GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano
Sombras - Resumo
© antónio de campos, 2010
GENERALIDADES
A sombra na Geometria Descritiva é uniforme, ao contrário da realidade.
Os componentes básicos da sombra (de um ponto neste caso) são os seguintes:
L – fonte luminosa;
l – raio luminoso;
A – objecto (ponto) exposto à situação luminosa;
As – sombra do ponto A no plano α (ponto de intersecção do raio luminoso l com o plano α).
L
l
A
As
α
FONTE LUMINOSA
A fonte luminosa pode situar-se a uma distância finita (considera-se um foco luminoso) ou a
uma distância infinita (considera-se uma direcção luminosa).
L
l
l
l’
l’
α
α
foco luminoso
direcção luminosa
DIRECÇÃO LUMINOSA CONVENCIONAL
A direcção luminosa convencional (ou direcção convencional da luz) é considerada a direcção
luminosa ideal para as pessoas dextras escreverem. A luz provém de cima, da esquerda e de
trás, com um ângulo de amplitude de cerca de 35º 26’. É convencionalmente representada por
φº. As projecções da recta l (raio luminoso da direcção convencional da luz) fazem 45º com o
eixo x.
xz
fα ≡ e2 ≡ fαr
l2
l2
lr
l
A2
A
45º
45º
φº
45º
l1
A1
Ar
A2
φº
x ≡ hαr
45º
x
xy
A1
l1 ≡ hα
φº
(e1)
SOMBRA PROJECTADA, SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA
ESPACIAL
A sombra projectada (ou produzida) é a sombra que um objecto produz numa superfície.
A sombra própria é a parte do objecto que se encontra sombreada.
A sombra espacial é a porção do espaço compreendida entre a sombra própria e a sombra
projectada.
L
l
l’
l’’
B
A
C
Bs
Cs
As
α
SOMBRA REAL E SOMBRA VIRTUAL
A sombra real é a sombra que um objecto produz na superfície do primeiro plano de projecção
que intersecta o raio da sombra (o raio luminoso depois de passar pelo objecto). Só há uma
sombra real por objecto. Só se contempla casos no 1.º diedro.
A sombra virtual é a sombra que um objecto produz na superfície de outros planos que
intersecta o raio da sombra, depois de ter intersectado o primeiro plano de projecção. Pode
haver mais de que uma sombra virtual.
Para simplificar as anotações, são omitidas as projecções da sombra real e da sombra virtual
no eixo x.
l2
xz
Av1
L2
A2
Av
As2
As
A
l
L
x
A1
x
xy
L1
l1
SOMBRA DE UM SEGMENTO DE RECTA – Noção de Ponto de
Quebra
Pretende-se a sombra real do segmento de recta [AB] nos planos de projecção.
Em alternativa à solução indicada em baixo, seria possível localizar o ponto de quebra (ponto
Q) através da intersecção do segmento de recta da sombra virtual do ponto A (Av2) e da
sombra real do ponto B (Bs2) com o eixo x.
l’’2
l2
xz
l’2
l’’
B2
l
B
Bs
A2
Q
x
A
Bs2
A2
l’
Bv
B2
Bv1
B1
Qs
x
B1
As
l’’1
A1
xy
As1
A1
l’1
l1
SOMBRA DE UM SEGMENTO DE RECTA PARALELO A UM
DOS PLANOS DE PROJECÇÃO
Pretende-se a sombra real do segmento de recta horizontal [AB].
xz
l2
l
l’’2
l’2
l’’
B2
l’
A2
B
A
x
Bs
x
B2
A2
As
A1
B1
A1
xy
As1
l’1
B1
l’’1
l1
Bs1
SOMBRA DE UMA RECTA OBLÍQUA NOS PLANOS DE
PROJECÇÃO
Pretende-se a sombra projectada da recta r nos planos de projecção, através da
sombra da parte da recta r que se localiza no 1.º diedro, o segmento de recta [FH].
l2
l
r2
xz
F2 ≡ Fs2
A2
l’
F ≡ Fs
rs2
As2
A
As
x
r
Q
x
l’2
Qs
H2
F1
A1
rs1
H ≡ Hs
r1
xy
l’1
H1 ≡ Hs1
l1
SOMBRA DE UMA RECTA PARALELA NOS PLANOS DE
PROJECÇÃO
Pretende-se a sombra projectada da recta frontal f nos planos de projecção,
através da sombra da parte da recta f que se localiza no 1.º diedro, a semi-recta
HA.
l2
l
f2
xz
l’2
l’
A2
f2
A
fs2
As2
f
As
Q
x
Qs
x
fs1
H ≡ Hs
f1
f1
xy
H2
A1
H1≡ Hs1
l’1
l1
ENTENDIMENTO ESPACIAL DA SOMBRA DE RECTAS
Para determinar a sombra de uma recta nos planos de projecção, conduz-se pela recta, um
plano luz/sombra (ou plano luminoso), definido pela recta e pela direcção luminosa (quando se
trata de uma fonte luminosa situada a uma distância infinita), ou definido pela recta e pelo
foco luminosos (quando se trata de uma fonte luminosa situada a uma distância finita).
l
xz
xz
fλ
fλ
λ
l’
l’’’
L
F ≡ Fs
l’’
F ≡ Fs
A
A
As
l’’’
As
B
Bs
B
r
Q
x
l’’ l’
C
Cs
r
Q
hλ
H ≡ Hs
x
xy
Bs
C
Cs
hλ
H ≡ Hs
xy
λ
MÉTODO DAS SOMBRAS VIRTUAIS
Para determinar a sombra projectada de uma figura plana nos planos de projecção,
pode-se recorrer à determinação da sombra real ou sombra virtual dos pontos
(vértices) da figura plana.
xz
l’
l’’
θ
A
l’’’
B
As
Av
Bs
C
Bv
x
Cs
xy
l
MÉTODO PLANO LUZ/SOMBRA PASSANTE
Outra forma de determinar a sombra projectada de uma figura plana nos planos de
projecção, é através de um plano luz-sombra passante que localiza os pontos que a
figura plana projecta sobre o eixo x, ou seja os pontos de quebra da sombra.
Direcção luminosa no lado esquerdo, e foco luminoso no lado direito.
xz
xz
l
Bs
A
As
Qs
Ps
x
B
Bs
Q
P
λ
B
P
ν
i
Cs
A
As
Ps
x
C
xy
Qs
Q
λ
L
ν
i
C
Cs
xy
MÉTODO PARA IDENTIFICAÇÃO DA SOMBRA PRÓPRIA
NUMA FIGURA PLANA
Apesar de na maioria das vezes ser aparente a face da figura plana que está
sombreada, existe um método para determinar a sombra própria numa figura plana.
Considerar um movimento rotativo qualquer e analisar a partir do mesmo vértice, a
sequência na figura e na figura-sombra. Se as duas sequências apresentam a mesma
ordem, a face visível está iluminada.
xz
l’
l’’
θ
A
l’’’
B
As
Av
Bs
C
Bv
x
Cs
xy
l
NORMAS PARA OS TRACEJADOS DAS SOMBRAS
Apesar do desenho digital possibilitar um sombreado regular, existem normas
consensuais para a indicação de sombras em desenho a papel, utilizando um
tracejado com as seguintes situações:
Sombra própria - tracejado paralelo ao eixo x, em ambas as projecções;
Sombra projectada nos planos de projecção, via direcção luminosa – tracejado
perpendicular à direcção luminosa, em ambas as projecções;
Sombra projectada nos planos de projecção, via foco luminoso – tracejado a 45º
(a.d.) em ambas as projecções, ou seja perpendicular às projecções da direcção
convencional da luz.
FIGURAS PLANAS
CONTIDAS EM
PLANOS NÃO
PARALELOS AOS
PLANOS DE
PROJECÇÃO
Pretende-se a sombra
projectada do triângulo
[ABC] nos planos de
projecção, situado no 1.º
diedro e contido num
plano oblíquo α,
considerando um foco
luminoso L.
L2
fα ≡ hα
B2
A2 A
v1
As2
x
Como as sombras reais existem em planos
diferentes, há pontos de quebra, que serão
obtidos via o método das sombras virtuais
(como opção).
Qs
A1
B1
Determinar as sombras reais dos três vértices
do trângulo.
L1
C2
Bs2 Bv1
Q’s
C1
Cs1
Círculos Contidos em
Planos Paralelos a um
dos Planos de Projecção
No caso dos círculos, primeiro
é averiguar se a sombra tem
pontos de quebra, através do
método do plano luz/sombra
passante. Se a recta de
intersecção do plano
luz/sombra passante com o
plano que contém o círculo, é
exterior ao círculo, não há
pontos de quebra.
Pretende-se a sombra
projectada do círculo nos
planos de projecção, situado no
1.º diedro e contido num plano
horizontal ν, considerando
direcção convencional da luz.
Determinar a parte
da sombra que se
situa no SPHA, que
será um segmento
de círculo.
Determinar a parte da sombra que se situa
no SPFS, que será uma elipse; através de um
quadrado que inscreve o círculo na projecção
horizontal, transpondo o círculo para o
paralelograma na projecção frontal para
desenhar a sombra.
l2
(fν ) ≡ i2
I2
C2 ≡ H2 O2≡ D2 E2≡ F2 B2≡ K2 ≡ L2
≡ G2
A2 ≡ J2≡ M2
Ds2
Ks2
Js2
Es2
C
s2
Ov1
Os2
x
D1
J1
C1
l1
I1
M1
H1
G1
Hv2
Mv2
B1
O1
P1
Ps
E1
A1
i1
K1
F1
Q1
L1
Gv2
Q
Fs2 s
Lv2
LINHA SEPARATRIZ LUZ/SOMBRA
No caso de figuras planas, apenas uma das faces pode ter sombra própria. No caso
dos poliedros, pode haver mais do que uma face com sombra própria.
A divisão entre as faces com sombra prórpia e sem sombra própria é designada por
linha separatriz luz/sombra.
A linha separatriz luz/sombra limita tanto a sombra própria como a sombra
projectada.
Para determinar a linha separatriz luz/sombra é necessário recorrer ao plano
tangente luz/sombra, através do ponto de intersecção entre a recta de intersecção
dos planos tangentes luz/sombra e o plano da base.
Para determinar a linha separatriz luz/sombra é necessário recorrer a planos
tangentes luz/sombra, através do ponto de intersecção entre a recta de
intersecção dos dois planos tangentes luz/sombra e o plano da base.
xz
xz
fλ2
fλ2
fλ1
λ2
fλ1
l≡i
I
Vs
L
V
A’s
λ1
x
B’s
xy
C’
B’
D
A
x
t’ ≡ hλ2
i
λ1
D’s
D’v
A’v
D’
A’
λ2
t’ ≡ hλ2
B
C
t ≡ hλ1
I
xy
t ≡ hλ1
Para os casos de pirâmides ou cones, os planos
tangentes luz/sombra contêm o vértice do sólido.
Para os casos de foco luminoso para prismas
ou cilindros, a recta de intersecção será
paralela às arestas laterais do sólido, e
passa pelo foco luminoso.
Para os casos de direcção luminosa em prismas ou cilindros, a recta de
intersecção será entre o plano luz/sombra e o plano da base.
xz
fλ2
λ2
fλ1
fλ
D’
A’
A’s
D’s
C’
B’
A’v
x
λ
B’s
I
B
l
t’ ≡ hλ2
D
A
λ1
C
t ≡ hλ1
hλ ≡ i
xy
MÉTODO PARA A DETERMINAÇÃO DA LINHA SEPARATRIZ
LUZ/SOMBRA – caso de pirâmides com a base em planos
horizontais, frontais ou de perfil
1. Conduzir um raio luminoso l pelo vértice da pirâmide.
2. Determinar o ponto de intersecção I do raio luminoso l com o plano de base.
3. Conduzir pelo ponto de intersecção I, as rectas tangentes à base da pirâmide.
4. Obter as arestas laterais da linha separatriz luz/sombra.
SOMBRA PRÓPRIA E
SOMBRA
PROJECTADA DE
POLIEDROS COM
BASES
HORIZONTAIS OU
FRONTAIS
Pretende-se a sombra própria
e sombra projectada da
pirâmide quadrada nos planos
de projecção, considerando um
foco luminoso.
Conduzir um raio luminoso l pelo vértice da
pirâmide.
l2
L2
V2
I1 ≡ Vv1
Vs2
A2
x
C2
Ds1 ≡ D1
C1
hλ2
V1
Determinar o ponto de intersecção do raio
luminoso l com o plano de base.
A1
B1 ≡ Bs1
Conduzir pelo ponto de intersecção I, as
rectas tangentes à base da pirâmide.
As arestas laterais [BV] e [DV] são duas
arestas da linha separatriz luz/sombra.
B2
D2
hλ1
L1
l1
I2
MÉTODO PARA A DETERMINAÇÃO DA LINHA SEPARATRIZ
LUZ/SOMBRA – caso de prismas com as bases em planos
horizontais, frontais ou de perfil
1. Conduzir uma recta (recta r) paralela às arestas laterais e um raio luminoso (raio
l), por um ponto qualquer exterior (ponto P).
2. Determinar a recta de intersecção (recta i), entre o plano (plano λ) definido pelas
rectas r e l, e o plano da base de referência do prisma.
3. Conduzir, as rectas tangentes (rectas t e t’) à base de referência do prisma.
4. Obter as arestas laterais da linha separatriz luz/sombra.
Pretende-se a sombra própria e sombra projectada do prisma quadrangular oblíquo nos planos
de projecção, considerando a direcção luminosa convencional. O prisma está situado no 1.º
diedro e tem as bases contidas em planos horizontais.
Conduzir uma recta
(recta r) paralela às
(fν1)
arestas laterais e um
raio luminoso (raio l), por
um ponto qualquer
exterior (ponto P).
A’2 D’2
C’2
D’s2
Determinar a recta de
l2
intersecção (recta i),
entre o plano (plano λ)
definido pelas rectas r
P2
e l, e o plano da base
de referência do
(fν) ≡ i2 ≡ t2 ≡ t’2 R2
prisma.
Conduzir, as rectas
tangentes (rectas t e
t’) à base de referência x
do prisma.
As arestas laterais [BB’]
e [DD’] são duas arestas
da linha separatriz
luz/sombra.
B’2
r2
B’s2
S2
A2 D2
r1
D’1
S1
C’1
C1
As1
P1
t’1
i1
B2 C2
Ds2
D1
R1
C’s2
A1
A’1
l1
Os pontos de quebra podem ser obtidos através das sombras
reais, ou com linhas paralelas às arestas laterais [BB’] e [AD],
que são respectivamente arestas frontal e horizontal.
Bs1
B1
t1
B’1
MÉTODO PARA A DETERMINAÇÃO DA LINHA SEPARATRIZ
LUZ/SOMBRA – caso de cones com a base em planos
horizontais, frontais ou de perfil
1. Conduzir um raio luminoso l pelo vértice do cone.
2. Determinar o ponto de intersecção I do raio luminoso l com o plano de base.
3. Conduzir pelo ponto de intersecção I, as rectas tangentes à base do cone.
4. Obter as geratrizes da linha separatriz luz/sombra.
SOMBRA PRÓPRIA E
SOMBRA PROJECTADA
DE CONES COM BASES
HORIZONTAIS OU
FRONTAIS
Pretende-se a sombra própria e
sombra projectada nos planos de
projecção do cone de revolução,
situado no 1.º diedro, com a base
contida no Plano Frontal de
Projecção, considerando um foco
luminoso.
l2 L2
fλ2
fλ1
g2
A2 ≡ As2
A1
x
Determinar o ponto de intersecção do
raio luminoso l com o plano de base.
V1
Conduzir pelo ponto de intersecção I,
as rectas tangentes à base do cone.
l1
L1
B1
O1
g1
Conduzir um raio luminoso l pelo vértice
do cone.
As rectas fλ1 e fλ2 são tangentes à base
do cone nos pontos A e B. A linha
separatriz luz/sombra contém os
segmentos [AV] da geratriz g, e [BV]
da geratriz g’.
B2≡ Bs2
O2≡ V2 g’
2
g’1
Vs1
I1
I2≡ VV2
MÉTODO PARA A DETERMINAÇÃO DA LINHA SEPARATRIZ
LUZ/SOMBRA – caso de cilindros com as bases em planos
horizontais, frontais ou de perfil
1. Conduzir uma recta (recta r) paralela às geratrizes do cilindro e um raio luminoso
(raio l), por um ponto qualquer exterior (ponto P).
2. Determinar a recta de intersecção (recta i), entre o plano (plano λ) definido pelas
rectas r e l, e o plano da base de referência do cilindro.
3. Conduzir, as rectas tangentes (rectas t e t’) à base de referência do cilindro.
4. Obter as geratrizes da linha separatriz luz/sombra.
SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA PROJECTADA DE
CILINDROS COM BASES HORIZONTAIS OU
FRONTAIS
Pretende-se a sombra própria e sombra projectada
nos planos de projecção do cilindro de revolução,
situado no 1.º diedro, com as base contidas em planos
frontais, considerando direcção convencional da luz.
i’’2
Conduzir uma recta (recta
r) paralela às geratrizes do
cilindro e um raio luminoso
(raio l), por um ponto
qualquer exterior (ponto P).
Determinar a recta de
intersecção (recta i),
entre o plano (plano λ)
definido pelas rectas r e l,
e o plano da base de
referência do cilindro.
Conduzir, as rectas
tangentes (rectas t e
t’) à base de referência
do cilindro.
As rectas t e t’ são
tangentes à base do
cilindro nos pontos A e B.
A linha separatriz
luz/sombra contém os
segmentos [AA’] da
geratriz g, e [BB’] da
geratriz g’.
t’2
l’2
B2 ≡ B’2 ≡ g’2
I’2
t2
l2 ≡ i2
Bs2
O2
A2 ≡ A’2 ≡ g2
P2 ≡ (r2) ≡ M2
C2
i’2
M1
(hφ) ≡ i1 ≡ t1 ≡ t’1 ≡ i’1
N1
Os2
E2
D2
I2
As2
N2
x
Averiguar se a sombra tem
pontos de quebra, através do
método do plano luz/sombra
passante. Se a recta de
intersecção do plano
luz/sombra passante com o
plano que contém a base, é
exterior à linha separatriz
luz/sombra, não há pontos de
quebra.
O1
A1
B’s1
B1
Es1
g’1
P1
g1
r1
l1
(hφ1) ≡ i’’1
A’1
A’s1
Ds1
Cs1
C1
D1
B’1
E1
l’1
I’1
I1