Capítulo 1
Espaço Vetoriais
O objetivo deste capítulo é introduzir o conceito de espaços vetoriais, dependência e
independência linear.
Definição 1.1 Seja V um conjnto não vazio e R o corpo dos números reais, nos quais
podemos definir as seguintes operações:
+ : V × V → V,
que a cada par (u, v) ∈ V × V, associa o elemento u + v ∈ V, denominada adição e
· : R × V → V,
que a cada par (α, u) ∈ R × V, associa o elemento α · u ∈ V, denominada multiplicação
por escalar. Dizemos que V munido destas operações é um espaço vetorial real se e
somente se estas operações satisfazem as seguintes propriedades:
a) associatividade: (u + v) + w = u + (v + w) , para todos u, v, w ∈ V
b) comutatividade: u + v = v + u, para todos u, v ∈ V
c) existência de elemento neutro: existe 0 ∈ V tal que u + 0 = u, para todo u ∈ V
d) existência de elemento simétrico: para cada u ∈ V, existe −u ∈ V tal que u+(−u) = 0.
e) α · (u + v) = α · u + α · v, para todo α ∈ R e para todos u, v ∈ V
f) (α + β) · u = α · u + β · v, para todos α, β ∈ R e para todo u ∈ V
g) (αβ) · u = α · (β · u) , para todos α, β ∈ R e para todo u ∈ V.
h) 1 · u = u, para todo u ∈ V
Exemplo 1.1 O conjunto V = R2 , munido das operações de adição (x, y) + (a, b) =
(x + y, a + b) e de multiplicação por escalar α · (x, y) = (αx, αy) é um espaço vetorial
real.
1
2
CAPÍTULO 1. ESPAÇO VETORIAIS
Exemplo 1.2 O conjunto V = Mm×n (R) , munido das operações de adição de matrizes
e da multiplicação de uma matriz por um escalar é um espaço vetorial real.
Exemplo 1.3 O conjunto dos números complexos C, munido das operações de adição
de números complexos (x + iy) + (a + ib) = (x + a) + i (y + b) e da multiplicação de um
número complexo por um número real: α · (x + iy) = αx + iαy é um espaço vetorial real.
Proposição 1.1 Seja V um espaço vetorial real. Então:
a) O elemento neutro é único.
b) Para cada u ∈ V o elemento simétrico de u é único.
c) α · u = 0 ⇔ α = 0 ou u = 0.
d) (−1) · u = −u, para todo u ∈ V.
Definição 1.2 Seja V um espaço vetorial real e H ⊂ V, H = ∅. Dizemos que H é um
subespaço vetorial de V, quando H munido das operações definidas em V, é também
um espaço vetorial.
Proposição 1.2 Seja V um espaço vetorial real e H ⊂ V, H = ∅. H é um subespaço
vetorila de V ⇔ α · u + β · v ∈ H, para todo u, v ∈ H e α, β ∈ R.
Exemplo 1.4 Considere V = R2 então H = {(x, y) ∈ R2 ; x = y} é um subespaço
vetorial de R2 , já que (0, 0) ∈ H, portanto H = ∅. Ainda para todos (x, y) , (u, v) ∈ H,
e α, β ∈ R tem-se que x = y e u = v, logo α (x, y) + β (u, v) = (αx + βu, αy + βv) ∈ H,
pois αx + βu = αy + βv.
Exemplo 1.5 Considere V = Mn×n (R) , então H = {A ∈ V ; At = A} é um subespaço
vetorial de V.
Exemplo 1.6 O conjunto constituído apenas do vetor nulo é um subespaço vetorial de
qualquer espaço vetorial.
Proposição 1.3 Seja V um espaço vetorial real e H, W subespaços de V então:
a) H ∩ W é um subespaço de V.
b) H + W = {u + v; u ∈ H e v ∈ W } é um subespaço de V.
1.1. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
1.1
3
Dependência e independência linear
Daremos a seguir o importante conceito de dependência e independência linear, um dos
principais conceitos de Álgebra linear. Em todo este parágrafo V é um espaço vetorial
real.
Definição 1.3 Sejam u1 , u2 , . . . , un ∈ V . Dizemos que u ∈ V é uma combinação linear
de u1 , u2 , . . . , un se e só se existem α1 , α2 , . . . , αn ∈ R tais que
u=
n
αi ui .
(3)
i=1
Nota 1.1 Quando u é uma combinação linear de u1 , u2 , . . . , un , dizemos que u é gerado por {u1 , u2 , . . . , un } e que α1 , α2 , . . . , αn são os coeficientes de u com respeito a este
conjunto gerador.
Definição 1.4 Seja S = {u1 , u2 , . . . , un } ⊂ V. O conjunto de todas as combinações
lineares dos elementos de S será denotado por [S] . Ou seja,
n
[S] =
α i ui ; α i ∈ R
(4)
i=1
Proposição 1.4 [S] é um subespaço vetorial de V, denominado subespaço gerado por S.
Nota 1.2 Se S é um subconjunto infinito de V, então [S] é o conjunto de todas as combinações lineares dos subconjuntos finitos de S, pois uma combinação linear é sempre
finita.
Nota 1.3 Por convenção dizemos que o subespaço nulo é gerado pelo conjunto vazio, isto
é, [∅] = {0}.
Proposição 1.5 Seja V um espaço vetorial real e S, F ⊂ V então:
a) S ⊂ [S] .
b) Se S ⊂ F então [S] ⊂ [F ] .
c) [[S]] = [S] .
d) [S ∪ F ] = [S] + [F ] .
Nota 1.4 Observe que o vetor nulo é gerado por qualquer subconjunto de vetore de V,
bastando tomar os coeficientes todos iguais a 0. Mas veremos que esta não é a única
maneira de gerar o vetor nulo.
4
CAPÍTULO 1. ESPAÇO VETORIAIS
Definição 1.5 Sejam u1 , u2 , . . . , un ∈ V . Dizemos que {u1 , u2 , . . . , un } é um subconjunto
linearmente independente (l.i) . de V quando a única combinação linear que gera o
vetor nulo é aquela em que todos os coeficientes são nulos. Ou seja,
n
i=1
αi ui = 0 ⇔ αi = 0, i = 1, . . . , n.
Caso contrário, dizemos que {u1 , u2 , . . . , un } é um subconjunto
linearmente dependente
(l.d.) de V , isto é, se existe algum αi ∈ R, αi = 0, tal que ni=1 αi ui = 0 = 0.
Exemplo 1.7 O subconjunto {(1, 1) , (1, −1)} do R2 é l.i., pois
α (1, 1) + β (1, −1) = (0, 0)
se e somente se
α+β =0
⇔ α = β = 0.
α−β =0
Exemplo 1.8 O subconjunto {(1, 1) , (1, −1) , (2, 4)} do R2 é l.d., pois
α (1, 1) + β (1, −1) + γ (2, 4) = (0, 0)
se e somene se
se e somente se
α + β + 2γ = 0
α − β + 4γ = 0
α = −3γ
, ∀γ ∈ R,
β=γ
ou seja tomando α = −3 e β = γ = 1, temos que
−3 (1, 1) + (1, −1) + (2, 4) = (0, 0) ,
portanto uma combinação linear, onde nenhum dos coeficientes é 0 gerando o vetro nulo
(0, 0) .
Proposição 1.6 Seja V um espaço vetorial e S ⊂ V. Então:
a) S = {u} é l.d. ⇔ u = 0.
b) S = {u1 , u2 , . . . , un } é l.d. ⇔ existe k ∈ {1, . . . , n} tal que uk ∈ [S\{uk }] .
c) Se S = {u
1 , u2 , . . . , un } é l.i. então para cada u ∈ [S] existem únicos α1 , . . . , αn tal
que u = ni=1 αi ui .
d) Se S = {u1 , u2 , . . . , un } é l.i. e S ∪ {w} é l.d. então w ∈ [S] .
e) Se S é l.i. então todo subconjunto de S é l.i.
f) Se S é l.d. e S ⊂ T ⊂ V então T é l.d.
1.1. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
1.1.1
5
Lista de exercícios
Exercício 1.1 Analise se o conjunto V = {(x, y) ; x, y ∈ R com y > 0} munido das
operações
(x, y) ⊕ (u, v) = (x + u, yv) , para todo (x, y) , (u, v) ∈ V.
α · (x, y) = (αx, y α ) , para todo α ∈ R e (x, y) ∈ V.
é um espaço vetorial real.
Exercício 1.2 Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de V = M2×2 (R) .
a) H = {A ∈ V ; At = −A}.
b) H = {A ∈ V ; tr (A) = 1}.
Exercício 1.3 Determine um conjunto finito e l.i.de geradores dos subespaços abaixo,
isto é, determine S finito l.i. tal que [S] = H.
a) H = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y − z = 0}.
b) H = {A ∈ M2×2 (R) ; At = A}.
Exercício 1.4 Determine se os subconjuntos do R3 abaixo são l.i. ou l.d.
a) S = {(1, 1, −1) , (0, 2, 3) , (2, 1, 1) , (−1, 1, 3)}. para cada u
b) S = {(0, 1, 0) , (−1, 2, 1)}.
c) S = {(5, −2, 0) , (2, 3, 1) , (1, 0, 1)}.
Exercício 1.5 Seja {v1 , . . . , vn } um subconjunto de um espaço vetorial real. Mostre que
{v1 , . . . , vn } é l.i. ⇔ a igualdade α1 v1 + · · · + αn vn = β 1 v1 + · · · β n vn só é válida se
αi = β i , i = 1, . . . n.
Exercício 1.6 Prove que {u, v} é um subconjunto l.i. de um espaço vetorial V ⇔ {u +
v, u − v} é também um subconjunto l.i. de V.
Exercício 1.7 Prove que se {u, v, w} é um subconjunto l.i. de um espaço vetorial V então
{u + v + w, u − v, 3v} também um subconjunto l.i. de V.
6
1.2
CAPÍTULO 1. ESPAÇO VETORIAIS
Base
Vimos na seção anterior que se u ∈ [S] e S é um subconjunto finito e l.i. de um espaço
vetorial V então a combinação linear de elementos de S é única. Isto nos leva a definição
de base de um espaço vetorial finitamente gerado.
Definição 1.6 Seja V um espaço vetorial real. Dizemos que V é finitamente gerado,
quando existe um subconjunto finito S de V tal que V = [S] .
Exemplo 1.9 O R2 é um espaço finitamente gerado pois [(1, 0) , (0, 1)] = R2 .
Exemplo 1.10 O M2×2 (R) é um espaço finitamente gerado pois
1 0
0 1
0 0
0 0
,
,
,
= M2×2 (R) .
0 0
0 0
1 0
0 1
Definição 1.7 Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Dizemos que B ⊂ V é
uma base de V quando [B] = V e B é l.i.
Exemplo 1.11 O subconjunto B = (1, 0) , (0, 1) é uma base do R2 pois [B] = R2 e
(1, 0) , (0, 1) é l.i.
1 0
0 1
0 0
0 0
Exemplo 1.12 O subconjunto B =
,
,
,
é uma
0 0
0 0
1 0
0 1
base de M2×2 (R) , pois [B] = V e B é l.i.
Proposição 1.7 Seja V um espaço vetorial real finitamente gerado V.Então B = {u1 , . . . , un }
é uma base de V ⇔ para cada u ∈ V existem únicos α1 , . . . , αn ∈ R tais que u =
n
i=1 αi ui .
Nota 1.5 A base de um espaço vetorial não é única. Para isso vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1.13 Os subconjuntos {(1, 0) , (0, 1)} e {(1, 1) (1, −1)} são bases do R2 .
No entanto temos algumas propriedades sobre bases quaisquer de um mesmo espaço
vetorial.
Proposição 1.8 Se B é uma base de um espaço vetorial real finitamente gerado V, com
n elementos então:
a) Qualquer subconjunto de V com mais de n elementos é l.d.
b) Todo subconjunto l.i. de V tem no máximo n elementos.
Teorema 1.9 Duas bases de um mesmo espaço vetorial real V finitamente gerado possuem o mesmo número de elementos.
1.2. BASE
7
Definição 1.8 Seja V um espaço vetorial real finitamente gerado. Dizemos que a dimensão de V é n quando uma base de V possui n elementos. Denotamos por:
dim V = n.
Exemplo 1.14 dim R2 = 2.
Exemplo 1.15 dim M2×2 (R) = 4.
Definição 1.9 Seja W um subespaço vetorial de um espaço vetorial real finitamente gerado V . Definimos dimensão de W, como sendo o número de elementos de uma base
qualquer de W.
Notação 1.10 dim W = número de elementos de uma base de W.
Exemplo 1.16 Seja B = {u1 , u2 , u3 } uma base de um espaço vetorial V e W = [u1 −
u2 , u1 + u2 + u3 ]. Determine dim W. Como já temos um conjunto gerador, basta verificar
se este é l.i. Vejamos α (u1 − u2 ) + β (u1 + u2 + u3 ) = 0 ⇔ (α + β) u1 + (β − α) u2 + βu3
e como B é l.i, então β = 0 = α e portanto o conjunto gerador de W é l.i, sendo assim
é uma base de W ⇒ dim W = 2.
Proposição 1.11 Seja V um espaço vetorial real de dimensão n. Então todo subconjunto
de V, l.i., com n elementos é uma base de V.
Definição 1.10 Uma base ordenada de um espaço vetorial real finitamente geradoV de
dimensão n é uma n − upla ordenada de vetores l.i.de V.
Exemplo 1.17 Como {(1, 0) , (0, 1)} é uma base do R2 então ((1, 0) , (0, 1)) é uma base
ordenada de R2 , assim como ((0, 1) , (1, 0)) é uma outra base ordenade de R2 .
Definição 1.11 Seja V um espaço vetorial real fintamente gerado e B = (u1 , . . . , un ) uma
base ordenada de V. Então sabemos que para
 cada
u ∈ V existem únicos α1 , . . . , αn ∈ R
α1
n
 .. 
tais que u =
 de números reais, denominamos de
i=1 αi ui . À matriz coluna .
αn
coordenadas de u com respeito à base ordenada B e denotamos por


α1


(u)B =  ...  .
αn
Nota 1.6 Observe que uma vez conhecida a base ordenada as coordenadas de um vetor
o caracterizam completamente.
8
CAPÍTULO 1. ESPAÇO VETORIAIS
Vejamos alguns resultados importantes envolvendo as coordenadas dos vetores com
respeito a uma determinada base ordenada.
Exemplo 1.18 Considerando B = ((1, 0, 1) , (0, 1, 0) , (1, 0, −1)) uma base ordenada de
R3 , temos que para cada (x, y, z) ∈ R3 existem α, β, γ ∈ R tais que
(x, y, z) = α (1, 0, 1) + β (0, 1, 0) + γ (1, 0, −1)
ou seja
(x, y, z) = (α + γ, β, α − γ) .
Assim temos o seguinte sistema
o que implica
Assim,

 x=α+γ
y=β

z =α−γ

x+z


 α= 2
β=y
.

x
−
z

 γ=
2
 x+z
 2
((x, y, z))B = 
 y
x−z
2


.

Proposição 1.12 Seja B = (u1 , . . . , un ) uma base ordenada de um espaço vetorial real
V . Então (u + v)B = (u)B + (v)B e (λu)B = λ (u)B , para todos u, v ∈ V e λ ∈ R.
Proposição 1.13 Seja B = (u1 , . . . , un ) uma base ordenada de um espaço
real
 vetorial

a1
 .. 
n
V. Então dado (a1 , . . . , an ) ∈ R , existe um único u ∈ V tal que (u)B =  .  .
an
A demonstração destas proposições seguem diretamente da definição de coordenadas
de um vetor com respeito a uma base ordenada e serão deixadas como exercícios.
Nota 1.7 Das duas proposições anteriores segue que podemos identificar os elementos
de um espaço vetorial real V de dimensão n com os elementos do Rn , pois existe uma
correspondência biunívoca entre eles, que preserva suas operações.
1.2. BASE
9
Proposição 1.14 Seja B = (u1 , . .
. , un ) uma
 base ordenada
 de umespaço vetorial real V.
a11
an1
 .. 
 .. 
e w1 , . . . , wn ∈ V tais que (w1 )B =  .  , . . . , (wn )B =  .  . Então {w1 , . . . , wn }
a1n
ann


a11 . . . a1n

..
..  =
é l.i ⇔ {(w1 )B , . . . , (wn )B } é um subconjunto l.i. de Mn×1 (R) ⇔ det  ...
.
. 
an1 . . . ann
0.
Em algumas situações a escolha da base adequada ajuda na resolução de problemas
mais facilmente. No entanto, se já conhecemos as coordenadas de um vetor com respeito
a uma determinada base e queremos mudar a base, queremos saber qual a relação entre
as coordenadas de um vetor numa nova base, a partir das coordenadas denadas do mesmo
vetor com respeito a diferentes bases, pois assim poderemos resolver nosso problema na
base mais adequada e em seguida voltar à base inicial. Vejamos então como proceder.
Para isso é necessário trabalharmos com matrizes, como veremos a seguir.
Definição 1.12 Sejam B = (u1 , . . . , un ) e C = (v1 , . . . , vn ) bases ordenadas de um espaço
vetorial V. Então como cada vi , i = 1, . . . , n é um vetor de V e B é base ordenadade
n
V , segue que existem únicos aji ∈ R, j = 1, . . . , n tais que vi =
aji uj . À matriz
j=1


a11 . . . a1n

..
..  denominamos matriz mudança da base B para a base C e
M =  ...
.
. 
an1 . . . ann
a denotaremos por MBC .
Nota 1.8 Observe que, com a notação da definição acima segue que
MBC = (v1 )B · · · (vn )B
isto é, as colunas de MBC são as coordenadas dos vetores da base C com respeito à base
B.
Exemplo 1.19 Sejam B = ((1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1)) e C = {(1, 0, 1) , (0, 1, 0) , (1, 0, −1)
bases ordenadas de R3 . A matriz MBC é dada por


1 0 1
MBC =  0 1 0  ,
1 0 −1
enquanto que a matriz mudança da base C para a base B, isto é, MCB é dada por


1
1
 2 0 2 


MCB =  0 1 0  .
 1
1 
0 −
2
2
10
CAPÍTULO 1. ESPAÇO VETORIAIS
Veremos a seguir importantes propriedades da matriz mudança de base e como ela nos
ajudará a determinar as coordenadas de um vetor numa nova base.
Proposição 1.15 Sejam B, C e D bases ordenadas de um espaço vetorial finitamente
gerado V, de dimensão n. Então
a) MBD = MBC MCD .
b) (u)C = MCB (u)B .
−1
c) MBC
= MCB .
d) MBB = In , onde In é a matriz identidade n × n.
Exemplo 1.20 Sejam B = ((1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1)) e C = {(1, 0, 1) , (0, 1, 0) , (1, 0, −1)
bases ordenadas de R3 , já vimos que
logo tem-se que
 x+z
 2
((x, y, z))C = 
 y
x−z
2





x

 e ((x, y, z)) =  y  ,
B

z
x
1 0 1
((x, y, z))B =  y  =  0 1 0
z
1 0 −1
 x+z   1
0
2
 2  

= 0 1
((x, y, z))C = 
 y
 
x−z
1
0
2
2
1.2.1

 x+z 
 2 
 = MBC ((x, y, z))
 y
C


x−z
2
1
 
x
2 
 
0  y
= MCB ((x, y, z))B .
1  z
−
2

Lista de exercícios
Exercício 1.8
uma 
base ordenada
B deR3 , considere
os vetores u, v, w ∈ R3 tais
 Fixada



2
0
4





1 , (v)B =
1
5 .
que (u)B =
e (w)B =
3
−1
3
a) Calcule (u + v)B e (u − 2v + 3w)B .
b) Determine a e b, de modo que au + bv = w.
1.2. BASE
11
Exercício 1.9 Seja B uma base ordenada de R3
. Mostre
 que {u, v} é l.d. ⇔existe λ, α ∈
0
R não ambos nulos tais que α (u)B + λ (v)B =  0  , isto é, se suas coordenadas são
0
proporcionais.
Exercício 1.10 Seja B uma base ordenada de R3 . Determine m, de modo que os vetores
abaixo sejam l.d..
 
 


3
2
1
a) (u)B =  5  , (v)B =  0  e (w)B =  m 
1
4
3
 


1
2
b) (u)B =  3  e (v)B =  1 + m 
5
10
Exercício 1.11 Dada a base ordenada de R3 , (e1 , e2 , e3 ) ,considere os vetores f1 = e1 −
e2 − e3 , f2 = e1 + 2e2 + e3 e f3 = 2e1 + e2 + 4e3 .
a) Verifique que (f1 , f2 , f3 ) é uma base.
b) Determine a matriz mudança da base nova para a base antiga.
c) Sendo v = 3e1 − 5e2 + 4e3 , determine as coordenadas de v na nova base.
Exercício 1.12 Para cada um dos subespaços abaixo, determine uma base e sua dimensão:
a) H = {A ∈ M2×2 (R) ; At = −A}.
b) H = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y − 2z = 0}.
c) H = {p ∈ P2 (R) ; p (1) = 0}.
Exercício 1.13 Considerando U = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + 2y − z = 0} e W = {(x, y, z) ∈
R3 ; x + z = 0} subespaços do R3 , determine uma base de U ∩ W e uma base para U + W.
Exercício 1.14 Determine as coordenadas do vetor u = (4, −5, 3) ∈ R3 em relação à
base ordenada B = ((1, 2, 1) , (0, 3, 2) , (1, 1, 4)) .
Exercício 1.15 A matriz mudança de uma base ordenada B do R2 para a base ((1, 1) , (0, 2))
desse mesmo espaço é:
5 −2
.
0 3
Determine a base B.
12
CAPÍTULO 1. ESPAÇO VETORIAIS
Exercício 1.16 Considere o seguinte subespaço vetorial de M2×2 (R) :
a b
U ={
; a − b − c = 0}.
c d
a) Mostre que os subconjuntos abaixo são bases de
1 1
1 0
0 0
B =
,
,
,
0 0
1 0
0 1
1 0
0 −1
0 0
C =
,
,
.
1 0
1 0
0 1
b) Determine a matriz mudança da base B para a base C e a da base C para a base B.
c) Determine uma base D de U, tal que a matriz mudança de D para B seja


1 1 0
 0 0 2 .
0 3 1
1.3
Produto Interno
Conceitos importantes na geometria são o de ângulo entre vetores, o de distância e o de
comprimento de vetores. Todos esses conceitos provem do conceito de produto escalar.
Vamos agora generalizar este conceito para um espaço vetorial qualquer.
Definição 1.13 Seja V um espaço vetorial real. Um produto interno sobre V é uma
função
, : V × V → R
tal que:
i) u, v = v, u , para todos u, v ∈ V.
ii) u + v, w = u, w + v, w para todos u, v, w ∈ V.
iii) α · u.v = α u, v para todos u, v ∈ V e α ∈ R.
iv) u, u ≥ 0, para todo u ∈ V e u, u = 0 se e somente se u = 0.
Um espaço vetorial real munido de um produto interno é denominado um espaço vetorial euclidiano.
Exemplo 1.21 Um produto interno sobre R3 é dado por:
(x, y, z) , (a, b, c) = xa + yb + zc.
1.3. PRODUTO INTERNO
13
Exemplo 1.22 Um produto interno sobre P2 (R) é
a + bt + ct2 , α + βt + γt2 = aα + bβ + cγ.
Exemplo 1.23 Um produto interno sobre Mm×n (R) é dado por:
A, B = tr AB t .
Proposição 1.16 Seja V um espaço vetorial real euclidiano. Então:
P1) 0, u = 0, para todo u ∈ V.
P2) u, v + w = u, v + u, w para todos u, v, w ∈ V.
P3) u, α · v = α u, v para todos u, v ∈ V e α ∈ R.
n
n
αi ui , v = αi ui , v .
P4)
i=1
i=1
Definição 1.14 Seja V um espaço vetorial euclidiano. Então para cada u ∈ V, definimos
a norma de u, como sendo o número real não negativo:
u = u, u.
Exemplo 1.24 Em Rn a norma de (x1 , . . . , xn ) é dada por:
(x1 , . . . , xn ) = x21 + · · · + x2n .
Exemplo 1.25 Em Mm×n (R) a norma de cada matriz A é dada por:
A = tr AAt .
Proposição 1.17 Seja V um espaço vetorial euclidiano. Então:
a) u ≥ 0, para todo u ∈ V e u = 0 ⇔ u = 0.
b) α · u = |α| u para todo u ∈ V e α ∈ R.
c) u + v ≤ u + v para todos u, v ∈ V.
Proposição 1.18 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz): Seja V um espaço vetorial
euclidiano. Então para todos u, v ∈ V, tem-se que:
|u, v| ≤ u v .
14
CAPÍTULO 1. ESPAÇO VETORIAIS
Nota 1.9 A partir da desigualdade acima, se u, v são vetores não nulos de V, tem-se que
−1 ≤
u, v
≤ 1,
u v
e portanto define-se o ângulo θ entre u e v, tal que
cos θ =
u, v
.
u v
Definição 1.15 Seja V um espaço vetorial euclidiano. Dizemos que u, v ∈ V são ortogonais quando u, v = 0. Denotaremos u⊥w.
Nota 1.10 Observe que quando u = 0, v = 0 então u, v = 0 ⇔ o ângulo θ entre u e v
π
é . Enquanto que {u, v} são l.d. ⇔ o ângulo θ entre u e v é 0. ou π.
2
Proposição 1.19 Seja V um espaço vetorial euclidiano. Se {u1 , . . . , un} é um subconjunto de vetores não nulos e dois a dois ortogonais então {u1 , . . . , un} é um subconjunto
l.i.
Definição 1.16 Dizemos que uma base B de um espaço vetorial real V finitamente gerado
é ortonormal quando seus vetores são unitários, isto é têm norma igula a 1, e são dois
a dois ortogonais.
Nota 1.11 É claro que se um espaço W é tal que dim W = 1, uma base ortonormal de
W terá apenas um vetor unitário.
Veremos a seguir como a norma de um vetor, o produto interno entre dois vetores e
as coordenadas de um vetor podem ser escritos em relação às suas coordenadas quando a
base é ortonormal.
Proposição 1.20 Seja B = (e1 , . . . , en ) uma base ordenada

 ortonormalde um
 espaço
a1
b1
 .. 
 .. 
vetorial real euclidiano V e u, w ∈ V tais que (u)B =  .  e (w)B =  .  . Então
an
b
n
t
ai = u, ei , bi = w, ei , u, w = a1 b1 + · · · + an bn = (u)B (w)B e u = a21 + · · · + a2n .
Exemplo 1.26 Seja V um espaço
√ vetorial real euclidiano de dimensão igual a 3. Determine u ∈ V tal que u = 3 3, u⊥w, u⊥v e u forma
agudo
e1 ,
 um ângulo

 com 
2
1
onde B = (e1 , e2 , e3 ) é uma base ortonormal de V , (w) =  3  e (v) =  −2  .
−1
3
Consideremos u = ae1 + be2 + ce3 . Assim, das hipóteses, segue que
a2 + b2 + c2 = 27
2a + 3b − c = 0
a − 2b + 3c = 0
1.3. PRODUTO INTERNO
15
Assim, temos que b = c, a = −b e portanto b = ±3. Agora utilizando a hipótese de que u
forma um ângulo agudo com e1 , segue que a > 0 e assim, b = −3, a = 3 e c = −3. Logo
u = 3e1 − 3e2 + 3e3 .
Veremos a seguir que dada uma base ordenada qualquer de um espaço vetorial real
euclidiano V, pode-se construir uma nova base ordenada ortonormal, da seguinte forma:
Teorema 1.21 Processo de ortonormalização de Gram-Scmidt: Seja B = (u1 , . . . , un )
uma base ordenada de V. Então existe C = (e1 , . . . , en ) base ordenada ortonormal de V
tal que [{e1 , . . . ek }] = [{u1 , . . . , uk }] , 1 ≤ k ≤ n.
Prova. Para que [{e1 }] = [{u1 }] , devemos ter {e1 , u1 } l.d., portanto deve existir α ∈ R
1
1
tal que e1 = αu1 e como e1 = 1, segue que α =
. Logo, e1 =
u1 . Assim, temos
u1 u1 as condições requeridas para o primeiro vetor da base ordenada ortonormal. O segundo
vetor deve ser tal que [{e1 , e2 }] = [{u1 , u2 }] e portanto e2 deverá pertencer a [{u1 , u2 }] =
[{e1 , u2 }] ou seja
e2 = βe1 + γu2 e como {e1 , e2 } deve ser l.i. então γ = 0, logo podemos
β
1
tomar e2 = γ
e1 + u2 = γ (λe1 + u2 ) e como e2 = 1, segue que |γ| =
.
γ
λe1 + u2 logo devemos determinar λ e para isso, é só lembrar que a base que queremos é ortonormal,
portanto e2 , e1 = 0 ⇔ λe1 + u2 , e1 = 0. Assim das propriedades de produto interno,
u2 − u2 , e1 e1
obtemos que λ = − u2 , e1 ⇒ e2 =
. Procedendo de modo análogo,
u2 − u2 , e1 e1 vamos determinar δ, η ∈ R tais que (u3 + δe2 + ηe1 ) ⊥e1 e (u3 + δe2 + ηe1 ) ⊥e2 . Utilizando
o que já obtivemos e as propriedades de produto interno, obtemos que δ = − u3 , e2 e η =
u3 − u3 , e2 e2 − u3 , e1 e1
− u3 , e1 e como e3 é um vetor unitário, segue que e3 =
.E
u3 − u3 , e2 e2 − u3 , e1 e1 assim sucessivamente para cada 1 ≤ k ≤ n, tem-se que
ek =
uk − uk , ek−1 ek−1 − · · · − uk , e1 e1
.
uk − uk , ek−1 ek−1 − · · · − uk , e1 e1 Exemplo 1.27 Sabendo que B = ((1, 0, 1) , (1, 2, 1) , (1, −1, 0)) é uma base de R3 , deter3
mine uma nova
 base
 ortonormal de R , construída a partir do processo de Gram Scmidt
3

1  , determine (u)C .
e se (u)B =
1
Solução 1.22 Do processo de Gram Smidt, construímos C = (e1 , e2 , e3 ) da seguinte
1
2
forma, e1 = √ (1, 0, 1) , e1 , u2 = √ , logo u2 − u2 , e1 e1 = (0, 2, 0) ⇒ e2 = (0, 1, 0).
2
2
16
CAPÍTULO 1. ESPAÇO VETORIAIS
1
Ainda, u3 , e2 = −1, u3 , e1 = √ , u3 − u3 , e2 e2 − u3 , e1 e1
2
 √
2
1
1

0
tanto e3 = √ , 0, − √ . Ainda, temos que MCB =
2
2
0
 √ 
6 2
(u)C = MCB (u)B =  √3  .
2
1
1
=
, 0, −
e por2
2
√
√ 
2 2 2
2 √1  . Assim,
0
2
Proposição 1.23 Sejam B = (u1 , . . . , un ) e C = (e1 , . . . , en ) bases ordenadas ortonormais de um espaço vetorial real eucldiano V . Então a matriz mudança entre as bases B
−1
−1
t
t
e C é uma matriz ortogonal, isto é, MBC
= MBC
e MCB
= MCB
.
Definição 1.17 Seja V um espaço vetorial euclidiano e U um subespaço vetorial de V.
Definimos o complemento ortogonal de U, como sendo o subconjunto:
U ⊥ = {w ∈ V ; w, u = 0, para todo u ∈ U}.
Proposição 1.24 Seja V um espaço vetorial euclidiano e U um subespaço vetorial de V.
O complemento ortogonal de U, U ⊥ , é um subespaço vetorial de V, tal que U ∩ U ⊥ = {0}.
Exemplo 1.28 O complemento ortogonal do subespaço vetorial U = {x, y, z); x−2z = 0}
do R3 é tal que (a, b, c) , (x, y, z) = 0, para todo (x, y, z) ∈ U. Primeiramente determinemos uma base de U. Da definição de U, temos que (x, y, z) ∈ U ⇔ x = 2z, portanto
um vetor de U é da forma (2z, y, z) = z (2, 0, 1) + y (0, 1, 0), logo U = [(2, 0, 1) , (0, 1, 0)] .
Ainda como
α (2, 0, 1) + β (0, 1, 0) = (0, 0, 0) ⇔ α = 0 = β,
temos que {(2, 0, 1) , (0, 1, 0)}
é uma base de U. Logo das propriedades de produto interno,
(a, b, c) , (2, 0, 1) = 0
segue que (a, b, c) ∈ U ⊥ ⇔
, ou seja se e somente se
(a, b, c) , (0, 1, 0) = 0
2a + c = 0
.
b=0
Logo U ⊥ = {(a, 0, −2a) ; a ∈ R}.
Definição 1.18 Seja V um espaço vetorial euclidiano e U um subespaço vetorial de V
de dimensão finita. Considere B = (e1 , . . . , en ) uma base ortonormal de U. Definimos a
projeção ortogonal de V sobre U, como sendo a função: ProjU : V → U definida por
ProjU (v) = v, e1 e1 + · · · + v, en en .
Exemplo 1.29 Determine a projeção ortogonal do vetor (1, 1, 1) ∈ R3 sobre o subespaço
U do exemplo anterior. Para isso precisamos determinar uma base ortonormal de U
e como já temos uma base, basta utilizar o processo de Gram-Schmidt. Assim, e1 =
1.3. PRODUTO INTERNO
17
1
√ (2, 0, 1) , (0, 1, 0) = 0, então e2 = (0, 1, 0) , já que tal vetor
5
3 1
6
3
é unitário. Logo ProjU (1, 1, 1) = √ √ (2, 0, 1) + (0, 1, 0) =
, 1,
. É claro que
5
5
5 5
3
6
3
6
, 1,
∈ U, já que − 2. = 0.
5
5
5
5
1
√ (2, 0, 1) e como
5
Exemplo 1.30 Seja V um espaço vetorial e u ∈ V, u = 0 tal que U = [u] subespaço de
u
V, então uma base ortonormal de U é {e} onde e =
. Assim, para cada v ∈ V, tem-se
u
u
u
v, u
u.
=
que ProjU (v) = v, e e = v,
u u
u2
Nota 1.12 A projeção ortogonal se caracteriza pelo fato de v − ProjU (v) ∈ U ⊥ . Ainda
ProjU (v) ∈ U é o vetor de U mais próximo de v, já que v − ProjU (v) ≤ v − u , para
todo u ∈ U.
1.3.1
Método dos mínimos quadrados
Aproximação por projeções
Suponhamos que você queira determinar o valor de uma constante. Por exemplo uma
constante da Física. Para isso você faz n medições. Se as medidas não tivessem erros você
deveria ter n valores iguais desta medida, já que ela é constante, mas como as medições
trazem imprecisões, em geral obtém-se n valores distintos. O que se faz é tomar a média
aritmética como o valor mais provável da constante. Vejamos porque realmente este é
o valor mais provável. Suponhamos então que obtivemos k1 , . . . , kn valores para a tal
constante. Definimos então o vetor experiência v = (k1 , . . . , kn ) ∈ Rn e consideremos
o subespaço do Rn , U = [(1, . . . , 1)] . Como o valor que gostaríamos de ter obtido era
aquele em que v pertencesse a U, vamos determinar a projeção ortogonal de v sobre U, já
que esta projeção nos dá o vetor de U, mais próximo de v.. Assim, devemos determinar
(k1 , . . . , kn ) , (1, . . . , 1)
k ∈ R, tal que k · (1, . . . , 1) = ProjU (v) =
(1, . . . , 1) , ou seja
(1, . . . , 1)2
(k1 , . . . , kn ) , (1, . . . , 1)
k1 + · · · + kn
k=
=
, da definição de produto interno do Rn . Ou
2
n
(1, . . . , 1)
k1 + · · · + kn
seja o melhor valor para a constante k =
.
n
Se tivermos uma experiência mais complexa, onde queremos determinar o valor de 2
constantes, simultaneamente e tivermos encontrado m valores k1 , . . . , km , para uma delas e
l1 , . . . , lm valores para a segunda, consideremos o vetor experiência E = (k1 , . . . , km , l1 , . . . , lm ) ∈
R2m , espaço vetorial euclidiano, com o produto interno usual e consideremos o subespaço
vetorial de R2m , U = [(1, . . . , 1, 0, . . . , 0) , (0, . . . , 0, 1, . . . , 1)] . Assim, queremos determinar k, l ∈ R tais que k (1, . . . , 1, 0, . . . , 0) + l (0, . . . , 0, 1, . . . , 1) = ProjU (E) . Como
18
CAPÍTULO 1. ESPAÇO VETORIAIS
(1, . . . , 1, 0, . . . , 0) e (0, . . . , 0, 1, . . . , 1) já são ortogonais, para determinar uma vase orto(1, . . . , 1, 0, . . . , 0)
(1, . . . , 1, 0, . . . , 0)
√
normal de U, basta tomarmos e1 =
=
e e2 =
(1, . . . , 1, 0, . . . , 0)
m
(0, . . . , 0, 1, . . . , 1)
(0, . . . , 0, 1, . . . , 1)
√
=
. Assim, k (1, . . . , 1, 0, . . . , 0)+l (0, . . . , 0, 1, . . . , 1) =
(0, . . . , 0, 1, . . . , 1)
m
l1 + · · · + lm
k1 + · · · + km
ProjU (E) = E, e1 e1 + E, e2 e2 ⇒ k =
el=
.
m
m
Ajuste de curvas
Uma necessidade bastante frequente é dados n pontos (xi , yi ) , 1 ≤ i ≤ n encontrar
uma função g, combinação linear de funções conhecidas g1 , . . . , gm , que passa por estes
pontos. Como muitas vezes estes pontos são obtidos por esperiência ou medição, eles
trazem consigo imprecisões e por isso na maioria das vezes não encontramos tal combinação linear que passe pelos pontos (xi , yi ) , 1 ≤ i ≤ n. Consideremos os vetores
G1 = (g1 (x1 ) , . . . , g1 (xn )) , . . . , Gm = (gm (x1 ) , . . . , gm (xn )) , Y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn
e o subespaço U = [G1 , . . . , Gm ] . Queremos então determinar c1 , . . . , cm ∈ R tal que
c1 G1 + · · · + cm Gm = ProjU Y , que é o vetor combinação linear das funções, mais próximo
de Y. Mas c1 G1 + · · · + cm Gm = ProjU Y ⇔ Y − (c1 G1 + · · · + cm Gm ) ∈ U ⊥ , ou seja,
Y − (c1 G1 + · · · + cm Gm ) , Gi = 0, 1 ≤ i ≤ n
c1 G1 + · · · + cm Gm , Gi = Y, Gi , 1 ≤ i ≤ n.
Logo resolvendo o sistema, determinaremos c1 , . . . , cm ∈ R, que fornecem a combinação
linear tal que Y − (c1 G1 + · · · + cm Gm ) é mínima e portanto este método é denominado
método dos mínimos quadrados.
Exemplo 1.31 Uma experiência forneceu os seguintes valores (x1 , y1 ) = (3, 6) , (x2 , y2 ) =
(1, 3) , (x3 , y3 ) = (5, 9) e (x4 , y4 ) = (4, 7) . Determinemos a reta da forma y = kx que
melhor se adapta a estes resultados no sentido dos mínimos quadrados. Temos então
uma única função, a saber, g1 (x) = x. Consideremos os vetores Y = (6, 3, 9, 7) e G1 =
(3, 1, 5, 4) . Assim, queremos determinar k ∈ R tal que
Y − kG1 , G1 = 0 ⇔ k G1 2 = Y, G1 ,
logo,
k=
3.6 + 1.3 + 5.9 + 4.7
94
= .
2
2
2
2
3 +1 +5 +4
51
Exemplo 1.32 Ajustar uma função do tipo g (x) = a + bx2 aos pontos (0, 1.1) , (1, 0.1)
e (2, −3.1) . Assim, a função g1 = 1 e g2 = x2 . Consideremos então os vetores do R3 ,
Y = (1.1, 0.1, −3.1) , G1 = (1, 1, 1) e G2 = (0, 1, 4) . Assim, devemos encontrar a, b ∈ R
tais que
3a + 5b = −1.9
,
5a + 17b = −12.3
que resolvendo nos dá a ∼
= 1.12 e b ∼
= −1.05.
1.3. PRODUTO INTERNO
1.3.2
19
Lista de Exercícios
Exercício 1.17 Num espaço vetorial euclidiano V, mostre que.
a) u, v =
!
1
u + v2 − u − v2 .
4
b) u2 + v2 =
!
1
u + v2 + u − v2 .
2
Exercício 1.18 Seja B = (f1 , f2 , f3 ) uma base ortonormal de um espaço vetorial euclidiano V e C = (e1 , e2 , e3 ) uma base dada por e1 = 2f1 + 3f2 , e2 = f1 + f2 + f3 , e3 = f2 + 2f3 .
a) Determine a matriz MBC .



b) Dados os vetores u, v ∈ V tais que (u)C = 

v e u, v .
1
−
2
−4
5
2



1


 , (v)C =  −1  , calcule u ,

1
c) Determine as coordenadas de um vetor w em relação à base C, de modo que w = 1,
w⊥u e w⊥v, onde u e v do ítem (b).
d) Determine o ângulo entre e1 e e2 . Responda se a base C é ortonormal.
Exercício 1.19 Considere V = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + z = 0}.
a) Determine uma base ortonormal de V.
b) Determine u0 ∈ R3 tal que u0 ⊥u, ∀u ∈ V.
→
c) Dado o vetor w = (1, −3, −2) ∈ R3 , determine v0 ∈ V de modo que w −v0 ⊥v, ∀−
v ∈ V.
"−
→#
→ −
→ −
Exercício 1.20 Considere i , j , k a base ortonormal canônica de R3 .
−
→ −
→
−
→
−
→
→ −
→ −
a) Determine x ∈ R tal que x i + 3 j + 4 k ⊥3 i + j + k .
→
→
−
→ −
→ −
→ −
−
→ −
→ −
b) Determine os ângulos entre os vetores: (i) 2 i + j e j − k , (ii) i + j + k e
−
→
−
→
−2 j − 2 k .
−
→
c) Determine um vetor unitário da direção da bissetriz da ângulo entre os vetores 2 i +
→
−
→
−
→ −
−
→
−
→
3j + k e 3 i +2j −3k.
Exercício 1.21 Determine uma base ortonormal de W e uma base ortonormal de W ⊥ ,
onde W é o subespaço do R4 dado por W = {(x, y, z, t) ; x + y = 0 e 2x + z = y}.
20
CAPÍTULO 1. ESPAÇO VETORIAIS
Exercício 1.22 Determine a projeção ortogonal do vetor (1, 1, 0, −1) ∈ R4 sobre o subespaço W = {(x, y, z, t) ∈ R4 ; x − y − z = 0 e z − 2t = 0}.
Exercício 1.23 Determine a reta em R2 de equação y = kx que melhor se adapte aos
pontos (3, 0) , (2, 1) e (1, 2) .
Exercício 1.24 Determine o polinômio f (x) = ax2 + bx + c, que melhor se ajuste aos
pontos (1, 2) , (3, 1) , (4, 2) e (2, 0) .
Capítulo 2
Transformações Lineares
No primeiro capítulo estudamos os espaços vetoriais e as suas principais propriedades.
Neste próximo capítulo estudaremos as aplicações entre espaços vetoriais, onde as mais
importantes são as transformações lineares.
Definição 2.1 Sejam U e V dois espaços vetoriais reais. Dizemos que uma função T :
U → V é uma transformação linear quando:
T (u + v) = T (u) + T (v) , para todos u, v ∈ U
T (α · u) = α · T (u) , para todo u ∈ U e α ∈ R.
Exemplo 2.1 Considere C 1 (R) o espaço vetorial das funções
riváveis e C (R) o espaço vetorial das funções reais contínuas.
C (R) definida por D (f ) = f é uma transformação linear, já
(αf) = αf , para todas f, g ∈ C 1 (R) e α ∈ R. Assim, D (f
D (αf ) = αD (f) .
reais continuamente deA função D : C 1 (R) →
que (f + g) = f + g e
+ g) = D (f) + D (g) e
Exemplo 2.2 Considere os espaços
vetoriais C ([a, b]) e C 1 ([a, b]) . A função I : C ([a, b]) →
$
1
C ([a, b]), definida por I (f ) = a f, ou seja que a cada função contínua
associa
$
$ a primi$
tiva
$ F de f tal
$ que F (a) = 0 é uma transformação linear, já que a (f + g) = a f + a g
e a αf = α a f, para todas f, g ∈ C ([a, b]) e α ∈ R. Assim, I (f + g) = I (f) + I (g) e
I (αf ) = αI (f ) .
Nota 2.1 Quando U = V, denominamos a transformação linear T : V → V de operador
linear.
Proposição 2.1 Sejam U e V espaços vetoriais reais e T : U → V uma transformação
linear. Então:
a) T (0) = 0, isto é T leva vetor nulo de U em vetor nulo de V.
b) T (−u) = −T (u) , para todo u ∈ U, ou seja T leva o elemento simétrico de cada vetor
u de U no elemento simétrico de sua imagem em V.
21
22
CAPÍTULO 2. TRANSFORMAÇÕES LINEARES
c) Se W é um subespaço de U então T (W ) = {T (w) ; w ∈ W } é um subespaço de V.
Portanto a imagem de T, denotada por Im (T ) é um subespaço de V.
d) Se H é um subespaço de V então T −1 (H) = {u ∈ U ; T (u) ∈ H} é um subespaço de
U.
Definição 2.2 Sejam U e V espaços vetoriais reais e T : U → V uma transformação
linear. Denotamos por Ker (T ) o seguinte subconjunto de U, denominado núcleo de T :
Ker (T ) = {u ∈ U; T (u) = 0} = T −1 {0}.
Exemplo 2.3 Seja T : R3 → P1 (R) definida por T (x, y, z) = (x + z) − yt. Para determinarmos o núcleo de T, devemos fazer T (x, y, z) = 0 + 0t, que é o polinômio nulo de
grau menor ou igual a 1. Assim, temos:
x+z =0
(x + z) − yt = 0 + 0t ⇔
,
y=0
portanto Ker (T ) = {(x, 0, −x) ; x ∈ R} = [(1, 0, −1)] .
Vejamos algumas propriedades do núcleo de uma transformação linear.
Proposição 2.2 Sejam U e V espaços vetoriais reais e T : U → V. Então:
i) Ker (T ) é um subespaço vetorial de U.
ii) T é uma função injetora ⇔ Ker (T ) = {0}.
Teorema 2.3 (dimensão do núcleo e da imagem): Sejam U e V espaços vetoriais
reais e T : U → V uma transformação linear, sendo U um subespaço de dimensão finita.
Então
dim (U ) = dim (Ker (T )) + dim (Im (T )) .
x−z
y+z
Exemplo 2.4 Seja T : R → M2×2 (R) definida por T (x, y, z) =
.
2x + 2y x + y
É claro que T é uma transformação linear(mostre) e dim (R3 ) = 3. Ainda para de3
terminarmos o núcleo
de T, devemos determinar (x, y, z) ∈ R tal que T (x, y, z) =
x−z
y+z
0 0
=
. Portanto
2x + 2y x + y
0 0
3

 x=z
y = −z ,

x = −y
23
ou seja Ker (T ) = {(x, −x, x) , x ∈ R} = {x · (1, −1, 1) , x ∈ R} = [(1, −1, 1)] , portanto
dim (Ker (T )) = 1. Logo pelo teorema da dimensão do núcleo e da imagem, segue que
dim (Im (T )) = 2. Verifiquemos:
%
x−z
y+z
Im (T ) =
, x, y, z ∈ R =
2x + 2y x + y
%
1 0
0 1
−1 1
=
x
+y
+z
, x, y, z ∈ R =
2 1
2 1
0
0
%
1 0
0 1
−1 1
=
,
,
=
2 1
2 1
0
0
%
1 0
0 1
=
,
,
2 1
2 1
pois
0 1
1 0
=
−
2 1
2 1
%
1 0
0 1
1 0
0 1
0 0
e como
,
é l.i., já que α
+β
=
⇔α=0=
2 1
2 1
2 1
2 1
0 0
%
1 0
0 1
β, segue que
,
é base de Im (T ) , o que implica que dim (Im (T )) = 2,
2 1
2 1
conforme o teorema.
−1 1
0
0
Corolário 2.4 Sejam U e V espaços vetoriais reais de mesma dimensão n e T : U → V
uma transformação linear. Então são equivalentes:
i) T é sobrejetora.
ii) T é injetora.
iii) T é bijetora.
iv) T transforma uma base de U numa base de V.
Prova. i)⇒ii): Como T é sobrejetora então Im (T ) = V, logo dim (Im (T )) = n =
dim (U ) , portanto do teorema do núcleo e da imagem, temos que dim (Ker (T )) = 0, ou
seja Ker (T ) = {0}, o que implica que T é injetora.
ii)⇒iii): Como T é injetora, segue que Ker (T ) = {0}, o que implica que dim (Ker (T )) =
0, portanto do teorema do núcleo e da imagem, temos que dim (Im (T )) = n = dim V e
como Im ((T )) é subespaço de V, segue que Im (T ) = V, o que implica que T é sobrejetora
e portanto bijetora.
iii)⇒iv): Como T é bijetora, segue que Im (T ) = V. Ainda se B = {u1 , . . . , un} é uma
base de U, então Im (T ) = [T (u1 ) , . . . , T (un )] . Basta então verificar que {T (u1 ) , . . . , T (un )}
é l.i. De fato:
α1 T (u1 ) + · · · + αnT (un ) = 0 ⇔ T (α1 u1 + · · · + αn un ) = 0 ⇔
⇔ α1 u1 + · · · + αn un ∈ Ker (T ) ⇔ α1 u1 + · · · + αn un = 0,
24
CAPÍTULO 2. TRANSFORMAÇÕES LINEARES
pois T é injetora. Mas como {u1 , . . . , un } é uma base de U, segue que {u1 , . . . , un} é l.i..
o que implica que
α1 = 0 = · · · = αn .
Logo {T (u1 ) , . . . , T (un )} é base de Im (T ) e portanto base de V.
iv)⇒i): Se B = {u1 , . . . , un } é uma base de U, segue que {T (u1 ) , . . . , T (un )} é base
de V, mas Im (T ) = [T (u1 ) , . . . , T (un )] e portanto {T (u1 ) , . . . , T (un)} é base de Im (T ) ,
logo Im (T ) = V, portanto T é sobrejetora. Definição 2.3 Sejam U e V espaços vetoriais reais. Dizemos que T : U → V é um
isomorfismo quando T é uma transformação linear bijetora.
Exemplo 2.5 Seja T : R3 → P2 (R) definida por T (a, b, c) = (a + c) + (b − 2c) t +
(2a) t2 .Verifiquemos primeiramente que T é uma transformação linear:
T ((a, b, c) + (x, y, z)) =
=
=
=
T (α · (a, b, c)) =
=
T (a + x, b + y, c + z) =
(a + x + c + z) + (b + y − 2 (c + z)) t + 2 (a + x) t2 =
!
!
(a + z) + (b − 2c) t + 2at2 + (x + x) + (y − 2z) t + 2xt2 =
T (a, b, c) + T (x, y, z) .
T (αa, αb, αc) = (αa + αc) + (αb − 2αc) t + 2αat2 =
!
α (a + c) + (b − 2c) t + 2at2 = αT (a, b, c) .
Para mostrar que T é bijetora, basta mostrar, pelo corolário, que T é injetora, pois
dim (R3 ) = dim (P2 (R)) = 3. Verifiquemos:
T (a, b, c) = 0 ⇔ (a + c) + (b − 2c) t + (2a) t2 = 0 + 0t + 0t2 ⇔
⇔ a = −c, b = 2c, a = 0 ⇔ a = 0 = b = c,
o que implica que Ker (T ) = {0} logo T é um isomorfismo.
Definição 2.4 Sejam U e V espaços vetoriais reais. Dizemos que U e V são isomorfos
quando existe um isomorfismo entre U e V.
Exemplo 2.6 Do exemplo anterior temos que R3 e P2 (R) são isomorfos.
Nota 2.2 Observe que basta existir uma transformação linear bijetora entre espaços isomorfos.
Proposição 2.5 Sejam U e V espaços vetoriais reais de dimensão finita. U e V são
isomorfos ⇔ dim U = dim V.
25
Prova. (⇒)Se U e V são isomorfos então existe um isomorfismo entre U e V. Portanto
Ker (T ) = {0} e Im (T ) = V, ou seja dim (Ker (T )) = 0 e dim (Im (T )) = dim V. Mas do
teorema da dimensão do núcleo e da imagem, segue que dim U = dim (Im (T )) = dim V.
(⇐) Temos que dim U = dim V = n. Considere B = {u1 , . . . , un } é uma base de U e
C = {v1 , . . . , vn } é uma base de V. Seja T : U → V, definida por
T (α1 u1 + · · · + αn un ) = α1 v1 + · · · + αn vn , ∀u = α1 u1 + · · · + αn un ∈ U.
É fácil mostrar que T é uma transformação linear (mostre). Ainda T leva base de U em
base de V, pois
T (u1 ) = T (1 · u1 + 0 · u2 + · · · + 0 · un ) = 1 · v1 + 0 · v2 + · · · + 0 · vn = v1 ,
T (u1 ) = T (0 · u1 + 1 · u2 + · · · + 0 · un ) = 0 · v1 + 1 · v2 + · · · + 0 · vn = v2 ,
..
.
T (un ) = T (0 · u1 + 0 · u2 + · · · + 1 · un ) = 0 · v1 + 0 · v2 + · · · + 1 · vn = vn .
Logo como dim U = dim V, segue do corolário acima que T é bijetora e portanto um
isomorfismo, o que implica que U e V são isomorfos. Exemplo 2.7 Os espaços vetoriais M2×2 (R) e R4 são isomorfos pois tem a mesma dimensão.
2.0.3
Lista de Exercícios
Exercício 2.1 Determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem das transformações lineares abaixo:
a) T : R3 → R2 dada por T (x, y, z) = (x + y − z, x + y) .
b) T : P2 (R) → P2 (R) dada por T (p) (t) = t2 p” (t) .
Exercício 2.2 Determine um operador linear do R3 cujo núcleo é gerado por {(1, 1, 1) , (0, −1, 2)}.
Exercício 2.3 Mostre que cada um dos operadores lineares do R3 abaixo é um isomorfismo e determine o isomorfismo inverso:
a) T (x, y, z) = (x − y, 2z, y + z) .
b) T (x, y, z) = (3y − 2z, x, x − 3z) .
Exercício 2.4 Sabendo que T : P2 (R) → R3 é uma transformação linear tal que T (1) =
(1, −1, 0) , T (t) = (0, 2, 1) e T (t2 ) = (1, 0, −1) , determine T (a + bt + ct2 ) .
Exercício 2.5 Seja V um espaço vetorial euclidiano e U = [{e1 , . . . , en }], onde {e1 , . . . , en }
é uma base ortonormal de U. Mostre que E : V → U projeção ortogonal de V sobre U é
uma transformação linear, tal que Ker (E) = U ⊥ e Im (E) = U.
26
2.1
CAPÍTULO 2. TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Matriz de uma transformação linear
O objetivo deste parágrafo é identificar uma transformação linear entre espaços de dimensão finita com matrizes, assim poderemos reduzir nosso trabalho às matrizes.
Definição 2.5 Sejam U e V espaços vetoriais reais de dimensão finita e T : U → V
uma transformação linear. Considere B = (u1 , . . . , un ) uma base ordenada de U e C =
(v1 , . . . , vm ) uma base ordenanda de V. Assim,
T (ui ) =
m
aji vj .
j=1
Definimos a matriz de T com respeito às bases ordenadas B e C, denotada por
(T )BC
!
(T )BC = [aji ]m×n = (T (u1 ))C . . . (T (un ))C .
Exemplo 2.8 Seja T : R2 → P2 (R) por T (a, b) = (a − b) + 3bt − 2at2 . Considere B =
((1, 0) , (0, 1)) e C = (1, t, t2 ) bases ordenadas de R2 e P2 (R) respectivamente. Portanto
da definição de T, tem-se que
T (1, 0) = 1 − 2t2 = 1 + 0t − 2t2 ,
T (0, 1) = −1 + 3t = −1 + 3t + 0t2 .
Logo
(T )BC


1
−1
3 .
= 0
−2 0
Exemplo 2.9 Seja T : P2 (R) → P1 (R) tal que
−1 1
0
(T )BC =
,
2
−5 3
onde B = (1, t, t2 ) e C = (1, t, ) são bases ordenadas de P2 (R) e P1 (R) respectivamente,
então
T (1) = −1 + 2t,
T (t) = 1 − 5t,
T t2 = 3t.
Logo T (a + bt + ct2 ) = aT (1)+bT (t)+cT (t2 ) = a (−1 + 2t)+b (1 − 5t)+c3t = (b − a)+
(2a − 5b + 3c) t.
Nota 2.3 Dos exemplos acima podemos ver que conhecendo a transformação linear e as
bases ordenadas podemos determinar a matriz de T com respeito a tais bases e reciprocamente conhecendo a matriz e as bases ordenadas recuperamos a transformação linear.
2.1. MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
27
Nota 2.4 É bom observar também que a matriz da transformação linear depende das
bases ordenadas consideradas, isto é, para cada par de bases ordenadas temos uma única
matriz, mas se mudarmos as bases ordenadas mudamos também a matriz.
Quando T é um operador linear, ou seja, T : U → U, pode-se tomar a mesma base
ordenada B para o domínio e o contradomínio e denotamos por (T )B .
Exemplo 2.10 Seja T : R2 → R2 definida por T (x, y) = (x − 2y, 3x + y) . Considerando
B = ((1, 1) , (1, −1)) base ordenada do R2 , determinemos a matriz de T com respeito à base
B
T (1, 1) = (−1, 4) e T (1, −1) = (3, 2) .
5
3
a + b = −1
Mas (−1, 4) = a (1, 1) + b (1, −1) = (a + b, a − b) ⇒
⇒a= eb=− .
a−b= 4
2
2
5
1
α+β =3
Ainda (3, 2) = α (1, 1) + β (1, −1) = (α + β, α − β) ⇒
⇒α= eβ= .
α−β =2
2
2
Portanto


3
5
 2

(T )B =  5 12  .
−
2 2
A importância da matriz de transformação linear é que podemos trabalhar apenas com
a matriz ao invés de trabalharmos com a transformação linear. Para isso apresentaremos
algumas propriedades.
Proposição 2.6 Sejam U e V espaços vetoriais reais de dimensão n e m, respectivamente
e T : U → V uma transformação linear. Considere B = (u1 , . . . , un ) uma base ordenada
de U e C = (v1 , . . . , vm ) uma base ordenanda de V. Então
(T (u))C = (T )BC (u)B .
O resultado acima nos diz que para obtermos as coordenadas de T (u) basta multiplicar
a matriz de T pelas coordenadas de u.
Exemplo 2.11 Seja T : P2 (R) → P1 (R) tal que
−1 1
0
(T )BC =
,
2
−5 3
onde B = (1, t, t2 ) e C = (1, t, ) são bases ordenadas de P2 (R) e P1 (R) respectivamente.
Então
 
a
−1 1
0  
b =
T a + bt + ct2 C = (T )BC a + bt + ct2 B =
2
−5 3
c
b−a
=
,
2a − 5b + 3c
o que implica que T (a + bt + ct2 ) = (b − a) + (2a − 5b + 3c) t, como vimos em exemplo
anterior.
28
CAPÍTULO 2. TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Pode-se também operar transformações lineares, operando suas matrizes.
Proposição 2.7 Sejam U, V, W espaços vetorias reais de dimensão n, m e k, respectivamente. Considere T, F : U → V e G : V → W transformações lineares e α ∈ R. Prova-se
que T + F, αT e G ◦ T são transformações lineares (prove!). Considere B = (u1 , . . . , un )
uma base ordenada de U , C = (v1 , . . . , vm ) uma base ordenanda de V e D = (w1 , . . . , wk )
uma base ordenada de W. Então:
a) (T + F )BC = (T )BC + (F )BC .
b) (αT )BC = α (T )BC .
c) (G ◦ T )BD = (G)CD (T )BC .
Pode-se ainda ter a necessidade de mudar de base. Como fazer sem ter que voltar
para a transformação linear, ou seja, trabalhando apenas com matrizes? Para responder
esta pergunta vamos dar mais algumas propiedades.
Proposição 2.8 Seja U um espaço vetorial real de dimensão n. Considere B = (u1 , . . . , un)
e C = (v1 , . . . , vm ) bases ordenadas de U. Então
(I)BC = MCB e (I)CB = MBC
onde I : U → U, tal que I (u) = u e MCB é a matriz mudança da base C para a base B.
Proposição 2.9 Sejam U e V espaços vetoriais reais de dimensão n e m, respectivamente
e T : U → V uma transformação linear e F : U → U um operador linear. Considere B,
B1 bases ordenadas de U e C, C1 bases ordenadas de V. Então
(T )BC = MCC 1 (T )B1 C1 MB1 B ,
(F )B1 = MB1 B (F )B MBB1 =
−1
= MBB
(F )B MBB1 .
1
Proposição 2.10 Sejam U e V espaços vetoriais reais ambos de dimensão n, e T : U →
V uma transformação linear. Considere B base ordenada de U e C base ordenada de V .
Então T é um isomorfismo ⇔ (T )BC for inversível e (T −1 )CB = (T )−1
BC . Analogamente se
F : U → U é um operador linear e B base ordenada de U . Então F é um isomorfismo
⇔ (F )B for inversível e (F −1 )B = (F )−1
B .
−1 0 2
Exemplo 2.12 Seja T : P2 (R) → P1 (R) tal que (T )BC =
, onde B base
1
2 3
ordenada de P2 (R) e C base ordenada de P1 (R). Se B1 base ordenada de P2 (R) e C1 base
ordenada de P1 (R) tal que


1 0
−1
1 1
1 ,
MCC 1 =
e MBB1 =  2 1
2 1
0 −1 −2
2.1. MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
29
então
−1
(T )BC MBB1 .
(T )B1 C1 = MC1 C (T )BC MBB1 = MCC
1
Mas
−1
MCC
1
portanto
(T )B1 C1
=−
1
−1
−2 1
=

−1 1
2
−1
1 0
−1 1
−1 0 2 
=
2 1
2
−1
1
2 3
0 −1


1 0
−1
2
2
1 
2 1
1 =
=
−3 −2 1
0 −1 −2
,

−1
1 =
−2
6
1
−2
−7 −3 −1
.
2 −2
Exemplo 2.13 Sabendo que T : P1 (R) → P1 (R) é tal que (T )B =
, como
0 1
det (T )B = 2 = 0, segue que T é um isomorfismo, então T −1 : P1 (R) → P1 (R) é tal que
−1 1 1 2
−1
T
.
= (T )B =
B
2 0 2
2.1.1
Lista de Exercícios
Exercício 2.6 Determine o operador linear do R2 cuja matriz em relação à base ordenada
B = ((1, 2) , (1, −1)) é dada por
3
1
.
−2 1
Exercício 2.7 Se a matriz de um operador linear F do R3 em relação à base canônica é


1 −1 2
 0 4
3 
2 0
−2
e se T = I + 2F − F ◦ F, determine a matriz de T em relação à base canônica e verifique
se T é ou não um isomorfismo. Determine também T (x, y, z) e T −1 (x, y, z) .
1 −2
3 −1
Exercício 2.8 Seja T : C → C um operador linear tal que (T )B =
, onde
−2 5
, onde C base ordenada de C,
B base ordenada de C. Sabendo que MBC =
1 3
3
determine (T )C . Se u ∈ C é tal que (u)C =
, determine (T (u))C .
−7
30
CAPÍTULO 2. TRANSFORMAÇÕES LINEARES
2.1.2
Diagonalização de operadores
Como vimos podemos trabalhar com matrizes ao invés de operadores lineares. Mas é
importante em algumas situações determinar uma base onde a matriz do operador seja a
mais simples, por exemplo uma matriz diagonal. É isso que veremos neste parágrafo.
Definição 2.6 Seja V um espaço vetorial real e T : V → V um operador linear. Dizemos
que λ ∈ R é um autovalor de T quando existe u ∈ V, u = 0, tal que T (u) = λu. Neste
caso u é denominado autovetor de T associado ao autovalor λ.
Proposição 2.11 Seja V um espaço vetorial real de dimensão n e T : V → V um
operador linear. Então λ ∈ R é um autovalor de T ⇔ det ((T )B − λIn ) = 0, qualquer que
seja B base ordenada de V e In a matriz identidade n × n.
Prova. λ ∈ R é um autovalor de T ⇔ existe u ∈ V, u = 0, tal que T (u) =
λu ⇔ existe u ∈ V, u = 0, tal que T (u) − λu = 0 ⇔ existe u ∈ V, u = 0, tal que
(T − λI) (u) = 0 ⇔ Ker (T − λI) = {0} ⇔ (T − λI) não é um isomorfismo ⇔ (T − λI)
não é inversível ⇔ det (T − λI)B = 0, qualquer que seja B base ordenada de V. Mas
(T − λI)B = (T )B − λ (I)B = (T )B − λIn . Exemplo 2.14 Seja T : P2 (R) → P2 (R) definida por T (p) (t) = p (t) + 3p (t) + t2 p (t) .
Para determinar os autovalores de T, vamos determinar a matriz de T em relação à base
ordenada B = (1, t, t2 ) ,
Assim,
T (1) = 1 = 1 + 0t + 0t2 ,
T (t) = 3 + t = 3 + t + 0t2 ,
T t2 = 6t + 3t2 = 0 + 6t + 3t2 .


1 3 0
(T )B =  0 1 6  ,
0 0 3
logo,


1−λ 3
0
 = (1 − λ) [((1 − λ) (3 − λ))] .
det ((T )B − λI3 ) = det  0
1−λ 6
0
0
3−λ
Portanto det ((T )B − λI3 ) = 0 ⇔ λ = 1 e λ = 3. Logo os autovalores de T são 1 e 3.
Para determinar os autovetores associados, basta lembrar que p ∈ P2 (R) é um autovetor
associado ao autovalor λ ⇔ T (p) = λp ⇔ (T − λI) (p) = 0 ⇔ (T − λI)B (p)B = 0,
2.1. MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
31
qualquer que seja a base ordenada
  B de P2 (R) ⇔ ((T )B − λI3 ) (p)B = 0. Assim, para
a
λ = 1, considerando (p)B =  b , temos
c

   
0 3 0
a
0
 0 0 6  b  =  0 
0 0 2
c
0

 3b = 0
6c = 0 ⇒ b = 0 = c,

2c = 0


a
portanto os autovetores de T associados ao autovalor λ = 1 são tais que (p)B =  0  =
0
 
1

a 0  , com a = 0, ou seja, p (t) = a, a = 0, isto é, os autovetores de T associados ao
0
autovalor λ = 1 são os polinômios constantes não nulos. Para λ = 3, obtemos

   
−2 3
0
a
0
 0
−2 6   b  =  0 
0
0
0
c
0
9
−2a + 3b = 0
⇒ b = 3c e a = c,
−2b + 6c = 0
2
 9 
c
 2 
portanto os autovetores de T associados ao autovalor λ = 3 são tais que (p)B =  3c
=
c
 9 
9
 2 
2
+ 3t + t , c = 0.
c  3  , com c = 0, ou seja, p (t) = c
2
1
Proposição 2.12 Seja V um espaço vetorial real e T : V → V um operador linear.
Então autovetores associados a autovalores distintos são l.i.
Definição 2.7 Seja V um espaço vetorial real de dimensão finita n e T : V → V um operador linear. Dizemos que T é diagonalizável quando existe uma base de V constituída
de autovetores de T. Neste caso se B = (u1 , . . . , un ) é uma base ordenada de V constituída
32
CAPÍTULO 2. TRANSFORMAÇÕES LINEARES
de autovetores de T , com ui autovetor associado ao autovalor λi , temos que




(T )B = 



0 ··· 0
0
λ2 0
··· 0 
.. 

. ,
0 λ3 0

.. ..
..
. 0 
. .
0 ··· 0
λn
λ1
0
..
.
..
.
0
isto é, a matriz de T em relação à base constituída de autovetores é uma mtriz diagonal,
onde na diagonal principal aparecem os autovalores, na ordem em que os autovetores
aprecem na base ordenada.
Vemos que o operador linear do exemplo anterior não é diagonalizável, pois tem-se
apenas 2 autovetores l.i. de T.
1 1
, onde B = {1 + i, 1 − i}. VerExemplo 2.15 Seja T : C → C, tal que (T )B =
1 1
ifiquemos se T é diagonalizável. Para isso determinemos os autovalores e os autovetores
de T.
1−λ 1
det
= (1 − λ)2 − 1 = λ2 − 2λ = 0 ⇔ λ = 0 ou λ = 2.
1
1−λ
Observe que temos 2 autovalores distintos e portanto temos 2 autovetores l.i. e como
dim C = 2, segue que T é diagonalizável, pois admite uma base constituída de autovetores.
Determinemos
tal base e a matriz de T com respeito a esta base. Para λ = 0, considerando
x
(u)B =
, obtemos
y
1 1
1 1
x
y
=
0
0
⇒ x + y = 0 ⇒ y = −x,
x
−x
1
−1
logo os autovetores associados a λ = 1, são tais que (u)B =
=x
, x = 0.
1
Portanto podemos tomar u1 ∈ C tal que (u1 )B =
⇒ u1 = 2i. Para λ = 2,
−1
−1 1
1
−1
x
y
=
0
0
⇒ x − y = 0 ⇒ y = x,
x
x
1
1
logo os autovetores associados a λ = 2, são tais que (u)B =
= x
, x = 0.
1
Portanto podemos tomar u2 ∈ C tal que (u2 )B =
⇒ u1 = 2. Assim a base constituída
1
2.1. MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
33
de autovetores é C = {2i, 2}. Portanto a matriz mudança da base C para a base B é




1
1
1
1
1
1
 2 −2 
 2

.
MCB =  1 1  ⇒ MBC = 2  1 12  =
−1
1
−
2 2
2 2
Logo
(T )C = MCB (T )B MBC =


1 1
1
 2 −2  1 1
=  1 1 
1 1
−1
2 2 0 0
1
1
0
=
=
1 1
−1 1
0
1
1
0
2
=
.
Observe que (T )C é uma matriz diagonal, com os autovalores em sua diagonal, como já
era esperado.
Proposição 2.13 Seja V um espaço vetorial real de dimensão finita n e T : V → V um
operador linear. Então o número de autovetores l.i. associados a um mesmo autovalor é
menor ou igual a multiplicidade do autovalor, como raiz do polinômio det ((T )B − λIn ) .
Dos resultados acima, sempre que tivermos um operador sobre um espaço vetorial V
de dimensão n, com n autovalores distintos este será diagonalizável.
Existe um tipo de operador que é sempre diagonalizável, e mais por uma base ortonormal de autovetores. Vejamos.
Definição 2.8 Seja V um espaço vetorial real euclidiano. Dizemos que um opervador
linear T : V → V é auto-adjunto quando
T (u) , v = u, T (v) ,
quaisquer que sejam u, v ∈ V.
Exemplo 2.16 O operador T do R3 , definido por T (x, y, z) = (x + 2y, 2x − y + 3z, 3y + 5z)
é auto-adjunto, pois
T (x, y, z) , (a, b, c) =
=
=
=
(x + 2y) a + (2x − y + 3z) b + (3y + 5z) c =
xa + 2ya + 2xb − yb + 3zb + 3yc + 5zc =
x (a + 2b) + y (2a − b + 3c) + z (3b + 5c) =
(x, y, z) , T (a, b, c) .
Proposição 2.14 Seja V um espaço vetorial real eucldiano de dimensão n. T : V → V
é um operador auto-adjunto ⇔ (T )B é uma matriz simétrica em relação a qualquer base
ortonormal B de V.
34
CAPÍTULO 2. TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Prova. (⇒) Considere B = (e1 , . . . , en ) uma base ordenada ortonormal de V. Então
T (ei ) =
n
j=1
T (ei ) , ej ej ,
portanto, da definição de matriz de T em relação à base B, temos que (T )B = (aji )n×n ,
onde aji = T (ei ) , ej . Mas T é auto-adjunto e portanto T (ei ) , ej = ei , T (ej ) =
T (ej ) , ei = aij , o que implica que (T )B é simétrica.
(⇐)Exercício. Proposição 2.15 Seja V um espaço vetorial real eucldiano e T : V → V é um operador
auto-adjunto. Então autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais.
Prova. Sejam α e β autovetores distintos de T, então existem u, w vetores não nulos
de V, tais que T (u) = αu e T (w) = βw. Ainda
T (u) , w = u, T (w) ,
o que implica que
αu, w = u, βw .
Das proriedades de produto interno, obtemos
α u, w = β u, w ⇒ (α − β) u, w = 0.
Como (α − β) = 0, pois são autovalores distintos, segue que u, w = 0, ou seja, u e w
são ortogonais. Teorema 2.16 Seja V um espaço vetorial real eucldiano de dimensão n. T : V → V é
um operador auto-adjunto ⇔ existe uma base ortonormal de V constituída de autovetores
de T. Neste caso se B é uma base ortonormal de V e C é uma base ortonoirmal de V
constituída de autovetores de T, segue que
t
(T )C = MBC
(T )B MBC ,
sendo (T )C uma matriz diagonal.
Exemplo 2.17 Seja T um operador do R3 , cuaja matriz com respeito à base canônica é


1
−2 0
 −2 1
0 .
0
0
−1
Como a base canônica do R3 é ortonormal e a matriz é simétrica, segue que T é autoadjunto e portanto existe uma base ortonormal de R3 constituída de autovetores de T, em
2.1. MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
35
relação a qual a matriz de T é diagonal. Vamos determinar, a base, a matriz mudança da
base canônica para a base ortonormal de autovetores e a matriz de T em relação a nova
base.


1 − λ −2
0
 = 0 ⇔ (λ − 3) (λ + 1)2 = 0.
1−λ 0
det  −2
0
0
−1 − λ
Portanto os autovalores de T são λ = −1 (raiz dupla) e λ = 3. Como λ = 3 é uma raiz
simples existe apenas um vetor l.i. associado a λ = 3, que é ortogonal aos autovetores
associados a λ = −1. Como λ = −1 é raiz dupla, e T é diagonalizável, já que é auto
adjunto, então devem existir 2 autovetores l.i. associados a este autovalor. Vejamos, para
λ = −1,

   
2
−2 0
x
0
2x − 2y = 0
 −2 2
⇒ x = y,
0  y  =  0  ⇒
−2x + 2y = 0
z
0
0
0
0
logo os autovetores de T associados a λ = −1 tem as seguintes coordenadas em relação à
base canônica
 
 
 
x
1
0
 x  = x 1  + z 0 .
z
0
1
Estes 2 vetores já são ortogonais e portanto l.i., basta tomaá-los
unitários.
Assim, os
1 1
autovetores unitários e ortogonais associados a λ = −1 são √ , √ , 0 e (0, 0, 1) .
2 2
Para λ = 3,


   
−2 −2 0
x
0
 −2x − 2y = 0
y = −x
 −2 −2 0   y  =  0  ⇒
−2x − 2y = 0 ⇒
,
z=0

0
0
−4
z
0
−4z = 0
logo os autovetores de T associados a λ = 3 tem as seguintes coordenadas em relação à
base canônica




x
1
 −x  = x  −1  .
0
0
Assim, o autovetor
unitário
e ortogonal aos autovetores associados a λ = −1, associado
1
1
a λ = 3 é √ , − √ , 0 . Logo a base ortonormal do R3 constituída de autovetores de
2
2
1 1
1
1
T é C = { √ , √ , 0 ,(0, 0, 1) , √ , − √ , 0 }. A matriz mudança da base canônica
2 2
2
2
para a base C é a quela constituída das coordenadas dos autovatores, ou seja é a matriz
M, dada abaixo:

 1
1
√ 0 √
 2
2 
 1

M =  √ 0 − √1 


2
2
0
1 0
36
CAPÍTULO 2. TRANSFORMAÇÕES LINEARES
e a matriz de T em relação à base C é


−1 0
0
−1 0  .
(T )C = M t (T )can M =  0
0
0
3
Nota 2.5 Tudo o que foi definido e os resultados para operadores lineares podem ser tranferidos para as matrizes quadradas, uma vez que estas estão associadas univocamente a
operadores, assim como as matrizes simétricas estão associadas a operadores auto adjuntos.
2.1.3
Lista de Exercícios
Exercício 2.9 Determine os autovalores e autovetores dos operadores lineares do R3
abaixo:
a) T (x, y, z) = (x + y, x − y, z) .
b) T (1, 0, 0) = (2, 0, 0) , T (0, 1, 0) = (2, 1, 2) e T (0, 0, 1) = (3, 2, 1) .
c) T (1, 1, 0) = (0, 0, 0) , T (1, −1, 0) = (0, 0, 0) e T (0, 0, 2) = (5, −1, 2) .
Exercício 2.10 Determine os autovalores e autovetores do operador T de P3 (R) cuja
matriz em relação à base B = {1, t, t2 , t3 } é:


2 1 0
0
 0 2 0
0 

.
 0 0 1
1 
0 0 −2 4
Exercício 2.11 Determine, se possível, uma matriz M ∈ M2×2 (R) de maneira que
M −1 AM seja diagonal, onde A é:
a)
2 4
3 13
b)
3 −2
2 1


2 0
4
c)  3 −4 12  .
1 −2 5
Exercício 2.12 Seja T um operador do R3 definido por T (x, y, z) = (x + y + z, x + y + z, x + y + z) .
a) Determine os autovalores de T.
b) Determine uma base ortonormal B do R3 tal que (T )B é diagonal.
c) Qual a matriz de mudança da base canônica do R3 para a base B?
2.1. MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
37
Exercício 2.13 Seja T um operador do R3 cuja matriz de T em relação à base B = ((1, 2, 0) , (−1, 0, 1) , (0, 2
é


1
−2 0
 −2 1
0 .
0
0
−1
a) T é diagonalizável? Justifique.
b) Determine os autovalores e autovetores de T.
c) T é um operador auto adjunto? Justifique.