MECÂNICA GERAL
ANTONIO EDSON GONÇALVES
24 de Outubro de 2010
2
Antonio Edson Gonçalves
Depto de Física - Centro de Ciências Exatas
Universidade Estadual de Londrina
Cx. Posta 86100 -Londrina - Paraná
[email protected]
01.07.2010
Conteúdo
1 Matrizes, Vetores e Cálculo Vetorial
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 O conceito de escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Transformação das coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Propriedades das Matrizes de Rotações . . . . . . . . . . . .
1.5 Operações com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Algumas Propriedades e Definições Adicionais . . . . . . . .
1.7 O Significado Geométrico das Matrizes de Transformações .
1.8 Definição de Escalar e Vetor em Termos das Propriedades de
Transformações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Operações Elementares com Vetores e Escalares . . . . . . .
1.10 O Produto Escalar ou Interno de Dois Vetores. . . . . . . . .
1.11 Vetores Unitários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.12 O Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.13 Derivada de um Vetor com Relação a um Escalar . . . . . .
1.14 Exemplos de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.14.1 Vetor Posição, Velocidade e Aceleração em Coordenadas Cartesianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.15 Coordenadas Curvilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.15.1 Cossenos Diretores . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.15.2 Fatores de Escala ou Coeficientes de Lamé . . . . . .
1.15.3 O Elemento de Volume e Operadores Diferenciais em
Coordenadas Curvilineares. . . . . . . . . . . . . . .
1.16 Os vetores Posição, Velocidade e Aceleração em Coordenadas Curvilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.16.1 Os Vetores Velocidade e Aceleração em Coordenadas
Polares (r, φ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.16.2 Os Vetores Velocidade e Aceleração em Coordenadas
Cilindricas (ρ, φ, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
13
13
14
15
20
26
27
32
39
40
41
43
45
50
53
53
54
55
57
64
68
69
70
4
CONTEÚDO
1.16.3 Vetores Velocidade e Aceleração em Coordenada Esféricas (r, θ. φ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.17 A velocidade Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.18 O Operador Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.19 Integral de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Mecânica Newtoniana - Dinâmica de uma partícula.
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 As Leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Sistemas de Coordenas . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 As Equações de Movimeto de uma Partícula. . . .
2.4.1 Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Teoremas de Conservação . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Os Limites de Validade da Mecânica Clássica. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
71
73
77
81
97
97
97
99
101
103
126
133
146
3 Oscilações
153
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.2 O Oscilador Harmônico Simples . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.3 Oscilações Harmônicas em Duas Dimensões. . . . . . . . . . 158
3.3.1 Solução da equação de movimento (3.13) em coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.3.2 Solução da equação de movimento (3.13) em coordenadas polares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.3.2.1 Solução via Equação de Movimento . . . . 160
3.3.2.2 Solução via Integral Primeira de Movimento. 163
4 Gravitação
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 O Potencial Gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 O Significado Físico do Potencial Gravitacional
4.3 A Lei de Gauss e a Equação de Poisson . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
165
165
168
170
172
A Equações Diferencias de 2a Ordem Inomogêneas.
179
A.1 Funções de Green em Uma Dimensão . . . . . . . . . . . . . 179
A.1.1 Algumas Propriedades da Função de Green . . . . . 181
B Tópicos em Funções Analíticas
185
B.1 O Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
B.2 A função de Heaviside ou Degrau . . . . . . . . . . . . . . . 187
B.3 Solução Partícular da Equação Diferencial . . . . . . . . . . 189
CONTEÚDO
5
B.4 Solução da Equação Homogênea . . . . . . . . . . . . . . . 190
Appendix
178
Referências Bibliográficas
191
Índice
192
6
CONTEÚDO
Lista de Figuras
1.1 Grandeza escalar com relação aos sistemas S e S’ . . . . . .
1.2 Coordenadas do ponto P com relação ao sistemas de coordenadas S e S 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Rotação de S 0 com relação a S ao redor do eixo x1 . . . . . .
1.4 Segmento de linha (hipotenusa) definido pelo ponto de coordenadas (α, β, γ). Adiciona-se outro segmento de linha
definido pelo ponto de coordenadas (α0 , β 0 , γ 0 ). . . . . . .
1.5 Cosenos diretores em coordenadas cartesianas e coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Rotação de um ângulo θ do sistema de coordenadas, o ponto
P é mantido fixo. Rotação de um ângulo θ do ponto P . . . .
1.7 Rotação do ponto P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Rotação do sistema ao redor do eixo x3 . . . . . . . . . . . .
1.9 Rotação do sistema ao redor do eixo x1 . . . . . . . . . . . .
1.10 Composição de rotações: o sitema é girado de 90o no sah ao
redor do eixo x3 para em seguida ser girado no sah, também
de 90o , ao redor do novo eixo x01 . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11 Exemplo da não comutatividade de rotações. . . . . . . . .
1.12 Sistema de coordenadas S que foi girado de um angulo θ no
sah ao redor do eixo x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.13 Inversão total dos eixos do sistema S . . . . . . . . . . . . .
1.14 Componente A1, , A2 , A3 do vetor A no sistema de coordenadas x1, x2 , x3 . Também é mostrado o angulo α entre o
vetor A e o eixo x1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.15 Projeção do vetor B na direção do vetor A . . . . . . . . . .
1.16 O módulo do vetor C = A×B é igual ao valor da área do
paralelograma AB sin θ, onde θ é o angulo entre os vetores
A e B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.17 Trajetória Γ(s) traçada pela exteremidade do vetor A quando
o parâmetro s varia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
14
16
19
20
22
25
25
33
34
35
36
36
38
42
45
47
52
8
LISTA DE FIGURAS
1.18 Família de superfícies ortogonais cujas intersecções definem
os vetores unitários ortonormais de um sistema de coordenadas curvilineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.19 Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.20 Coordenadas cilindricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.21 Movimento circular de uma partícula . . . . . . . . . . . . .
1.22 Rotação infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.23 Significado geométrico do gradiente . . . . . . . . . . . . .
1.24 Elemento diferencial de área da e sua direção normal à superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.25 O elemento diferencial de área de uma superfície que limita
o volume V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.26 a figura mostra um contorno C que limita uma superfície
aberta e orientada. A dorientação do vetor unitário foi escolhida de tal forma que um observador caminhando na fonteira da superfície (curva C) tem o interior a sua esquerda.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.27 Geometria da integração. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.28 Geometria da integral do fluxo do campo A através de um
octante do cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.29 Geometria da integração esférica . . . . . . . . . . . . . . .
1.30 Volume de integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Sistema de Coordenadas não inercial . . . . . . . . . . . . .
2.2 Bloco no plano inclinado: (a) deslizando sem atrito e (b) em
repouso com coeficiente de atrito estático µe . . . . . . . . .
2.3 Partícula em movimento horizontal com atrito . . . . . . . .
2.4 Gráficos das funções x(t) e v(t) com κ = 1/s e v0 = 10m/s. .
2.5 Partícula em queda livre num meio resistivo. . . . . . . . . .
2.6 Gráfico da velocidade para diferentes valores do módulo da
velocidade inicial v0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Movimento de um projétil num meio sem atrito e com campo
graviatacional uniforme de módulo g. . . . . . . . . . . . .
2.8 Gráfico da trajetória y(x) para as condições iniciais reais
do Canhão Kaiser Wilhelm Geschütz: v0 = 2000m/s, θ =
55o para κ = 0, 10−2 , 10−3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Tempo de voo T em função do coeficiente κ. Condições Iniciais v0 = 2000m/s, θ = 55o , g ∼ 10m/s2 . . . . . . . . . . . .
2.10 Partícula de massa m e carga elétrica e em um campo eletromagnético externo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11 Trajetória gerada pelas curvas paramétricas x(t), y(t) e z(t) .
54
69
71
74
76
79
83
83
84
86
87
89
90
100
101
104
106
107
109
111
117
120
123
126
LISTA DE FIGURAS
9
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
Diferentes trajetórias de integração . . . . . . . . . . . . . . 129
Disco de raio R que gira com velocidade angular constante ω0 132
Energia Total, Cinética e Potencial . . . . . . . . . . . . . . . 135
Pontos de equilírio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Potencial da molécula de amônia . . . . . . . . . . . . . . . 146
Figura do problema 2.0.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Força restauradora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Energias cinética, potencial e total . . . . . . . . . . . . . .
Pendulo simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trajetorias para A = B e δ = 0, π, 2π, π/2, 3π/2, π/3, 2π/3
Coordenadas polares de uma partícula sob a ação de uma
força F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154
156
156
159
Sistema referência para força gravitacional . . . . . . . .
Experimento de Cavandish . . . . . . . . . . . . . . . . .
Integral volumétrica da força de interação gravitacional
Superfície arbitrária envolvendo uma massa m . . . . .
Camada de massa com raio interno b e externo a . . . .
166
167
167
173
175
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
160
A.1 Contorno C para a integral da função de Green . . . . . . . 181
A.2 Contorno no semi-plano superior par o cálculo da integral I 184
B.1 Função de Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
B.2 Contornos de integração para a função degrau . . . . . . . . 188
10
LISTA DE FIGURAS
Lista de Tabelas
11
12
LISTA DE TABELAS
Capítulo 1
Matrizes, Vetores e Cálculo
Vetorial
1.1
Introdução
A descrição1 de um dado fenômeno físico, deve ser independente da escolha do sistema de coordenadas utilizados para descrevê-lo, por exemplo a
escolha de coordenadas polares, cartesianas ou esféricas não deve interferir
no resultado final. Isto porque uma medida de uma determinada grandeza
física tal como velocidade de uma partícula ou sua massa não pode ser
afetada pela escolha do sitema de coordenadas. Certamente essa escolha
é determinada pela simplicidade da forma que as equações de movimento
terão num dado sitema de coordenadas.
Neste contexto, a descrição de fenômenos físicos utilizando o formalismo vetorial é apropriado já que permite apresentar as equações de forma
concisa, compacta, de forma invariante com relação as transformações ortogonais e independente da origem do sistema de coordenadas.
O conceito de vetor como uma quantidade que possui módulo, direção
e sentido é útil para o desenvolvimento conceitual e para uma identificação mais direta (menos abstrata) de algumas grandezas físicas. Considerando que o estudante já possui este conhecimento, os vetores são discutidos no contexto de matrizes para evidenciar suas propriedades com relação
as transformações de coordenadas. A notação matricial e a convenção de
soma de Einstein serão amplamente utilizadas em todas as operações com
matrizes, objetivando expor ao estudante a notação utilizada no formalismo tensorial.
1
O material deste capítulo é, em parte, baseado na referência 5.
13
14
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
Figura 1.1: Grandeza escalar com relação aos sistemas S e S’
1.2
O conceito de escalar
Considere o arranjo de esferas mostrados na figura 1.1 . Este consiste de
esferas com diferentes cores, aqui representado uma propriedade física do
sistema, por exemplo a massa ou o número quântico “color” que na Eletrodinâmica Quântica descreve uma propriedade física dos quarqs. No sistema
de coordenadas S, a propriedade cor de uma esfera pode ser representada
pelo par de números (x, y), por exemplo
M (1, 2) = vermelho,
M (2, 2) = verde.
Já, no sitema S 0 a cor é representada pelo par de números (x0 , y 0 ), por
exemplo
M 0 (1, 410 ; 1, 410 ) = verde.
Como a cor ou a massa não mudam quando descritos ou medidos com
relação a diferentes sistemas de coordenadas, definimos um escalar como
uma grandeza que sob transformação de coordenadas transforma-se
como
M (x, y) = M 0 (x0 , y 0 ).
(1.1)
Em conclusão, a massa ou “cor ” de uma partícula pode ser descrita por
um número com relação a um dado sistema de coordenadas, entretanto
1.3. TRANSFORMAÇÃO DAS COORDENADAS
15
outras grandezas físicas que caracterizam a partícula (por exemplos distância ou velocidade) não podem ser descritas de forma tão simples, para isto
será necessário a utilização de vetores. Análogamente ao escalar que permanece invariante sob transformações do sistema de coordenadas, o vetor
pode ser definido em termos de suas propriedades sob transformações do
sistema de coordenadas.
Para estudar estas transformações, iniciamos com as transformações das
coordenadas de um ponto quando o sistema de referência é girado com
relação a um eixo comum as duas origens.
1.3
Transformação das coordenadas
O objetivo desta seção é encontrar a relação entre as coordenadas de um
ponto referido a dois sistemas de coordenadas.
Considere um ponto P representado pela 3 − upla (x1 , x2 , x3 ) representando as coordenadas de P , no sistema de coordenadas 2 S. Este mesmo
ponto pode ser referido com relação a outro sistema de coordenadas, digamos S 0 , obtido do primeiro por rotação3 , e neste representado pela coordenadas (x01 , x02 , x03 ) . A figura 1.2 fornece uma representação esquemática
desta situação.
Desta, obtem-se as equações:
a = x1 cos θ,
c = x1 sin θ,
b = x2 sin θ,
d = x02
c + d = x2 cos θ,
a + b = x01 ,
(1.2)
(1.3)
que fornecem as equações relacionando as coordenadas do ponto P nos
dois sistemas S e S 0
π
−θ ,
x01 = x1 cos θ + x2 sin θ = x1 cos θ + x2 cos
2
π
0
x2 = −x1 sin θ + x2 cos θ = x1 cos θ +
+ x2 cos θ.
2
2
(1.4)
Sistema de coordenadas: Conjunto de três retas perpendiculares fixas com origem nas
intersecções, utilizado para localizar pontos no espaço.
3
O sistema S 0 pode ser obtido de forma geral por rotação e translação, para a discussão
inicial será considerada somente rotação
16
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
Figura 1.2: Coordenadas do ponto P com relação ao sistemas de coordenadas S e S 0 .
Uma mudança de notação mostra-se apropriada. O angulo θ que aparece
nas equações anteriores é o angulo entre os eixos x01 e x1 , que será representado como
(x0i , xj ),
e o número cos(x0i , xj ) por
λij ≡ cos(x0i , xj ).
Utilizando a figura 1.2 encontra-se os diversos números λij

λ11



λ
12

λ21



λ22
= cos(x01 ,
= cos(x01 ,
= cos(x02 ,
= cos(x02 ,
x1 ) = cos θ,
x2 ) = cos( π2 − θ) = sin θ
x1 ) = cos( π2 + θ) = − sin θ,
x2 ) = cos θ.
Destas equações encontramos que
λ11 = λ22 ;
λ12 = −λ21 ;
(1.5)
1.3. TRANSFORMAÇÃO DAS COORDENADAS
17
esta propriedades serão responsáveis pelas propriedades da matriz que estudaremos logo adiante. Em função deste parâmetros (λij ) as equações
(1.4) tornam-se
x01 = λ11 x1 + λ12 x2 ,
x02 = λ21 x1 + λ22 x2 .
(1.6)
Estas equações evidenciam a vantagem desta notação: em λ,os índices da
esquerda referem-se as coordenadas de S 0 , enquanto que os da direita de
S. Estendendo os cálculos anteriores a três dimensões, com o eixo z perpendicular ao plano xy encontra-se para λij :
λ11 = cos(x01 , x1 ) = cos θ,
π
λ12 = cos(x01 , x2 ) = cos( − θ) = sin θ,
2
π
0
λ13 = cos(x1 , x3 ) = cos = 0,
2
π
0
λ21 = cos(x2 , x1 ) = cos( + θ) = − sin θ,
2
0
λ22 = cos(x2 , x2 ) = cos θ,
π
λ23 = cos(x02 , x3 ) = cos( ) = 0,
2
π
0
λ31 = cos(x3 , x1 ) = cos = 0,
2
π
0
λ32 = cos(x3 , x2 ) = cos = 0,
2
λ33 = cos(x03 , x3 ) = cos 0 = 1,
e para as equações de transformação
x01 = λ11 x1 + λ12 x2 + λ13 x3 ,
x02 = λ21 x1 + λ22 x2 + λ23 x3 ,
x03 = λ31 x1 + λ32 x2 + λ33 x3 ,
as quais podem ser escritas numa forma concisa como
x0i =
3
X
j=i
Notaçao de Einstein
λij xj −−−−−−−−−−−−−−−→ x0i = λij xj ,
Conv. soma indices repetidos
i, j = 1, 2, 3.
A transformação inversa é
x1 = x01 cos(x01 , x1 ) + x02 cos(x02 , x1 ) + x03 cos(x03 , x1 )
= x01 λ11 + x02 λ21 + x03 λ31
= λ11 x01 + λ21 x02 + λ31 x03 ,
(1.7)
18
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
note como “aparentemente ” a posição dos índices foi alterada. De fato os
índices de λ permanecem fixos, o que foi alterado foram as posições das
variáveis xi e x0i nas equações. Na notação de Einstein a expressão para a
coordenada x1 generalizada a todas dimensões torna-se
xi = x0j λji = λji x0j ,
i, j = 1, 2, 3.
(1.8)
Os parâmetros λij são denominados de cosenos diretores dos eixos x0i
com relação aos eixos xi , na representação matricial possuem a forma


λ11 λ12 λ13
λ =  λ21 λ22 λ23  .
λ31 λ32 λ33
(1.9)
Uma vez encontrado os cosenos diretores, as equações de transformação
(1.7) e (1.8) ficam determinadas e desta forma determinando as relações
entre as coordenadas do ponto com relação aos sistemas S e S 0 .
λ definido desta forma tem informações das propriedades de transformação das coordenadas do ponto P , por isto a matriz (1.111) é denominada de matriz de transformação ou rotação.
Example 1.3.1. As coordenadas de um ponto P no sistem S são (2, 1, 3),
e no sistema S 0 ,(x01 , x02 , x03 ). Considerando que o sistema S 0 foi girado de
30o com relação ao sistema S, ao redor do eixo x1 , veja a figura 1.3, encontre
as coordenadas do ponto P no sitema S 0 .
Para encontrar os valores das coordenadas do ponto P no sistema S 0 é
necessário calcular os cosenos diretores, λ, para esta rotação que se deu ao
redor do eixo x1 . Note que na discussão efetuada no texto não foi explicitado, mas uma rotação foi realizada ao redor do eixo x3 . Como a rotação
1.3. TRANSFORMAÇÃO DAS COORDENADAS
Figura 1.3: Rotação de S 0 com relação a S ao redor do eixo x1
se deu ao redor do eixo x1 tem-se
λ11 = cos(x01 , x1 ) = cos 0 = 1,
π
λ12 = cos(x01 , x2 ) = cos = 0,
2
π
0
λ13 = cos(x1 , x3 ) = cos = 0,
2
π
0
λ21 = cos(x2 , x1 ) = cos = 0,
2
π
0
λ22 = cos(x2 , x2 ) = cos = 0, 866,
6
π π
λ23 = cos(x02 , x3 ) = cos( − ) = 0, 5,
2
6
π
0
λ31 = cos(x3 , x1 ) = cos = 0,
2
π π
0
λ32 = cos(x3 , x2 ) = cos( + ) = −0, 5,
2
6
π
0
λ33 = cos(x3 , x3 ) = cos = 0, 866.
6
A forma matricial dos cosenos diretores é:
19
20
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL


1
0
0
λ =  0 0, 866 0, 5  .
0 −0, 5 0, 866
Utilizando as equações (1.7), encontra-se que
x01 = λ11 x1 + λ12 x2 + λ13 x3 = x1 = 2,
x02 = λ21 x1 + λ22 x2 + λ23 x3 = 0, 866x2 + 0, 5x3 = 2, 37,
x03 = λ31 x1 + λ32 x2 + λ33 x3 = −0, 5x2 + 0, 866x2 = 2, 1,
fornecendo para a 3-upla de coordenadas do ponto P em S 0 os valores
(2, 2, 37, 2, 1). A distância entre a origem dos sistemas de coordenadas O
e o ponto P é invariante (um escalar!), portanto possui o mesmo valor
d=
1.4
q
q
02
02
x21 + x22 + x23 = x02
1 + x2 + x3 = 3, 74.
Propriedades das Matrizes de Rotações
Para estudar as propriedades das matrizes de rotação é necessário conhecer
a relação que um dado eixo do sistema de coordenadas S 0 possui com os
três eixos do sistema de coordenads S,certamente estamos discutindo rotações em 3 − d. Esta relação fornecerá informações de alguma propriedade
dos cosenos diretores λij . Na figura 1.4 estão esquematizados dois sistemas
de coordenadas
Figura 1.4: Segmento de linha (hipotenusa) definido pelo ponto de coordenadas (α, β, γ). Adiciona-se outro segmento de linha definido pelo ponto
de coordenadas (α0 , β 0 , γ 0 ).
1.4. PROPRIEDADES DAS MATRIZES DE ROTAÇÕES
21
sendo que um contém um seguimento de linha definido pela origem
e pelo ponto (α, β, γ) e no outro um segmento de linha definido pela
origem e pelo ponto (α0 , β 0 , γ 0 ), foi acrescentado, θ é o angulo entre eles.
O seguimento de linha O(α, β, γ) pode ser decomposto ao longo dos eixos
x1, ,x2 , e x3 nos seguimentos de linhas
Ox1 = O(α, β, γ) cos α,
Ox2 = O(α, β, γ) cos β,
Ox3 = O(α, β, γ) cos γ,
que, via Pitágoras, podem ser usados para calcular-se a diagonal principal, o seguimento de linha O(α, β, γ). Antes, porém é necessário calcular o comprimento da projeção da diagonal O(α, β, γ) no plano xy, seja
O(α, β, γ)xy . Obtem-se imediatamente que
2
2
2
= Ox1 + Ox2
O(α, β, γ)xy
2 2
= O(α, β, γ) cos α + O(α, β, γ) cos β
2
= O(α, β, γ)
cos2 α + cos2 β ;
e consequentemente
2 2
2
O(α, β, γ) = O(α, β, γ)xy + Ox3
2
= O(α, β, γ)
cos2 α + cos2 β + cos2 γ ,
donde segue que
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
(1.10)
Uma outra solução, muito mais simples. A idéia é usar coordenadas
cartesianas e esféricas para localiar um ponto no espaço a uma distância
unidade da origem do sistema de coordenadas. A configuração do problema esta esquematizada na figura 1.5.
As projeções do segmento de linha OP nos eixos x1 , x2 , e x3 são
cos α = sin θ cos φ,
cos β = sin θ sin φ,
cos γ = cos θ.
Da figura encontra-se
cos2 θ + sin2 θ = 1 ⇐⇒ cos2 γ + sin2 θ = 1;
22
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
Figura 1.5: Cosenos diretores em coordenadas cartesianas e coordenadas
esféricas
porem, das equações anteriores obten-se que sin2 θ = cos2 α + cos2 β, que
substituida na equação anterior fornece a equação
cos2 γ + cos2 α + cos2 β = 1.
(1.11)
Outra relação entre o angulo θ e os angulos α, α0, β, β 0 , γ, γ0, necessária para a obtenção das propriedades da matriz de rotação, é4
cos θ = cos α cos α0 + cos β cos β 0 + cos γ cos γ 0 ,
(1.12)
que não será demonstrada aqui mas será pedida como problema.
0
Considere que o seguimento OP da figura (1.4) seja um dos eixos do
sistema de coordenadas S 0 , por exemplo o eixo x01 . Isto possibilita identificar os cosenos diretores com os parâmetros λij , e de fatos são as mesmas
quantidades! Neste caso à equação (1.11) corresponderá a relação
λ211 + λ212 + λ213 = 1,
devido a correspondencia
λ11 = cos(x01 , x1 ) = cos α,
λ12 = cos(x01 , x2 ) = cos β,
λ13 = cos(x01 , x3 ) = cos γ,
4
Para obter esta relação utilize a lei dos cosenos
(1.13)
1.4. PROPRIEDADES DAS MATRIZES DE ROTAÇÕES
23
Para os dois eixos do sistema S 0 , por exemplo OP ↔ x01 e OP 0 ↔ x02 a
equação (1.12) escrita em função dos parâmetros λ torna-se
π
λ11 λ21 + λ12 λ22 + λ13 λ23 = cos θ = cos( ) = 0.
2
(1.14)
As equações (1.100) e (1.14) podem ser reescritas como
3
X
λ21j = 1,
j=1
e
3
X
λ1j λ2j = 0.
j=i
Quando escritas para todos os três eixos obtem-se três equações do tipo
(1.100) e três do tipo (1.14), todas podem ser escritas em uma forma compacta como
3
X
λ2ij = 1,
i = 1, 2, 3.
j=1
3
X
λik λjk = 0,
(1.15)
i, j = 1, 2, 3.
k=i
As equações (1.11) e (1.12) quando escritas para os parâmetros λij evidenciam as seis relações existentes entres estes nove parâmetros, como resultado obten-se somente três parâmetros independentes5 . O conjunto de seis
equações (1.15) pode ser escrito de forma compacta como
3
X
λik λjk = δij ,
i, j = 1, 2, 3.
(1.16)
k=1
O simbolo δij denominado de delta de Kronecker, é definido como
(
1, i = j,
δij =
(1.17)
0, i 6= j.
5
Estes três parametros podem ser, por exemplo, os ângulos de Euler utilizados na descrição de rotações de sólidos em três dimensões.
O número de parâmetros independentes é igual ao número total de parâmetros menos
o número de equações relacionando os parâmetros.
24
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
podendo ser representado por


(δij ) = 
∂x
∂x
∂y
∂x
∂z
∂x
∂x
∂y
∂y
∂y
∂z
∂y
∂x
∂z
∂y
∂z
∂z
∂z



1 0 0
 
0 1 0  ≡ I.
=
0 0 1
(1.18)
Nesta altura da discussão algumas observações são pertinentes:
1. A escolha do ângulo θ = 90o na equação (1.12) resultando em (1.14)
caracteriza uma classe de transformações denominada de transformações ortogonais já que os eixos dos sistemas de coordenadas transformados, são ortogonais.
2. A representação matricial do simbolo de Kronecker é a matrix identidade I, que na forma (1.18) reflete a ortogonalidade dos eixos do
sistema de coordenadas S 0 .
Se a transformação discutida anteriormente fosse realizada com o sistema
S 0 fixo e o sistema S girado o que implicaria na decomposição dos eixos
sem linha em função dos eixos com linha, as equações de transformação
seriam
3
X
λki λkj = δij ,
i, j = 1, 2, 3.
(1.19)
k=1
Note a posição dos índices que são somados. Eles estão no local das coordenadas do sistema com linha, isto expressa a ortogonalidade do sistema sem
linha6 . Em resumo a equação 1.16 expressa uma transformação ortogonal
entre dois sistemas de coordenadas, o S que é ortogonal por escolha e o S 0
que foi girado com relação a S e escolhido ortogonal (θ = π/2 na equação
(1.12)). Já, a equação (1.19) também expressa uma transformação ortogonal entre dois sistemas de coordenadas, só que neste caso o sitema girado
foi o S e para ele foi feita a escolha do valor θ = π/2, para o angulo entre
seus eixos.
Finalmente é necessário acrescentar que nada impede que ao invés de
girar o sistema de coordenadas, giremos o estado7 ou o ponto representativo 8 do sistema. Esta situação está esquematizada na figura 1.6.
6
Na equação 1.12 aplicada a esta situação devemos escolher o angulo θ = π/2, indicando que ois eixos do sistema de coordenadas S são ortogonais.
7
O estado do sistema pode ser representado por uma função de onda no espaço de
Hilbert
8
Neste caso o estado do sistema pode ser representado por um ponto no espaço de
configuração ou um ponto no espaço de fase.
1.4. PROPRIEDADES DAS MATRIZES DE ROTAÇÕES
25
Figura 1.6: Rotação de um ângulo θ do sistema de coordenadas, o ponto P
é mantido fixo. Rotação de um ângulo θ do ponto P .
Figura 1.7: Rotação do ponto P
Para este procedimento e utilizando a configuração esquematizada na
figura 1.7 obtem-se para as coordenadas do ponto P
x1 = OP cos α,
x2 = OP sin α.
e para as coordenadas do ponto P 0 :
x01 = OP 0 cos(α − θ) = OP cos α cos θ + OP sin α sin θ = x1 cos θ + x2 sin θ,
0
x02 = OP sin(α − θ) = OP sin α cos θ − OP sin θ cos α = x2 cos θ − x1 sin θ,
0
OP = OP . Estas equações são iguais as equações de transformação (1.4)
obtidas da rotação do sistema de coordenadas.
As duas abordagens são matematicamente equivalentes.
26
1.5
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
Operações com Matrizes
A matriz λ definida na equação (1.111) é uma matriz quadrada, ou seja
possui o mesmo número de linhas e colunas. Existem diversos tipos de
matrizes: quadradas, retangulares, linhas ou colunas




 
a b c
a b c
a
 d e f ;
 d e f ;

a b c ;
d .
g h i
g h i
g
Adotaremos a matriz na forma coluna, 3 × 1, para representar as coordenadas de um ponto em um espaço de três dimensões


x1
x =  x2  ,
(1.20)
x2
enquanto que a matriz transposta (obtida trocando-se as linhas pelas colunas) será
x t = x1 x2 x3 .
(1.21)
A operação de multiplicação matricial pode ser utilizada para escrevermos
a equação (e todas as outras análogas) (1.7)
x0i
=
3
X
λij xj ,
j=i
na forma matricial
 


λ11 λ12 λ13
x1
x01
x0 = λx ⇐⇒  x02  =  λ21 λ22 λ23   x2  ,
x02
λ31 λ32 λ33
x2

(1.22)
que após ser múltiplicada adquire a forma

x01 = λ11 x1 + λ12 x2 + λ13 x3 
x02 = λ21 x1 + λ22 x2 + λ23 x3
.

0
x3 = λ31 x1 + λ32 x2 + λ33 x3
(1.23)
Esta equação exemplifica a multiplicação de uma matriz quadrada 3×3 por
uma matriz coluna 3 × 1, resultando em matriz coluna 3 × 1. Para recordar,
a multiplicação de uma matriz A por uma matriz B é definida somente se
o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da
segunda, ou seja na mltiplicação matricial
C = AB,
1.6. ALGUMAS PROPRIEDADES E DEFINIÇÕES ADICIONAIS
27
o número de colunas da matriz A deve ser igual ao número de linhas da
matriz B; a matriz resultante C terá o número de linhas da matriz A e o
número de colunas da matriz B. Isto se evindencia ainda mais na expressão
Cij = (AB)ij = Aik Bkj ,
(1.24)
onde o índice k representa simultaneamente o número de colunas da matriz
A e o número de linhas da matriz.
Example 1.5.1. Como exemplo faremos a multiplicação de uma matriz A,
2 × 3, por uma matriz B,3 × 2:


a b
1 2 3
A=
,
B =  c d ;
4 5 6
e f
a matriz C resultante do produto destas duas matrizes é


a b
1 2 3 
a
+
2bc
+
3e
b
+
2d
+
3f
c d =
C=
,
4 5 6
4a + 5c + 6e 4b + 5d + 6f
e f
que é uma matriz 2 × 2!
Uma característica muito importante da múltiplicação matricial é a sua
não comutatividade, por exemplo, para as mesmas matrizes do exemplo
anterior obterem-se




a b
a + 4b 2a + 5b 3a + 6b
1 2 3
D = BA =  c d 
=  c + 4d 2c + 5d 3c + 6d  ,
4 5 6
e f
e + 4f 2e + 5f 3e + 6f
que é evidente da definição dop produto matricial
D = BA =⇒ Dij = Bik Akj ,
(1.25)
onde agora o número de linhas da matriz D é igual ao número de linhas da
matriz A e o número de colunas é igual ao número de colunas da matriz
A. Resumidamente
AB 6= BA.
(1.26)
1.6
Algumas Propriedades e Definições Adicionais
Definition 1.6.1. A matriz transposta At de uma matriz A é obtida trocandose linhas por colunas.
28
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
Portanto pela definição, em termos de elemento de matriz, teremos
λtij = λji .
É imediato verificar que
λt
t
= λ.
(1.27)
(1.28)
Tendo definido a matriz transposta, a equação (1.8), para a transformação
inversa das coordenadas, pode ser escrita na forma matricial
xi = x0j λji = λji x0j ,
xi = λji x0j
= λtij x0j =⇒
(1.29)
x = λ t x0 ,
ou na forma matricial

 
 0 
x1
λ11 λ21 λ31
x1
 x2  =  λ12 λ22 λ32   x02  ,
x02
x2
λ13 λ23 λ33
(1.30)
Definition 1.6.2. Matriz Identidade é a matriz que ao multiplicar qualquer
outra não altera esta última.
Representando a matriz identidade por 1 ou I e uma matriz genérica
qualquer por A teremos
IA = AI = A.
A matriz identidade (ou unidade) I é
em três dimensões ela possui a forma

1

0
I=
0
diagonal e possui elememtos 0 ou 1,

0 0
1 0 ,
0 1
(1.31)
e seus elementos de matrix Iij podem ser representados com a utilização da
delta de Kronecker
Iij = δij .
(1.32)
Como uma interessante aplicação da matriz transposta, considere o produto da matriz λ por sua transposta λt em duas dimensões
λ11 λ12
λ11 λ21
λ211 + λ212
λ11 λ21 + λ22 λ12
t
λλ =
=
.
λ21 λ22
λ12 λ22
λ11 λ21 + λ22 λ12
λ221 + λ222
1.6. ALGUMAS PROPRIEDADES E DEFINIÇÕES ADICIONAIS
29
Usando as condições de ortogonalidade, equação (1.16), encontramos
λ211 + λ212 = λ221 + λ222 = 1,
λ11 λ21 + λ22 λ12 = λ11 λ21 + λ22 λ12 = 0,
de forma que
t
λλ =
1 0
0 1
= 1.
(1.33)
Esta é a equação que expressa a ortogonalidade da matriz λ, a equação
(1.16) na forma matricial. De fato a equação (1.16) é que define a condição
de ortogonalidade da matriz de rotação λ, entretanto qualquer matriz A
que satisfaz a condição
AAt = I,
é por definição uma matriz ortogonal.
Definition 1.6.3. Uma matriz A é ortogonal se satisfizer a condição
AAt = I.
(1.34)
Neste ponto podemos introduzir o conceito de matriz inversa, dada a
semelhança da expressão anterior com a operação
aa−1 = 1,
a 6= 0 a ∈ R.
Seja A−1 a matriz inversa da matriz A, então
AA−1 = A−1 A = I.
(1.35)
Comparando as equações (1.34) e (1.37), encontramos a importante propriedade
At = A−1 ,
(1.36)
ou seja
Corollary 1.6.4. Seja A uma matriz ortogonal não singular, então é válida
a equação
At = A−1 .
A utilização desta propriedade (válida para matrizes ortogonais) simplifica imensamente o cálculo da matriz inversa. Se a matriz não for ortogonal
é necessário fazer o cálculo na força bruta utilizando um dos métodos de se
calcular a inversa, por exemplo dada uma matriz X qualquer, não singular9 ,
a sua inversa é:
9
Uma matriz é singular se o seu determinante for nulo.
30
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
Definition 1.6.5. A matriz X−1 , inversa da matriz X é
1
(CofX)t ,
(1.37)
det X
onde det X é o determinante da matriz X calculado, por exemplo, da forma
X−1 =
det X = εijk x1i x2j x3k ,
(1.38)
para uma matriz X3×3. Os termos x1i , x2j , x3k representam os elementos das linha 1, 2 e 3, respectivamente da matrix X. O simbolo εijk precisa
ser definido! Ele é denominado de simbolo totalmente antisimétrico definido como


se i, j, k são permutações pares de 1,2,3, e i 6= j 6= k;
1,
εijk = 0
se pelo menos um índice (qualquer) for repetido,


−1 se i, j, k são permutações ímpares de 1,2,3, e i 6= j 6= k.
(1.39)
Alguns exemplos:
ε123
ε231
ε132
ε321
ε121
= 1,
= ε123=1,
= −ε123 = −1,
= ε213 = −ε123 = −1,
= ε223 = 0.
É interessante observar, embora ainda não tenhamos definido, que este
simbolo, (também conhecido como o tensor de Levi-Civita) está associado
ao produto vetorial misto, por exemplo
i · (k × j) = 1,
i · (j × k) = −1,
i · (k × i) = 0.
\boldsymbol{\lambda}^{t} Uma outra definição muito utilizada em mecânica quântica e outras teorias também:
A Matriz Adjunta de uma matriz genérica X é definida como
Adj X = (CofX)t
A matriz dos cofatores é definda como:
(1.40)
1.6. ALGUMAS PROPRIEDADES E DEFINIÇÕES ADICIONAIS
31
Definition 1.6.6. Seja A a matriz, n × n dos cofatores da matriz B também n × n, então um elemento aij da matriz A é construido utilizando os
elementos da matriz B, da seguinte forma
aij ≡ (−1)i+j Mij = (−1)i+j det B(n−1)×(n−1) |sem linha i; sem coluna j .
(1.41)
A expressão anterior define o menor Mij :
Mij ≡ det B(n−1)×(n−1) |sem linha i; sem coluna j
Com certeza um exemplo faz-se necessário.
Example 1.6.7. Calcule a matriz adjunta A, da matriz


b11 b12 b13
B =  b21 b22 b23  .
b31 b32 b33
Primeiramente calculamos a matriz dos cofatores:
1+1
1+1 b22 b23 = b22 b33 − b32 b23 ;
a11 = (−1) M11 = (−1) b32 b33 1+2
1+2 b21 b23 a12 = (−1) M12 = (−1) = −(b21 b33 − b31 b23 );
b31 b33 1+3
1+3 b21 b22 a13 = (−1) M13 = (−1) = b21 b32 − b31 b22 ;
b31 b32 b12 b13 = −(b12 b33 − b32 b13 );
a21 = (−1) M21 = (−1) b32 b33 2+2
2+2 b11 b13 = b11 b33 − b31 b13 ;
a22 = (−1) M22 = (−1) b31 b33 2+3
2+3 b11 b12 a23 = (−1) M23 = (−1) = −(b11 b32 − b31 b12 );
b31 b32 1+3
1+3 b12 b13 a31 = (−1) M31 = (−1) = b12 b23 − b22 b13 ;
b22 b23 3+2
3+2 b11 b13 a32 = (−1) M32 = (−1) = −(b11 b23 − b21 b13 );
b21 b23 3+2
3+3 b11 b12 a33 = (−1) M33 = (−1) = b11 b22 − b21 b12 .
b21 b22 2+1
1+2
(1.42)
32
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
analogamente para os outros termos. A matriz dos cofatores da matriz B é


b22 b33 − b32 b23
−(b21 b33 − b31 b23 )
b21 b32 − b31 b22
b11 b33 − b31 b13
−(b11 b32 − b31 b13 )  .
CofB =  −(b12 b33 − b32 b13 )
b12 b23 − b22 b13
−(b11 b23 − b21 b13 )
b11 b22 − b21 b12
Utilizando a matrix CofB, calcula-se a matriz


b22 b33 − b32 b23
−(b12 b33 − b32 b13 )
b12 b23 − b22 b13
b11 b33 − b31 b13
−(b11 b23 − b21 b13 ) 
A = AdjB = (CofB)t =  −(b21 b33 − b31 b23 )
b21 b32 − b31 b22
−(b11 b32 − b31 b13 )
b11 b22 − b21 b12
A título de curiosidade, a matriz dos menores da matriz B é


b11 b22 − b12 b21 b11 b23 − b13 b21 b12 b23 − b13 b22
MB =  b11 b32 − b12 b31 b11 b33 − b13 b31 b12 b33 − b13 b32 
b21 b32 − b22 b31 b21 b33 − b23 b31 b22 b33 − b23 b32
O produto matricial, embora não comutativo é associativo
A(BC) = (AB)C,
(1.43)
e a soma de matrizes é feita somando-se seus respectivos elementos: C =
A + B significa que
Cij = Aij + Bij .
(1.44)
1.7
O Significado Geométrico das Matrizes de
Transformações
Considere uma rotação de 900 no sentido anti-horário ao redor do do eixo
x3 , como esquematizado na figura (1.8)
Após esta rotação os cosenos diretores λij (somente os diferentes de
zero) podem se calculados
λ12 = cos(x01 , x2 ) = 1,
λ21 = cos(x02 , x1 ) = −1,
λ33 = cos(x03 , x3 ) = 1.
de forma que a matriz dos cosenos diretores será


0 1 0
λ1 =  −1 0 0  .
0 0 1
1.7. O SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DAS MATRIZES DE TRANSFORMAÇÕES33
Figura 1.8: Rotação do sistema ao redor do eixo x3
Os novos eixos, ou seja os eixos do sistema S 0 estão relacionados aos eixos
do sistema S pelas equações x01 = x2 , x02 = −x2 e x03 = x3 , imediatamente
obtida com a utilização da matriz de transformação λ1 .
Na sequência, considere uma rotação de 900 no sentido anti-horário ao
redor do do eixo x1 , como esquematizado na figura (1.9).
Novamente, calculamos os cosenos diretores λij (somente os diferentes
de zero)
λ23 = cos(x02 , x3 ) = 1,
λ32 = cos(x02 , x1 ) = −1,
λ11 = cos(x01 , x1 ) = 1.
de forma que a matriz dos cosenos diretores será


1 0 0
λ2 =  0 0 1  .
0 −1 0
Temos duas transformações individuais
x1 = λ1 x,
x2 = λ2 x,
que podemos usar para construir a transformação composta de duas transformações sucessivas
x0 = λ1 x,
x00 = λ2 x0 = λ2 λ1 x.
(1.45)
34
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
Figura 1.9: Rotação do sistema ao redor do eixo x1
Na forma matricial esta equação torna-se
 



1 0 0
0 1 0
x001
x1
 x002  =  0 0 1   −1 0 0   x2 
x002
0 −1 0
0 0 1
x2

 


x2
0 1 0
x1





x3  .
0 0 1
x2
=
=
x1
1 0 0
x2

O significado deste resultado é que as duas matrizes de rotações podem ser
combinadas para representarem uma rotação composta. Note que fizemos
uma composição de rotações, a primeira com λ1 transformando o sistema
S em S 0 e a segunda transformação devido a λ2 que transforma o sistema
S 0 em S 00 , como esquematizado na figura (1.12)


0 1 0
λ3 = λ2 λ1 =  0 0 1  ,
1 0 0
(1.46)
sendo
x001 = x2 ,
x002 = x3 ,
x003 = x1
a orientação final dos novos eixos. Como o produto matricial não é comutativo, a ordem da operação das matrizes de transformações nos vetores é
importante. Se fizermos primeiro uma transformação no eixo x1 , para em
1.7. O SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DAS MATRIZES DE TRANSFORMAÇÕES35
Figura 1.10: Composição de rotações: o sitema é girado de 90o no sah ao
redor do eixo x3 para em seguida ser girado no sah, também de 90o , ao
redor do novo eixo x01 .
seguida transformarmos com relação ao eixo x3 , teremos como resultado
uma nova matriz de transformação


 

0 1 0
1 0 0
0
0 1
λ4 = λ1 λ2 =  −1 0 0   0 0 1  =  −1 0 0  =
6 λ3. ,
0 0 1
0 −1 0
0 −1 0
(1.47)
implicando em uma diferente orientação final dos eixos.
A figura (1.11) ilustra as diferentes orientações de um livro submetido
as mesmas rotações λ2 e λ3 compostas em diferentes ordens: na figura
(1.11) superior a composição é λ2 λ3 e na inferior λ3 λ2 . Note como as
configurações finais são claramente diferentes.
A rotação esquematizada na figura (1.12) possui os seguintes cossenos
diretores
36
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
Figura 1.11: Exemplo da não comutatividade de rotações.
Figura 1.12: Sistema de coordenadas S que foi girado de um angulo θ no
sah ao redor do eixo x3
1.7. O SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DAS MATRIZES DE TRANSFORMAÇÕES37
λ11 = cos(x01 , x1 ) = cos θ,
π
λ12 = cos(x01 , x2 ) = cos( − θ) = sin θ,
2
π
λ13 = cos(x01 , x3 ) = cos = 0,
2
π
0
λ21 = cos(x2 , x1 ) = cos( + θ) = − sin θ,
2
0
λ22 = cos(x2 , x2 ) = cos θ,
π
λ23 = cos(x02 , x3 ) = cos( ) = 0,
2
π
0
λ31 = cos(x3 , x1 ) = cos = 0,
2
π
0
λ32 = cos(x3 , x2 ) = cos = 0,
2
λ33 = cos(x03 , x3 ) = cos 0 = 1,
a representação matricial desses cossenos diretores, ou seja a matriz λ é


cos θ sin θ 0
λ5 =  − sin θ cos θ 0  ,
(1.48)
0
0
1
que representa uma rotação do sistema ao redor do eixo x3 .
Uma outra transformação, importante no contexto de simetrias em partículas elementares e teoria de campos, é a chamada inversão total. Em três
dimensões esta trasnformação é efetuada pelas operações x01 = −x1 , x02 =
−x2 , x03 = −x3 e sua representação matricial é


−1 0
0
λ6 =  0 −1 0  .
(1.49)
0
0 −1
O resultado de uma inversão total em 3−d é representado na figura (1.13).
Nos exemplos anteriores obtivemos a matriz de transformação λ3 como
resultado de duas rotações sucessivas, cada rotação é uma transformação
ortogonal como já provamos na equação (1.19). O que faremos agora será
verificar se a composição de transformações ortogonais λ3 = λ2 λ1 resultará
em uma transformação ortogonal. Para isto considere
x0i = λij xj ,
x00k = µkl x0l ;
que pode ser combinada como
x00k = µkl x0l = µkl λlj xj = [µλ]kj xj ,
38
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
Figura 1.13: Inversão total dos eixos do sistema S
que é a representação matricial da composição de duas transformações ortogonais λ e µ que muda o sistema de S para S 00 . A transformação composta será ortogonal se a matriz [µλ] for ortogonal, ou seja se [µλ]t =
[µλ]−1 . Para verificar se está matriz é ortogonal vamos usar a propriedade,
sem demonstração pois será pedida como problema,
(AB)t = Bt At ,
(1.50)
ou seja a transposta do produto de matrizes é igual ao produto das transpostas
em ordem reversa. Portanto
[µλ]t = λt µt ,
(1.51)
que usada no cálculo
[µλ]t µλ = λt µt µλ = λt µ−1 µλ = λt Iλ = λ−1 λ = I.
Este cálculo é a demonstração que o produto de matrizes ortogonais µ e λ
resulta em uma matriz [µλ] que também é ortogonal. A equação anterior
pode ser reescrita como
[µλ]t µλ = I =⇒ [µλ]t = [µλ]−1 .
(1.52)
O determinante de matrizes 3 × 3 podem ser calculados explicitamente
como
1.8. DEFINIÇÃO DE ESCALAR E VETOR EM TERMOS DAS PROPRIEDADES DE TRANSFORMAÇÕES
det λ = εijk λ1i λ2j λ3k
= ε123 λ11 λ22 λ33 + ε231 λ12 λ23 λ31 + ε312 λ13 λ21 λ32
+ ε132 λ11 λ23 λ32 + ε213 λ12 λ21 λ33 + ε321 λ13 λ22 λ31
= λ11 (λ22 λ33 − λ23 λ32 ) + λ12 (λ23 λ31 − λ21 λ33 ) + λ13 (λ21 λ32 − λ22 λ31 ).
Em particular, para matrizes ortogonais pode-se calcular o determinante
utilizando a propriedade
λt = λ−1 =⇒
λλt = λλ−1 = I.
Utilizando as propriedades que serão pedidas como problemas
det λt = det λ,
det(AB) = det A det B,
(1.53)
(1.54)
encontra-se que
det λλt = det λ det λt = (det λ)2 = det I = 1 =⇒ det λ = ±1.
(1.55)
A equação (1.55) posui um importante significado: todas as trasnformações
ortogonais possuem determinante ±1, as rotações, também denominadas de
transformações próprias possuem determinante igual a 1 enquanto que as
inversões, ou transformações impróprias possuem o determinante −1. Um
resultado muito importante é que uma transformação própria não pode ser
reduzida a imprópria e vice-versa, assim não é possível pela composição de
várias rotações obter uma reflexão!
Ainda que um pouco fora do contexto do curso, observamos que a própriedade de o determinante de transformações ortogonais possuir os valores ±1possibilita classificar o grupo de rotações em duas categorias disjuntas: o das transformações próprias ou rotações e o das trasnformações
impróprias ou reflexões. Existem outras transformações.
1.8
Definição de Escalar e Vetor em Termos das
Propriedades de Transformações
Considere a trasnformação das coordenadas do tipo, equação (1.7),
x0i
=
3
X
j=i
λij xj
40
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
com os cosenos diretores satisfazendo a equação (condição de ortogonalidade) (1.16)
3
X
λik λjk = δij .
k=1
Se sob esta transformação, uma dada quantidade φ não é alterado,
então φ é denominado de escalar ou escalar invariante. Quando φ
for uma função de uma ou várias variáveis contínua e diferenciável
(exceto possivelmente em alguns polos) costuma-se denominá-la de
campo escalar.
Se o conjunto de quantidades (3-uplas) (A1 , A2 , A3 ) se transforma
como as coordenadas xi do ponto P , conforme a equação (1.16), ou
equivalentemente em outras palavras Se a quantidade (A1 , A2 , A3 ) se
transforma do sistema xi para o sistema x0i via a matriz ortogonal λ,
como
A0i = λij Aj , i, j = 1, 2, 3;
(1.56)
então a quantidade A = (A1 , A2 , A3 ) é denominada de vetor.
1.9
Operações Elementares com Vetores e Escalares
Nas equações seguintes, A e B são vetores com componentes Ai e Bi ;φ, ψ
e ξ são escalares.
Adição
Comutatividade da adição
Ai + Bi = Bi + Ai ,
Ai + (Bi + Ci ) = (Ai + Bi ) + Ci ,
φ + ψ = ψ + φ,
φ + (ψ + ξ) = (φ + ψ) + ξ,
Associatividade da adição
Comutatividade da adição
Associatividade da adição
(1.57)
(1.58)
(1.59)
(1.60)
Multiplicação por um escalar
ξA = (ξA1 , ξA2 , ξA3 ) = B
é um vetor
(1.61)
1.10. O PRODUTO ESCALAR OU INTERNO DE DOIS VETORES.
ξφ = ψ,
é um escalar.
41
(1.62)
Na equação (1.61) assumimos que o resultado da multiplicação de um escalar por um vetor, resulta em um vetor. De fato este resultado deve ser
verificado e isto pode ser feito utilizando a definição de vetor. Se B é um
vetor ele deve se transformar como
B0 = λB = λξA = ξλA = ξA0 ,
uma vez que o campo escalar é um invariante e A é um vetor. O resultado
anterior implica que B é um vetor. O procedimento anterior também pode
ser desenvolvido em função das componente dos vetores A e B.
1.10
O Produto Escalar ou Interno de Dois Vetores.
O produto interno (representado por um ponto ·) de dois vetores A e B é
definido como
A · B = Ai Bi , i = 1, 2, 3.
(1.63)
O vetor A = (A1, A2 , A3 ), de componente Ai possui módulo
q
|A| ≡ A = + A21 + A22 + A23 .
(1.64)
Dividindo ambos os lados da equação (1.63) por AB obtem-se
A·B
Ai Bi
=
,
AB
A B
(1.65)
onde Ai /A é o cosseno diretor do vetor A com o eixo i dos sistema de
coordenadas, da mesma forma, Bi /B é o cosseno diretor do vetor B com o
eixo i do sistema de coordenadas (veja a Figura (1.14)) .
Note que interessante, chamando de cos(A, B) o cosseno do angulo
entre os vetores A e B a equação (1.65) fornece
cos θ =
A1 B1 A2 B2 A3 B3
+
+
= cos α cos α0 + cos β cos β 0 + cos γ cos γ 0
A B
A B
A B
que é análoga à equação (1.12). Isto não é coincidência já que os dois vetores A e B podem ser considerador os eixos x01 e x02 do sistema transformado
S 0 com relação ao sistema S. De forma geral, sem dar nomes aos angulos,
o lado direito da equação (1.65) pode ser escrita na forma
B
cos(A, B) = ΛA
i Λi ,
(1.66)
42
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
Figura 1.14: Componente A1, , A2 , A3 do vetor A no sistema de coordenadas x1, x2 , x3 . Também é mostrado o angulo α entre o vetor A e o eixo
x1
onde
ΛA
i ≡
Ai
,
A
ΛB
i ≡
Bi
.
B
(1.67)
Utilizando as equações (1.66) e (1.67), a equação (1.65) pode ser reescrita
como
A·B
= cos(A, B) =⇒ A · B = AB cos(A, B) ,
(1.68)
AB
Proposition 1.10.1. O produto interno de dois vetores é uma grandeza escalar.
Demonstração. A e B são vetores portanto transformam-se sob a matriz
ortogonal λ da forma
A0i = λij Aj ,
Bi0 = λij Bj ;
e o produto interno desses vetores ´e
A0 · B0 = λij λik Aj Bk = δjk Aj Bk = Ak Bk = A · B,
utilizando a equação (1.16). Este resultado, ou seja
A0 · B0 = A · B
(1.69)
1.11. VETORES UNITÁRIOS
43
afirma que o produto interno é invariante sob transformações ortogonais,
neste caso rotações representadas pela matriz λ; portanto o produto interno de vetores é um escalar invariante porque ele permanece inalterado
pela transformação ortogonal λ.
Este resultado pode ser usado para mostrar que a distância entre dois
pontos ou o módulo de um vetor (distância desde a origem do sistema de
coordenadas até um dado ponto no espaço) também é um invariante
q
√
√
|d| = d · d = x21 + x22 + x23 = xi xi
(1.70)
Em geral a distância entre dois pontos
p
p
(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + (x2 − y3 )2 = (A − B) · (A − B) = |A − B|
(1.71)
é um invriante. Em resumo temos a seguinte afirmação:
Claim 1.10.2. Transformações ortogonais preservam a distância entre dois
pontos.
Podemos nos perguntar também sobre o que acontece com o angulo
entre dois vetores transformados. Para verificar esta questão, considere a
definição do angulo entre dois vetores, equação (1.68):
A·B
= cos(A, B).
AB
O angulo antre os vetores A e B é função do produto interno desses vetores e de seus módulos, que são todas quantidades invariantes como já
demonstrado anteriormente. Portanto:
Claim 1.10.3. Transformações ortogonais preservam o angulo entre vetores.
Para completar esta seção observamos que o probuto interno é comutativo e distributivo:
A · B = Ai Bi = Bi Ai = B · A
A · (B + C) = Ai (B + C)i = Ai (Bi + Ci ) = Ai Bi + Ai Ci = A · B + A · C.
1.11
Vetores Unitários
É apropriado representar vetores em função de suas componentes nas três
direções de um dado sistema de coordenadas. Para este propósito introduzse vetores unitários, que são vetores que possuem o comprimento unidade
44
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
no sistema de coordenadas em consideração. Por exemplo o vetor unitário
ao longo da direção radial em coordenadas esféricas é construido como
r
er = .
r
Em geral um vetor unitário é definido como
uA =
A
,
A
(1.72)
e representado por diferentes notações equivalentes, por exemplo
i, j, k
e1 , e2 , e3
er , eθ , eφ
r̂, θ̂, φ̂
em coordenadas cartesianas,
em um sistema de coordenadas curvilineares qualquer,
em coordenadas esféricas,
em coordenadas esféricas.
(1.73)
Analogamente, um vetor pode ser representado por uma das seguintes formas
A = (A1 , A2 , A3 ),
A = A1 e1 + A2 e2 + A3 e3 ,
A = A1 i + A2 j + A3 k.
(1.74)
Neste texto adotaremos a notação e1 , e2 , e3 para os vetores unitários por
causa da convenção da soma:
A = A i ei ,
cujas componentes são
Ai = ei · A, i = 1, 2, 3.
(1.75)
Em geral (a menos que se afirme o contrário) trabalharemos com bases
ortogonais, portanto os vetores unitários satisfazem
ei · ej = δij ,
(1.76)
expressando a ortogonalidade da base.
Example 1.11.1. Dado dois vetores A = i + 2j − 2k e B = 4i + 2j − 3k
em coordenadas cartesianas, calcule a distância AB entre os pontos OA e
1.12. O PRODUTO VETORIAL
45
Figura 1.15: Projeção do vetor B na direção do vetor A
OB, o angulo entre os vetores e o valor da projeção do vetor B ao longo
do vetor A.
A distância entre o pontos OA e OB é
p
√
√
|A − B| = |B − A| = (1 − 4)2 + (2 − 2)² + (−2 + 3)2 = 9 + 1 = 10,
o angulo entre os vetores é obtido de
A·B
4+4+6
14
(i + 2j − 2k) · (4i + 2j − 3k)
√
= √
= √ = 0.867,
= √
AB
9 × 29
1 + 4 + 4 16 + 4 + 9
3 29
portanto
θ = 30◦ .
cos θ =
A projeção de B na direção de A vale (Veja a figura (1.15))
A·B
= eA · B.
A
A quantidade eA · B mede exatamente o quanto do vetor B esta na direção
do vetor A, o vetor eA é um vetor unitário na direção do vetor A, veja a
equação (1.72). Portanto
√
eA · B = B cos θ = 29 × 0.867 = 4.67.
A · B = AB cos θ =⇒ B cos θ =
1.12
O Produto Vetorial
Dois vetores podem ser combinados de forma a forncecer como resultado
um outro vetor10 , a esta operação dá-se o nome de produto vetorial. Para
10
De fato o resultado do produto vetorial não é um vetor verdadeiro mas sim um pseudo
vetor. Um vetor verdadeiro é invertido sub reflexão enquanto que um pseudo vetor não.
46
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
dois vetores A e B este produto é representado como
C=A×B
(1.77)
onde C é o vetor resultante desta operação. As componentes do vetor C
são definidas pela equação
Ci ≡ εijk Aj Bk ,
(1.78)
onde εijk é o tensor de Levi-Civita, definido na equação (1.39). Utilizando
esta notação, as componentes do vetor C são calculadas como
C1 = ε123 A2 B3 + ε132 A3 B2
= A2 B3 − A3 B2 ;
C2 = A3 B1 − A1 B3 ;
C3 = A1 B2 − A2 B1 .
(1.79)
Considere a expansão da quantidade [AB sin θ]2 :
(AB)2 sin2 θ =
=
=
=
(AB)2 (1 − cos2 θ)
(AB)2 − (AB)2 cos2 θ
(AB)2 − (A · B)2
A2i Bj2 − (Ai Bi )2
= (A2 B3 − A3 B2 )2 + (A3 B1 − A1 B3 )2 + (A1 B2 − A2 B1 )2 ,
após um pouco de álgebra. Por outro lado
|A × B|2 = |C|2 = C 2 = C12 + C22 + C32 ,
com Ci dados na equação (1.79). Comparando estas duas equações (com
as componentes Ci dadas nas equações (1.79)) encontramos que
C = +AB sin θ.
(1.80)
O significado desta equação é: se C = A × B, então o módulo do vetor C
é igual ao módulo de A vezes o módulo de B vezes o seno do angulo entre
eles. No contexto geométrico interpretamos o módulo do produto vetorial
A × B como a área do paralelograma definido pelos vetores A e B, veja a
figura (1.16)
Por exemplo a velocidade é um vetor e o momento angular, um pseudo vetor.
1.12. O PRODUTO VETORIAL
47
Figura 1.16: O módulo do vetor C = A×B é igual ao valor da área do
paralelograma AB sin θ, onde θ é o angulo entre os vetores A e B.
Example 1.12.1. Usando as equações (1.63) e (1.78), mostre que
A · (B × D) = D · (A × B).
O lado esquerdo desta equação pode ser escrito como
A · (B × D) = Ai εijk Bj Dk
= Ai εkij Bj Dk
= Dk εkij Ai Bj
= D · (A × B).
Também pode-se converser-se da igualdade acima lembrando que o produto interno é um escalar invariante. Se nesta equação faz-se a escolha
A = B obten-se
A · (A × D) = D · (A × A) = 0,
mostrando que A é perpendicular à A × D.
O vetor A × B = C é perpendicular ao plano definido pelos vetores A
e B já que A · (A × B)=0 e B · (A × B)=0 . A área de um plano pode
ser representada por um vetor normal ao plano e cuja magnetude é igual a
área do plano. A orientação é aquela do sistema destrógiro para o sistema
48
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
de coordenadas (portanto para o produto vetorial) e a superfície orientada
com Jacobiano +1.
A definição do produto vetorial está completa: as componentes, o módulo, sentido e interpretação geométrica foram apresentadas. Tudo indica
que C é realmente um vetor, entretanto devemos lembrar que não aplicamos a C a definição de vetor! Ou seja, como esta quantidade se transforma
sob rotações? Para responder esta questão considere a quantidade;
C0 = A0 × B0 = (λA) × (λB)
Ci0 = (A0 × B0 )i = [(λA) × (λB)]i
= εijk λjp Ap λkq Bq
= εijk λjp λkq Ap Bq .
(1.81)
O determinante da matriz λ, que é ortogonal, é igual a 1,
det λ = εijk λi1 λj2 λk3 = 1.
Este resultado pode ser utilizado para se obter
εijk λi1 λj2 λk3
εijk λir λjp λkq
εijk λir λjp λkq
εijk λir λjp λkq
λtr εijk λir λjp λkq
εijk λtr λir λjp λkq
εijk δit λjp λkq
εtjk λjp λkq
= 1 =⇒
= εrpq =⇒
= δrl εlpq =⇒
= λsr λsl εlpq =⇒
= λtr λsr λsl εlpq =⇒
= δst λsl εlpq =⇒
= λtl εlpq =⇒
= λtl εlpq
Finalmente provamos que
εijk λjp λkq = λil εlpq .
(1.82)
Substituindo este resultado na equação (1.81) para a componente Ci0 obtemse que
Ci0 = εijk λjp λkq Ap Bq
= εlpq λil Ap Bq
= λil Cl .
(1.83)
1.12. O PRODUTO VETORIAL
49
De outra forma
C0 = λC =⇒
Ci0 = λij Cj = λij εjkl Ak Bl ,
(1.84)
que concorda plenamente com o resultado anteiror. As equações (1.81)
(1.83) expressam o resultado do produto vetorial das componentes transformadas, enquanto que a equação (1.84) é a transformação do produto
vetorial. Os dois resultados são iguais e se transformam segundo a lei de
transformações de vetores.
A seguir demonstramos alguma propriedades básicas do produto vetorial:
A × B = εijk ei Aj Bk = −εijk ei Bj Ck = B × A
A × (B × C) = εijk ei Aj εkpq Bp Cq = (δip δjq − δiq δjp )ei Aj Bp Cq =
= ei Aj Bi Cj − ei Aj Bj Ci = B(A · C) − C(A · B);
(A × B) × C = εijk ei εjpq Ap Bq Ck
= − (δip δkq − δiq δkp ) ei Ap Bq Ck
= ei Ak Bi Ck − ei Ai Bk Ck
B(A · C) − A(B · C).
(1.85)
(1.86)
(1.87)
Comparando as equações (1.86) e (1.87) conclui-se que
A × (B × C) 6= (A × B) × C,
(1.88)
ou seja o produto vetorial de três vetores não é associativo.
Nos cálculos anteriores utilizamos uma importante propriedade do tensor de Levi-Civita, cuja demonstração será pedida como problema;
εijk εipq = δjp δkq − δjq δkp .
(1.89)
Existem outras que também serão utilizadas, estas são
εijk εijq = 2δkq ,
(1.90)
εijk εijq = 3!
(1.91)
De forma geral (em 3 − d) podemos utilizar a forma
δip δiq δir εijk εpqr = δjp δjq δjr .
δkp δkq δkr (1.92)
50
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
Example 1.12.2. Utilizando as propriedades do tensor de Levi-Civita, escreva o produto mixto
(A × B) · (C × D)
somente em função do produto interno de vetores.
Solução. Utiliza-se a propriedade (1.89) porque na espressão aparece
um duplo produto vetorial:
(A × B) · (C × D) = εijk Aj Bk εipq Cp Dq = εijk εipq Aj Bk Cp Dq
= (δjp δkq − δjq δkp )Aj Bk Cp Dq
= Aj Bk Cj Dk − Aj Bk Ck Dj
= (A · C)(B · D) − (B · C)(A · D)
A ortogonalidade dos vetores unitários de uma base ortogonal pode ser
escrita como
ei × ej = εijk ek .
(1.93)
A título de observação, as equações seguintes são formas equivalentes de
se excrever o produto vetorial em 3 − d:
e1 e2 e3 (1.94)
C = A × B = εijk ei Aj Bk = A1 A2 A3 ,
B1 B2 B3 em coordenadas cartesianas! Esta expressão não é válida em coordenadas
curvilineares.
1.13
Derivada de um Vetor com Relação a um
Escalar
Se uma função escalar φ = φ(s) é derivada com relação ao parâmetro escalar s obteremos como resultado uma função (campo) escalar já que tanto a
função quanto o parâmetro são escalares. A definição de escalar, equação
(1.1), implica que φ(x) = φ0 (x0 ), o parâmetro s, que também é um escalar
satisfaz s = s0 , portanto
0
dφ(s)
dφ0 (s0 )
dφ(s)
=
=
.
(1.95)
ds
ds0
ds
Analogamente, definine-se a derivada de um vetor com relação ao parâmetro escalar:
1.13. DERIVADA DE UM VETOR COM RELAÇÃO A UM ESCALAR
d
d
A(s) = Ai (s)ei (s),
ds
ds
51
(1.96)
em geral. No sistema de coordenadas cartesianos os vetores unitários são
constantes, portanto não dependem do parâmetro s, qualquer que seja, e a
expressão anterior reduz-se a
d
d
A(s) = ei Ai (s),
ds
ds
(1.97)
em um sistema de coordenadas Cartesianos! Coloca-se agora a seguinte
questão: A derivada de um vetor também é um vetor? Para responder a
esta questão utiliza-se a definição de vetor! Em outras palavras, deve-se
verificar como se comporta a derivada sob uma transformação ortogonal
11
. Considere então a derivada das componente do vetor A no sistes S 0 ,
sendo que d/ds = d/ds0 tem-se que
d
dAj
dA0i
= 0 λij Aj = λij
=⇒
0
ds
ds
ds
dAi
ds
0
= λij (
dAj
).
ds
(1.98)
Ou seja, as grandezas dAi /ds trasnformam como as componentes de um
vetor e por isto são as componentes de um vetor que na forma vertorial
escrevemos como aparece na equação (1.96).
As condições de analíticidade das funções e a existência das derivadas
também se aplicam ao vetores (certamente porque os vetores são campos
ou funções com várias variáveis)12 . Estendendo a definição de derivada de
11
O motivo de introduzir uma notação diferente para a componente Ai do vetor A é que
em coordenadas curvilineares tem-se os coeficientes de Lamé multiplicando cada componente, ou seja a expressão para um vetor em termos de suas componentes em coordenadas
cartesianas é
A = Ai ei ,
entretanto, em coordenadas curvilineares ortogonais a expressão é
A = Aξ eξ .
12
As condições de exitência ou continuidade de uma função em um ponto são:
f (z0 ) existe;
lim f (z) existe,
z→z0
lim f (z) = f (z0 ).
z→z0
52
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
Figura 1.17: Trajetória Γ(s) traçada pela exteremidade do vetor A quando
o parâmetro s varia .
funções à vetores analíticos13 escrevemos que
dA
A(s + ∆s) − A(s)
= lim
,
(1.99)
∆s→0
ds
∆s
que possui o seguinte significado geométrico: considere a figura (1.17) que
esquematiza a extremidade do vetor A(s) descrevendo uma curva contínua
Γ(s), quando o parâmetro s varia. No ponto P da curva Γ(s) A = A(s) e
no ponto Q, distante de P de ∆s a curva possui o valor Γ(s + ∆s) e o vetor
A = A(s + ∆s). A diferença entre os valores do vetor A nos pontos P e
Q para distâncias infinitesimais é igual ao valor da derivada do vetor A no
ponto s.
A derivada de um vetor satisfaz as mesmas propriedades das derivadas
de funções;
d
(A + B) =
ds
d
(A · B) =
ds
d
(A × B) =
ds
d
(φB) =
ds
13
dA dB
+
,
ds
ds
dA
dB
·B+A·
,
ds
ds
dA
dB
×B+A×
,
ds
ds
dφ
dB
B+φ
.
ds
ds
(1.100)
(1.101)
(1.102)
(1.103)
Exemplos clássicos de campos vetorias que descrevem fenômenos físicos são, por
exemplo, o campo gravitacional e eletromagnéticos. Estes campos não são analíticos para
partículas puntiformes! Eles possuem singularidades na origem do sistema de coordenadas.
1.14. EXEMPLOS DE DERIVADAS
53
e similarmente para as outras propriedades.
1.14
Exemplos de Derivadas
1.14.1
Vetor Posição, Velocidade e Aceleração em Coordenadas Cartesianas.
A descrição da dinâmica de partículas e dos sistemas de partículas com a
utilização de vetores simplifica a descrição e reduz o números de equações
por causa da notação vetorial ser compacta, ou seja as três dimensões estão
implicita em um único termo.
Para esta abordagem é necessário descrever na forma vetorial a posição,
velocidade e aceleração das partículas que compões o sistema. Costuma-se
especificar a posição com relação a um dado sistema de referência, a esta
posição associamos um vetor denominado de raio vetor representado por
r(t) = x1 (t)e1 + x2 (t)e2 + x3 (t)e3 ,
(1.104)
que depende continuamente do parâmetro t que neste caso representará o
tempo. A velocidade e aceleração são definidas como
dr(t)
= ṙ(t),
dt
dv(t)
d2 r(t)
a(t) ≡
= v̇(t) =
= r̈(t).
dt
dt2
v(t) ≡
(1.105)
(1.106)
Nesta notação os pontos sobre as variáveis dinâmicas representam derivadas com relação ao tempo: um ponto significa derivada primeira e dois
pontos, derivada segunda. Em coordenadas cartesianas retangulares os vetores posição, velocidade e aceleração podem ser escritos como


r = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 = xi ei
v = ṙ = ẋi ei


a = v̇ = r̈ = ẍi ei
Vetor posição,
Vetor velocidade,
Vetor aceleração .
(1.107)
O cálculo destas quantidades em coordenadas cartesianas é direto porque
os vetores unitários são constantes ou fixos. O sistema de coordenadas
cartesiano (retangular) é o único sistema que possui os vetores unitários fixos!
54
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
Figura 1.18: Família de superfícies ortogonais cujas intersecções definem os
vetores unitários ortonormais de um sistema de coordenadas curvilineares.
De forma geral os vetores unitários não são fixos e com o movimento
da partícula no espaço, os vetores unitários podem mudar suas orientações (mas permanecem ortogonais entre si) e deixam de ser constantes no
tempo! Para descrever a posição, velocidade e aceleração faremos uma
breve incursão à descrição de coordenadas curvilineares.
1.15
Coordenadas Curvilineares
O interesse14 em discutir coordenadas curvilineares é devido a possibilidade de expressar as equações da física ( ou física matemática) em sistemas
de coordenadas nos quais a descrição do problema torna-se mais simples.
A discussão será restrita aos sistemas de coordenadas ortogonais onde as
três famílias de superfícies coordenadas são mutuamete ortogonais. Veja a
figura (1.18).
Um sistema de coordenadas generalizadas consiste em uma família de
superfícies cujas equações em termos de coordenadas cartesianas são
ξ1 (x, y, z) = c,
ξ2 (x, y, z) = c,
ξ3 (x, y, z) = c.
(1.108)
Se as transformações não forem singulares, o determinante do Jacobiano
∂(ξ1 , ξ2 , ξ3 ) 6= 0,
det J = ∂(x, y, z) 14
O material desta seção é, em parte baseado na referência 4
1.15. COORDENADAS CURVILINEARES
55
possibilitando a inversão das equações que então fornecem as funções ξi i =
1, 2, 3 em função de x, y. z ou se for necessário x, y, z em função de
ξ1 , ξ2 , ξ3 .
As linhas de intersecção das superfícies definem os novos eixos das coordenadas curvilineares ortogonais, aos quais associamos os vetores unitário
ortonormais eξ1 , eξ2 , eξ3 no ponto (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) tangentes às curvas definidas pelas intersecções das superfícies. Estes são vetores unitários genéricos
(de um dado sistema de coordenadas curvilineares) em termos dos quais
espressaremos as componentes de um dado vetor. Estes vetores unitários
são mutuamente perpendiculares
1.15.1
ea · eb = δab ,
(1.109)
ea × eb = εabc ec
(1.110)
Cossenos Diretores
Os cossenos diretores (os mesmos que já discutimos anteriormente) entre
os novos eixos de coordenadas (ξ1 , ξ2, ξ3 ) e o sistemas cartesiano são
λai = cos(ξa , xi ),
(1.111)
que também são elementos de uma matriz ortogonal λ
λai λbi = δab .
(1.112)
Nesta notação os índices a, b, c, · · · são associados às coordenadas curvilineares enquanto que os índices i, j, k, · · · são associados às coordenadas
cartesianas. Desta forma os vetores unitários das coordenadas curvilineares
podem ser expandidos na base cartesiana como
ea = λai ei ,
a, i = 1, 2, 3.
(1.113)
Como a transformação não é singular a expressão anterior pode ser invertida possibilitando escrever os vetores unitários do sistema cartesiano em
termos dos vetores unitários do sistema curvilinear
ei = λia ea .
(1.114)
A matriz (λia ) com elementos λia é a inversa (transposta já que a transformação é ortogonal) da matriz λai . Note que a ortogonalidade
λia λja = δij ,
(1.115)
56
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
expressa a ortogonalidade da matriz λ nos eixos do sistema cartesiano! As
expansões anteriores podem ser escritas (como já feito anteriormente) na
forma de matricial

 


e1
λ1ξ1 λ1ξ2 λ1ξ3
eξ1
 e2  =  λ2ξ1 λ2ξ2 λ2ξ3   eξ2 
e3
λ3ξ1 λ3ξ2 λ3ξ3
eξ3
 


.
(1.116)
λξ1 1 λξ1 2 λξ1 3
eξ1
e1
 eξ2  =  λξ2 1 λξ2 2 λξ2 3   e2 
eξ3
λξ3 1 λξ3 2 λξ3 3
e3
As seguintes equações mostram a consistência das equações e notação:
ea · eb = δab
ei · ej = δij ,
ea = λai ei ;
ei = λia ea ,
(1.117)
(1.118)
ea · eb = λai ei · λbj ej = λai λbj ei · ej = λai λbj δij = δab ,
ei · ej = λia ea · λjb eb = λia λjb ea · eb = λia λjb δab = δij .
Estas equações refletem a ortogonalidade nos eixos curvilineares e cartesianos, respectivamente.
Neste novo sistema de coordenada um dado vetor F é decomposto como
F = F a ea ,
Fa = F · ea .
(1.119)
Utilizando a equação (1.117), pode-se escrever as componentes do vetor F
do novo sistema de coordenadas, em função de suas coordenadas cartesianas, da seguinte forma:
Fa = F · ea = F · (λai ei ) = λai F · ei
= λai Fi = λa1 F1 + λa2 F2 + λa3 F3 .
A expressão inversa é
Fi = F · ei = F · (λia ea ) = λia F · ea
= λia Fa = λiξ1 Fξ2 + λiξ2 Fξ2 + λiξ3 Fξ3 .
Em resumo, as equações
Fa = λai Fi ,
Fi = λia Fa ,
(1.120)
1.15. COORDENADAS CURVILINEARES
57
definem a lei de transformação de vetores entre dois sistemas de coordenadas curvilineares ortogonais. O conjunto de quantidades (Fx , Fy , Fz ) e
(Fξ1 , Fξ2 , Fξ3 ) são vetores nos sitemas de coordenadas cortesianos e curvilinear respectivamente, suas componentes são transformadas segundo a
equação (1.120). As quantidades λai são as componentes da matriz λ que
é ortogonal, equação (1.34),
λt = λ−1 .
1.15.2
Fatores de Escala ou Coeficientes de Lamé
A grandeza básica fundamental para estabelecermos todas as equações de
transformações entre dois sistemas de coordenadas (em particular os curvilineares que são tratados neste texto) na geometria diferencial é o elemento
de comprimento de arco infinitesimal ds também denominado de distância
infinitesimal entre dois pontos em um dado espaço. O quadrado do elemento de comprimento de arco é escrito como
ds2 = gab dxa dxb ,
(1.121)
onde gab é o tensor métrico fundamental cujo número de componentes depende da dimensão do espaço (superfície) em consideração. Para um espaço n−d (n-dimensional) o tensor métrico fundamental (gab ) é uma matriz
quadrada de ordem n, portanto (gab ) é uma matriz n × n. dxa é um deslocamento infinitesimal em uma dada direção. Para coordenads curvilineares
ortogonais o tensor métrico fundamental é diagonal


  2
g11 g12 g13
h1 0 0
(1.122)
gab = δab h2b , (gab ) =  g21 g22 g23  =  0 h22 0  ;
2
0 0 h3
g31 g32 g33
sem soma no índice b. Para as coordenadas curvilineares, o elemento de
comprimento de arco possui a seguinte forma reduzida
ds2 = gab dξ a dξ b = δab h2b dξ a dξ b = h2a dξ a dξ a
(1.123)
Um conceito muito importante é o da invariância da distância entre dois
pontos. Este conceito, já foi discutido anteriormente quando definiu-se o
módulo de um vetor e a invariância da distância entre dois pontos, medida
de quaisquer sistemas de coordenadas ortogonais relacionados pela matriz
λ. Em particular, para os sistemas ortogonais que estamos considerando,
58
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
por exemplo o cartesiano e um curvilinear qualquer, esta invariância é expressa como
ds02 = ds2 =⇒gab dξ a dξ b = gij dxi dxj = dxi dxi ,
gij = δij , em coordenadas cartesianas.
(1.124)
O elemento de comprimento de arco é um vetor que em 3 − d escreve-se
como
ds = ei dxi = ha ea dξa . sem soma no índice a
(1.125)
Desta equação calcula-se
∂s
1 ∂s
= hb eb =⇒ eb =
,
∂ξb
hb ∂ξb
∂s ∂ξb = hb .
(1.126)
Esta equação define os coeficientes de Lamé (ou as componentes do tensor
métrico fundamental) . Note que não há soma no índice b que aparece
nessa equação .
A forma explicita dos coeficientes de Lamé relacionando coordenadas
cartesianas com curvilineares é obtida da equação (1.127) fazendo:
gab dξ a dξ b = gij dxi dxj = dxi dxi =⇒
∂xi ∂xi
∂ξ a ∂ξ a
=
=⇒
gab
∂ξc ∂ξd
∂ξc ∂ξd
∂xi ∂xi
gab δac δbd =
=⇒
∂ξc ∂ξd
∂xi ∂xi
2
gcd = hc δcd =
=⇒
∂ξc ∂ξd
∂xi ∂xi
2
hc =
;
∂ξc ∂ξd
portanto
2 2 2
∂s
∂x
∂y
∂z
2
ha = =
+
+
=⇒
∂ξa ∂ξa
∂ξa
∂ξa
s
2 2 2
∂x
∂y
∂z
ha =
+
+
.
∂ξa
∂ξa
∂ξa
(1.127)
Na obtenção desta equação utilizou-se a equação (1.124). Os coeficientes
de Lamé ou fatores de escala das coordenadas ξa podem ser entendidos
1.15. COORDENADAS CURVILINEARES
59
como a mudança ξa dξa produzida na curva coordenada (a−ésima curva
de intersecção entre as superfícies coordenadas) por conta de um deslocamento infinitesimal dξa produzido na coordenada ξa .
Como exemplos apresenta-se as grandezas h0a s resultante das relações
entre as coordenadas cartesianas e os sistemas de coordenadas mais comuns: cilindricas e esféricas.
Example 1.15.1. Coordenadas Cilindricas: (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) ≡ (ρ, φ, z)
Em coordenadas cartesianas o vetor posição é
r = xi + yj + zk = r(x, y, z),
enquanto que em coordenadas cilindricas, as coordenadas de um ponto no
espaço são determinadas pelas coordenadas ρ, φ, z, o vetor posição de um
ponto no espaço, neste sistema de coordenadas, é função destas variáveis,
ou seja
r = r(ρ, φ, z).
As equações de transformação relacionando os dois conjuntos de coordenadas são
x = x(ρ, φ, z) = ρ cos φ,
y = y(ρ, φ, z) = ρ sin φ,
z = z(ρ, φ, z) = z.
Ou as transformações inversas
x
,
y
ρ 2 = x2 + y 2 .
tan φ =
É necessário, para a construção dos vetores unitários, escrever o vetor posição nas coordenadas cartesianas em termos das equações de transformações. Note que este vetor não está escrito em coordenadas cilindricas, mas
sim em coordenadas cartesianos em termos das variáveis das coordenadas
cilindricas:
r = s = ρ cos φi + ρ sin φj + zk.
Utilizando estas equações e a equação (1.127) pode-se calcular os fatores
60
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
de escala, ha :
s
2 2 2
∂x
∂y
∂z
+
+
hρ =
∂ξ1
∂ξ1
∂ξ1
s 2
2
2
∂y
∂z
∂x
+
+
=
∂ρ
∂ρ
∂ρ
q
= (cos φ)2 + (sin φ)2 + (0)2
= 1;
s
2 2 2
∂x
∂y
∂z
hφ =
+
+
∂ξ2
∂ξ2
∂ξ2
s 2 2
2
∂y
∂z
∂x
+
+
=
∂φ
∂φ
∂φ
q
= (−ρ sin φ)2 + (ρ cos φ)2 + (0)2
= ρ;
hz = 1.
Colecionando os resultados anteriores
hρ = 1,
hφ = ρ,
hz = 1.
(1.128)
Os vetores unitários nas coordenadas cilindricas são obtidos utilizando os
resultados anteriores e a equação (1.126)
1 ∂s
= cos φi + sin φj,
hρ ∂ρ
1 ∂s
eφ =
= − sin φi + cos φj,
hφ ∂φ
ez = k.
eρ =
(1.129)
A equação (1.111) combinada com a equação (de fato são equivalentes)
(1.113) fornece
λai = cos(ξa , xi ) = ea · ei .
(1.130)
Esta equação pode ser usada para se construirmr a matriz λ que transforma
o sitema de coordenadas cartesianas para cilindricas. Utilizando os vetores
1.15. COORDENADAS CURVILINEARES
61
unitários das coordenadas cartesianas e cilindrincas encontramos

 

eρ · ei eρ · ej eρ · ek
cos φ sin φ 0
λ =  eφ · ei eφ · ej eφ · ek  =  − sin φ cos φ 0  ,
ez · ei ez · ej ez · ek
0
0
1
e a matriz λ inversa (obtida calculando-se a transposta)


cos φ − sin φ 0
λ−1 =  sin φ cos φ 0  .
0
0
1
Utilizando λ−1 pode-se inverter as equações que relacionam os vetores unitários em coordenadas cilindricas e cartesianas para expressar os unitários
cartesianos em função dos unitários cilindricos:

 

  
cos φ − sin φ 0
eρ
cos φeρ − sin φeφ
i
 j  =  sin φ cos φ 0   eφ  =  sin φeρ + cos φeφ  ,
0
0
1
k
k
k
ou seja, temos as seguintes expressões para os vetores cartesianos unitários
em função dos cilindricos unitários
i = cos φeρ − sin φeφ ,
j = sin φeρ + cos φeφ ,
k = k.
(1.131)
O sistema de coordenadas esféricos também é bastante utilizado, ele
será o próximo exemplo.
Example 1.15.2. Coordenadas esféricas: (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) ≡ (r, θ, φ)
As equações de transformações relacionando as variáveis em coordenadas cartesianas e esféricas são
x = x(r, θ, φ) = r sin θ cos φ,
y = y(r, θ, φ) = r sin θ sin φ,
z = z(r, θ, φ) = r cos θ.
O vetor posição r = xi + yj + zk em função das variáveir r, θ, φ fornece o
arco
s = r sin θ cos φi + r sin θ sin φj + r cos θk.
Os coeficientes de Lamé são
62
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
s
2 2 2
∂x
∂y
∂z
hr =
+
+
∂ξ1
∂ξ1
∂ξ1
s 2 2
2
∂x
∂y
∂z
+
+
=
∂r
∂r
∂r
q
= (sin θ cos φ)2 + (sin θ sin φ)2 + (cos θ)2
= 1;
s
2 2 2
∂y
∂z
∂x
+
+
hθ =
∂ξ2
∂ξ2
∂ξ2
s 2 2
2
∂x
∂y
∂z
=
+
+
∂θ
∂θ
∂θ
q
= r (cos θ cos φ)2 + (cos θ cos φ)2 + (− sin θ)2
= r;
s
2 2 2
∂y
∂z
∂x
+
+
hφ =
∂ξ3
∂ξ3
∂ξ3
s 2
2
2
∂x
∂y
∂z
=
+
+ ξ˙b
∂φ
∂φ
∂φ
q
= r (− sin θ sin φ)2 + (sin θ cos φ)2 + (0)2
= r sin θ.
Resumidamente, os resultados anteriores são
hr = 1
hθ = r,
hφ = r sin θ.
(1.132)
Utilizando a equação (1.126) calcula-se os vetores unitários em coordenadas esféricas:
1.15. COORDENADAS CURVILINEARES
1 ∂s
= sin θ cos φi + sin θ sin φj + cos θk,
hr ∂r
1 ∂s
= cos θ cos φi + cos θ sin φj − sin θk,
eθ =
hθ ∂θ
1 ∂s
eφ =
= − sin φi + cos φj.
hφ ∂φ
63
er =
(1.133)
Novamente, utilizando a equação (1.130) constroi-se a matriz λ que tranforma coordenadas cartesianas para esféricas:

 

sin θ cos φ sin θ sin φ cos θ
er · ei er · ej er · ek
λ =  eθ · ei eθ · ej eθ · ek  =  cos θ cos φ cos θ sin φ − sin θ  .
eφ · ei eφ · ej eφ · ek
−ξ˙b sin θ
cos φ
0
A matriz inversa é

λ−1

sin θ cos φ cos θ cos φ − sin θ
=  sin θ sin φ cos θ sin φ cos φ  ,
cos θ
− sin θ
0
que pode ser utilizada para se calcular as transformações inversas para os
vetores unitários:





i
sin θ cos φ cos θ cos φ − sin θ
er
 j  =  sin θ sin φ cos θ sin φ cos φ   eθ 
k
cos θ
− sin θ
0
eφ


er sin θ cos φ + eθ cos θ cos φ − eφ sin θ
=  er sin θ sin φ + eθ cos θ sin φ + eφ cos φ  ,
er cos θ − eθ sin θ
que fornecem as expressões para os vetores cartesianos unitários em funçãoes dos esféricos unitários
i = er sin θ cos φ + eθ cos θ cos φ − eφ sin θ,
j = er sin θ sin φ + eθ cos θ sin φ + eφ cos φ,
k = er cos θ − eθ sin θ.
(1.134)
64
1.15.3
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
O Elemento de Volume e Operadores Diferenciais
em Coordenadas Curvilineares.
Apresentamos sem demonstração algumas expressões muito úteis para se
trabalhar em coordendas curvilineares.
Utilizando os fatores de escala, escreve-se os elementos infinitesimais
de arco, área e volume em coordenadas curvilineares como
ds = (he)a dξa ;
1
dAa = εabc Sbc , Sbc ≡ dξa dξb0 − dξb dξa0
2!
√
dV = hξ1 hξ2 hξ3 dξ1 dξ2 dξ3 = gdξ1 dξ2 dξ3 .
(1.135)
(1.136)
(1.137)
A expressão (1.136) deve ser utilizada com cuidado. Note que a grandeza
Sab é antisimétrica, Sab = −Sba por isto, por exempo em coordenadas cartesianas tem-se que:
1
ε1bc Sbc = S23 = dx2 dx3 = dydz,
2!
1
=
ε2bc Sbc = S31 = dx3 dx1 = dzdx,
2!
1
ε3bc Sbc = S12 = dx1 dx2 = dxdy.
=
2!
dA1 =
dA2
dA3
Na expressão anterior,
g ≡ det(gab )
As expressões genéricas dos operadores diferenciais são
e
∂a Ψ,
∇Ψ =
h a
1
A
∇·A=
∂a hξ1 hξ2 hξ3
,
hξ1 hξ2 hξ3
h a
1
∇×A=
εabc (eh)a ∂b (Ah)c ,
hξ1 hξ2 hξ3
"
#
X
1
h
h
h
ξ
ξ
ξ
1
2
3
∇2 Ψ =
∂a
∂a Ψ
hξ1 hξ2 hξ3 a
h2ξa
1
√
∇2 Ψ = − √ ∂µ [ gg µν ∂ν Ψ] .
g
(1.138)
(1.139)
(1.140)
(1.141)
(1.142)
(1.143)
Vale observar que o operador de Laplace (Laplaciano), eq. (1.142), opera
tanto em campos escalares quanto vetoriais.
1.15. COORDENADAS CURVILINEARES
65
Exemplos
Example 1.15.3. Seja o campo vetorial A = 5rer + 2 sin φeθ + 2 cos θeφ ,
expresso em coordenadas esféricas. Obtenha a expressão deste campo em
coordenadas cartesianas.
As equações que relacionam os dois sitemas, exemplo (1.15.2),
x = r sin θ cos φ,
y = r sin θ sin φ,
z = r cos θ,
podem ser invertidas fornecendo
y
,
x
p
x2 + y 2
tan θ =
,
p z
r = x2 + y 2 + z 2 .
tan φ =
Destas equações obten-se que
z
z
,
=p
2
r
x + y2 + z2
s
√
sin θ = 1 − cos2 θ = 1 −
cos θ =
p
x2 + y 2
z2
p
=
,
x2 + y 2 + z 2
x2 + y 2 + z 2
x
xr
x
cos φ =
=p
,
= p
2
2
2
r sin θ
r x +y
x + y2
y
sin φ = p
.
x2 + y 2
(1.144)
Os vetore unitários das coordenadas esféricas são dados pela equação
(1.133),
er = sin θ cos φi + sin θ sin φj + cos θk,
eθ = cos θ cos φi + cos θ sin φj − sin θk,
eφ = − sin φi + cos φj.
Utilizando as equações de (1.144) podem ser reescritos como
66
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
er = p
eθ = p
1
x2
+ y2 + z2
1
x2 + y 2 + z 2
−yi + xj
eφ = p
.
x2 + y 2
(xi + yj + zk) ,
!
z(xi + yj) p 2
p
− x + y2k ,
2
2
x +y
(1.145)
Utilizando as equações (1.144) e (1.145), o vetor A pode ser reescrito
como
!
2yz
2xyz
p
−p
i
A = 5x + p
x2 + y 2 + z 2 (x2 + y 2 )
x2 + y 2 + z 2 x2 + y 2
!
2xy 2 z
2xy
p
+ 5y + p
+p
j
x2 + y 2 + z 2 (x2 + y 2 )
x2 + y 2 + z 2 x2 + y 2
!
2y
+ 5z − p
k
x2 + y 2 + z 2
Exemplos envolvendo o operador ∇.
Examplep
1.15.4. Calcule o gradiente do campo escalar φ = φ(x, y, z) =
ln r, r = x2 + y 2 + z 2 .
1. Em coordenadas cartesianas:
1
(i∂x + j∂y + k∂z ) ln x2 + y 2 + z 2
2
x
x
x
= i 2
+j 2
+k 2
(x + y 2 + z 2 )
(x + y 2 + z 2 )
(x + y 2 + z 2 )
r
er
= 2 = .
r
r
∇φ =
2. Em coordenadas esféricas:
∇φ = (er ∂r + eθ r∂θ + eφ r sin θ∂φ ) ln r
= er ∂r ln r + eθ r∂θ ln r + eφ r sin θ∂φ ln r
er
= .
r
Example 1.15.5. Dado o campo vetorial A = x2 zi − 2y 3 z 2 j + xy 2 zk, calcule
no ponto (1, −1, 1) :
1.15. COORDENADAS CURVILINEARES
67
1. O divergente:
∇ · A = (i∂x + j∂y + k∂z ) · x2 zi − 2y 3 z 2 j + xy 2 zk
= ∂x x2 z − ∂y 2y 3 + ∂z xy 2 z
= 2xz − 6y 2 + xy 2 =⇒
∇ · A(1, −1, 1) = 2 − 6 · 1 + 1 = −3.
2. O rotacional:
∇ × A = εijk ei ∂j Ak
= i ∂y xy 2 z + ∂z 2y 3 z 2 + j ∂z x2 z − ∂x xy 2 z
k ∂x y 2 z − ∂z x2 z
= i 2xyz + 4y 3 z + j x2 − y 2 z − kx2 =⇒
∇ × A(1, −1, 1) = i (−2 − 4) + j (1 − 1) − k = −6i − k.
3. O Laplaciano:
∇2 A = ∂x2 + ∂y2 + ∂z2
x2 zi − 2y 3 z 2 j + xy 2 zk
= 2xzi − 0j + y 2 zk + 0i − 6y 2 z 2 j + 2xyzk + x2 i − 4y 3 zj + xy 2 k
= i 2xz + x2 − j 6y 2 z 2 + 4y 3 z + k y 2 z + 2xyz + xy 2
∇2 A(1, −1, 1) = 3i − 2j + 0k.
Example 1.15.6. Dado o campo escalar ψ = 1/r, calcule o Laplaciano.
1. Em coordenadas cartesianas:
∇2 ψ = ∂x2 + ∂y2 + ∂z2 p
1
x2 + y 2 + z 2
.
Calculando cada derivada separadamente:
1
x
∂x2 p
= −∂x
2
2
2
2
2
x +y +z
(x + y + z 2 )3/2
1
3x2
=−
+
(x2 + y 2 + z 2 )3/2 (x2 + y 2 + z 2 )5/2
2x2 − y 2 − z 2
=
;
(x2 + y 2 + z 2 )5/2
1
2y 2 − x2 − z 2
∂y2 p
;
=
x2 + y 2 + z 2
(x2 + y 2 + z 2 )5/2
1
2z 2 − x2 − z 2
∂z2 p
=
.
x2 + y 2 + z 2
(x2 + y 2 + z 2 )5/2
68
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
Adicionando todas as contribuições, obten-se, para x, y, z 6= 0 que
1
∇2 φ = ∂x2 + ∂y2 + ∂z2 p
= 0.
2
x + y2 + z2
2. Em coordenadas esféricas:
1
1
1
2
2
∂r r sin θ∂r + ∂θ (sin θ∂θ ) + ∂φ
∂φ
∇ψ=
r² sin θ
sin θ
r
1
1
1
= 2 ∂r r2 ∂r
= − 2 ∂r (1) = 0, para r 6= 0.
r
r
r
1.16
Os vetores Posição, Velocidade e Aceleração em Coordenadas Curvilineares
O raio vetor r de uma partícula, em coordenadas curvilineares pode ser
escrito como
r(t) = hξ1 ξ1 eξ1 + hξ2 ξ2 eξ2 + hξ3 ξ3 eξ3 .
(1.146)
Entretanto, para calcular a velocidade da partícula em um sistema de coordenadas curvilineares qualquer é apropiado utilizar o elemento de comprimento de arco infinitesimal, eq. (1.135)
ds = ds(t) = (he)a dξa = hξ1 dξ1 eξ1 + hξ2 dξ2 eξ2 + hξ3 dξ3 eξ3 ,
do qual calcula-se a derivada com relação ao parâmetro t obtenso-se a velocidade
dξ1
dξ2
dξ3
ds
= hξ1
eξ1 + hξ2
eξ2 + hξ3
eξ
dt
dt
dt
dt 3
= hξ1 ξ˙1 eξ1 + hξ2 ξ˙2 eξ2 + hξ3 ξ˙3 eξ3 .
v=
(1.147)
O cálculo da aceleração é mais complicado porque os fatores de escala hξa ,
as coordenadas ξa e os vetores unitários ea dependem do parâmetro t. Na
equação (1.147) isto também é verdade, entretanto o cálculo da velocidade
é imediato porque utilizamos o comprimento de arco na forma diferencial
(infinitesimal)!
Sendo que hξa = hξa (ξ1, ξ2 , ξ3 ), eξa = eξa (ξ1, ξ2 , ξ3 ), a expressão geral
para a aceleração será
a = (ḣξ1 ξ˙1 + hξ1 ξ¨1 )eξ1 + (ḣξ2 ξ˙2 + hξ2 ξ¨2 )eξ2 + (ḣξ3 ξ˙3 + hξ3 ξ¨3 )eξ3
+ hξ ξ˙1 ėξ + hξ ξ˙2 ėξ + hξ ξ˙3 ėξ .
1
1
2
2
3
3
(1.148)
1.16. OS VETORES POSIÇÃO, VELOCIDADE E ACELERAÇÃO EM COORDENADAS CURVILINEARES
Figura 1.19: Coordenadas polares
Nesta expressão deve estar claro que as derivadas totais com relação ao
parâmetro t dos fatores de escala e vetores unitário são da forma
∂hξa dξb
∂hξa ˙
=
ξb ;
∂ξb dt
∂ξb
∂ea dξb
∂ea ˙
ξb
ėa =
=
∂ξb dξ˙b t
∂ξb
ḣξa =
1.16.1
(1.149)
(1.150)
Os Vetores Velocidade e Aceleração em Coordenadas Polares (r, φ)
As coordenadas polares são obtidas fazendo-se θ = π/2 nas equações do
exemplo (1.15.2), ou utilizando a figura (1.19) .
Resumidamente obtem-se os fatores de escala
hr = 1,
hφ = r;
(1.151)
er = cos φi + sin φj,
eφ = − sin φi + cos φj;
(1.152)
os vetores unitários
e o elemento de comprimento de arco infinitesimal
ds = drer + rdφeφ .
(1.153)
70
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
Para se calcular a velocidade e aceleração em coordenadas curvilineares, é apropriado fazer inicialmente o calculo da derivada temporal dos
vetores unitários. Neste caso obtem-se que
ėr = − sin φφ̇i + cos φφ̇j = φ̇eφ ,
ėφ = − cos φφ̇i + − sin φφ̇j = −φ̇er .
(1.154)
Derivando a equação (1.153) com relação ao tempo obtem-se
v=
ds
= ṙer + rφ̇eφ ,
dt
(1.155)
que é a expressão para a velocidade de uma partícula em coordenadas
polares. A aceleração é
dv
= r̈er + ṙφ̇eφ + (ṙφ̇ + rφ̈)eφ − rφ̇2 er
dt
= (r̈ − rφ̇2 )er + (2ṙφ̇ + rφ̈)eφ .
a=
1.16.2
(1.156)
Os Vetores Velocidade e Aceleração em Coordenadas Cilindricas (ρ, φ, z)
Para este sistema de coordenadas utiliza-se os resultados do exemplo (1.15.1).
Veja a figura
Resumidmente: os fatores de escala, equações (1.128)
hρ = 1,
hφ = ρ,
hz = 1;
os vetores unitátio, equações (1.129) :
eρ = cos φi + sin φj,
eφ = − sin φi + cos φj,
ez = k.
O elemento de comprimento de arco infinitesimal pode ser construido utilizandose as equações (1.135), (1.128) e(1.129):
ds = dρeρ + ρdφeφ + dzk.
(1.157)
1.16. OS VETORES POSIÇÃO, VELOCIDADE E ACELERAÇÃO EM COORDENADAS CURVILINEARES
Figura 1.20: Coordenadas cilindricas
As derivadas temporais dos vetores unitários são
ėρ = − sin φφ̇i + cos φφ̇j = φ̇eφ ,
ėφ = − cos φφ̇i − sin φφ̇j = −φ̇eρ ,
ėz = 0. k vetor constante
(1.158)
Derivando a equação (1.157) com relação ao tempo obtem-se
v = ρ̇eρ + ρφ̇eφ + żk.
(1.159)
A aceleração é
dv
= ρ̈eρ + (ρ̇φ̇ + ρφ̈)eφ + z̈k
dt
+ ρ̇φ̇eφ − ρφ̇φ̇eρ
˙ φ̇ + ρφ̈ eφ + z̈k.
= ρ̈ − ρφ̇2 eρ + 2ρ
a=
1.16.3
(1.160)
Vetores Velocidade e Aceleração em Coordenada
Esféricas (r, θ. φ)
Para este sistema de coordenadas utiliza-se os resultados do exemplo (1.15.2).
Resumidmente: os fatores de escala, equações (1.132)
72
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
hr = 1,
hθ = r,
hφ = r sin θ;
os vetores unitátios, equações (1.133)
er = sin θ cos φi + sin θ sin φj + cos θk,
eθ = cos θ cos φi + cos θ sin φj − sin θk,
eφ = − sin φi + cos φj.
O elemento de comprimento de arco infinitesimal pode ser construido utilizandose as equações (1.135), (1.132) e(1.133):
ds = drer + rdθeθ + r sin θdφeφ .
(1.161)
As derivadas temporais dos vetores unitários são
ėr = cos θθ̇ cos φ − sin θ sin φφ̇ i + cos θθ̇ sin φ + sin θ cos φφ̇ j − sin θθ̇k
= θ̇eθ + φ̇ sin θeφ ;
ėθ = − sin θθ̇ cos φ + cos θ sin φφ̇ i + − sin θθ̇ sin φ + cos θ cos φφ̇ j − cos θθ̇k,
= −θ̇er + φ̇ cos θeφ ;
ėφ = − cos φφ̇i − sin φφ̇j = −φ̇ (sin θer + cos θeθ ) .
(1.162)
Colecionando os resultados de interesse, temos
ėr = θ̇eθ + φ̇ sin θeφ ;
ėθ = −θ̇er + φ̇ cos θeφ ;
(1.163)
ėφ = −φ̇ (sin θer + cos θeθ ) .
Derivando a equação (1.161) com relação ao tempo obtem-se
v = ṙer + rθ̇eθ + r sin θφ̇eφ .
(1.164)
1.17. A VELOCIDADE ANGULAR
73
A aceleração é
dv
a=
= r̈er + ṙθ̇ + rθ̈ eθ + ṙ sin θφ̇ + r cos θθ̇φ̇ + r sin θφ̈ eφ
dt
+ ṙ θ̇eθ + φ̇ sin θeφ + rθ̇ −θ̇er + φ̇ cos θeφ − r sin θφ̇2 (sin θer + cos θeθ )
= r̈ − rθ̇2 − r sin2 θφ̇2 er + ṙθ̇ + rθ̈ + ṙθ̇ − r sin θ cos θφ˙2 eθ
+ ṙ sin θφ̇ + r cos θθ̇φ̇ + r sin θφ̈ + ṙφ̇ sin θ + rθ̇φ̇ cos θ eφ ,
(1.165)
que pode ser reorganizada na forma
a = r̈ − rθ̇2 − r sin2 θφ̇2 er + 2ṙθ̇ + rθ̈ − r sin θ cos θφ˙2 eθ
+ 2ṙφ̇ sin θ + 2r cos θθ̇φ̇ + r sin θφ̈ eφ .
1.17
(1.166)
A velocidade Angular
O movimento arbitrário de uma partícula no espaço pode sempre se tratado, num dado instante, como um movimento circular no plano. Ou seja
o caminho ou trajetória da partícula durante um intervalo de tempo infinitesimal δt pode ser representado como um elemento de comprimento de
arco infinitesimal de um círculo. A linha que passa através do centro do círculo, perpendicular ao seu plano e à direção instantânea do movimento é
denominada de eixo instantâneo de rotação. A mudança na posição angular de uma partícula em movimento numa trajetória circular é denominada
de velocidade angular
dθ
(1.167)
ω= .
dt
Considere uma partícula em movimento circular de raio R ao redor de um
eixo perpendicular ao plano do movimento, como esquematizado na figura
1.21 .
Seja r o vetor posição da partícula com relação a um origem localizada
em um ponto O arbitrário do eixo de rotação. A taxa de variação temporal
do vetor posição r(t) é a velocidade linear da partícula ṙ(t) = v(t). Para o
movimento no círculo de raio R o módulo do vetor velocidade é
v=R
dθ
= Rθ̇ ≡ Rω.
dt
(1.168)
74
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
Figura 1.21: Movimento circular de uma partícula
A direção do vetor velocidade linear v é perpendicular à direção do vetor
posição r, no plano do círculo. Da figura (1.21) nota-se que
R = r sin α,
e consequentemente, a equalção (1.169) pode ser reescrita como
v = rω sin α,
com α o angulo entre r e o eixo de rotação ao longo do qual está a velocidade angular ω. Escolhendo o sistema com orientação destrógira (no qual
vale a regra da mão direita) e a orientação dos vetores que aparecem na
figura (1.21), conclui-se ser possível escrever
v =ω×r
(1.169)
Aparentemente está tudo correto com a expressão (1.169), a não ser a
questão que se põe: se ω é o vetor velocidade angular, como representamos
esta velocidade por um vetor se sabemos que rotações consecutivas não são
operações comutativas? Veja por exemplo as equações (1.46) e (1.47).
Para responder esta questão, considere a forma da matriz λ5 , equação
(1.48), para duas rotações infinitesimais consecutivas com angulos δα e δβ:
1.17. A VELOCIDADE ANGULAR
75


1
δα 0
λ5 (δα) =  −δα 1 0  ,
0
0 1


1
δβ 0
λ5 (δβ) =  −δβ 1 0  .
0
0 1
Considere as seguintes composições de rotações com potencias lineares dos
angulos infinitesimais, ou seja desprezamos termos O(δα2 ) e O(δβ 2 ):



1
δβ 0
1
δα 0
λ5 (δβ)λ5 (δα) =  −δβ 1 0   −δα 1 0  ,
0
0 1
0
0 1


1
δα + δβ 0

−δβ − δα
1
0 ;
∼
0
0
1



1
δβ 0
1
δα 0
λ5 (δα)λ5 (δβ) =  −δα 1 0   −δβ 1 0 
0
0 1
0
0 1


1
δβ + δα 0
1
0 .
∼  −δα − δβ
0
0
1
Estes exemplos afirmam que rotações infinitesimais são comutativas, portanto não há nada errado com a utilização de um vetor para representar a
velocidade angular ω! Esta velocidade é a velocidade instantânea obtida
via diferencial ou seja
dθ
δθ
e = e = θ̇e.
δt→0 δt
dt
ω = lim
(1.170)
A demonstração geométrica é mais elegante. Para isto considere novamente a aplicação de duas rotações finitas sucessivas representadas pelas
matrizes λ3 e λ4 dadas pelas equações (1.46) e (1.47). Faça uma correspondência um a um entre essas rotações e os vetores A e B, então a soma
dos vetores A + B corresponde o produto matricial λ3 λ4 e a soma B + A
o produto matricial λ4 λ3 . Entretanto A + B = B + A, mas λ3 λ4 6= λ4 λ3 ,
portanto não podemos associar vetores a rotações finitas!
76
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
Figura 1.22: Rotação infinitesimal
Considere as rotações infinitesimais na forma geométrica. Já foi discutido na forma matricial que transformações infinitesimais comutam. Considere a figura (1.22) . Quando o vetor posição da partícula muda de r para
r + δr, obtem-se da figura (ou da utilização da equação (1.169)) que
δr = δθ × r,
(1.171)
onde δθ é uma quantidade cujo módulo é igual ao valor do angulo de rotação infinitesimal e possui direção ao longo do eixo de rotação instantâneo.
Como feito com as matrizes, compõe-se duas rotações infinitesimais consecutivas δθ 1 e δθ 2 , uma vez roda-se de δθ 1 seguido de δθ 2 e na outra de δθ 2
seguido de δθ 1 , para no final comparar as configurações do sistema.
Considere que a rotação de δθ 1 muda a posição r para r + δr1 , com
δr1 = δθ 1 × r
e a rotação δθ 2 muda de r2 = r + δr1 , para r2 + δr2 = r + δr1 + δr2 com
δr2 = δθ 2 × r2 = δθ 2 × (r + δr1 ).
O vetor posição final após uma rotação infinitesimal de δθ 1 seguida de δθ 2
será
r + δr12 = r + δr1 + δr2 = r + δθ 1 × r + δθ 2 × (r + δr1 )
= r + δθ 1 × r + δθ 2 × r + δθ 2 × (δθ 1 × r)
= r + δθ 1 × r + δθ 2 × r + O(δθ2 ).
1.18. O OPERADOR GRADIENTE
77
Para a outra composição de rotações infinitesimais, ou seja após uma rotação infinitesimal de δθ 2 seguida de δθ 1 o vetor posição será
r + δr21 = r + δr2 + δr1 = r + δθ 2 × r + δθ 1 × (r + δr2 )
= r + δθ 2 × r + δθ 1 × r + δθ 1 × (δθ 2 × r)
= r + δθ 2 × r + δθ 1 × r + O(δθ2 ).
Portanto os vetores girados r + δr12 e r + δr21 são iguais se desprezamos
termos quadráticos e as rotações infinitesimais comutam. Este resultado
prova ser razoável considerar δθ na equação (1.171) um vetor.
Justamente, por ser δθ um vetor é que torna possível representar a velocidade angular como um vetor. A velocidade angular é a taxa de variação
infinitesimal da coordenada angular com relação ao tempo:
δθ
.
δt
Dividindo a equação (1.171)por δt obtem-se que
ω=
δθ
δr
=
× r,
δt
δt
e no limite de δt → 0, obtem-se que
v = ω × r,
como anteriormente.
1.18
O Operador Gradiente
Considere um campo escalar φ = φ(x1 , x2, x3 ), analítico unívoco em uma
certa região do espaço (um subconjunto ou aberto de R3 ). Sendo um campo
escalar ele é invariante por rotações (transformações ortogonais), conf. a
equação (1.1), φ0 (x01 , x02, x03 ) = φ(x1 , x2, x3 ), portanto
∂φ0
∂φ ∂xj
=
,
0
∂xi
∂xj ∂x0i
(1.172)
a expressão para a razão da derivada parcial entre as coordenadas dos dois
sistemas de referência pode ser calculada utilizando a lei de transformação
das coordenadas, ou seja
x0i = λij xj =⇒
xj = λij x0i =⇒
.
∂xj
= λij .
∂x0i
78
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
Substituindo na equação (1.172) obtem-se que
∂φ
∂φ0
=
λij .
0
∂xi
∂xj
O significado desta equação é: a grandeza
nente de um vetor, portanto
∂φ
ej
∂xj
∂φ
∂xi
transforma como as compo(1.173)
é um vetor. Este vetor, denominado gradiente, é de fato um operador vetorial que possui muitas aplicações na física. Costuma-se representá-lo como
∇φ = ei
∂φ
.
∂xi
(1.174)
Em coordenadas cartesianas o operador gradiente possui uma forma
simples
∂φ
∂
∂
∇φ = e1
+ e2
+ e3
φ.
∂x1
∂x2
∂x3
Esta equação explicita o operador vetorial, o qual pode ser escrito sem a
atuaçao em um campo escalar φ , em uma das equivalentes formas, em
coordenadas cartesianas.
∂
∂φ
∂
∂
+ e2
+ e3
.
(1.175)
∇ = e1
= ei
∂x1
∂x2
∂x3
∂xi
Devido ao seu caracter vetorial este operador pose ser combinado com campos escalares ou vetoriais, via produto escalar ou vetorial das seguintes
formas
∂φ
,
∂xj
∂Ai
∇·A =
,
∂xi
∇ × A = εijk ei ∂j Ak .
∇φ = ej
(1.176)
(1.177)
(1.178)
Analisando a figura (1.23) pode-se atribuir um significado geométrico ao
gradiente de um campo escalar. . São mostradas duas figuras, a primeira é
o gráfico de uma dada função que pode descrever altitude ou temperatura;
na segunda as diferentes tonalidades representam diferentes temperaturas
ou altitude, vamos considerar altitude. Quanto maior for a altitude a tonalidade é menos intensa (mais clara) e quanto menor, mais intensa ou mais
escura.
1.18. O OPERADOR GRADIENTE
Figura 1.23: Significado geométrico do gradiente
79
80
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
Considere que o gráfico represente a topologia de uma certa região
montanhosa e que uma pessoa localizada inicialmente do centro da figura
B (portanto em um ponto de referência com altitude zero. Nesta figura os
pontos de maior altitude valem 1, os de menor -1 e no centro a função vale
0.), se desloque radialmente, se afastando do centro. A medida que ela se
descola atingirá uma região de tonalidade menos intensa o que indica que
ela está em um ponto de maior altitude do que a de seu ponto de partida.
Suponha que esta pessoa, neste ponto de maior altitude, não se desloque radialmente mas sim ao longo da linha fechada ( de mesma tonalidade) que passa por este ponto. Como ao longo desta linha a tonalidade
não muda, significa que a altitude também não muda. As linhas fechadas
indicam os pontos de mesma altitude!
Suponha que o gráfico A da figura (1.23) seja gerado pela função φ.
Isto significa que pontos de máximos relativos desta função são os pontos
de maiores altitudes e os mínimos relativos os de menores altitudes. Se em
um dado ponto, mantendo-se uma das variáveis constantes e alterando-se
as outras, a função φ permanecer constante significa que foi encontrado
uma trajetória que está toda a uma mesma altura (certamente com relação
a algum referencial).
Para tornar a discussão mais quantitativa considere o campo φ num
dado ponto P , ou seja φ(x1 , x2 , x3 ). Faz-se agora um deslocamento infinitesimal (caminhe pouco em uma direção arbitrária) e compara-se o valor
do campo com aquele do ponto de partida, ou seja
dφ =
∂φ
dxi = ∇φ · dx = |∇φ| |dx| cos θ.
∂xi
O significado desta equação é: a variação no valor do campo escalar dφ é
igual ao produto do módulo do gradiente, pelo módulo do deslocamento,
pelo cosseno do angulo entre eles. Considere que |dx| =
6 0 e que seu módulo possui o mesmo valor para todas direções θ; fixe o valor do |∇φ| .
Nestas condições a equação indica que a variação dφ será máxima quando
θ = 0 e mínima quando θ = π/2 que correspondem ao deslocamento na
direção do gradiente da função e perpendicular ao gradiente da função,
respectivamente. Entretanto, devido o significado de φ, ou seja de altitude,
a variação será máxima para deslocamentos perpendiculares a curvas de
altidudes constantes (é claro!) portanto o angulo θ = 0 indica que o deslocamento está na direção do gradiente que possui direção perpendicular
às curvas de níveis15 ; conclusão: a variação dφ é máxima na direção do
15
Curvas que possui todos os seus pontos a mesma altura com relção a um certo referencial
1.19. INTEGRAL DE VETORES
81
gradiente que por sua vez é perpendicular as curvas de altitude constante
ou curvas de níveis. Tudo o que foi escrito pode ser resumido em uma
equação, para θ = 0,
dφ
, ds ≡ |dx|
(1.179)
|∇φ| =
ds maximo
Resumindo os resultados anteriores:
1. O vetor ∇φ é normal às curvas ou superfícies φ =constante.
2. A direção do vetor ∇φ é a direção de maior variação do campo φ.
3. Atribuindo-se um vetor unitário (arbitrário) n a uma dada direção
no espaço, pode-se calcular a variação do campo φ nesta direção, da
forma
∂φ
(1.180)
∇φ · n ≡
∂n
Utilizando o operador nabla pode-se construir alguns operadores diferencias de segunda ordem, o mais utilizado na física é o operador de Laplace
ou Laplaciano
∂ ∂
∂2
∇·∇=
=
= ∂i2
(1.181)
2
∂xi ∂xi
∂xi
escrito em diferentes (e muito utilizadas) notações. Este operador atua
tanto em campos escalares
∇2 φ = ∂i2 φ,
(1.182)
quanto em vetoriais
∇2 A = ∂i2 A.
(1.183)
O Significado Físico (geométrico) do Laplaciano
1.19
Integral de Vetores
O vetor resultante de uma integração de volume de um campo vetorial
A = A(xi ) é dado por
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Adv =
A1 dv,
A2 dv,
A3 dv ,
(1.184)
V
v
v
v
ou seja a integral de volume de um dado vetor A implica em tres integrações usuais, uma para cada componentes do vetor.
82
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
A projeção do campo vetorial A na direção do vetor unitário n, normal
‘a superfície é
A · n.
(1.185)
A integração desta quantidade através da superfície (área) S cujo elemento
diferencial é
da = nda,
(1.186)
é denominada de fluxo de vetor A através da superfície S e calculada como
ˆ
ˆ
ˆ
A · nda =
A·da =
Ai dai .
(1.187)
ΦA =
S
S
S
A área é um pseudo vetor já que é o resultado do produto vetorial de dois
vetores verdadeiros. O elemento infinitesimal de área pode ser calculado
utilizando-se a equação (1.136).
A direção do vetor unitário n não é única uma vez que uma superfície
possui duas orientações possíveis. Adotamos aqui a regra da mão direita,
a dos sitemas destrógiros, para uma superfícies fechadas: convenciona-se
como positivo o vetor unitário normal que aposta para fora da superfície.
Para uma superfície aberta convenciona-se como orientação positiva da superfície aquela cujo interior está a esquerda de um observador que caminha
sobre a borda (fronteira) da superfície no sentido anti-horário.
Veja a figura (1.24).
A integral de linha desde o ponto B até o ponto C de um campo vetorial
A = A(xi ) ao longo de uma curva Γ é igual a integral da componente
tangencial do campo vetorial A. Para se calcular a componente tangencial
do campo vetorial A num dado ponto P ∈ Γ, calcula-se o produto interno
entre o elemento diferencial de arco ds e o vetor A no ponto P para em
seguida integrar este resultado desde B até C:
ˆΓ
ˆ
A · ds =
BC
Ai dxi .
(1.188)
BC
É útil relacionar integrais de linha com integrais de superfície e integrais
de superfície com integrais de volume, certamente quando for possível.
Theorem 1.19.1. Teorema de Gauss ou da divergência. Considere a figura
(1.25), que esquematiza um volume fechado V limitado por uma superfície
S.
Considere um campo vetorial A e sua derivada primeira contínuo no volume V . O teorema de Gauss afirma que o fluxo do vetor A através da superfície fechada S é igual a integral sobre o volume V do divergente do campo
1.19. INTEGRAL DE VETORES
83
Figura 1.24: Elemento diferencial de área da e sua direção normal à superfície
Figura 1.25: O elemento diferencial de área de uma superfície que limita o
volume V
84
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
Figura 1.26: a figura mostra um contorno C que limita uma superfície
aberta e orientada. A dorientação do vetor unitário foi escolhida de tal
forma que um observador caminhando na fonteira da superfície (curva C)
tem o interior a sua esquerda.
vetorial A. A expressão matemática para essa sentença é
ˆ
ˆ
A · da =
∇ · Adv
S
(1.189)
V
O próximo teorema é denominado de Teorema de Stokes - Ostrogradsky.
Para utilizar este teorema é necessário ter em conta que utiliza-se uma
superfície com orientação destrógira, como já foi discutido anteriormente.
Esta convenção está explicitada na figura (1.26).
Theorem 1.19.2. Teorema de Stokes -Ostrogradsky. A integral de linha da
componente tangencial ( a curva C) de um campo vetorial A é igual ao fluxo
do rotacional do campo vetorial A através da superfície aberta S, que possui
como fronteira a curva C. A expressão matemática para está sentença é
˛
ˆ
A · ds = (∇ × A) · da.
(1.190)
C
S
Exemplos
Example 1.19.3. Calcule a integral de linha do campo de F = 3xyi − 5zj +
10xk ao longo da curva x = t2 + 1, y = 2t2 , z = t3 , desde t = 1 até t = 2.
1.19. INTEGRAL DE VETORES
85
Solução:
ˆP2
ˆP2
(3xyi − 5zj + 10xk) · (idx + jdy + kdz)
F · dr =
P1
P1
ˆP2
(3xydx − 5zdy + 10xdz)
=
P1
ˆt=2
3(t2 + 1)2t2 2tdt − 20t3 tdt + 10(t2 + 1)3t2 dt
=
t=1
ˆt=2
12t5 + 10t4 + 12t3 + 30t2 dt = 303.
=
t=1
Exemplo com integral de superfície em coordenadas cartesianas.
Example 1.19.4. Calcule o fluxo do campo vetorial A = 18zi − 12j + 3yk
através do plano 2x + 3y + 6z = 12, no primeiro octante.
É necessário calcular a integral
ˆ
ˆ
A · da = A · nda.
S
S
Para isto considere a geometria mostrada na figura (1.27)
Para calcular a integral do fluxo do campo A pode-se calcular o fluxo
através da projeção da superfície no plano xy. O valor da superfície projetada é
R = S cos θ =⇒ dR = da · k = dan · k =⇒ da =
dR
dxdy
=
.
n·k
n·k
O vetor unitário normal à superfície é:
n=
∇S
2i + 3j + 6k
2i + 3j + 6k
=√
=
.
|∇S|
7
4 + 9 + 36
n·k=
A·n=
36 − 12x
;
7
6
7
utilizando,
z=
12 − 2x − 3y
.
6
86
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
Figura 1.27: Geometria da integração.
ˆ
¨
A · nda =
S
12−2x
3
ˆ
ˆ
(6 − 2x)dxdy =
dx(6 − 2x)
0
R
ˆ
dy
6
dx(6 − 2x)
=
0
12 − 2x
3
= 24.
Os limites de integração na variável y são obtidos da equação do plano com
z = 0, já que a integral está sendo calculada na projeção da superfície no
plano xy.
Um exemplo de integral de superfície resultante da projeção da superfície do cilindro no plano cartesiano.
Example 1.19.5. Calcule o fluxo do campo vetorial A = zi + xj − 3y 2 zk
através do plano x2 + y 2 = 16, no primeiro octante, desde z = 0 até z = 5;
como esquematizado na figura (1.28).
É necessário calcular a integral
ˆ
ˆ
A · da = A · nda.
S
S
Para se calcular a integral pode-se projetar a área no plano xz ou yz;
fixe o plano xz. A projeção é
R = S cos θ = S · j =⇒ dR = da · j = dan · j =⇒ da =
dxdz
dR
=
.
n·j
n·j
1.19. INTEGRAL DE VETORES
87
Figura 1.28: Geometria da integral do fluxo do campo A através de um
octante do cilindro.
88
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
O vetor unitário normal à superfície é:
n=
∇S
2xi + 2yj
xi + yj
= p
=
,
|∇S|
4
2 x2 + y 2
x2 + y 2 = 16.
y
n·j= .
4
xz + xy
;
A·n=
4
√
ˆ
¨
¨
xz + xy
xz + x 16 − x2
√
A · nda =
(
)dxdz =
(
)dxdz
y
16 − x2
S
R
¨
=
R
xz
(√
+ x)dxdz =
16 − x2
=
x
dx( √
16 − x2
0
R
ˆ4
ˆ4
5
x
25
+ 5x) =
dx( √
2
16 − x2 2
ˆ5
ˆ5
zdz + x
0
ˆ4
dz)
0
5x
dx( √
+ 2x)
16 − x2
0
0
25
= 4 + 5 · 8 = 90.
2
Um exemplo de integral de superfície resultante da projeção da superfície
de uma esfera no plano cartesiano.
Example 1.19.6. Dado F = yi + (x − gxz)j − xyk, calcule o fluxo do rotacional do campo vetorial F através da superfície esférica x2 + y 2 + z 2 = a2
para 0 ≤ z ≤ a. Veja a figura (1.29).
É necessário calcular a integral
ˆ
ˆ
(∇ × F) · da = (∇ × F) · nda.
S
S
O rotacional do campo vetorial F é
∇ × F = εijk ei ∂j Fk = xi + yj − 2zk.
Para calcular a integral, projeta-se a área no plano xy. A projeção é
R = S cos θ = S · k =⇒ dR = da · k = dan · k =⇒ da =
dR
dxdy
=
.
n·k
n·k
O vetor unitário normal à superfície é:
n=
∇S
2xi + 2yj + 2zk
xi + yj + zk
= p
=
,
2
2
2
|∇S|
a
2 x +y +z
x2 + y 2 + z 2 = a2 .
1.19. INTEGRAL DE VETORES
89
Figura 1.29: Geometria da integração esférica
z
n·k= .
a
(∇ × F) · n =
ˆ
¨
(∇ × F) · nda =
S
x2 + y 2 − 2z 2 dxdy
a.
a
z
R
√
ˆa
=
x2 + y 2 − 2z 2
;
a
a2 −x2
ˆ
dx
−a
√
− a2 −x2
3(x2 + y 2 ) − 2a2
dy p
≡ I.
a2 − x 2 − y 2
Fazendo a mudança de variável x = r cos θ, y = r sin θ a integral anterial é
90
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
Figura 1.30: Volume de integração
transformada em
ˆr=a θ=2π
ˆ
I=
3r2 − 2a2
√
rdrdθ
a2 − r 2
r=0 θ=0
ˆr=a
= 2π
3(r2 − a2 ) + a2
√
rdr
a2 − r 2
r=0
 r=a
ˆ 
2
√
a
= 2π 
3 a2 − r 2 − √
rdr
2
a − r2
ir
hr=0
√
3/2
= 2π a2 − r2
− a2 a2 − r 2 0
3
3
= 2π a − a = 0.
Um exemplo de integral de volume.
Example 1.19.7. Calcule a integral do campo vetorial F = 2xzi − xj + y2k
no volume V limitado pelas equações x = 0, y = 0, y = 6, z = x2 , z = 4.
O volume de integração está esquematizado na figura (1.30).
1.19. INTEGRAL DE VETORES
91
A integral a ser resolvida é
ˆ
V
ˆx=2 ˆy=6 ˆz=4
dz 2xzi − xj + y 2 k
FdV =
dx
dy
x=0
y=0
z=x2
ˆx=2 ˆy=6 ˆz=4
ˆx=2 ˆy=6 ˆz=4
=i
dx
dy
dz2xz − j
dx
dy
x
x=0
y=0
ˆx=2
+k
dx
x=0
y=0
x=0
z=x2
ˆy=6
ˆz=4
dy
z=x2
= 128i − 24j + 384k.
dzy 2
y=0
z=x2
92
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
PROBLEMAS
Problem 1.0.1. Encontre a matriz rotação λ que representa uma rotação
de 45o no sentido anti horário, ao redor do eixo x2 de um sistema de coordenadas cartesianos.
Problem 1.0.2. Prove as equações (1.11) e (1.12).
Problem 1.0.3. Dada as matrizes quadradas A e B, mostre que (AB)t =
B t At e (AB)−1 = B −1 A−1 .
Problem 1.0.4. Mostre que a equação (1.15) (condição de ortogonalidade)
pode ser obtida impondo-se a invariância do elemento de comprimento de
arco infinitesimal.
Problem 1.0.5. Seja A o vetor definido pela origem do sistema de coordenadas e por um ponto P fixo no espaço. Seja r o vetor definido pela origem
e pelo ponto Q(x1 , x2 , x3 ) variável. Mostre que A · r = A² é a equação do
plano perpendicular ao vetor Ae que passa pelo ponto P .
Problem 1.0.6. Dado dois vetores
A = i + 2j − k,
B = −2i + 3j + k,
calcule:
a) A-B e |A − B|
93
94
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
b) A componente de B ao longo de A,
c) o angulo entre A e B,
d) A × B,
e) (A − B) × (A + B)
Problem 1.0.7. Uma partícula esta em movimento em uma órçbita elíptica
com vetor posição r = 2b sin(ωt)i+b cos(ωt)j, com b = constante. Encontre a
velocidade, aceleração e módulo da velocidade da partícula. Qual o angulo
entre a velocidade e aceleração quando t = π/2ω?
Problem 1.0.8. Mostre que (A × B) · C = εijk Ai Bj Ck .
Problem 1.0.9.

1

0
A=
2
Dada as matrizes



2 −1
2 1 0
3 1  , B =  0 −1 2  ,
0 1
1 1 3
calcule det(AB),
AC,
ABC,


2 1
C =  4 3 ,
1 0
AB − Bt At .
Problem 1.0.10. Encontre os valores de α para que a matriz M seja ortogonal


1 0 0
M =  0 α −α  .
0 α α
Problem 1.0.11. Mostre que
εijk δij
εijk εljk
εijk εijk
εijk εilm
= 0,
= 2δil ,
= 3! = 6,
= δjl δkm − δjm δkl .
1.19. INTEGRAL DE VETORES
95
Problem 1.0.12. Seja A um vetor arbitrário e e um vetor unitário em uma
dada direção, mostre que
A = e(A · e) + e × (A × e).
Qual o significado dos termos nesta expansão?
Problem 1.0.13. Mostre que
∇(ln |r|) =
r
.
r2
Problem 1.0.14. Encontre o ângulo entre as superfícies definidas pelas
equações r2 = 9, e x + y + z 2 = 1 no ponto (2, −2, 1).
Problem 1.0.15. Mostre que
∇(φψ) = φ∇(ψ) + ψ∇(φ),
∇rn = nrn−2 r,
r df
,
∇(f (r)) =
r dr
1
∇2 (ln r) = 2 .
r
Problem 1.0.16. Mostre que
ˆ
(2r · ṙ + 2bṙ · r̈) dt = ar2 + bṙ2 + constante ;
ˆ ṙ rṙ
r
− 2 dt = + C,
r r
r
onde C é um vetor constante.
Problem 1.0.17. Calcule a integral
ˆ
A · da,
S
onde A = xi − yj + zk e S é a superfície fechada definida pelo cilindro
c2 = x2 + y 2 .A base do cilindro está localizada em z = 0 e o topo em z = d.
96
CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
Problem 1.0.18. Usando o teorema de Gauss, calcule a integral
ˆ
2
(x + y 2 + z 2 )(xi + yj + zk) · da,
S
onde S é a superfície da esfera R2 = x2 + y 2 + z 2 .
Problem 1.0.19. Calcule a integral
ˆ
[∇ × (yi + zj + xk)] · da,
S
onde S é a superfície definida pelo paraboloide z = 1 − x2 − y 2 , com z ≥ 0.
Capítulo 2
Mecânica Newtoniana - Dinâmica
de uma partícula.
2.1
Introdução
A Mecânica proporciona uma descrição precisa e consistente da dinâmica
de partículas e sistemas de partículas, ou seja um conjuntos de leis formuladas como sentenças matemáticas que descrevem o movimento dos corpos.
Para isto é necessário utilizar alguns conceitos básicos ou conceitos fundamentais como distância e tempo na mecânica com os quais pode se calcular a velocidade e aceleração dos corpos. Outro conceito fundamental é
o de massa que será definido utilizando-se as leis de Newton.
Uma discussão muito mais detalhada, que não será feita aqui, sobre a
concepção de espaço, tempo e massa, como também sobre o que são e o
que não são leis físicas podem ser encontradas em diversos e excelentes
livros textos. Veja por exemplo (XXXX).
2.2
As Leis de Newton
I. Todo corpo permanece em repouso ou movimento uniforme se não houver forças atuando sobre ele.
II. Um corpo que sofre a ação de uma força move-se de tal forma que a
variação de seu momento no tempo é igual à força que atua sobre
ele.
III. Se dois corpos isolados exercem força, um sobre o outro, esta forças
são iguai em magnetude e opostas na direção
97
98CAPÍTULO 2. MECÂNICA NEWTONIANA - DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA.
A primeira lei contém o conceito de partícula livre, toda partícula nesta
condição (primeira lei) é denominado de partícula livre.
A expressão matemática para a segunda lei é
F=
dp
,
dt
p = mv = m
d2 r
.
dt2
(2.1)
Por ser uma equação diferencial de segunda ordem, é necessário fornecer
os valores das duas constantes de integração, neste caso denominadas de
condições iniciais do problema que são a posição e velocidade inicial: r(t0 )
e v(t0 ).
Para demonstrar o significado da terceira lei ela será reescrita como:
Se dois corpos constituem um sistema isolado ideal, então a aceleração
desses corpos são sempre em sentidos opostos e a razão de seus módulos constante. A razão das aceleração é o inverso da razão das massas dos corpos.
Assim, para dois corpos isolados a terceir lei afirma que
F12 = −F21 ,
(2.2)
ou seja a força que o corpo 1 exerce sobre o corpo 2 é igual e oposta a que
o corpo 2exerce sobre 1. Para duas partículas de massas m1 e m2 respectivmente, estas equações fornecem
F12 = m2 a2 ,
F21 = m1 a1,
que resulta em
a2
m1
=− .
m2
a1
Massa Inercial é a massa que determina a aceleração de um corpo sob a
ação de uma dada força.
Massa Gravitacional é a massa que determina a força da gravidade entre
um corpo e outros corpos.
Da medida do período de um pêndulo em um campo gravitacional uniforme pode-se concluir, sem muita precisão, que a massa inercial (mI ) é
igual à massa gravitacional mg :
Fg = mg g = mI a
mg gsinθ = −mI lθ̈ =⇒
mg g
θ = 0.
θ̈ +
mi l
2.3. SISTEMAS DE COORDENAS
99
Esta é a equação de um pendulos simples de comprimento l e massa m
oscilando em movimento harmonicos de pequena amplitude em um campo
gravitacional uniforme. Diversas medidas forneceram o mesmo período do
pendulo feito com bulbos de materiais diferentes, comprovando a igualdade da massa inercial e gravitacional. Esta igualdade é básica para a
formulação do princípio da equivalência, que afrima que um grampo gravitacional uniforme é, localmente, igual a um referencial com aceleração
constante. Vários experimentos modernos (1987) têm comprovado, com
precisão de uma parte em 1013 pelo grupo de Eötvös da universidade de
Washington. Neste experimento foi utilizado uma balança de torção para
medir a aceleração de diferentes massas com relação ao Sol, Terra e centro
da galáxia.
2.3
Sistemas de Coordenas
Newton compreendeu que para a utilizaçao das leis da mecânica e descrição do movimento dos corpos é necessário a adoção de um referencial. Um
referencial, no qual as leis de Newton são válidas é chamado de referencial
inercial, ou seja se uma partícula livre mantem-se em movimento niforme
(com velocidade constante, ou em repouso) com relação a um sistema de
coordenadas, este sistema será inercial.
Se as leis de Newton são válidas em um sistema de coordenadas inercial, elas serão válidas em todos os sistemas em movimentos relativos a
velocidades constantes. Esta afrimação está fundamentada na segunda lei
de NewtonF = ma: a adição de um termos do tipo cv0 , com v0 constante,
na coordenada da partícula não altera a força que atua sobre ela. Este resultado é denominado de Invariância Galileana ou Princípio da relatividade
de Newton.
A teoria da relatividade demonstrou que não há o conceito de referêncial absoluto (repouso) absoluto e tempo absoluto. Ainda que se adote o
referêncial inercial mais preciso (com relação as estrelas fixas) -que é o referêncial no qual as leis de Newton são válidas com grande precisão- este
não será absoluto.
De fato o conceito de referêncial inercial não necessita das estrelas fixas, se uma partícula que não estiver sob a ação de forças mover-se com
velocidade constante com relação a um dado referencial, este será inercial.
Geralmente na descrição dos fenômenos físicos construimos idealizações
ou modelos, entretanto a descrição real e exata é difícil e aproximações
devem ser consideradas.
Para descrever o movimento de uma partícula livre com relação a um
100CAPÍTULO 2. MECÂNICA NEWTONIANA - DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA.
Figura 2.1: Sistema de Coordenadas não inercial
dado sistema inercial, espera-se que a equação de movimento da partícula seja independente da origem do sistema de coordenadas no espaço e
tempo. Também espera-se que o tempo seja homogêneo, ou seja que intervalos iguais medidos em tempos diferentes sejam equivalentes. Estas
condições satisfeitas implicam que se uma partícula estiver em movimento
uniforme em um certo intervalo de tempo, ela continuará neste estado de
movimento em qualquer intervalo de tempo se não sofre a ação de forças
externas.
Podemos ilustrar a improtância dessas propriedades com o seguinte
exemplo. Na figura 2.1 esquematizamos uma partícula livre em movimento
ao longo de um certo trajeto AC.
Para descrever o movimento foi escolhido um sistema de coordenadas
retangular Sr com seu eixos mantidos com uma orientação fixa e sua origem movimentando-se ao longo de um círculo. A partícula movimenta-se
com velocidade uniforme vp com relação a um dado sistema inercial que
não é o sistema Sr . Considere um observador posicionado na origem do
sistema Sr , que está em movimento com velocidade vc , que acompanha
o movimento da partícula durante o percurso AC. No instante em que a
partícula estiver no ponto A, o observador no ponto B e vp = vc , a partícula estará em repouso com relação ao observador. Entretanto, quando o
observador estiver se em movimento ao longo do arco BD absevará a partícula acelerando. Esta observações indicam que um sistema em movimento
circular não é um exemplo de sistema inercial!
As equações de Newton não descrevem o movimento de uma partícula
em um sistema não invercial, entretanto algumas modificações podem ser
feitas para esta descrição. Isto será discutido adiante.
2.4. AS EQUAÇÕES DE MOVIMETO DE UMA PARTÍCULA.
101
Figura 2.2: Bloco no plano inclinado: (a) deslizando sem atrito e (b) em
repouso com coeficiente de atrito estático µe .
2.4
As Equações de Movimeto de uma Partícula.
Nesta seção seremos pragmáticos: faremos em detalhes diversas aplicações
das equações de movimeto para estudarmos a dinâmica de sistemas relativamente simples.
Example 2.4.1. Calcule a aceleração do bloco que desliza sem atrito no
plano inclinado da figura 2.2 (a).
dp
d
= mv = ma,
dt
dt
F = iFx + jFy + kFz ,
a = iax + jay + kaz ,
Fx
Fy
Fz
= ax
= ay,
= az .
m
m
m
Com relação ao sistema de coordenadas adotado temos
F=
N = Nj
Fg = mg = m [g cos θ(−j) + g sin θi]
F = Fg + N =⇒
F = mg sin θi + (N − mg cos θ) j + 0k.
Substituindo nas equações de movimento obtem-se


 max = mg sin θ,
may = (N − mg cos θ) ,


maz = 0.
102CAPÍTULO 2. MECÂNICA NEWTONIANA - DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA.
Deste conjunto de equações conclui-se que az = 0, indicando que não há
força atuando ao longo do eixo z. Nesta direção o sistema está em repouso
ou movimento retilínio e uniforme. Na direção y não há movimento, portanto
N = mg cos θ ,
finalmente na direção x obten-se a aceleração do bloco ao longo do plano
inclinado
ax = g sin θ .
Estas duas equações fornecem os casos partículares para θ = π/2, N = 0
como deve ser já que não há reação do plano sobre o bloco e ax = g.
A equação para a component x da acelaração pode ser integrada para
obter-se a dependencia funcional da velocidade com o tempo. Para isto é
necessário especificar as condições iniciais, considere que em t = t0 = 0
(
x(0) = 0,
ẋ(0) = 0.
A integral primeira da aceleração fornece
ˆt
dvx
= g sin θ =⇒
dt
dvx 0
dt = g sin θt =⇒
dt0
0
vx (t) = g sin θt.
Uma nova integração fornece
ˆt
0
dx 0
dt =
dt0
ˆt
1
g sin θt0 dt0 = g sin θt2 =⇒
2
0
1
x(t) = g sin θt2 .
2
Em resumo, as equações de movimento para o bloco deslizando sem atritro
pelo plano inclinada são
1
x(t) = g sin θt2 ,
2
vx (t) = g sin θt.
2.4. AS EQUAÇÕES DE MOVIMETO DE UMA PARTÍCULA.
103
A velocidade também pode ser escrita em função do deslocamento como
p
vx (t) = 2g sin θx(t).
Duas soluções partículares destas equações podem ser mencionadas: para
θ = 0 obtem-se que x(t) = 0 e v(t) = 0, que é coerente uma vez que não há
plano inclinado. Para θ = π/2 obtem-se que x(t) = (1/2)gt2 e vx (t) = gt,
que são as equações de um corpo em queda livre vertical em um campo
gravitacional uniforme de intensidade g.
Example 2.4.2. Refaça o exemplo anterior levando-se em conta a força de
atrito de modulo estático |fµ | entre o bloco o plano inclinado. O sistema em
equilíbrio é esquematizado na figura 2.2.
A força de atrito tem a direção mas o sentido oposto ao movimento do
objeto que está em contato com a fuperfície do plando inclinado e tende a
se deslocar deslizando para baixo no plano, teremos
fµ = µN.
A força total F que atua no corpo ´e
F = Fg + fµ
= (mg sin θ − µe N ) i + (N − mg cos θ) j + 0k.
Como o sistema está em repouso, tem-se que ax = ay = az = 0, e

mg sin θ 
µe =
=⇒ µe = tan θ.
N

N = mg cos θ,
2.4.1
Atrito
De forma geral a descrição do atrito é complicada, no entanto resultados
experimentais demonstram que muitas situações de interesse teórico e prático podem ser descritas pela equação
v
F = mg − mκv n ,
v
(2.3)
onde κ é uma constante representado a intensidade da força de atrito,
n ∈ R e v/v = ev é um vetor unitário na direção do vetor velocidade da
partícula. Novamente, considerando os resutados de experimentos realizados no laboratório, avalia-se satisfatório a utilização dos seguintes valores
de número n:
104CAPÍTULO 2. MECÂNICA NEWTONIANA - DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA.
Figura 2.3: Partícula em movimento horizontal com atrito
(
v ∼ 24m/s,
Experimento indica que para
v ∼ 330m/s,
n = 1,
n = 2.
(2.4)
Example 2.4.3. Encontre o deslocamento e velocidade horizontal de uma
partícula que se movimenta em um meio viscoso cuja força de resistência
ao movimento, equação (2.3) pode ser descrito por uma função linear na
velocidade, portanto n = 1. Esta situação; figura 2.3.
Suponha que no instante t = 0, a partícula passa pela origem do sistema
de coordenadas x = 0, com velocidade v(0) = v0 . Utilizando a segunda lei
de Newton, a força total resultante F que atua na partícula é
F=
com
F = Fa = −mκv
dp
,
dt
v
vi
= −mκv = −mκvx i.
v
v
Estas duas equações fornecem
m(ax i + ay j + ak k) = −mκvx i
dvx
m
= −mκvx
dt
0 = maz = may .
A componente x da velocidade pode ser integrada pelo método de separação de variáveis, fornecendo
dvx
dvx
= −κvx =⇒
= −κdt =⇒
dt
vx
vx
ln
= −κ(t − 0) =⇒
v0
1
vx (t) = v0 e−κt , [κ] = .
T
2.4. AS EQUAÇÕES DE MOVIMETO DE UMA PARTÍCULA.
105
Esta equação pode ser integrada novamente para obter-se x(t)
dx
= v0 e−κt =⇒
vx (t) =
dt
ˆt
dx
dt0 0
dt
ˆt
0
0
e−κt dt0 =⇒
= vo
0
v0
1 − e−κt .
x(t) =
κ
Em resumo obtemos
v0
1 − e−κt ,
κ
v(t) = v0 e−κt .
x(t) =
Desta expressão pode-se obter duas informações características:
x(t) −−−→
t−→∞
v0
,
κ
que é a distância que uma partícula livre percorre até atingir o repouso,
quando penetra um meio viscoso com velocidade inicial v0 ; note que
v(t) −−−→ 0.
t−→∞
O comportamento do deslocamento e velocidade são motrados na figura
2.4.
A velocidade quando espressa em função do deslocamento, fornece uma
relação linear
v(t) = v0 − κx(t).
Example 2.4.4. Integre a equação de movimento para uma partícula em
queda livre num campo gravitacional uniforme. Considere que a resistência
do ar imprime à partícula uma força de atrito proporcional a velociadade.
Use as seguintes concições iniciais:
(
z(0) = h,
t = 0,
ż(0) = v0 .
A geometria do problema está esquematizada na figura 2.5
Neste exemplo considera-se a origem do sistema a uma altura h do solo.
Note que por isto a variação da altura é negativa: dz/dt < 0. Para este
sistema e coordenadas e condições iniciais temos
r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k = z(t)k,
r(0) = hk,
v(0) = v0 k = −|v0 |k.
106CAPÍTULO 2. MECÂNICA NEWTONIANA - DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA.
In[5]:=
Plot@810 H1 - ã- x L, 10 ã- x <, 8x, 0, 5<D
10
8
6
Out[5]=
4
2
1
2
3
4
5
2.4. AS EQUAÇÕES DE MOVIMETO DE UMA PARTÍCULA.
107
Figura 2.5: Partícula em queda livre num meio resistivo.
As forças que atuam na partícula são
Fg = mg = mg(−k) = −mgk,
v
˙
fa = −mv = −mżk = mκ|z|k,
v
ż < 0.
A equação de movimento fornece
dv
d2 r
=m ,
2
dt
dt
F = Fg + fa .
F=m
Estas equações resultam em
d|ż|
−mgk + mκ|ż|k = m ẍi + ÿj −
k =⇒
dt
d|ż|
−g + κ|ż| = −
.
dt
0 = ax = ay
Em resumo, o movimento ao longo dos eixos x e y tanslacionalmente invariantes, por isto escolhemos um valor fixo (0, 0 z), já a dinâmica está ao
longo do eixo z:
d|ż|
+ κ|ż| − g = 0 .
dt
Esta equação é um exemplo de uma Equação Diferencial de Segunda Ordem Homogênea e com coeficientes constantes. Quando escrita na forma
d|ż|
g
+ κ |ż| −
=0
dt
κ
108CAPÍTULO 2. MECÂNICA NEWTONIANA - DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA.
fica mais evidente que ela pode ser integrada através de uma mudança de
variável
g
u = |ż| − ,
κ
que fornece a equação
du
u(t)
+ κu = 0 =⇒ ln
= −κ(t − 0) =⇒
dt
u(0)
u(t) = u(0)e−κt .
Retornando à variável z obtem-se que
g h
g i −κt
|ż(t)| − = |ż(0)| −
e ,
κ
κ
que para as condições iniciais adotadas reduz-se a
g h
g i −κt
|ż(t)| − = |ż(0)| −
e .
κ
κ
Para integrar esta equação é necessário retirar o módulo,
|ż(t)| = −ż(t),
|ż(0)| = −v0 ,
portanto obtem-se que
g h
g i −κt
ż(t) = − + v0 +
e ,
κ
κ
que pode ser integrada imediatamente, fornecendo
0 t
g 0 t g e−κt z(t) − z(0) = − t + v0 +
=⇒
κ 0
κ −κ 0
g
κv0 + g
z(t) = h − t +
1 − e−κt .
2
κ
κ
Resumindo, obtem-se que
g
κv0 + g
z(t) = h − t +
1 − e−κt ,
2
κ
κi
g h
g −κt
v(t) = − + v0 +
e .
κ
κ
Esta equações fornecem (como deve ser) z(0) = h, e . Para intervalos de
tempos muito grandes ou para o tempo tendendo a infinito obtem-se que
g
κv0 + g
z(t) −−−→ h − t +
,
t−→∞
κ
κ2
g
v(t) −−−→ − .
t−→∞
κ
2.4. AS EQUAÇÕES DE MOVIMETO DE UMA PARTÍCULA.
109
Figura 2.6: Gráfico da velocidade para diferentes valores do módulo da
velocidade inicial v0 .
A segunda equação fornece um valor limite para a velocidade de queda
livre de qualquer corpo. Certamente que o coeficiente de atrido do ar (ou
a viscosidade deste fluído) varia muito com a altura, temperatura, pressão
etc. Na figura 2.6.
A reta v = vl = g/κ representa a velocidade limite da partícula no meio
viscoso. Todas as outras curvar são curvas de velocidades com diferentes
condições iniciais, entretanto depois de tanscorrido um intervalo de tempo
suficientemente grande (t 1/κ) todas elas tendem a velocidade limite
g/κ. Note que a reta vl divide em duas classes as curvas com |v0 | < |vl | e
|v0 | > |vl |.
A representação gráfica das soluções facilita a vizualização e interpretação dos resultado:
a) |v0 | < |vl |: Esta é a condição inicial para uma partícula em queda livre
com velocidade inicial menor que a velocidade limite. A partícula
será acelerada até atingir a velocidade vl quando a resultante das
forças que atuam sobre ela será nula. A partir deste ponto a partícula
comporta-se como uma partícula livre com velocidade uniforme vl .
b) |v0 | = |vl |: a partícula é lançada com rapidez (módulo da velocidade
) inicial v0 = vl e continuára com esta velocidade até atingir o solo,
já que a resultante das forças que atuam sobre ela é nula. A curva
corrrespondente a esta solução é a reta v = g/k.
110CAPÍTULO 2. MECÂNICA NEWTONIANA - DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA.
c) c) |v0 | > |vl |: Nesta situação a partícula é lançada com rapidez inicial maior que a velocidade limite para este meio (representado pela
constante κ). A partícula será freada porque a intensidade da força de
atríto é maior que a intensidade da força gravitacional. Esta situação
continuaŕa até o equilíbrio das forças quando a partícula, novamente,
atingirá a velocidade final vl .
Se o coeficiente de atrito (constante κ) for pequeno podemos aproximar a
solução em série de potências utilizando
e
−κt
=
∞
X
(−κt)n
n=0
n!
= 1 − κt +
(κt)2
+ O(k 3 ), n ∈ N.
2!
Mantendo termos quadrátricos na expansão obtem-se que
κv0 + g
g
(κt)2
z(t) ∼ h − t +
1 − 1 − κt +
κ
κ2
2!
2
g
κv0 + g
(κt)
=h− t+
κt −
2
κ
κ
2!
κv0 + g
κv0 + g 2
g
t−
t
=h− t+
κ
κ
2
g0
κv0 + g 2
t ≡ h + v0 t − t2 .
= h + v0 t −
2
2
Esta expressão é a equação horário usual para um partícula em queda livre
com velocidade inicial v0 em um campo gravitacional uniforme de intensidade κv0 + g. Lembre que v0 < 0. A expressão da velocidade é
g h
gi
(κt)2
3
1 − κt +
+ O(k ) .
v = − + v0 +
κ
κ
2!
h
g
g i (κt)2
g h
gi
∼ − + v0 + − v0 +
κt + v0 +
κ
κ
κ
κ 2!
0
∼ v0 − [v0 κ + g] t ≡ v0 − g t.
Example 2.4.5. Integre as equações de movimento para um projétil lançado com modulo de velocidade inicial v0 , que faz um angulo θ com a horizontal. O deslocamento se dá num campo gravitacional uniforme em um
meio sem atrito. A geometria do problema esta esquematizada na figura
2.7.
2.4. AS EQUAÇÕES DE MOVIMETO DE UMA PARTÍCULA.
111
Figura 2.7: Movimento de um projétil num meio sem atrito e com campo
graviatacional uniforme de módulo g.
As equações de movimento são
dp
F=
, p(t) = mvx (t)i + mvy (t)j + mvz (t)k.
dt
dr
v = , r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k.
dt
F = mg = mg(−j) = −mgj,
ẍ = z̈ = 0,
mÿ = −mg.
O movimento será descrito no plando xy, por isto fixa-se para a componente z o valor z = 0 que é uma solução particular da equação z̈ = 0.
Para as condições iniciais

x(0)
= 0, note que desprezou-se as dimensões da arma.



y(0)
= 0,
t=0⇔

|v(0)| = v0 ,



v(0)
= v0x i + v0y j.
Em t = 0, a velocidade do projétil faz um ângulo θ com a horizontal
portanto
v0x = v0 · i = v0 cos θ,
π
v0y = v0 · j = v0 cos( − θ) = v0 sin θ.
2
A integração das equações para as componentes x e y, com as condições
iniciais especificadas acima fornecem
ˆt
dvx 0
dt = 0 =⇒
dt0
0
vx (t) − vx (0) = 0 =⇒
vx (t) = vx (0) = v0 cos θ.
112CAPÍTULO 2. MECÂNICA NEWTONIANA - DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA.
Integrando novamente obtem-se
ˆt
dx 0
dt = v0 cos θ
dt0
ˆt
0
dt0 =⇒
0
x(t) − x(0) = v0 cos θ(t − t0 ) =⇒
x(t) = (v0 cos θ)t.
Resumindo, a dinâmica ao longo do eixo x é:
vx (t) = v0 cos θ,
x(t) = v0 t cos θ.
Analogamente, a integração ao longo do eixo y fornece a equações
vy (t) = v0 sin θ − gt,
1
y(t) = v0 t sin θ − gt2 .
2
Estes conjuntos de equações (equações horárias do movimento de um projétil) descrevem a dinâmica do movimento de um projétil lançado da origem do sistema de coordenadas xy em t = 0, cuja velocidade inicial v0 faz
um angulo θ com a horizontal ( eixo x). Elas são expressas em termo de um
parâmetro t que no contexto físico é uma variável contínua representando o
tempo, entretanto no contexto de teorias de curvas (geometria diferencial)
é somente um parâmetro utilizado na descrição de curvas paramétricas.
A equação da trajetória deste projétil é obtida eliminando-se o parâmetro t das equações que expressam a posição da partícula ao longo dos eixos
x e y, para isto basta isolar o tempo da equação para x(t)
t = x(t)/v0 cos θ
e substituir na equações de y(t) para obter
y(x) = tan θx −
1
g
x2 ,
2
2 v0 cos2 θ
que é a equação de uma parábola convexa já que a derivada segunda é
menor que zero:
y 00 = −
1
g
< 0 =⇒ curva é convexa.
2
2 v0 cos2 θ
2.4. AS EQUAÇÕES DE MOVIMETO DE UMA PARTÍCULA.
113
Os pontos de inflexão são obtidas da equação y 0 = 0, fornecendo
tan θ −
1
g
v02
v02
x
=
0
=⇒
x
=
sin
θ
cos
θ
=
sin 2θ
I
I
2 v02 cos2 θ
g
2g
Está é a coordenada x para a qual y assume seu valor máximo:
y(xI )
≡
=
1
2
ymax = tan θ
2
2
v0
v02
1
g
sin θ cos θ −
sin θ cos θ
g
2 v02 cos2 θ g
v02
sin2 θ.
g
Resumindo
ymax =
1 v02
sin2 θ
2 g
Para se calcular o alcance máximo pode-se proceder de duas formas:
utilizando a equação horária para y(t) ou a equação da trajetória y(x):
1. no primeiro procedimento encontra-se os tempos nos quais y = 0
estes correspondem ao tempo inicial que que o projétil é lançado e
ao tempo final quando ele atinge o solo. Utilizando-se o tempo final acha-se o alcance máximo calculando-se o deslocamento máximo
xmax correspondente a este tempo.
2. No segundo procedimento obtem-se diretamente os valores de x =
0 correspondente ao ponto (origem no eixo x) em que o projétilo
foi lançado e o ponto final ao longo da coordenada x quando ele
atinge o solo. Este ponto é o alcance do projétil ou seu deslocamento
horizontal.
Utilizando o segundo método encontra-se
g
1
x2 = 0 =⇒
2
2
2 v0 cos θ
2
v2
2v0 sin θ cos θ
=
= 0 sin 2θ,
g
g
y(x) = tan θx −
xmax
novamente, destacando a equação
xmax =
v02
sin 2θ .
g
114CAPÍTULO 2. MECÂNICA NEWTONIANA - DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA.
Note que xmax é o dobro de xi , e o tempo corrrespondente ao alcance também é o dobro do tempo para atingir a altura máxima:
xmax = 2xi
T = 2Tymax = 2
=
1
v02
sin θ cos θ
g
v0 cos θ
2v0
sin θ,
g
suscintamente
T =
2v0
sin θ .
g
Uma questão interessante que se coloca é: Qual ângulo de inclinação
fornece um alcance máximo? Para responder, basta calcular os pontos críticos (ou de inflexão) do alcance máximo xmax como função do angulo θ :
v02
sin 2θ =⇒
xmax (θ) =
g
v02
dxmax
= 2 cos 2θ = 0 =⇒
dθ
g
π
π
2θ = =⇒ θ = .
2
4
Ou seja, o alcance máximo é obtido para uma inclinação de 45o .
Utilizando as equações horárias paras as componentes x e y do movimento, podemos construir as equações horárias para o vetor posição e
velocidade da partícula. Para isto simplismente considere
r(t) = x(t)i + y(t)j
1 2
= v0 t cos θi + v0 t sin θ − gt j,
2
cujo módulo é
s
2
1 2
r(t) = (v0 t cos θ) + v0 t sin θ − gt
2
s
2
gt sin θ
gt
2
2
= v0 t cos θ + sin θ −
+
v0
2v0
s
2
gt sin θ
gt
.
= v0 t 1 −
+
v0
2v0
2
2.4. AS EQUAÇÕES DE MOVIMETO DE UMA PARTÍCULA.
115
Analogamente, a expressão para a velocidade e seu módulo é
v(t) =v0 cos θi + (v0 sin θ − gt) j,
s
2
2gt sin θ
gt
+
v(t) = v0 1 −
.
v0
v0
Example 2.4.6. Faça novamente o exemplo (2.4.5) levando em conta a
resistência do ar. Considere que a força de atrito seja proporcional à velocidade. 1
Uma força de atrito proporcional à velocidade pode ser da forma
v
= −mκv
v
= −mκ [vx (t)i + vy (t)j] .
fa = −mκv
Nesta equação, κ é proporcional ao coeficiente de viscosidade do meio, esta
constante geralmente possui um valor pequeno para o ar e gases em geral.
Note que neste caso a dimensão de κ é
[κ] =
1
.
T
Com esta interação2 , as equações de movimeto tornam-se
ẍ(t) = −κx(t),
ÿ(t) = −g − κy(t) ⇔ ÿ + κẏ + g = 0.
A primeira equação é a mesma do exemplo (2.4.3) e a segunda aparece no
exemplo (2.4.4), portanto não há necessidade de integramos novamente as
equações de movimento uma vez que as considções iniciais são as mesmas
1
Canhão Kaiser Wilhelm Geschütz Alemanha 1ł Guerra
Este canhão, apelidado de Lange Max ou Canhão de Paris (também chamado incorretamente pela imprensa do pós-guerra de Big Bertha, que era um obuseiro de 420 mm usado
contra Liége) ficou famoso pelo bombardeio de longa distância da capital francesa em
Março de 1918. As granadas disparadas por ele detinham o recorde de altitude (42 Km)
para um artefato humano, até o lançamento das V2 na II Guerra. Apesar de um excelente
projeto de engenharia, na prática foi um relativo fracasso, pela pequena carga útil e baixa
precisão, porém teve impacto sobre a moral e para efeito de propaganda. Especificações
Calibre: 210 mm Comprimento do Tubo: 40 m Peso: 125 ton. Elevação: + 55 graus
Deriva: 360 graus Velocidade inicial do projétil: 2.000 m/s. Alcance de Tiro: 131 Km Peso
do Projétil: 120 Kg (total) e 7 Kg (carga útil) Peso do Propelente: 180 Kg
2
Interação entre a partícula e o meio, aqui representada como atrito
116CAPÍTULO 2. MECÂNICA NEWTONIANA - DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA.
em todos estes exemplo. Utilizando os resultados destes exemplos, escrevemos diretamente (certamente considerando as variáveis adotadas em cada
caso) as soluções
v0 cos θ
ẋ(0)
1 − e−κt =
1 − e−κt ,
κ
κ
ẋ(t) = vx (t) = v0 cos θe−κt ,
g + κv0 sin θ
g
−κt
1
−
e
y(t) = − t +
κ
κ2
g
g + κv0 sin θ
ẏ(t) = − +
e−κt
κ
κ
x(t) =
O objetivo neste exemplo é o mesmo do exemplo para o movimento de
um projétil em um campo gravitacional uniforme, num meio sem atrito, ou
seja:
• encontrar a equação da trajetória,
• calcular a coordenada xi da altura máxima,
• o tempo necessário para atingir a altura máxima,
• o tempo T total de voo,
• o alcance máximo xmax .
Para simplificar os próximo cálculos cálculos, é conveniente introduzir as
seguintes notações
U ≡ v0 cos θ,
V ≡ v0 sin θ,
g + κv0 sin θ
Y0 ≡
.
κ2
Como anteriormente, a equação da trajetória pode ser obtida eliminandose o tempo das equações x(t) e y(t), para isto utiliza-se
x(t) =
v0 cos θ
1 − e−κt =⇒
κ
κx(t)
= 1 − e−κt =⇒
v0 cos θ
1
κx(t)
t = − ln 1 −
,
κ
v0 cos θ
2.4. AS EQUAÇÕES DE MOVIMETO DE UMA PARTÍCULA.
117
Figura 2.8: Gráfico da trajetória y(x) para as condições iniciais reais do
Canhão Kaiser Wilhelm Geschütz: v0 = 2000m/s, θ = 55o para κ =
0, 10−2 , 10−3 .
que fornece a expressão para o parâmetro t. Esta expressão substituida na
equação de y(t) fornece
y=
1
κx(t)
g
κx(t)
+ Y0
y [x(t)] = y(x) = − − ln 1 −
κ
κ
v0 cos θ
U
g
κx(t)
κx(t)
= 2 ln 1 −
+ Y0
.
κ
v0 cos θ
U
De forma concisa, obteve-se para a equação da trajetória a expressão
g
κx(t)
κx(t)
y(x) = 2 ln 1 −
+ Y0
.
κ
U
U
A ilustração do efeito do coeficiente de atrito dinâmico κ, é feita no gráfico
da figura 2.8
Onde está a parábola? Para respondermos esta questão considere que
a constante κ , que aqui caracteriza a intensidade do atrito entre o projétil
118CAPÍTULO 2. MECÂNICA NEWTONIANA - DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA.
e o meio, é muito pequena.3 Nesta consição podemos utilizar a expansão4
do logarítimo[2]
ln(1 + x) =
∞
X
(−1)n+1
n=1
xn
,
n
[−1 < x ≤ 1] ,
que neste caso fornece
"
#
2
3
g
κx(t) 1 κx(t)
1 κx(t)
κx(t)
y(x) = 2 −
−
−
− O(κ4 ) + Y0
κ
U
2
U
3
U
U
"
#
2
3
g x(t) κ x(t)
κ2 x(t)
κx(t)
+
.
=−
+
+ O(κ3 ) + Y0
κ U
2
U
3
U
U
Substituindo a expressão de Y0 :
κY0 =
g + κv0 sin θ
g
= v0 sin θ + .
κ
κ
Substituindo na expansão de y(x) obten-se
"
#
2
3
g x(t) κ x(t)
κ2 x(t)
g x(t)
y(x) = −
+
+
+ O(κ3 ) + v0 sin θ +
κ U
2
U
3
U
κ U
2
g x(t)
+ O(κ).
= tan θx(t) −
2
U
Os dois primeiros termos do segundo membro correspondem exatamente
à solução para a equação da trajetória de um projétil em um meio sem
viscosidade. Eis a parábola procurada!
3
Outra questão! Pequena com relação a que? A constante κ possui dimensão de inverso
de tempo e nas expressões das equações de movimento esta constante aparece multiplicando o tempo no argumento da exponencial. Podemos então considerar a constante κ
muito pequena com relação ao tempo de voo do projétil.
4
Para obter a expansão em série de potências de uma dada função, pode-se utilizar a
śerie de Taylor para
f (x0 + x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )∆x +
1 00
f (x0 )(∆x)2 + · · ·
2!
com
∆x = x − x0
dn f f n (x0 ) =
dxn x=x0
2.4. AS EQUAÇÕES DE MOVIMETO DE UMA PARTÍCULA.
119
Para calcular a coordenada xi , para a qual a altura do projétil será
máximapode-se, como antes, calcular os pontos de inflexão da curva y(x).Fazendo
isto obten-se que
d g
κ
dy(x)
κx(t)
=0=
+
Y
ln
1
−
0
dx
dx κ2
U
U
κ
g −U
κ
= 2
+
Y
0
κ 1 − κx(t)
U
U
1
κ
g
+ Y0 =⇒
=−
κ U − κx
U
2
1
κ
= Y0
=⇒
U − κx
gU
U
gU
κ2 Y0 − g
xi = − 3 =
U.
κ
κ Y0
κ3 Y0
Novamente, como de praxe, resumi-se o resultado
xi =
κ2 Y0 − g
U
κ3 Y0
Quando a coordenada x assume o valor xi o projétil terá alcançado sua altura máxima. O tempo transcorrito até este ponto pode ser obtido utilizandose a equação horária da coordenada x(t) :
v0 cos θ
1 − e−κt =⇒
κ
U
κ2 Y0 − g
−κTymax
xi =
U
=
1
−
e
=⇒
κ3 Y0
κ
κ2 Y0 − g
1 − e−κTymax =
=⇒
κ2 Y0
κ2 Y0 − g
g
−κTymax = ln 1 −
= ln 2 =⇒
2
κ Y0
κ Y0
1
κV
Tymax = ln 1 +
.
κ
g
x(t) =
A expressão
Tymax
1
κV
= ln 1 +
κ
g
representa o tempo transcorrido desde o lançamento do projétil até o momento em que ele atinge a altura máxima ymax . Pode-se comparar este
120CAPÍTULO 2. MECÂNICA NEWTONIANA - DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA.
Figura 2.9: Tempo de voo T em função do coeficiente κ. Condições Iniciais
v0 = 2000m/s, θ = 55o , g ∼ 10m/s2 .
resultado com aquele obtido na descrição do movimento do projétil sem
atrito, para isto faz-se novamente a expansão do logarítimo obtendo-se
Tymax
n
∞
κV
κV
1
1X
n+1 1
ln 1 +
(−1)
=
=
κ
g
κ n=1
n
g
2
V
κ V
=
−
+ O(k 2 ).
g
2 g
O primeiro termo do segundo membro é exatamente a expressão do tempo
necessário para alcançar a altura máxima no movimento sem atrito. Note
que na expansão acima a contribuição do proximo termo é negativa fazendo
com que o tempo necessário para atingir a altura máxima diminua.
No gráfico 2.9 representa-se a influência da resitência do ar no tempo
de voo.
Devido ao movimento em um meio com atrito, o movimento do projétil
não é mais simétrico com relação a posição xi (ou ao tempo Tymax ) como
acontece no movimento em um meio sem atrito. Isto significa que para se
calcular o alcançe máximo é necessário achar as raízes da equação y(x) (
ou da equação y(t)):
2.4. AS EQUAÇÕES DE MOVIMETO DE UMA PARTÍCULA.
121
κx(t)
g
κx(t)
+ Y0
=⇒
y(x) = 0 = 2 ln 1 −
κ
U
U
U g
κx(t)
x=−
.
ln 1 −
Y0 κ3
U
O ponto x = 0 é solução da equação anterior, como é esperado porque
em t = 0 a posição do projétil é a origem (0, 0) do sistema de coordenadas. O outro ponto é obtido da solução da equação anterior que é uma
equação transcendental. Esta equação não possui solução que se reduz a
quadraturas, ou seja só é possível a solução numérica.
Utilizando o mesmo procedimento para o cálculo do ponto xi e to tempo
Tymax obtem-se a expressão
#
"
2
3
4
1 κx(t)
1 κx(t)
U g
κx(t) 1 κx(t)
−
−
+ O(κ5 )
x=−
−
−
3
Y0 κ
U
2
U
3
U
4
U
#
"
2
3
4
gU
1 κx(t)
1 κx(t)
κx(t) 1 κx(t)
= g+κv0 sin θ
+
+
+ O(κ5 )
+
3
U
2
U
3
U
4
U
κ
κ2
#
"
2
3
4
2
3
gU
κ x(t)
κ x(t)
x(t) κ x(t)
=
+
+
+ O(κ4 ) =⇒
+
g + κV
U
2
U
3
U
4
U
"
#
2
4
3
g
U
x(t) κ x(t)
κ2 x(t)
κ3 x(t)
1=
+
+
+
+ O(κ4 )
g + κV x(t) U
2
U
3
U
4
U
"
#
2
κ x(t)
g
κ2 x(t)
1+
=
+
+ O(κ3 ) =⇒
g + κV
2
U
3
U
2
Vκ
κ x(t)
κ2 x(t)
1+
=1+
+
+ O(κ3 ) =⇒
g
2
U
3
U
"
#
2
2U V κ κ2 x(t)
x(t) =
−
+ O(κ2 ) .
κ
g
3
U
Esta expressão pode ser apresentada em função do alcance máximo para o
movimento sem atrito, como
x ∼ xmax −
2 x2
κ
3U
na qual somente as contribuições lineares na constante κ foram considera-
122CAPÍTULO 2. MECÂNICA NEWTONIANA - DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA.
das. Para resolver esta equação podemos fazer iterações5 , numa primeira
aproximação tem-se
x ∼ xmax −
= xmax −
= xmax −
= xmax −
2 x2max
κ
3 U
2 4U 2 V 2
κ
3 U g2
4 2U V 2
κ
3 g2
4 xmax V
κ
3 g
Que resumidamente escrevemos como
xmaxatrito = xmax
4V
κ .
1−
3g
Desta equação conclui-se que o atrito diminui o alcance máximo, já que
V, κ e g são todas grandezas positivas. Para saber o quanto é necessário
substituir valores nesta equação ou se referir ao gráfico 2.8da trajetória que
mostra ser muito significativo o efeito do atrito.
Example 2.4.7. Movimento de uma partícula em um campo eletromagnético uniforme e constante[3]. Integre as equações de movimento para
uma partícula de massa m e carga elétrica e em movimento em um campo
eletromagnético externo cujos vetores E e B são
E = Ex0 i + Ey0 y + Ez0 z,
B = B0 k.
A geometria do exemplo esta esquematizad na figura 2.10
5
O método iterativo consiste em susbstituit iterativamente um valor conhecido da função para recursivamente aproximar-se mais e mais de um valor mais preciso. Para ilustrar
este procedimento considere a função composta
f (x) = g[f (x)]
e suponha conhecido o valor de f (x) no ponto x0 ,ou seja f (x0 ) ≡ f0 , então como uma
primeira aproximação para o valor de f (x) obtem-se
f1 = g[f0 ],
2.4. AS EQUAÇÕES DE MOVIMETO DE UMA PARTÍCULA.
123
Figura 2.10: Partícula de massa m e carga elétrica e em um campo eletromagnético externo.
A força externa que atua na partícula é a força de Lorentz
F = e (E + v × B)
= e (Ex0 i + Ey0 j + Ez0 k) + e(vy i − vx j)B0
= e (Ex0 + vy B0 ) i + e (Ey0 − vx B0 ) j + eEz0 k.
Em termos das componentes estas equações são
e
dvx
=
(Ex0 + vy B0 ) ,
dt
m
dvy
e
=
(Ey0 − vx B0 ) ,
dt
m
e
dvz
= Ez0 .
dt
m
Note que as equações diferenciais para vx e vy são acopladas enquanto que
a equação para vz pode ser integrada diretamente. As condições iniciais
são:
(
r(0) = r0 ,
t = 0,
v(0) = v0 .
para uma seguando iteração obten-se
f2 = g[f1 ] = g[g[f0 ]]
e assim sucessivamente.
124CAPÍTULO 2. MECÂNICA NEWTONIANA - DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA.
com r0 e v0 vetores constantes.
Integrando a equação para a componente z obtem-se
vz (t) = vz0 +
e
Ez0 t
m
uma nova integração fornece
z(t) − z0 = vz0 t +
1 e
Ez0 t2
2m
.
Para se integrar as componente x e y das equações diferenciais, introduz-se
a mudança de variáveis
Ex0
Vy ≡
+ vy ,
B0
Ey0
Vx ≡
− vx .
B0
Nestas novas variáveis as equações anteriores tornam-se
dVx
eB0
=
Vy ≡ ωVy ,
dt
m
eB0
dVy
=−
Vx ≡ −ωVx .
dt
m
Multiplicando a primeira equação por Vx , a segunda por Vy obten-se que
1d
Vx2 + Vy2 = 0 =⇒ Vx2 + Vy2 = Constante .
2 dt
Esta quantidade é uma constante de movimento que pode ser útil para a
integração das equações anteriore. Entretanto, será considerado um outro
método: multiplica-se a primeira equação po ı, adiciona-se as duas para
obter
ı
ı
dVx dVy
+
= ıωVy − ωVx =⇒
dt
dt
d
(Vx − ıVy ) = −ω (Vx − ıVy ) .
dt
Definindo uma nova variável
Vz ≡ Vx − ıVy ,
obten-se diretamente que
Vz (t) = Vz0 e−ωt ,
2.4. AS EQUAÇÕES DE MOVIMETO DE UMA PARTÍCULA.
125
da qual segue que
Vx − ıVy = (Vx0 − ıVy0 ) [cos(ωt) − ı sin(ωt)] =⇒
Vx = Vx0 cos(ωt) − Vy0 sin(ωt),
Vy = Vy0 cos(ωt) + Vx0 sin(ωt).
Note que
2
2
Vx2 + Vy2 = Vx0
+ Vy0
= Constante.
As equações diferencial para x(t) e y(t) podem agora ser resolvidas, para
isto reescreve-se Vx e Vy novamente em função das antigas variáveis obtendo
Ey0
− vx = Vx0 cos(ωt) − Vy0 sin(ωt) =⇒
B0
Vx0
Vy0
γy t − [x(t) − x0 ] =
sin(ωt) +
cos(ωt),
ω
ω
analogamente,
Vx0
Vy0
sin(ωt) −
cos(ωt).
γx t + [y(t) − y0 ] =
ω
ω
As novas constantes introduzidas forma definidas como
Ex0
,
B0
Ey0
γy ≡
.
B0
γx ≡
As formas destas equações são apropriadas para se encontrar a equação da
trajetória. De fato o parâmetro t não pode ser eliminado destas equações,
mesmo assim é possível encontrar a forma da curva calculando
2 2
Vx0
Vy0
2
2
,
{γy t − [x(t) − x0 ]} + {γx t + [y(t) − y0 ]} =
+
ω
ω
que é a equação de uma ciclóide com centro em
x(y) = x0 + γy t,
y(t) = y0 − γy t,
e raio
s
R
=
=
1
ω
2
Vy0
+
ω
s
2 2
Ey0
Ex0
− vx0 +
+ vy0 .
B0
B0
Vx0
ω
2
126CAPÍTULO 2. MECÂNICA NEWTONIANA - DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA.
Figura 2.11: Trajetória gerada pelas curvas paramétricas x(t), y(t) e z(t)
O centro da curva está em movimento uniforme nas direções x e y enquanto que ao longo de z há aceleração, como pode se ver da equação para
a componente z(t). Este é um exemplo de uma curva que possui curvatura e
torsão. Para se verificar se esta curva é uma hélice, é necessário calcular-se
a razão curvatura/torsão: κ/τ. Isto não será considerado aqui.
Explicitando a posição x e y da partícula obtem-se
Vy0
Vx0
sin(ωt) −
cos(ωt)
ω
ω
Vy0
Vx0
[y(t) − y0 ] =
sin(ωt) −
cos(ωt) − γx t
ω
ω
[x(t) − x0 ] = γy t −
Na figura 2.11 apresenta-se o gráfico gerado pelas três curvas paramétricas
x(t), y(t) e z(t). Os valores escolhidos para as constantes e condições iniciais são apenas ilustrativos, entretanto o comportamento da curva não é
alterado.
2.5
Teoremas de Conservação
Utilizando as equações de Newton pode-se obter equações que representam
variáveis dinâmicas que se conservam sob determinadas condições. A estas
equações dá-se o nome de Teoremas de Conservação.
2.5. TEOREMAS DE CONSERVAÇÃO
127
O primeiro teorema de conservação a ser considerado é do momento
linear de uma partícula. Denomina-se partícula livre aquela não esta sob a
ação de forças ou que a resultante das forças que atuam sobre ela é nula.
Para este caso segue diretamente da Primeira Lei de Newton que
=F=0
ˆ
tf
ti
dp
= F = 0 =⇒
dt
dp
dt = 0 =⇒ p(tf ) = p(ti ).
dt
Theorem 2.5.1. O momento linear total de uma partícula é conservado se a
resultante das forças que atuam sobre ela for nula.
A expressão para a conservação do momento é uma equação vetorial
o que significa que se a força total se anular, as três componentes do momento linear se conservam. Entretanto uma situação particular pode acorrer. Considere uma vetor unitário constante e, então
dp
·e
dt
d(p · e)
.
=
dt
F·e=
Se a força na direção do vetor unitário se anular, F · e , então a componente
do momento linear p · e será conservada:
p · e = constante.
(2.5)
O momento angular de uma partícula com relação a origem O do sistema
de coordenadas S é definido como
L = r × p,
(2.6)
e o torque N que atua sobre uma partícula, localizada a uma distância r da
origem O do sistema de coordenadas é definido pela equação
N = r × F.
(2.7)
A variação temporal do momento angular, eq. (2.6), é
dL
d
=
(r × p) = v × p + r×p
dt
dt
= 0 + N,
(2.8)
128CAPÍTULO 2. MECÂNICA NEWTONIANA - DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA.
portanto a variação do momento angular no tempo é igual ao torque N que
atua na partícula. Se o torque se anular obtem-se que
dL
= 0 =⇒
dt
L(tf ) = L(ti ),
portanto o momento angular da partícula é conservado. Este resultado é
estabelecido como um
Theorem 2.5.2. Se não houver torque atuando sobre uma partícula, o seu
momento angular é conservado.
A escolha da orientação do sistema de coordenadas é importante, como
já visto anteriormente, e pode simplificar em muito a solução de um dado
problema. Por exemplo se a origem do sistema de coordenadas coincidir
com a posição da partícula sobre a qual atua uma força F o momento
angular será conservado.
Define-se o trabaho associado a uma dada força F que atua sobre uma
partícula fazendo com que ela se desloque da configuração 1 à configuração
2 como
ˆ 2
F · ds.
W12 ≡
(2.9)
1
Se F é a resultante das forças que atuam sobre a partícula, pode-se escrever
F · ds = F · vdt
dv
· vdt
=m
dt
1d 2
=m
(v )dt
2 dt
d
= T dt,
dt
onde defini-se uma nova quantidade chamada de energia cinética
1
T ≡ mv 2 .
2
Com esta expressão, o trabalho pode ser reescrita como
ˆ 2
d
W12 =
T dt
1 dt
= T |tt21 =
= T2 − T1 .
(2.10)
2.5. TEOREMAS DE CONSERVAÇÃO
129
Figura 2.12: Diferentes trajetórias de integração
Se
T2 < T1 =⇒ W12 < 0 a partícula realiza trabalho .
(2.11)
Neste caso a partícula realiza trabaho como consequência da diminuição
de sua energia cinética. É necessário reforçar que a força F que atua sobre
a partícula é a resultante de todas as forças que atuam sobre ela.
Considere a expressão integral que define o trabalho calculada desde a
posição 1 até a posição 2, ao longo de diferentes curvas ou trajetórias como
esquematizado na figura 2.12.
Para um tipo particular de campo, a integral terá o mesmo valor para
qualquer trajetória entre os pontos 1 e 2. Campos para os quais esta condição é satisfeita são chamados de campos irrotacionais ou conservativos,
por examplo considere que o campo F satisfaz
∇ × F = 0,
F é um campo conservativo
(2.12)
Utilizando um bem conhecido teorema vetorial
∇ × F = 0 =⇒ F = −∇U,
onde U é um campo escalar e o sinal negativo foi escolhido por mera conveniência. Podemos, para campos conservativos, reescrever a equação que
defini o trabalho como
ˆ 2
W12 =
F · ds.
1
ˆ 2
=−
∇U · ds
(2.13)
1
ˆ 2
=−
dU
1
= U1 − U2 .
130CAPÍTULO 2. MECÂNICA NEWTONIANA - DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA.
Nesta expressão o sinal do trabalho é diferente daquele que relaciona W12
com a energia cinética. Suponha que
U1 < U2 =⇒ W12 < 0,
(2.14)
o que está de acordo com a expressão de W12 expresso em função da energia cinética. Entretanto neste caso o valor do campo escalar é menor na
posição 1, enquanto que na eq. (2.14) a energia cinética é maior nesta
posição ( configuração).
Um exemplo muito simples e familiar que permite -se identificar o campo
U é considerar o campo vetorial F como uma força constante, por exemplo
a força constante exercida pelo campo gravitacional g em uma partícula de
massa m,
F = mg = mg(−k),
e para este caso, a expressão do trabalho será
ˆ
2
mg · ds
ˆ 2
dz = −mg(z2 − z1 ).
= −mg
W12 =
1
1
que pode ser reescrito como
mg(z1 − z2 ) = U1 − U2 .
Suponha que a origem do sistema de coordenadas esteja no solo e que a
posição inicial da partícula, 1, também seja o solo z1 = 0, nestas condições
obtem-se que
−mgz2 = U1 − U2 ,
que significa que
U2 > U1
e portanto a energia potencial da partícula na posição 2 é maior do que sua
energia potencial na posição 1.
De forma geral o campo escalar U = U (r, t) também pode depender da
velocidade. Entretanto nesta discussão será considerado somente campos
escalares conservativos o que significa que
U = U (r).
2.5. TEOREMAS DE CONSERVAÇÃO
131
Defini-se a energia total E de uma partícula como a soma de sua energia
cinética e potencial:
E ≡T +U
(2.15)
A variação no tempo da energia total é
dE
dT
dU
=
+
.
dt
dt
dt
Por clareza calcula-se cada termo separadamente:
dT
= mv · a = p · a;
dt
enquanto que
dU
∂U
∂U
=
·v+
dt
∂x
∂t
∂U
= ∇U · v +
∂t
∂U
= −F · v +
.
∂t
Substituindo estas expressões naquela da energia obtem-se que
∂U
dE
= p·a−F·v+
dt
∂t
∂U
=
.
∂t
Se acontecer da energia potencial não depender explicitamente do tempo,
a energia total do sistema será conservada. Este resultado é estabelecido
como um teorema.
Theorem 2.5.3. A energia total E de uma partícula é conservada em um
campo de força conservativo.
Já vimos que um campo de força é denominado conservativo se o seu
rotacional se anula, esta condição é satisfeita para campos independentes
do tempo.
Até a presente data o teorema da conservação da energia tem sido verificado, mesmo para o campo eletromagético, nuclear etc. Além de ser
verificado a validade deste teorema em diversos campos da física, seu estabelecimento levou a descoberta de novas partículas nos experimentos de
física de partículas elementares.
132CAPÍTULO 2. MECÂNICA NEWTONIANA - DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA.
Figura 2.13: Disco de raio R que gira com velocidade angular constante ω0
Em 1930 Wolfgang Pauli (1900-1958) postulou a existência de uma nova
partícula, posteriormente denominada de neutrino, para explicar a deficiência de energia e momento no decaimento radioativo β. Este decaimento
é representado pela equação:
n −→ p + e− + ν−
p + Energia −→ n + e+ + ν+
Example 2.5.4. Como um exemplo da aplição da conservação do momento
angular, considere um disco com momento de inércia I e raio R que gira
com velocidade angular constante ω0 . Subtamente joga-se um corpo de
mass m na borda do disco. Calcule a velocidade final do sistema.
A figura 2.13 contém uma representação esquemática do exemplo.
O momento angular L para uma partícula puntiforme pode ser escrito
em função da velocidade angular ω0 como
L=r×p
= r × (mv)
= r × (mω × r)
= m ωr2 − r (ω · r) .
O segundo termo do segundo membro da última equação é nulo, ω · r = 0
para o eixo de rotação alinhado ao longo do eixo principal de inércia (isto
2.5. TEOREMAS DE CONSERVAÇÃO
133
sempre acontece para uma partícula). Neste caso a expressão do momento
angular se torna
L = mr2 ω
= Iω.
Na expressão anterior definiu-se a quantidade I
I ≡ mr2
(2.16)
denominada de momento de inércia.
A conservação do momento angular impõe que
L(tf ) = L(ti )
que aplicada a este caso fornece
Ldf + Lm = Ldi
(Id + Im ) ω = Id ω0 =⇒
I
ω0 .
ω=
I + mR2
O momento de inércia da massa m é fácilmente calculado
Im = mR2 .
2.5.1
Energia
A compreensão atual do conceito de energia não é a que se se tinha na
época de Newton. Para uma discussão detalhada veja a referência XXX.
Considere uma partícula puntiforme sob a influência de uma força conservativa derivada de uma energia potencial U . O teorema 2.5.3 é formulado como
1
(2.17)
E = mvx2 + U (x)
2
para uma partícula com um grau de liberdade. Desta expressão pode-se
isolar a velocidade, uma vez que E é constante, e escreve-la como
r
2
vx = ±
[E − U (x)],
m
que por sua vez, considereando que vx = dx/dt, pode ser rescrita como
r
dx
2
=±
[E − U (x)],
(2.18)
dt
m
134CAPÍTULO 2. MECÂNICA NEWTONIANA - DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA.
que integrada desde t0 = t0 até t0 = t torna-se
ˆ x
du
q
,
t − t0 = ±
2
x0
[E − U (u)]
m
(2.19)
onde assumiu-se as condições iniciais
x(t0 ) ≡ x0 .
Formalmente, encontrou-se a solução da equação diferencial de primeira
ordem (2.18), ou seja encontrou-se x(t). Este é um exemplo da importância
de se conhecer as quantidades conservadas de um sistema. Isto possibilita,
em princípio, encontra-se mais facilmente a solução dinâmica ou seja determinar x(t). Veja que o problema foi reduzido do problema de uma equação
diferencial de segunda ordem -a solução da equação de movimento- para
um de primeira ordem: a solução de uma equação diferencial de primeira
ordem ou a integral primeira do movimento.
Posteriormente a equação (2.19) será aplicada para encontrar a solução
da equação de movimeno para uma partícula sob a influência de um campo
U (x) = 12 kx2 , o oscilador harmônico unidimensional e U (x) = −k/x que
corresponde ao também importante problema da dinâmica de duas partículas interagindo via força gravitacional.
Pode-se obter muitas informações da equação (2.19) sem mesmo integrála. Notando que
1
T = mv 2 ≥ 0
2
e que
E = T + U (x) =⇒ E − U = T ≥ 0
e portanto todos os movimentos físicos ocorrerão para raízes reais no argumento da integral. Para analisarmos o comportamento desta integral é
mais apropriado olharmos o gráfico da figura 2.14.
Nesta figura está esquematizada a função energia potencial U (x) como
função da distância. As retas E0 , E1 , E2 , E3 , e E4 representam diferentes
valores, constantes, da energia total de uma dada partícula submetida ao
potencial U (x). Também estão destacados alguns valores bastante característicos da coordenada x.
Para se discutir este gráfico introduz-se a seguinte nomenclatura:
2 
d U

estável
>0

dx2

x=xe

d2 U
=0
• ponto de equilíbrio: dU
= 0, é neutro
dx2
dx x=xe
x=xe



d2 U
instável
<0
dx2
x=xe
2.5. TEOREMAS DE CONSERVAÇÃO
135
Figura 2.14: Energia Total, Cinética e Potencial
• pontos de retorno: nestes pontos a energia cinética é nula, a energia
total é igual a energia potencial e ocorre uma inversão de movimento
da partícula.
• movimento periódico: quando o intervalo de valores da posição x(t)
está entre dois pontos de retorno, x(t) ∈ ∆x e ∆x = [xr1 , xr2 ].
• movimento limitado: quando está restrito entre dois pontos de retorno. .
Para uma partícula com energia total E0 , o ponto x0 um ponto de equilíbrio
estável. Esta partícula não possui energia cinética, T = 0 e sua energia total
é igual a potencial E0 = U (x0 ), por isto ela permanecerá indefinidamente
em repouso neste ponto.
Já uma partícula com energia E1 = T + U (x) possui energia cinética
e potencial. No ponto x0 onde a energia potencial é mínima a energia
cinética será máxima, consequêntemente neste ponto a partícula atingirá
a sua velocidade máxima. O ponto x0 é um ponto de equilíbrio estável
como se pode facilmente se convencer da análise do gráfico. Os pontos xa
e xb são pontos de retorno, já que nestes pontos a energia cinética é nula
T = 0 e E1 = U (x). Nestes pontos ocorre a inversão do movimento, entre
estes pontos o movimento é limitado e periódico. Observa-se ainda que
o potencial é simétrico com relação ao ponto x0 o que significa que esta
simetria deverá ser refletida na equação de movimento de alguma forma.
Para uma partícula com energia E2 toda análise daquela com energia
E1 também se aplica para as duas regiões: xc ≤ x ≤ xd e xe ≤ x ≤
xf . Entretanto temos uma região curiosa, aquela para xd ≤ x ≤ xe . Uma
136CAPÍTULO 2. MECÂNICA NEWTONIANA - DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA.
Figura 2.15: Pontos de equilírio
partícula com energia total E2 que esteja inicialmente na região xc ≤ x ≤ xd
não pode se mudar para a região xe ≤ x ≤ xf porque não possui energia
suficiente para transpor a barreira de potencial de largura xd ≤ x ≤ xe
já que nesta região U (x) ≥ E. O curioso é que no contexto da mecânica
quântica isto pode acontecer e a este efeito dá-se o nome de tunelamento.
Caixa 2.1
2.5. TEOREMAS DE CONSERVAÇÃO
137
Faremos aqui algumas considerações mais detalhadas do gráfico da figura
2.14.
Para iniciar faz-se uma interpretação mais intuitiva dos pontos classificados
como pontos de equilíbrio estável, neutro e instável! Para isto considere a
figura 2.15 que esboça estes três pontos:
• equilíbrio estável: uma partícula inicialmente nesta posição tenderá
a retornar para este ponto se for deslocada a direita ou esquerda de
xes .
• equilíbrio neutro: uma partícula submetida a um potencial constante
permanecerá em qualque posição em que for colocada ou manterá o
seu estado de movimento inicial.
• equilíbrio instável: uma partícula que se encontra inicialmente na posição xin tenderá a se afastar deste ponto uma vez que for deslocada
desta posição.
Como afirmado anteriormente, uma partícula com energia total E2 , cujo
movimento esteja inicialmente restrio à região xc ≤ x ≤ xd não pode se
mudar para a região xe ≤ x ≤ xf porque não possui energia suficiente para
transpor a barreira de potencial de largura xd ≤ x ≤ xe já que nesta região
U (x) ≥ E. Isto acontece no contexto da mecânica clássica. No contexto
da Mecânica Quântica isto é possível e este fenômeno é denominado de
tunelamento.
O físico russo Gamov, utilizando um método aproximativo para se resolver
equações diferenciais de segunda ordem pode explicar o decaimento beta
nuclear. Classicamente este decaimento é proibido já que o neutron no
interior do núcleo atômico não pode decair via
n −→ p + e− + ν−
porque esta reação produz partículas com energia menor que a energia
da barreira nuclear. Para entender como isto ocorre é necessário utilizar
alguns conceitos novos e que estão de certa forma fora do constexto do
curso, mas são interessantes como ilustrações das previsões, limitações e
alterações de uma dada teoria.
Caixa 2.2
138CAPÍTULO 2. MECÂNICA NEWTONIANA - DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA.
O método WKB.
Não é possível em algumas linhas discutir este método, nem é este o objetivo aqui, mas somente espô-lo o mais brevemente possível. Considere uma
equação diferencial de segunda ordem da forma
d2 y
+ f (x)y = 0.
dx2
Busquemos uma solução da forma y(x) = eıφ(x) , neste caso
h
i
0
y 0 = ıeıφ(x) φ0 , y 00 = eıφ ıφ00 − φ 2
Substituindo na equação diferencial obtem-se que
ıφ00 − φ0 ² + f = 0.
Em primeira aproximação considera-se φ00 ∼ 0, portanto
ˆ p
p
0
f dx.
φ = ± f =⇒ φ = ±
Em segunda aproximação
φ00 =
d 0
1 f0
φ =± √ ,
dx
2 f
que substituida na eq. diferencial fornece
s
s
0
p
ı f0
ı
f
ı f0
√ .
± √ + f = φ02 =⇒ φ0 = ± ± √ + f = ± f 1 ±
2 f
2 f
2f f
Expandindo a raiz em potencias de f 0 /f obtem-se que
p
p
ı f0
ı f0
0
√
φ ∼± f 1+
=± f±
.
4f f
4f
Integrando esta equação obtem-se que
ˆ p
ı
φ(x) ∼ ±
f (x)dx ± ln f ,
4
e a solução aproximada é
y(x) ∼ eıφ(x) = e±ı
´√
f dx ± ln f 1/4
e
=
1
f
e±ı
1/4
´√
f dx
2.5. TEOREMAS DE CONSERVAÇÃO
139
Caixa 2.3
Tunelamento
Tunelamento significa passar através da barreira de potencial e não por
cima dela.O problema ou inconsistência do decaimento β nuclear é no contexto clássico relacionado a violação da conservação da energia: como pode
um próton ou neutron resultantes do decaimento β escaparem do núcleo
atômico se não possuem energia suficiente para passarem pela barreira de
potencial. No contexto clássico o próton ou neutron são partícula com posição momento e trajetórias totalmente bem definidas. Também a barreira de
potencial possui um limite (altura) bem definida, portanto classicamente a
partícula precisa ter uma energia total maior do que a da barreira de potencial para poder transpô-la. Na mecânica clássica não existe o princípio
da incerteza de Heisenberg.
Quânticamente a partícula pode tunelar, ou passar através. Para se cálcular a probabilidade de tunelamento utilizou-se um simples modelo onde
calcula-se a o coeficiente de transmissão para uma partícula em um poço de
potencial quadrado de largura a e profundidade −V0 . Gamov utilizou este
modelo e o método WKB para explicar o decaimento β como um exemplo de tunelamento uma vêz que o neutron no interior do núcleo atômico,
quando decai via n −→ p + e− + ν− produz partículas com energia menor
do que a da barreira de potencial nuclear.
Caixa2.4
140CAPÍTULO 2. MECÂNICA NEWTONIANA - DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA.
A equação de Schrodinger em uma dimensão e independente do tempo
pode ser escrita na forma
d2 ψ 2m
+ 2 [E − U (x)] = 0,
dx2
~
na aproximação do método de WKB possui como solução
ψ∼
2m
~2
1
1/4 e
[E − U (x)]
ı
´ q 2m
~2
[E−U (x)]dx
.
No núcleo atômico, a energia total dos prótons é menor que a energia da
barreira de potencial, E < U, e considerando que a energia potencial do
núcleo varia pouco para distâncias da ordem de a, obtem-se que
1 −
ψ ∼ 1/4 e
A
q
2m
[U −e]a
~2
,
o que fornece uma densidade de probabilidade pequena mas finita, da ordem de
q
1 −2 2m
[U −e]a
~2
|ψ|2 ∼ 1/2 e
A
que decai rapidamente para distâncias maiores que alguns raios nucleares
a.
Uma partícula com energia E3 tem seu movimento livre para x ≥ xg ,
por exemplo se a partícula se deslocar desde x = ∞ até o ponto x = xg , a
energia cinética T da partícula em x = ∞ será totalmente convertida em
energia potencial no ponto x = xg quando ele para, reverte seu movimento
e retorna ao infinito. O ponto x = xg é um ponto de retorno para a partícula
com energia E = E3 .
Já a linha horizontal de energia E = E4 representa uma partícula livre
que pode mover-se em todo espaço x ≥ 0. Esta partícula não possui seu
movimento restrito portanto nem pontos de retorno. A energia total E4
desta partícula se conserva alternando entre cinética e potencial, ou seja
a velocidade diminui nas regiões em que a energia potencial é maior e
aumenta onde é menor.
É instrutivo considerar mais detalhadamente, mas de forma genérica,
a dinâmica de uma partícula com energia total E = E1 , da figura 2.14.
Mesmo sem conhecer o potencial pode-se considerar o comportamento da
função U (x) na vizinhaça do ponto de equilíbrio estável x0 . Portanto nestas
condições pode-se fazer a expansão do potencial escalar em série de Taylor
2.5. TEOREMAS DE CONSERVAÇÃO
141
com relação ao ponto x0 :
dU (x) U (x + x0 ) = U (x0 ) +
∆x
dx x−x0
1 d2 U (x) 1 d3 U (x) 2
+
(∆x) + +
(∆x)3 + O(∆x4 ).
2! dx2 x−x0
23! dx23 x−x0
Analisando cada termo: a primeiro termo do segundo membro, ou seja
U (x0 ) é um termo constante, portanto não altera a dinâmica do sistema; o
segundo termo representa a força que age na partícula no ponto x0 que é a
posição de equilíbrio, portanto este termo se anula
dU (x) = 0, posição de equilíbrio;
dx x−x0
o terceiro termo é um termo clássico! Ele representa a partícula sob a ação
de uma força linear, este termo corresponde ao potencial de um oscilador
harmônico simples, veja que, se o valor da derivada segunda no ponto x0
for constante obtem-se que
1
U (x + x0 ) = U (x0 ) + κ (∆x)2 + O(∆x3 ).
2
Pode-se simplificar ainda mais: fixe x0 = 0, U (x0 ) = U (0) = 0, a escolha
clássica, e pequenos deslocamentos com relação à posição de equilíbrio,
x0 = 0, para obter
1
U (x) = κx2 ,
2
d2 U (x) κ≡
dx2 x−x0
(2.20)
Para ver explicitamente a diferença ou analogia entre integrar as equações
de movimento, eq. (2.1), e a integral primeira de movimento, eq.(2.19)
discute-se alguns exemplos a seguir.
Example 2.5.5. Integre formalmente a Segunda Lei de Newton, eq. (2.1),
para depois considerar dois casos particulares com F = 0 e F = F0 ou seja
constante.
A expressão matemática de segunda lei é
F=
dP
dv
=m .
dt
dt
142CAPÍTULO 2. MECÂNICA NEWTONIANA - DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA.
Um integração formal significa transformar esta equação em uma integral.
Para isto considere os instantes iniciais e finais; t0 = t0 e t0 = t, uma primeira
integração fornecerá
ˆ
1
v(t) − v(t0 ) =
m
t
Fdt0 ;
t0
substituindo v = dr/dt, e considerando que v(t0 ) = v0 , uma nova integração fornecerá
1
r(t) − r(t0 ) = v(t0 )(t − t0 ) +
m
ˆ
ˆ
t
t00
Fdt0 .
00
dt
t0
t0
Se a partícula for livre, ou seja não estiver sobre a ação de forças, então
F = 0 e a equação anterior reduz-se a
r(t) = r(t0 ) + v(t0 )(t − t0 ),
que é a equação de uma partícula livre em movimento uniforme com velocidade constante v0 .
Se a força Fque atua na partícula for constante F = F0 e por simplicidade fixemos t0 = 0, a equação de movimento fornece
F0
r(t) =r0 + v0 t +
m
ˆ
1
= r0 + v0 t +
2
ˆ
t
t00
00
dt0
dt
0
F0
m
0
t2 .
que é a equação horária de uma partícula em movimento uniformemente
acelerado.
Na sequência obtem-se estes resultados utilizando-se a integral primeira
de movimento.
Example 2.5.6. Integre a equação (2.19) para F = 0 e F = F0 , com F0
uma força constante.
A integral primeira de movimento com F = 0 =⇒ U (r) = U0 onde U0 é
um potencial constante, em uma dimensão é
ˆ x
du
q
t − t0 = ±
,
2
x0
[E
−
U
]
0
m
2.5. TEOREMAS DE CONSERVAÇÃO
143
que pode ser integrada diretamente para t0 = 0, fornecendo
t = ±q
(x − x0 )
2
m
[E − U0 ]
,
ou na forma
r
2
[E − U0 ]t
m
= x0 ± vx0 t.
x = x0 ±
Note que a grandeza
r
2
[E − U0 ] =
m
s
2 1 2
mv
= vx0 .
m 2 x0
Para uma força constante F = F0 a energia potencial possui a forma U (x) =
F0 x, em uma dimensão. Substituindo na integral primeira de movimento
obtem-se que
ˆ x
du
q
.
t − t0 = ±
2
x0
[E
−
F
u]
0
m
Fazendo a mudança de variável ν ≡
se que
2
m
[E − F0 u] =⇒ dν = − m2 F0 du, obtem-
ˆ v
m
dν 0
√
t=∓
2F0 v0 ν 0
2m √ 0 v
=∓
ν
2F0
v0
√ m √
=∓
ν − ν0 .
F0
Esta equação pode ser invertida para expressar-se ν = ν(t):
2
√
F0
ν(t) = ∓ t + ν0
m
2
2F0 √
F0
= ν0 ∓
ν0 t +
t2 .
m
m
Substituindo de volta a expressão ν(t) =
2
m
[E − F0 x(t)] , e notando que
2
[E − F0 x(t)]
m
= v(t)2 ,
ν(t) =
144CAPÍTULO 2. MECÂNICA NEWTONIANA - DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA.
obtem-se que
2
2
2F0
F0
2
[E − F0 x(t)] = v0 ∓
v0 t +
t2 =⇒
m
m
m
1 1 2
1 F0 2
E
−
mv0 ± v0 t −
t.
x(t) =
F0 F0 2
2m
Note que obteve-se o mesmo resultado que anteriormente, porém foi necessário mais cálculos e interpretação das constantes que aparecem neste
procedimento.
Em alguns casos é mais fácil integrar a equação de movimento, em outros é mais fácil resolver a integral primeira de movimento.
Example 2.5.7. Potencial da molécula de amônia. Dado o potencial
2
U (x) = W e−x 4x4 − 8x2 − 1
descreva a suas características, encontre os pontos de máximos, mínimos e
2
assíntotas. Considere E = −W e−x0 e encontre os pontos de retorno.
O potencial da expressão acima é uma função par
U (x) = U (−x),
portanto U (x) possui simetria de reflexão com relação ao eixo y = U (x).
O zeros do potencial são as soluções da equação
U (x) = 0 =⇒
0 = 4x4 − 8x2 − 1 ⇐⇒
0 = 4y 2 − 8y − 1 =⇒
(
√
1+
8 ± 64 + 16
=
y=
2·4
1−
√
80
√8
80
8
√
=1+
=1−
5
,
√2
5
.
2
As raízes reiais de x são:
xi ∈ R,
q
√
 1 + 5,
q 2√
xi =
− 1 + 5 .
2
Os valores extremos ou pontos críticos do potencial, que fornecerão os pontos de equilíbrio são obtido da solução da equação
dU
= 0,
dx
fornecendo:
2.5. TEOREMAS DE CONSERVAÇÃO
145
• Pontos de extremos
1
x = 0, x = ± √ , x = ±
2
r
7
.
2
• Pontos de Mínimos
1
U 00 (x) > 0 função côncava x = ± √ .
2
• Máximos relativos
U 00 (x) < 0 função convexa x = 0.
• Máximos absolutos
r
00
x=±
U (x) < 0,
• Assíntotas
7
2
2
lim U (x) −→ e−x x4 −→ 0+ .
x−→±∞
Os pontos de equilíbrios são
• x = 0; U 00 (x) < 0 ⇔ equilíbrio instável,
q
• x = ± 72 ; U 00 (x) < 0 ⇔equilíbrio instável,
• x = ± √12 ; U 00 (x) > 0 ⇔equilíbrio estável.
2
Os pontos de retorno para E = −W e−xr . Este é um valor fixo da energia
total, ou seja é um número:
2
E = −W e−xr = T + U (x).
Os pontos de retorno de um movimento limitado são determinados da condição v = 0, portanto T = 0 e a energia total é totalmente potencial, esta
condição é dada pela equação
2
2
−W e−xr = U (x) = W e−x 4x4 − 8x2 − 1 ,
e segue desta equação que
4x4 − 8x2 = 0 =⇒ x2 − 2 = 0 =⇒
√
x =0, ± 2.
√
Os pontos x = 0, ± 2 são os pontos de retorno do sistema ligado com
2
energia E = −W e−xr < 0. O ponto x = 0 é também um ponto de equilíbrio
estável.
Na figura 2.16 faz-se uma representação esquemática do potencial U (x).
146CAPÍTULO 2. MECÂNICA NEWTONIANA - DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA.
Figura 2.16: Potencial da molécula de amônia
2.6
Os Limites de Validade da Mecânica Clássica.
PROBLEMAS
Problem 2.0.1. Uma partícula de massa m tem o seu movimento restrito
à superfície de uma esfera de raio R devido a ação de uma foraça F(θ, φ).
Escreva as equações de movimento.
Problem 2.0.2. Um projétil é lançado com velocidade inicial de módulo v0
. Ao lonfo de sua trajetória parabólica ele passa por dois pontos situados a
mesma altura h do solo. Mostre que se o lançamento é ajustado para ter o
alcance máximo, a distância entre os dois pontos é
q
v0
v02 − 4gh.
d=
g
Problem 2.0.3. Considere um projétil lançado verticalmente em um campo
gravitacional uniforme. Considere as mesmas condições iniciais para comparar o tempo necessário para alcançar a altura máxima não há atrito e
quando o atrito (resistência do ar) é proporcinal à velocidade instantânea
da partícula.
Problem 2.0.4. Uma partícula é lançada verticalmente para cima com velocidade inicial v0 em um campo gravitacional uniforme. Coonsiderando
que sobre a partícula atua uma força de atrito proporcional ao quadrado
da velocidade instantânea, mostre que a velocidade da partícula quando
retornar a posição inicial será de
v=q
v0 vf
v0 ² + vf2
onde vf é a velocidade final da partícula.
147
,
148CAPÍTULO 2. MECÂNICA NEWTONIANA - DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA.
Figura 2.17: Figura do problema 2.0.6
Problem 2.0.5. Mostre que a variação do momento angular no tempo com
relação a origem so sistema de coordenadas, de um projétil lançado da
origem do mesmo sistema de coordenadas é igual ao torque sobre o projétil,
com relação à origem.
Problem 2.0.6. Um bloco de massa m desliza sem atrito ao longo da curva
da figura 2.5. O bloco é lançado de uma altura h acima da base da curva.
(a) Qual é a força que a curva exerce no bloco no ponto A?
(b) Qual é a força no ponto B?
(c) Qual a velocidade do bloco quando ele deixa a curva?
(d) Qual a distância alcançada pelo bloco, com relação ao ponto A?
(e) Faça uma representação esquemática da energia potencial do bloco e
represente a curva de energia total.
Problem 2.0.7. Considere uma partícula com massa m e velocidade v =
α/x , com x = x(t) rfepresentando o deslocamento da partícula. Encontre
a força F (x) que atua na partícula.
2.6. OS LIMITES DE VALIDADE DA MECÂNICA CLÁSSICA.
149
Problem 2.0.8. A velocidade de uma partícula com massa m é v(x) =
αx−n . Dada as condições iniciais t = 0, x(0) = 0, v(x = 0) = 0, encontre a
força F (x), x(t) e F (t).
Problem 2.0.9. Uma partícula está em movimento em uma órbita plana
representada pelas equações paramétrica
x(t) = A (2αt − sin αt) ,
y(t) = A (1 − acosαt) .
(a) Calcule a aceleração tangencial at e normal an em função do tempo. As
componente tangencial e normal da aceleração são calculadas com
relação à velocidade.
(b) Calcule o tempo em que a aceleração an será máxima.
3
Problem 2.0.10. Uma partícula está submetida a uma força F = −kx+ kxα ,
com k e α são constantes e k > 0. Determine U (x) e discuta o movimento.
O que acontece se E = (1/4)kα2 ?
Problem 2.0.11. Considere o movimento de uma partícula sob a influência
do potencial
a x
U (x) = U0
+
,
x a
para x > 0. Faça um gráfico do potencial, encontre os pontos críticos e
verifique se são máximos ou mínimos.
Problem 2.0.12. Considere us sistema estelar formado por duas estrelas
de massas m1 e m2 separadas por uma distância d em movimento circular
ao redor de seu centro de massa. Mostre que o período T é proporcional a
d3/2 e encontre a constante de proporcionalidade. O que acontece se m1 =
m2 .
150CAPÍTULO 2. MECÂNICA NEWTONIANA - DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA.
Problem 2.0.13. De acordo com a relatividade especial, uma partícula de
massa de repouso m0 em movimento unidimensional sob a ação de uma
força F obedece a equação de movimento f = dp/dt. Onde
m0 v
,
p= q
2
1 − vc2
é o momento relativístico que se reduz a m0 v para (v/c)2 1. Considere F
constante, x(0) = 0, e v(0) = 0 para calcular x(t) e v(t).
Problem 2.0.14. Uma partícula de massa m move-se numa região de um
espaço unidimensional onde existe um potencial
x 2 x 4
U (x) = U0 2
−
; U0 , a > 0.
a
a
(a) Calcule a expressão da força F (x).
(b) Faça um gráfico da eneria potencial U (x). Encontre os pontos críticos
e classifique-os.
(c) Qual é a frequência angular ω de oscilação com relação ao ponto de
equilíbrio estável
Problem 2.0.15. Verifique qual das seguintes forças são conservativas. Encontre o potencial para as conservativas.
(a) Fx = ayz + bx + c,
(b) Fx = −ze−x ,
Fy = axz + bz,
Fy ln z,
Fz = axy + by,
Fz = e−x + y/z
(c) F = ar er , a, b, c são constantes.
Problem 2.0.16. Integre a equação (2.19) para o potencial de Morese
U (x) = U0 e−2αx − 2e−αx .
U0 e α são constantes. Considere os três casos, E < 0, E = 0, E > 0. Faça
um gráfico do potencial e classifique os pontos críticos.
2.6. OS LIMITES DE VALIDADE DA MECÂNICA CLÁSSICA.
151
Problem 2.0.17. Faça um gráfico do potencial
U (x) = −
U0
,
cosh2 αx
classifique os pontos críticos determine a lei de movimento utilizando a
integral primeira de movimento. Considere somente o valor da energia
total E < 0.
152CAPÍTULO 2. MECÂNICA NEWTONIANA - DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA.
Capítulo 3
Oscilações
3.1
Introdução
Neste capítulo será discutido o movimento oscilatório deuma partícula. Inicialmente será discutido o movimento harmônico unidimensional para em
seguida estender a discussão para casos mais gerais. Problemas de movimentos oscilatórios é muito importante, ele ocorre em praticamente todas
as áreas da Física, tanto na clássica quanto na quântica. Pode se dizer que
o oscilador harmônico simples, como um exemplo particular de um movimento oscilatório, serve como um laboratório para teste de novas idéias e
teorias.
Considere o movimento unidimensional de uma partícula com relação
a um ponto de equilíbrio estável. Pode-se obter a expressão da força F (x)
que atua na partícula quando considera-se pequenos deslocamentos com
relação a posição de equilíbrio. A expansão em série de Taylo fornece
1 d2 F dF ∆x +
(∆x)2 + O(x3 ).
F (x + x0 ) = F (x0 ) +
2
dx x=x0
2! dx x=x0
(3.1)
O ponto x0 é a posição de equilíbrio estável, portanto F (x0 ) = 0, assumindo
pequenos deslocamentos com relação à posição de equilíbrio x0 pode-se
manter somente termos lineares na expansão (3.1), obtendo-se
dF F (x + x0 ) ∼
∆x ≡ −k∆x.
dx x=x0
Por simplicidade considera-se x0 = 0, o que reduz a equação anterior à
F (x) = −kx.
153
(3.2)
154
CAPÍTULO 3. OSCILAÇÕES
Figura 3.1: Força restauradora
Nesta expressão o sinal negativo foi introduzido porque esta é uma força
restauradora, ou seja ela atua sempre de forma a restaurar a configuração
do sistema para a posição inicial, ou numa linguagem informal quando o
deslocamento quando x é positivo a força é negativa, para x negativo a
força é positiva, este argumento fica claro na linguagem vetorial
F = −kxi,
e na figura (3.1)
Esta expressão para a força restauradora é uma equação linear em x,
bastante simplificada para a descrição de sistemas oscilantes. Sistemas
físicos que satisfazem ou que podem ser aproximadamente descritos por
equações lineares obedecem a lei de Hooke.
3.2
O Oscilador Harmônico Simples
A equação de movimento para o oscilador harmônico simples pode ser obtida substituindo-se a equação (3.2) na equação de Newton F = ma:
− kx = mẍ =⇒
ẍ + ω02 x = 0.
Nesta equação foi definida a frequência angular
r
k
ω0 ≡
.
m
(3.3)
(3.4)
(3.5)
3.2. O OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES
155
De acordo com o apêndice B.4a solução desta equação, com β = 0, é
x(t) = Aeıω0 t + Be−ıω0 t
= (A + B) cos(ω0 t) + ı(A − B) sin(ω0 t)
= 2A cos(ω0 t)
= A cos(ω0 t).
(3.6)
Neste momento não será levada em consideração uma fase δ constante que
pode ser adicionada à equação, por exemplo x(t) = A cos(ω0 t ± δ), já na
descrição de um único oscilador a fase pode ser ajustada via condições
iniciais para ser nula. Entretanto, a fase é indispensável na descrição de
oscilações em duas ou mais dimensões.
A velocidade da partícula em movimento harmônico pode ser obtida da
solução (3.6)
vx (t) = ẋ = −ω0 A sin(ω0 t),
(3.7)
e com esta pode-se obter a expressão para a energia cinética
1
A2
T = mẋ2 =
mω02 sin2 (ω0 t) .
2
2
(3.8)
A energia potencial é
ˆx
U =−
1
A2
F · ds = kx2 =
mω02 cos2 (ω0 t),
2
2
(3.9)
0
e a energia total
1
1
E = T + U = mω02 A2 = kA2 .
(3.10)
2
2
Na figura 3.2 estão representados os comportamentos das energias cinética,
potencial e total.
O perídodo T do movimento, definido por
T =
1
2π
=
,
ν0
ω0
(3.11)
onde ν é a frequência linear do sistema, pode ser expresso em funçaão da
massa e constante elática, pela equação
r
m
.
(3.12)
T = 2π
k
156
CAPÍTULO 3. OSCILAÇÕES
In[4]:=
Plot@85 Sin@xD Sin@xD, 5 Cos @xD Cos @xD, 5<, 8x, 0, Pi<D
5
4
3
Out[4]=
2
1
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Figura 3.2: Energias cinética, potencial e total
Figura 3.3: Pendulo simples
Resumidamente temos
r
k
rm
1
1
k
ν0 = =
T
2π m
ω0 = 2πν0 =
Example 3.2.1. Pendulo Simples. Calcule o período de oscilações de um
pendulo simples composto de um fio inextensível de comprimento l e massa
m que oscila com pequenas amplitudes.
Basei-se se na figura 3.3 para calcular a força restauradora e a tensão
no fio.
A equação do movimento para este sistema é a equação (2.8). Na partícula de massa m atua um torque N resultante da força peso mg aplicada
a uma distância l do eixo de rotação situado na origem O do sistema de
coordenadas cilindricas. Este torque é dado pela expressão
N =mgler × (cos θer − sin θeθ )
= −mgl sin θk.
3.2. O OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES
157
O momento angular da partícula, com relação a origem O do sistema de
coordenadas é
L = ler × mveθ
= ml(lθ̇)k.
A equação de movimento é
θ̈ +
g
sin θ = 0.
l
Esta equação não possui solução analítica porque é não linear na variável
θ através da função sin θ. Entretanto se as amplitudes de oscilações forem
pequenas 1 pode-se utilizar a expansão em série da função sin θ :
sin θ =
∞
X
θ2n+1
,
(−)n
(2n
+
1)!
n=0
que para pequenos valores de θ pode ser aproximada para
sin θ ∼ θ,
que nesta condição reduz a equação de movimento a forma linear
θ̈ +
g
sin θ = 0,
l
a qual permite-se identificar a frequência e o perídodo do movimento como
θ̈ + ω02 θ = 0,
r
g
ω0 =
,
l
s
T = 2π
1
l
.
g
Pequenas amplitudes de oscilações significam pequenos desvios angulares (para θ medido em radianos) da posição de equilíbrio. Neste caso a aproximação sin θ ∼ θ pode
ser utilizada para 0 ≤ θ ≤ 0, 2 graus radianos, o que corresponde a aproximadamente
0 ≤ θ ≤ 11o
158
3.3
CAPÍTULO 3. OSCILAÇÕES
Oscilações Harmônicas em Duas Dimensões.
Um oscilador harmônico bidimensional pode ser representado por uma partícula de massa m em movimento em duas dimensões, portanto com dois
graus de liberdade, submetida a uma força restauradora linear
F = − (kx xi + ky yj) = −kr,
kx = ky ,
(3.13)
se as constates elásticas forem iguais.
A dinâmica do sistema é obtida resolvendo-se a equação de movimento
de Newton em coordenadas cartesianas ou polares.
3.3.1
Solução da equação de movimento (3.13) em coordenadas cartesianas
As equações de movimento em coordenadas cartesianas são obtidas decompondose as coordenadas polares da partícula nos eixos cartesianos x e y. Na forma
vetorial tem-se que
mr̈ = −kr,
ou
r̈ + ω02 r = 0.
A relação das coordenadas cartesianas com polares é
x = r cos θ,
y = r sin θ.
Escritas nas suas componentes, as equações do movimento são
ẍ + ω02 x = 0,
ÿ + ω02 y = 0.
(3.14)
Estas são equações de osciladores harmônicos independentes para cada um
dos graus de liberdade do sistema, as soluções, já calculadas anteriormente,
são
x(t) = A cos(ω0 t − α),
y(t) = B cos(ω0 t − β).
(3.15)
Estas soluções representa osciladores independente oscilando com mesma
frequência mas amplitudes e fases diferentes.
3.3. OSCILAÇÕES HARMÔNICAS EM DUAS DIMENSÕES.
159
Figura 3.4: Trajetorias para A = B e δ = 0, π, 2π, π/2, 3π/2, π/3, 2π/3
A equação para a trajetória da partícula não pode ser obtida diretamente, entretanto uma das soluções pode ser reescrita em função da fase
da outra, por exemplo
y(t) = B cos [ω0 t − α + (α − β)]
= B cos [(ω0 t − α) + δ] ,
onde foi definido
δ ≡ α − β.
(3.16)
A solução y(t) pode ser escrita como
y(t) = B cos(ω0 t − α) cos δ − B sin(ω0 t − α) sin δ
r
x 2
B
x(t) cos δ − B 1 −
sin δ =⇒
=
A
A
√
Ay − Bx cos δ = B A2 − x2 sin δ,
elevando ao quadrado obtem-se
A2 y 2 − 2ABxy cos δ + B 2 x2 cos2 δ = (AB)2 sin2 δ − B 2 x2 sin2 δ,
que pode ser reescrita como
x 2
A
−
y 2
2
xy cos δ +
= sin2 δ
AB
B
(3.17)
Na figura 3.4 estão representadas diversas trajetórias de mesma amplitude mas diferentes fases.
Como foi observado na equação (3.13) as constantes elastícas não necessáriamente devem ser iguais nas direções x e y, supondo que não sejam
a equação de movimento será
mr̈ = −(kx xi + ky yj)
160
CAPÍTULO 3. OSCILAÇÕES
Figura 3.5: Coordenadas polares de uma partícula sob a ação de uma força
F
que em componentes é
ẍ + ωx2 x = 0,
ÿ + ωy2 y = 0.
Neste caso as soluções destas equações são
x(t) = A cos(ω0x t − α),
y(t) = A cos(ωy t − β)
Na figura XXX estão representadas várias soluções para diferentes razões
de frequências mas mesmas amplitudes.
3.3.2
Solução da equação de movimento (3.13) em coordenadas polares.
Abordaremos este problema de duas formas: via equação de movimento e
via integral primeira de movimento.
3.3.2.1
Solução via Equação de Movimento
Considere a figura 3.5 na qual está esquematizada uma partícula de massa
m a uma distância r da origem do sistema de coordenadas polares. A
partícula esta submetida a uma força restauradora linear F.
3.3. OSCILAÇÕES HARMÔNICAS EM DUAS DIMENSÕES.
161
A equação de movimento em coordenadas polares pode ser escrita utilizandose as equações (1.156) e(2.1):
h
i
m (r̈ − rθ̇2 )er + (2ṙθ̇ + rθ̈)eθ = −krer ,
(3.18)
que nas componentes é
r̈ − rθ̇2 = −
k
r,
m
2ṙθ̇ + rθ̈ = 0.
Este é um resultado interessante. A segunda equação pode ser integrada,
par isto divide-se a mesma por rθ̇ para obtendo
ṙ θ̈
2 +
= 0.
r θ̇
Considere a derivada temporal da função
d 2
rṙ θ̈
ln r + A + ln θ̇ + B = 2 2 + ,
dt
r
θ̇
que fornece exatamente a segunda equação de movimento, portanto
ln r2 + ln θ̇ + A + B,
(3.19)
é solução da componente angular da equação de movimento. Ela pode ser
reescrita como
r2 θ̇ = C =⇒
rv = C =⇒
mrv = L0 ,
portanto a constante C é proporcional ao momento angular, desta forma
pose-se escrever
L0 = mr2 θ̇
(3.20)
que torna explicita a conservação do momento angular da partícula. Na
equação anterior identificou-se C = L0 /m. Substituindo a expressão θ̇2 =
2
(L0 /mr2 ) na equação radial obtem-se que
r̈ − rθ̇2 = r̈ − r
k
C2
= − r =⇒
4
r
m
L20
k
= − r =⇒
2
3
mr
m
L20
k
r̈ − 2 3 + r = 0.
mr
m
r̈ −
162
CAPÍTULO 3. OSCILAÇÕES
Devido a conseervação do momento angular, pode-se utilizar esta equação
para fazer uma mudança de variável para simplificar a equação de movimento, para isto cosidera-se
r = r(θ(t)) =⇒
dr dθ
dr
dr
=
= θ̇
dt
dθ dt
dθ
L0 d 1
L0 dr
=−
;
=
mr2 dθ
m dθ r
d2 r
L0 d 1
d
−
= θ̇
dt2
dθ
m dθ r
2 2 L0
d
1
=−
.
2
mr
dθ
r
Substituindo na equação diferencial obten-se que
2 2 k
L0
1
L20
d
− r
=
0 =⇒
+
2
2
3
m
mr
dθ
r
mr
d2 1
1
3
− mk
0.
+
2 r =
L
2
0
dθ
r
r
A mudança de variável
u=
1
r
(3.21)
transforma a equação para a forma
mk 1
d2 u
+u− 2 3 =0.
2
dθ
L0 u
A solução desta equação pode ser uma combinação linear das soluções
s
1 −i(C2 +θ)
mk
u1 = − e
−4 2 + 2C1 e2i(C2 +θ) + e4i(C2 +θ) + C12 ,
2
L0
s
1
mk
u2 = e−i(C2 +θ) −4 2 + 2C1 e2i(C2 +θ) + e4i(C2 +θ) + C12 ,
2
L0
com
u = u1 + u2
1
= cos (θ + C2 )
2
s
1
cos (θ + C2 )
2
s
=
C12 + 2C1 e2i(C2 +θ) + e4i(C2 +θ) − 4
2
[C1 + e2i(C2 +θ) ] − 4
mk
.
L20
mk
,
L20
3.3. OSCILAÇÕES HARMÔNICAS EM DUAS DIMENSÕES.
163
Retornando à variável r e quadrando esta equação obtem-se que
4
mk
2
2i(C2 +θ) 2
−4 2
= cos (θ + C2 ) C1 + e
r2
L0
3.3.2.2
Solução via Integral Primeira de Movimento.
Para obtermos a expressão da integral primeira de movimento é necessário
escrever a expressão da energia total em coordenadas polares. Para isto
basta utilizar a equação (1.156) para escrever a energia cinética finalizando
com
1
1 2
2 2
E = m ṙ + r θ̇ + kr2 ,
(3.22)
2
2
que escrita em função do momento angular torna-se
1
1 E = m ṙ2 + r2 θ̇2 + kr2
2
2
2
1 L
1
1
+ kr2 ,
= mṙ2 +
2
2
2 mr
2
da qual isola-se a variável r
v"
#
u
u 2E L 2
ṙ = t
−
− ω02 r2 =⇒
m
mr
ˆr
t − t0 =
rh
r0
2E
m
−
dx
L 2
mx
−
ω02 x2
i.
Também pode-se encontrar a equação para a curva r = r(θ), para isto
utiliza-se novamente
L dr
ṙ =
mr2 dθ
que permite reescrever a energia total como
"
#
2
1
L dr
L2
1 2
E= m
+
+
kr
2
mr2 dθ
m2 r2
2
" #
2
1 mL2 1 dr
1 2
=
+
1
+
kr
2 m2 r2 r2 dθ
2
" #
2
1 L2
1 dr
1 2
=
+
1
+
kr ,
2 mr2 r2 dθ
2
164
CAPÍTULO 3. OSCILAÇÕES
da qual obtem-se que
s
mr 2
dr
2E
2 2
=r
− ω0 r
− 1 =⇒
dθ
m
L
ˆr
dx
q
θ − θ0 =
mx 2
2E
2 2
x
−
ω
−1
0
r0 x
m
L
Capítulo 4
Gravitação
4.1
Introdução
Em meados de 1966 Newton formulou e verificou numericamente a lei da
graviatação que ele publicou em seu livro Principia em 1687. Ele esperou
praticamente 20 anos para publicar seus resultados porque ele não conseguia justificar seu método numérico que funcionava considerando a terra
e lua como partículas puntiformes.
A lei da Graviatação Universal de Newton estabelece que todos partículas massivas atraem-se mutuamente com uma força diretamente proporcional
as massas das partículas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. Esta afirmativa pode ser escrita numa sentença matemática
como
mM
(4.1)
F = −G 2 er
r
com o sinal negativo indicando que a força é atrativa. O vetor unitário er
tem a direção da mass M para m. Uma forma mais rigorosa de apresentar
esta equação é definir um sistema de coordenadas e com relação a origem
localizar as duas partículas. Isto esta feito na figura 4.1
Nesta configuração a equação anterior deve ser reescrita como
F(rm ) = −G
mM
mM
(rm − rM ) .
2 e = −G
|rm − rM |
|rm − rM |3
(4.2)
A verificação experimental da validade desta lei e o cálculo da constante G
foi inicialmente feita pelo físico ingles Henry Cavendish (1731-1810). A experiência de Cavandish’s, descrita em vários textos de física básica, consiste
de uma balança de torsão com duas pequenas esferas fixadas nas extremidades de uma haste. As duas esferas são atraidas por outras duas grandes
165
166
CAPÍTULO 4. GRAVITAÇÃO
Figura 4.1: Sistema referência para força gravitacional
esferas que podem ser colocadas em cada lado das esferas menores. Veja a
representação idealizada deste experimento, esquematizado na figura 4.2
O valor mais preciso obtido para a constante G até aquela data era
G = (6, 6726 ± 0, 0008) × 10−11 N · m2 /kg 2 .
É interessante observar que apesar do valor da constanteG ser conhecido
desde àquela época, ele é conhecido com menos precisão que os valores
das constantes fundamentais mais modernas c, e, ~.
As espressões para a força de interação gravitacional apresentada nas
equações (4.1) e (4.2) naquelas formas foram escritas para partículas puntiformes. Para uma distribuição volumétrica contínua de massa, como
mostrada na figura (4.3) a expressão para a força de iteração gravitacional
pode ser escrita como
ˆ
mρ(r0 )er−r0 dv 0
,
F(rm ) = −G
|rm − r0 |2
onde ρ(r0 ) representa a distribuição volumétrica de matéria no ponto r0
e dv 0 é um elemento infinitesimal de volume centrado no ponto r0 . Por
exemplo, em coordenadas cartesianas 3 − d teremos dv 0 = dx0 dy 0 dz 0 .
Se ambas distribuições de matéria tiverem massas finitas ou seja m e
M , será necessário calcular duas integrais de volume.
A expressão da força possibilita a definição de um campo gravitacional
g como a força por unidade de massa que o corpo de massa M exerce sobre
uma partícula teste que é colocada em seu campo,
g(r) =
F
M
= −G 2 er .
m
r
(4.3)
4.1. INTRODUÇÃO
167
Figura 4.2: Experimento de Cavandish
Figura 4.3: Integral volumétrica da força de interação gravitacional
168
CAPÍTULO 4. GRAVITAÇÃO
Neste caso, por simplicidade a fonte de campo foi colocada na origem do
sistema de coordenadas. Para uma distribuição contínua e volumétrica de
matéria (carga) teremos
ˆ
g(r) = −G
ρ(r0 )er−r0 dv 0
.
|r − r0 |2
(4.4)
Note que em geral o vetor unitário er não é constante, ele depende das
variáveis de integração. A quantidade g tem dimensão de força por unidade
de massa que é igual a aceleração. De fato próximo a superfície da terra o
módulo de g é a quantidade que denominamos de aceleração gravitacional
constante. Medidas com um pendulo simples é suficiente para mostrar que
o módulo de g vale aproximadamente 9, 8m /s2 na superfície da terra.
4.2
O Potencial Gravitacional
O campo gravitacional é irrotacional
∇ × g = 0,
portanto pode ser escrito como o gradiente de um campo escalar o qual
denominamos Φ :
g = −∇Φ ,
(4.5)
o campo Φé o potencial gravitacional e possui dimensão de
L
ML L
[Φ] = [F ]
= 2
=
M
T M
2
L
= Energia/massa.
T
O campo gravitacional g depende somente da coordenada radial r e não
das coordenadas θ e φ, tal campo é denominado de campo central. Nesta
condição a equação (4.7) reduz-se a componente radial
g = −er
dΦ(r)
,
dr
que para uma partícula puntiforme de massa M dada pela equação (4.3)é
:
M
dΦ
−G 2 er = −er ,
r
dr
4.2. O POTENCIAL GRAVITACIONAL
que integrada fornece
ˆ
169
ˆ
r
dΦ 0
dr
0
rref dr
r
M 0
0 2 dr =⇒
rref r
M
M
Φ(r) − Φ(rref ) = G − G
.
r
rref
= G
O limite inferior de integração pode ser escolhido de forma a anular o valor
constante para o potencial no ponto de referência rref , isto depende da
forma da distribuição de matéria. Neste caso este ponto é o infinito
rref = ∞
(4.6)
pontanto
Φ(r) = −G
M
,
r
(4.7)
numa forma simplificada, entretanto quando nos referimos a um sistema
de referência com a carga num ponto r0 no espaço e o observador no ponto
r com relação à origem do sistema, a equação (4.7) deve ser escrita como
Φ(r) = −G
M
.
|r − r0 |
(4.8)
Esta expressão pode ser extendida para uma distribuição contínua e volumétrica
de matéria, da mesma forma que para a expressão da força:
ˆ
ρ(r0 )dv 0
Φ(r) = −G
.
(4.9)
|r − r0 |
Esta expressão geral pode descrever outras situações em que a matéria
esta distribuída numa superfície, linha ou ponto. Esta redução dimensional
pode ser feita de forma muito elegante com a utilização da função delta,
por exemplo

0
0
0

para uma dist. superf. mat.
σ(r )δ(z )dv ,
0
0
ρ(r )dv = λ(r0 )δ(y 0 )δ(z 0 )dv 0 ,
para uma dist. linear mat.


0
0
0
0
mδ(x )δ(y )δ(z )dv , para uma dist. puntiforme mat.
(4.10)
A expressão (4.10) foi escrita em coordenadas cartesianas somente como
ilustração, mas ele é válida em qualquer sistema de coordenadas ortogonais.
170
CAPÍTULO 4. GRAVITAÇÃO
Formalmente a equação (4.5) pode ser invertida como
g = −∇Φ =⇒
ˆ
−
g · ds = Φ(r) − Φ(rref ) = Φ(r),
Γ
ou resumidamente
ˆ
g · ds
Φ=−
(4.11)
Γ
Example 4.2.1. Considere a transformação da integral de volume quando
a matéria esta distribuída ao longo de um arco arbitrário, porem regular,
(uma curva regular). Neste caso teremos
ˆ
Φ(r) = −G
ˆ
= −G
ˆ
= −G
ˆ
= −G
ˆ
= −G
4.2.1
ρ(r0 )dv 0
|r − r0 |
λ(r0 )δ(y 0 )δ(z 0 )dv 0
|r − r0 |
λ(r0 )δ(y 0 )δ(z 0 )dx0 dy 0 dz 0
|r − r0 |
λ(x0 )dx0
−→
|r − x0 i|
λ(s0 )ds0
.
|r − s0 |
O Significado Físico do Potencial Gravitacional
O significado físico do potencial gravitacional torna-se claro quando considerase o trabalho dW 0 , por unidade de massa, realizado por um agente externo
sobre um corpo em um campo gravitacional para deslocá-lo de uma distância dr desde a posição r1 até a posição r2 com velocidade constante. 1 O
trabalho realizado pelo campo gravitacional sobre a partícula de massa m(
no campo gravitacional de uma partícula de massa M ) é
ˆ
W =
1
Fg · ds,
A condição de velocidade constante de fato esta implicita na definição de trabalho já
neste caso a força exercida pelo agente externo deve cancelar a força exercida pelo campo,
sendo assim esta observação pode parecer redundante.
4.2. O POTENCIAL GRAVITACIONAL
171
enquanto que o trabalho realizado pelo agente externo é
ˆ r2
0
(−Fg ) · ds
W =
r1
ˆ r2
Fg · ds
= −
r1
ˆ r2
∇Φ · ds
= m
r1
ˆ r2
dΦ
= m
r1
= m (Φ(r2 ) − Φ(r1 )) .
O trabalho realidado pelo agente externo contra o campo de forma que
a partícula se desloca com velocidade constante depende da diferença de
potencial entre os dois pontos r2 e r1 que são arbitrários. Na obtenção
da equação (4.7) utilizou-se a escolha do ponto de referência (4.6) para
anular a constante aditiva do potencial.
Se escolhermos o ponto r1 como o ponto de referência no infinito onde
o potencial se anula, poderemos interpretar a energia potencial do campo
no ponto r2 ≡ r como a energia potencial do campo naquele ponto já que
no outro éla é nula. Portanto a escolha
W 0 = U (r) = m (Φ(r) − Φ(rref )) = m (Φ(r) − 0) = mΦ(r)
inplica no seguinte significado para a energia potencial gravitacional:
A energia gravitacional U de uma partícula de massa m no campo externo
de uma partícula de massa M ( que gera o potencial gravitacional Φ) é igual
ao trabalho realizado por um agente externo, contra o campo gravitacional,
para deslocar a partícula desde sua posição no infinito rref = ∞onde o potencial é nulo, até a posição r onde o potencial vale Φ(r), e a energia
U (r) = mΦ(r) .
(4.12)
A força sobre um corpo é dada pelo negativo do gradiente da energia potencial gravitacional
F = −∇U.
(4.13)
A energia potencial, por definição, é sempre negativa, portanto ela atingirá
seu valor máxima que é zero somente quando r −→ ∞, isto significa que
sempre que trabalho for realizado for realizado sobre o corpo, sua energia
potencial aumentará.
172
CAPÍTULO 4. GRAVITAÇÃO
Sempre que uma partícula ou corpo for colocado em um campo gravitacional externo uma certa energia potencial existirá. Esta energia potencial
é a energia do campo, ela reside no campo! Porém costuma-se dizer que
esta energia é a energia do corpo, como usualmente se adota em diversos
livros textos.
Pode-se também considerar que a fonte de campo gravitacional tenha
uma energia potencial gravitacional intrinsica que é a energia potencial
necessária para formar o corpo, ou equivalentemente e inversamente a energia que deve ser fornecida para desmanchar uma certa configuração de
massa M com seus constituintes sendo levados a distâncias infinitas. Um
exemplo clássico é o da formação de uma estrela a partir de uma nuvem
de gás. As partículas do gás se atraem mutuamente via interação gravitacional, o gás é condensado e torna-se cada vez mais quente até a formação
da estrela quando a energia gravitacional é a responsável pelo início do
aquecimento interno da estrela.
Nos problema que serão tratados, não serão consideradas alterações na
estrutura intrinsica dos corpos pontanto a energia gravitacional intrínsica
não será considerada.
4.3
A Lei de Gauss e a Equação de Poisson
É muito interessante compararmos o campo gravitacional ao campo eletromagnético. A despeito do fato das duas interações serem de intensidades
muito diferentes, por exemplo considere a razão entre as forças de interação elétrica e gravitacional entre dois prótos a uma distância fixa r:
1 e2
4πε0 r2
m2p
Fg = −G 2 ,
r
FC =
portanto
FC
1
e2
=
Fg
4πε0 G m2
1011
∼ 9 × 10
6, 67
∼ 1, 3 × 1036 ,
9
1, 6 × 10−19
1, 6 × 10−27
2
que mostra ser a interação gravitacional absurdamente menor que a elétrica.
A força elétrica que é de carácter vetorial pode ser atrativa ou repulsiva, já
4.3. A LEI DE GAUSS E A EQUAÇÃO DE POISSON
173
Figura 4.4: Superfície arbitrária envolvendo uma massa m
a interação gravitacional, que também de carácter vetorial no contexto não
relativístico, é sempre atrativa. Entretanto devido as duas interações obdecerem as mesmas equaçãoes de movimento podemos estender a analogia
com o campo eletromagnético e construir as análogas as leis de Gauss e
Equação de Poisson para o campo gravitacional.
Considere uma superfície arbitrária com uma massa m em seu interior,
como esquematizado na figura (4.4)
O fluxo de qualquer campo vetorial V através de uma superfície fechada
arbitrária S é
˛
ΦV = V · nda,
onde n é o vetor unitário e normal à superfície S e da um elemento infinitesimal de área. Para o campo gravitacional g teremos
˛
Φg = g · nda,
(4.14)
que quando substituimos
g = −G
fornece
˛
m
er−r0
|r − r0 |2
m
G
er−r0 · nda
|r − r0 |2
˛
1
= −Gm
er−r0 · nda
|r − r0 |2
˛
er−r0 · r̂ 2
= −Gm
r sin θdθdφ.
|r − r0 |2
Φg = −
174
CAPÍTULO 4. GRAVITAÇÃO
Nesta expressão o elemento de área nda depende dos angulos θ e φ que não
são iguais aos angulos θ0 e φ0 da distribuição de massa m. De fato para se
fazer este cálculo em toda sua generalidade é necessário utilizar o teorema
de adição dos harmônicos esféricos. Entretanto a integral do fluxo pode ser
substancialmente simplificada colocando a massa m na origem do sistema
de coordenadas
r0 = 0,
e escolhendo a forma esférica para a superfície S. Neste caso o vetor
posição do observador r (que é o raio da superfície S) é o raio da superfície
esférica S:
˛
1 2
r sin θdθdφ
Φg = −Gm
|r|2
˛
= −Gm sin θdθdφ
(
−Gm4π, se a massa estiver no interior de S
=
0,
se a massa estiver no exterior de S
Se a massa estiver distribuida num volume V , a expressão anterior é generalizada par
(
´
−4πG V ρ(r0 )dv 0 , se a massa estiver no interior de S
Φg =
0,
se a massa estiver no exterior de S
Utilizando a expressão explicita para o fluxo Φg teremos
˛
ˆ
g · nda = −4πG
ρ(r0 )dv 0
(4.15)
V
que é a forma integral da Lei de Gauss. Utilizando o teorema da divergência
pode-se transforma a integra de superfície em uma integral de volume, para
obter
ˆ
ˆ
∇ · gdv = −4πG
ρ(r0 )dv 0 =⇒
V
V
ˆ
0
0
[∇ · g + 4πGρ(r )] dv = 0.
V
Esta expressão para que o integral se anule é necessário que o integrando
seja nula. Isto acontecerá se em cada ponto do interior do volume a quantidade ∇ · g for igual a quantidade 4πGρ(r0 ), ou seja
∇ · g = −4πGρ(r0 )
(4.16)
4.3. A LEI DE GAUSS E A EQUAÇÃO DE POISSON
175
Figura 4.5: Camada de massa com raio interno b e externo a
que é a forma diferencial da Lei de Gauss. Note que esta é uma equação
diferencial! Substituindo a equação (4.5) para g obtemos a equação de
Poisson
∇2 Φ = 4πGρ(r0 )
(4.17)
Example 4.3.1. Calcule o potencial gravitacional no interior e exterior de
uma camada de massa esférica com raio externo a e raio interno b. A
distribuição de matéria é uniforme entre os raios ae b. A configuração do
problema está esboçada na figura 4.5.
O potencial gravitacional será calculado nas duas regiões r> , para r > a
e r< para a região b < r < a. Isto pode ser feito via integração direta da
equação (4.9) ou devido a simetria do problema pelo cálculo do campo
gravitacional para depois integrá-lo utilizando a equação (4.11)para se
obter o potencial Este procedimento é mais trabalhoso, porém mais instrutivo. Em resumo, utiliza-se a lei de Gauss
˛
ˆ
g · nda = −4πG
ρ(r0 )dv 0
para o cálculo do campo g e
ˆ
r
Φ(r) = −
g · ds,
rref
para o cálculo do potencial gravitacional Φ. Os dois casos são tratados separadamente.
O CÁLCULO DOS CAMPOS
176
CAPÍTULO 4. GRAVITAÇÃO
(a). r > a
Para esta região a integral do fluxo (lado esquerdo do sinal de igualdade
na Lei da Gauss) fornecerá
˛
˛
g · nda = g(−n) · nda
˛
= g(r)r2 sin θdθdφ
= g(r)r2 4π,
enquanto que o lado direito será
ˆ
4
ρ(r0 )dv 0 =ρ0 π a3 − b3
3
Estas duas expressões fornecem
g(r) =
ρ0 (a3 − b3 )
,
3
r2
r=a
(4.18)
.
Para o interior da esfera:
(b). b < r < a.
Para esta região a integral do fluxo (lado esquerdo do sinal de igualdade
na Lei da Gauss) fornecerá
˛
˛
g · nda = g(−n) · nda
˛
= g(r)r2 sin θdθdφ
= g(r)r2 4π,
enquanto que o lado direito será
ˆ
ˆ r
1
0
0
ρ(r )dv =ρ0 4π
r2 dr = ρ0 4π (r3 − b3 )
3
b
Estas duas expressões fornecem
ρ0
g(r) =
3
O CÁLCULO DOS POTENCIAS
b3
r− 2
r
b5r5a
(4.19)
4.3. A LEI DE GAUSS E A EQUAÇÃO DE POISSON
177
O potencial para r = a
ˆ
ˆ
r
r
g · ds = −
Φ(r) = −
g(−r̂) · [−r̂(−dl)]
ˆ∞r
∞
g(−r̂) · [−r̂(−dl)]
=−
∞
ˆ r
ρ0 (a3 − b3 )
=
dr
r2
∞ 3
ρ0 (a3 − b3 )
=−
, r = a.
3
r
Entretanto utilizando
ρ0 =
m
,
− b3 )
4
π(a3
3
pode se escrever a expressão do potencial como
Φ(r) = −
Gm
.
r
A importância deste resultado é que nesta forma o potencial independe dos
raios da distribuição de matéria, ou seja independe de a ou b, indicando
que neste caso (r = a) o problema pode ser tratado como se toda a massa
estivesse concentrada em um ponto na origem do sistema de coordenadas.
Para o interior da esfera:
O potencial para b 5 r 5 a.
Este cálculo é mais interessante uma vez que deve ser feito desde o infinito (ponto onde o potencial é nulo) até a posição onde se quer calcular
o potencial.
178
CAPÍTULO 4. GRAVITAÇÃO
Apêndice A
Equações Diferencias de 2a
Ordem Inomogêneas.
Neste apêndice discutiremos uma classe de solução geral de equações diferenciais de segunda ordem, inomogêneas com coeficientes constantes. Para
isto será preciso, inicialmente introduzir o conceito de funções de Green.
A.1
Funções de Green em Uma Dimensão
Considere a equação diferencial de segunda ordem inomogênea
mẍ + αẋ + kx = F(t)
(A.1)
que será reescrita como
ẍ +
α
k
F(t)
ẋ + x =
,
2m
m
m
que com as definições
α
β≡
,
2m
r
ω0 ≡
k
,
m
F (t) ≡
F(t)
,
m
(A.2)
pode ser reescrita como
ẍ + 2β ẋ + ω02 x = F (t)
A transformada de Fourier para uma função genérica f (t) é
hp
i
2
ˆ∞
2 (t − t0 )
ω
−
β
sin
0
1
−β(t−t0 )
p
f (ω) = √
dteıωt f (t)
e
2π
ω02 − β 2
−∞
179
(A.3)
(A.4)
180APÊNDICE A. EQUAÇÕES DIFERENCIAS DE 2A ORDEM INOMOGÊNEAS.
e a inversa é
1
f (t) = √
2π
ˆ∞
dωe−ıωt f (ω).
(A.5)
−∞
Expressando x(t), ẋ(t) e f (t) em termos de suas transformadas de Fourier
e substituindo na equação (A.3) obtem-se que
1
√
2π
ˆ∞
dωe−ıωt
2
−ω − 2ıβω + ω02 x(ω) − F (ω) = 0,
−∞
o que implica em
x(ω) =
−ω 2
F (ω)
.
− 2ıβω + ω02
Substituindo esta expressão da transformada de Fourier inversa, equação
(A.5) obtem-se que
1
x(t) = √
2π
1
=√
2π
ˆ∞
dωe−ıωt x(ω)
−∞
ˆ∞
dωe−ıωt
−ω 2
−∞
F (ω)
.
− 2ıβω + ω02
Expressando F (ω) em função de sua transformação de Fourier, equação
(A.4), obtem-se que
1
x(t) =
2π
ˆ∞
ˆ∞
dt0
−∞
ˆ∞

dt0 
=
−∞
ˆ∞
0
dωeıω(t −t)
−∞
ˆ∞
1
2π
F (t0 )
−ω 2 − 2ıβω + ω02

0
dωe−ıω(t−t )
−ω 2
∞
1
 F (t0 )
− 2ıβω + ω02
(A.6)
dt0 G(t, t0 )F (t0 ).
≡
−∞
Na equação anterior definiu-se
1
G(t, t ) ≡
2π
ˆ∞
0
0
dωe−ıω(t−t )
−∞
1
−ω 2 − 2ıβω + ω02
(A.7)
A.1. FUNÇÕES DE GREEN EM UMA DIMENSÃO
181
Figura A.1: Contorno C para a integral da função de Green
Que é denominada de função de Green. Não faremos aqui um estudo detalhado das propriedades desta função. Isto pode ser encontrado nas referências 1, 4 e em livros específicos sobre estas funções.
A função de Green fornece uma solução particular da equação diferencial (A.3) que será representada por xp (t). A solução geral é uma combinação linear de uma solução particular e da solução da equação homogênea
x(t) = xp (t) + xh (t).
(A.8)
Entretanto, antes de considerar-se a solução geral x(t), vamos considerar
algumas propriedades da função de Green (A.7).
A.1.1
Algumas Propriedades da Função de Green
A equação (A.7) pode ser integrada utilizando-se o teorema de Cauchy.
Para isto note que
ω 2 + 2ıβω − ω02 = 0 =⇒
(
q
q
ω1
2ıβ 1
−
±
−4β 2 + 4ω02 = −ıβ ± ω02 − β 2 ≡
2
2
ω2
Utilizando estas raízes, reescrevemos a expressão (A.7) da função de Green
como
ˆ∞
1
1
G(t, t0 ) = −
dωe−ıω(t−t)
.
2π
(ω − ω1 ) (ω − ω2 )
∞
Na figura A.1 esquematiza-se os polos e um possível conrtono de integração.
182APÊNDICE A. EQUAÇÕES DIFERENCIAS DE 2A ORDEM INOMOGÊNEAS.
Considere o cálculo da integral

0
I = dze−ız(t−t )
1
,
(z − ω1 ) (z − ω2 )
para o contorno C daquela figura. Antes, é necessário fazer algumas considerações acerca do intervalo t − t0 . Se τ ≡ t − t0 < 0 a integral I sobre o
arco do contorno C ( z = R(cos θ − ı sin θ) é
&
1
(z − ω1 ) (z − ω2 )
&
1
=
dzeR(ı cos θ+sin θ)|τ |
.
(z − ω1 ) (z − ω2 )
dzeıR(cos θ−ı sin θ)|τ |
Iarco =
que diverge para R −→ ∞, impossibilitando o uso do teorema de Jordan.
Fixe t − t0 > 0 e calcule a integral para o contorno da figura A.2

I=
ˆR
dzf (z) =
& 
dzf (z) +
−R
dzf (z)
arco
= Ireta + Iarco .
A integral Iarco se anula para R tendendo a infinito:
&
1
−ıθ
−ıR(cos θ−ı sin θ)|τ |
lim Iarco = lim −ıR e dθe
R→∞
R→∞
(z − ω1 ) (z − ω2 )
"
&
1
ı
e−ıθ dθe−ıR(cos θ−ı sin θ)|τ | −ıθ ω1 −ıθ
= lim −
R→∞
R
e − R e −
&
ı
= lim −
eıθ dθe−ıR cos θ|τ | e−R sin θ|τ | = 0.
R→∞
R
Resta portanto

I=
ˆR
& 
dzf (z) +
dzf (z) =
−R
dzf (z)
arco
ˆR
lim I = lim
R→∞
R→∞
−R
ˆ∞
dzf (z) + 0.
dωf (ω) = −2πG(t, t0 );
=
−∞
#
ω2
R
A.1. FUNÇÕES DE GREEN EM UMA DIMENSÃO
183
já que sobre o eixo real z = x = ω. Entretanto I também pode ser calculada
pelo uso do teorema dos resíduos. Temos dois polos de primeira ordem (a
função foi fatorada), portanto
X
I = −2πı
Resf (zj )
j
1
1
0
+ e−ıω2 (t−t )
= −2πı e
(ω1 − ω2 )
(ω2 − ω1 )
h
i
2πı
0
0
=−
e−ıω1 (t−t ) − e−ıω2 (t−t )
(ω1 − ω2 )
h
i
2πı
0
0
=
e−ıω2 (t−t ) − e−ıω1 (t−t ) .
(ω1 − ω2 )
−ıω1 (t−t0 )
A diferença entre as raízes é
ω1 − ω2
q
q
2
2
2
2
= −ıβ + ω0 − β − −ıβ − ω0 − β
q
= 2 ω02 − β 2 ,
e com isto tem-se que
h
i
2πı
0
0
e−ıω2 (t−t ) − e−ıω1 (t−t )
(ω1 − ω2 )
h √ 2
√ 2 2 0i
πı
0
0
2
e−β(t−t ) eı ω0 −β (t−t ) − e−ı ω0 −β (t−t )
=p 2
ω0 − β 2
q
2π
−β(t−t0 )
0
2
2
e
sin
ω0 − β (t − t ) .
= −p 2
ω0 − β 2
I=
Comparando as duas equações obtem-se que
hp
i
sin
ω02 − β 2 (t − t0 )
−β(t−t0 )
p
G(t, t0 ) =
e
,
ω02 − β 2
t − t0 > 0.
O próximo passo é calcular a integral I no semi-plano superior utilizando
o lema de Jordan. A figura A.2. Para este contorno z = reıθ e τ = t − t0 < 0,
entretanto o integrando é analítico neste semi-plano fornecendo
I = 0,
t − t0 < 0.
Resume-se os resultados anteriores na seguinte equação para a função
de Green
184APÊNDICE A. EQUAÇÕES DIFERENCIAS DE 2A ORDEM INOMOGÊNEAS.
Figura A.2: Contorno no semi-plano superior par o cálculo da integral I
G(t, t0 ) =
 h√ 2 2 0 i
 sin √ω0 −β (t−t )
ω02 −β 2

0
0
e−β(t−t )
,
t − t0 > 0;
,
0
(A.9)
t − t < 0.
Utilizando a função de Heaviside a equação para a função de Green (A.9)
pode ser escrita como
G(t, t0 ) −→ θ(t − t0 )G(t0 )
(A.10)
Apêndice B
Tópicos em Funções Analíticas
B.1
O Teorema de Cauchy
Certamente o Teorema de Cauchy não será discutido em detalhes, mas praticamente enunciado.
Theorem B.1.1. Se a função f (z) é analítica e contínua dentro e sobre o
contorno diferenciável C, então
˛
f (z)dz = 0.
(B.1)
C
Corollary B.1.2. Se f (z) é analítica dentro de uma região limitada
pela curva
¸
C, exceto em um número finito de polos, o valor da integral f (z)dz ao longo
do contorno C , no sentido antihorário, é igual a 2πı vezes a soma dos resíduos
nos polos dentro do contorno C.
Também é util o seguinte corolário:
Corollary B.1.3. Se a função f (z) é analítica
´ z dentro de uma região limitada
pelo contorno fechado C então a integral z12 f (z)dz ao longo de qualquer
contorno dentro de C depende somete de z1 e z2 .
Considere a integral
˛
J(a) =
f (z)
dz
z−a
(B.2)
ao longo do contorno C para o qual f (z) é analítica dentro e sobre o contorno
˛
f (z)dz = 0.
C
185
186
APÊNDICE B. TÓPICOS EM FUNÇÕES ANALÍTICAS
O contorno para a integral (B.2) pode ser deformado com um pequeno
círculo de raio ρ rodeando o ponto a de acordo com o Corolário do teorema
de Cauchy sobre deformação de contornos. Considere então
z − a = ρeıϕ ,
e
ˆ
f (z)
dz =
z−a
J =
ˆ
C
ˆ
f (a + ρeıϕ ) ıϕ
ρe ıdϕ
ρeıϕ
C
f (a + ρeıϕ )dϕ.
= ı
C
No limite de pequenos raios teremos
lim f (a + ρeıϕ ) −→ f (a),
ρ→0
porque f (z) é analítica e contínua dentro e sobre a curva C. Seque portanto
que
˛
f (z)
dz =⇒
J(a) = 2πıf (a) =
z−a
˛
1
f (z)
f (a) =
dz.
2πı
z−a
Utilizando este expressão pode-se calcular as derivadas de f (a) :
0
f (a) =
f 00 (a) =
f 000 (a) =
f (n) (a) =
˛
1
2πı
˛
2
2πı
˛
3!
2πı
˛
n!
2πı
f (z)
dz,
(z − a)2
f (z)
dz,
(z − a)3
f (z)
dz,
(z − a)4
f (z)
dz.
(z − a)n+1
Definition B.1.4. Resíduo: Seja f (z) uma função, de uma variável complexa, analítica sobre e dentro da curva C exceto no ponto z0 no interior de
C, onde f (z0 ) possui uma singularidade isolada. Neste caso a integral
˛
1
f (z)dz,
2πı
B.2. A FUNÇÃO DE HEAVISIDE OU DEGRAU
187
Figura B.1: Função de Heaviside
que se anula quando f (z) é analítica, não o será quando existir um polo no
interior da curva C e seu valor é chamado de resíduo de f (z) no ponto z0 e
representado por
˛
1
f (z)dz,
(B.3)
Resf (z0 ) ≡
2πı
C
Suponha que f (z) possua polos de ordem n. Neste caso é mais simples
representar f (z) como uma função meromórfica
f (z) =
g(z)
,
(z − a)n
(B.4)
então
˛
g(z)
1 2πıf (n−1) (a)
1
Resf (z0 ) =
dz =
2πı
(z − a)n
2πı
(n − 1)!
C
2πıf (n−1) (az)
=
(n − 1)!
z=a
B.2
(B.5)
A função de Heaviside ou Degrau
A função de Heaviside é definida como
(
1, τ > 0,
θ(τ ) =
0, τ < 0.
e possui a seguinte representação gráfica:
(B.6)
188
APÊNDICE B. TÓPICOS EM FUNÇÕES ANALÍTICAS
Figura B.2: Contornos de integração para a função degrau
Uma das representações desta função no plano complexo é
1
θ(τ ) = lim+ −
ε→0
2πı
ˆ∞
dω
e−ıωτ
ω + ıε
(B.7)
−∞
Para provar que a função degrau pode ser representada pela equação
(B.7) é necessário verificar se esta representação satisfaz à definição (B.6).
Para isto faz-se a extensão analítica desta representação e sua integração
no plano complexo para os dois contornos esquematizados na figura B.2.
O integrando da equação (B.7) possui um único polo simples
ω + ıε = 0 =⇒ ω = −ıε.
Considere τ > 0 : para o contorno no semi-plano inferior com z =
Re , o lema de Jordan fornece um valor nulo para a integral ao longo do
arco:
−ıθ

I=
dz
ˆR
=
−R
ˆR
=
−R
e−ızτ
z + ıε
e−ızτ
dz
+
z + ıε
&
dz
e−ızτ
z + ıε
arco
e−ızτ
dz
+
z + ıε
&
Re−ıθ dθ
e−ıR(cos θ−ı sin θ)τ
.
Re−ıθ + ıε
arco
Considerando os dois limites:\intop_{-R}^{R}dzf(z)+\landdownintop_{arco}\ointclockw
dzf(z)
B.3. SOLUÇÃO PARTÍCULAR DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL

ˆR
lim I = lim lim 
lim+ R→∞
+ R→∞
ε→o
−ızτ
dz
ε→o
e
+
z + ıε
−R

−ızτ
dz
ε→o
e
+
z + ıε
−R

ˆR
lim 
= lim+ R→∞
ε→o
= lim+
dω
ε→o
&
e−ıθ dθ
arco
e−ızτ
dz
+
z + ıε
−R
ˆ∞
Re−ıθ dθ
−ıR(cos θ−ı sin θ)τ

e

Re−ıθ + ıε
arco
ˆR
lim 
= lim+ R→∞
&
189
&
e
−ıR(cos θ−ı sin θ)τ
e−ıθ + ıε/R



dθe−ıR cos θτ −R sin θτ 
arco
e−ıωτ
ω + ıε
−∞
= −2πıθ(τ ).
Por outro lado, a integral I pode ser calculada com o auxílio do teorema
dos resíduos:
I = −2πıe−ı(−ıετ ) = −2πıe−ετ ,
e
lim
ε→o+
lim I = −2πı.
R→∞
Comparando as duas equações encontra-se que
−2πıθ(τ ) = −2πı =⇒
θ(τ ) = 1,
τ > 0.
Para τ < 0, utiliza-se o contorno do semi-plano superior da figura B.2.
Nota-se imediatamente que o integrando é analítico nesta região do plano
complexo, portanto I = 0 e
θ(τ ) = 0,
B.3
τ < 0.
Solução Partícular da Equação Diferencial
Uma solução particular xp (t), parte da solução geral (A.8), pode ser construida utilizando-se a função de Green para uma função genérica F (t) pela
190
APÊNDICE B. TÓPICOS EM FUNÇÕES ANALÍTICAS
substituição da equação (A.10) na equação (B.8) fornecendo
ˆ∞
dt0 G(t, t0 )F (t0 )
xp (t) =
−∞
ˆ∞
dt0 θ(t − t0 )
=
−∞
B.4
sin
i
hp
ω02 − β 2 (t − t0 )
−β(t−t0 )
p
e
F (t0 ).
2
2
ω0 − β
(B.8)
Solução da Equação Homogênea
A solução da equação homogênea associada à equação (A.3)
ẍ + 2β ẋ + ω02 x = 0,
(B.9)
pode ser encontrada pelos métodos padrões. Busquemos uma solução da
forma
x(t) = Aeαt .
(B.10)
Substituindo esta função na equação (B.9) determina-se o parâmetro α :
q
2β 1
α=−
±
4β 2 − 4ω02
(B.11)
2
2
As funções soluções da equação (B.9) devem ser necessariamente funções
convergentes, por isto somente soluções multiplicadas por e(−βt) serão
consideradas. A solução mais geral combinação é uma combinação linear
das soluções com freuquência positiva e negativa:
√
√ 2 2
2
2
(B.12)
xh (t) = e−β Ae β −ω0 t + Be− β −ω0 t
Bibliografia
[1] J. Frederick W. Byron, R. W. Fuller, Mathematics of Cassical and Quantum Physics, Vol. Two Volumes, Dover Publications, Inc. New York.,
1969.
[2] I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products,
Academic Press, Inc., 1994.
[3] L. D. Landau, E. M. Lifshitz, The Classical Theory of Fields, Butterworth
Heinemann, 1987.
[4] P. M. Morse, H. Feshbach, Methods of Theoretical Physics, Vol. I and II,
McGraw-Hill Book Company, Inc., 1953.
[5] S. T. Thornton, J. B. Marion, Classical Dynamics of Particles and Systems, 5th Edition, Thomson Brooks/Cole, 10 Davis Drive Belmont, CA
94002 USA, 2004.
191
Índice
aceleração, 53
Adjunt, 30
campo central, 168
campo escalar, 40
campo gravitacional, 166
cofatores, 31
cosenos diretores, 18
Jacobiano, 54
Kronecker, 23
Lei de Gauss, 174
Levi-Civita, 30
Massa Gravitacional, 98
Massa Inercial, 98
matriz de transformação, 18
eixo instantâneo de rotação, 73
energia potencial gravitacional, 171 matriz inversa, 29
energia potencial gravitacional intrin- matriz quadrada, 26
matriz transposta, 26, 27
sica, 172
menor, 31
energia total, 131
momento linear, 127
equação de Poisson, 175
movimento limitado, 135
equação transcendental, 121
movimento periódico, 135
escalar, 14
escalar, 14
na forma geométrica, 76
fluxo, 173
fluxo de vetor, 82
função de Green, 181
função de Heaviside, 187
função degrau, 188
função meromórfica, 187
Newton, 192
notação de Einstein, 18
obuseiro, 115
ondições iniciais, 98
ortogonalidade da matriz \boldsymbol{\lambda}„ 29
gradiente, 78
partícula livre, 98, 127
Graviatação Universal de Newton, 165 ponto de equilíbrio, 134
pontos de retorno, 135
posição, 53
integral de linha, 82
potencial gravitacional, 168, 170
integral de volume, 81
princípio da equivalência, 99
integral primeira do movimento, 134 Princípio da relatividade de Newton,
99
Invariância Galileana, 99
Henry Cavendish, 165
192
ÍNDICE
produto vetorial, 45
raio vetor, 53
referencial inercial., 99
resíduo, 187
retangular, 53
simbolo \varepsilon_{ijk}, 30
singular, 29
singulares, 54
Teorema de Cauchy, 185
trabalho, 170
transformada de Fourier, 179
transformações impróprias, 39
transformações ortogonais, 24
transformações próprias, 39
tunelamento, 136
velocidade, 53
velocidade angular, 73
vetor, 40
vetores unitários, 43
193