FUNDAÇÃO EDUCACIONAL SERRA DOS ÓRGÃOS
CENTRO UNIVERSITÁRIO SERRA DOS ÓRGÃOS
Centro de Ciências e Tecnologia
Curso de Engenharia Ambiental e Sanitária
Curso de Engenharia de Produção
Cálculo Diferencial e Integral III
Solução da 8ª Lista de Exercícios
(Retirados do livro de James Stewart, Cálculo, vol. 2.)
1. Solução:
a. Temos r = 3, θ = π/2 e z = 1. Como θ = π/2, a projeção do ponto no plano xy está
no semieixo positivo dos y e o ponto pertence ao plano x = 0. Calculando as
coordenadas, x = r cos(θ) = 3 cos(π/2) = 0 e y = r sen(θ) = 3 sen(π/2) = 3.
Resposta: As coordenadas retangulares são x = 0, y = 3, z = 1.
b. Temos r = 3, θ = 0 e z = -6. Como θ = 0, a projeção do ponto no plano xy está no
semieixo positivo dos x e o ponto pertence ao plano y = 0. Calculando as
coordenadas, x = r cos(θ) = 3 cos(0) = 3 e y = r sen(θ) = 3 sen(0) = 0.
Resposta: As coordenadas retangulares são x = 3, y = 0, z = −6.
c. Temos r = 4, θ = −π/3 e z = 5. Como θ = −π/3, a projeção do ponto no plano xy
pertence ao 4º quadrante. Calculando as coordenadas, x = r cos(θ) = 4 cos(−π/3) =
2 e y = r sen(θ) = 4 sen(−π/3) = 2√3.
Resposta: As coordenadas retangulares são x = 2, y = 2 3 , z = 5.
2. Solução:
a. Temos x = 1, y = −1, z = 4, logo r = x 2 + y 2 = 2 e tan(θ) = y/x = −1; como o ponto
(1, −1) está no 4º quadrante do plano xy, θ = −π/4.
2 , θ = −π/4, z = 4.
Resposta: As coordenadas cilíndricas são r =
2
2
b. Temos x = −1, y = − 3 , z = 2, logo r = x + y = 2 , tan(θ) = y/x =
ponto
3 ; como o
( −1, − 3 ) está no 3º quadrante do plano xy, θ = 4π/3.
Resposta: As coordenadas cilíndricas são r = 2, θ = 4π/3, z = 2.
c. Temos x = 3, y = 4, z = 5, logo r = x 2 + y 2 = 5 , tan(θ) = y/x = 4/3; como este
ângulo não é um dos comuns e sen(θ) = 4/5, θ = arcsen(4/5).
Resposta: As coordenadas cilíndricas são r = 5, θ = arcsen(4/5), z = 5.
3. Solução:
a. Temos ρ = 1, θ = 0 e ϕ = 0. Como ϕ = 0, o ponto pertence ao semieixo positivo dos
z. Calculando as coordenadas, x = ρ cos(θ) sen(ϕ) = cos(0)sen(0) = 0, y = ρ sen(θ)
sen(ϕ) = sen(0)sen(0) = 0 e z = ρ cos(ϕ) = cos(0) = 1.
Resposta: As coordenadas retangulares são x = 0, y = 0, z = 1.
b. Temos ρ = 1, θ = π/6 e ϕ = π/6, logo x = ρ cos(θ) sen(ϕ) = cos(π/6)sen(π/6) =
y = ρ sen(θ) sen(ϕ) = sen(π/6)sen(π/6) = ¼ e z = ρ cos(ϕ) = cos(π/6) =
Resposta: As coordenadas retangulares são x =
1
4
3 , y = ¼, z =
1
2
1
2
1
4
3,
3.
3.
c. (2, π/3, π/4). Temos ρ = 2, θ = π/3 e ϕ = π/4, logo x = ρ cos(θ) sen(ϕ) =
2cos(π/3)sen(π/4) =
1
2
2 , y = ρ sen(θ) sen(ϕ) = 2sen(π/3)sen(π/4) =
1
2
6 ez=
ρcos(ϕ) = 2cos(π/4) = √2.
Resposta: As coordenadas retangulares são x =
1
2
2,y=
1
2
6, z =
2.
4. De coordenadas retangulares para coordenadas esféricas (ρ, θ, ϕ). Solução:
a. É claro que ρ = 3; como o ponto dado pertence ao plano xy, ϕ = π/2; como o ponto
dado pertence ao semieixo negativo dos x, θ = π.
SolLista08.docx
Cálculo Diferencial e Integral III
2
Resposta: As coordenadas esféricas são ρ = 3, θ = π, ϕ = π/2.
b. Temos ρ = 3 + 1 = 2 e 1 = z = ρ cos(ϕ) = 2cos(ϕ), logo cos(ϕ) = ½ e ϕ = π/3. Como
0 = y = 2sen(θ)sen(ϕ) =
3 sen(θ), segue que sen(θ) = 0; mas
3 = 2cos(θ)sen(ϕ) =
3 cos(θ), de modo que cos(θ) = 1 e θ = 0.
Resposta: As coordenadas esféricas são ρ = 2, θ = 0, ϕ = π/3.
c. ( − 3 , −3, −2). Temos ρ = 3 + 9 + 4 = 16 = 4 e z = 4cos(ϕ) = −2, logo cos(ϕ) =
−1/2 e ϕ = 2π/3; então sen(ϕ) =
3 /2 e − 3 = x = 4cos(θ)sen(ϕ) = 2 3 cos(θ),
logo cos (θ) = −½; por outro lado, −3 = y = 4sen(θ)sen(ϕ) = 2 3 sen(θ) e sen(θ) =
− 3 2 , portanto θ pertence ao terceiro quadrante e θ = 4π/3.
Resposta: As coordenadas esféricas são ρ = 4, θ = 4π/3, ϕ = 2π/3.
5. Solução:
a. Como temos z e r, a equação dada está em coordenadas cilíndricas, portanto a
equação em coordenadas cartesianas é z = x2 + y2, que representa um paraboloide
de revolução (a interseção com o plano y = 0 é uma parábola e a interseção com o
plano x = 0 também; de fato, a interseção com qualquer plano vertical contendo o
eixo dos z é uma parábola).
Resposta: A superfície é o paraboloide de revolução z = x2 + y2.
b. Esta equação está em coordenadas esféricas, já que temos ρ e ϕ. Como z = ρ
cos(ϕ), esta superfície é o plano horizontal z = 2.
Resposta: A superfície é o plano z = 2.
c. Multiplicando a equação por r, obtemos r2 = 2rcos(θ), ou seja, x2 + y2 = 2x, logo,
completando os quadrados, x2 – 2x + 1 + y2 = 1, isto é, (x – 1)2 + y2 = 1; como z não
aparece na equação, a superfície é um cilindro.
Resposta: A superfície é o cilindro formado pela translação do eixo dos z ao
longo do círculo no plano xy centrado em (1, 0) de raio 1.
d. Esta equação está em coordenadas cilíndricas e corresponde à equação x2 + y2 +
z2 = 25.
Resposta: A superfície é a esfera centrada na origem de raio 5.
e. Esta equação está em coordenadas esféricas e fica, em coordenadas
retangulares, x2 + z2 = 4; como y não aparece na equação, a superfície é um
cilindro.
Resposta: A superfície é o cilindro formado pela translação de uma reta paralela
ao eixo dos y ao longo do círculo no plano xz centrado em (0, 0) de raio 2.
f. Esta equação está em coordenadas cilíndricas e tem duas soluções: r = 0 e r = 1; r
= 0 é apenas a origem e r = 1 é um cilindro.
Resposta: A superfície é o cilindro formado pela translação de uma reta paralela
ao eixo dos z ao longo do círculo no plano xy centrado na origem de raio 1.
6. O sólido parece uma casquinha com sorvete: a casquinha é o cone e o sorvete é o que
está abaixo da esfera e acima do cone. Para encontrar o centro e o raio da esfera, é
preciso completar os quadrados: x2 + y2 + z2 – z + ¼ = ¼, ou seja, x2 + y2 + (z – ½)2 = ¼,
logo a esfera está centrada em (0, 0, ½) e tem raio ½. A interseção da esfera com o
cone consiste em um ponto isolado (a origem) e no círculo no plano z = ½ centrado na
origem de raio ½: z2 = x2 + y2 e x2 + y2 + z2 = z ⇒ 2z2 = z ⇒ z = 0 ou z = ½ ⇒ (x, y, z) =
SolLista08.docx
Cálculo Diferencial e Integral III
3
(0, 0, 0) ou (x, y, z) pertence ao círculo x2 + y2 = ¼ no plano z = ½. Em coordenadas
esféricas, a equação da esfera fica ρ2 = ρ cosϕ, ou seja, ρ = cosϕ. O cone em
coordenadas esféricas é ϕ = π/4: de fato, ρ cosϕ = (ρ2 cos2θ sen2ϕ + ρ2 sen2θ sen2ϕ)1/2
= ρ senϕ, logo cosϕ = senϕ e ϕ = π/4.
Resposta: Em coordenadas esféricas, o sólido é descrito por 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π/4,
0 ≤ ρ ≤ cosϕ.
7. Solução:
a. Usando as desigualdades dadas, temos:
1
x
2x
1
x
∫∫∫ yz cos ( x ) dV = ∫ dx ∫ dy ∫ dz yz cos ( x ) = ∫ dx ∫ dy y cos ( x )
5
5
E
0
0
5
x
0
1
0
x
z2
2
1
z =2x
z =x
x
y2
1
3
dx
= ∫  4x 2 − x 2  cos ( x 5 ) ∫ ydy dx = ∫ x 2 cos ( x 5 )
20
20
2 0
0
1
=
1
3
3
3
x 4 cos ( x 5 ) dx =
sen ( x 5 ) =
sen (1) .
∫
0
40
20
20
Resposta: 3sen(1)/20.
b. O sólido dado é um tetraedro. Como o plano z = 0 é um dos planos que delimita o
sólido, é claro que 0 ≤ z ≤ 6 – 3x – 2y. A interseção do plano 3x + 2y + z = 6 com o
plano z = 0 é a reta 3x + 2y = 6 no plano xy (veja a figura a seguir), logo 0 ≤ x ≤ 2
e 0 ≤ y ≤ (6 – 3x)/2.
( 6 −3 x )
2
∫∫∫ xdV = ∫ dx ∫
0
E
0
2
2
6 −3 x −2y
dy
∫
2
dz x = ∫ dx x
0
0
y = ( 6 −3 x ) 2
= ∫ x ( 6 − 3x ) y − y 2 
y =0
0
2
( 6 −3 x )
∫
2
dy ( 6 − 3x − 2y )
0
2
 ( 6 − 3x )2

2
dx = ∫ x 
− ( 6 − 3x )  dx
2


0
2
2
1
1
1
9 
2
= ∫ x ( 6 − 3x ) dx = ∫ (36x − 36x 2 + 9x 3 ) dx =  18x 2 − 12x 3 + x 4 
20
20
2
4 0
=
1
9 × 16 
 18 × 4 − 12 × 8 +
 = 36 − 48 + 18 = 6.
2
4 
Resposta: 6.
c. O sólido dado é obtido transladando-se a região acima do eixo dos y e abaixo da
parábola z = 1 – y2 (veja a figura a seguir) em uma direção paralela ao eixo dos x
(a parábola gera uma superfície que parece uma calha). Então −1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤
1, 0 ≤ z ≤ 1 – y2.
SolLista08.docx
Cálculo Diferencial e Integral III
4
1
1
1 −y 2
−1
−1
0
∫∫∫ x e dV = ∫ dx ∫ dy
2
E
y
∫
1
1
−1
−1
dz x 2e y = ∫ dx x 2 ∫ dy (1 − y 2 ) e y .
A integral em y tem que ser resolvida por partes duas vezes: primeiro escolha u =
y2 e dv = eydy, obtendo du = 2ydy e v = ey; depois escolha u = y e dv = eydy,
obtendo du = dy e v = ey.
1
1
1
1
 2 y1

2
2 y
y
y
y 1
−
=
−
=
−
−
1
y
e
dy
e
dy
y
e
dy
e
y
e
2ye y dy 
(
)

∫−1
∫−1
∫−1
∫
−1
−1
−1


1

= e − e −1 − (e − e −1 ) + 2 ∫ ye y dy = 2 ye y
−1

= 2 e − ( −e −1 ) − e y

1
−1
1
−1
1

− ∫ e y dy 
−1

 = 2 (e + e −1 − e + e −1 ) = 2e −1 = 2 e .

Como
1
2
∫ x dx =
−1
x3
3
1
=
−1
1  −1  2
−  = ,
3 3 3
obtemos
∫∫∫ x e
2
E
y
dV =
4
.
3e
Resposta: 4/(3e).
d. O sólido dado é obtido girando-se a região no interior da parábola x = 4y2 (veja a
figura a seguir) em torno do eixo dos x.
Observe que a interseção do sólido com o plano x = c, onde c é um número entre 0
e 4, é um círculo centrado na origem do plano de raio c 2 . Podemos então fazer
uma mudança de variáveis do tipo coordenadas cilíndricas, só que colocando r, θ
como variáveis no plano yz, ou seja, fazendo y = r cosθ e z = r senθ. Como no caso
das coordenadas polares, o jacobiano desta transformação é r. Nestas
SolLista08.docx
Cálculo Diferencial e Integral III
5
coordenadas, o sólido pode ser descrito pelas desigualdades 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ r ≤
x 2 , 0 ≤ θ ≤ 2π. Portanto,
4
x 2
0
0
∫∫ xdV = ∫ dx
E
4
= π∫ x
0
∫
2π
4
x 2
0
0
0
dr ∫ d θ xr = 2π∫ x
∫
0
3 4
4
x
π
πx
dx = ∫ x 2dx =
4
40
4 3
4
rdrdx = 2π∫ x
0
=
r2
2
r= x 2
dx
r =0
3
π4
16π
.
=
4 3
3
Resposta: 16π/3.
8. Solução:
a. O cilindro é obtido transladando-se a região no interior da elipse 4x2 + z2 = 4 no
plano y = 0 em uma direção paralela ao eixo dos y; o sólido é obtido delimitando-se
este cilindro pelos planos y = 0 e y = z + 2.
As figuras acima mostram a região elíptica no plano xz que é transladada para
formar o sólido cilíndrico e a região de integração no plano yz, já que −2 ≤ z ≤ 2 e
0 ≤ y ≤ z + 2. É claro que, para cada z fixo, −
2
V =
∫ dz
−2
2
=
∫z
−2
4−z2 2
z +2
∫
dx
− 4−z 2 2
∫
2
dy =
∫ dz
−2
0
4−z 2 2
∫
4 − z2
≤x≤
2
dx ( z + 2 ) =
− 4−z 2 2
4 − z2
. Portanto,
2
2
∫ ( z + 2)
4 − z 2 dz
−2
2
4 − z 2 dz + 2 ∫ 4 − z 2 dz .
−2
A primeira integral na última linha da equação acima é nula, já que é a integral de
uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em relação à origem; a segunda
integral é igual à área de metade de um disco de raio 2, logo é ½ π ⋅ 22 = 2π. Como
a segunda integral está multiplicada por 2, V = 4π.
Resposta: V = 4π ≅ 12,6 unidades de volume.
b. A figura a seguir à esquerda mostra a parábola x = y2 no plano xy que é
transladada por retas paralelas ao eixo dos z para formar o cilindro. Como x ≥ 0,
a região de integração no plano xz é a região colorida na figura a seguir à direita.
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Cálculo Diferencial e Integral III
6
Então 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 – x, −√x ≤ y ≤ √x; o volume é dado por
1
V = ∫ dx
0
1− x
∫
x
∫
dz
0
1
1− x
0
0
dy = ∫ dx
− x
∫
1
dz 2 x = ∫ 2 x (1 − x ) dx
0
1
1
 x3 2 x5 2 
2 2 8
= 2∫ ( x 1 2 − x 3 2 ) dx = 2 
−
 = 2 −  = .
 3 5  15
 3 2 5 2 0
0
Resposta: V = 8/15 ≅ 0,53 unidades de volume.
c. O sólido é gerado pela rotação da figura a seguir em torno do eixo dos z.
Usando coordenadas cilíndricas, vemos que 0 ≤ r ≤ 3, 0 ≤ θ ≤ 2π, r2 ≤ z ≤ 18 – r2.
Como o jacobiano é r, temos
3
2π
18 −r 2
0
0
r2
V = ∫ rdr ∫ d θ
∫
3
2π
3
0
0
0
dz = ∫ rdr ∫ d θ (18 − 2r 2 ) = 2π ∫ (18r − 2r 3 ) dr
3

r4 
81 
81

= 2π  9r 2 −  = 2π  81 −  = 2π
= 81π.
2 0
2
2


Resposta: V = 81 π ≅ 254,5 unidades de volume.
9. Solução:
a. A figura a seguir mostra o sólido, que é um tetraedro (tem quatro faces). Note
que os vértices estão em (0, 0, 0), (0, 2, 2), (0, 2, 0) e (1, 2, 0). Analisando a
interseção do sólido com planos perpendiculares aos eixos, podemos obter as
diversas desigualdades que definem o sólido.
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Cálculo Diferencial e Integral III
7
Fazendo a interseção com um plano x = constante, obtemos
Portanto 0 ≤ x ≤ 1, 2x ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ y – 2x ou 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 2 – 2x, z + 2x ≤ y
≤ 2. Fazendo a interseção com um plano y = constante, obtemos
Portanto 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤ y/2, 0 ≤ z ≤ y – 2x ou 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ y, 0 ≤ x ≤ (y –
z)/2. Fazendo a interseção com um plano z = constante, obtemos
Portanto 0 ≤ z ≤ 2, 0 ≤ x ≤ (2 – z)/2, z + 2x ≤ y ≤ 2 ou 0 ≤ z ≤ 2, z ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤
(y – z)/2.
SolLista08.docx
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8
Resposta:
1
2
∫∫∫ f ( x , y, z ) dV = ∫ dx ∫ dy
E
0
2x
2
y 2
= ∫ dy
0
2
= ∫ dz
0
∫
y −2 x
∫
1
dz f ( x , y, z ) = ∫ dx
0
0
y −2 x
dx
0
∫
∫
0
2
2
dx
∫
2
2 x +z
0
2
y
0
0
∫
( y −z )
∫
2
dx f ( x , y, z )
0
2
2
0
z
dy f ( x , y, z ) = ∫ dz ∫ dy
2x + z
dy f ( x , y, z )
∫
dz
dz f ( x , y , z ) = ∫ dy ∫ dz
0
(2− z )
2 −2 x
(y −z )
∫
2
dx f ( x , y , z ).
0
b. Como os semieixos do elipsóide nas direções dos eixos dos x, y e z são,
respectivamente, 1/3, 1/2 e 1, é claro que −1/3 ≤ x ≤ 1/3 e a interseção do
elipsóide com um plano x = constante é a elipse 4y2 + z2 = 1 – 9x2 como na figura à
esquerda a seguir, de modo que
1 − 9x 2
≤y≤
2
−
1 − 9x 2
, − 1 − 9x 2 − 4y 2 ≤ z ≤
2
1 − 9x 2 − 4y 2
ou
1 − 9x 2 − z 2
1 − 9x 2 − z 2
≤y≤
.
2
2
A figura do meio mostra a interseção de um plano y = constante com o elipsoide,
onde −1/2 ≤ y ≤ 1/2: esta é a elipse 9x2 + z2 = 1 – 4y2, de modo que
− 1 − 9x 2 ≤ z ≤
1 − 4y 2
≤x≤
3
−
1 − 9x 2 , −
1 − 4y 2
, − 1 − 4y 2 − 9x 2 ≤ z ≤
3
1 − 4y 2 − 9x 2
1 − 4y 2 − z 2
≤x≤
3
1 − 4y 2 − z 2
.
3
ou
− 1 − 4y 2 ≤ z ≤
1 − 4y 2 , −
A figura à direita mostra a interseção de um plano z = constante com o elipsóide,
onde −1 ≤ z ≤ 1: esta é a elipse 9x2 + 4y2 = 1 – z2, de modo que
−
1 − z2
≤x≤
3
1 − z2
1 − z 2 − 9x 2
1 − z 2 − 9x 2
, −
≤y≤ −
3
2
2
−
1 − z2
≤y≤
2
1 − z 2 − 4y 2
1 − z 2 − 4y 2
1 − z2
, −
≤x≤ −
.
2
3
3
ou
SolLista08.docx
Cálculo Diferencial e Integral III
9
Resposta:
∫∫∫ f ( x , y, z ) dV
=
∫ dx ∫
−1 3
E
∫
−1 3
12
=
∫
1− 9 x 2 − z 2
− 1− 9 x
2
12
2
− 1− 9 x − z
1 − 4y 2 3
2
1 − 4y 2 −9 x 2
∫
dx
− 1− 4y2 3
1− 4y2 − z 2 3
∫
dz
−1 2
− 1− 4y2
− 1− 4y2 − z 2 3
1
1− z 2 3
1− z 2 − 9 x 2 2
= ∫ dz
−1
1
= ∫ dz
−1
∫
− 1− z
∫
dx
2
2
− 1− z −9 x
3
∫
− 1− z 2 2
2
2
∫
dy
dx f ( x , y, z )
dy f ( x , y, z )
1− z 2 − 4y2 3
1− z 2 2
dz f ( x , y , z )
− 1 − 4y 2 −9 x 2
1− 4y2
∫ dy ∫
dy f ( x , y , z )
∫
dz
∫ dy ∫
−1 2
=
− 1−9 x 2 − 4y 2
1−9 x 2
dx
dz f ( x , y, z )
∫
dy
− 1− 9 x 2 2
13
=
1−9 x 2 − 4y 2
1−9 x 2 2
13
dx f ( x , y , z )
− 1− z 2 − 4y2 3
10. Solução:
a. O sólido é limitado pelos planos cartesianos, pelo cilindro z = 1 – x2 e pelo plano x
+ y = 1. A figura a seguir mostra o sólido.
A figura a seguir mostra a interseção do sólido com um plano x = constante; como
a região de integração é retangular, podemos trocar a ordem das integrais em y e
em z.
A figura a seguir mostra a interseção do sólido com um plano y = constante;
temos 0 ≤ x ≤ 1 – y, 0 ≤ z ≤ 1 – x2. A mudança de ordem neste caso é um pouco
mais complicada: se 1 – (1 – y)2 = 2y – y2 ≤ z ≤ 1, 0 ≤ x ≤
0 ≤ x ≤ 1 – y.
SolLista08.docx
Cálculo Diferencial e Integral III
1 − z ; se 0 ≤ z ≤ 2y – y2,
10
A figura a seguir mostra a interseção do sólido com um plano z = constante;
temos 0 ≤ x ≤
1 − z , 0 ≤ y ≤ 1 – x. Novamente, a mudança de ordem é um pouco
mais complicada: se 1 − 1 − z ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1 – y; se 0 ≤ y ≤ 1 − 1 − z , 0 ≤ x ≤
1−z .
Resposta:

∫0 

∫ (∫
1 1− x 2
0
1− x
0
 2y −y
= ∫ ∫
 0
0
1
2
1 1− x

1− x 2


f ( x , y, z ) dy dz  dx = ∫  ∫  ∫
f ( x , y, z ) dz  dy  dx
0
 
0 0 

1 1−y


1− x 2
= ∫  ∫  ∫
f ( x , y, z ) dz  dx  dy
 
0  0
0
)
(∫
1−y
0
)
f ( x , y, z ) dx dz +
1
= ∫
0

∫ (∫
1− z
0
1− x
0
1

∫  ∫
2y −y 2
1− z
0

f ( x , y, z ) dx  dz  dy
 

f ( x , y, z ) dy dx  dz

)
1 1− 1− z
1

1− z
1−y
= ∫  ∫  ∫
f ( x , y, z ) dx  dy + ∫ ∫ f ( x , y, z ) dx dy  dz .
0
0


0
1− 1− z
 0 
b. A figura a seguir mostra o sólido. Repare que superfície à esquerda está contida
no cilindro y = x2; as outras superfícies que delimitam o sólido são planas. Como no
item anterior, vamos fazer as interseções do sólido com planos paralelos aos
planos cartesianos.
(
SolLista08.docx
Cálculo Diferencial e Integral III
)
11
A figura a seguir mostra a interseção do sólido com um plano x = constante e a
figura resultante no plano. É claro que, se 0 ≤ z ≤ x2, x2 ≤ y ≤ 1 e, se x2 ≤ z ≤ 1, z ≤
y ≤ 1.
A figura a seguir mostra a interseção do sólido com um plano y = constante e a
figura resultante no plano. Então 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤
y , 0 ≤ z ≤ y.
A figura a seguir mostra a interseção do sólido com um plano z = constante e a
figura resultante no plano. Quando 0 ≤ x ≤
z , z ≤ y ≤ 1; quando
≤ 1. A região também pode ser descrita por z ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤
z ≤ x≤ 1, x2 ≤ y
y.
Resposta:
y
x
1
1
1
1
x

dx
dy
dz
f
x
,
y
,
z
=
dx
dz
dy
f
x
,
y
,
z
+
dz
(
) ∫ ∫ ∫
(
) ∫ ∫ dy f ( x , y, z ) 
∫0 ∫0 ∫0
 0

0
z
x2
x2
1
2
2
y
1
y
= ∫ dy ∫ dx ∫ dz f ( x , y , z )
0
0
1
y
0
0
= ∫ dy ∫ dz
0
y
∫ dx f ( x , y, z )
0
1
 z
= ∫ dz  ∫ dx ∫ dy f ( x , y, z ) +
0
z
 0
1
1
1
y
0
z
0
1

dx
dy
f
x
,
y
,
z
(
)

∫ ∫2
z
x

1
= ∫ dz ∫ dy ∫ dx f ( x , y , z ).
SolLista08.docx
Cálculo Diferencial e Integral III
12
11. Podemos estender os conceitos físicos desenvolvidos com a integral dupla para
uma lâmina contida em uma região D para um sólido no espaço. Suponha um
sólido colocado em uma região E do espaço xyz cuja densidade (unidade de
massa por unidade de volume) é dada por uma função contínua ρ. Então a
massa m do sólido é dada por
m = ∫∫∫ ρ ( x , y, z ) dV ,
E
seus momentos em relação aos três planos coordenados são dados por
M yz = ∫∫∫ x ρ ( x , y , z ) dV , M xz = ∫∫∫ y ρ ( x , y, z ) dV , M xy = ∫∫∫ z ρ ( x , y , z ) dV
E
E
E
e as coordenadas do centro de massa são
M yz
M xy
M
x=
, y = xz , z =
.
m
m
m
Quando a densidade é constante, o centro de massa do sólido é chamado de
centróide de E. Os momentos de inércia em relação aos três eixos
coordenados são
I x = ∫∫∫ ( y 2 + z 2 ) ρ ( x , y , z ) dV , I y = ∫∫∫ ( x 2 + z 2 ) ρ ( x , y , z ) dV ,
E
Iz =
∫∫∫ ( x
E
2
+y
2
) ρ ( x , y, z ) dV .
E
a. Determine a massa e o centro de massa do sólido E com densidade de massa
ρ(x, y, z) = y, onde E é o tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo
plano x + y + z = 1.
b. Determine a massa e o centro de massa do sólido E com densidade de massa
ρ(x, y, z) = 4 e limitado pelo cilindro parabólico z = 1 – y2 e pelos planos x + z
= 1, x = 0 e z = 0.
c. Seja E o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1, z ≥ 0 e considere o sólido em E com
densidade de massa ρ ( x , y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 . Estabeleça, mas não calcule,
expressões integrais para a massa, o centro de massa e o momento de inércia
em relação ao eixo dos z.
d. Determine os momentos de inércia do tijolo retangular de dimensões a, b e c,
massa M e densidade constante igual a ρ se o centro do tijolo está na origem
e suas arestas são paralelas aos eixos coordenados.
12. O valor médio de uma função f (x, y, z) sobre uma região sólida E é definido por
1
f médio =
f ( x , y , z ) dV ,
V ( E ) ∫∫∫
E
onde V(E) é o volume do sólido E. Determine o valor médio da função f (x, y, z) =
x + y + z sobre o tetraedro com vértices em (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1).
13. Faça um esboço do sólido cujo volume é dado pela integral e calcule esta
integral.
3π23
a.
∫ ∫ ∫ r dz d θ dr .
1 0 r
π 3 2π sec (φ )
b.
∫∫ ∫
0
0
ρ 2 sen (φ ) d ρ dθ dφ .
0
14. Escreva a integral tripla de uma função contínua arbitrária f (x, y, z) em
coordenadas cilíndricas ou esféricas sobre o sólido mostrado.
SolLista08.docx
Cálculo Diferencial e Integral III
13
∫∫∫ f ( x , y, z ) dV .
15. Use coordenadas cilíndricas para calcular
E
a. E é o sólido no primeiro octante abaixo do parabolóide z = 1 – x 2 – y 2, f (x, y,
z) = x 3 + xy 2.
b. E é limitado pelos planos z = 0, z = y e pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 no
semiespaço y ≥ 0.
16. Determine o volume do sólido que o cilindro r = a cos(θ) corta da esfera de raio a
centrada na origem.
17. Determine a massa da bola B dada por x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 se a densidade em
qualquer ponto for proporcional a sua distância do eixo dos x.
18. Solução:
a. Em coordenadas esféricas, a região é definida pelas desigualdades 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ ϕ
≤ π/2, 0 ≤ θ ≤ 2π e a função é dada por ρ2cos2(θ) sen2(ϕ) + ρ2sen2(θ) sen2(ϕ) =
ρ2sen2(ϕ), logo
∫∫∫
1
π2
2π
1
π2
0
0
0
0
0
f ( x , y , z ) dV = ∫ ρ2d ρ ∫ sen ( ϕ ) d ϕ ∫ d θ ρ2sen2 ( ϕ ) = 2π ∫ ρ4d ρ ∫ sen3 ( ϕ ) d ϕ .
E
A integral em ϕ tem que ser feita por partes: escolhendo u = sen2(ϕ), dv =
sen(ϕ)dϕ, du = 2sen (ϕ)cos(ϕ), v = −cos(ϕ), logo
π2
∫
sen3 ( ϕ ) d ϕ = − sen2 ( ϕ ) cos ( ϕ )
π2
0
π2
+
0
∫ 2sen ( ϕ) cos ( ϕ) d ϕ
2
0
π2
π2
π2
0
0
= 2 ∫ sen ( ϕ ) 1 − sen2 ( ϕ )  d ϕ = 2 ∫ sen ( ϕ ) d ϕ − 2 ∫ sen3 ( ϕ ) d ϕ
0
π2
π2
0
0
⇒ 3 ∫ sen3 ( ϕ ) d ϕ = 2 ∫ sen ( ϕ ) d ϕ = 2 ( − cos ( π 2) + cos ( 0 ) ) = 2
π2
⇒
2
∫ sen ( ϕ) d ϕ = 3 .
3
0
Portanto,
∫∫∫ f ( x , y , z ) dV
E
π2
1
= 2π ∫ ρ d ρ ∫
4
0
0
1
2
4π 1 4π
.
sen ( ϕ ) d ϕ = 2π ∫ ρ4d ρ =
=
30
3 5 15
3
Resposta: A integral é igual a 4π/15 ≅ 0,84.
b. Como o sólido está no primeiro octante, o sólido em coordenadas esféricas é
definido pelas desigualdades 1 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ ϕ ≤ π/2, 0 ≤ θ ≤ π/2. Como a função é
exp(ρ), temos
SolLista08.docx
Cálculo Diferencial e Integral III
14
π2
2
π2
2
ρ
∫∫∫ f ( x , y, z ) dV = ∫ ρ dρ ∫ sen ( ϕ ) d ϕ ∫ d θ e
E
1
0
=
0
π2
2
π 2 ρ
ρ e d ρ ∫ sen ( ϕ ) d ϕ
2 ∫1
0
2
π
= ( − cos ( π 2) + cos ( 0 ) ) ∫ ρ2e ρd ρ
2
1
.
2
=
π 2 ρ
ρ e d ρ.
2 ∫1
Integrando por partes, escolhemos u = ρ2, dv = exp(ρ)dρ, du = 2ρdρ, v = exp(ρ),
logo
2
∫ ρ e dρ = ρ e
2
ρ
2
2
ρ 2
2
− ∫ 2ρe d ρ = 4e − e − 2∫ ρe ρd ρ .
ρ
1
1
2
1
1
Integrando por partes novamente, escolhemos u = ρ, dv = exp(ρ)dρ, du = dρ, v =
exp(ρ), de modo que
2
 ρ2 2 ρ 
2 ρ
2
2
2
2
2
ρ
e
d
ρ
=
4
e
−
e
−
2
ρe 1 − ∫ e dρ  = 4e − e − 2 2e − e − e + e  = e − e .
∫1
1


Portanto
2
πe (e − 1)
π 2 ρ
.
f ( x , y , z ) dV = ∫ ρ e d ρ =
∫∫∫
21
2
E
Resposta: A integral é igual a πe(e – 1)/2 ≅ 7,3.
c. E é o sólido entre as esferas ρ = 2 e ρ = 4 acima do cone φ = π/3, f (x, y, z) =
xyz.
∫∫∫ f ( x , y, z ) dV .
E
19. Vamos colocar o hemisfério centrado na origem com a base no plano xy. Então a
distância de um ponto no hemisfério à base é igual a z, de modo que a densidade é
d(x, y, z) = kz, onde k é a constante de proporcionalidade. Usando coordenadas
esféricas, é claro que 0 ≤ ρ ≤ a, 0 ≤ ϕ ≤ π/2, 0 ≤ θ ≤ 2π, logo
m=
a
π2
0
0
2π
a
π2
0
0
2
3
∫∫∫ kzdV = k ∫ ρ dρ ∫ sen ( ϕ) d ϕ ∫ d θ ρ cos ( ϕ) = 2k π∫ ρ dρ ∫ sen ( ϕ) cos ( ϕ) d ϕ
E
0
4
a
= 2k π
1
a
sen2 ( π 2 ) − sen2 ( 0 ) ) ∫ ρ3d ρ = k π .
(
2
4
0
Por simetria, note que o centro de massa está no eixo dos z: de fato,
M yz =
∫∫∫ xkzdV
E
a
π2
a
2π
= k ∫ ρ d ρ ∫ sen ( ϕ ) d ϕ ∫ d θ ρ cos ( θ ) sen ( ϕ ) ρ cos ( ϕ )
2
0
0
0
π2
2π
0
= k ∫ ρ4d ρ ∫ sen2 ( ϕ ) cos ( ϕ ) d ϕ ∫ d θ cos ( θ )
0
0
a
π2
0
0
= k ∫ ρ4d ρ ∫ sen2 ( ϕ ) cos ( ϕ ) d ϕ ( sen ( 2π ) − sen ( 0 ) ) = 0
e
SolLista08.docx
Cálculo Diferencial e Integral III
15
M xz =
a
π2
0
0
2π
2
∫∫∫ ykzdV = k ∫ ρ dρ ∫ sen ( ϕ ) d ϕ ∫ d θ ρsen ( θ ) sen ( ϕ ) ρ cos ( ϕ )
E
a
0
π2
2π
0
= k ∫ ρ4d ρ ∫ sen2 ( ϕ ) cos ( ϕ ) d ϕ ∫ d θ sen ( θ )
0
0
a
π2
0
0
= k ∫ ρ4d ρ ∫ sen2 ( ϕ ) cos ( ϕ ) d ϕ ( − cos ( 2π ) + cos ( 0 ) ) = 0
Temos:
M xy =
a
π2
2π
0
0
0
2
2
2
2
∫∫∫ kz dV = k ∫ ρ d ρ ∫ sen ( ϕ ) d ϕ ∫ d θ ρ cos ( ϕ )
E
a
π2
0
0
= 2k π ∫ ρ4d ρ ∫ sen ( ϕ ) cos 2 ( ϕ ) d ϕ
 cos 3 ( π 2 ) cos 3 ( 0 ) 
= 2k π ∫ ρ4d ρ  −
+

3
3
0


5
5
2k π a
2k πa
,
=
=
3 5
15
a
logo
2k πa 5 4
8
= a.
4
m
15 k πa
15
4
Resposta: A massa é igual a kπa /4 unidades de massa e o centro de massa está em
(0, 0, 8a/15).
z =
M xy
=
20. A região de integração é definida pelas desigualdades 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤
1 − y 2 , x2 +
y2 ≤ z ≤ x 2 + y 2 . Note que a equação z = x2 + y2 define um parabolóide de
x 2 + y 2 define a parte superior (z ≥ 0) de um
revolução, enquanto que a equação z =
cone, de modo que o sólido está acima do parabolóide e abaixo do cone. A interseção
do paraboloide com o cone é dada por x2 + y2 =
x 2 + y 2 , ou seja, (x2 + y2)2 = (x2 + y2);
como as únicas raízes de u2 = u são u = 0 ou u = 1, a interseção é a união da origem
com o círculo centrado na origem de raio 1 no plano z = 1. Mas tanto x quanto y são
maiores ou iguais a zero, logo o sólido está inteiramente contido no primeiro octante
e 0 ≤ θ ≤ π/2. Então, em coordenadas cilíndricas, o sólido é definido pelas
desigualdades 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π/2, r2 ≤ z ≤ r. Logo,
2
1 1− y
∫ ∫
0
0
x 2 +y 2
∫
π 2
1
xyz dz dx dy = ∫ rdr
x 2 +y 2
0
=
π
∫
0
1
2 ∫0
(r
2
r
π 2
1
∫ dθ (r − r )
dθ ∫ dz = ∫ rdr
r2
− r 3 ) dr =
2
0
0
π 1
1 π
.
 − =
2  3 4  24
Resposta: A integral é igual a π/24 ≅ 0,13.
21. A região de integração é definida pelas desigualdades 0 ≤ y ≤ 3, 0 ≤ x ≤
x 2 + y 2 ≤ z ≤ 18 − x 2 − y 2 . Note que a equação z =
superior (z ≥ 0) de um cone, enquanto que a equação z =
x 2 + y 2 define a parte
18 − x 2 − y 2 define a parte
superior (z ≥ 0) de uma esfera centrada na origem de raio
SolLista08.docx
Cálculo Diferencial e Integral III
9 − y2 ,
18 = 3 2 . (Se não fosse
16
a limitação de x e y, pareceria um sorvete de cascão!) A interseção do hemisfério
com o cone é dado por z ≥ 0, x2 + y2 = 18 – x2 – y2, ou seja, z ≥ 0, x2 + y2 = 9, que é o
círculo centrado na origem de raio 3 no plano z = 3. Mas tanto x quanto y são maiores
ou iguais a zero, logo o sólido está inteiramente contido no primeiro octante
(dividimos o sorvete de cascão verticalmente em quatro partes), de modo que 0 ≤ θ ≤
π/2. Como a equação da esfera é ρ = 3 2 e a equação da parte superior do cone é ϕ =
π/4, vemos que, em coordenadas esféricas, o sólido é definido pelas desigualdades 0
≤ ρ ≤ 3, 0 ≤ ϕ ≤ π/4, 0 ≤ θ ≤ π/2. Então
2
3 9 −y
∫ ∫
0
0
18 − x 2 − y 2
∫ (x
3
2
+ y 2 + z 2 ) dz dx dy = ∫ ρ 2d ρ
0
x 2 +y2
=
=
=
Resposta: A integral é igual a
243π
10
π
π 4
∫
sen (ϕ ) dϕ
0
3
4
∫ ρ dρ
20
π 2
∫ dθ ρ
2
0
π 4
∫ sen (ϕ ) dϕ
0
π
 4
π 
 − cos   + cos ( 0 )  ∫ ρ d ρ
2
4
0
3
π
2  35
1 −
 .
2
2  5

2
1 −
 ≅ 1729,5.
2 

22. Solução:
a. O jacobiano desta transformação é
∂x ∂x ∂x
∂u ∂v ∂w a 0 0
∂y ∂y ∂y
= 0 b 0 = abc .
∂u ∂v ∂w
0 0 c
∂z ∂z ∂z
∂u ∂v ∂w
Vamos supor que a, b, c > 0. Nas coordenadas u, v, w, o elipsoide vira a esfera S
centrada na origem de raio 1: u2 + v2 + w2 = 1. Como o volume de uma esfera de
raio r é (4/3)πr3 (você poderia chegar a este resultado usando coordenadas
esféricas!), o volume do elipsoide é dado por
4
V = ∫∫∫ dV = abc ∫∫∫ dudvdw = abc π .
3
E
S
Resposta: O volume do elipsoide é 4πabc/3.
b. Basta usar a fórmula encontrada no item b.
Resposta: O volume da Terra é 6378 × 6378 × 6356 × 4π/3 ≅ 1.083.032.595.704
km3, ou seja, cerca de 1 trilhão e 83 bilhões de quilômetros cúbicos.
c. Fazendo primeiro uma mudança de variáveis de x, y, z para u, v, w e depois usando
coordenadas esféricas, obtemos:
SolLista08.docx
Cálculo Diferencial e Integral III
17
∫∫∫ x
2
ydV = abc ∫∫∫ abuvdudvdw
E
S
π
2π
0
0
0
1
π
1
= a 2b 2 ∫ ρ 2d ρ ∫ sen (ϕ ) dϕ ∫ dθ ρ cos (θ ) sen (ϕ ) ρ sen (θ ) sen (ϕ )
=a b
2
2
∫ρ
2π
d ρ ∫ sen (ϕ ) dϕ ∫ dθ cos (θ ) sen (θ )
4
.
3
0
0
1
π
0
2π
1

= a b ∫ ρ d ρ ∫ sen (ϕ ) dϕ  sen2 (θ )  = 0.
2
o
0
0
2
2
4
3
Resposta: A integral é igual a zero.
SolLista08.docx
Cálculo Diferencial e Integral III
18