Curso Wellington – Matemática –Arranjo e Combinação – Prof Hilton Franco
1. A figura abaixo ilustra um bloco de massa igual a 8 kg , em repouso, apoiado sobre um
plano horizontal. Um prato de balança, com massa desprezível, está ligado ao bloco por um fio
ideal. O fio passa pela polia sem atrito.
O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a superfície é µ = 0,2 . Dispõe-se de 4 pequenos
blocos cujas massas são:
m1 = 300 g
m2 = 600 g
m3 = 900 g
m4 = 1.200 g
Cada bloco pode ou não ser colocado no prato, de modo que o prato pode conter um, dois, três
ou até todos os quatro blocos. Considerando-se a aceleração da gravidade com valor igual a
10 m / s2 , de quantas maneiras distintas é possível colocar pesos no prato, a fim de que o
bloco entre em movimento?
2. Os alunos de uma escola realizam experiências no laboratório de Química utilizando 8
substâncias diferentes. O experimento consiste em misturar quantidades iguais de duas dessas
substâncias e observar o produto obtido.
O professor recomenda, entretanto, que as substâncias S1, S2 e S3 não devem ser misturadas
entre si, pois produzem como resultado o gás metano, de odor muito ruim. Assim, o número
possível de misturas diferentes que se pode obter, sem produzir o gás metano é
a) 16
b) 24
c) 25
d) 28
e) 56
3. A figura abaixo ilustra um bloco de massa igual a 8 kg , em repouso, apoiado sobre um
plano horizontal. Um prato de balança, com massa desprezível, está ligado ao bloco por um fio
ideal. O fio passa pela polia sem atrito.
O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a superfície é µ = 0,2 . Dispõe-se de 4 pequenos
blocos cujas massas são:
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m1 = 300 g
m2 = 600 g
m3 = 900 g
m4 = 1.200 g
Cada bloco pode ou não ser colocado no prato, de modo que o prato pode conter um, dois, três
ou até todos os quatro blocos. Considerando-se a aceleração da gravidade com valor igual a
10 m / s2 , de quantas maneiras distintas é possível colocar pesos no prato, a fim de que o
bloco entre em movimento?
4. As saladas de frutas de um restaurante são feitas misturando pelo menos duas frutas
escolhidas entre: banana, laranja, maçã, abacaxi e melão.
Quantos tipos diferentes de saladas de frutas podem ser feitos considerando apenas os tipos
de frutas e não as quantidades?
a) 26
b) 24
c) 22
d) 30
e) 28
5.
Uma equipe de saúde tem 4 médicos e 6 enfermeiras. Quantas comissões de cinco
profissionais, médicos e enfermeiras, podem ser formadas contendo, exatamente, dois médicos
e três enfermeiras?
a) 10
b) 20
c) 60
d) 120
6. A prova da primeira fase de um vestibular terá 8 questões objetivas de Matemática, com 5
alternativas. Pretende-se que apenas duas dessas questões tenham a resposta correta
indicada na alternativa E. O número de formas de se escolher essas duas questões é
a) 28.
b) 36.
c) 48.
d) 56.
e) 68.
7. A cobrança do pedágio na BR-116, principal rodovia brasileira, foi iniciada na primeira
semana de dezembro 2010, com postos autorizados pela Agência Nacional de Transportes
Terrestres (ANTT).
Suponha que entre as cidades A e B existem cinco postos de abastecimento, além de dois
postos de pedágio — o primeiro com quatro cabines e o segundo, com três. É possível fazer o
percurso de A até B, passando pelos dois pedágios e parando três vezes para abastecimento,
de n formas distintas (variando as cabines e os postos de abastecimento). O valor de n é
a) 12
b) 22
c) 31
d) 120
e) 210
8. Em um jogo lotérico, com 40 dezenas distintas e possíveis de serem escolhidas para
aposta, são sorteadas 4 dezenas e o ganhador do prêmio maior deve acertar todas elas. Se a
aposta mínima, em 4 dezenas, custa R$ 2,00 , uma aposta em 6 dezenas deve custar:
a) R$15,00 .
b) R$30,00 .
c) R$ 35,00 .
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d) R$ 70,00 .
e) R$ 140,00 .
9. Um colecionador deixou sua casa provido de R$5,00 , disposto a gastar tudo na loja de
miniaturas da esquina. O vendedor lhe mostrou três opções que havia na loja, conforme a
seguir.
• 5 diferentes miniaturas de carros, custando R$4,00 cada miniatura;
• 3 diferentes miniaturas de livros, custando R$1,00 cada miniatura;
• 2 diferentes miniaturas de bichos, custando R$3,00 cada miniatura.
O número de diferentes maneiras desse colecionador efetuar a compra das miniaturas,
gastando todo o seu dinheiro, é
a) 15
b) 21
c) 42
d) 90
10. Uma fábrica produz sucos com os seguintes sabores: uva, pêssego e laranja. Considere
uma caixa com 12 garrafas desses sucos, sendo 4 garrafas de cada sabor.
Retirando-se, ao acaso, 2 garrafas dessa caixa, a probabilidade de que ambas contenham
suco com o mesmo sabor equivale a:
a) 9,1%
b) 18,2%
c) 27,3%
d) 36,4%
11. O jogo da Mega-Sena consiste no sorteio de 6 números distintos entre 1 e 60. Um
apostador escolhe 20 números distintos e faz todos os C20,6 jogos possíveis de serem
realizados com os 20 números. Se ele acertar os seis números sorteados, entre os vinte
escolhidos, além da aposta sorteada com a sena, quantas apostas premiadas com a quina
(cinco números corretos) ele conseguirá?
a) 75 apostas
b) 84 apostas
c) C20,5 apostas
d) C6,5 apostas
e) 70 apostas
12. Um grupo de 6 alunos decide escrever todos os anagramas da palavra PERGUNTA. Esta
tarefa será feita em vários turnos de trabalho. Em cada turno 3 alunos escrevem e os outros
descansam. Para serem justos, decidiram escrever o mesmo número de anagramas em cada
turno.
Qual deve ser o número mínimo de anagramas, escrito por turno, de modo que não se repitam
grupos de trabalho?
a) 23
b) 720
c) 2016
d) 5040
e) 35000
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES:
Uma rodovia que liga duas cidades X e Y possui telefones de emergência localizados de 4 em
4 quilômetros. Indo de X até Y por essa rodovia, Júlio passou por quatro postos de gasolina,
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nesta ordem: P1, P2, P3 e P4. Júlio observou ainda que os quatro postos estavam localizados a
2 km de distância de um telefone de emergência. Sabe-se que:
• para ir de P1 até P4 passa-se por 15 telefones de emergência;
• para ir de P1 até P3 passa-se por 11 telefones de emergência;
• para ir de P2 até P4 passa-se por 7 telefones de emergência.
13. A distância, em quilômetros, entre os postos P2 e P3 é igual a
a) 20.
b) 18.
c) 16.
d) 12.
e) 8.
14. Um funcionário da companhia responsável pela manutenção dos telefones de emergência
viajará do posto P2 até o posto P4 . Nesse trajeto, ele irá escolher dois telefones para fazer
manutenção preventiva. Na volta, indo de P4 até P2 , ele escolherá outros dois telefones para
fazer manutenção preventiva. O número de maneiras distintas que esse funcionário tem para
escolher como fará essa inspeção é igual a
a) 35.
b) 105.
c) 210.
d) 420.
e) 840.
15. Ao refazer seu calendário escolar para o segundo semestre, uma escola decidiu repor
algumas aulas em exatamente 4 dos 9 sábados disponíveis nos meses de outubro e novembro
de 2009, com a condição de que não fossem utilizados 4 sábados consecutivos.
Para atender às condições de reposição das aulas, o número total de conjuntos distintos que
podem ser formados contendo 4 sábados é de:
a) 80
b) 96
c) 120
d) 126
16. No jogo da Mega Sena, um apostador pode assinalar entre 6 e 15 números, de um total
de 60 opções disponíveis. O valor da aposta é igual a R$ 2,00 multiplicado pelo número de
sequencias de seis números que são possíveis, a partir daqueles números assinalados pelo
apostador.
Por exemplo: se o apostador assinala 6 números, tem apenas uma sequencia favorável e paga
R$ 2,00 pela aposta. Se o apostador assinala 7 números, tem sete sequencias favoráveis, ou
seja, é possível formar sete sequencias de seis números a partir dos sete números escolhidos.
Neste caso, o valor da aposta é R$ 14,00.
Considerando que se trata de uma aplicação de matemática, sem apologia a qualquer tipo de
jogo, assinale a única alternativa CORRETA.
a) A aposta máxima custará R$ 5.005,00.
b) Uma aposta com 14 números assinalados custará entre R$ 3.000,00 e R$ 3.050,00.
c) Apostar dois cartões com dez números assinalados, ou cinco cartões com nove números
assinalados, são opções equivalentes em termos de custo e de chance de ser ganhador do
prêmio máximo.
d) O custo de uma aposta com 12 números assinalados será inferior a R$ 1.830,00.
e) Apostar um cartão com 13 números assinalados custará o dobro da aposta de um cartão
com 12 números assinalados.
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17. Um cofre eletrônico possui um painel com dez teclas numéricas e pode ser aberto por
meio da digitação, em qualquer ordem, de três teclas distintas dentre seis habilitadas
previamente pelo fabricante.
Considere n o número máximo de conjuntos distintos de três teclas que abrem o cofre.
Na figura em destaque, as teclas azuis representam as habilitadas previamente.
Se o fabricante reduzisse para
cinco o número de teclas
habilitadas, haveria entre elas
um total de m conjuntos distintos
de três teclas distintas para abrir
o cofre.
Calcule o valor de n - m.
18.
Considere como um único conjunto as 8 crianças – 4 meninos e 4 meninas – personagens da
tirinha. A partir desse conjunto, podem-se formar n grupos, não vazios, que apresentam um
número igual de meninos e de meninas.
O maior valor de n é equivalente a:
a) 45
b) 56
c) 69
d) 81
19. Considere que um professor de arqueologia tenha obtido recursos para visitar 5 museus,
sendo 3 deles no Brasil e 2 fora do país. Ele decidiu restringir sua escolha aos museus
nacionais e internacionais relacionados na tabela a seguir.
Museus nacionais
Masp — São Paulo
MAM — São Paulo
Ipiranga — São Paulo
Imperial — Petrópolis
Museus internacionais
Louvre — Paris
Prado — Madri
British Museum — Londres
Metropolitan — Nova York
De acordo com os recursos obtidos, de quantas maneiras diferentes esse professor pode
escolher os 5 museus para visitar?
a) 6
b) 8
c) 20
d) 24
e) 36
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20. Três casais devem sentar-se em 8 poltronas de uma fileira de um cinema. Calcule de
quantas maneiras eles podem sentar-se nas poltronas
a) de modo arbitrário, sem restrições;
b) de modo que cada casal fique junto;
c) de modo que todos os homens fiquem à esquerda ou todos os homens fiquem à direita de
todas as mulheres.
21.
O Programa Nacional de Tecnologia Educacional do MEC financia e instala
laboratórios de informática nas escolas públicas de Educação Básica. Suponha que, no
processo de licitação para a compra dos computadores destinados aos laboratórios, o MEC
tenha a sua disposição 15 consultores técnicos, sendo que 10 são consultores júnior e 5 são
consultores sênior. Dois fabricantes de computadores, sendo um da marca A e outro da marca
B, resolveram participar do processo de licitação. Para decidir qual marca comprar, uma equipe
de consultores técnicos testou as duas marcas durante uma semana. Os técnicos concluíram
1
que a probabilidade de que ocorra um problema em computadores da marca A é de , da
2
1
1
marca B é de , e, em ambas, é de
.
100
4
Com base nestas informações, responda as seguintes perguntas:
a) Se o MEC deseja designar 5 consultores técnicos para compor a equipe de testes, sendo
que 3 são consultores júnior e 2 são consultores sênior, de quantas maneiras distintas
podem ser escolhidos os 5 consultores?
b) Durante os testes realizados, qual a probabilidade de que nenhuma marca tenha
apresentado problema?
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Gabarito:
Resposta
da
Do ponto de vista da Matemática:
questão
1:
Seja P o peso total dos blocos que serão colocados no prato.
O sistema entrará em movimento se P ≥ fat, ou seja,
P ≥ µ ⋅ N = µ ⋅ PB = 0,2 ⋅ 8 ⋅ 10 = 16 N.
Portanto, a soma das massas dos blocos que devemos colocar no prato deve ser maior do que
ou igual a 1600 g. Isso ocorre se colocarmos os blocos: 2 e 4; ou 3 e 4; ou 1, 2 e 3; ou 1, 2 e 4;
ou 1, 3 e 4; ou 2, 3 e 4; ou 1, 2, 3 e 4 (sete maneiras).
Do ponto de vista da Física:
(Fat)max = μ e .N = 0,2x80 = 16N
m1 = 300 g → P1 = 3N
m2 = 600 g → P2 = 6N
m3 = 900 g → P3 = 9N
m4 = 1200g → P4 = 12N
Para haver movimento á preciso que
As combinações possíveis são:
∑ P > 16
P1 + P2 + P3 = 18
P1 + P2 + P4 = 21
P2 + P3 + P4 = 27
P2 + P4 = 18
P3 + P4 = 21
Resposta
[C]
da
questão
2:
8
8!
= 28 modos de escolher duas substâncias dentre as 8 disponíveis. Por outro
Há   =
2
2!6!
 
3
lado,   = 3 dessas escolhas recaem em duas das três substâncias S1, S2 e S3 . Portanto, o
 2
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número possível de misturas diferentes que se pode obter, sem produzir o gás metano, é
28 − 3 = 25.
Resposta
da
Do ponto de vista da Matemática:
questão
3:
Seja P o peso total dos blocos que serão colocados no prato.
O sistema entrará em movimento se P ≥ fat, ou seja,
P ≥ µ ⋅ N = µ ⋅ PB = 0,2 ⋅ 8 ⋅ 10 = 16 N.
Portanto, a soma das massas dos blocos que devemos colocar no prato deve ser maior do que
ou igual a 1600 g. Isso ocorre se colocarmos os blocos: 2 e 4; ou 3 e 4; ou 1, 2 e 3; ou 1, 2 e 4;
ou 1, 3 e 4; ou 2, 3 e 4; ou 1, 2, 3 e 4 (sete maneiras).
Do ponto de vista da Física:
(Fat)max = μ e .N = 0,2x80 = 16N
m1 = 300 g → P1 = 3N
m2 = 600 g → P2 = 6N
m3 = 900 g → P3 = 9N
m4 = 1200g → P4 = 12N
Para haver movimento á preciso que
As combinações possíveis são:
∑ P > 16
P1 + P2 + P3 = 18
P1 + P2 + P4 = 21
P2 + P3 + P4 = 27
P2 + P4 = 18
P3 + P4 = 21
Resposta
[A]
da
questão
4:
Seja n a quantidade de saladas de frutas que podem ser feitas considerando apenas os tipos
de frutas. Segue que
5 5  5 5
n =   +   +   +  .
 2 3  4 5
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Segue pelo teorema das linhas do triângulo de Pascal que
5 5 5 5  5 5
5
 + + + + +  = 2
0
1
2
3
4
5
    1 4 4 442 4 4 443 
n
1 + 5 + n = 32 ⇒ n = 26.
Resposta
[D]
C4,2 .C6,3 =
da
questão
5:
questão
6:
questão
7:
4.3 6.5.4
.
= 6.20 = 120
2!
3!
Resposta
[A]
da
Utilizando combinação simples, temos:
C8,2 =
8!
= 28
2!.6!
Resposta
[D]
da
4
5
5!
= 10 maneiras de escolher 3
Há   = 4 modos de passar pelo primeiro pedágio,   =
1
3
3!2!
 
 
3
postos para abastecer e   = 3 modos de passar pelo segundo pedágio.
 1
Portanto, pelo PFC, n = 4 ⋅ 10 ⋅ 3 = 120.
Resposta
[B]
da
questão
8:
6
6!
= 15 apostas mínimas de 4 dezenas.
Uma aposta em 6 dezenas abrange   =
4
4!2!
 
Portanto, o custo dessa aposta deve ser de R$ 2,00 ⋅ 15 = R$ 30,00.
Resposta
[B]
da
questão
9:
Só poderá comprar:
1 carro e 1 livro ----------------------------- C5,1 ⋅ C3,1 = 5 ⋅ 3 = 15
2 livros e 1 bicho--------------------------- C3,1 ⋅ C2,1 = 3 ⋅ 2 = 6
Somando: 15 + 6 = 21.
Resposta
[C]
da
questão
10:
C4,2 = escolhendo dois sucos de mesmo sabor.
C12,2 = escolhendo dois sucos aleatoriamente.
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P=
3.C 4,2
C12,6
Resposta
[B]
=
3.6 3
= = 0,273 = 27,3%
66 11
da
questão
11:
Escolhendo jogos de 5 números na cartela premiada: C6,5 = 6 .
Para cada jogo com exatamente 5 números premiados(quina), temos 14(20 – 6) opções para o
sexto número.
Logo, 14 ⋅ 6 = 84 .
Resposta
[C]
da
questão
12:
Total de anagramas da palavra PERGUNTA: 8! = 40320.
Número de grupos com 3 alunos(turnos): C6,3 =
6!
= 20 .
3!.3!
Número de anagramas escrito por turno: 40320 : 20 = 2016.
Resposta
[D]
da
questão
13:
Supondo que cada posto esteja a 2km de distância do telefone mais próximo, considere a
figura abaixo.
Assim, P2 dista 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 4 = 12km de P3 .
Resposta
[C]
da
questão
14:
Supondo que cada posto esteja a 2km de distância do telefone mais próximo, considere a
figura
abaixo.
7
De P2 a P4 o funcionário poderá escolher dois telefones de   maneiras. De P4 a P2 ele
 2
5
terá cinco telefones para fazer a manutenção. Logo, essa escolha poderá ser feita de  
 2
modos. Portanto, no trajeto de ida e volta, a manutenção poderá ser feita de
7 5
7!
5!
⋅
= 21⋅ 10 = 210 maneiras distintas.
 ⋅  =
2
2
5!2!
3!2!
   
Resposta
[C]
da
questão
15:
Sejam S1, S2 , K , S9 os sábados de outubro e novembro de 2009.
Há exatamente seis conjuntos distintos com quatro sábados consecutivos:
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{S1, S2 , S3 , S4 }, {S2 , S3 , S4 , S5 }, K , {S6 , S7 , S8 , S9 }.
Além disso, podemos formar
9
9!
= 126
 =
4
4!5!
 
conjuntos distintos com quaisquer quatro sábados.
Portanto, o resultado pedido é:
126 − 6 = 120.
Resposta
[C]
da
questão
16:
a) Errada. C15,6 = 5005, logo custará R$10.010,00
b) Errada. C14,6 = 3003, logo custará R$ 6.006,00
c) Correta, 2.C10,6 = 2.210 = 420, e 5.C9,6 = 5.84 = 420 (420.2 = 840,00)
d) Errada. C12,6 = 924, logo custará R$1848,00
e) Errada. C13,6 = 1716, logo custará R$3432,00 (3432 ≠ 2 x 1848,00)
Resposta
n=
6×5× 4
= 20
3 × 2×1
m=
5×4×3
= 10
3 × 2 ×1
da
questão
17:
da
questão
18:
questão
19:
Logo: n – m = 20 – 10 = 10
Resposta
[C]
8 crianças ( 4meninos e quatro meninas)
1 menino e uma menina
→ C4,1. C4,1 = 4.4 = 16
2 meninos e 2 meninas → C4,2. C4,2 = 6.6 = 36
3meninos e 3 meninas → C4,3. C4,3 = 4.4 = 16
4 meninos e 4meninas → C4,4. C4,4 = 1.1 = 1
Somando, temos: 15 + 36 + 16 + 1 = 69
Resposta
[D]
da
 4
O professor pode escolher 3 museus no Brasil de   = 4 modos distintos e pode escolher 2
3
 4
4!
= 6 maneiras. Portanto, pelo PFC, o professor pode escolher
museus no exterior de   =
 2  2!2!
os 5 museus para visitar de 4 ⋅ 6 = 24 maneiras diferentes.
Resposta
a) A 8,6
da
questão
20:
8!
=
= 20160 .
( 8 − 6) !
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b) C5,2 . P3 .2.2.2 = 10 . 6 . 8 = 480
c) Cadeiras que ficarão vazias: C8,2 = 28
28.3!.3! .2 = 2016
Resposta
a) C10,3 ; C 5, 2
da
10! 5!
=
.
= 120.10 = 1200
3!.7! 2!.3!
questão
21:
b) Probabilidade de A ou B apresentar problema.
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
P(A U B) =
1 1
1
74
+ −
=
2 4 100 100
Logo a probabilidade de não ocorrer problema será:
P=1-
74
26
=
= 26%
100 100
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Resumo das questões selecionadas nesta atividade
Data de elaboração:
Nome do arquivo:
19/09/2011 às 00:31
Arranjo e Combinação
Legenda:
Q/Prova = número da questão na prova
Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro®
Q/prova
Q/DB
Matéria
Fonte
Tipo
1..................103263.............Matemática.........Cesgranrio/2011.....................Analítica
2..................106670.............Matemática.........Espcex (Aman)/2011..............Múltipla escolha
3..................103263.............Matemática.........Cesgranrio/2011.....................Analítica
4..................100042.............Matemática.........Fgv/2011.................................Múltipla escolha
5..................107064.............Matemática.........Eewb/2011..............................Múltipla escolha
6..................101508.............Matemática.........Uftm/2011...............................Múltipla escolha
7..................105307.............Matemática.........Uesc/2011...............................Múltipla escolha
8..................106241.............Matemática.........Unesp/2011............................Múltipla escolha
9..................106450.............Matemática.........Epcar (Afa)/2011.....................Múltipla escolha
10................95128...............Matemática.........Uerj/2011................................Múltipla escolha
11................103199.............Matemática.........Uel/2011.................................Múltipla escolha
12................103198.............Matemática.........Uel/2011.................................Múltipla escolha
13................102942.............Matemática.........Insper/2011.............................Múltipla escolha
14................102943.............Matemática.........Insper/2011.............................Múltipla escolha
15................97346...............Matemática.........Uerj/2010................................Múltipla escolha
16................90872...............Matemática.........Pucpr/2010.............................Múltipla escolha
17................103267.............Matemática.........Uerj/2010................................Analítica
18................90992...............Matemática.........Uerj/2010................................Múltipla escolha
19................106560.............Matemática.........Enem 2ª aplicação/2010.........Múltipla escolha
20................94352...............Matemática.........Ufes/2010...............................Analítica
21................93792...............Matemática.........Ufu/2010.................................Analítica
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