POLINÔMIOS
Ana Paula Gargano
O que é polinômio?
• É uma expressão algébrica composta de um
ou mais termos, que é o produto de um
número por letras elevadas a expoentes
naturais. A parte numérica é o coeficiente e a
parte literal é que contém as letras.
• Exemplo: 2x, 3a2+2a-5, x4-4x3+2x2-6x+1,
2x: 2(coeficiente)
x(parte literal)
ADIÇÃO DE POLINÔMIOS
A soma de dois ou mais polinômios é o
polinômio cujos coeficientes são obtidos
adicionando-se os coeficientes dos termos
que apresentam o mesmo grau.
Exemplos:
1) Calcule:
a) 3x²y+5x²y=(3+5)x²y=8x²y
b) 5x³+x²+x-2+x³-6x+8=6x³+x²-5x+6
2)Dados P(x)=3x3 -2x2+ 4x +12 e R(x)= 5x3+8x22x+4, calcule P(x)+Q(x):
P(x)+Q(x)=(3+5) x3+(-2+8) x2+(4+2) x+(12+4)
=8x3+6x2+6x+16
SUBTRAÇÃO DE POLINÔMIOS
Para subtrair um polinômio B de um polinômio
A, adicionamos ao polinômio A o polinômio
oposto de B.
Dado um polinômio, podemos obter o
polinômio oposto a ele trocando os sinais de
todos os termos.
Exemplo:1)Dê o oposto dos polinômios
a) A= 2x² + 3x -7 →-A=-2x²-3x+7
2) Efetue as operações:
a) 7x-3x= (7-3)x=4x
b) 2x-(x+3y)= 2x-x-3y=x-3y
c) a6-3a³-6a6-2a³+a³+2a6=(1-6+2)a6+(-3-2+1)a³=
-3a6-4a³
d)4k+5-(2-3k)=4k+5-2+3k=7k+3
MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS
Para multiplicar dois polinômios, multiplicamos
cada termo de um deles por todos os outros,
aplicado a propriedade distributiva e depois
adicionamos os termos semelhantes.
Exemplo: Efetue:
a) 2x.8x²=16x³
b) 3x²y.15x³y=45x5y²
c) x.(x+3)= x2+3x
d) (x+2).(x2-5)=x3-5x+2x2-10
e) (2x-5)(3x²+x-1)=6x³+2x²-2x-15x²-5x+1=
6x³+2x²-2x-15x²-5x+1= 6x³-13x²-7x+1
f) (3x+2).(x-3)=3x²-9x+2x-6=3x²-7x-6
DIVISÃO DE POLINÔMIOS
Sejam D(x) e d(x) dois polinômios não nulos
de graus m e n , respectivamente. Dividir o
polinômio D(x) pelo polinômio d(x) é
encontrar um polinômio Q(x) e um polinômio
R(x),únicos, tais que :
D(x) = Q(x) . d(x) + R(x)
Onde:D(x): dividendo
d(x): divisor
Q(x): quociente
R(x): resto
Indicando na chave, temos: D(x) Іd(x)
R(x) Q(x)
IPC!
• O grau de Q(x) é igual a diferença dos graus de D(x) e
d(x)
• O grau do resto (R(x)=0) será sempre menor que o
grau do divisor d(x)
•
Se a divisão é exata , o resto é nulo R(x)= 0,
isto é, o polinômio D(x) é divisível por d(x).
Divisão de um monômio por um monômio
Exemplos:
a) (20a³) : (5a)= 4a²
b) (-48x5y³) : (3x²y)=-16x³y²
Divisão de um polinômio por um monômio
Exemplos:
a) (8x4-2x³+6x²) : (2x²)= 4x²-x+3
b) (27a6+ 18a4-9a³) : (-3a³)=-9a³-6a+3
c) (8x4+6x³) : 2x=4x³+3x²
Divisão de polinômio por polinômio
Método da chave
Para efetuar a divisão, usando o método da
chave, usamos os seguintes passos:
1. Escrever o polinômio (dividendo e divisor)
em ordem decrescente dos seus expoentes e
completá-los, quando necessário, com
termos de coeficiente zero.
2. Dividir o termo de maior grau do dividendo
pelo de maior grau do divisor, o resultado
será um termo do quociente.
3. Multiplicar o termo obtido no segundo passo
pelo divisor e subtrair esse produto do
dividendo.
Se o grau da diferença for menor do que o grau
do divisor, a diferença será o resto da divisão
e termina aqui. Caso contrário,
Retoma-se o passo 2, considerando a diferença
como um novo dividendo.
Exemplos:
1. Determinar o quociente e o resto nas
divisões:
a)(x3+4x2+x-6) : (x+2)=
b)(x4+x3-7x2+9x-1):(x2+3x-2)=
c) (x4+8x+1):(x²+2x)=
EXERCÍCIOS
OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS
Profª: Ana Paula Gargano
1) Sendo A=5x²+3x-14 e B=2x²+5x+11,
determine:
a) A+B
b) A-B
c) B-A
d) 2(A+B)
2) Calcule:
a) (2x+8)(4x+1)
b) (2x-2)(x+4)
c) (x+1)(x+3)(x-1)(x-3)
d) 4x4-2x³+8x
2x
e) 9x6-12x5+8x³-x²:3x²
3)O resto da divisão de 3x4-2x³+4x-10 por x-2 é:
a) 10
b) 30
c) 20
d) 0
e) n.d.a.
4)(PUC-BA) O quociente da divisão do polinômio
x³-3x²+3x-1 pelo polinômio x-1 é:
a) X
b) X-1
c) X²-1
d) X²-2x+1
e) X²-3x+3
5)(PUC-BA) Sejam os polinômios P=x³-2x²+x,
Q=2x-1 e R=x+1.Efetuando-se P+Q.R,obtémse:
a) X³+2x-1
b) X³+x-1
c) X³+2x+1
d) X³+3x
e) X4-x³+x²+2x-1
6) O quociente da divisão de um polinômio A
por x-2 é 5x+7 e o resto é -4. Qual é o
polinômio A?
7) Determine o polinômio que dividido por x+5,
tem como quociente x-2 e resto 3.
8)(Ulbra-RS)Sendo A=x²+x e B=x²-x, o valor de
2AB é:
a) 2x4-4x³-2x²
b) X4-x³-x²
c) 2x4-2x²
d) Zero
e) x4-x²
9)O quociente da divisão de 4x4-4x³+x-1 por
4x³+1 é:
a) x-5
b) X-1
c) X+5
d) 4x-5
e) 4x+8
10) (Uepi-PI) O resto da divisão do polinômio
4x³+12x²+x-4 por 2x+3 é:
a) 1
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8
11) (Cesgranrio-RJ)Simplificando a expressão
a³(a²+a³):a5, encontramos:
a) 1+a
b) a+a²
c) 1+5a
d) 1-a
e) a³
12)(UFV-MG) O produto(2x³+3x-5).(x²-5).5(x²3x)²
é:
13) Sendo A=(x+2)², B=(x+3)(x-3) e C=(x-1)²,
determine o valor de A+B+C.
PRODUTO NOTÁVEL
Ana Paula Gargano
PRODUTO NOTÁVEL
QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS
Pode ser representado pela expressão (a+b)2,
que corresponde (a+b).(a+b).
Usando a propriedade distributiva, temos que:
(a+b)2 = (a+b).(a+b)=
a.a+a.b+b.a+b.b=a2+ab+ab+b2= a2+2ab+b2,
pois ab=ba
(a+b)2 = a2+2ab+b2
O quadrado da soma de dois termos é igual
ao quadrado do 1º termo mais duas vezes o
produto do primeiro termo pelo 2º mais o
quadrado do 2º termo.
Exemplos:
a) (x+4)2 = x2+2.x.4+42 = x2+8x+16
b) (2+y)2 = 22+2.2.y+y2= 4+4y+y2
c) (y3+5z)2 =(y3)2+2y3.5z+(5z)2 = y6+10y3z+25z2
Cuidado!
(a+b)² ≠ a²+b²
(3+4)² = 7²= 49 e 3²+4²= 9 + 16 =25
Logo,
(3+4)² ≠ 3²+4²
Quadrado da diferença de dois termos
Pode ser representado pela expressão (a-b)2,
que corresponde (a-b).(a-b).
Usando a propriedade distributiva, temos que:
(a-b)2 = (a-b).(a-b)= a.a-a.b+b.a+b.b =a2-ab-ab
+b2= a2-2ab+b2, pois ab=ba
(a-b)2 = a2-2ab+b2
O quadrado da diferença de dois termos é
igual ao quadrado do 1º termo menos duas
vezes o produto do primeiro termo pelo 2º
mais o quadrado do 2º termo.
Exemplos:
a)(x-5)2 = x2-2.x.5+52 = x2-10x+25
b)(2y-1)2 = (2y)2-2.2y.1+12= 4y2-4y+1
c)(a2-3b3)2 =(a2)2-2. a2.3b3+(3b3)2 = a4-6a2b3+9b6
PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA
Dados dois termos a e b, representamos o
produto da soma pela diferença pela
expressão(a+b).(a-b)
(a+b).(a-b)= a.a-a.b+b.a-b.b= a2-b2
O produto da soma pela diferença é igual à
diferença entre o quadrado do 1º termo e o
quadrado do 2º termo.
Exemplos:
a)(x+5).(x-5)=x2-52= x2-25
b)(2xy2+9x).(2xy2-9x)=(2xy2)2-(9x)2= 4x2y4-81x2
c)(a² +3). (a² +3)= ( (a²)² - (3)²)= (a4 - 9)
2
2
2
4
CUBO DA SOMA DE DOIS TERMOS
O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo
do 1º termo mais três vezes o produto do 1º
termo ao quadrado pelo 2º, mais três vezes o
o produto do 1º termo pelo quadrado do 2º
termo mais o cubo do 2º termo.
É expresso por (a+b)3
(a+b)3= (a+b).(a+b)2= (a+b).(a2+2ab+b2)=
a3+2a2b+ab2+a2b+2ab2+b3+= a3+3a2b+3ab2+b3
Exemplos:
a) (x+1)³= x³ +3.x².1+3x.1²+1³= x³+3x²+3x+1
b) (x²+3x)³= (x²)³+3.(x²)².3x+3.x².(3x)²+(3x)³=
=x6+ 9x.x4+3x².9x²+27x³
= x6+ 9x5+27x4+27x³
CUBO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
O cubo da diferença de dois termos é igual ao
cubo do 1º termo menos três vezes o produto
do 1º termo ao quadrado pelo 2º, mais três
vezes o produto do 1º termo pelo quadrado
do 2º termo menos o cubo do 2º termo.
É expresso por (a-b)3
(a-b)3= (a-b).(a-b)2= (a-b).(a2-2ab+b2)= a32a2b+ab2-a2b+2ab2-b3+= a3-3a2b+3ab2-b3
Exemplos:
a) (x-1)³= x³ -3.x².1+3x.1²-1³= x³-3x²+3x-1
b) (x²-3x)³= (x²)³-3.(x²)².3x+3.x².(3x)²-(3x)³=
=x6- 9x.x4+3x².9x²-27x³
= x6- 9x5+27x4-27x³
Outros produtos notáveis
Produto de Stevin ou do tipo (x+a).(x+b)
(x+a).(x+b) = x²+bx+ax+ab = x²+(a+b)x+ab
Ou
(x+a).(x+b) = x²+Sx+P, onde:
S= soma(a+b)
P= produto(a.b)
Exemplos:
a) (x+2)(x+4) = x²+Sx+P= x²+6x+8
S=2+4=6
P=2.4=8
b) (x+5)(x-2) = x²+Sx+P= x²+3x-10
S=5-2=3
P=5.(-2)=-10
Quadrado da soma de três termos
(a+b+c)²=(a+b+c)(a+b+c)=a²+b²+c²+2ab+2bc+2
Exemplos:
a)(x+y+3)²=x²+y²+3²+2xy+2y.3+2x.3=
=x²+y²+9+2xy+6y+6x
b)(x-2y-1)²=x²+(-2y)²+(-1)²+2x.(-2y)+2(-2y).(1)+2x.(-1)=x²+4y²+1-4xy+4y-2x
Produto (a+b).(a²-ab+b²)
(a+b).(a²-ab+b²)= a³+b³
Exemplos:
a) (a+5).(a²-5a+25)= a³+5³=a³+125
b) (x+3).(x²-3x+9)=x³+3³=x³+27
O produto (a-b).(a²+ab+b²)
(a-b).(a²+ab+b²)
Exemplos:
a) (a-5).(a²+5a+25)= a³-5³=a³-125
b) (x-3).(x²+3x+9)=x³-3³=x³-27
c) (2x-y).(4x²+2xy+y²)= (2x)³-y³=8x³-y³
EXERCÍCIOS PRODUTOS NOTÁVEIS
Profª: Ana Paula Gargano
1)
a)
b)
c)
d)
e)
(Cefetq-RJ) O quadrado da expressão 2x+3 é:
4x²+9
4x²+12x+9
4x²-12x+9
4x+6
4x+9
2) (Cefetq-RJ) O quadrado do binômio x+1/x é:
3) (Cefetq-RJ) O quadrado do binômio 2x²-y é:
4)(Serviço Nacional de Aprendizagem Comercial)
Simplificando a expressão (x+a)²-(x+a).(x-a),
obtemos:
5)(Cefet-RJ)Que expressão deve ser adicionada a
x²-6x+5 para que resulte o quadrado de x-3?
6)(Cefet-RJ)O produto (a+b)².(a-b)² é igual a:
7)(Cefet-RJ)O valor da expressão (x+5)(x-5)(x+3)²+6(x+5) é:
8)(FN)Considere x=10 e y=20. Calcule o valor de
(x+y)²-2xy.
9)Se a²+b²=34 3 ab=15, calcule o valor de (a+b)²
8
10) Sabendo que a²+b²=45 e ab=18, determine o
valor de (a+b)²:
11)(Curso de Formação de Cabos da
Aeronáutica)O valor da expressão 10(√20+√5)² é:
12) (ESA)Simplificando a expressão (x-a)²(x+a)²
(x²-a²)²
Sendo x≠+a, tem-se:
13)(Cefet)O número d=√3+2√2 . √3-2√2 é:
14) (CBMERJ-RJ) Efetue os produtos notáveis e
simplifique a expressão (6b+½)² - (6b-½)² (6b+½).(6b-½).Qual o polinômioencontrado?
a) 30b²-10b+½
b) 20b+10
c) -36b²+12b+¼
d) 20b²+20b+8
e) b²-8b+¼
15)(FGV-SP) Seja N o resultado da operação
375²-374².A soma dos algarismos de N é:
a)18
b)19
c)20
d)21
e)22
16)(Ulbra-RS) Sendo A=x-3, B=x²+3 e C=9x, o
valor de A²-B+C é:
a) 3(x+4)
b) X+4
c) 3(x+2)
d) X+2
e) 3x
17)(Unifor-CE) A expressão (x-1)² + (x-1)³ é
equivalente a:
a) (x-1)5
b) X³-2x²+x
c) X³+x²-2
d) X³+x²-2x
e) X³+2x²+1
18) (EAM) Se a/b=1/2 o valor de a+b² é:
a-b
a) 4
b) 9
c) 16
d) 25
e) 36 B
19) (EAM) Reduzindo-se os termos semelhantes
da expressão b(a-b)+(b+a)(b-a)-a(b-a)+(b-a)²,
obtém-se:
a) (a-b)²
b) (a+b)²
c) b²-a²
d) a²-b²
e) a²+b² A
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
Profº: Ana Paula Gargano
•
•
•
•
REUNIÃO OU UNIÃO
INTERSECÇÃO
DIFERENÇA
COMPLEMENTAR
• REUNIÃO OU UNIÃO
A união de dois conjuntos A e B, representada
por AUB, é o conjunto formado por todos os
elementos que estão em A e B juntos, isto é, é
o conjunto dos elementos que pertencem a A
ou pertencem a B.
AUB= { xlx Є A v x Є B}
• Propiedades
AU0=A, VA
AUA=A
AUB=BUA(comutativa)
AU(BUC)=(AUB)UC(associativa)
AUU=U, onde U é o conjunto universo
• Gráfico (diagrama) de
AUB
A
A
B
B
A
B
• Exemplos:
A={0,1,2} e B={2,3,4}
AUB= {0,1,2}U{2,3,4}={0,1,2,3,4}
O conjunto união contempla todos os elementos
do conjunto A e do conjunto B.
• INTERSECÇÃO
A intersecção de dois conjuntos A e B,
representada por A∩B, é o conjunto formado
por todos os elementos que estão em A e B ao
mesmo tempo, isto é, é o conjunto dos
elementos que pertencem a A e pertencem a
B.
A∩B= { xlx Є A ^ x Є B}
• Propriedades
A∩0=Ø
A∩A=A
A∩B=B∩A(comutativamente)
A∩(B∩C)=(A∩B)∩C(associativamente)
A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C) (distributivamente)
AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC) (distributivamente)
Se A∩B= Ø, então dizemos que os conjuntos A eB são
disjuntos.
• Podemos representar
A∩B através de
diagramas:
A
B
A∩B=B
A
B
A
A∩B={}
B
• Número de elementos da união de dois
conjuntos
O número de elementos da intersecção é A∩B é
dado por n(A∩B) e o número de elementos da
união AUB é dado por n(AUB), logo podemos
escrever:
n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
Exemplo:
B
• A={1,2,3} e B={2,3,4,5},logo:
n(A)=3
n(B)=4
n(AUB )=?
n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
n(AUB)= 3+4-2
n(AUB)=7-2
n(AUB)=5
• DIFERENÇA
A diferença de dois conjuntos A e B,
representada por A-B, é o conjunto formado
pelos elementos que restaram de A quando
retiramos aqueles que estão em B, isto é, é o
conjunto dos elementos que pertencem a A e
não pertencem a B.
AUB= { xlx Є A e x Є B}
• Propriedades:
A-0=A
0-A= Ø
A-A= Ø
A-B≠B-A
• Gráfico de A-B
A
B
A
A
B
B
Exemplo:
A={0,5,9}
B={0,3,9}
A-B={5}
B-A={3}
• COMPLEMENTAR
É um caso particular da diferença entre dois
conjuntos. Dados dois conjuntos A e B com a
condição de que BcA a diferença A-B chama-se
complementar de B em relação a A e é
representado por:
CAB= A-B
• Diagrama
CAB= A-B
A
B
• EXERCITANDO
1) Considere os conjuntos A={1,3,5,6,8} e
B={1,2,4,5,7,9,10}.Determine :
a) AUB
b) A∩B
c) A-B
d) B-A
e) Quantos elementos têm os conjuntos AUB e
A∩B?
2) Considere os conjuntos A={2,3,5} e
B={4,6,8,9}. Determine:
a)AUB
b)A∩B
c) A-B
d)B-A
e)Quantos elementos têm os conjuntos AUB e
A∩B?
3)Dados os subconjuntos A = {x ∈ IR / -2 ≤ x < 3};
B = {x ∈ IR / 1 ≤ x < 4}; C = {x ∈ IR / x < 0}
de IR calcule (faça o gráfico):
a) A ∪ B
b) A ∩ B
c) (A ∩ C) ∩ B
d) (A ∩ C) U B
4)(FAETEC-SP) O conjunto A tem 20 elementos;
A∩B tem 12 e AUB tem 60. O número de
elementos de B é:
a) 28
b) 36
c) 40
d) 48
e) 52
5) (UFAL) Se A e B são dois conjuntos não-vazios, tais
que:
AUB = {1,2,3,4,5,6,7,8}, A-B={1,3,6,7} e B-A={4,8}
Então A∩B é;
a) Ø
b) {1,4}
c) {2,5}
d) {6,7,8}
e) {1,3,4,6,7,8}
6) (UCSAL-Ba) Três conjuntos não-vazios A,B e C,
A={0,1}, BUC={0,2,3}, AUB={0,1,2} e B∩C={0}. O
conjunto B é:
a) {0,1}
b) {0,2}
c) {0,3}
d) {1,2}
e) {1,3}
Problemas envolvendo conjuntos
1)Numa pesquisa de mercado sobre a
preferência dos consumidores entre duas
operadoras de telefone móvel, verificou-se
que 3003 dessas pessoas utilizam as
operadoras A e B. A operadora A é utilizada
por 9376 das pessoas pesquisadas, e a
operadora B por 12213 delas. Se todas as
pessoas pesquisadas utilizam pelo menos uma
operadora, o número de pessoas que
responderam a pesquisa é:
a)
b)
c)
d)
e)
24592
22623
21589
18586
17658 D
2) (TRT) Uma empresa divide-se unicamente nos departamento
A e B. Sabe-se que 19 funcionários trabalham em A, 13
trabalham em B e existem 4 funcioários que trabalham em
ambos os departamentos.O total de trabalhadores dessa
empresa é:
a) 36
b) 32
c) 30
d) 28
e) 24 D
3) (EAM) Em uma viagem foram colocados dois tipos de revistas
para que os tripulantes de uma fragata desfrutassem de uma
boa leitura. Ao final da viagem foi feita uma pesquisa com
todos os tripulantes para saber das preferências com relação
às revistas “saúde à bordo”ou “vida marinha”, verificou-se:
-20 tripulantes leram “saúde à bordo”
-30 tripulantes leram “vida marinha”
-8 leram as duas revistas
-14 tripulantes não leram nenhuma das dessas revistas
Qual é o número de tripulantes da fragata nesta viagem?
a)56
c)64
b)58
d)68 e)72 A
4) (EAM) Numa sociedade, 300 pessoas estudam
matemática, 150 estudam apenas português, 50
pessoas estudam matemática e português, 100
pessoas não estudam nada. Qual o número de
pessoas dessa sociedade?
a) 400
b) 450
c) 500
d) 550
e) 600 D
5) Em uma turna com 30 alunos, todos jogam
vôlei ou futebol. Destes, 17 jogam apenas
futebol, e 5 jogam futebol e vôlei. Quantos
jogam apenas vôlei?
• Solução
• FUV=30
• F∩V=5
• F-V=17
• V-F= ?
6) Em uma turma com 30 alunos, todos jogam
futebol, vôlei ou basquete. Destes sabemos
que: 20 jogam futebol, 15 jogam vôlei, 7
alunos jogam futebol e basquete, 5 praticam
apenas vôlei, apenas 2 praticam
simultaneamente os três esportes, e
nenhum joga apenas basquete. Determine:
a) Quantos alunos jogam apenas futebol?8
b) Quantos alunos jogam futebol e vôlei?7
• Quantos alunos jogam vôlei e basquete? 7
FUVUB=30
F=20
V=15
F∩B=7
F∩V∩B=2
V-(FUB)=5
B-(FUV)=0
7) (TRT)Numa pesquisa feita com 290 pessoas a
respeito da audiência de dois filmes, A e B,
apurou-se que:
- 130 pessoas consultadas assistiram ao filme
A;
- Somente 50 dentre todas as pessoas
consultadas assistiram aos dois filmes;
- Dentre todos os pesquisados, apenas 60 não
assistiram a A nem a B.
Quantas pessoas assistiram ao filme B?
a) 100
b) 110
c) 130
d) 150
e) 170 D