Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias
FÍSICA
Observando mais atentamente, percebemos que,
apesar da escala grafada na régua não possuir divisões em
milímetros, é possível fazer uma estimativa do valor
contido entre 9cm e 10cm. Dessa forma, podemos escrever que o comprimento (c) do lápis é dado por:
MÓDULO 5
Algarismos Significativos
1. Introdução
c = 9,4cm
Na tentativa de explicar os fenômenos observados na
natureza, a Física utiliza modelos e teorias que, para serem
elaborados de forma coerente, devem seguir uma metodologia adequada: o método científico (ou método experimental), introduzido por Galileu Galilei.
Na aplicação do método experimental de Galileu,
devem ser cumpridas algumas etapas. Uma dessas etapas
é a reprodução do fenômeno sob condições controladas,
em que é imprescindível que se realizem medidas experimentais (com a consequente coleta de dados) das grandezas físicas que se consideram pertinentes no estudo do
fenômeno.
Tais dados serão utilizados, posteriormente, na elaboração das leis físicas que explicam qualitativamente o
fenômeno e na obtenção de expressões matemáticas que
podem quantificá-lo.
Entretanto, cumpre salientar que quaisquer medidas
de grandezas físicas contém erros intrínsecos e,
consequentemente, são sempre valores aproximados.
Os erros associados às medidas de grandezas físicas
advêm, basicamente, do limite de precisão do aparelho de
medida e da habilidade do operador. Dessa forma, tais
limitações devem refletir-se na quantidade de algarismos
que podem ser utilizados para representar, da melhor
maneira, uma dada medida física.
2. Algarismos Corretos e Duvidosos
Vamos supor que queiramos medir o comprimento de
um lápis utilizando uma régua graduada em centímetros,
como esquematizado a seguir.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Observemos que um aparelho deste tipo não nos permite
uma grande precisão na medida de comprimento (c) do
lápis em questão.
Notamos, pela figura apresentada, que é possível
termos certeza de que o comprimento do lápis está situado
entre 9cm e 10cm.
Na medida acima apresentada, podemos afirmar que
o algarismo 9 é correto (pois temos certeza de que o
comprimento do lápis está entre 9cm e 10cm), enquanto o
algarismo 4 é incerto ou duvidoso (pois foi obtido por
estimativa) e, por consequência, quaisquer outros
algarismos após o 4 não têm significado na medida
realizada.
Vamos supor que a seguir realizamos, novamente, a
medida do comprimento (c) do lápis, porém, utilizando
agora uma régua graduada em milímetros, como
esquematizado a seguir.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Observemos que este aparelho nos permite, em relação
ao aparelho anterior, maior precisão na medida do
comprimento (c) do lápis.
Notamos que, com essa nova régua, é possível termos
certeza de que o comprimento do lápis está situado entre
9,4cm e 9,5cm.
Observando mais atentamente, percebemos que,
apesar da escala grafada na régua não possuir divisões de
décimos de milímetros, é possível fazer uma estimativa
do valor contido entre 9,4cm e 9,5cm. Dessa forma,
podemos escrever que o comprimento (c) do lápis é dado
por:
c = 9,43cm
Na medida acima apresentada, podemos afirmar que
os algarismos 9 e 4 são corretos (pois temos certeza de
que o comprimento do lápis está entre 9,4cm e 9,5cm),
enquanto o algarismo 3 é incerto ou duvidoso (pois foi
obtido por estimativa) e, em consequência, quaisquer
outros algarismos após o 3 não têm significado na medida
realizada.
Do exposto acima, podemos, finalmente, concluir que
o conjunto dos algarismos significativos é composto
pelos algarismos corretos mais o primeiro algarismo
duvidoso.
–1
Observações:
1) Zeros à esquerda do primeiro algarismo significativo
diferente de zero não são significativos.
Exemplo:
m = 0,000428kg (três algarismos significativos)
Exemplos
15,7297
+ 4,22
_________
8,728
– 3,65
_________
19,9497
5,078
resultado: 19,95*
resultado: 5,08*
2) Zeros à direita de um algarismo significativo são
significativos.
Exemplo:
c = 3,00m (três algarismos significativos)
* Observemos que, na apresentação do resultado, devemos levar em conta os critérios de arredondamento.
3) Zeros entre algarismos significativos são significativos.
Exemplo:
t = 6,0082s (cinco algarismos significativos)
b) Multiplicação e Divisão
Realizamos normalmente a operação e, no resultado,
consideramos o número de algarismos significativos igual
ao do fator com o menor número de algarismos
significativos.
3. Arredondamento
Por vezes, é necessário que se façam arredondamentos para que se mantenha coerente o número de algarismos
significativos; principalmente em operações matemáticas,
como veremos a seguir.
Para tal procedimento, adotaremos critérios bem
simples:
1) Quando o algarismo imediatamente posterior ao
último algarismo que se quer manter for menor que 5,
simplesmente se mantém este último algarismo.
Exemplos: m = 2,784kg @ 2,78kg
L = 5,23m @ 5,2m
t = 10,250s @ 10,25s
2) Quando o algarismo imediatamente posterior ao
último algarismo que se quer manter for maior ou igual a
5, acrescenta-se uma unidade a este último algarismo.
Exemplos: m = 4,788kg @ 4,79kg
Exemplos
10,227 . 5,32 = 54,40764
resultado: 54, 4*
305,82 ÷ 12,3 = 24,86341
resultado: 24,9*
*Observemos, novamente, que, na apresentação do
resultado, devemos levar em conta os critérios de arredondamento.
c) Potenciação e Radiciação
Realizamos normalmente a operação e, no resultado,
consideramos o número de algarismos significativos da
base (no caso da potenciação) ou do radicando (no caso da
radiciação).
Exemplos
(1,68)2 = 2,8224
resultado: 2,82*
L = 13,25m @ 13,3m
t = 1,259s @ 1,26s
5,61
= 2,368543
resultado: 2,37*
4. Operações com algarismos significativos
Para que possamos realizar, corretamente, operações
matemáticas (adição e subtração; multiplicação e divisão;
potenciação e radiciação) envolvendo medidas de grandezas
físicas, é necessário que consideremos os algarismos
significativos.
Dessa forma, adotamos, para tais operações, os seguintes
critérios:
a) Adição e Subtração
Realizamos normalmente a operação e, no resultado,
consideramos o número de casas decimais igual ao da
parcela com o menor número de casas decimais.
2–
*Observemos, mais uma vez, que, na apresentação do
resultado, devemos levar em conta os critérios de arredondamento.
Nota:
É importante salientar que os critérios aqui utilizados
não são, de fato, regras universais e imutáveis, mas apenas
orientações básicas para que se possa trabalhar, inicialmente, com algarismos significativos.
Um estudo aprofundado e coerente sobre algarismos
significativos deve ser feito à luz da Teoria dos Erros, que
foge ao escopo desse texto.
MÓDULO 6
Algarismos Significativos
3. (UFU-MG) – Uma lata contém 18,2 litros de água.
Se você despejar mais 0,2360 litro, o volume total terá um
número de algarismos significativo igual a:
a) dois
b) três
c) quatro
d) cinco
e) seis
1. (ITA-2007) – Sobre um corpo de 2,5kg de massa
atuam, em sentidos opostos de uma mesma direção, duas
forças de intensidades 150,40N e 50,40N, respectivamente. A opção que oferece o módulo da aceleração
resultante com o número correto de algarismos
significativos é
a) 40,00m/s2
b) 40m/s2
c) 0,4 . 102m/s2
2
2
d) 40,0m/s
e) 40,000m/s
4. (ITA-2002) – A massa inercial mede a dificuldade em
se alterar o estado de movimento de uma partícula.
Analogamente, o momento de inércia de massa mede a
dificuldade em se alterar o estado de rotação de um corpo
rígido. No caso de uma esfera, o momento de inércia em
torno de um eixo que passa pelo seu centro é dado por
2
I = ––– MR2, em que M é a massa da esfera e R seu raio.
5
2. (ITA-1991) – Considere a Terra como sendo uma
esfera de raio R e massa M, uniformemente distribuída.
Um satélite artificial descreve uma órbita circular a uma
altura h da superfície da Terra, onde a aceleração gravitacional (sobre a órbita) é g. Em termos de algarismos significativos, o quadrado da velocidade do satélite é mais bem
representado por:
a) 16,81 . 106 (km/h)2
b) 3,62 . 1032 (km/h)2
c) 6,05 . 107 (m/s)2
d) 6,0517 . 107 (m/s)2
e) Nenhum dos valores apresentados é adequado.
Dados: R= 6,378 . 106 m; M = 5,983 . 1024 kg;
h = 2,00 . 105 m e g = 9,2m/s2
Note e adote: V2 = g . (R + h)
Para uma esfera de massa M = 25,0kg e raio R = 15,0cm, a
alternativa que melhor representa o seu momento de
inércia é
a) 22,50 102 kg . m2
b) 2,25 kg . m2
2
c) 0,225 kg . m
d) 0,22 kg . m2
2
e) 22,00 kg . m
–3
8,9724 > 10
 OG = 104
MÓDULO 7
Notação Científica
e Ordem de Grandeza
1. Notação científica
É a representação de um número N com o uso de uma
potência de 10 acompanhada de um número n tal que
1 ≤ n < 10. Assim, temos: N = n . 10x
Exemplos:
N
Notação Científica
343
3,43 .
0,0010
1,0 .
102
10–3
0,07
7 . 10–2
35,80
3,580 . 101
2. Ordem de grandeza
Para obter a ordem de grandeza de um número, devemos, inicialmente, escrevê-lo na forma de notação
científica.
2,2
< 10
 OG = 10–3
8,32
> 10
 OG = 10–1
Por que o marco divisório entre as potências de 10 é
o número 10
?
A resposta é simples: devemos procurar o ponto
médio entre os expoentes das potências de 10.
Por exemplo: entre 100 e 101, as potências de 10 são os
1
expoentes 0 e 1 e o ponto médio entre 0 e 1 é ––– .
2
100
101/2
101
101/2 é o mesmo que
10
e é o marco divisório entre as
potências sucessivas de 10.
Exercícios Propostos
1. Expressar em notação científica, com três algarismos
significativos, as medidas apresentadas a seguir:
a) 1579400 m b) 4032 km
c) 0,0003589 kg
d) 0,58338 s
e) 857,48 N
Exemplificando:
248,5 = 2,485. 102
8972,4 = 8,9724 .
em que n = 2,485
103
0,0022 = 2,2. 10–3
0,0832 = 8,32.
em que n = 8,9724
em que n = 2,2
10–2
em que n = 8,32
Em seguida, verificamos entre quais potências sucessivas de 10 está o número dado.
102
< 2,485 .
102
<
103
103 < 8,9724 . 103 < 104
10–3 < 2,2 . 10–3 < 10–2
10–2 < 8,32 . 10–2 < 10–1
Em seguida, comparamos o valor de n com
10
@ 3,16.
Se n ⭓ 10
, a ordem de grandeza será a potência de
10 imediatamente superior ao número dado.
Se n < 10
, a ordem de grandeza será a potência de
10 imediatamente inferior ao número dado.
2,485
4–
10
 OG = 102
< 2. (UFJF-MG) – Supondo-se que um grão de feijão
ocupe o espaço equivalente a um paralelepípedo de arestas
0,5 cm . 0,5 cm . 1,0 cm, qual das alternativas abaixo
melhor estima a ordem de grandeza do número de feijões
contido no volume de um litro?
c) 103
d) 104
e) 105
a) 10
b) 102
3. (UNICAMP-94) – Impressionado com a beleza da
jovem modelo (1,70 m de altura e 55 kg), um escultor de
praia fez sua (dela) estátua de areia do mesmo tamanho
que o modelo. Adotando valores razoáveis para os dados
que faltam no enunciado:
a) calcule o volume da estátua (em litros);
b) estime a ordem de grandeza do número de grãos de
areia que foram usados na escultura.
4. (UERJ) – O acelerador de íons pesados relativísticos
de Brookhaven (Estados Unidos) foi inaugurado com a
colisão entre dois núcleos de ouro, liberando uma energia
de 10 trilhões de elétrons-volt. Os cientistas esperam, em
breve, elevar a energia a 40 trilhões de elétrons-volt, para
simular as condições do Universo durante os primeiros
microssegundos após o Big Bang. (Ciência Hoje, setembro de 2000)
Sabendo que 1 elétron-volt é igual a 1,6.10–19 joules, a
ordem de grandeza da energia, em joules, que se espera
atingir em breve, com o acelerador de Brookhaven, é:
b) 10–7
c) 10–6
d) 10–5
a) 10–8
MÓDULO 8
Cinemática I
1. (AMAN) – Um automóvel sai da cidade A e atinge o
ponto P distante 100km, viajando com velocidade escalar
constante de 50km/h. Em P, permanece durante 1,0h. Parte em seguida para a cidade B, distante de P 80km,
demorando 1,0h para chegar a B.
A velocidade escalar média em todo o percurso tem valor
igual a:
a) 65km/h
b) 45km/h
c) 43,3km/h
d) 60km/h
e) 90 km/h
–5
2. Um caminhão percorre três vezes o mesmo trajeto. Na
primeira vez, sua velocidade escalar média é de 15,00m/s e
o tempo de viagem é t1. Na segunda, sua velocidade escalar
média é de 20,00m/s e o tempo de viagem é t2. Se, na
terceira, o tempo de viagem for igual a (t1 + t2)/2, qual será
a velocidade escalar média do caminhão nessa vez?
a) 20,00m/s
b) 18,50m/s
c) 17,14m/s
d) 15,00m/s
d) 8,57m/s
4. (ITA-2009) – Na figura, um ciclista percorre o trecho
AB com velocidade escalar média de 22,5 km/h e, em
seguida, o trecho BC de 3,00 km de extensão. No retorno,
ao passar em B, verifica ser de 20,0 km/h sua velocidade
escalar média no percurso então percorrido, ABCB.
Finalmente, ele chega em A perfazendo todo o percurso
de ida e volta em 1,00 h, com velocidade escalar média
de 24,0 km/h. Assinale o módulo v do vetor velocidade
média referente ao percurso ABCB.
a) v = 12,0km/h
c) v = 20,0 km/h
e) v = 36, 0 km/h
3. (ITA) – Um motorista deseja percorrer a distância de
20km com a velocidade escalar média de 80km/h. Se
viajar durante os primeiros 15 minutos com a velocidade
escalar média de 40km/h, com que velocidade média
deverá fazer o percurso restante?
6–
b) v = 12,00 km/h
d) v = 20, 00 km/h
exercícios-tarefa
■ MóDUlOs 5 e 6
1. (UFsE) – A escala de uma trena tem, como menor
divisão, o milímetro. Essa trena é utilizada para se medir
a distância entre dois traços paralelos, muito finos, feitos
por um estilete sobre uma superfície plana e lisa. Considerando que não houve erro grosseiro, o resultado de uma
só medição, com o número correto de algarismos significativos, é mais bem representado por:
a) 2m
b) 21dm
c) 214cm
d) 2,1436m
e) 2143,4m
2. (UNIFEsP-2004) – Na medida de temperatura de
uma pessoa por meio de um termômetro clínico,
observou-se que o nível de mercúrio estacionou na região
entre 38°C e 39°C da escala, como está ilustrado na figura.
Após a leitura da temperatura, o médico necessita do valor
transformado para uma nova escala, definida por tx = 2tc /3
e em unidades °X, onde tc é a temperatura na escala
Celsius. Lembrando de seus conhecimentos sobre algarismos significativos, ele conclui que o valor mais apropriado
para a temperatura tx é
a) 25,7 °X.
b) 25,7667 °X.
c) 25,766 °X.
d) 25,77 °X.
e) 26 °X.
3. (CEsGRANRIO) – Um estudante deseja medir o
comprimento de sua mesa de trabalho. Não dispondo de
régua, decide utilizar um toco de lápis como padrão de
comprimento. Verifica então que o comprimento da mesa
equivale ao de 13,5 tocos de lápis. Chegando ao colégio,
mede com uma régua o comprimento do seu toco de lápis,
achando 8,9 cm. O comprimento da mesa será corretamente expresso por:
a) 120,15 cm
b) 120,2 cm
c) 1 x 102 cm
d) 1,2 x 102 cm
e) 102 cm
4. (E.E.MAUá-sP) – O comprimento C de uma circunferência de raio R é dado pela fórmula C = 2πR. Calcule
C para os valores medidos experimentalmente:
a) R = 0,50m
b) R = 0,500m
c) R = 0,5000m
Dado: π = 3,14159
5. (CEsGRANRIO-RJ) – Um estudante, tendo medido
o corredor de sua casa, encontrou os seguintes valores:
Comprimento: 5,7 m
Largura: 1,25 m
Desejando determinar a área deste corredor com a maior
precisão possível, o estudante multiplica os dois valores
anteriores e registra o resultado com o número correto de
algarismos, isto é, somente com os algarismos que sejam
significativos. Assim fazendo, ele deve escrever:
b) 7,12 m2.
c) 7,13 m2.
a) 7,125 m2.
d) 7,1 m2.
e) 7 m2.
6. (PUC-MG) – Um carro fez uma viagem em linha reta
em três etapas. Com a ajuda de um sistema de localização
por satélite (GPS), foi possível calcular a distância
percorrida em cada etapa, mas com diferentes precisões.
Na primeira etapa, a distância percorrida foi 1,25.102 km,
na segunda, 81,0 km, e na terceira, 1,0893.102 km. A
distância total percorrida, respeitando-se os algarismos
significativos, é:
b) 3,15 . 102 km.
a) 3,149 . 102 km.
2
c) 3,1 . 10 km.
d) 3 . 102 km.
■ MóDUlO 7
1. (UFU-MG) – A ordem de grandeza em segundos, em
um período correspondente a um mês, é:
a) 10
b) 103
c) 106
d) 109
e) 1012
2. (UNIRIO-RJ) –
“Um dia eu vi uma moça nuinha no banho.
Fiquei parado o coração batendo.
Ela se riu.
Foi o meu primeiro alumbramento.”
(Manuel Bandeira)
A ordem de grandeza do número de batidas que o coração
humano dá em um minuto de alumbramento como este é:
b) 102
c) 100
d) 103
e) 104
a) 101
3. (CEsGRANRIO-RJ) – O fumo é comprovadamente
um vício prejudicial à saúde. Segundo dados da Organização Mundial da Saúde, um fumante médio, ou seja,
aquele que consome cerca de 10 cigarros por dia, ao
chegar à meia-idade terá problemas cardiovasculares. A
ordem de grandeza do número de cigarros consumidos por
este fumante durante 30 anos é de:
a) 102
b) 103
c) 104
d) 105
e) 106
4. (UF VIçOsA-MG) – Considere o volume de uma
gota como 5,0 . 10–2mᐉ. A ordem de grandeza do número
de gotas em um litro de água é:
a) 103
b) 105
c) 102
d) 104
e) 106
–7
5. (UFF-RJ) – Os produtos químicos que liberam
clorofluorcarbonos para a atmosfera têm sido considerados pelos ambientalistas como um dos causadores da
destruição do ozônio na estratosfera.
A cada primavera aparece no hemisfério sul, particularmente na Antártida, uma região de baixa camada de
ozônio (“buraco”). No ano 2000, a área dessa região
equivalia a, aproximadamente, 5% da superfície de nosso
planeta.
A ordem de grandeza que estima, em km2, a área mencionada é:
a) 103 b) 104
c) 107
d) 109
e) 1012
3
Dado: raio da Terra = 6,5.10 km.
■ MóDUlO 8
1. (ITA) – A velocidade de uma partícula, num determinado instante t, é nula em relação a um certo referencial R.
Pode-se afirmar que, no instante t,
a) a aceleração da partícula é necessariamente nula, em
relação ao referencial R;
b) a partícula se encontra em repouso em relação a qualquer outro referencial;
c) a aceleração da partícula pode não ser nula, em relação
ao referencial R;
d) a aceleração da partícula não pode ser nula, em relação
ao referencial R;
e) nenhuma das proposições anteriores é válida.
2. (ITA-93) – Em relação a um sistema de coordenadas
cartesianas (xy) uma partícula realiza dois movimentos
harmônicos simples representados por: x = a cos  t; e
3 sen  t, em que a e ␻ são constantes positivas.
y = a A trajetória da partícula é um (uma)
a) círculo.
b) elipse com centro na origem.
c) reta inclinada de 60o com o eixo x.
d) elipse com um foco na origem.
e) reta inclinada de 120o com o eixo x.
3. (UNICAMP-sP) – A velocidade escalar linear de
leitura de um CD é 1,2m/s.
a) Um CD de música toca durante 70 minutos. Qual é o
comprimento da trilha gravada?
b) Um CD também pode ser usado para gravar dados.
Nesse caso, as marcações que representam um caractere (letra, número, sinal ou espaço em branco) têm
8µm de comprimento. Se essa prova de Física fosse
gravada em CD, quanto tempo seria necessário para ler
o item a) desta questão? 1µm = 10–6m.
4. Um carro percorre um trecho retilíneo de uma estrada ABC.
8–
O trecho AB tem comprimento d e o trecho BC tem
comprimento 2d.
No trecho AB a velocidade escalar média do carro vale V
e no trecho BC vale 2V.
A velocidade escalar média do carro entre as posições A e
C vale:
4
3
8
a) V b) –– V
c) –– V
d) –– V e) 2V
3
2
5
5. (AMAN-99) – Um automóvel percorre a primeira
metade de um trecho retilíneo de extensão total 400m com
velocidade escalar média de 120km/h.
Para que a velocidade escalar média, em todo o trecho,
seja de 80km/h, a velocidade escalar média na segunda
metade do trecho deverá ser de:
a) 20km/h
b) 48km/h
c) 56km/h
d) 60km/h
e) 80km/h
6. (UFEs) – Em uma viagem entre duas cidades um
automóvel percorreu a metade do caminho com
velocidade ecalar média V1 = 30km/h e a outra metade
com velocidade escalar média V2 = 70km/h. A distância
total percorrida vale D.
A velocidade escalar média na viagem toda:
a) depende do valor de D
b) é dada pela média aritmética entre V1 e V2, isto é:
V1 + V2
Vm = ––––––– = 50km/h
2
c) é dada pela média geométrica entre V1 e V2, isto é:
Vm = V1V2 @ 46km/h
d) é dada pela média harmônica entre V1 e V2, isto é:
2V1V2
Vm = –––––––
= 42km/h
V1 +V2
e) depende do tempo total gasto na viagem.
7. (CEsGRANRIO-RJ) – Na figura abaixo, temos uma
“malha” formada por 16 retângulos iguais.
Uma partícula deve ir do ponto P ao ponto M, percorrendo
a menor distância possível, deslocando-se somente sobre
as linhas da figura e com velocidade escalar média de
2cm/s.
Se a partícula leva 16 segundos para completar o percurso,
pode-se concluir que o perímetro de cada retângulo, em
cm, mede
a) 32
b) 24
c) 16
d) 8
e) 4
9. (OlIMPíADA PAUlIsTA DE FísICA) – Beatriz
parte de casa para a escola com uma velocidade escalar
constante de 4,0km/h. Sabendo-se que Beatriz e Helena
moram a mesma distância da escola e que Helena saiu de
casa, quando Beatriz já havia percorrido dois terços do
caminho, qual deve ser a velocidade escalar média de
Helena para que possa chegar à escola, no mesmo instante
em que Beatriz?
a) 1,3km/h
b) 2,0km/h
c) 4,0km/h
d) 6,0km/h
e) 12,0km/h
resolução dos exercícios-tarefa
■ MóDUlOs 5 e 6
1) 2 , 1 4 3 6 m
m dm cm mm
1.o algarismo
duvidoso
algarismos
corretos
algarismos significativos
Resposta: D
2) Na leitura do termômetro, encontramos o valor
tc = 38,65°C, em que 5 é o algarimo duvidoso.
Assim, usando a expressão fornecida, temos:
2 . 38,65
tx = ––––––––– (°X)
3
tx @ 25,77°X em que o último algarismo 7 é duvidoso.
2
Observemos que a razão ––– , presente na equação de
3
conversão, não foi obtida através de medidas e, portanto, não influi na análise de algarismos significativos.
Dessa forma, no resultado devemos manter o mesmo
número de algarismos significativos da temperatura
medida no termômetro graduado em Celsius.
Resposta: D
3) 13,5 . 8,9 = 120,15
resultado: 1,2 . 102 cm2
Resposta: D
4) a) C = 2π R
C = 2 . 3,14159 . 0,50 (m)
Como o fator com menor número de algarismos
significativos é 0,50, devemos dar o resultado
com apenas dois algarismos significativos, ou
seja:
C = 3,1m
b) C = 2π R
C = 2 . 3,14159 . 0,500 (m)
Como o fator com menor número de algarismos
significativos é 0,500, devemos dar o resultado
com três algarismos significativos, ou seja:
C = 3,14m
c) C = 2π R
C = 2 . 3,14159 . 0,5000 (m)
Como o fator com menor número de algarismos
significativos é 0,5000, devemos dar o resultado
com quatro algarismos significativos, ou seja:
C = 3,142m
5) 5,7 . 1,25 = 7,125
resultado: 7,1 m2
Resposta: D
6) 1,25 . 102 + 0,810 . 102 + 1,0893 . 102 = 3,1493 . 102
resultado: 3,15 . 102 km
Resposta: B
■ MóDUlO 7
1) ∆t = 30 . 24 . 60 . 60 s
∆t = 2592000 s
∆t 2,6 . 106 s
10
, temos:
Como 2,6 < 6
OG = 10
Resposta: C
2) Em um minuto de alumbramento, o coração bate,
aproximadamente, 100 vezes.
Assim, temos:
N = 1 . 102 batimentos
Como 1 < 10
, temos:
2
OG = 10
–9
Resposta: B
y=
3) N = 30 . 365 . 10 cigarros
N = 109500 cigarros
N 1,1 . 105 cigarros
10
, temos:
Como 1,1 < 5
OG = 10
Resposta: D
3
a2
(
x2
1 – –––
a2
)
y2 = 3a2 – 3x2
y2
x2
––––
+
––––
=1
3a2
a2
(elipse)
4) 1 gota  5,0 . 10–2 ml
N  1000 ml
1000
N = ––––––––
5,0 . 10–2
N = 2,0 . 104 gotas
Como 2,0 < 10
, temos:
OG = 104
Resposta: D
Resposta: B
5) Aregião = 5% Aplaneta
Aregião = 5% . 4π R2
Aregião = 0,05 . 4 . 3,1 . (6,5 . 103)2 km2
Aregião 2,6 . 107 km2
l @ 5,0 . 10 3m = 5,0km
Como 2,6 < 10 , temos:
OG = 107
b) O número total de caracteres contido no enunciado do item a) é 83.
Portanto: ∆s = 83 . 8 . 10 –6m = 664 . 10 –6m
∆s = 6,64 . 10 –4m
Resposta: C
■ MóDUlO 8
∆s
sendo: V = ––– , vem:
∆t
1) Resposta: C
2) (1)
(2)
x
x = a cos t  cos t = –––
a
sen2 t + cos2 t = 1
sen t = 1 – cos2 t
(3)
y = a 3 sen t
∆s
6,64 . 10 –4
∆t = ––– = ––––––––––– s
V
1,2
∆t @ 5,5 . 10 –4s
Respostas: a) aproximadamente 5,0km
b) aproximadamente 5,5 . 10 –4s
4) 1. Cálculo do tempo gasto em cada trecho:
y = a 3 1 – cos2 t
3
y = a 3) a) O comprimento l da trilha gravada é dado por:
l = V . ∆t
l = 1,2 . 70 . 60 (m)
2
x
–––
1– ( a )
∆s
∆s
Vm = –––  ∆t = –––
Vm
∆t
d
2d
d
∆t1 = ––– e ∆t2 = ––– = –––
V
2V
V
2. O tempo total entre A e C é dado por:
10 –
A velocidade escalar média é dada por:
2d
∆t = ∆t1 + ∆t2 = –––
V
3. A velocidade escalar média entre A e C é dada
por:
AC
3
V
VAC = ––– = 3d . –––  VAC = ––V
∆t
2
2d
Resposta: C
5)
V1
V2
A
•
•
2 V1V2
2 . 70 . 30
Vm = –––––––– = –––––––––– (km/h)
100
V2 + V1
Vm = 42km/h
C
B
d
2V1 V2
∆s
Vm = ––– = D . –––––––––––
∆t
D(V2 + V1)
d
Resposta: D
d
d
 ∆t1 = –––––
1) V1 = –––––
∆t
V
1
7) A distância total percorrida ∆s é dada por
∆s = Vm ∆t
∆s = 2 . 16 (m) = 32m
1
d
d
V2 = –––––  ∆t2 = –––––
∆t2
V2
d
d
d(V2 + V1)
+ ––––– = –––––––––––
2) ∆t = ∆t1 + ∆t2 = –––––
V
V
VV
1
2
1 2
∆s
V1V2
V1V2
V
=
––––
=
2d
.
–––––––––
=
–––––––––
m
3)
∆t
d(V2V1)
(V1 + V2)
2 . 120 . V2
80 = –––––––––––
120 + V2
V2 = 60km/h
32 = 4 (a + b)
a + b = 8cm
P = 2 (a + b) = 16cm
Resposta: C
Resposta: D
∆s
∆s
6) V = –––  ∆t = –––
∆t
V
D/2
D
Na 1ª metade:∆t1 = –––– = –––
V1
2V1
D/2
D
Na 2ª metade: ∆t2 = –––– = ––––
V2
2V2
DV2 + DV1
D
D
No trajeto todo: ∆t = –––– + –––– = ––––––––––
2V1
2V2
2V1V2
8) seja D a distância percorrida por Beatriz e Helena
de suas casas até a escola:
Para percorrer um terço do caminho que falta, o temT
po gasto por Beatriz é –––, onde T é o tempo total que
3
ela gasta no trajeto todo.
Para chegarem juntas, Helena deve percorrer a distânT
cia total D no tempo ––– e, portanto, sua velocidade
3
escalar média é o triplo da velocidade escalar constante de Beatriz.
Vm
(H)
= 3VB = 3 . 4,0km/h = 12,0km/h
Resposta: E
D(V2 + V1)
∆t = ––––––––––
2V1V2
– 11
12 –