1. (G1 - cftmg 2015) O esboço do gráfico da função f(x) = a + bcos(x) é mostrado na figura
seguinte.
Nessa situação, o valor de a ⋅ b é
a) 2
b) 3
c) 5
d) 6
2. (Pucrj 2015) Sabendo que π < x <
1
3π
e sen (x) = − , é correto afirmar que sen (2x) é:
3
2
2
3
1
−
6
3
8
1
27
4 2
9
a) −
b)
c)
d)
e)
3. (Enem PPL 2014) Uma pessoa usa um programa de computador que descreve o desenho
da onda sonora correspondente a um som escolhido. A equação da onda é dada, num sistema
de coordenadas cartesianas, por y = a ⋅ sen[b(x + c)], em que os parâmetros a, b, c são
positivos. O programa permite ao usuário provocar mudanças no som, ao fazer alterações nos
valores desses parâmetros. A pessoa deseja tornar o som mais agudo e, para isso, deve
diminuir o período da onda.
O(s) único(s) parâmetro(s) que necessita(m) ser alterado(s) é(são)
a) a.
b) b.
c) c.
d) a e b.
e) b e c.
4. (Uece 2014) Se f : R → R é a função definida por f(x) = 2senx + 1, então o produto do maior
valor pelo menor valor que f assume é igual a
a) 4,5.
b) 3,0.
c) 1,5.
d) 0.
2
5. (G1 - ifce 2014) Se sen(x) = − , cos(2x)sen( −x) é
3
2
a) .
9
2
.
27
2
c) − .
9
2
d) − .
27
9
e) − .
27
b)
6. (Enem 2010) Um satélite de telecomunicações, t minutos após ter atingido sua órbita, está a
r quilômetros de distância do centro da Terra. Quando r assume seus valores máximo e
mínimo, diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que,
para esse satélite, o valor de r em função de t seja dado por
r (t ) =
5865
1 + 0,15.cos (0,06t )
Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu afastamento do centro
da Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e no perigeu,
representada por S.
O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de
a) 12 765 km.
b) 12 000 km.
c) 11 730 km.
d) 10 965 km.
e) 5 865 km.
7. (Ufpb 2012) Um especialista, ao estudar a influência da variação da altura das marés na
vida de várias espécies em certo manguezal, concluiu que a altura A das marés, dada em
metros, em um espaço de tempo não muito grande, poderia ser modelada de acordo com a
função:
⎛π ⎞
A(t) = 1,6 − 1,4 sen ⎜ t ⎟
⎝6 ⎠
Nessa função, a variável t representa o tempo decorrido, em horas, a partir da meia-noite de
certo dia. Nesse contexto, conclui-se que a função A, no intervalo [0,12], está representada
pelo gráfico:
a)
b)
c)
d)
e)
8. (Ucs 2012) Para colocar um objeto em movimento e deslocá-lo sobre uma trajetória retilínea
por x metros, é necessário aplicar uma força de 20 + 10 sen ( x ) newtons sobre ele.
Em qual dos gráficos abaixo, no intervalo [0,3], está representada a relação entre a força
aplicada e a distância, quando o objeto é deslocado até 3 metros?
a)
b)
c)
d)
e)
π⎞
⎛
9. (Ufrgs 2010) O período da função definida por f(x) = sen ⎜ 3x − ⎟ é
2⎠
⎝
π
.
2
2π
b)
.
3
5π
c)
.
6
d) π.
e) 2 π.
a)
10. (Mackenzie 2012) O maior valor que o número real
10
pode assumir é
sen x
2−
3
20
3
7
b)
3
c) 10
d) 6
20
e)
7
a)
11. (Uern 2012) Um determinado inseto no período de reprodução emite sons cuja intensidade
sonora oscila entre o valor mínimo de 20 decibéis até o máximo de 40 decibéis, sendo t a
variável tempo em segundos. Entre as funções a seguir, aquela que melhor representa a
variação da intensidade sonora com o tempo I(t) é
⎛π ⎞
a) 50 − 10 cos ⎜ t ⎟ .
⎝6 ⎠
⎛π ⎞
b) 30 + 10 cos ⎜ t ⎟ .
⎝6 ⎠
⎛π ⎞
c) 40 + 20 cos ⎜ t ⎟ .
⎝6 ⎠
⎛π ⎞
d) 60 − 20 cos ⎜ t ⎟ .
⎝6 ⎠
12. (Ufpr 2012) Suponha que, durante certo período do ano, a temperatura T, em graus
⎛ π ⎞
Celsius, na superfície de um lago possa ser descrita pela função F(t) = 21 − 4cos ⎜ t ⎟ , sendo
⎝ 12 ⎠
t o tempo em horas medido a partir das 06h00 da manhã.
a) Qual a variação de temperatura num período de 24 horas?
b) A que horas do dia a temperatura atingirá 23ºC?
13. (Uern 2013) A razão entre o maior e o menor número inteiro que pertencem ao conjunto
2π ⎞
⎛
imagem da função trigonométrica y = −4 + 2cos ⎜ x −
é
3 ⎟⎠
⎝
a) 2.
1
b) .
3
c) – 3.
1
2
d) − .
14. (Ufrgs 2008) Se cos x – sen x =
1
, então sen (2x) é igual a
2
a) 0,125.
b) 0,25.
c) 0,5.
d) 0,75.
e) 1.
15. (Acafe 2014) Com o objetivo de auxiliar os maricultores a aumentar a produção de ostras e
mexilhões, um engenheiro de aquicultura fez um estudo sobre a temperatura da água na região
do sul da ilha, em Florianópolis. Para isso, efetuou medições durante três dias consecutivos,
em intervalos de 1 hora. As medições iniciaram às 5 horas da manhã do primeiro dia (t = 0) e
⎛ πt π ⎞
os dados foram representados pela função periódica T(t) = 24 + 3cos ⎜ + ⎟ , em que t
⎝ 6 3⎠
indica o tempo (em horas) decorrido após o início da medição e T(t), a temperatura (em °C) no
instante t.
O período da função, o valor da temperatura máxima e o horário em que ocorreu essa
temperatura no primeiro dia de observação valem, respectivamente:
a) 6h, 25,5°C e 10h.
b) 12h, 27°C e 10h.
c) 12h, 27°C e 15h.
d) 6h, 25,5°C e 15h.
Gabarito:
Resposta da questão 1:
[D]
f(0) = 5 ⇒ a + b ⋅ cos0 = 5 ⇒ a + b = 5
f( π) = 1 ⇒ a + b ⋅ cos π = 1 ⇒ a − b = 1
Resolvendo o sistema temos a = 3 e b = 2.
Portanto, a ⋅ b = 6.
Resposta da questão 2:
[E]
2
8
2 2
⎛ 1⎞
cos x = 1 − ⎜ − ⎟ ⇒ cos2 x = ⇒ cos x = ±
3
9
3
⎝
⎠
3π
2 2
Como π < x <
, temos: cos x = −
3
2
Portanto:
sen2x = 2sen x ⋅ cos x
⎛ 1⎞ ⎛ 2 2 ⎞ 4⋅ 2
sen2x = 2 ⋅ ⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ −
⎟=
3 ⎟⎠
9
⎝ 3 ⎠ ⎜⎝
Resposta da questão 3:
[B]
Reescrevendo a equação da onda, temos y = a ⋅ sen(bx + bc). Logo, o período da onda é dado
por
2π
, dependendo, portanto, apenas do parâmetro b.
b
Resposta da questão 4:
[A]
Se sen x = 1, então f(x) = 21 + 1 = 3 (maior valor).
Se sen x = −1, então f(x) = 2−1 + 1 =
3
(menor valor).
2
⎛3⎞ 9
Logo, o produto pedido será 3 ⋅ ⎜ ⎟ = = 4,5.
⎝2⎠ 2
Resposta da questão 5:
[B]
Sabendo que sen(−x) = − senx e cos(2 x) = 1 − 2 ⋅ sen2 x, obtemos
cos(2x)sen( − x) = (1 − 2 ⋅ sen2 x) ⋅ ( − sen x)
2
⎛
⎛ 2 ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ 2 ⎞⎞
= ⎜1 − 2 ⋅ ⎜ − ⎟ ⎟ ⋅ ⎜ − ⎜ − ⎟ ⎟
⎜
⎝ 3 ⎠ ⎟⎠ ⎝ ⎝ 3 ⎠ ⎠
⎝
⎛ 8⎞ 2
= ⎜1 − ⎟ ⋅
⎝ 9⎠ 3
2
=
.
27
Resposta da questão 6:
[B]
5865
= 6900
1 + 0,15.( −1)
5865
Menor valor(cos(0,06t) = 1) ⇒ r(t) =
= 5100
1 + 0,15.(1)
Somando, temos:
6900 + 5100 = 12000
Maior valor (cos (0,06t) = -1) ⇒ r(t) =
Resposta da questão 7:
[A]
Se t = 0, temos A(0) = 1,6 – 1,4.sen0 = 1,6;
⎛π⎞
Se t = 3, temos A(3) = 1,6 – 1,4.sen ⎜ ⎟ = 0,2;
⎝2⎠
Se t = 6, temos A(6) = 1,6 – 1,4.sen π = 1,6;
⎛ 3.π ⎞
Se t = 9 temos, A(9) = 1,6 – 1,4.sen ⎜
⎟ = 3,0.
⎝ 2 ⎠
Portanto, o gráfico da alternativa [A] é o correto.
Resposta da questão 8:
[A]
Sabemos que a lei de F é F(x) = 20 + 10sen(x).
⎛π⎞
Portanto, como F(0) = 20 e F ⎜ ⎟ = 20 + 10 = 30, segue que a alternativa [A] apresenta o
⎝2⎠
gráfico de F no intervalo [0, 3].
Resposta da questão 9:
[B]
P=
2π
2π
=
3
3
Resposta da questão 10:
[D]
O número
sen x = 1.
10
assume o seu maior valor quando sen x for máximo, ou seja, quando
sen x
2−
3
Por conseguinte, o resultado pedido é
10
10
10
=
=
= 6.
sen x
1 5
2−
2−
3
3 3
Resposta da questão 11:
[B]
⎛π ⎞
Dentre as funções apresentadas nas alternativas, I(t) = 30 + 10cos ⎜ t ⎟ é a única cujo conjunto
⎝6 ⎠
imagem é o intervalo [20, 40]. De fato,
Im = 30 + 10 ⋅ [−1, 1] = [30 − 10, 30 + 10] = [20, 40].
Resposta da questão 12:
a)
⎧
⎛ π ⎞
⎪valor máximo ocorre para cos ⎜ 12 t ⎟ = −1 ⇒ F(máx) = 21 − 4( −1) = 25°
⎝
⎠
⎛ π ⎞ ⎪
F(t) = 21 − 4cos ⎜ t ⎟ ⇒ ⎨
12
π
⎝
⎠ ⎪
⎛
⎞
valor mínimo ocorre para cos ⎜ t ⎟ = +1 ⇒ F(máx) = 21 − 4( +1) = 17°
⎪⎩
⎝ 12 ⎠
Portanto, a temperatura varia de 17°C a 25°C na superfície do lago.
b) Para t = ? temos F(t) = 23°. Logo:
⎛ π ⎞
⎛ π ⎞
⎛ π ⎞
F(t) = 21 − 4cos ⎜ t ⎟ ⇒ 21 − 4cos ⎜ t ⎟ = 23 ⇒ 4cos ⎜ t ⎟ = −2
⎝ 12 ⎠
⎝ 12 ⎠
⎝ 12 ⎠
1
⎛ π ⎞
⇒ cos ⎜ t ⎟ = −
12
2
⎝
⎠
Logo :
π
2π
π
4π
t=
ou
t=
12
3
12
3
t = 8h
ou
t = 16h
Porém, o tempo em horas foi medido a partir das 06h da manhã, o que nos permite afirmar
que a temperatura de 23°C foi atingida às:
t1 = 6h + 8h = 14h
e
t 2 = 6h + 16h = 22h
Resposta da questão 13:
[B]
Supondo que a função esteja definida de ° em ° , segue-se que a sua imagem é
Im = [−4 + 2 ⋅ (−1), − 4 + 2 ⋅ 1] = [−6, − 2].
Portanto, o resultado é igual a
−2 1
= .
−6 3
Resposta
[D]
da
questão
14:
2
(cos x − sen x) 2 = ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⇒ cos 2 x + sen 2 x − 2sen x cos x = 1 ⇒ sen 2 x = 3 = 0,75
$!!#!!" $!#!" 4
4
⎝2⎠
1
sen 2 x
Resposta da questão 15:
[C]
O período da função é dado por
2π
= 12 h.
π
6
⎛ πt π ⎞
A temperatura máxima ocorre quando cos ⎜ + ⎟ atinge seu valor máximo, ou seja, quando
⎝ 6 3⎠
⎛ πt π ⎞
cos ⎜ + ⎟ = 1. Logo, tem-se que o resultado é Tmáx = 24 + 3 ⋅ 1 = 27 °C.
⎝ 6 3⎠
⎛ πt π ⎞
Queremos calcular o menor valor positivo de t para o qual se tem cos ⎜ + ⎟ = 1. Assim,
⎝ 6 3⎠
⎛ πt π ⎞
⎛ πt π ⎞
cos ⎜ + ⎟ = 1 ⇒ cos ⎜ + ⎟ = cos0
⎝ 6 3⎠
⎝ 6 3⎠
πt π
⇒
+ = 0 + 2kπ
6 3
⇒ t = 12k − 2, k ∈ ¢ .
Tomando k = 1, segue-se que t = 10 h e, portanto, o horário em que ocorreu essa temperatura
máxima foi às 5 + 10 = 15 h.
Resumo das questões selecionadas nesta atividade
Data de elaboração:
Nome do arquivo:
13/08/2015 às 19:40
Lista Trigo Segundo Ano
Legenda:
Q/Prova = número da questão na prova
Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro®
Q/prova Q/DB
Grau/Dif.
Matéria
Fonte
Tipo
1 ............ 138307 ..... Média ............ Matemática ... G1 - cftmg/2015 ................... Múltipla escolha
2 ............ 135435 ..... Média ............ Matemática ... Pucrj/2015 ............................ Múltipla escolha
3 ............ 141486 ..... Baixa ............. Matemática ... Enem PPL/2014 ................... Múltipla escolha
4 ............ 129369 ..... Média ............ Matemática ... Uece/2014 ............................ Múltipla escolha
5 ............ 131707 ..... Média ............ Matemática ... G1 - ifce/2014....................... Múltipla escolha
6 ............ 100320 ..... Média ............ Matemática ... Enem/2010 ........................... Múltipla escolha
7 ............ 109210 ..... Média ............ Matemática ... Ufpb/2012............................. Múltipla escolha
8 ............ 116397 ..... Baixa ............. Matemática ... Ucs/2012 .............................. Múltipla escolha
9 ............ 91133 ....... Baixa ............. Matemática ... Ufrgs/2010............................ Múltipla escolha
10 .......... 111849 ..... Baixa ............. Matemática ... Mackenzie/2012 ................... Múltipla escolha
11 .......... 119008 ..... Baixa ............. Matemática ... Uern/2012 ............................ Múltipla escolha
12 .......... 112287 ..... Média ............ Matemática ... Ufpr/2012 ............................. Analítica
13 .......... 129044 ..... Baixa ............. Matemática ... Uern/2013 ............................ Múltipla escolha
14 .......... 103372 ..... Baixa ............. Matemática ... Ufrgs/2008............................ Múltipla escolha
15 .......... 132856 ..... Média ............ Matemática ... Acafe/2014 ........................... Múltipla escolha