Fundamentos de Matemática
Curso: Informática Biomédica
Profa. Vanessa Rolnik Artioli
Assunto: Funções trigonométricas
29 e 30/05/14
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Seno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a
b
hipotenusa, senB̂ = .
a
Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto adjacente ao
c
ângulo e a hipotenusa, cosB̂ = .
a
Tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto ao
b
ângulo e o cateto adjacente ao ângulo, tgB̂ = .
c
Relação fundamental: sen2 B̂ + cos2 B̂ = 1
O ciclo trigonométrico
Consideremos uma circunferência de origem A e raio OA, de
comprimento 1. Associados a essa circunferência, temos 4 eixos:
1) eixo dos cossenos (u), direção OA, sentido positivo: O → A;
2) eixo dos senos (v ), direção ⊥ u, sentido positivo: O → B;
3) eixo das tangentes (c), direção ∥v passando por A, sentido positivo: o
mesmo de v ;
4) eixo das cotangentes (d), direção ∥u passando por B, sentido positivo:
o mesmo de u;
′B ′ e
c BA
d′ , Ad
Os eixos u e v dividem a circunferência em quatro arcos AB,
′
d
B A.
c x está no 1o. quadrante, P ∈ BA
d′ , x está no 2o. quadrante
P ∈ AB,
′
′
′ A, x está no 4o. quadrante
d
d
P ∈ A B , x está no 3o. quadrante, P ∈ B
Razões trigonométricas na circunferência
Dado um número real x ∈ [0, 2π], seja P sua imagem no ciclo.
* sen(x) = ordenada OP1 do ponto P em relação ao sistema uOv ;
* cos(x) = abscissa OP2 do ponto P em relação ao sistema uOv ;
*x∈
/ { π2 , 3π
2 }, encontrando a intersecção da reta OP com o eixo das
tangentes, tg (x) = medida do segmento AT ;
*x∈
/ {0, π, 2π}, encontrando a intersecção da reta OP com o eixo das
cotangentes, cotg (x) = medida do segmento BD;
*x∈
/ { π2 , 3π
2 }, a intersecção S da reta s tangente ao ciclo em P com o
eixo dos cossenos, sec(x) = abscissa OS do ponto S;
*x ∈
/ {0, π, 2π}, encontrando a intersecção C da reta s tangente ao ciclo
em P com o eixo dos senos, cossec(x) = ordenada OC do ponto C .
Razões trigonométricas na circunferência
Crescimento/ decrescimento
x
sen x
cos x
tg x
cotg x
0
0
π
2
cresce
1
decresce
π
0
3π
2
decresce
-1
cresce
2π
0
Transformações
cos(a + b) = cos(a).cos(b) − sen(a).sen(b)
cos(a − b) = cos(a).cos(b) + sen(a).sen(b)
sen(a + b) = sen(a).cos(b) + sen(b).cos(a)
sen(a − b) = sen(a).cos(b) − sen(b).cos(a)
cos(2a) = cos 2 (a) − sen2 (a) = 2cos 2 (a) − 1 = 1 − 2sen2 (a)
sen(2a) = 2sen(a).cos(a)
tg (a) =
sec(a) =
sen(a)
cos(a)
1
cos(a)
cotg (a) =
1
tg (a)
cossec(a) =
1
sen(a)
Função Seno
f :
R
x
−→
7→
R
sen(x)
As propriedades abaixo da razão trigonométrica seno são também válidas
para a função seno: (a) se x for do primeiro ou do segundo quadrante,
então sen(x) é positivo; (b) se x for do terceiro ou do quarto quadrante,
então sen(x) é negativo; (c) se x percorre o primeiro ou o quarto
quadrante então sen(x) é crescente; (d) se x percorre o segundo ou o
terceiro quadrante então sen(x) é decrescente.
A imagem da função seno é o intervalo [−1, 1], isto é, −1 ≤ sen(x) ≤ 1.
A função seno é periódica e seu período é 2π pois,
sen(x) = sen(x + k.2π), e portanto a função seno é periódica. Além
disos, seu período é o menor valor positivo de k.2π, isto é, 2π.
Exercício: Construir o gráfico das funções f , g , h, s, t : R −→ R, dadas
por: f (x) = sen(x), g (x) = sen(−x), h(x) = 2sen(x), s(x) = |sen(x)| e
t(x) = sen( 21 )
Função cosseno
f :
R
x
−→
7→
R
cos(x)
As propriedades abaixo da razão trigonométrica seno são também válidas
para a função cosseno: (a) se x for do primeiro ou do quarto quadrante,
então cos(x) é positivo; (b) se x for do segundo ou do terceiro
quadrante, então cos(x) é negativo; (c) se x percorre o primeiro ou o
segundo quadrante então cos(x) é decrescente; (d) se x percorre o
terceiro ou o quarto quadrante então cos(x) é decrescente.
A imagem da função cosseno é o intervalo [−1, 1], isto é,
−1 ≤ cos(x) ≤ 1.
A função cosseno é periódica e seu período é 2π.
Exercício: Construir o gráfico das funções f , g , h, s : R −→ R, dadas por:
f (x) = cos(x), g (x) = 1 + cos(x), h(x) = 1 + 2cos(3x) e
s(x) = sen(x) + cos(x)
Mais funções trigonométricas
Estudas as funções e cosntruir o gráfico:
f (x) = tg (x)
f (x) = cotg (x)
f (x) = sec(x)
f (x) = cosec(x)
Identidades
Prove que:
(a) (1 + cotg 2 (x))(1 − cos 2 (x)) = 1, para todo x real, x ̸= kπ
(b) 2sec(x)tg (x) =
x ̸=
π
2
1
1
+
, para todo x real
cossec(x) − 1 cossec(x) + 1
+ kπ
(c) (1 − tg (x))2 + (1 − cotg (x))2 = (sec(x) − cossec(x))2 , para todo x
real x ̸= kπ
2
(d)
1 − cos(x)
1 − cos(x)
+ sen(x) =
, para todo x real x ̸=
sen(x).cos(x)
tg (x)
kπ
2
(e) sen(a + b).sen(a − b) = cos 2 (b) − cos 2 (a), a, b ∈ R
(f) cos 2 (a + b) + cos 2 (b) − 2cos(a + b).cos(a).cos(b) = sen2 (b),
a, b ∈ R
Identidades
Simplifique:
(a) sen
(π
2
(
(c) sen
(
(e) sen
(g) y =
)
(b) cos
+x
3π
−x
2
3π
+x
2
)
)
+x
2
(
)
3π
(d) cos
−x
2
)
sen(2π − x)(cos(π − x)
tg ( π2 + x)cotg ( 3π
2 − x)
(π
(
(f) cos
3π
+x
2
)
Equações trigonométricas

 α = β + 2kπ
ou
sen(α) = sen(β) =⇒

α = π − β + 2kπ
Resumo

 α = β + 2kπ
ou
cos(α) = cos(β) =⇒
=⇒ α = ±β + 2kπ

α = −β + 2kπ

 α = β + 2kπ
ou
tg (α) = tg (β) =⇒
=⇒ α = β + kπ

α = π + β + 2kπ
Equações trigonométricas
Resolva em R:
√
3
(a) tg (x) = 1
(b) cotg (x) =
√
(c) tg (x) = − 3
(d) tg (x) = 0
(e) tg (2x) = tg (x)
(f) sen(x) −
(g) sen2 (x) = cos 2 (x)
(h) tg (x) + cotg (x) = 2
(i) sec 2 (x) = 1 + tg (x)
(j)
(k) sen(x) + cos(x) = 1
(l) sen(7x) + sen(5x) = 0
(m) cos(3x) + cos(7x) = cos(5x)
(n) sen6 + cos 6 (x) =
√
3cos(x) = 0
√
3cos(x) + sen(x) = 1
7
16