J. A. M. Felippe de Souza
1 – Introdução e Base Matemática
1 – Introdução e
Base Matemática
Introdução
Base Matemática
2
3
1.1 – O número imaginário
3
1.2 – Números complexos
4
1.3 – Operações com números complexos
9
1.4 – O seno e o co-seno
12
1.5 – A equação de Euler
15
1.6 – A tangente
17
1.7 – As inversas de seno, co-seno e tangente
19
1.8 – Exponenciais e logaritmos
22
1.9 – Derivadas
23
1.10 – Integrais
30
1.11 – Decibéis (dB)
38
1
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1 – Introdução e Base Matemática
Introdução
Quando se fala em sinais geralmente é associado à medição ou ao registo de algum
fenómeno físico ou, em outras palavras, de um sistema. Portanto, sinais e sistemas
são conceitos bastante interligados.
No presente capítulo 1 faremos uma breve revisão de diversos tópicos básicos da
matemática que serão úteis para os capítulos seguintes. Recapitularemos vários resultados, expressões e fórmulas da álgebra, da álgebra linear, da análise, do cálculo diferencial e integral e da trigonometria que serão de certa forma usado neste texto.
Nos capítulos 2 e 3 trataremos da descrição e da terminologia dos sinais enquanto
que no capítulo 4 trataremos de sistemas.
Nos demais capítulos trataremos de algumas ferramentas de análise de sinais:
Transformadas de Laplace (capítulo 5), Transformadas z (capítulo 6), Séries e
Transformadas de Fourier (capítulos 7 e 8, respectivamente) e Diagramas de Bode
(capítulo 9).
2
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1 – Introdução e Base Matemática
Base Matemática
1.1 – O número imaginário
O número imaginário “ j ” é definido como:
j = −1 .
Na literatura de matemática é muito comum usar-se “ i ” (de “imaginário”) para o
número imaginário:
i = −1 .
Entretanto, em engenharia a letra “ i ” é normalmente reservada para a corrente eléctrica (medida em Ampères) enquanto que para o número imaginário usa-se a letra
“ j ”.
Logo,
j2 = −1
j3 = − − 1
Portanto,
j5 = j4 ⋅ j1 = j = − 1
j6 = j4 ⋅ j2 = j2 = −1
j7 = j4 ⋅ j3 = j3 = − − 1
j8 = j4 ⋅ j4 = 1 ⋅ 1 = 1
e assim por diante.
Além disso:
3
j4 = 1
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1 – Introdução e Base Matemática
1
j
j
j−1 = =
=
= −j
j j ⋅ j (−1)
ou seja,
j−1 = − j .
Semelhantemente,
j−2 = 1
j−3 = j
j−4 = −1
Alguns exemplos imediatos deste resultado
1
= −j :
j
2
= −2 j
j
−3
= −3 j
j3
1
1
=
−
(2 j)2 4
−5
= −5
j4
1.2 – Números complexos
Um número complexo z ∈ ℂ é expresso por:
z = α +β j
onde α e β ∈ R (números reais) e j é o número imaginário puro conforme definido
acima.
α e β são chamados de:
α = parte real de z, e
β = parte imaginária de z
4
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1 – Introdução e Base Matemática
e são representados por
α = Re (z)
β = Im (z).
Um número complexo z ∈ ℂ escrito na forma acima é dito estar na forma “cartesiana”
ou “algébrica”.
Fig. 1.1 – O plano s, a representação cartesiana (à esquerda) e a representação
polar (à direita).
Um número complexo z ∈ ℂ pode ser escrito de forma equivalente como
z = ρ ⋅ e jθ
onde ρ e θ são números reais, sendo que ρ > 0 e θ (em radianos) é um arco.
A expressão acima é muito comummente abreviada (especialmente em textos de
engenharia) para
z = ρ ⋅ ∠θ .
por uma questão de simplicidade. Além disso, neste caso, quando se usa esta notação
para z, é comum se denotar o ângulo θ em graus em vez de radianos.
ρ e θ são chamados de:
ρ = módulo de z, e
θ = ângulo ou fase de z
5
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1 – Introdução e Base Matemática
e são representados por
ρ = |z|
θ = ∠z.
Um número complexo z escrito nesta forma acima é dito estar na forma “polar” ou
“trigonométrica”.
A representação gráfica de um número complexo z ∈ ℂ feita no plano complexo (ou
plano s) em termos de α, β, ρ e θ é dada nas figuras 1.1 e 1.2.
Fig. 1.2 – O plano s, as coordenadas cartesianas e polares
A transformação da forma cartesiana para polar assim como da forma polar para cartesiana são facilmente obtidas pelas relações básicas da geometria (teorema de Pitágoras) e da trigonometria (senos e co-senos).
As relações que permitem transformar da forma cartesiana para a forma polar são:
β 

α 
θ = ∠z = arctg 
ρ = | z | = α2 + β2
e as relações que permitem transformar da forma polar para a forma cartesiana são:
α = Re( z) = ρ ⋅ cos θ
β = Im(z) = ρ ⋅ sen θ
6
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1 – Introdução e Base Matemática
Alguns exemplos:
z2 = 2 − 2 j
z1 = 2 ⋅ ∠210 º
= 2 2∠ − 45º
= 2 ⋅ ∠ − 150 º
= 2 ⋅e
= 2 2 ∠315º
− j 2 , 618
= 2 2 ⋅ e − j( π / 4)
= −1,732 − 1 j
= 2,8284 ⋅ e − j ( 0, 7854 )
z 3 = 1 ⋅ ∠ 45º
=e
j 0 , 785
=
2
2
+
j
2
2
z4 = j
= 0 + 1j
= 1 ∠90º
= e j( π / 2)
= e j (1,57 )
= 0,707 + 0,707 j
Fig. 1.3 – A representação gráfica dos números complexos z1, z2, z3 e z4.
7
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1 – Introdução e Base Matemática
O conjugado de um número complexo z ∈ ℂ
z = α +βj
é o número complexo
z
ou z*
z = z* = α − β j
ou seja,
z
ou z* é o rebatimento do ponto z no plano s em relação ao eixo real.
Fig. 1.4 – O conjugado z ou z* de um número complexo z.
Em termos da forma polar o conjugado z ou z* de um número complexo:
z = ρ ⋅ e jθ
é dado por:
Note que
z = z* = ρ ⋅ e − jθ .
z = (z* )* = z
e, além disso, se x é um número real (x ∈ R), ou seja, x é um número complexo com
a parte imaginária igual a zero, então:
x = (x* )* = x .
8
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1 – Introdução e Base Matemática
1.3 – Operações com números complexos
A forma cartesiana é mais apropriada para operações de soma (z1 + z2) e subtracção
(z1 – z2) de números complexos,
(α1 + β1 ⋅ j) + (α 2 + β 2 ⋅ j)
= (α1 + α 2 ) + (β1 + β 2 ) ⋅ j
(α1 + β1 ⋅ j) − (α 2 + β2 ⋅ j)
= (α1 − α 2 ) + (β1 − β2 ) ⋅ j
enquanto que a forma polar é mais apropriada para operações de multiplicação
(z1 ⋅ z2) e divisão (z1 / z2) de números complexos:
( ρ ⋅ e )⋅ ( ρ ⋅ e ) = ρ ⋅ ρ
(ρ ⋅e ) = ρ ⋅e (
(ρ ⋅e ) ρ
jθ1
jθ2
1
2
1
jθ1
1
1
jθ2
2
2
⋅ e j⋅(θ1+θ2 )
j⋅ θ1 −θ2 )
2
ou, equivalentemente:
( ρ ⋅ e )⋅ ( ρ
jθ1
1
2
)
⋅ e jθ2 = ρ1 ⋅ ρ2 ⋅ ∠(θ1 + θ2 )
(ρ
(ρ
)
)
⋅ e jθ1
ρ
= 1 ⋅ ∠(θ1 − θ 2 )
jθ 2
ρ2
2 ⋅e
1
Um resultado bastante útil é dado pela equação abaixo:
(α + β j) ⋅ (α − β j)
= α 2 + β2
ou seja, o produto z ⋅ z de um número complexo z pelo seu conjugado z é um
número real (um número complexo sem a parte imaginária) e cujo valor é a soma do
quadrado da parte real de z com o quadrado da parte imaginária de z.
Este resultado permite que se escreva uma fracção z/z’, onde z e z’ são 2 números
complexos
z = α + j⋅β
z’ = σ + j⋅ω
e
na forma cartesiana A + j⋅B, ou seja,
z α + jβ
=
= A + j⋅ B
z′ σ + jω
9
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1 – Introdução e Base Matemática
Note que, multiplicando-se ambos o numerador e o denominador de z/z’ pelo conjugado do denominador z′ temos
z z z′ (α + jβ)(σ − jω) (ασ + βω) + j ⋅ (βσ − αω)
=
=
=
z′ z′ z′ (σ + jω)(σ − jω)
σ 2 + ω2
ou seja,
(βσ − αω)
z (ασ + βω)
= 2
+ j⋅ 2
2
z′
σ +ω
σ + ω2
(
)
(
)
e portanto,
A=
(ασ + βω)
(σ
2
+ ω2
)
e
B=
(βσ − αω)
(σ
2
+ ω2
)
Alguns exemplos:
a)
z
2 − j5
=
z′ − 1 + j 2
então, α = 2, β = –5, σ = –1, e ω = 2, logo
z
(− 2 − 10) + j ⋅ (5 − 4) = − 2,4 + j ⋅ 0,2
=
z′
5
5
b)
z 3 − 2j
=
z′ 1 + j
então, α = 3, β = –2, σ = 1, e ω = 1, logo
(3 − 2) + j ⋅ (− 2 − 3) = 0,5 − j ⋅ 2,5
z
=
z′
2
2
c)
z 3
=
z′ j
então, α = 3, β = 0, σ = 0, e ω = 1, logo
z
(0 + 0) + j ⋅ (0 − 3) = 0 − j ⋅ 3 = −3 j
=
z′
( j)(− j)
( j)(− j)
Neste último caso observe que seria mais simples e imediato se fosse utilizado o
resultado
10
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1 – Introdução e Base Matemática
1
= −j
j
que já vimos mais acima.
Outro resultado bastante útil é o seguinte:
e jθ = 1,
∀θ
jθ
ou seja, z = e é um ponto da circunferência de raio 1 centrada na origem do plano s.
jθ
Na verdade z = e é o ponto desta circunferência cujo ângulo com o eixo real positivo é θ.
Fig. 1.5 – Circunferência de raio 1 centrada na origem do plano s.
Logo, é fácil de verificar que
e =1
j0
e
jπ
e = −1
e
11
j
π
2
−j
=j
π
2
= −j
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1 – Introdução e Base Matemática
1.4 – O seno e o co-seno
O seno e o co-seno de um ângulo θ de um triângulo rectângulo são definidos como:
sen (θ) =
cos (θ) =
c cateto oposto
=
a
hipotenusa
b cateto adjacente
=
a
hipotenusa
Fig. 1.6 – Triângulo rectângulo.
Usando o Teorema de Pitágoras
a 2 = b 2 + c2
pode-se facilmente encontrar os seguintes senos e co-senos conhecidos:
sen (0º ) = sen (0) = 0
cos (0º ) = cos(0) = 1
2
 π
sen (45º ) = sen   =
2
 4
2
π
cos (45º ) = cos   =
4 2
 π
sen (90º ) = sen   = 1
2
 π
cos (90º ) = cos   = 0
 2
12
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1 – Introdução e Base Matemática
Outros senos e co-senos notáveis:
π 1
sen (30º ) = sen   =
6 2
3
π
cos (30º ) = cos   =
6 2
3
π
sen (60º ) = sen   =
3 2
π 1
cos (60º ) = cos   =
3 2
Se θ = ωt, onde
–∞ < t < ∞,
e
ω > 0,
então sen (θ) e cos (θ) se transformam em funções de t,
x(t) = sen (ωt) ,
ω>0
x(t) = cos (ωt) ,
ω>0
e
cujos gráficos pode-se ver abaixo nas figuras 1.7 e 1.8.
Fig. 1.7 – A função seno, x(t) = sen (ωt) , t∈(–∞, ∞), ω > 0.
13
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1 – Introdução e Base Matemática
Fig. 1.8 – A função co-seno, x(t) = cos (ωt) , t∈(–∞, ∞), ω > 0.
Algumas relações que envolvem senos e co-senos:
Versão trigonométrica do Teorema de Pitágoras:
sen 2 (θ) + cos2 (θ) = 1
Relações do arco complementar (para o seno e para o co-seno):
π
π 

cos (θ) = sen  − θ  = sen  θ + 
2
2


π

sen (θ) = cos  θ − 
2

Relações do arco suplementar (para o seno e para o co-seno):
sen (θ) = sen (π − θ)
cos (θ) = − cos (π − θ)
14
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1 – Introdução e Base Matemática
Relações de paridade para o seno e para o co-seno:
sen (θ) = − sen (− θ)
cos (θ) = cos (− θ)
Seno e co-seno da soma de 2 arcos:
sen (θ1 + θ2 ) = sen (θ1 ) cos(θ2 ) + cos(θ1 )sen (θ2 )
cos (θ1 + θ2 ) = cos (θ1 ) cos (θ2 ) − sen (θ1 )sen (θ2 )
Seno e co-seno do dobro de um arco:
sen (2 θ) = 2 sen (θ) cos (θ)
cos (2 θ) = cos2 (θ) − sen 2 (θ)
1.5 – A equação de Euler
O matemático e físico suíço Leonhard Euler (1707-1783) publicou o seguinte resultado em 1748:
e jθ = cos θ + j ⋅ sen θ
e por esta razão ele é chamado de “equação de Euler”.
Com a equação de Euler é fácil de se compreender a transformação da forma polar
para cartesiana já vista acima. Se z ∈ ℂ escrito na forma polar,
z = ρ ⋅ e jθ
= ρ ⋅ (cos θ + j ⋅ sen θ)
= (ρ ⋅ cos θ) + j ⋅ (ρ ⋅ sen θ)
logo,
onde
z = α+β j
α = ρ ⋅ cos θ
β = ρ ⋅ sen θ
15
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1 – Introdução e Base Matemática
j0
O seguinte exemplo serve para verificar as relações acima para e ,
jπ − jπ
e 2, e 2
jπ
e e
e j0 = cos (0 ) + j ⋅ sen (0 ) = 1 + 0 ⋅ j = 1
e
e
−j
π
2
j
π
2
 π
 π
= cos   + j ⋅ sen   = 0 + 1 ⋅ j = j
2
2
 π
 π
= cos  −  + j ⋅ sen  −  = 0 − 1 ⋅ j = − j
 2
 2
e − jπ = cos (π) + j ⋅ sen (π) = −1 − 0 ⋅ j = −1
Da equação de Euler é fácil de obter-se as seguintes relações também bastante
conhecidas:
e jθ + e − jθ
cos θ =
2
e jθ − e − jθ
sen θ =
2j
Como exemplo, vamos utilizar estas relações acima obtida da equação de Euler para
verificar alguns senos e co-senos bastante conhecidos:
cos (0º) = cos (0) =
sen (0º) = sen (0) =
 
cos (90º) = cos  π  =
2
 
sen (90º) = sen  π  =
2
e j⋅0 + e− j⋅0
=
1+1
2
e j⋅0 − e − j⋅0
=
2j
 
j⋅ π 
e 2
 
− j⋅ π 
+ e 2
1−1
 
− j⋅ π 
− e 2
2j
16
=0
2j
=
2
 
j⋅ π 
e 2
=1
2
j + (− j)
=0
2
=
j − (− j)
2j
=1
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1 – Introdução e Base Matemática
 π e
cos (− 90º ) = cos  −  =
 2
 π e
sen (− 90º ) = sen  −  =
 2
cos (180º) = cos (π) =
sen (180º) = sen (π) =
π
− j⋅ 
2
π
j⋅ 
2
+e
2
π
− j⋅ 
2
−e
2j
e − jπ + e j⋅ π
2
e− j⋅π − e j⋅π
π
j⋅ 
2
=
=
− j+ j
=0
2
=
− j− j
= −1
2j
− 1 + (−1)
=
2j
2
− 1 − (−1)
= −1
=0
2j
1.6 – A tangente
A tangente de um ângulo θ de um triângulo rectângulo é definida como:
tg (θ) =
c
cateto oposto
=
b cateto adjacente
e, pelas definições de seno e co-seno, facilmente obtém-se:
tg (θ) =
sen(θ)
cos(θ)
e desta forma pode-se facilmente encontrar as seguintes tangentes conhecidas:
tg (0º ) = tg (0) = 0
 π
tg (45º ) = tg   = 1
4
π
tg (90º ) = tg   = ∞
2
3
π
tg (30º ) = tg   =
3
6
π
tg (60º ) = tg   = 3
3
17
J. A. M. Felippe de Souza
1 – Introdução e Base Matemática
Se θ = ωt, onde
–∞ < t < ∞,
e
ω > 0,
então tg (θ) se transforma em uma função de t,
ω>0
x(t) = tg (ωt) ,
cujo gráfico pode-se ver abaixo na figura 1.9.
Fig. 1.9 – A função tangente, x(t) = tg (ωt), t∈(–∞, ∞), ω > 0.
Assim como o seno e para o co-seno que se repetem a cada intervalo de 2π, a tangente se repete a cada intervalo de π. Logo,
tg (θ) = tg (θ + π) = tg (θ − π) .
ou melhor:
tg (θ) = tg (θ + k π),
k ∈ { 0, ± 1, ± 2, ...}
18
J. A. M. Felippe de Souza
1 – Introdução e Base Matemática
1.7 – As inversas de seno, co-seno e tangente
Nitidamente as funções seno, co-seno e tangente não são inversíveis. Pelo gráfico de
x(t) = sen (ωt), x(t) = cos (ωt) e x(t) = tg (ωt) vemos que se α e β forem valores no
intervalo [0, 1], e γ for um valor real qualquer, ou seja,
α ∈[–1, 1], β ∈[–1, 1], γ ∈(–∞, ∞),
então vão haver muitos valores de t∈(–∞, ∞) para os quais
x(t) = sen (ωt) = α
x(t) = cos (ωt) = β
x(t) = tg (ωt) = γ
Portanto, para poder se achar a função inversa de seno, co-seno e tangente temos que
limitar o intervalo destas funções.
No caso do seno limitamos ao intervalo t∈[–π/2 , π/2], no caso co-seno limitamos ao
intervalo t∈[0 , π], e no caso da tangente limitamos ao intervalo t∈[–π/2 , π/2]. Os
gráficos destas funções são apresentados nas figuras 1.10 e 1.11.
Fig. 1.10 – A função seno, x(t) = sen (ωt) limitada ao intervalo t∈[–π/2 , π/2] (1º e 4º
quadrantes), e ω > 0 (à esquerda), e a função co-seno, x(t) = cos (ωt) limitada ao intervalo t∈[0 , π] (1º e 2º quadrantes), e ω > 0 (à direita).
19
J. A. M. Felippe de Souza
1 – Introdução e Base Matemática
Fig. 1.11 – A função tangente, x(t) = tg (ωt) limitada ao intervalo t∈[–π/2 , π/2] (1º
e 4º quadrantes), e ω > 0.
Esta é a norma geral adoptada pelas máquinas calculadoras e meios informáticos de
cálculo modernos. Limita-se o arco a 2 quadrantes:
1º e 4º quadrante, no caso do seno ou da tangente;
e
1º e 2º quadrante, no caso do co-seno.
Desta forma é possível falar nas funções inversas do seno, do co-seno e da tangente:
arcsen (α), arccos (β) e arctg (γ).
Por exemplo, se γ = 1, o arco cuja a tangente é 1 é dado por
π
= 45º
4
arctg (1) =
embora, como já foi visto acima, existam muitos outros arcos θ cuja tangente também
é 1. Na verdade as soluções possíveis são:
θ=
ou seja:
π
+ k π,
4
k ∈ { 0, ± 1, ± 2, ...}
θ = 45º e
θ = 225º
são 2 possíveis soluções de arctg (π/4). E θ = 45º está no primeiro quadrante e
θ = 225º está no terceiro quadrante.
20
J. A. M. Felippe de Souza
1 – Introdução e Base Matemática
No caso particular da inversa ser de uma fracção
arcsen (b/a), arccos (b/a) e arctg (b/a)
então podemos levar em consideração o quadrante do ponto (a, b).
Fig. 1.12 – Dois arcos que têm a mesma tangente 1: 45º (ou π/4, 1º quadrante)
e 225º (ou 5π/4, 3º quadrante).
Desta forma a inversa do seno, do co-seno ou da tangente não fica limitada ao intervalo [–π/2 , π/2] ou [0 , π] que representam apenas 2 quadrantes, pois temos informação suficiente para determinar o arco nos 4 quadrantes. Por exemplo:
1 π
arctg   = = 45º
1 4
(1º quadrante)
 − 1  5π
arctg   =
= 225º = −135º
 −1 4
(3º quadrante)
 −1 − π
arctg   =
= −45º = 315º
1
4
 
(4º quadrante)
 1  3π
arctg   =
= 135º
 −1 4
(2º quadrante)
21
J. A. M. Felippe de Souza
1 – Introdução e Base Matemática
1.8 – Exponenciais e logaritmos
O “número neperiano e” (devido ao matemático, astrólogo e teólogo escocês. John
Napier, 1550-1617) vale aproximadamente
e = 2,7183
Mais precisamente, ele pode ser escrito como uma série infinita ou como um limite
(esta última forma devido ao matemático suíço Jakob Bernoulli, 1654-1705):
∞
e=∑
n =0
 1
e = lim1 + 
n →∞
 n
1
n!
n
O “número neperiano” também é chamado de “constante de Euler” e é a base dos
logaritmos naturais (ln). Portanto:
e ln ( x ) = x
Algumas relações básicas de exponenciais e logaritmos:
e ⋅e = e
x
y
(e )
ex
= e x−y
y
e
x+y
x y
x
ln   = ln (x ) − ln (y )
 y
ln (x ⋅ y) = ln (x ) + ln (y)
e −ln ( x ) = e ln (1/ x ) =
1
x
Transformação da base e para a base 10:
log10 (x ) =
ln(x ) ln(x )
=
= 0,4343⋅ ln(x )
ln(10) 2,3
Transformação da base 10 para a base e:
ln(x ) =
log10(x )
log10(e)
=
log10(x )
0,4343
= 2,3 ⋅ log10(x )
Transformação de qualquer base “b” para a base “a”:
log a (x ) =
22
log b (x )
log b (a )
= e x ⋅y
( )
ln x a = a ln (x )
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1 – Introdução e Base Matemática
1.9 – Derivadas
A teoria do cálculo diferencial é de autoria do físico e matemático inglês Sir Isaac
Newton (1643-1727)
1727) e do filósofo e matemático alemão Gottfried Wilhelm von
Leibniz (1646-1716).
A notação das derivada de uma função f(t) pode ser
df
dt
(devido à Newton)
f ' (t)
(devido à Leibniz).
ou
A derivada de uma função f(t) no instante t nos dá a inclinação (ou declive) de uma
recta tangente à curva naquele instante.
Se f(t) é crescente em t = a, então a derivada será positiva naquele instante
f ' (a ) =
df
dt
t =a
> 0.
Isso é ilustrado na figura 1.113.
Fig. 1.13 – Inclinação positiva (ou declive positivo) da recta tangente à curva f(t)
no instante t = a.
Por outro lado, see f(t) é decrescente em t = a, então a derivada será negativa naquele
instante
23
J. A. M. Felippe de Souza
1 – Introdução e Base Matemática
f ' (a ) =
df
dt
t= a
<0.
Isso é ilustrado na figura 1.114.
Fig. 1.14 – Inclinação negativa (ou declive negativo) da recta tangente à curva f(t)
no instante t = a.
Fig. 1.15 – Inclinação nula (ou declive nulo) da recta tangente à curva f(t) no insins
tante t = a. Caso de máximo local.
Finalmente, se f(t) não é crescente nem decrescente em t = a, então a derivada será
zero naquele instante
f ' (a ) =
df
dt
24
t =a
=0.
J. A. M. Felippe de Souza
1 – Introdução e Base Matemática
Neste caso pode-se ter um máximo ou um mínimo local,
local, mas às vezes nenhum dos
dois.. Isso é ilustrado nas figuras 1.15, 1.16 e 1.17.
Fig. 1.16 – Inclinação nula (ou declive nulo) da recta tangente à curva f(t)
no instante t = a. Caso de mínimo local.
Fig. 1.17 – Inclinação nula (ou declive nulo) da recta tangente à curva f(t) no insins
tante t = a. Caso de ponto de inflexão, não é máximo nem mínimo local.
Algumas propriedades e regras das derivadas:
Linearidade:
d(c ⋅ f ( t ) )
df ( t )
= c⋅
= c ⋅ f ' (t)
dt
dt
(homogeneidade)
d(f1 ( t ) + f 2 ( t ) ) df1 ( t ) df 2 ( t )
=
+
= f1 ' ( t ) + f 2 ' ( t )
dt
dt
dt
(aditividade)
25
J. A. M. Felippe de Souza
1 – Introdução e Base Matemática
Regra do produto:
d
(f (t ) ⋅ g(t )) = df (t ) ⋅ g(t ) + f (t ) ⋅ dg(t ) = f ' (t ) ⋅ g(t ) + g' (t ) ⋅ f (t )
dt
dt
dt
Regra do quociente:
d  f (t) 

=
dt  g ( t ) 
g(t ) ⋅
df ( t )
dg ( t )
− f (t) ⋅
dt
dt = g ( t ) ⋅ f ' ( t ) − f ( t ) ⋅ g ' ( t )
g 2 (t)
g 2 (t)
Regra da cadeia:
d
df
(g(t )) ⋅ dg(t ) = f ' (g(t )) ⋅ g' (t )
f (g( t )) =
dt
dt
dt
Se definirmos
u(t) = f (t)
e
v( t ) = g ( t )
e
dg
= v′
dt
então,
df
= u′
dt
E as regras acima podem ser reescritas de forma mais compacta como:
(c ⋅ u )′
= c ⋅ u′
(homogeneidade)
(u + v )′
= u ′ + v′
(u ⋅ v )′
= u ′ ⋅ v + u ⋅ v′
′
u
  =
v
v ⋅ u ′ − u ⋅ v′
v2
du
du dv
=
⋅
dt
dv dt
(aditividade)
(regra do produto)
(regra do quociente)
(regra da cadeia)
26
J. A. M. Felippe de Souza
1 – Introdução e Base Matemática
Algumas derivadas de funções simples:
d
c=0
dt
( )
d n
t = n ⋅ t n −1
dt
d
t =1
dt
(caso particular, n =1)
d
(c ⋅ t ) = c
dt
(aplicando a homogeneidade)
d  1  d −1
−1
t = − t −2 = 2
 =
dt  t  dt
t
( )
(caso particular, n = –1)
( )
d  1  d −m
1
t
= − m ⋅ t − m +1 = − m ⋅ m +1
 m=
dt  t  dt
t
d
dt
( t ) = dtd (t ) = 12 ⋅ t
12
−1 2
=
1
2 t
,
t≥0
t
d
t =
= sign ( t ) ,
dt
t
(caso particular, n = –m)
(caso particular, n = 1/2)
t≠0
Derivadas de funções exponenciais e logarítmicas:
d t
c = c t ⋅ ln c
dt
d t
e = et
dt
(caso particular, c = e, a única função que é igual a própria derivada)
d
1
log c t =
dt
t ⋅ ln c
d
1
ln t = = t −1 ,
dt
t
t>0
(caso particular, c = e)
d
1
ln t = = t −1
dt
t
d
ln t t = t t ⋅ (1 + ln t )
dt
27
J. A. M. Felippe de Souza
1 – Introdução e Base Matemática
Derivadas de funções trigonométricas:
d
sen ( t ) = cos ( t )
dt
d
cos ( t ) = − sen ( t )
dt
d
1
tg ( t ) = sec 2 ( t ) =
dt
cos 2 ( t )
d
sec ( t ) = tg ( t ) ⋅ sec ( t )
dt
d
−1
cotg ( t ) = − cossec 2 ( t ) =
dt
sen 2 ( t )
d
cos sec ( t ) = − cos sec ( t ) ⋅ cotg ( t )
dt
d
1
arcsen ( t ) =
dt
1− t2
d
−1
arccos ( t ) =
dt
1− t2
d
1
arctg ( t ) =
dt
1+ t2
d
1
arcsec ( t ) =
dt
t ⋅ t2 −1
d
−1
arccot g ( t ) =
dt
1+ t2
d
−1
arccossec ( t ) =
dt
t ⋅ t2 −1
28
J. A. M. Felippe de Souza
1 – Introdução e Base Matemática
Derivadas de funções hiperbólicas:
d
et + e -t
senh ( t ) = cosh ( t ) =
dt
2
d
e t − e -t
cosh ( t ) = senh ( t ) =
dt
2
d
tgh ( t ) = sech 2 ( t )
dt
d
sech ( t ) = − tgh ( t ) ⋅ sech ( t )
dt
d
cotgh ( t ) = − cossec h 2 ( t )
dt
d
csch ( t ) = − cotgh ( t ) ⋅ cos sech ( t )
dt
d
arcsenh ( t ) =
dt
d
arccosh ( t ) =
dt
1
t2 +1
1
t2 −1
d
1
arctgh ( t ) =
dt
1− t2
d
−1
arc sech ( t ) =
dt
t 1− t2
d
1
arc coth ( t ) =
dt
1− t2
d
−1
arc sech ( t ) =
dt
t 1+ t2
29
J. A. M. Felippe de Souza
1 – Introdução e Base Matemática
1.10 – Integrais
A integral indefinida de uma função f(t) é representada como
∫ f ( τ) ⋅ d τ
Por outro lado, a integral definida, representada como
∫
b
a
∫
f ( τ) ⋅ d τ ,
b
−∞
f (τ) ⋅ dτ
∫
ou
∞
a
f ( τ) ⋅ d τ
faz a Soma de Riemann que calcula a área sob a curva em m intervalo bem definido
como por exemplo:
[a,b],
] –∞ , b ]
[ a , ∞ [.
ou
Este nome acima é dado em alusão ao matemático alemão Georg Friedrich Bernhard
Riemann (1826-1866).
A integral é um processo inverso do da derivada de funções pois,
∫ f ′ (t ) dt
=
df
∫ dt ( t ) dt
ou
d
dt
=
∫
df ( t )
dt =
dt
∫ df
= f (t ) + C
( ∫ f (t ) ⋅ dt ) = f (t ) .
Mais precisamente:
t
F( t ) = ∫ f ( t ) ⋅ dt
a
é chamada de primitiva de f(t).
Este resultado é chamado de Teorema Fundamental do Cálculo e faz a interligação
entre o Cálculo Diferencial (secção anterior) e o Cálculo Integral (desta secção).
Algumas regras de integração de funções em geral
∫
a f (t ) dt = a ⋅ ∫ f (t ) dt + C
∫ [ f (t ) + g (t ) ] dt
∫ [ f ′ (t ) ⋅ g (t ) ] dt
=
∫ f (t ) dt + ∫ g (t ) dt
(regra da homogeneidade)
+ C
= f (t ) ⋅ g ( t ) + ∫ f ( t ) ⋅ g ′(t ) dt
30
(regra da aditividade)
(regra da integral por partes)
J. A. M. Felippe de Souza
1 – Introdução e Base Matemática
Se definirmos
então,
u(t) = g(t)
e
v( t ) = f ( t )
du = g ′( t ) ⋅ dt
e
dv = f ′( t ) ⋅ dt
e a regra da integral por partes pode ser escrita doutra forma:
forma
∫ u ⋅ dv
= uv − ∫ v du
(regra da integral por partes)
Por outro lado, se
u( t ) = f (t )
du = f ′( t ) ⋅ dt ,
e
então a integral definida é calculada como:
b
∫a du
= u ]a = u ( b ) − u (a )
b
Fig. 1.18 – A área S sob a curva f(t) no intervalo definido [a, b].
A integral definida desde a até b da função f
∫
b
a
f ( τ ) ⋅ dτ = S
é a área S sob a curva, conforme ilustrado na figura 1.18.
31
J. A. M. Felippe de Souza
1 – Introdução e Base Matemática
A figura 1.19 mostra dois exemplos da integral definida desde a até b da função f,
onde áreas abaixo do eixo das abcissas contam negativamente.
∫
b
a
f 1 (τ) ⋅ dτ = S1 − S 2
e
∫
b
a
f 2 ( τ) ⋅ dτ = S1 − S 2 + S3
Fig. 1.19 – Dois exemplos da área sob a curva f(t) no intervalo definido [a, b].
As áreas abaixo do eixo das abcissas contam negativamente.
A figura 1.20 mostra dois exemplos da integral definida em intervalos infinitos
como: ] –∞, b] , [ a, ∞ [ .
∞
b
∫−∞ f (τ) ⋅ dτ = S
3
e
∫a
f 4 (τ) ⋅ dτ = S
ois exemplos da área sob a curva f(t) definidos em intervalos infiniFig. 1.20 – Dois
tos: ] –∞, b] e [ a, ∞ [.
32
J. A. M. Felippe de Souza
1 – Introdução e Base Matemática
Apresentamos agora uma tabela das integrais das principais funções.
Integrais de funções racionais:
∫
du = u + C
u n +1
∫ u ⋅ du = (n + 1) + C ,
n
∫u
∫u
−1
2
∫
⋅ du =
n ≠1
du
= ln u + C
u
1
1
u
⋅ dt = ⋅ arctg   + C
2
a
+a
a
du
1
u−a
⋅
=
⋅
arctg

 + C,
2
∫ u −a
2a
u+a
u2 > a2
2
Integrais de funções irracionais:
∫
∫
du
u +a
2
du
u −a
2
2
⋅ = ln u + u 2 + a 2
+ C
⋅ = ln u + u 2 − a 2
+ C
du
∫ u⋅
∫
2
u −a
2
2
⋅ =
1
u
⋅ arc sec   + C
a
a
u
⋅ = arcsen   + C ,
a
a2 − u2
du
u2 < a2
Integrais de logaritmos:
∫ log
b
(a ⋅ t ) dt = t ⋅ log b (a ⋅ t ) − t ⋅ log b e + C
∫ ln (a ⋅ t) dt
(*)
= t ⋅ ln (a ⋅ t ) − t + C
[caso particular b = e da integral (*) acima]
∫
t n ⋅ ln (a ⋅ t ) dt =
t n+1
t n +1
⋅ ln (a ⋅ t ) −
+ C,
n +1
(n + 1)2
∫
t −1 ⋅ ln (a ⋅ t ) dt =
1
2
⋅ [ln (a ⋅ t ) ] + C
2
33
n ≠1
J. A. M. Felippe de Souza
1 – Introdução e Base Matemática
dt
= ln [ ln (a ⋅ t ) ] + C
t ⋅ ln (a ⋅ t )
∫
Integrais de funções exponenciais:
au
+ C,
ln (a )
u
∫ a ⋅ du =
∫e
u
a ≠ 1, a > 0
⋅ du = e u + C
[caso particular a = e da integral (**) acima]
1 b at
⋅
+ C
a ln ( b)
∫
b at dt =
∫
e at dt =
∫
t ⋅ e at dt =
∫
t n ⋅ e at dt =
∫
t ⋅ b dt =
∫
e at ⋅ sen(b t ) dt =
∫
e at ⋅ cos(b t ) dt =
n
(**)
(***)
1 at
e + C
a
[caso particular b = e da integral (***) acima]
e at
(at − 1) + C
a2
1 n at n
t e −
a
a
at
∫
t n −1 e at dt
t n b at
n
−
a ⋅ ln(b)
a ⋅ ln(b)
∫
t n −1 b at dt ,
b > 0, b ≠ 1
e at
a 2 + b2
) [a ⋅ sen(bt) − b ⋅ cos(bt)] +
C
e at
a 2 + b2
) [a ⋅ cos(bt) + b ⋅ sen(bt)] +
C
(
(
Integrais de funções trigonométricas:
∫ sen (u ) du
∫
cos (u ) du = sen (u ) + C
∫ tg (u ) du
∫
= − cos (u ) + C
= ln (sec (u ) ) + C
cotg (u ) du = ln sen (u ) + C
∫ sec (u ) ⋅ du
=
∫
1
⋅ du = ln sec ( u ) + tg ( u ) + C
cos (u )
34
J. A. M. Felippe de Souza
∫
1 – Introdução e Base Matemática
cosec (u ) ⋅ du =
∫
∫ sec (u ) ⋅tg (u ) ⋅ du
∫
∫
tg (u )
⋅ du = sec (u ) + C
sen (u )
cosec (u ) ⋅ cotg (u ) ⋅ du =
∫ sec (u ) ⋅ du
2
∫
=
1
⋅ du = ln cosec ( u ) − cotg ( u ) + C
sen (u )
∫
=
cosec 2 (u ) ⋅ du =
∫
1
⋅ du = − cos ec ( u ) + C
sen (u ) ⋅tg (u )
1
⋅ du = tg ( u ) + C
cos 2 (u )
∫
1
⋅ du = − cot g ( u ) + C
sen 2 (u )
∫ sen (a t ) dt
=
−1
cos (a t ) + C
a
∫ cos (a t ) dt
=
1
sen (a t ) + C
a
∫
sen 2 (a t ) dt =
∫ cos (a t ) dt
2
=
t
sen (2a t )
−
2
4a
+ C
t
sen (2a t )
+
+ C
2
4a
Fórmula de recorrência para integrais de potências de funções trigonométricas:
∫
− sen n −1 (a ⋅ u ) ⋅ cos(a ⋅ u )
n −1
sen (a ⋅ u ) du =
+
n ⋅a
n
∫
cos n (a ⋅ u ) du =
∫
tg n (a ⋅ u ) du =
∫
cot g n (a ⋅ u ) du = −
∫
sec n − 2 (a ⋅ u ) ⋅ tg (a ⋅ u )
n −2
n −2
sec (a ⋅ u ) du =
+ 
 ⋅ ∫ sec (a ⋅ u ) du
a ⋅ (n − 1)
 n −1 
∫
cos ec n − 2 (a ⋅ u ) ⋅ cotg (a ⋅ u )
n −2
n −2
cos ec (a ⋅ u ) du = −
+ 
 ⋅ ∫ cos ec (a ⋅ u ) du
a ⋅ (n − 1)
 n −1 
n
∫ sen (a ⋅ u ) du
n−2
cos n −1 (a ⋅ u ) ⋅ sen (a ⋅ u )
n −1
+
⋅ cos n − 2 (a ⋅ u ) du
n ⋅a
n ∫
tg n −1 (a ⋅ u )
−
a ⋅ (n − 1)
∫
tg n − 2 (a ⋅ u ) du
cot g n −1 (a ⋅ u )
−
a ⋅ (n − 1)
∫ cot g (a ⋅ u ) du
n −2
n
n
35
J. A. M. Felippe de Souza
1 – Introdução e Base Matemática
Integrais de outras funções trigonométricas:
∫ sen (a t )⋅ cos (b ⋅ t ) dt
= −
cos [(a + b) t ]
cos [(a − b) t ]
−
2 (a + b)
2 (a − b )
+ C,
a 2 ≠ b2
∫ sen (a ⋅ t )⋅ sen (b ⋅ t ) dt
=
sen [(a − b) t ]
sen [(a + b) t ]
−
2 (a − b)
2 (a + b )
+ C,
a 2 ≠ b2
cos (a ⋅ t )⋅ cos (b ⋅ t ) dt =
sen [(a − b) t ]
sen [(a + b) t ]
+
2 ( a − b)
2 (a + b )
+ C,
a 2 ≠ b2
∫
∫ sen (a ⋅ t )⋅ cos (a ⋅ t ) dt
∫ tg (a ⋅ t ) dt
=∫
= −
cos ( 2 ⋅ a ⋅ t )
4⋅ a
+ C
sen (a ⋅ t )
1
dt = − ⋅ ln cos (a ⋅ t )
cos (a ⋅ t )
a
+ C
cos (a t )
1
dt = ⋅ ln sen (a t )
sen (a t )
a
+ C
∫
cot g (a ⋅ t ) dt =
∫
t ⋅ sen (a ⋅ t ) dt = −
∫
t ⋅ cos (a t ) dt =
∫
tn
n
t ⋅ sen (a t ) dt = − cos (a t ) +
a
a
∫
t n ⋅ cos (a t ) dt =
∫
t
1
cos (a ⋅ t ) + C
sen (a ⋅ t ) −
2
a
a
1
t
cos (a t ) + sin (a t ) + C
2
a
a
n
tn
n
sen (a t ) −
a
a
∫t
∫t
n −1
n −1
cos (a t ) dt
sen (a t ) dt
Integrais de funções hiperbólicas:
=
1
⋅ cosh (at ) + C
a
cosh (at ) dt =
1
⋅ senh (at ) + C
a
∫ senh (at ) dt
∫
(at ) dt =
senh ( 2at )
t
− + C
4a
2
∫
cosh 2 (at ) dt =
senh ( 2at )
t
+ + C
4a
2
∫
t ⋅ senh (at ) dt =
∫ senh
2
t
1
⋅ cosh (at ) − 2 ⋅ senh (at ) + C
a
a
36
J. A. M. Felippe de Souza
1 – Introdução e Base Matemática
∫
t ⋅ cosh (at ) dt =
t
1
⋅ senh (at ) − 2 ⋅ cosh (at ) + C
a
a
∫
t n ⋅ senh (at ) dt =
tn
n
⋅ cosh (at ) − ⋅ ∫ t n −1 ⋅ cosh (at ) dt + C
a
a
∫
t n ⋅ cosh (at ) dt =
tn
n
⋅ senh (at ) − ⋅ ∫ t n −1 ⋅ senh (at ) dt + C
a
a
∫
tanh (at ) dt =
∫ coth (at) dt
senh (at )
∫ cosh (at )
=
dt =
cosh (at)
∫ senh (at)
1
⋅ ln [ cosh (at ) ] + C
a
dt =
1
⋅ ln senh (at) + C
a
Integrais definidas:
∫
∫
∞
0
∞
0
∫
∫
∫
∫
∫
∞
0
∞
0
∞
0
∞
0
∞
0
t e -t ⋅ dt =
x2
e −a dt =
e −t dt =
2
1
π
2
1 π
2 a
1
π
2
t
π2
⋅ dt =
et −1
6
t3
π4
⋅ dt =
et −1
15
sen ( t )
π
⋅ dt =
t
2
t n −1 ⋅ e − t dt = Γ ( n ) =
(n − 1) !
[função gama]
 1 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ L ⋅ (n − 1) π
⋅ , se n é int eiro par ≥ 2

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅L ⋅ n
2
π2
π2

n
n
∫ 0 sen (t ) ⋅ dt = ∫0 cos (t ) ⋅ dt = 
 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅L⋅ n
π
⋅ , se n é int eiro ímpar ≥ 3

 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ L ⋅ (n − 1) 2
37
J. A. M. Felippe de Souza
1 – Introdução e Base Matemática
1.11 – Decibéis (dB)
A unidade Bell (B) tem este nome em alusão ao escocês Alexander Graham Bell
(1847-1922). O deciBel (dB) é um submúltiplo do Bell que corresponde a um décimo
do Bell. Entretanto, o deciBel tornou-se uma unidade de uso muito mais comum que
o Bell.
O deciBel (dB) é usado para uma grande variedade de medições, especialmente em
acústica (intensidade de sons), mas também como medida de ganho ou intensidade
relativa na física (para a pressão ρ) e na electrónica (para a tensão eléctrica v, para a
corrente eléctrica i, ou para a potência P).
O decibel (dB) é uma unidade de medida adimensional assim como as medidas de
ângulo: o radiano (rad) e o grau (º), ou a percentagem (%).
O decibel é portanto uma unidade de intensidade ou potência relativa (uma medida da
razão entre duas quantidades, sendo uma de referência).
A definição do dB é obtida com o uso do logaritmo da seguinte forma: x em decibéis
usualmente é definido como:
x
dB
= 20 ⋅ log10 (x )
que é a expressão que vamos utilizar neste texto, mas às vezes x em decibéis também
pode ser definido como:
x
dB
= 10 ⋅ log10 (x )
Como o deciBell é uma medida relativa de ganho relativo (em relação a um valor de
referência) somente são calculados os decibéis de valores positivos. Não faz sentido
calcular os decibéis de um valor negativo.
É fácil de se verificar que, 1
dB
= 20 ⋅ log 10 (1) = 0 dB , logo
1
dB
= 0 dB
Valores maiores que 1 se tornarão positivos ao serem transformados em dB. Eles representam um ganho de facto. Por outro lado, valores menores que 1 (i.e., valores
entre 0 e 1) se tornarão negativos ao serem transformados em dB. Eles representam
uma atenuação.
Outro detalhe:
x
dB
=−
38
1
x
dB
J. A. M. Felippe de Souza
1 – Introdução e Base Matemática
Note que:
se x > 1
==>
x
se x = 1
==>
x
se 0 < x < 1
==>
x
se x < 0
==>
não existe x
dB
dB
dB
> 0 dB
= 0 dB
< 0 dB
dB
Isso está ilustrado na figura 1.21.
Fig. 1.21 – o valor de x em dB.
Alguns exemplos:
10
dB
1
10
100
= 20 ⋅ log10 (10) = 20 dB
= 0,1
dB
( )
= 20 ⋅ log 10 10 −1 = (− 1) ⋅ 20 ⋅ log 10 (10 ) = −20 dB
dB
dB
1000
= 10 2
dB
= 10 3
dB
( )
= 20 ⋅ log10 10 2 = 40 dB
dB
( )
= 20 ⋅ log 10 10 3 = 60 dB
39
J. A. M. Felippe de Souza
2
= 20 ⋅ log10 (2 ) = 20 ⋅ (0,3) = 6 dB
dB
1
2
= 0,5
dB
dB
2
=
dB
200
0,2
50
1
50
dB
dB
dB
=
2
2
dB
( 2 ) = 20 ⋅ log
 2 12  =  1  ⋅ 20 ⋅ (0,3) = 3 dB
10

 2
−1
 1 
 1
= 20 ⋅ log10 
 = 20 ⋅ log10  2 2  =  −  ⋅ 20 ⋅ (0,3) = −3 dB

  2
 2
= 20 ⋅ log10 (2 ⋅100) = 20 ⋅{log10 (100) + log10 (2)} = 20 ⋅ (2 + 0,3) = 46 dB
=
=
dB
( )
1
= 20 ⋅ log10   = 20 ⋅ log10 2−1 = (−1) ⋅ 20 ⋅ (0,3) = − 6 dB
2
= 20 ⋅ log10
dB
1
2
1 – Introdução e Base Matemática
2
10
100
2
2
100
dB
 2
= 20 ⋅ log10   = 20 ⋅{ log10 (2 ) + log10 (10 ) } = 20 ⋅ (0,3 − 1) = −14 dB
 10 
dB
 100 
= 20 ⋅ log10 
 = 20 ⋅{ log10 (100 ) − log10 (2 ) } = 20 ⋅ (2 − 0,3) = 34 dB
 2 
dB
 2 
= 20 ⋅ log10 
 = 20 ⋅{ log10 (2 ) − log10 (100 ) } = 20 ⋅ (0,3 − 2 ) = − 34 dB
 100 
Resumindo os exemplos acima:
10
dB
100
2
dB
2
200
50
= 20 dB
dB
0,1
= 40 dB
1000
= 6 dB
dB
dB
0,5
= −20 dB
dB
dB
dB
1
= 3 dB
2
= 46 dB
0, 2
1
50
dB = 34 dB
40
= 60 dB
= − 6 dB
= −3 dB
dB
dB
= − 14 dB
= − 34 dB
dB