Cálculo Avançado A - Séries de Fourier
CAPÍTULO IV - SÉRIES DE FOURIER
1. FUNÇÕES PERIÓDICAS:
As funções periódicas podem ser definidas como aquelas funções f(t) para as quais:
f (t) = f (t + T )
(1.1)
para qualquer t real (vide Figura 1.1). A menor constante T que satisfaz (1.1) é chamada período da
função f(t). Por iteração de (1.1), temos para todo t real que:
f ( t) = f (t + nT ), n = 0,±1,±2, K ,
(1.2)
4
2
-2π
-π
π
2π
3π
T=2π
Figura 1.1. Um exemplo de função periódica de período T = 2π.
t
t
Exemplo 1: Ache o período da função f ( t ) = cos + cos .
3
4
Solução: Se a função f(t) for periódica com um período T, então, de (1.1), resulta:
cos
1
(t + T ) + cos 1 (t + T ) = cos t + cos t .
3
4
3
4
Como cos (φ + 2πm ) = cos φ , para qualquer inteiro m, então
1
T = 2πm , e
3
1
T = 2πn, onde m e n
4
são inteiros. Portanto, T = 6 πm = 8πn. Quando m = 4 e n = 3, obtemos o menor valor de T. Isto pode
ser visto mediante um processo de tentativa. Então, T = 24 π .
Em geral, se a função f ( t ) = cos ω1t + cos ω2 t for periódica com período T, deverá ser
possível, então, achar dois inteiros m e n, tais que:
ω1T = 2 πm
(1.3)
e
1
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ω 2 T = 2πn .
(1.4)
O quociente de (1.3) por (1.4) é
ω1 m
= ,
ω2 n
(1.5)
Isto é, a razão ω1 / ω2 deve ser um número racional.
Neste ponto, é importante observar que funções do tipo A cos(ωt + φ ) (não devemos esquecer
que os senos estão incluídos neste grupo, pois sen( t ) = cos( t − π / 2) ) são funções periódicas de
período T, denominadas senóides, onde: ω =
2π
= 2 πf é dita velocidade angular, f = 1 é
T
T
denominada freqüência, A é a amplitude e φ o ângulo de fase.
Exemplo 2: A função f ( t ) = cos 10t + cos (10 + π)t é periódica?
Solução: Neste caso, ω1 = 10 e ω 2 = 10 + π. Assim,
ω1
10
=
não é um número racional,
ω2 10 + π
ou seja, é impossível achar um valor T para o qual (1.1) seja satisfeita. Portanto, f(t) não é periódica.
Exemplo 3: Ache o período da função f (t ) = (10 cos t )2 .
Solução: Usando a identidade trigonométrica cos 2 θ =
f ( t ) = (10 cos t )2 = 100 cos 2 t = 100
1
(1 + cos 2θ ) , obtemos que:
2
1
(1 + cos 2t ) = 50 + 50 cos 2 t.
2
Como a função constante é função de período T, para qualquer valor de T, e o período de cos(2t) é π ,
concluímos que o período de f(t) é π .
Exemplo 4: Mostre que se f(t + T) = f (t), então:
a +T / 2
∫a −T / 2
f ( t ) dt =
T /2
∫−T / 2 f (t) dt
(1.6)
e
T+ t
∫T
f ( t ) dt =
t
∫0 f (t) dt .
(1.7)
Solução: Se f (t +T)=f(t), fazendo t = τ − T, teremos que:
f (τ − T + T ) = f (τ ) = f (τ − T ) .
(1.8)
2
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Substituindo t = τ − T na integral
β
∫ α f (t )dt e usando (1.8), obtém-se que:
β
β+T
β+ T
∫α f (t ) dt = ∫α+T f (τ − T ) dτ =∫α+T f (τ) dτ .
Visto que qualquer símbolo pode representar a variável de integração na substituição acima,
β
∫α
f (t )dt =
β+ T
∫α+T f (t) dt .
(1.9)
Assim, se α = 0 e β = t , então (1.9) torna-se
t
∫0
f ( t )dt =
T+t
∫T
f (t )dt
(1.10)
Por outro lado, podemos escrever o primeiro membro de (1.6) como:
a +T / 2
∫a −T / 2
f ( t ) dt =
−T / 2
∫a −T / 2
f ( t ) dt +
a +T / 2
∫−T / 2
f ( t ) dt .
Aplicando o resultado de (1.9) à primeira integral do segundo membro da equação acima, resulta:
a +T / 2
a +T / 2
T/2
∫a −T / 2 f (t )dt = ∫a +T / 2 f (t)dt + ∫−T / 2
f ( t ) dt =
a +T / 2
∫−T / 2
f ( t ) dt +
T/2
T/2
∫a +T / 2 f (t)dt = ∫−T / 2 f (t)dt .
2. SÉRIES TRIGONOMÉTRICAS:
Uma série de senos e cosenos do tipo:
a0 ∞
+ ∑ (a n cos nx + bn sen nx )
2 n=1
(2.1)
é chamada de série trigonométrica. Na maior parte das aplicações a variável x é real. Então sen(nx) e
cos(nx) são limitadas e a série convergirá sob condições bem fracas impostas a a n e bn .
Exemplo 1: a n = b n =
1
n2
se n ≠ 0, e a 0 = 0 . A série será:
cos x + sen x + 14 cos 2 x + 14 sen 2 x + 19 cos 3x + K ,
a qual converge absoluta e uniformemente para todos os valores reais de x (para tal, usa-se o teste da
razão ou o teste M de Weierstrass, por exemplo).
3
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Exemplo 2: a n = 0 e b n = 1 / n. A série trigonométrica sen x + 12 sen 2x + 13 sen 3x + K
converge para todos os valores de x (a verificação é obtida, digamos, pelo teste da integral, pois a
integral
∞ sen ( tx )
∫1
t
dt converge para todo x real). No entanto, a convergência não é absoluta; por
exemplo, veja o ponto x = π / 2 , e também não é uniforme (sobre todo o eixo real).
Exemplo 3: a n = 1 e b n = 0 . A série será
1
+ cos x + cos 2x + cos 3x + K , a qual diverge
2
(pelo teste do n-ésimo termo) para quase todos os valores de x (com exceção de pontos como
x = π / 2 ).
Se a série trigonométrica converge (uniformemente ou não), ela representa então uma certa
função f(x), e podemos escrever:
∞
a
f (x ) = 0 + ∑ (a n cos nx + b n sen nx ),
2 n =1
(2.2)
A pergunta que fica é a seguinte: “Que funções são representáveis desta maneira?”
Por exemplo, para que exista uma representação em série de potências de uma função f(x), é
exigido para todo x real que a função f(x) seja diferenciável um número arbitrário de vezes e que o
resto da fórmula de Taylor tenda para zero. Estas condições são razoavelmente restritivas e uma
propriedade notável nas séries trigonométricas (descobertas por Fourier) é que estas podem representar
funções de uma classe bem mais ampla, incluindo funções descontínuas.
No entanto, há uma propriedade das séries trigonométricas que nunca deve ser perdida de
vista: por sua própria natureza, estas séries podem representar somente funções periódicas; com
período 2π (não necessariamente o período primitivo, ou seja, f(x) pode ter um período menor T, mas
2 π tem que ser um múltiplo inteiro de T).
3. DEFINIÇÃO DAS SÉRIES DE FOURIER
Suponhamos que uma certa função seja representada pela série trigonométrica:
∞
a
f (x ) = 0 + ∑ ( a n cos nx + b n sen nx ),
2 n =1
(3.1)
e que a série convirja uniformemente no intervalo − π ≤ x ≤ π. Se isso acontecer, a série convergirá
uniformemente para todos os valores de x. Multipliquemos a série por cos(mx), sendo m um número
inteiro positivo:
4
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∞
∞
a
f ( x ) cos mx = 0 cos mx + ∑ a n cos nx cos mx + ∑ b n sen nx cos mx .
2
n =1
n =1
(3.2)
A série é ainda uniformemente convergente e pode ser integrada termo a termo:
∞
a 0 +π
+π
f
(
x
)
cos
mx
dx
=
cos
mx
dx
+
a n ∫ cos nx cos mx dx +
∑
∫−π
∫
−π
2 −π
n=1
+π
∞
(3.3)
+π
∑ b n ∫−π sen nx cos mx dx
+
n =1
Este processo permite a determinação dos coeficientes a n , desde que se conheça a função f(x),
baseando-se nas importantes propriedades de ortogonalidade dos senos e cosenos, quais sejam:
+π
a ) ∫ sen nx cos mx dx = 0
−π
( para todos os n , m )
0 ( se n ≠ m)

b ) ∫ cos nx cos mxdx = 2π (se n = m = 0)
−π
π (se n = m ≠ 0 )

+π
(3.4)
+π
0 (se n ≠ m )
c) ∫ sen nx sen mx dx = 
−π
π (se n = m )
Assim, vemos que todos os termos da soma infinita (3.3) se anularão, com uma única
exceção, ou seja,
+π
∫−π cos mx dx = a m π . Esta relação nos permite calcular qualquer coeficiente
am
desejado, quando conhecemos a função f(x). Os Coeficientes b m são tratados de maneira semelhante,
isto é, o desenvolvimento é multiplicado por sem(mx) e é integrado. As relações de ortogonalidade
fornecem então que
+π
∫−π f (x ) sen mx dx = b m π.
intervalo (-π, π), resultando que
Finalmente, para obter a 0 , integramos (3.1) no
+π
∫− π f (x )dx = a 0π .
Segue-se que os coeficientes a 0 , a n e b n podem ser calculados por meio das fórmulas
seguintes:
an =
1 +π
f (x ) cos nx dx
π −π
∫
(n ≥ 0)
(3.5)
e
bn =
1 +π
f (x ) sen nx dx
π −π
∫
(n > 0)
5
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Estes coeficientes a n e b n são chamados de coeficientes de Fourier da função f(x). A série
trigonométrica construída a partir destes coeficientes é conhecida como a série de Fourier da função
f(x). É importante observar que os coeficientes de Fourier podem ser construídos para uma grande
variedade de funções, incluindo algumas descontínuas.
Convém chamar a atenção para o fato de que o período 2π não é obrigatório na teoria das
séries de Fourier. A substituição de x por
2π
t fornece uma série com período T:
T
∞
a
f ( t ) = 0 + ∑ (a n cos( nωt ) + b n sen( nωt ) ),
2 n =1
(3.6)
onde ω = 2π / T é denominada freqüência angular fundamental da função f(t).
Reciprocamente, se conhecemos f(t), obteremos os coeficientes de Fourier:
2
an =
T
e
bn =
2
T
T /2
∫−T / 2 f (x ) cos( nωt) dt
(3.7)
T/ 2
∫−T / 2 f (x) sen( nωt) dt
e a série de Fourier resultante deverá reproduzir f(t) no intervalo − T / 2 < t < T / 2 . Esta forma das
séries de Fourier é mais freqüentemente usada no tratamento dos fenômenos periódicos no tempo ;
onde o símbolo t representa a variá vel tempo . Neste contexto, as séries de Fourier são freqüentemente
escritas sob uma forma envolvendo amplitudes e fases. Por exemplo, se escrevermos:
a
A 0 = 0 , A n = a 2n + b 2n
2
b
e φ n = arctg n
an
(n > 0 ) ,
(3.8)
então a série de Fourier será:
f (x ) = A 0 +
∞
∑ A n cos (ω n t − φ n ) ,
(3.9)
n =1
onde ω n = nω é dito o n-ésimo Harmônico da Fundamental e os coeficientes A n e φ n são
denominados, respectivamente, Amplitude e Fase do n-ésimo harmônico.
Em muitas aplicações, quando x representa uma distância, usar o período 2L é mais
conveniente. Assim, as fórmulas (3.7)-(3.8) são rescritas como:
6
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f (x ) = a 0 / 2 +
∞

n =1
an =
 nπx 
 nπ x  
 + b n sen 
 ,
L 
 L 
∑ a n cos
1 +L
 nπx 
f ( x ) cos 
 dx
L −L
 L 
∫
(3.10)
e
bn =
1 +L
 nπx 
f ( x ) sen
 dx
L −L
 L 
∫
Exemplo 1. Considere a função f ( x ) = x 2 . Seus coeficientes de Fourier são facilmente
calculados:
a0 =
1 +π 2
x dx = 2 π 2 ,
3
π ∫− π
an =
1 +π 2
4
x cos nx dx = (− 1)n
,
∫
π −π
n2
bn =
1 +π 2
x sen nx dx = 0.
π ∫− π
É fácil notar que a série de Fourier é uniformemente convergente para todos os valores de x e
representa a função:
g (x ) =
∞
π2
n cos nx
+ 4 ∑ (− 1)
.
2
3
n
n =1
O gráfico da função g(x) está mostrado na figura 3.1. Fica evidente que a série de Fourier de
f ( x ) = x 2 representa uma extensão periódica dos valores de f(x) no intervalo (− π,+π ).
Figura 3.1. A função periódica g(x).
− 1
Exemplo 2. Considere agora a função periódica descontínua f (x ) = 
+ 1
f(x + 2L) = f(x), para todo x real. Os coeficientes de Fourier são:
7
(− L ≤ x < 0 )
, com
(0 ≤ x < L )
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1 0
1 L
(
− 1) dx + ∫ (+ 1) dx = −1 + 1 = 0,
∫
L −L
L 0
1 0 
nπx 
1 L
nπx 
a n = ∫  − cos
dx + ∫  + cos

 dx = 0,
−
L
0
L
L 
L 
L 

a0 =
bn =
4
(n = ímpar )
1 0 
nπx 
1 L
nπx 
2 L
nπx

−
sen
dx
+
+
sen
dx
=
sen
dx
=




n
π

L ∫−L 
L 
L ∫0 
L 
L ∫0
L
0 (n = par )
4 ∞
1
( 2n + 1) πx
e a série de Fourier será g ( x) = ∑
. A série é convergente no intervalo (-L,L)
sen
π n = 0 2n + 1
L
e, portanto, g(x) está bem definida. Explicitamente, a série de Fourier converge para 1, se 0 < x < L,
para –1, se –L < x < 0 e para ze ro se x = 0 ou x = ± L . Esta série “quase” reproduz f(x), sendo que as
exceções se localizam nos pontos de descontinuidade da função f(x).
Esta característica é uma propriedade geral das séries de Fourier. Se a função f(x) possui uma
descontinuidade de salto em um certo ponto x 0 , então sua série de Fourier converge para o “ponto
médio do salto”. Mais precisamente, considerando os limites laterais a direita e a esquerda da f(x)
quando x tende para x0 :
f (x 0 + 0) = lim f ( x ), f (x 0 − 0 ) = lim f ( x) ,
x→ x0
x > x0
(3.11)
x →x 0
x < x0
então a série de Fourier converge para:
[
].
1 f (x + 0) + f (x − 0)
0
0
2
(3.12)
Devido a periodicidade da série de Fourier, os pontos x = ±L se tornam freqüentemente
pontos de descontinuidade para a soma da série. Por esta razão, nestes pontos a série converge para:
f ( −L + 0) + f (L − 0)
.
2
Observação: Estas duas afirmativas permanecem válidas quando os dois limites f(x0 +0) e
f(x0 -0), ou ainda os limites f(-L+0) e f(L-0), são idênticos. Por exemplo, se f(x) é contínua no ponto
x = x 0 , então f(x0 +0) = f(x0 -0) = f(x0 ) e a série de Fourier simplesmente converge para f(x0 ), que é o
valor da função neste ponto. O outro exemplo interessante surge quando f(x) é descontínua em x = x 0
x 2
devido à "remoção de um ponto da curva", como em f1 ( x ) = 
1
( x ≠ 0 ) . Esta função, construída de
(x = 0 )
maneira bem artificial, possuirá os mesmos coeficientes de Fourier e, portanto, a mesma série de
8
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Fourier que a função f ( x ) = x 2 . Esta série de Fourier convergirá para a função g(x) do exemplo 1.
Observe que f1 (0 + 0 ) = f 1( 0 − 0) = 0 e g (0) = 1 [f1 (0 + 0 ) + f 1(0 − 0 )] = 0 mas que g (0 ) ≠ f1 ( 0).
2
Surge então um problema fundamental da teoria das séries de Fourier: "Que condições deve
uma função f(x) satisfazer para que sua série de Fourier convirja para f(x) no intervalo − L ≤ x ≤ L ?"
4. PROPRIEDADES DE PARIDADE
Uma função f(x) é chamada função impar se f(- x) = - f(x), para todo x real. Assim, as funções
f(x) = xn , com n ímpar, f(x) = sen(ax) e a função f(x) graficada na figura 4.1a são exemplos de funções
ímpares. Uma função f(x) é chamada função par se f(-x) = f(x), para todo x real. Assim, por exemplo,
as funções f(x) = xn , com n par, e f(x) = cos(ax) e a função graficada na figura 4.1b são funções pares.
1
-4
-2
1
-3
2
4
-1
1
3
6
-1
5
-1
(a)
(b)
Figura 4.1. Exemplos de funções pares e ímpares.
Suponha que devemos desenvolver uma função f(x) em série de Fourier no intervalo (-L, L).
Se f(x) for uma função par, então, pelas propriedades acima, todos os coeficientes b n devem anularse, enquanto que os coeficientes a n são obtidos simplesmente pela integração de 0 a L, multiplicandose os resultados por dois, ou seja:
∞
a
nπx
f ( x ) = 0 + ∑ a n cos
2 n =1
L
e
an =
2 L
nπ x
f (x ) cos
dx.
∫
L 0
L
(4.1)
Semelhantemente, se f(x) é impar, então todos os coeficientes a n são nulos e:
f (x ) =
∞
∑ b n sen
n=1
nπx
L
e
bn =
2 L
nπ x
f ( x ) sen
dx
∫
L 0
L
(4.2)
Os resultados (4.1) e (4.2) dão origem outros tipos de desenvolvimentos trigonométricos,
conhecidos, respectivamente, como a Série de Fourier em Cosenos e a Série de Fourier em Senos.
Exemplo 1: Ache a série de Fourier para a função onda quadrada, mostrada na figura 4.1a.
9
Cálculo Avançado A - Séries de Fourier
Solução: Da figura 4.1a, decorre que f ( −t ) = −f ( t ), isto é, f(t) tem simetria ímpar. E mais, f(t)
tem período T = 4. Ou seja, ω = π / 2 . Então:
f (t) =
∞
 nπ 
t

∑ b n sen  2
n=1
4
, se n impar
4 2  nπ 
−2
2
 nπ  2
{1 − cos( nπ)} =  nπ
.
bn =
sen  t  dt =
cos t  =
4 0
nπ
2 
 2  0 nπ
0, se n par
Portanto,
∫
f (t) =
4
π
1
3π
1
5π

t + sen
t + K .
 sen t + sen
π
2
3
2
5
2

Exemplo 2: Ache a série de Fourier para a função f(t) do tipo onda quadrada mostrada na
figura 4.1b.
Solução: Da figura 4.1b, observa-se que f (− t ) = f ( t ) , isto é, a função f(t) tem simetria par. E
mais, f(t) tem período T = 4. Ou seja, ω = π / 2 . Assim,
f (t) =
∞
n=1
an =
1
4 2
 nπ 
 nπ 
f ( t ) cos  t  dt = cos  t  dt −
0
4 0
2 
2 
2
nπ 2
2
nπ
=
sen
−
sen( nπ) +
sen
=
nπ
2 nπ
nπ
2
∫
 nπ 
t

∑ a n cos  2
∫
2
 nπ 
 nπ 
cos  t  dt =
sen  t 
1
nπ
2 
2 
4
nπ
sen .
nπ
2
∫
2
1
0
−
2
 nπ 
sen  t  2 =
nπ
 2  1
Portanto,
f (t ) =
4
π
1
3π
1
5π

t + cos
t − K .
 cos t − cos
π
2
3
2
5
2

1/2
1
-2T
-T
T
2T
3T
-2T
(a) f(t)
-T
-1/2 T
(b) g(t)
Figura 4.2. As funções f(t) e g(t) do exemplo 3.
10
2T
3T
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Pelos Exemplos acima, notamos que para adequadas escolhas da origem, isto é, mediante
deslocamentos na abscissa tempo, podemos desenvolver a função tanto em série de cosenos como em
série de senos. A origem pode, certamente, ser escolhida em outro ponto, resultando em uma série
trigonométrica completa.
Exemplo 3: Ache a série de Fourier para a função f(t) mostrada na Figura 4.2a acima.
Solução: Como mostra a figura 4.2b, a função g ( t ) = f (t ) − 12 é uma função impar; então:
g (t) =
∞
∑
b n sen( nωt ), com
n =1
Como g ( t ) =
bn =
4 T/2
g ( t ) sen (nωt ) dt .
T 0
∫
1 t
4 T / 2 1 1 
− , para 0 < t < T, então: b n =
 − t  sen (nωt ) dt . Integrando por partes:
2 T
T 0 2 T 
∫
bn =
4   1 1  cos( nωt ) sen( nωt ) 
−
−  − t 

T   2 T  nω
T (nω)2 
T /2
0
=
1
.
nπ
Assim,
f (t) =
∞
1
1 1
1
1 1
1
1
+ g (t ) = +
sen( nωt ) = +  sen( ωt ) + sen( 2ωt ) + sen( 3ωt ) + K .
2
2 π n=1 n
2 π
2
3

∑
5. FORMA COMPLEXA DA SÉRIE DE FOURIER
O desenvolvimento de Fourier dado pela equação (3.6) pode ser escrito sob forma complexa.
Para tanto, escreve-se:
cos (ω n t ) =
(
1 jωn t
e
+ e − jωn t
2
)
e sen ( ω n t ) =
(
1 jωn t
e
− e − jωn t
2j
)
(5.1)
e introduz-se estas expressões na série de Fourier (3.6). É conveniente definir os coeficientes:
 1 (a n − jb n ) (n > 0 ),
2

c n =  12 (a n + jb n ) (n < 0 ),
1
 2 a 0 (n = 0).
(5.2)
Então a série de Fourier pode ser rescrita em sua forma complexa:
f (t) =
+∞
∑ c n e jωn t (− T / 2 < t < T / 2 ) ,
(5.3)
n= −∞
11
Cálculo Avançado A - Séries de Fourier
onde os coeficientes c n são obtidos substituindo-se as fórmulas (3.7) para a n e b n nas equações (5.2),
resultando:
cn =
1 T/2
f ( t ) e − jωn t dt .
∫
−
T
/
2
T
(5.4)
Alternativamente, a fórmula (5.4) acima pode ser deduzida multiplicando-se a série complexa
de Fourier (5.3) acima por e − jωn t e integrando. Mostra-se facilmente que as exponenciais complexas
são ortogonais, no sentido de que:
+ L jω t
n
∫−L e
0 ( n ≠ m )
e − jωn t dt = 
T (n = m )
(5.5)
e segue-se então a fórmula para c n .
Observação: Embora a série de Fourier apareça agora sob forma complexa, sua soma f(t) é
ainda supostamente real. Neste caso, as propriedades seguintes são facilmente verificadas:
1) c 0 é real; c −n = c n ;
2) Se f(t) é par, todos os coeficientes c n são reais;
3) Se f(t) é ímpar, c 0 = 0 e todos os coeficientes c n são imaginários puros.
0
Exemplo: A função f ( x ) = 
1
(− π < x ≤ 0 )
pode ser representada por uma série de Fourier
(0 < x ≤ π)
complexa. Os coeficientes serão:
c0 =
1 π
1
dx =
∫
2π 0
2
e cn =
1 π − jnx
1 − e − jn π 0 (n = par )
e
dx
=
= 1
2π ∫0
2πnj
 πnj (n = impar )
e, portanto, a série complexa de Fourier da f(x) será:
1 1 +∞ 1 jnx
f (x ) = +
∑ e .
2 πj n= −∞ n
n = ímpar
6. CONVERGÊNCIA PONTUAL DAS SÉRIES DE FOURIER
Deseja-se saber se a série de Fourier de uma dada função f(x) convergirá de fato para f(x).
Exemplos simples parecem indicar que, em via de regra, a série de Fourier (3.10) convergirá para
1
2
[f (x + 0 ) + f (x − 0 )] em todos os pontos do intervalo (- L, L) e para 12 [f (− L + 0) + f (L − 0 )] nos pontos
12
Cálculo Avançado A - Séries de Fourier
extremos do intervalo. A determinação das condições exatas sob as quais este resultado pode ser
esperado tem sido assunto de pesquisa intensa durante mais de um século. Achou-se uma variedade de
condições suficientes. O teorema abaixo é suficiente para a maioria das aplicações físicas.
Definição: Uma função definida em um intervalo fechado a ≤ x ≤ b é dita seccionalmente
contínua quando o intervalo pode ser dividido em um número finito de subintervalos nos quais f(x) é
contínua e possui limites finitos nas extremidades esquerda e direita destes subintervalos.
Definição 2: Uma função definida em um interva lo fechado a ≤ x ≤ b é dita satisfazer as
condições de Dirichlet se f(x) é seccionalmente contínua em [a, b] e o intervalo (a, b) pode ser
dividido em um número finito de subintervalos nos quais f(x) é monótona.
Teorema. Se f(x) satisfaz as condições de Dirichlet para − L ≤ x ≤ L , então sua série de
Fourier (3.10) converge para
[
]
[
]
1 f (x − 0 ) + f (x + 0) , se − L < x < + L, ou 1 f (− L + 0 ) + f (L − 0) , se x = ±L.
2
2
A convergência é uniforme em qualquer subintervalo fechado em que f(x) seja contínua.
Observação: O teorema acima não encerra, de nenhuma maneira, a teoria das séries de
Fourier, pois existem funções que não o satisfazem, mas mesmo assim, possuem série de Fourier. Este
fato pode ser ilustrado com o seguinte exemplo:
(
)
Exemplo: A função f (x ) = log cos x2 , se − π < x < π, com f(x+2π) = f(x), para todo x real,
possui a série de Fourier g (x ) = − log 2 −
∞
(− 1)n
n =1
n
∑
cos nx . Vemos que: a série de Fourier convergirá
uniformemente para f(x), em qualquer intervalo x1 ≤ x ≤ x 2 com x1 > −π e x 2 < π. Ela vai divergir
para x = ± π : podemos dizer que se aproxima de "menos infinito" quando x → ±π , mas o mesmo
acontece com f(x). Evidentemente a série de Fourier representa f(x) de maneira extremamente fiel, e
no entanto f(x) não satisfaz as condições de Dirichlet.
A maioria das dificuldades da teoria das séries de Fourier tem origem no conceito de
convergência ponto a ponto. Há, no entanto, outros tipos de convergência, como a convergência em
média, mais apropriadas, talvez, para aplicações físicas.
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