C D
det A det D − det B det C. No entanto, se
B = 0 ou C = 0 a fórmula é válida.
4