Lista de Método de Contagem com gabarito
1)De um total de 6 pratos à base de carboidratos e 4 pratos à base de proteínas,
pretendo fazer o meu prato com 5 destes itens, itens diferentes, de sorte que contenha ao
menos 2 proteínas. Qual é o número máximo de pratos distintos que poderei fazer?
2)Em um refeitório há doces e salgados. Cada pessoa receberá um recipiente com 3
doces, dos 8 tipos disponíveis e apenas 2 salgados, dos 7 tipos fabricados. Quantas são
as diferentes possibilidades de preenchimento do recipiente?
3)Oito pessoas irão acampar e levarão quatro barracas. Em cada barraca dormirão
duas pessoas. Quantas são as opções de distribuição das pessoas nas barracas?
4)Em uma sapateira irei guardar 3 sapatos, 2 chinelos e 5 tênis. Quantas são as
disposições possíveis desde que os calçados de mesmo tipo fiquem juntos, lado a lado
na sapateira?
5)Grêmio (RS), Flamengo (RJ), Internacional (RS) e São Paulo (SP) disputam um
campeonato. Levando-se em conta apenas a unidade da federação de cada um dos
clubes, de quantas maneiras diferentes pode terminar o campeonato?
6)Um certo número de pessoas pode ser agrupado de duas em duas pessoas, não
importando a ordem das mesmas, resultando em 10 diferentes possibilidades de
agrupamento. Quantas pessoas fazem parte deste grupo?
7)Se enfileirarmos 3 dados iguais, obteremos um agrupamento dentre quantos
possíveis?
8)Em um pequeno galinheiro há 12 aves, dentre um galo, galinhas, frangos e frangas,
no entanto só existe espaço para 10 aves no poleiro. De quantas maneiras distintas elas
podem ser empoleiradas, sabendo-se que o poleiro sempre ficará lotado?
Solução
1)
Se não houvesse a restrição das duas proteínas, o cálculo seria simplesmente C10,5:
Mas como há tal restrição, devemos descontar deste total o número de pratos que só
contém carboidratos, que é igual a C6,5:
Não podemos nos esquecer de que também podemos montar pratos contendo apenas um
item de proteína, então devemos desconsiderá-los também. Estes pratos são o produto
de C6,4, referentes aos quatro itens de carboidrato, por C4,1, referentes ao único item de
proteína:
Multiplicando as combinações:
Podemos formar então 6 pratos sem qualquer item de proteína e mais 60 pratos com
somente um item de proteína. Então de 252 que é o número total de combinações
possíveis sem a restrição, devemos subtrair 66 pratos para obtermos a resposta do
exercício, ou seja, 186.
Poderíamos ter resolvido este exercício de uma outra maneira. Vamos lhe explicar como
e vamos lhe dar o resultado, mas o desenvolvimento em si você mesmo deverá fazer,
para que consiga fixar melhor os conhecimentos adquiridos. Por favor, não deixe de
fazê-lo.
O produto C6,3.C4,2=20.6=120 nos dá o total de pratos contendo 3 itens de carboidrato e
2 itens de proteína.
Já o produto C6,2.C4,3=15.4=60 é igual ao total de pratos contendo 2 itens de carboidrato
e 3 itens de proteína.
Por fim o produto C6,1.C4,4=6.1=6 resulta no total de pratos contendo 1 item de
carboidrato e 4 itens de proteína.
Somando 120, 60 e 6, obtemos o mesmo resultado obtido anteriormente.
Portanto:
O número máximo de pratos distintos que poderei fazer, contendo ao menos dois
itens de proteína, é igual a 186 pratos.
2)
Estamos trabalhando com combinação simples, pois não importa a ordem de
preenchimento dos recipientes. No caso dos doces vamos calcular C8,3:
Já no caso dos salgados vamos calcular C7,2:
O número total de combinações será então o produto de 56 por 21:
Logo:
São 1176 as diferentes possibilidades de preenchimento do recipiente.
3)
combinação simples:
Para exercitar faça os cálculos de C8,2, C6,2, C4,2 e C2,2 e confira.
Desta forma:
São 2520 as opções de distribuição das pessoas nas barracas
4)
Como temos três tipos de calçados, a permutação destes três tipos é igual a 6:
P3=3!=3.2.1=6
Ou seja, estando todos os calçados de um mesmo tipo juntos, o número de permutações
é igual a 6, levando-se em consideração apenas o tipo de calçado, mas não o calçado em
si.
Para os sapatos, temos 3 deles, que permutados entre si resulta em 6 permutações:
P3=3!=3.2.1=6
Para os chinelos, temos 2 pares, que permutados entre si resulta em 2 permutações:
P2=2!=2.1=2
Finalmente para os tênis, temos 5 pares, que permutados entre si resulta em 120
permutações:
P5=5!=5.4.3.2.1=120
Multiplicando estes quatro números temos:
P3.P3.P2.P5=3!.3!.2!.5!=6.6.2.120=8640
Este é o número de disposições possíveis.
Veja que os três últimos fatores (P3, P2 e P5) se referem às permutações dos sapatos,
chinelos e tênis, respectivamente entre eles mesmos, sem haver mistura de tipos de
calçados.
Note, no entanto que o primeiro fator (P3) se refere às permutações entre os tipos de
calçados em si, por exemplo, "sapatos, chinelos, tênis" é um agrupamento e "chinelos,
tênis, sapatos" é um outro agrupamento, ou seja, embora não haja mistura entre calçados
de tipos diferentes, os tipos de calçados como um todo permutam entre si.
Portanto:
As disposições possíveis são 8640.
5)
Em outras palavras queremos saber o número de permutações possíveis entre as
unidades da federação de RS, RJ, RS e SP.
Através do cálculo de P4 temos:
P4=4!=4.3.2.1=24
No entanto a UF do RS ocorre 2 vezes, devemos portanto eliminar as duas permutações
referentes a ela, dividindo 24 por 2!, quando iremos obter 12 maneiras diferentes de
poder terminar o campeonato.
Podemos também solucionar o problema calculando P4(2):
Logo:
O campeonato pode terminar de 12 maneiras diferentes.
6)
Como a ordem de posicionamento das pessoas é irrelevante, estamos falando de
combinação simples. Então temos que resolver a equação Cn,2=10:
Ou seja, n! = 2!(n-2)!10 isto é, n(n-1)(n-2)!-20(n-2)!=0 (dividir por (n-2)!)
Temos então que encontrar as raízes da equação
.
As raízes são os números -4 e 5.
Como n aqui é um número inteiro positivo, a raiz -4 deve ser descartada, então temos
que n é igual a 5.
Assim sendo:
5 pessoas fazem parte deste grupo.
7)
Quando temos apenas 1 dado, temos um total de 6 resultados possíveis.
Quando temos 2 dados, cada um dos 6 resultados possíveis de um dos dados, pode ser
combinado com cada um dos 6 resultados possíveis do outro dado, resultando então em
36 resultados possíveis.
Como temos 3 dados, as 36 possibilidades combinadas dos outros 2 dados, combinadas
às 6 possibilidades do terceiro dado resultarão em 216 resultados.
Em outras palavras, pelo princípio multiplicativo temos:
6.6.6=216
Logo:
Obteremos um agrupamento dentre os 216 possíveis.
8)
Para a primeira ave a subir no poleiro tem-se 12 possibilidades, para a segunda tem-se
11, para a terceira tem-se 10 e assim por diante, até a décima ave onde teremos apenas 3
possibilidades, já que apenas duas ficarão de fora. Multiplicando tudo temos:
12.11.10.9.8.7.6.5.4.3=239500800
Se não importasse a ordem das aves no poleiro, iríamos dividir 239500800 por 10! para
anular a permutação das 10 aves no poleiro, mas como a ordem das aves empoleiradas
distingue um agrupamento do outro, não iremos realizar tal divisão, pois estamos na
verdade trabalhando com arranjo simples.
Já que estamos trabalhando com arranjo simples, você já deve ter percebido que
poderíamos ter calculado A12,10:
Então:
As aves podem ser empoleiradas de 239500800 formas distintas.