Instituto Politécnico de Viseu
Escola Superior de Tecnologia
Álgebra Linear e Geometria Analı́tica
Departamento: Matemática
Curso: Engenharia Electrotécnica
Ano: 1o
Semestre: 1o
Ano Lectivo: 2007/2008
Ficha Prática no 14 - Geometria Analı́tica - Recta e Plano
1. Relativamente ao plano que passa pelos pontos A=(1, 2, 3), B= (5, 7, 9) e C= (8, 10, 12), determine
(a) uma equação vectorial;
(b) equações paramétricas.
2. Use um determinante adequado para encontrar uma equação geral do plano definido pelos pontos
A=(1, 1, 1), B=(0, 1, 0) e C=(0, 0, 1).
3. Escreva a equação geral de cada um dos seguintes planos em IR3 :
(a) O plano que contém o ponto (1,2,3) e é perpendicular ao vector (-1,1,0).
(b) O plano que contém os pontos (2,1,3), (-3,-1,3) e (4,2,3).
(c) O plano que contém o ponto (6,0,-2) e é paralelo aos vectores (1,0,0) e (0,-2,1).
(d) O plano que contém o ponto (4,-1,2) e é paralelo ao plano 2x − 3y − z = 5.
4. Determine uma equação vectorial e uma representação cartesiana não paramétrica dos:
(a) Planos OXY , OXZ e OY Z;
(b) eixos OX, OY e OZ.
5. Dado o plano de equação cartesiana 3x − 2y − z = 6, determine as suas equações paramétricas.
6. Considere o plano de equação ax + by + cz = d. Indique o significado geométrico de cada uma das
seguintes condições:
(i) a = 0;
(ii) b = 0;
(iii) c = 0;
(iv) d = 0.
7. Considere os seguintes elementos do espaço IR3 :
p = (1, 0, 0) , q = (0, 1, 0) , v = (0, 1, −2). Determine:
(a) A equação cartesiana do plano que contém o ponto p e é ortogonal a v.
(b) As equações paramétricas do plano que contém p e também contém a recta de equação x =
q + αv, α ∈ IR.
8. (a) Prove que, no espaço ordinário, a distância de um ponto P = (xo , yo , zo ) a um plano Π de
equação Ax + By + Cz + D = 0 é dada pela fórmula
d(P, Π) =
|Axo + Byo + Czo + D|
√
.
A2 + B 2 + C 2
(b) Prove que, no espaço ordinário, a distância de um ponto P = (xo , yo , zo ) a uma recta r que
contém o ponto Q e tem a direcção do vector u é dada pela fórmula
s
(P~Q|u)2
d(P, r) = k P~Q k2 −
.
k u k2
9. Considere o ponto A(2, 1, 1), os vectores u = (1, 0, 1) e v = (0, −1, 2) e o plano π de equação geral
x − 2y − z + 2 = 0. Determine:
(a) Um vector normado com a direcção de v.
(b) Equações paramétricas da recta que contém A e tem a direcção de v.
(c) Uma equação vectorial da recta que contém A e é perpendicular ao plano π.
(d) A distância do ponto A ao plano π.
(e) A equação geral do plano definido pelo ponto A e pelos vectores u e v.
(f) A posição relativa do plano π e do plano da alı́nea anterior.
(g) O ângulo entre o plano da alı́nea (e) e
(i) o plano de equacção x + y + 2z = 0;
(ii) o plano de equação x − 2y − z = 1.
(h) O ângulo entre as rectas das alı́neas (b) e (c).
10. Sabendo que u, v e w são três vectores de IR3 todos paralelos a um determinado plano que pode
dizer sobre o determinante det([u v w])? Justifique.
11. Sabendo que A = (a1 , a2 , a3 ), B = (b1 , b2 , b3 ), C = (c1 , c2 , c3 ) e D = (d1 , d2 , d3 ) são quatro pontos
distintos do espaço tais que D não pertence ao plano definido por A, B, C, classifique, justificando,
o seguinte sistema

 (a1 − c1 )x1 + (a2 − c2 )x2 + (a3 − c3 )x3 = 0
(b1 − c1 )x1 + (b2 − c2 )x2 + (b3 − c3 )x3 = 0 .

(d1 − c1 )x1 + (d2 − c2 )x2 + (d3 − c3 )x3 = 0
12. Identifique geometricamente cada um dos seguintes subconjuntos de pontos do espaço:
(a) {(0, 1, 1) + α(1, −1, 1) + β(2, 0, 1) , α, β ∈ IR};
(b) {(0, 1, 1) + α(0, 0, 1), α ∈ IR+
0 };
(c) {(x, y, z) ∈ IR3 : x + y + z = 1 e x, y, z ∈ IR+
0 };
(d) {(x, y, z) ∈ IR3 : x2 + y 2 + z 2 = 1 e y = x}.
13. Use o produto misto para determinar uma equação cartesiana do plano paralelo aos vectores (1,-2,3)
e (2,0,-1) e que contém o ponto (1,0,-1).
14. Considere o ponto A = (1, −1, 1), os vectores u = (0, 2, 1) e v = (1, −2, 2) e o plano π : 4x+2y−2 = 0.
(a) Determine a área do paralelogramo definido por u e v.
(b) Use um determinante para obter a equação geral do plano definido pelo ponto A e pelos vectores
u e v.
(c) Determine as equações cartesianas da recta que passa em A e tem a direcção de v.
(d) Estude a posição relativa do plano π e da recta da alı́nea anterior.
15. Considere os pontos A, B e C de coordenadas (-1,1,0), (-1,1,3) e (2,1,3), respectivamente.
(a) Mostre que os pontos A, B e Csão três dos vértices de um quadrado. Sendo D o quarto vértice,
determine as suas coordenadas.
(b) Considere o quadrado [ABCD] como sendo uma das bases de um paralelipı́pedo de altura igual
a 3, em que os pontos E, F , G e H são os restantes vértices por forma que [AE], [BF ] e [CG]
sejam arestas e [AE] esteja contida na semi-recta ȦO. Determine as coordenadas dos pontos
E, F , G e H.
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Departamento: Matemática
Curso: Engenharia Electrotécnica
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Ano: 1o
Semestre: 1o
Ano Lectivo: 2007/2008
Soluções da Ficha Prática no 14 - Geometria Analı́tica - Recta e Plano
1.(a) (x,
 y, z) = (1, 2, 3) + α (4, 5, 6) + β (3, 3, 3) ,
 x = 1 + 4α + 3β
y = 2 + 5α + 3β
1.(b)
α, β ∈ IR

z = 3 + 6α + 3β
α, β ∈ IR
2. −x + y + z − 1 = 0.
3.(a) −x + y − 1 = 0 ;
3.(d) 2x − 3y − z − 9 = 0.
4.(a) Plano Oxy:
Equação
Equação
Plano Oxz:
Equação
Equação
Plano Oyz:
Equação
Equação
3.(b) z − 3 = 0 ;
3.(c) y + 2z + 4 = 0 ;
vectorial: (x, y, z) = (0, 0, 0) + α (1, 0, 0) + β (0, 1, 0) ,
cartesiana: z = 0
α, β ∈ IR
vectorial: (x, y, z) = (0, 0, 0) + α (1, 0, 0) + β (0, 0, 1) ,
cartesiana: y = 0
α, β ∈ IR
vectorial: (x, y, z) = (0, 0, 0) + α (0, 1, 0) + β (0, 0, 1) ,
cartesiana: x = 0
α, β ∈ IR
4.(b) Eixo Ox: Equação vectorial: (x, y, z) = (0, 0, 0) + α (1, 0, 0) ,
y=0
Equação cartesiana:
z=0
Eixo Oy: Equação vectorial: (x, y, z) = (0, 0, 0) + α (0, 1, 0) ,
x=0
Equação cartesiana:
z=0
Eixo Oz: Equação vectorial: (x, y, z) = (0, 0, 0) + α (0, 0, 1) ,
x=0
Equação cartesiana:
y=0
α ∈ IR
α ∈ IR
α ∈ IR

 x=1+α
y =1+β
5.
,

z = −5 + 3α − 2β
α, β ∈ IR
6.(i) recta do plano Oyz ;
6.(iii) recta do plano Oxy ;
6.(ii) recta do plano Oxz ;
6.(iv) plano que passa pela origem.

 x=1−β
y =α+β
7.(a) y − 2z = 0 ;
7.(b)
α, β ∈ IR.

z = −2α

 x=2
√
√ − 5 2 5
v
y =1+α
9.(a) 0, 5 , 5 = kvk ;
9.(b)
α ∈ IR.

z = 1 − 2α
√
9.(c) (x, y, z) = (2, 1, 1) + α (1, −2, −1) ,
α ∈ IR ;
9.(d) 66
9.(e) x − 2y − z + 1 = 0 ;
9.(f) os planos são paralelos não coincidentes ;
π
9.(g).ii) 0 ;
9.(h) π2 .
9.(g).i) 3 ;
11. sistema possı́vel e determinado.
12.(a) IR3
12.(d) IR3 .
12.(b) recta do plano Oyz ;
13. 2x + 7y + 4z + 2 = 0.
√
14.(a) A = 41;
2x + y − 1 = 0
14.(c)
;
2x − z − 1 = 0
12.(c) plano x ≤ 1 e y, z ≥ 0 ;
14.(b) 6x + y − 2z − 3 = 0;
14.(d) a recta está contida no plano.