5a Lista de Exercı́cios de Introdução à Teoria dos Números
Professor: José Carlos de Souza Júnior
Curso: Licenciatura em Matemática
1. Encontre o máximo divisor comum de cada par de inteiros dados:
(a) 15, 35
(b) 0, 111
(c) −12, 18
(d) −25, 100
2. Mostre que se a e b são inteiros primos entre si, então mdc(a + b, a − b) = 1 ou 2.
Sugestão: Mostre que, se d|(a + b) e d|(a − b), então d|2a e d|2b. Agora, estude o caso em
que d é par e depois o caso em que d é ı́mpar.
3. Use o algoritmo euclidiano para encontrar:
(a) mdc(45, 75)
(b) mdc(666, 1414)
(c) mdc(102, 202)
(d) mdc(20785, 44350)
4. Para cada par de inteiros do exercı́cio anterior, expresse o máximo divisor comum do par
de inteiros como combinação linear desses inteiros.
5. Descreva, como múltiplos de um único inteiro, os elementos do conjunto:
(a) A = {12m + 18n; m, n ∈ Z}.
(b) B = {24m + 18n + 30p; m, n, p ∈ Z}.
6. Encontre todas as soluções das seguintes equações diofantinas lineares:
(a) 17x + 13y = 100
(b) 12x + 18y = 54
7. Encontre as fatorações, em produtos de primos, dos inteiros 36, 256, 504 e 1111.
8. Mostre que log(5)(= log10 (5)) é um número irracional.
Sugestão: Suponha que log(5) = ab , para certos inteiros positivos a e b (log(5) > 0).
a
Então, 10 b = 5 e, portanto, 10a = 5b . Explique porque isto é impossı́vel.
9. Encontre o mı́nimo múltiplo comum dos pares de inteiros a seguir: 8 e 12, 111 e 303, 343
e 999.
10. Encontre o máximo divisor comum e o mı́nimo múltiplo comum de cada um dos pares de
inteiros a seguir:
(a) 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 e 17 · 19 · 23 · 29.
(b) 23 · 57 · 1113 e 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13
11. Determine o resto das divisões:
(a) de 250 por 7.
(b) de 4165 por 7.
9
97
12. Determine o algarismo das unidades de 78 e de 9998 .
13. Sejam A, B conjuntos e f : A → B uma função. Definimos uma relação em A da seguinte
forma: dados a, a0 em A, dizemos que aRa0 se, e somente se, f (a) = f (a0 ). Mostre que R
é uma relação de equivalência.
14. Seja R uma relação em um conjunto M , verificando:
(i) Se aRb, então bRa.
(ii) Se aRb e bRc, então aRc.
(iii) Para todo a ∈ M , existe b ∈ M tal que aRb.
Mostre que R é uma relação de equivalência.
15. Construir as tabuadas de soma e produto de Z5 e Z6 .
16. Em Z20 , determinar:
(a) Os menores representantes positivos de −10 e −6.
(b) Todos os divisores de zero.
17. Mostrar que, se a é invertı́vel em Z m , então seu inverso é único.
18. Determinar os elementos invertı́veis de Z 8 e seus inversos.