RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Olá, pessoal!
Tudo bem?
Este artigo é importantíssimo para quem prestará os próximos concursos
organizados pela ESAF. Com a proximidade dos certames, a leitura deste texto
é indispensável para quem fará as provas para ATA-MF, AFRFB e ATRFB.
Quem anda estudando RLQ (Raciocínio Lógico Quantitativo) deve já estar
familiarizado com as seguintes equivalências lógicas:
~ ~
~ A primeira diz que para transformar uma proposição dada pelo conectivo
“Se..., então...” em outra proposição composta pelo “Se..., então...” devemos
negar os dois componentes e trocar a ordem das frases. Algumas pessoas
gostam de dizer que devemos “negar voltando” ou “negar de trás para frente”.
Por exemplo, as proposições
“Se chove, então o dia não está bonito.”
“Se o dia está bonito, então não chove.”
são logicamente equivalentes.
A segunda fórmula de equivalência nos ensina a transformar uma proposição
composta pelo “Se..., então...” em uma proposição composta pelo “ou”. Para
tanto, devemos negar o primeiro componente do condicional (antecedente),
colocar o conectivo “ou” e repetir o segundo componente (consequente).
Por exemplo, as proposições
“Se chove, então o dia não está bonito.”
“Não chove ou dia não está bonito.”
são logicamente equivalentes.
E o que quer dizer a expressão “logicamente equivalentes”?
Que elas possuem a mesma tabela-verdade. Ou seja, quando uma proposição
for verdadeira, a sua equivalente também será e quando uma proposição for
falsa, a sua equivalente também será.
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Numa linguagem informal, diríamos que as proposições “querem dizer a
mesma coisa”, têm o mesmo significado.
Pois bem, nos últimos dois anos a ESAF vem cobrando com frequência duas
equivalências envolvendo o conectivo “... se e somente se...” - o conectivo
bicondicional.
O que significa uma proposição composta pelo “...se e somente se...”?
Considere a seguinte frase: “Chove se e somente se faz frio”.
Como o próprio nome do conectivo diz (bicondicional), nós temos dois
condicionais. Na verdade uma conjunção de dois condicionais, ou seja, duas
frases de “se..., então...” ligadas pelo conectivo “e”.
Ou seja, a frase “Chove se e somente se faz frio” significa que “Se chove,
então faz frio e se faz frio então chove”.
Em suma, temos a seguinte equivalência:
( p ↔ q ) ⇔ [ ( p → q ) ∧ (q → p ) ]
Esta equivalência notável pode ser facilmente verificada através da construção
de uma tabela-verdade.
p q p → q q → p ( p → q) ∧ (q → p) p ↔ q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
Outra equivalência notável do “...se e somente se...” é a que segue:
~ ~
Ou seja, podemos construir uma equivalente do “...se e somente se...”
simplesmente negando os dois componentes.
Por exemplo, as seguintes proposições são equivalentes:
“Chove se e somente se faz frio”.
“Não chove se e somente se não faz frio.”
A segunda proposição, por sua vez, equivale a “Se não chove, então não faz
frio e se não faz frio, então não chove.”
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Além disso, lembre-se que o “...se e somente se...” não faz questão de ordem
entre suas proposições. Ou seja, “p se e somente se q” e “q se e somente se
p” são equivalentes.
Vamos agora treinar um pouco?
(MPOG 2010/ESAF) Sejam F e G duas proposições e ~F e ~G suas repectivas
negações. Marque a opção que equivale logicamente à proposição composta: F
se e somente G.
a) F implica G e ~G implica F.
b) F implica G e ~F implica ~G.
c) Se F então G e se ~F então G.
d) F implica G e ~G implica ~F.
e) F se e somente se ~G.
Resolução
Observação: Dizer que p implica q é o mesmo que dizer “Se p, então q”.
A proposição dada no enunciado é a seguinte: Nas quatro primeiras alternativas, a ESAF tenta transformar a proposição dada
em dois condicionais (Se..., então...) ligados pelo “e”.
Na alternativa E, a ESAF tenta transformar a proposição dada em outra
proposição composta pelo “...se e somente se...”.
Comecemos pela alternativa E, que é mais fácil.
Vimos que para transformar uma proposição dada pelo “...se e somente se...”
em outra composta pelo “...se e somente se...”, devemos negar os dois
componentes.
Destarte, a proposição equivale a ~ ~. Por esta razão, a alternativa
E está errada (ele negou apenas o segundo componente).
Vamos agora transformar a proposição em duas proposições do “se...,
então...” ligadas pelo conectivo “e”.
A proposição equivale a , ou seja, “F implica G e G
implica F”.
Nenhuma das alternativas contém esta proposição.
Vejamos o que acontece em cada alternativa.
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a) F implica G e ~G implica F.
A frase que nós construímos foi .
A alternativa começa da mesma maneira. “F implica G”. Ok. A segunda parte
está errada. No lugar de ~G implica F deveria ser G implica F. Por isso, a
alternativa A está errada.
Vejamos a alternativa B.
b) F implica G e ~F implica ~G.
Novamente ele começa com “F implica G”. Perfeito.
Vejamos a segunda parte, que está em vermelho.
Nós colocamos como segunda parte a proposição G implica F. A ESAF colocou
~F implica ~G. Pode?
Pode!! Estas duas proposições são equivalentes, já que ele “negou voltando”.
Lembra da equivalência que vimos no início do artigo?
Pronto. Esta é a nossa resposta. Letra B.
Vejamos outro exemplo:
(SMF-RJ 2010/ESAF) A proposição “um número inteiro é par se e somente se o
seu quadrado for par” equivale logicamente à proposição:
a) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se um número
inteiro não for par, então o seu quadrado não é par.
b) se um número inteiro for ímpar, então o seu quadrado é ímpar.
c) se o quadrado de um número inteiro for ímpar, então o número é ímpar.
d) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se o quadrado
de um número inteiro não for par, então o número não é par.
e) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par.
Resolução
Vamos começar transformando a proposição do enunciado em uma conjunção
de dois condicionais.
Se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par e se o
quadrado de um número inteiro for par, então o número é par.
Observe a alternativa A.
a) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se um
número inteiro não for par, então o seu quadrado não é par.
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As partes vermelhas são idênticas. Não precisamos mexer nelas.
Vejamos as partes verdes. Elas são equivalentes, verifique:
Se o quadrado de um número inteiro for par, então o número é par.
Se um número inteiro não for par, então o seu quadrado não é par.
Aqui nós utilizamos a equivalência de “se…, então…” com “se…, então…”.
Devemos negar os dois components e trocar a ordem, ou seja “negar
voltando”, “negar de trás para frente”.
Assim, a nossa resposta é a letra A.
Vamos para mais um exemplo?
(CGU 2012/ESAF) Seja D um conjunto de pontos da reta. Sejam K, F e L
categorias possíveis para classificar D. Uma expressão que equivale
logicamente à afirmação “D é K se e somente se D é F e D é L” é:
a) Se D é F ou D é L, então D é K e, se D não é K, então D não é F e D não é L.
b) Se D é F e D é L, então D é K e, se D não é K, então D não é F ou D não é L.
c) Se D é K, então D é F e D é L e, se D não é K, então D não é F ou D não é L.
d) D é K se e somente se D é F ou D é L.
e) D não é F e D não é L se e somente se D não é K.
Resolução
As alternativas ficaram muito grandes. Vamos simplificar:
Chamemos de f a proposição “D é F”, l a proposição “D é L” e k a proposição
“D é K”.
O enunciado e as alternativas ficam:
(CGU 2012/ESAF) Seja D um conjunto de pontos da reta. Sejam K, F e L
categorias possíveis para classificar D. Uma expressão que equivale
logicamente à afirmação “k se e somente se f e l” é:
a) Se f ou l, então k e, se ~k, então ~f e ~l.
b) Se f e l, então k e, se ~k, então ~f ou ~l.
c) Se k, então f e l e, se ~k, então ~f ou ~l.
d) k se e somente se f ou l.
e) ~f e ~l se e somente se ~k.
Resolução
A proposição do enunciado é “k se e somente se f e l”.
Vejamos logo as alternativas D e E, pois são mais fáceis.
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A alternativa D simplesmente trocou o conectivo “e” do segundo componente
por um conectivo “ou”. Não podemos fazer isso.
Vejamos agora a alternativa E.
Para transformar uma proposição composta pelo “...se e somente se...” por
outro “...se e somente se...” podemos negar os dois componentes.
Assim,
“k se e somente se f e l” equivale a “~k se e somente se ~(f e l)”.
Só que para negar uma proposição composta pelo conectivo “e”, devemos
negar os dois componentes e trocar o conectivo “e” pelo conectivo “ou” (Leis
de DeMorgan).
Assim, ficamos com:
“~k se e somente se ~f ou ~l”.
Além disso, podemos trocar a ordem das componentes do “…se e somente
se…” sem que a frase perca o seu significado original.
Ficamos com “~f ou ~l se e somente se ~k”.
Agora observe a alternativa e) ~f e ~l se e somente se ~k.
No lugar do “e” deveria ser “ou”. Portanto, a alternativa E está errada.
Vamos agora analisar as alternativas A, B e C.
A frase do enunciado é “k se e somente se f e l” e as alternativas são:
a) Se f ou l, então k e, se ~k, então ~f e ~l.
b) Se f e l, então k e, se ~k, então ~f ou ~l.
c) Se k, então f e l e, se ~k, então ~f ou ~l.
A alternativa A está errada. Vejamos os motivos:
A proposição “k se e somente se f e l” equivale a “Se k, então f e l e se f e l,
então k”.
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Como podemos trocar a ordem, ficaríamos com:
“Se f e l, então k e, se k, então f e l”.
Compare com a alternativa A:
a) Se f ou l, então k e, se ~k, então ~f e ~l.
Na primeira parte a ESAF trocou “e” por “ou”. Já está errado, portanto.
A segunda parte também está errada, pois no “se...,então...” ele negou os dois
componentes e não trocou a ordem. Além disso, ao negar o conectivo “e”
devemos trocar por “ou”.
Estamos agora em dúvida entre B e C.
b) Se f e l, então k e, se ~k, então ~f ou ~l.
Esta não pode ser a alternativa correta, já que a proposição vermelha é
equivalente à proposição verde. Ou seja, é como se ele estivesse escrevendo:
b) Se f e l, então k e, se f e l, então k.
Como a frase vermelha está sendo repetida, podemo eliminar e ficar com:
b) Se f e l, então k
Esta, obviamente, não é equivalente a proposição dada no enunciado.
Assim, a resposta da questão é a letra C.
“k se e somente se f e l”
Já vimos que esta frase equivale a “Se k, então f e l e, se f e l, então k”.
c) Se k, então f e l e, se ~k, então ~f ou ~l.
As partes vermelhas são idênticas e as partes verdes são equivalentes.
E por que são equivalentes?
Ora, devemos negar os dois componentes e trocar a ordem. Além disso, a
negação de (f e l) é (~f ou ~l), de acordo com as leis de DeMorgan.
Resposta: c) Se D é K, então D é F e D é L e, se D não é K, então D não é F ou D
não é L.
Ficamos por aqui, amigos. Um abraço e bons estudo a todos.
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