UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA DO PARFOR
LISTA DE EXERCÍCIOS PARA A PROVA SUBSTITUTIVA
INDUÇÃO MATEMÁTICA
1. Mostre por indução matemática as questões abaixo:
(a) 2 + 6 + 10 + . . . + (4n − 2) = 2n2
n(4n2 − 1)
2
2
2
2
(b) 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) =
3
2
2
2
1
(c) 1 + 2 + . . . + n = 1 − n
3
3
3
3
1
1
1 1
(d) 1 + + + . . . + 2 ≤ 2 −
4 9
n
n
SOMATÓRIOS E PRODUTÓRIOS
2. Calcule
4
X
a)
5
X
(3j − 1)j
j=1
4
X
b)
j
j=1
4
Y
(2i + 1)2
d)
i=1
4
Y
(i2 + 1)
(2i2 − 7)3i
i=1
5
X
3i
2
5 5
1X 2 1X 2
i −
j
c)
4 i=1
5 j=1
i=1
4
4
1 Y 2 1Y
2
j +
(2j)
e)
16 j=1
9 j=1
i=1
DIVISIBILIDADE
3. Na divisão do inteiro 525 por um inteiro positivo o resto é 27. Achar os inteiros
que podem ser o divisor e o quociente.
R: b = 498 e q = 1; b = 249 e q = 2; b = 166 e q = 3; b = 83 e q = 6
4. Achar os inteiros positivos menores que 150 e que divididos por 39 deixam um
resto igual ao quociente.
R: q = 1, 2, 3 e a = 40, 80, 120
2
5. Numa divisão de dois inteiros, o quociente é 16 e o resto 167. Determinar
o maior inteiro que se pode somar ao dividendo e ao divisor em alterar o
quociente.
R: 11
MDC E MMC
6. Sendo n um inteiro qualquer, calcular mdc(n, n + 1).
R: 1
7. Demosntrar que , se a|c, se b|c e se o mdc(a, b) = d, então ab|cd.
8. Dividindo-se dois inteiros positivos pelo seu mdc, a soma dos quocientes é 8.
Determinar os dois inteiros, sabendo que sua soma é 384.
R: 48 e 336 ou 144 e 240
9. Determine dois números cuja soma é 120 e o mmc é 144.
R: 12 e 108 ou 24 e 96.
ALGORITMO DE EUCLIDES
10. Usando o Algoritmo de Euclides determinar:
a) mdc(306, 657)
b) mdc(675, 405)
c) mdc(198, 288)
11. Achar os inteiros x, y que verifiquem as seguintes igualdades:
a) 78x + 32y = 2
b) 238x + 51y = 3
c) 52x + 13y = 1
NÚMEROS PRIMOS
12. Achar todos os pares de primos p e q, tais que p − q = 3.
R:p = 5 e q = 2
13. Achar a decomposição em fatores primos de 5040, 4679, 2385
14. Demosntrar que todo primo da forma 3n + 1 é também da forma 6m + 1.
EQUAÇÕES DIOFANTINAS
15. Determinar todas as soluções inteiras e positivas das seguintes Equações Diofantinas Lineares:
a) 90x − 28y = 22
b) 3x + 4y = 20
c) 40x − 65y = 135
d)
50x-56y=74
3
16. Determinar o menor inteiro positivo que dividido por 8 e por 15 deixam os
restos 6 e 13 respectivamente.
R:188
CONGRUÊNCIAS
17. Mostrar que 41 divide 22 0 − 1.
18. Sabendo que k ≡ 1(mod4), mostrar que 6k + 5 ≡ 3(mod4).
19. Achar os restos das seguintes divisões:
a) 71 0 por 51. R: 19
b) 416 5 por 7. R:6
c) 25 0 por 7. R: 4
CONGRUÊNCIAS LINEARES
20. Resolva as seguintes congruências lineares:
a) 8x ≡ 16(mod12)
b) 3x ≡ 5(mod7)
c) 3x ≡ 9(mod24)
21. Resolva por congruências as seguintes equações Diofantinas lineares:
a) 4x + 51y = 9. R: x = 15 + 51t y = −1 − 4t
b) 7x + 6y = 9.R:
x = 3 + 6t y = −2 − 7t
c) 11x + 27y = 4. R:x = 20 + 27t y = −8 − 11t
x = 8 − 11t y = 37 − 61t
d)61x − 11y = 81.R:
SISTEMAS DE CONGRUÊNCIAS LINEARES
22. Resolva
 os seguintes sistemas de congruências lineares:

 3x ≡ 1(mod7)
 x ≡ 8(mod9)
5x ≡ 2(mod11) R:x ≡ 810(mod1001) b) x ≡ 2(mod3)
a)


4x ≡ 3(mod13)
x ≡ 5(mod7)


 x ≡ 1(mod3)
 2x ≡ 1(mod5)
3x ≡ 2(mod7) R:x ≡ 283(mod385)
c) x ≡ 2(mod5) R:x ≡ 52(mod105) d)


x ≡ 3(mod7)
5x ≡ 7(mod11)
23. Um coronel, depois de ser destacado para comandar um regimento do Exército,
quis saber qual era o efetivo desse regimento. Para esse objetivo mandou-os
dispor sucessivamente em colunas de:
37 indivduos, tendo sobrado 01 indivduo
32 indivduos, tendo sobrado 04 indivduo
27 indivduos, tendo sobrado 01 indivduo
4
Sabendo que um regimento, tem menos de 10.000 militares. Determine quantos
militares constituem esse regimento. R: 4996
24. Três Satélites passarão sobre uma cidade esta noite. O primeiro a 1h da madrugada, o segundo as 4 hs e o terceiro às 8hs da manhã. Cada satélite tem um
período diferente. O primeiro leva 13 horas para completar uma volta ao redor
da terra, o segundo 15hs e o terceiro 19 hs. Determine quantas horas decorrerão a partir da meia-noite até que os três satélites pasem ao mesmo tempo
sobre a cidade. R: 10 hs
25. Generais chineses contavam o número de soldados sobreviventes de uma batalha,
alinhando-os sucessivamente em filas de determinados tamanhos, contando
cada vez o número de soldados restantes e calculando o total de sobreviventes
a partir desses dados. Um general tinha inicialmente 1200 soldados antes de
uma batalha, após a batalha, ao alinhá-los em filas de 5 soldados, restaram
3, ao alinhá-los em filas de 6 soldados, restaram também 3, ao alinhá-los em
filas de 7 soldados, restou 1 soldado, finalmente, ao alinhá-los em filas de 11
soldados, nenhum sobrou. Quantos soldados sobreviveram a batalha?
Teorema de Wilson e Fermat
26. Verifique o Teorema de Fermat com a = 2 e p = 17
27. Calcule o resto de 36 4 por 31, usando o Teorema de Fermat. R:19
28. Mostrar que 53 8 ≡ 4(mod11).
29. Verificar o Teorema de Wilson para p = 5 e p = 7.
30. Achar o resto da divisão de 15! por 17.