RELAÇÕES PARA UM VOLUME DE
CONTROLE
Na analise do movimento dos fluidos,
podemos seguir dois caminhos: (1) procurar
descrever os detalhes do escoamento em
cada ponto (x, y, z) do campo ou (2) trabalhar
com uma região finita, fazendo um balanço
dos escoamentos que entram e saem, e
determinando os seus efeitos globais, tais
como a força ou o torque sobre um corpo, ou
a troca total de energia. Esse segundo
caminho apresenta o método do volume de
controle. A abordagem de problemas de
engenharia utilizando o volume de controle é
uma ferramenta valiosa para o engenheiro
para a analise de escoamentos. Ela fornece
respostas de engenharia frequentemente
globais e não-refinadas, mas sempre úteis.
Sistema
Todas as leis da mecânica são
definidas para um sistema, que é uma
porção do universo sob análise de massa de
identidade fixa, que interage com suas
vizinhanças. Tipos de Sistemas são sistemas
fechados, abertos e isolados.
Sistema fechado Tem como principais
características nato trocar massa com o meio
externo, mas troca energia com o meio
externo ou entorno, que é a parte do
universo próximo ao sistema que é afetada
por ele.
Sistema aberto ou volume de controle
tem como principal característica a
transferência de massa e energia através de
seus limites. Troca massa e energia com o
meio.
Sistema Isolado este tipo de sistema
não transfere massa nem energia para o
meio externo. Todas as leis da mecânica são
escritas para um sistema, tido que for
externo a esse sistema é designado pelo
termo vizinhanças. Sendo o sistema
separado de suas vizinhanças por uma
fronteira.
O sistema é uma quantidade fixa de
massa, denotada por m. Logo, a massa do
sistema conserva-se e não se altera. Esta é
uma lei da mecânica e assume uma forma
matemática
muito
simples,
chamada
conservação da massa.
msist = const.
Se a vizinhança exerce uma força F sobre o
sistema, a segunda lei de Newton estabelece
que a massa comece a acelerar.
F = ma
No caso da mecânica dos fluidos a lei de
Newton é chamada de relação de quantidade
de movimentos linear. Agora se as
vizinhanças
exercem
um
momento
resultante M em relação ao centro de massa
do sistema, haverá um efeito de rotação.
M = dH/dt
Onde H representa a quantidade de
movimento angular do sistema em relação ao
seu centro de massa.
O teorema de transporte de Reynolds
Para converter uma analise de
sistema em uma analise de volume de
controle,
devemos
transformar
nossa
matemática de modo a aplicá-la a uma
região fixa, em vez de as massas individuais.
Essa transformação, chamada teorema de
transporte de Reynolds, pode ser aplicada a
todas as leis básicas que são a conservação
da massa, conservação da quantidade de
movimento
linear
e
quantidade
de
movimento angular. Considerando a figura
abaixo um volume de controle fixo que
engloba uma região estacionaria de interesse
para um projetista de bocais.
A superfície de controle é um conceito
abstrato e não interfere no escoamento de
nenhum modo. Ela corta o jato que sai do
bocal, circunda a atmosfera circundante e
corta os parafusos dos flanges e o fluido
dentro do bocal. Esse volume de controle
particular evidencia as tensões nos
parafusos dos flanges, que contribuem para
as forças envolvidas em uma analise de
quantidade de movimento. Afigura abaixo
ilustra um volume de controle móvel. Nesse
caso, o interesse está no navio, não no
oceano, de modo que a superfície de controle
persegue o navio a velocidade V. O volume
do volume de controle é constante, mas o
movimento relativo entre a água e o navio
deve ser levado em conta.
(dE/dt)sistema = (-2400000-1920000+4080000)
J/s
(dE/dt)sistema = -240000J/s = -0,24 MJ/s.
Logo, o sistema está perdendo energia a uma
taxa de 0,24 MJ/s = 0.24MW.
Se V é constante, esse movimento
relativo assume um padrão de escoamento
permanente, o que simplifica a analise. Se v
é variável, o movimento relativo é não
permanente, de modo que os resultados
calculados variam com o tempo, e certos
termos entram na analise de quantidade de
movimento para representar o referencial
não-inercial.
Exemplo: Um volume de controle fixo tem
três seções unidimensionais na fronteira,
como pode-se observa na figura abaixo. O
escoamento no interior do volume é
permanente. As propriedades em cada seção
estão tabuladas a seguir. Determine a taxa
de variação da energia do sistema que
ocupar o volume de controle nesse instante.
Seção
Tipo
1
2
3
Entrada
Entrada
saída
Ρ,
kg/m3
800
800
800
V,
m/s
5,0
8,0
17,0
A
m2
2,0
3,0
2,0
e,
J/kg
300
100
150
Conservação
da
Massa
–
Considere um volume de controle tendo
apenas certo número de entradas e saídas
unidimensionais
para
o
escoamento
permanente, a quantidade de massa que
entra neste volume de controle é igual a
quantidade de massa que sai, logo
Σ (ρ.A.V)ent = Σ (ρ.A.V)sai
Esta
simples
aproximação
é
largamente utilizada em análises de
engenharia. Observando a figura acima,
vemos que os três fluxos de massa de saída
contrabalançam os dois fluxos de entrada.
ρ2 A2V2+ρ3 A3V3 +ρ5 A5.V5 = ρ1 A1V1 + ρ4 A4V4
a quantidade ρAV é tem o nome de fluxo de
massa m que atravessa a seção transversal
unidimensional,
e
cujas
unidades
consistentes são kg/s, podendo ser escrita da
seguinte forma também:
m2 + m3 + m5 = m1 + m4
Como o escoamento é permanente a integral
de volume se anula. A integral da área
consiste em duas seções de entrada e uma
seção de saída. Sendo assim podemos usar a
equação:
(dE/dt)sistema = -e1ρ1A1V1-e2ρ2A2V2+e3ρ3A3V3
(dE/dt)sistema = -(300 J/kg)(800 kg/m3)(2 m2)(5
m/s) – 100(800)(3)(8) +150(800)(2)(17)
Exemplo: escreva a relação de conservação
da massa para o escoamento permanente
através de um tubo de corrente (escoamento
paralelo às paredes em todos os locais) com
uma única saída 1 e uma única entrada 2,
unidimensionais.
hp. Encontre a pressão p3 em kPa absoluta e
a transferência
de calor Q em Watts.
Considere que o ar é um gás perfeito com R
= 287 m2/(s2.K) e cp = 1004 m2/(s2.K).
Para o escoamento permanente que
apresenta apenas uma entrada e uma saída,
aplicaremos a conservação da massa.
Seção
A cm2
Q l/s
1
2
3
371,6
929
232,3
2832
1133
1416
T ºC p
kPa
abs
21
137,90
38
206,84
93
?
Z cm
30,5
121,9
45,7
m= ρ1 A1V1 = ρ2 A2V2 = constante
Em um tubo de corrente em regime
permanente, o fluxo de massa através de
cada seção do tubo é constante. Se a
densidade for constante, então.
Q = A1V1 =A2V2 = constante
Ou
V2 = (A1/A2)V1
Para escoamento permanente incompressível
a vazão volumétrica no tubo é constante, e a
velocidade aumenta se a área da seção
diminui.
Equação da Energia – Pode-se a energia
de um sistema por unidade de massa, e,
sendo vários tipos de energia:
Solução: O volume de controle escolhido
corta as três seções desejadas e no mais,
segue as paredes sólidas da máquina. Logo, o
trabalho de cisalhamento W é desprezível.
Temos informação suficiente para calcular V
= Q/A imediatamente.
V1=2,832/0,03716 = 76,21 m/s
V2=1,131/0,0929 = 12,17 m/s
V3=1,416/0,02323 = 60,96 m/s
e as massas específicas ρ=p/(RT)
e = einterna+ecinética+epotencial
Onde
e = û + ½V2+gz
Temos relacionado também a esta
equação o trabalho de eixo que é aquela
porção de trabalho que é deliberadamente
realizada por uma máquina (rotor de uma
bomba, pá de um ventilador, pistão),
prolongando através da superfície de
controle para dentro do volume de controle,
sendo assim.
ρ1 =137900/287(21+273) = 1,63 kg/m3
ρ2 = 206840/287(38+273)= 2,32 kg/m3
mas ρ3 é determinado pela relação de
continuidade para escoamento permanente:
m1 = m2 + m3
ρ1Q1 = ρ2Q2 +ρ3Q3
1,63 (2,832) = 2,32(1,133) + ρ3(1,416)
(1,416) ρ3=4,616 – 2,629 = 1,987 m3/s
Q–W=W
Onde Q positivo é o calor adicionado ao
sistema e Q negativo é o calor retirado do
sistema. W positivo é o trabalho realizado
pelo sistema, e W negativo é o trabalho
adicionado ao sistema e E e o somatório de
energias, cinética, interna e potencial.
Exemplo: Uma máquina de escoamento
permanente como mostra na figura abaixo
recebe ar na seção 1 e o descarrega nas
seções 2 e 3. As propriedades de cada seção
são demonstrado na tabela. E fornecido
trabalho para a máquina a uma taxa de 150
ρ3 = 1,40 kg/m3 = p3/ 287(93+273)
p3 = 147,44 kPa absoluta
Observe que o fluxo de volume Q1 ≠ Q2 + Q3 é
devido à variação de densidade. Para
escoamento permanente com uma entrada e
duas saídas, obtemos:
Q - W= m1(h1+1/2V21+gz1) +
m2 (h2+1/2V22+gz2)+
m3(h3+1/2V23+gz3)
Onde W é dado em hp e pode ser
rapidamente convertido para unidades do SI
W = -150 hp [745,7 W/hp] = -111855 W
(trabalho negativo sobre o sistema).
Para um gás perfeito com cp constante, a
entalpia h = mcpT. E instrutivo separar os
termos
de
fluxo
examinando
suas
magnitudes e unidades. Sendo assim
calcula-se:
Fluxo de entalpia:
h = cp(-m1T1 + m2T2 + m3T3)
h = 1004 m2/(s2 . K) * [-4,616 m3/s .
(273+21)K
+
2,629
.
(273+38)
+
1,987(273+93)]
h = +188508 W
Fluxo de energia cinética:
Ec = -m1(½V12) + m2(½V22) + m3(½V32) =
½ [-4,616 (76,21)2 + 2,629(12,17)2
1,987(60,96)2]
Ec = -9515 W
+
Fluxo de energia potencial:
Ep= g(-m1z1 + m2z1 m3z3) =
= 9,81 [-4,616(0,305) +
1,987(0,457)]
Ep = 27W
+
2,629(1,219)
p1/γ +û1/g+V21/2g+z1 = p2/γ +û2/g+V22/2g+z2 –
q/g+w/g
Esses efeitos são típicos: o fluxo de
energia
potencial
é
desprezível
em
escoamentos de gases, o fluxo de entalpia
cinética é pequeno em escoamentos a baixas
velocidades e o fluxo de entalpia é
dominante. Apenas quando desprezamos os
efeitos de troca de calor é que a energias
cinética e potencial tornam-se importantes.
De qualquer modo, podemos agora obter o
fluxo de calor.
Q = -111855 + 188508 – 9515 + 27 = 67165
W = 67 kW.
Equação da Energia no Escoamento
Permanente - Para um escoamento
permanente com uma entrada e uma saída,
ambas consideradas unidimensionais, sendo
a seção 1 a entrada e a seção 2 a saída
apresentam-se a equação.
Q - W = -m1 (h+½V2+gz)1+ m2 (h+½V2+gz)2
Mas como a equação da continuidade, m1 =
m2 já é conhecida podemos arrumar a
equação acima e deixa-la da seguinte forma:
h1 + ½V12+gz1 = (h1 + ½V12+gz1)-q+w
Onde q = Q/m é o calor transferido por
unidade de massa. Analogamente w = W / m
valendo a pena salientar que q é positivo
quando é adicionado ao volume de controle.
Cada termo da equação tem a dimensão de
energia por unidade de massa, ou velocidade
ao quadrado. Mas se dividirmos tudo por g
(gravidade) cada termo torna-se um
comprimento, ou altura, onde o símbolo
tradicional para altura é h, mas o mesmo
não se pode confundir com a entalpia, sendo
assim usaremos energia interna ao
reescrever a equação da energia em termos
de altura.
Perdas por Atrito em Escoamentos a
Baixas Velocidades – Uma aplicação
muito comum para equação da energia para
escoamento
permanente
ocorre
para
escoamentos a baixas velocidades, sem
trabalho de eixo, como ocorre em
escoamentos de líquidos em tubos. Neste
caso a equação da energia pode ser escrita
na seguinte forma:
p1/γ +V21/2g+z1 = (p2/γ +V22/2g+z2 )+(û2-û1q)/g
O termo (p2/γ +V22/2g+z2 ) é chamado
altura útil ou altura disponível ou altura
total do escoamento, sendo muito indicado
por ho. Logo no escoamento a baixas
velocidades
(aproximadamente
incompressível), com uma entrada e uma
saída, pode-se escrever:
(p/γ +V2/2g+z)entr. = (p/γ +V2/2g+z)sai + hperdas
– hbomba + hturbina.
A maioria dos nossos problemas de
escoamento interno será resolvida com o
auxílio da equação acima. Os termos em h
são todos positivos; isto é, a perda por atrito
é sempre positiva em escoamentos reais
(viscosos), uma bomba adiciona energia
(aumenta o lado esquerdo da equação acima)
e uma turbina extrai energia do escoamento.
Exemplo: gasolina a 20 ºC é bombeada
através de um tubo liso de 120 mm de
diâmetro, com 10 km de comprimento, a uma
vazão de 75 m3/h. A entrada é alimentada
por uma bomba à pressão absoluta de 24
atm. A saída está à pressão atmosférica
padrão, 150 m mais alta. Calcule a perda por
atrito hp, e compare-a com a altura de
velocidade V2/2g. Esses números são bem
realísticos para o escoamento de líquidos
através de tubulações longas. (ρ = 680
kg/m3).
(pentr./γ) + (V2entr./2g) + zsai = (psai./γ) +
(V2sai./2g) + zsai. + hp.
Um tubo que possui seção transversal
uniforme e, assim, a velocidade média em
todo lugar é:
Ventr. = Vsai = Q/A
(¶/4)(0,12m)2 =1,84 m/s.
=
(75/3600)m3
/
Os termos de altura de velocidade são iguais
na entrada e na saída, portanto os mesmos
se cancelam, mas vamos calcular essa altura
com propósito de comparação:
Como já foi explicado as massas específicas
na entrada e na saída podem ser calculadas
a partir da lei dos gases perfeitos:
ρ1 = p1/RT1 = 1034000 / 287(273+149) = 8,54
kg/m3
ρ2 = p2/RT2 = 276000 / 287(273+1,7) =3,50
kg/m3.
O fluxo de massa é determinado pelas
condições de entrada.
V2entr./2g =(1,84 m/s)2 / 2(9,81 m/s2) = 0,173 m
Reagrupando os
principal, temos:
termos
na
equação
m1 = ρ1V1A1 = (8,54)¶/4(0,15)2((30,5) = 4,60
kg/s
(24)(101350 N/m3) / 6670 N/m3 + 0,173 m + 0
m = (101350 N/m3) / 6670 N/m3 + 0,173 m +
150 m + hp.
m2= 4,60 = ρ2V2A2 = (3,50) )¶/4 (0,15)2V2
hp = 364,7 – 15,2 – 150 = 199 m
Assim sendo pode-se aplicar a equação da
energia par escoamento permanente.
A razão entre as alturas de atrito e de
velocidade é:
Q – W = m(cpT2 + ½V22 – cpT1 + ½V21 )
hp / (V2/2g) = 199 m / 0,173 m = 1,150
Sabendo que 1 hp = 745,5 Watts, pode-se
calcular o calor transferido.
Essa alta razão é típica das tubulações
longas. (Observe que não fizemos uso direto
do comprimento de 10000 m do tubo, cujo
efeito está implícito em hp).
Q – 700(745,7) = 4,60[1004(274,7) + ½
(74,37)2 -1004(422)- ½ (30,5)2]
V2 = 74,37 m/s
Q = - 147719 W
1004m2/(s2K)]
Exemplo: Ar [R = 287 e cp =
escoa em regime permanente, através de
uma turbina que produz 700 hp. Para as
condições de entrada e saída mostradas,
calcule.
(a) A velocidade V2 na saída e
(b) (b) o calor transferido Q em Watts.
Temos que o diâmetro D1 = 150 mm, p1 =
1034 kPa, T1 = 149 ºC, V1 = 30 m/s.
D2=150 mm, p2 = 276 kPa, T2 = 1,7 ºC.
O sinal negativo indica que calor está sendo
retirado do sistema, neste caso é um
desaproveitamento de energia em forma de
calor.
Exercícios
1)
Água a 20 ºC escoa em regime
permanente com 40 kg/s através do bocal da
figura abaixo. Se D1=180 mm e D2 = 50 mm,
calcule a velocidade média, em na seção 1 e
na seção 2.
2) Água escoa em regime permanente
através da bifurcação de tubulação mostrada
abaixo, entrando na seção 1 com 76 l/min. A
velocidade média na 2 é 2,5 m/s. Uma porção
do escoamento é desviada para um chuveiro,
que contém 100 orifícios de 1 mm de
diâmetro.
Considerando
uniforme
o
escoamento na ducha, calcule a velocidade
de saída dos jatos do chuveiro.
3) O bocal convergente-divergente mostrado
na figura abaixo expande e acelera ar seco
até velocidades supersônicas na saída, onde
p2 = 8 kPa e T2 = 240 K. Na garganta, p1 =
284 kPa, T1 = 665 K e V1 = 517 m/s. Para
escoamento compressível permanente de um
gás perfeito, calcule o fluxo de massa em
kg/h, e a velocidade V2.
4) O tanque aberto da figura abaixo contém
água a 20 ºC e está sendo enchido através da
seção
1.
Considere
o
escoamento
incompressível. Considerando que o nível da
água seja constante, determine a velocidade
na saída, V2, para os dados V1 = 3 m/s e Q3 =
0,01 m 3/s.
5) Água a 20 ºC escoa em regime permanente
através de um tanque fechado, como na
figura abaixo, D1 = 60 mm e a vazão
volumétrica são de 100 m3/ h. Na seção 2, D2
= 50 mm e a velocidade media é de 8 m/s. Se
D3 = 40 mm, qual é a vazão em Q3 em m3/h e
a velocidade média V3 em m/s?
6) Óleo (d = 0,89) entra na seção 1 (fig
abaixo) com uma vazão em peso de 250 N/h
para lubrificar um mancal de escora. O
escoamento permanente de óleo sai
radialmente através da folga estreita entre
as placas de escora. Calcule a vazão
volumétrica na saída em m3/s
7) Em alguns túneis de vento, a seção de
teste é perfurada para se fazer a sucção de
ar e manter uma camada limite viscosa fina.
A parede da seção de teste contém 1.200
orifícios de 5 mm de diâmetro em cada metro
quadrado de área da parede. A velocidade de
sucção através de cada orifício é de Vs = 8
m/s e a velocidade na entrada da seção de
teste é V1= 35 m/s. Admitindo escoamento
permanente e incompressível de ar a 20 ºC.
Calcule Vo, V2 e Vf.
8) Um motor de foguete opera em regime
permanente, como mostra a figura. Os
produtos da combustão que escoam através
do bocal de descarga aproximam-se de um
gás perfeito com peso molecular 28. Para as
condições dadas, calcule V2 em m/s.
9)
Em contraste com o foguete de
combustível líquido, o foguete abaixo opera
com propelente sólido e o mesmo é autocontido e não tem dutos de entrada.
Aplicando uma análise de volume de controle
para as condições mostradas pela figura
abaixo calcule a taxa de perda de massa do
propelente, considerando que o gás de
descarga tem um peso molecular 28.
10) A bomba de jato da figura abaixo injeta
água a U1 = 40 m/s através de um tubo de 75
mm e promove um escoamento secundário de
água, U2 = 3 m/s, na região anular em torno
do tubo pequeno. Os dois escoamentos ficam
completamente misturados a jusante, onde
U3 é aproximadamente constante. Para
escoamento incompressível permanente,
calcule U3 em m/s.