Lista 4 Cálculo Diferencial e Integral I
Professora: Ivanete Zuchi Siple
f (x + h) − f (x)
.
h→0
h( )
x
(e) f (x) = cos
2
(f) f (x) = tan(x)
(g) f (x) = loga (x), a ∈ R∗+ − {1}
(h) f (x) = ax , a ∈ R∗+ − {1}
1. Para as funções dadas abaixo calcule lim
(a) f (x) = x2 − 2
√
(b) f (x) = x
1
2x
(d) f (x) = sin(3x)
(c) f (x) =
2. Use a denição para encontrar a primeira derivada de cada uma das funções abaixo.
(c) f (x) = e2x
x−1
(a) f (x) =
2x + 3
(d) f (x) = ln (x + 1)
√
3
(b) f (x) = x + 1
(e) f (x) = sinh (ax) , a ∈ R
Nos exercícios 3 a 5 use a denição de derivada para encontrar o coeciente angular
da reta tangente
3. Seja f (x) =
√1 .
x
(a) Determine o coeciente angular da reta tangente ao gráco de y = f (x), no ponto de abscissa
x = 1.
(b) Determine a equação da reta tangente no ponto mencionado.
(c) Determine os pontos da curva y = f (x) em que a reta tangente tem inclinação de 60◦ .
x
4. Seja f (x) = x−1
. Se possível, determine a equação da reta tangente e da reta normal a curva
)
(
y = f (x) no ponto P −2, 23 .
5. Caso exista, determine a(s) equação(ões) da(s) reta(s) tangente(s) a curva f (x) = x2 + ln (x + 1)
que é(são) perpendicular(es) a reta r : 3y + 3x = 6.
6. Determine as coordenadas dos pontos da curva f (x) = x3 − x2 + 2x em que a reta tangente é
paralela ao eixo x.
7. Mostre que as retas tangentes à curva f (x) =
formando um ângulo reto.
π sin x
em x = π e x = −π , interceptam-se
x
8. Determine a equação da reta normal a curva f (x) =
√
x
1+x
que é paralela a reta r : y + x + 3 = 0.
9. Considere a curva dada por f (x) = − 4x − 3. Caso exista, escreva a equação da reta tangente
a esta curva que é paralela a reta r : x + y = 0.
1
10. Seja f (x) = x2 . Determine a equação da reta tangente e da reta normal a curva y = f (x) no
e
ponto cuja abscissa é x = 1.
11. Determine as abscissas dos pontos do gráco de y = 3x − cos (2x) , nos quais as retas tangentes
são perpendiculares a reta r : 2x + 4y = 5.
1
√
12. Dada a curva f (x) = − x − 1. Determine a equação da reta normal a esta curva no ponto em
que a reta tangente é paralela à reta r : x + 2y − 5 = 0.
13. Dada a curva f (x) =
√
3
3x + 2 determine, se possível:
(a) o(s) ponto(s) da curva onde a reta tangente é paralela a reta y = 2.
(b) a(s) equação(ões) da(s) reta(s) tangente(s) a curva no(s) ponto(s) onde a inclinação é 45◦ .
14. Em cada item, verique se a função dada é derivável nos pontos referidos, justicando sua resposta.
{
(a) f (x) =
3 − 2x, se x < 2
, em x = 2.
3x − 7, se x ≥ 2
(b) f (x) = |x − 3|, em x = 3.
3
1 (c) f (x) = 1 − x − , em x =
2
3
{ √
1 − x, se x < 1
(d) f (x) =
1 − x2 , se x ≥ 1
2
.
9
, em x = 1.
{
3x2 , se x ≤ 2
. Determine, se possível, os valores das
ax + b, se x > 2
constantes a e b para que f seja uma função derivável em x = 2.
Obs: Lembre que se f é derivável em um ponto, então f também deve ser contínua neste ponto.
15. Seja f a função denida por f (x) =
16. Determine os pontos onde a função f (x) = |x| + |x + 1| não é derivável.
17. Determine a derivada das funções a seguir da forma mais simples.
x
x
(q)
(a) f (x) = (3x2 + 2x − 4)(x4 − 5) (i) f (x) = xe 2− e
x(x − 1)
(r)
(b) f (x) = (−2x2 + 1)3
(j) f (x) = √
2
1−x
(s)
2
2x
2
(c) f (t) = t2 + 2
(k) f (x) = 3 + log2 (4x )
(t)
t
√
3
(l) f (x) = ln( 3 4x2 + 7x)
(x + 1)
(u)
(d) f (x) = √
3
f
(x)
=
x
ln
x
(m)
x√
(v)
√
√
(e) f (x) = (1 + 3 x)3
(n) f (x) = ln( x) + ln x (w)
(√
)
(f) f (x) = ln (9x + 4)
x2 + 1
(x)
(o)
f
(x)
=
ln
2
2
(g) f (x) = ln(sin (x))
(9x − 4)
(y)
2
(h) f (x) = sinh(x )
x
(z)
(p) f (x) = cossec (2 )
2
f (x) = e−2x ln x
f (x) = ex ln(x)
√
f (x) = sec( x − 1)
f (x) = 24x ecos(x)
f (x) = cotg (2x3 − sin(x2 ))
f (x) = xln(x) + ln(ln(x))
f (x) = sech (2x)
2
f (x) = xx
f (x) = 3tan(5x)
x
f (x) = ex
Respostas:
1. .
(x)
1
2
2
(f) f ′ (x) = sec2 (x)
loga (e)
(g) f ′ (x) =
, a ∈ R∗+ − {1}
x
(h) f ′ (x) = ax ln(a), a ∈ R∗+ − {1}
(a) f ′ (x) = 2x
(e) f ′ (x) = − sin
1
(b) f ′ (x) = √
2 x
1
(c) f ′ (x) = − 2
2x
(d) f ′ (x) = 3 cos(3x)
2. .
(c) f ′ (x) = 2e2x
5
(2x + 3)2
1
(b) f ′ (x) = √
3
3 (x + 1)2
(a) f ′ (x) =
3. (a) −
1
2
(b) 2y + x = 3
4. Reta tangente: y = −
5. y = x e y = x +
1
x+1
(e) f ′ (x) = a cosh (ax) , a ∈ R
(d) f ′ (x) =
(c) não existe
x−4
56
; Reta normal: y = 9x +
9
3
3
− ln(2)
4
6. Não existem.
7. Mostre que o produto dos coecientes angulares é -1.
8. y = −x
9. y = −x −
1
4
10. Reta tangente: y = e−1 (−2x + 3); Reta normal: y =
11. x =
7π
11π
+ kπ ou x =
+ kπ, k ∈ Z
12
12
12. y = 2x − 5
13. (a) não existe; (b) y = x e y = x +
4
3
14. .
(a)
(b)
(c)
(d)
Não é derivável.
Não é derivável.
Não é derivável.
Não é derivável.
15. a = 12 e b = −12.
16. x = 0 e x = −1.
3
ex e 1
− +
2
2 e
17. .
(m) f ′ (x) = 1 + ln x
(
(a) f ′ (x) = 18x5 + 10x4 − 16x3 − 30x − 10
1
1
√
(n) f ′ (x) =
(b) f ′ (x) = −12x(1 − 2x2 )2
2x
4
t3
3(x + 1)2 (x − 1)
√
f ′ (x) =
2x
x3
√
2
3
(1 + x)
√
f ′ (x) =
3
x2
9
f ′ (x) =
9x + 4
f ′ (x) = 2cotg (x)
f ′ (x) = 2x cosh(x2 )
f ′ (x) = xex
2x2 − 1
′
√
f (x) =
1 − x2
2 log2 (e)
f ′ (x) = 9x ln(9) +
x
8x + 7
′
f (x) =
12x2 + 21x
(c) f ′ (t) = 2t −
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(o)
(p)
(q)
(r)
(s)
(t)
(u)
(v)
(w)
(x)
(y)
(z)
4
)
+1
ln x
9x2 + 4x + 18
f ′ (x) = −
(9x − 4)(x2 + 1)
f ′ (x) = −2x ln(2)cotg (2x )cossec (2x )
(
)
1
′
−2x
f (x) = e
− 2 ln x
x
f ′ (x) = xx (ln(x) + 1)
√
√
tan(
x
−
1)
sec(
x − 1)
√
f ′ (x) =
2 x−1
′
x cos(x)
f (x) = 16 e
(ln(16) − sin(x))
′
2
f (x) = 2x(cos(x ) − 3x)cossec 2 (2x3 − sin(x2 ))
2 ln2 (x)xln(x) + 1
f ′ (x) =
x ln(x)
′
f (x) = −2 tanh(2x)sech (2x)
2
f ′ (x) = xx +1 (2 ln(x) + 1)
f ′ (x) = 5 ln(x)3tan(5x) sec2 (5x)
x
f ′ (x) = xx ex (ln(x) + 1)