Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Tecnologia e Ciências
Instituto de Fı́sica Armando Dias Tavares
Aline Ribeiro de Sá
Teoria de campos aplicada ao grafeno: um estudo
Rio de Janeiro
2014
Aline Ribeiro de Sá
Teoria de campos aplicada ao grafeno: um estudo
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do tı́tulo de Mestre, ao
Programa de Pós-Graduação em Fı́sica, da
Universidade do Estado do Rio de Janeiro.
Orientador: Prof. Dr. Vitor Emanuel Rodino Lemes
Coorientador: Prof. Dr. Marcio André Lopes Capri
Rio de Janeiro
2014
CATALOGAÇÃO NA FONTE
UERJ/ REDE SIRIUS/ BIBLIOTECA CTC/D
S111
Sá, Aline Ribeiro de.
Teoria de campos aplicada ao grafeno: um estudo / Aline
Ribeiro de. -2014.
81 f.: il.
Orientador: Vitor Emanuel Rodino Lemes.
Dissertação (mestrado) - Universidade do Estado do Rio de
Janeiro, Instituto de Física de Armando Dias Tavares.
1. Teoria de campos (Física) - Teses. 2. Grafeno - Teses.
3. Bósons -Teses. 4. Dirac, Equações de - Teses. 5. Matéria
condensada - Teses. I. Lemes, Vitor Emanuel Rodino.
II. Universidade do Estado do Rio de Janeiro. Instituto de
Física Armando Dias Tavares. III. Título.
CDU 530.145
Autorizo, apenas para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta
dissertação, desde que citada a fonte.
__________________________________________________________
Assinatura
_________________________
Data
Aline Ribeiro de Sá
Teoria de campos aplicada ao grafeno: um estudo
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do tı́tulo de Mestre, ao
Programa de Pós-Graduação em Fı́sica, da
Universidade do Estado do Rio de Janeiro.
Aprovada em 28 de Agosto de 2014.
Banca Examinadora:
Prof. Dr. Vitor Emanuel Rodino Lemes (Orientador)
Instituto de Fı́sica Armando Dias Tavares – UERJ
Prof. Dr. Marcio André Lopes Capri (Coorientador)
Instituto de Fı́sica Armando Dias Tavares – UERJ
Prof. Dr. Luis Antonio Campinho Pereira da Mota
Instituto de Fı́sica Armando Dias Tavares – UERJ
Prof. Dr. Bruno Werneck Mintz
Instituto de Fı́sica Armando Dias Tavares – UERJ
Prof. Dr. José Abdalla Helayël-Neto
Centro Brasileiro de Pesquisas Fı́sicas
Rio de Janeiro
2014
DEDICATÓRIA
A Charlot, Pantro e Teodoro Vinı́cius.
AGRADECIMENTOS
A Deus.
Aos meus avós.
Aos meus pais.
Ao meu tio João Paulo Ribeiro Gomes.
Aos meus cachorros.
Aos meus irmãos.
Ao meu namorado, Igor Martins, por toda dedicação.
Aos meus amigos que me aturam na alegria e na tristeza desde a aprovação no
vestibular, Maria Elidaiana, Paula de Chiara, Laı́s Rodrigues, Yves Eduardo e Gustavo
Vicente.
Aos amigos Eduardo Coelho, Otávio Goldoni, Eduardo Lenho Coelho.
Ao meu orientador Vitor Lemes, pelo trabalho, pela paciência, por não me deixar
desistir e principalmente pelo respeito que teve com todas as minhas dificuldades.
Ao meu coorientador Márcio Capri.
Aos professores José Roberto Pinheiro Mahon, Silvio Paolo Sorella, Marcelo Chiapparini, José Helayël e César Linhares.
Aos meus amigos da turma de TQC I, II e III, Luiz Gustavo Cardoso Maria, Diego
Rocha Granado e Igor Figueiredo Justo, vocês fizeram meus dias mais divertidos.
Ao Rogério Teixeira, sempre solı́cito e disposto a ajudar os alunos.
A Nádia Lobo e toda equipe da biblioteca, por toda ajuda com o material bibliográfico.
A CAPES, pelo apoio financeiro.
A amiga Isabel Resende e sua famı́lia, por todas as orações.
Ao professor Radamanto Nascimento, eternamente.
Não pense que não é para você.
Helayël
RESUMO
SÁ, A. R. Teoria de campos aplicada ao grafeno: um estudo. 2014. 81 f.Dissertação
(Mestrado em Fı́sica) – Instituto de Fı́sica Armando Dias Tavares, Universidade do
Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2014.
Este trabalho visa a um estudo de bosonização de sistemas férmiônicos. As relações
entre a bosonização e matéria condensada, notóriamente o caso do Grafeno, são apresentados e depois discutimos as possı́veis implicações do mecanismo de i-particles na existência
de correlatores de 4 correntes. Cálculos em D = 4 também são realizados para que se
possa observar o diferente comportamento da ação bosonizada em diferentes dimensões.
Palavras-chave: Grafeno. bosonização. “i-particle”.
ABSTRACT
SÁ, A. R. Field Theory applied to graphene: a study. 2014. 81 f. Dissertação (Mestrado
em Fı́sica) – Instituto de Fı́sica Armando Dias Tavares, Universidade do Estado do Rio
de Janeiro, Rio de Janeiro, 2014.
This work aims to study the bosonization of fermionic systems. Relations between
bosonization and condensed matter, notoriously the case of graphene, are presented and
then discussed. The possible implications of the mechanism of it i-particles in 4 current
correlators. Calculations in D = 4 are also performed in order to observe the different
behavior of bosonized action in different dimensions.
Keywords: Graphene. bosonization. i-particle.
SUMÁRIO
1
1.1
1.1.1
1.1.2
1.2
1.2.1
1.2.2
1.2.3
1.2.4
2
2.1
2.1.1
2.1.2
2.2
3
3.1
3.2
3.3
3.4
4
4.1
4.2
4.2.1
INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
REVISÃO DE MÉTODOS DE ESTUDO EM MATÉRIA CONDENSADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Segunda Quantização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Formulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mar de elétrons livres de um metal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modelo da Ligação Forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Teorema de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modelo de Kronig-Penney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hamiltoniana da Ligação Forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aplicação à estruturas reais de rede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O MODELO DE DIRAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Um resumo das caracterı́sticas do grafeno . . . . . . . . . . . . . .
Uma camada de grafeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Múltiplas camadas de grafeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Construindo o modelo de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
TEORIA QUÂNTICA DE CAMPOS NO GRAFENO . . . . .
Interações elétron-elétron em uma única camada de grafeno . .
Quebra de simetria quiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O funcional gerador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O operador de polarização baseado no modelo de Dirac . . . . .
CÁLCULOS DO OPERADOR DE POLARIZAÇÃO . . . . . .
Uma camada de grafeno - Equação de Dirac acoplada ao campo
eletromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Duas camadas de grafeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Análise em D=4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
APÊNDICE A – Cálculo do Traço das Matrizes Gama . . . . . . . .
APÊNDICE B – Alguns conceitos úteis em regularização dimensional
.
9
.
.
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.
11
11
11
16
18
19
21
23
27
30
30
30
34
35
39
39
41
41
44
46
.
.
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.
.
.
.
46
55
70
77
78
79
81
9
INTRODUÇÃO
A ligação entre a teoria de campos e partı́culas e a matéria condensada tem se
mostrado muito fecunda para ambos os ramos de pesquisa. O mecanismo de Higgs que
permite através de uma quebra espontânea de simetria a obtenção de massa para as teorias
de calibre é um dos grandes exemplos da correlação entre ideias que surgem, originalmente
em matéria condensada e se mostram bastante relevantes em fı́sica de partı́culas. Em particular gostaria de enfatizar o mecanismo de confinamento para a QCD proposto por t’
Hooft e Mandelstam (T’HOOFT, 1998; T’HOOFT; BRUCKMANN, 1999) por volta da
metade da década de 70. Este mecanismo se baseia na propriedade de supercondutores de
tipo II de que seus campos magnéticos se mantém colimados em tubos de fluxo conhecidos
como vórtices de Abrikosov. Se um par de monopólos magnéticos puder ser produzido no
interior de um supercondutor de tipo II então, um tubo de fluxo ocorreria ligando os dois
monopólos dando origem a um potencial, estático, linear entre os monopólos. Como sabemos um potencial linear é suficiente para garantir confinamento. Desta forma t’ Hooft e
Mandelstam propuseram que o vácuo da QCD se assemelhe a um supercondutor de tipo
II com a inversão dos papéis entre os campos elétricos e magnéticos. Em vez de um condensado de partı́culas elétricamente carregadas, os pares de cooper de um supercondutor,
haveria o condensado de cargas magnéticas e monopólos magnéticos são os candidatos
naturais a preencher este papel. Desta forma ao invés de termos os campos magnéticos
de cor (confinamento se dá em grupos não abelianos, portanto com cor) terı́amos campos
elétricos “coloridos” que seriam colimados no tubo de fluxo dando origem um potencial
linear.
Esta ideia de confinamento por meio de uma supercondutividade dual tem uma
enorme influência no estudo do confinamento até os nossos dias, apesar de ser basicamente
um mecanismo abeliano para o confinamento visto que os monopólos são normalmente
definidos com respeito a um grupo abeliano. No contexto de teorias não abelianas o que
ocorre é se separar o subgrupo abeliano, o que é realizado com a ajuda de um mecanismo
de quebra como Higgs ou um operador composto , como pode ser o caso de operadores
não locais após adequadamente localizados com campos auxiliares. Não vamos entrar
nos detalhes de todo o mecanismo de implementação desta abordagem ao confinamento,
no entanto gostaria de comentar que este mecanismo é responsável pelo confinamento
na QED compacta em D = 3 tal qual demonstrado por Polyakov (POLYAKOV, 1977;
SEMENOV-TYAN-SHANSKII; FRANKE, 1986).
Paralelamente um dos materiais mais interessantes em estudo atualmente é o grafeno. O grafeno é um cristal bidimensional formado por átomos de carbono organizados
em uma rede hexagonal “honeycomb”: uma única camada de grafite. Um dos mais interessantes aspectos fı́sicos do grafeno de um ponto de vista teórico é a profunda e produtiva
10
relação com a eletrodinâmica quântica (QED) e outros conceitos da teoria quântica de
campos(SEMENOFF, 1984). A conexão surge do fato que, em baixa energia, as excitações
de quase partı́culas do sistema podem ser modeladas pela equação de Dirac sem massa
em duas dimensões espaciais. Nesse caso, a velocidade da luz c é trocada pela velocidade
de Fermi vF ' c/300. Fica claro portanto que o grafeno pode ser um interessante modelo
para o estudo de mecanismos de confinamento. Claro que, devido as quase partı́culas se
comportarem como férmions, um dos elementos interessantes para estudo neste sistema
é a condutividade, podemos realizar um estudo dos comportamento das correntes neste
modelo por meio de uma bosonização. Aliás este é um dos procedimentos comuns para
obtenção da condutividade elétrica em materiais.
Desta forma esta dissertação tem por objetivo estudar as propriedades do Grafeno
e os resultados obtidos para este material por métodos clássicos de matéria condensada.
Pretendemos, desta forma obter um mecanismo de mão dupla onde possamos aprender
o máximo possı́vel neste sistema sobre suas coneções com a teoria de campos e usar
o mesmo como motivador para o estudo de mecanismos de exclusão dos férmions do
espectro observável. Este objetivo será a parte final desta dissertação e antecipamos
que o resultado tem o comportamento de “i-particles” que é uma forma de exclusão das
partı́culas presentes no espéctro fı́sico que ocorre em teorias de calibre onde se realiza a
restrição a primeira região de Gribov. Este assunto por si só é muito extenso e é um
tema de pesquisa atual. Não adentraremos nos detalhes de Gribov, apenas usaremos o
conceito de “i-particles” como uma forma de demonstrar que um modelo com férmions
não abelianos pode ser responsável pelo confinamento das quase partı́culas.
Esta dissertação consiste de 2 capı́tulos de revisão de matéria condensada explicitamente voltados para o grafeno e depois passamos para os cálculos de teoria de campos
propriamente ditos. Ao final apresentamos o resultado de uma bosonização de uma ação
fermiônica que fornece um indicativo de confinamento das correntes nas camadas de grafeno.
11
1 REVISÃO DE MÉTODOS DE ESTUDO EM MATÉRIA CONDENSADA
1.1 Segunda Quantização
A fı́sica do estado sólido lida com o comportamento coletivo de muitos elétrons no
contexto de ı́ons localizados periodicamente. A necessidade de tratar o sistema de muitas
partı́culas de uma maneira simples e consistente se tornou iminente. Será apresentada uma
discussão sobre segunda quantização(WEINBERG, 1996), que é apenas uma formulação
de um sistema quântico de muitas partı́culas. Em seguida, o gás de Fermi não interagente
é introduzido tanto como uma ilustração do poder e do uso da segunda quantização
bem como um “bloco de construção” sobre o qual as complicações de sólidos reais serão
fundadas.
1.1.1 Formulação
Ao considerar uma partı́cula dentro de uma caixa, sabe-se que os auto-estados dessa
partı́cula são descritos por funções harmônicas.
De forma a simplificar o problema, resolvemos um problema quântico de uma
partı́cula confinada a um anel de raio R. A posição da partı́cula pode ser definida por um
ângulo θ ou por x ≡ Rθ. A equação de Schrödinger expressa em termos de x é da forma:
−
~2 d2
ψ(x) = Eψ(x).
2m dx2
Esta equação pode ser simplificada escrevendo k 2 =
d2
2
+ k ψ(x) = 0.
dx2
(1)
2mE
~2
, então teremos
(2)
A solução desta equação diferencial é Aeikx +Be−ikx . Por se estar lidando com uma
partı́cula sobre um anel, precisamos também de uma autofunção que obedeça a seguinte
propriedade ψ(x + 2πR) = ψ(x). Essa é a condição de unicidade da função de onda.
Fazendo L ≡ 2πR, imediatamente vemos que somente uma seleção especial de valores de
k obedecerão este vı́nculo:
kL = 2πn, n = inteiro.
(3)
12
Como resultado as auto-energias precisam obedecer
~2
En =
2m
2πn
L
2
.
(4)
O que foi descrito acima é atualmente um procedimento muito geral para lidar
com um problema quântico. Primeiro reduzimos o problema para algum tipo de equação
diferencial. As soluções dessa equação são as autofunções de um problema conhecido.
Finalmente existem alguns vı́nculos, tais como a unicidade da função de onda discutida
acima, que restringe os números quânticos. No caso da partı́cula sobre um anel, a restrição
foi sobre o momento, que implica a quantização da energia. Agora vamos perguntar o que
acontece quando nós colocamos duas partı́culas sobre um anel. É necessário mais do que
uma coordenada para descrever o sistema, então vamos introduzir x1 e x2 para denotar a
posição das partı́culas. A equação de Schrödinger para o caso de duas partı́culas será
~2
−
2m
d2
d2
+
dx21 dx22
ψ(x1 , x2 ) = Eψ(x1 , x2 ).
(5)
A autofunção ψ(x1 , x2 ) depende de duas coordenadas porque há duas partı́culas
no sistema. Por outro lado, não se pode deixar a noção de que cada partı́cula comportase mais ou menos como antes quando era apenas uma única partı́cula no anel. Isso
será verdade se as duas partı́culas não interagirem entre si. Por exemplo, se essas duas
e2
entre as duas,
partı́culas forem carregadas, então haverá um potencial de Coulomb |xe11−x
2|
e não podemos mais dizer que o movimento das partı́culas é independente.
Por agora, ignoraremos este efeito de interação e verificaremos nossa intuição sobre
a independência de duas partı́culas. Escrevendo ψ(x1 , x2 ) = ϕ(x1 )ϕ(x2 ) - isso é apenas
uma separação de variáveis - e substituindo na Eq. (5) obtemos
d2
2
+ k1 ϕ (x1 ) = 0,
dx21
2
d
2
+ k2 ϕ (x2 ) = 0,
dx22
2
(6)
~
(k12 + k22 ). A energia é a soma das energias do estado individual ϕ (x1 ) e
e E = 2m
ϕ (x2 ), como deveria ser caso as duas partı́culas fossem de fato não interagentes. Como
no problema de uma partı́cula, sabemos que cada autofunção é caracterizada por um
número quântico n, onde n é dado por k = 2πn/L. Uma vez que há duas partı́culas, temos
mais dois números, (n1 , n2 ), para especificar completamente os auto-estados do sistema.
As autofunções associadas às duas partı́culas podem ser escritas como φn1 (x1 ) φn2 (x2 ).
13
Isso indicará o estado fı́sico onde a partı́cula número 1 reside no auto-estado de número
quântico (n1 ), e a partı́cula número 2 estará no estado de número quântico (n2 ). Pode-se
também escrever os auto-estados com as duas partı́culas localizadas em (n1 ) e em (n2 ).
Porém, uma vez que as duas partı́culas são assumidas idênticas, esse é o mesmo estado
que foi descrito anteriormente. De forma bastante simplificada, temos
φn1 (x1 ) φn2 (x2 ) ∼ φn1 (x2 ) φn2 (x1 )
(7)
Então, qual estado nós escolhemos para descrever o estado que é caracterizado pela
ocupação dos dois estados quânticos (n1 , n2 ) : |n1 n2 i? A resposta é dada pelo princı́pio
da exclusão de Pauli, que afirma que os dois elétrons não devem ocupar o mesmo estado
quântico. Essa afirmação encontra sua forma matemática na seguinte combinação linear:
1
1
φn1 (x1 ) φn1 (x2 )
ψ (x1 , x2 ) = √ [φn1 (x1 ) φn2 (x2 ) − φn1 (x2 ) φn2 (x1 )] = √ = 2
2 φn2 (x1 ) φn2 (x2 )
Temos então que essa função de onda se torna nula para n1 = n2 (duas linhas
iguais), ou seja, a probabilidade de dois elétrons ocuparem o mesmo estado quântico é
nula. Similarmente, encontra-se que a função de onda se anula para x1 = x2 (duas colunas
√
iguais). O fator global 1/ 2 é inserido de modo que a função de onda de duas partı́culas
R
ψ (x1 , x2 ) é mais uma vez normalizada: dx1 dx2 |ψ (x1 , x2 ) |2 = 1.
Para três partı́culas em um anel, o mesmo raciocı́nio nos permitirá escrever a
função de onda que também obedece ao princı́pio de Pauli:
φn (x1 ) φn (x2 ) φn (x3 )
1
1
1
1 ψ (x1 , x2 , x3 ) = √ φn2 (x1 ) φn2 (x2 ) φn2 (x3 ) .
3! φn3 (x1 ) φn3 (x2 ) φn3 (x3 )
A generalização para um sistema arbitrário de N -elétrons agora deve ser óbvia.
Esse tipo de determinante para a função de onda é conhecido como determinante de
Slater. Usaremos, no entanto, um método mais conveniente para nossos propósitos de
estabelecer uma ligação direta com a teoria quântica de campos. Esse método é chamado
de “segunda quantização”. A segunda quantização é um modo conveniente de expressar a
função de onda para um sistema de várias partı́culas. Antes de discutirmos o formalismo,
somos lembrados novamente que a informação total contida na função de onda pode ser
convenientemente resumida como |ψi = |n1 , n2 , n3 i.
Generalizando para N -partı́culas confinadas sobre o mesmo anel. Naturalmente o
auto-estado é caracterizado por N inteiros, (n1 , n2 , ..., nN ), cada ni especificando o estado
14
das partı́culas que formam o sistema. Agora vamos discutir uma forma completamente
diferente, mas ainda equivalente, de escrever o mesmo estado. Em vez de se preocupar
com o estado que a partı́cula está, simplesmente dizemos quantas partı́culas existem em
cada estado. Por exemplo, se existem 10 partı́culas sobre um anel e três delas estão no
estado n = 1, quatro no estado n = 2 e as três restantes em n = 3, então dizemos que o
estado é |3, 4, 3, 0, 0, ...i. Os números da esquerda para a direita indicam quantas partı́culas
existem em cada auto-estado. Geralmente, o estado terá a atribuição |N1 N2 N3 ...i com Ni
o número de partı́culas no estado i.
Existe um formalismo que permite escrever estados arbitrários de muitas partı́culas
em um anel usando os chamados operadores de criação a†n para cada estado n. Por exemplo, |3, 4, 3, 0, 0, ...i poderia ser escrito como (a†3 )3 (a†2 )4 (a†1 )3 |0i. Essa expressão, quando
lida da direita para a esquerda, diz o seguinte: a partir do vácuo |0i (um estado com
nenhuma partı́cula) insira (crie) três partı́culas no auto-estado 1 (a†1 a†1 a†1 = (a†1 )3 ) quatro
partı́culas no estado n = 2 ((a†2 )4 ), e finalmente três no estado n = 3 ((a†3 )3 ). Uma vez que
a adição de uma partı́cula foi determinada pela notação a†n , definimos an para expressar
a ação de remover uma partı́cula do estado n.
Existe um conjunto de regras que esses operadores de criação/aniquilação precisam
obedecer, que são listadas abaixo.
a†m a†n = a†n a†m
an am = am an
am a†n = a†n am (n 6= m)
am a†m = a†m am + 1.
(8)
Podemos tomar o conjunto de regras de comutação dado acima como um ansatz.
As regras de comutação, como elas são conhecidas e mostradas na Eq. (8), é o ansatz
que provou estar em excelente acordo com a natureza de sistemas como os descritos
anteriormente.
Existem dois tipos de partı́culas na natureza. Os bósons, que obedecem às regras
de comutação mostradas na Eq. (8). O outro tipo são os férmions, como os elétrons
e os quarks e que obedecem a um tipo diferente de regra, conhecida como relação de
anti-comutação:
15
c†m c†n = −c†n c†m
cn cm = −cm cn
cm c†n = −c†n cm (n 6= m)
cm c†m = −c†m cm + 1.
(9)
Aqui cm c†m aniquila (cria) uma partı́cula, um férmion, no estado m. A diferença
nas regras tem como consequência o princı́pio de exclusão de Pauli. Porque c†m c†n = −c†n c†m
aplica-se para m = n bem como a mesma operação aplicada duas vezes em uma linha
2
da c†m = 0. Isso significa que adicionando duas partı́culas a um estado existente, não
2
obtemos nada porque c†m |ψi = 0. Consequentemente adicionar duas partı́culas em um
2
mesmo estado é proibido para férmions. Em particular, se |ψi = |0i, temos c†m |0i = 0.
Isso implica que um dado estado m pode ser tanto vazio (|0i) quanto individualmente
ocupado (|1i).
Usando os operadores de aniquilação/criação construı́dos acima, podemos descrever todos os processos quânticos imagináveis. Por exemplo, como descrito anteriormente,
a adição de uma partı́cula a um estado particular m é dada por c†m e a aniquilação de
uma partı́cula que já está num estado m é dada por cm . E como mover uma partı́cula
de um estado m para um outro estado n? Isso pode ser alcançado primeiro aniquilando
uma partı́cula que já existiu em m e depois criando a mesma partı́cula no novo estado
n :∼ c†n cm .
Agora, introduziremos na construção do Hamiltoniano: c†m cm . A aplicação desse
operador sobre um estado arbitrário |mi é
c+
m cm |Nm i = Nm |Nm i.
(10)
Se o estado contém Nm partı́culas no estado m, c†m cm retorna o mesmo estado com
o número de partı́cula Nm multiplicando-o. Esse é chamado de operador número.
Usando os operadores número é simples construir o Hamiltoniano na forma da
segunda quantização. Ele é
H=
X
m
m c†m cm =
X
m Nm .
(11)
m
m é a auto-energia do estado de uma partı́cula única obtida da diagonalização da equação
de Schrödinger. O Hamiltoniano mede a energia total do sistema, que não é nada mais
do que a soma das auto-energias individuais multiplicadas pelo número de partı́culas que
16
ocupam o estado.
1.1.2 Mar de elétrons livres de um metal
O comportamento qualitativo dos elétrons em um metal, ignorando a repulsão de
Coulomb entre dois elétrons, faz com que cada elétron no metal seja considerado uma
partı́cula livre. A descrição quântica de uma partı́cula livre em três dimensões é dada
pela equação de Schrödinger
−
~2 2
∇ ψ (x, y, z) = Eψ (x, y, z)
2m
(12)
com solução ψk (r) = √1V eik·r e a correspondente energia Ek = ~2 k2 /2m. O volume da
caixa no qual os elétrons estão enclausurados é V .
O processo de colocar um elétron em um estado k particular é denotado por c+
k |0i,
onde |0i representa uma caixa vazia, com número zero de elétrons. O elétron tem um
spin (pra cima e pra baixo), e o mesmo momento no estado k pode ser ocupado por um
elétron com spin pra cima e um com spin pra baixo. Vamos dizer que colocamos um
elétron em um estado de momento k e spin− ↑. Tal processo é dado pela expressão
|k ↑i = c+
k↑ |0i.
Temos um número grande de elétrons e cada um está esperando por seu lugar nesta caixa,
então temos que decidir onde colocar o segundo elétron nesta caixa. Podemos apenas
colocar um elétron em um dos auto-estados do Hamiltoniano (12). Isso é simplesmente
o que os auto-estados significam. Podemos colocar o segundo elétron, por exemplo, no
mesmo estado k, mas com um spin diferente e o resultado seria um estado dado por
+
|k ↓, k ↑i = c+
k↑ ck↓ |0i.
Um terceiro elétron inserido em um estado de momento p, spin− ↑ irá se trans+ +
formar em c+
p↑ ck↓ ck↑ |0i. Dessa forma a regra é para N elétrons ocupando um conjunto de
nı́veis definidos por {ki , σi }, i = 1, ..., N , onde o estado eletrônico N é dado por
|ψi =
Y
{kσ}
c+
kσ |0i.
(13)
17
O produto é sobre N diferentes {kσ}. O estado de energia mais baixo é obtido quando
colocamos dois elétrons de spins opostos em estados de energia sucessivamente mais altos,
partindo do menor estado de energia. Tal estado é representado simplesmente por
|F Si =
Y
+
c+
k↓ ck↑ |0i.
(14)
|k|<kf
Este é o menor estado de energia possı́vel para N elétrons não interagentes, isto
é, ele é o estado fundamental. O estado de maior energia ocupado pelo elétron tem uma
energia Ef , relacionada ao momento de Fermi kf por
Ef =
~2 kf2
2m
e é chamada de energia de Fermi. O contorno consistindo de k-estados tendo a mesma
energia está na forma de uma esfera em um espaço tridimensional gerado por (kx , ky , kz ).
A forma do estado de maior energia também é uma esfera, que é chamada de superfı́cie
de Fermi.
O momento de Fermi kf tem uma conexão próxima a densidade média do elétron
ρ = N/V . Para ver como relacionar kf a ρ, primeiro pense em uma esfera de raio kf
no espaço dos momentos. Todos os elétrons ficam dentro desta esfera, então o número
total de elétrons é proporcional ao volume da esfera. O volume é dado por 4πkf3 /3. Se
dividimos isso pelo volume ocupado por cada elétron, então não precisamos obter N/2.
O fator extra 2 é devido à degenerescência do spin.
Então qual é o volume do k-espaço ocupado por cada estado eletrônico? Para
achar a resposta, voltemos a equação de Schrödinger do elétron livre, cuja solução para
uma caixa de lados (Lx , Ly , Lz ) é caracterizada por k:
k = 2π
nx ny nz
, ,
Lx Ly Lz
.
Usando este resultado é fácil ver que o volume associado com cada estado é apenas
(2π) /Lx , Ly Lz = (2π)3 /V . Então temos
3
4πkf3 /3
V kf3
N
=
=
.
2
6π 2
(2π)3 /V
18
Uma vez que N/V = ρ, a densidade é de fato relacionada a kf através de
kf3
ρ = 2 , kf3 = 3π 2 ρ.
3π
(15)
Devido a esta relação a energia de Fermi está também relacionada a densidade de elétrons
via
Ef =
2/3
~2
2π 2 ρ
.
2m
(16)
Em metais tı́picos, o momento de Fermi é mais ou menos o inverso do espaçamento de
rede, kf ∼ 1/a. A energia de Fermi é tipicamente da ordem ~2 /2ma2 . Recorde que o nı́vel
do estado fundamental do átomo de hidrogênio também tem uma energia de ordem e2 /a.
Essa também é a quantidade de energia cinética ~2 /2ma2 , então inferimos que a energia
de Fermi é de aproximadamente 10 eV para um metal tı́pico. Para tornar este argumento
mais preciso, escrevemos
e2
~2
2
(kf aB ) =
(kf aB )2
Ef =
2
2maB
2aB
(17)
usando o raio de Bohr do átomo de hidrogênio aB e a conhecida relação entre as energias
potencial e cinética ~2 /2ma2B = e2 /2aB . A unidade de energia e2 /2aB é conhecida como
Rydberg (Ry) e é igual a 13.6 eV. Conforme dito, kf aB ∼ 1 e Ef ∼ 1 Ry.
Existe também a temperatura de Fermi, que está relacionada à energia de Fermi
por Ef = kB Tf , com kB sendo a constante de Boltzmann. O fator de conversão tı́pico é
104 Kelvin para 1 elétronvolt, então a energia de Fermi de 10 eV corresponde a 105 graus.
1.2 Modelo da Ligação Forte
Um aspecto do movimento de um elétron em um sólido que marcadamente diverge
daquele em um espaço livre é que o movimento está sujeito a um potencial periódico criado
pelos ı́ons. O método da ligação forte (QUINN; YI, 2009) oferece uma visão simples da
modificação no movimento eletrônico e nos nı́veis de energia provocada pelo potencial,
que é fácil de entender e ainda de muito valor prático(NETO, 2012). Começamos com
uma discussão do teorema de Bloch, um enunciado geral sobre as funções de onda da
equação de Schrödinger com potencial modulado periodicamente e o modelo de KroningPenny que é o modelo exatamente resolvido mais simples com potencial periódico. A
hamiltoniana da ligação forte é introduzida usando a linguagem da segunda quantização
19
apresentada no capı́tulo anterior e é aplicada a algumas estruturas de rede.
1.2.1 Teorema de Bloch
Por um potencial periódico entende-se o tipo de potencial que obedece V (r + R =
V (r)) para qualquer vetor R conectando dois sı́tios iônicos. A Hamiltoniana do movimento
eletrônico em um sólido é governada pela equação de Schrödinger
H=−
~2 2
∇ ψ(r) + V (r)ψ(r) = Eψ(r).
2m
(18)
A solução dessa Hamiltoniana é obtida usando a análise de Fourier. Simplificando, porém
sem perda de generalidade, apresentamos o caso de uma dimensão. Sendo V (x) periódico
sobre o espaçamento da rede a, V (x + a) = V (x), sua expansão de Fourier deve ser da
forma
V (x) =
∞
X
Vm eimGx .
(19)
m=−∞
onde G refere-se a G = 2π
. O vetor 1 G e todos os seus múltiplos inteiros são coletivamente
a
conhecidos como vetores da rede recı́proca. Vm são alguns coeficientes cujo valor exato
depende da forma exata de V (x) e obedecem a relação V−m = Vm∗ . Impomos a condição
de contorno periódica ψ(x + L) = ψ(x), onde L é a dimensão da rede. Então, ψ(x) tem
a seguinte expansão de Fourier
ψ(x) =
∞
X
ψn ei(2πn/L)x .
(20)
n=−∞
O conjunto de modos permitidos na expansão de ψ(x) é tão mais denso quanto aqueles
dos vetores de onda permitidos na expansão de Fourier de V (x) pela razão L/a.
Sem perda de generalidade, mantendo a forma mais simples do potencial periódico
V (x) = V1 (eiGx + e−iGx ) = 2V1 cos[Gx], G = 2π/a, na derivação e conectando a expansão
1
Será um vetor em duas e três dimensões.
20
de Fourier de ψ(x) [(21)] e V (x) [(20)] na equação de Schrödinger, obtém-se
X
ikx
e
k
~2 k 2
E−
2m
ψk = V1 eiGx + e−iGx
X
eipx ψp .
(21)
p
Cada componente multiplicando uma onda plana eikx de ambos os lados dessa equação
deve coincidir. Significa que apenas as componentes de p iguais k +G ou k −G sobrevivem
na soma:
~2 k 2
E−
2m
ψk = V1 (ψk+G + ψk−G ) .
(22)
O conjunto de vetores k correm sobre todos os múltiplos inteiros de 2π/L, onde G = 2π/a.
Apenas um pequeno subconjunto de diferentes vetores k são conectados pela modulação
periódica correspondendo ao vetor de onda G. Sem qualquer perda de generalidade, podese restringir os valores de k dentro de um intervalo [−G/2, G/2] que é conhecido como a
zona de Brillouin. Esse número também é igual ao número de sı́tios na rede.
Cada k na zona de Brillouin Eq. (22) define uma equação linear acoplada que
oferece um conjunto de auto-energias Ekα e um conjunto de autofunções, também rotuladas
por α . Voltando ao problema original dado na Eq. (18) concluı́mos que o auto-estado
da Hamiltoniana é caracterizado por dois ı́ndices, k e α. Cada um desses auto-estados é
denotado por ψkα (x), e a auto-energia correspondente, Ekα . O auto-estado na expansão de
Fourier aparece como
ψkα (x)
=
∞
X
α
ψk+nG
ei(k+nG)x .
(23)
n=−∞
α
onde ψk+nG
são os coeficientes que satisfazem a Eq. (18). Usando um potencial mais
geral V (x) complicará o r.h.s da Eq. (22), mas de fato existe um conjunto de soluções
independentes rotuladas por α , para cada k na zona de Brillouin. A expressão (23) é a
mais geral das imagináveis para a solução do problema do potencial periódico.
A solução assim encontrada tem a seguinte propriedade: Uma vez que apenas um
conjunto de k 0 s diferindo por G = 2π/a são conectados, o espaço real de funções obedece
ψkα (x
+ a) =
∞
X
α
ψk+nG
ei(k+nG)(x+a) = eika ψkα (x).
(24)
n=−∞
A função de onda ψkα capta um fator de fase eika cada vez que ela é transladada por um
21
espaçamento da rede a. Essa é uma propriedade que deve ser obedecida por todas as
autofunções do problema e o fator de fase depende apenas de k, não de α . O argumento
completo é facilmente generalizado para dimensões mais altas.
1.2.2 Modelo de Kronig-Penney
Nessa seção consideraremos um caso resolvido exatamente do movimento eletrônico
em uma dimensão. O potencial experimentado pelo elétron tem que ser periódico sobre
o espaçamento da rede a, escolhemos uma série de funções delta como potencial: V (x) =
V0 δ(x − na).
A equação de Schrödinger para uma partı́cula confinada a esse tipo de potencial é
~2 d2
+ V (x) ψ(x) = Eψ(x).
−
2m dx2
(25)
A solução dessa equação é dada pela forma
ψn (x) = An eik(x−na) + Bn e−ik(x−na) .
(26)
onde (n − 1)a < x < na, pois nessa região o potencial desaparece. Embora a função de
onda tenha essa forma em toda região, os coeficientes An e Bn diferem para cada uma
delas. Esses coeficientes restritos são obtidos por meio das condições de contorno. A
primeira condição de contorno é aquela que a função de onda deve ser contı́nua quando
vai de uma região (dita n) para uma região adjacente (dita n + 1). Isso dá
ψn (na) = ψn+1 (na).
(27)
A próxima condição de contorno pode ser obtida integrando a equação de Schrödinger de
0− a 0+ de x = na e notando a continuidade da função de onda,
0
ψn+1
(na) − ψn0 (na) =
2mV0
ψn (na).
~2
(28)
A terceira condição de contorno é o teorema de Bloch, que afirma que em um potencial
22
periódico a função de onda pode ser escolhida para satisfazer
ψ(x + a) = eiϕ ψ(x)
(29)
para algum adequado ϕ .
Em resumo, temos as seguintes condições de contorno,
• ψn (na) = ψn+1 (na)
0
(na) − ψn0 (na) =
• ψn+1
2mV0
ψn (na)
~2
• ψ(x + a) = eiϕ ψ(x)
Da última das condições de contorno acima, temos
An+1 = An eiϕ
(30a)
Bn+1 = Bn eiϕ
(30b)
Do restante das condições de contorno, temos
An + Bn = An eiϕ−ika + Bn eiϕ+ika
0
(An + Bn ) = 0.
ik (An − Bn ) − ik An eiϕ−ika − Bn eiϕ+ika + 2mV
~2
(31)
Essas duas equações podem ser reescritas como
1 − eiϕ−ika An + 1 − eiϕ+ika Bn = 0
2imV0
iϕ+ika
0
1 − eiϕ−ika − 2imV
A
−
1
−
e
+
Bn = 0.
n
2
2
k~
k~
(32)
ou escritas em forma matricial,

1 − eiϕ−ika

1 − eiϕ+ika

An
1 − eiϕ−ika −
2imV0
k~2
− 1 − eiϕ+ika +
2imV0
k~2

0
=


Bn

.
0
(33)
23
De modo que An e Bn tenham soluções não triviais, o determinante da matriz quadrada
acima deve ser igual a zero,
iϕ−ika
1−e
2imV0
2imV0
iϕ+ika
iϕ−ika
iϕ+ika
1−e
+
1−e
−
+ 1−e
= 0.
k~2
k~2
(34)
Alguma manipulação algébrica leva a
cosϕ = cos(ka) +
mV0
sin(ka).
k~2
(35)
Uma vez que cosϕ pode ter apenas valores entre -1 e 1, apenas determinadas regiões k
dão os valores possı́veis para o momento. Para outros valores de k pode-se encontrar φ
que satisfaz a Eq. (35). A auto-energia para o estado dado na Eq. (26) é ~2 k 2 /2m, mas
nem todos os valores de k correspondem ao auto-estado. Isso leva a espaços no espectro
de energia.
O modelo de Kronig-Penney demonstra uma caracterı́stica marcante do movimento
eletrônico em um sólido periódico, ou seja, o aparecimento de um intervalo de energia
separando bandas de energias diferentes.
1.2.3 Hamiltoniana da Ligação Forte
Para uma primeira aproximação(PEREIRA; NETO; PERES, 2008), os elétrons são
fortemente atraı́dos pelos centros dos ı́ons através da força de Coulomb. A representação
atômica de um elétron orbitando um único ı́on é modificada pelo acoplamento que permite
que o elétron salte de um sı́tio iônico para o sı́tio iônico seguinte. A origem do acoplamento
é a sobreposição finita da função de onda eletrônica para cada ı́on com a do vizinho. O
modelo da forte ligação oferece uma maneira simples, mas muito útil de modelar essas
duas tendências concorrentes que ocorrem em qualquer sólido.
Considere o movimento de elétrons sobre um anel similar a nossa consideração
anterior, mas dessa vez, os elétrons podem ocupar apenas uma seleção de N estados
discretos uniformemente espaçados ao longo da circunferência do anel. Vamos primeiro
pensar sobre o que significa para um elétron ocupar um dado sı́tio i. Podemos, por
exemplo, pensar em cada sı́tio como um poço potencial com seu próprio espectro de
energia. Por simplicidade, assumimos que cada poço tem apenas um nı́vel de energia,
com energia −0 , embora um átomo real deva possuir vários desses tais nı́veis. Se um
elétron ocupa aquele nı́vel, o sistema adquire uma energia −0 . Se não existe elétron
24
naquele estado, a energia do sistema é zero.
Essa afirmação pode ser estendida à linguagem da segunda quantização usando a
Hamiltoniana H = −0 c† c. Sabemos que a Hamiltoniana é um operador cujo valor de espera corresponde à energia e também sabemos que c† c mede o número de elétrons naquele
estado. Então, nossa primeira afirmação se traduz em hHi = −0 hc† ci, ou (energia)=(−0 )
× (número de elétrons presentes naquele estado) e de fato essa é a afirmação correta. O
caso em questão tem N poços de potencial idênticos, cada um caracterizado pela mesma
P
energia de ligação −0 . A Hamiltoniana nesse caso é H = i (−0 )c†i ci , onde c†i ci mede a
ocupação eletrônica no i -ésimo sı́tio. Agora, a afirmação sobre a energia torna-se
(energia total)=
P
i (−0 )×
(número de elétrons no sı́tio i ).
Porém, sabemos que essa não é a circunstância mais geral que pode ocorrer quanticamente. Os poços potenciais não são completamente deslocados. Nesse caso, as funções
de onda localizadas nos sı́tios adjacentes i e j têm alguma sobreposição não nula causando tunelamento entre os nı́veis localizados. Como fazemos para adicionar o efeito de
tunelamento em nossa Hamiltoniana?
O que o tunelamento faz é remover uma partı́cula da posição i e colocá-la na posição
j, através de uma barreira de tunelamento. Na linguagem da segunda quantização esse
fenômeno é expresso pelo termo −t(c†j ci + c†i cj ). Por exemplo, c†j ci atuando sobre um
estado |1ii |0ij (i = ocupado, j = vazio) retorna |0ii |1ij . Essa é a expressão quântica para
uma “partı́cula que salta” de i para j. Uma vez que isso ocorre para cada par adjacente
de sı́tios, a nova Hamiltoniana com o efeito de tunelamento deve ser
H = −0
X
i
c†i ci − t
X †
(ci+1 ci + c†i ci+1 ).
(36)
i
t é algum número que caracteriza quão forte é o efeito de tunelamento. Além disso,
elétrons reais também possuem spin, então a Hamiltoniana acima deve ser trocada pela
seguinte:
H = −0
X
iσ
c†iσ ciσ − t
X †
(ci+1σ ciσ + c†iσ ci+1σ ).
(37)
i
Se t é não nulo, um elétron pode saltar de i para i+1. Uma vez que não há nada que possa
evitar o mesmo elétron de saltar de i + 1 para i + 2, e assim por diante, deve ser possı́vel
para um elétron fazer uma volta completa pelo anel e retornar a sua posição original. Na
realidade, um elétron “fica deslocalizado”. Agora provaremos essa afirmação.
Como afirmado na seção anterior, Felix Bloch foi o primeiro a mostrar como escre-
25
ver o auto-estado da Hamiltoniana (36). O artifı́cio é reescrever
X 1
ikri
√ e
ci =
ck ,
N
k
c†i
X 1
−ikri
√ e
=
c†k .
N
k
(38)
Vamos primeiro explicar os termos que aparecem do lado direito, ri é a para o sı́tio
rotulado 1, 2a para 2, etc, ri = ia. A constante da rede a mede a distância entre sı́tios
vizinhos. ck é um operador que remove uma partı́cula de um estado k, assim como ci é
um operador que remove uma partı́cula do sı́tio i.
Por causa da estrutura do anel, devemos ter ci+N a = ci , porque o sı́tio i + N a nada
mais é do que o próprio sı́tio i. Então, o r.h.s. da Eq. (38) deve ter essa propriedade
também. Desde que
ci+N a =
X 1
X 1
√ eik(ri +N a) ck =
√ eikri × eiN ka ck .
N
N
k
k
(39)
a propriedade desejada será realizada se eiN ka = 1. Para garantir isso, devemos ter
k = (2π/N a) × inteiro. Vamos rotular valores inteiros diferentes por m, e escrever k =
P
2πm/N a. Agora o significado de k está claro. De fato, essa é a soma sobre diferentes
valores de m. Então escrevemos
h
1 X
m ri i
cm .
ci = √
exp 2πi .
N a
N m
(40)
Usaremos cm e ck indistintamente porque eles significam a mesma coisa. Note a estrutura
dos termos que entram no expoente. ri /a é sempre um inteiro, portanto temos
h
r mi
h
mi
i
exp 2πi
×
= exp 2πi(algum inteiro) ×
.
a
N
N
(41)
Na expressão acima, os valores de m que diferem por algum múltiplo de N sempre dão
o mesmo valor da exponencial. Isso significa que nem todos os m0 s são independentes.
Por exemplo, m = 0, 1, ..., N − 1 dá diferentes valores de exponencial. Qualquer outro
valor de m dará origem a uma exponencial idêntica àquela que se obtém da escolha
m ∈ [0, ..., N − 1] e, portanto, não são independentes. Para concluir, devemos restringir
26
a soma na Eq. (40) tal que
N −1
h
m ri i
1 X
√
exp 2πi .
ci =
cm .
N a
N m=0
(42)
Se ci 0 s satisfazem à álgebra da comutação {ci , c†i } = 1 e a outra relação discutida anteriormente, devemos exigir que ci 0 s obedeçam a uma álgebra similar,
cm c†m + c†m cm = 1
cm c†m0 + c†m0 cm = 0 (m 6= m0 ), etc.
(43)
Podemos começar a reconhecer cm , c†m como operadores aniquilação e criação associados
ao estado rotulado por m ou por k = 2πm/N a. k é um autovalor de momento e nossos
novos operadores cm , c†m removem/adicionam uma partı́cula no auto-estado de momento
k. De posse dessas formalidades, diretamente substituı́mos a Eq. (42) na Hamiltoniana
(36). De fato, H foi transformada em
H=
X
(−0 − 2t cos ka)c†k ck =
k
X
k c†k ck .
(44)
k
Devemos interpretar o último termo como
(energia total) =
X
(energia do estado k) × (numero de elétrons no estado k).
k
(45)
Quando tal interpretação é possı́vel, devemos pensar em k como a auto-energia e c†k e ck
como operadores que adicionam/removem elétrons de/para um auto-estado k.
Anteriormente, quando tı́nhamos t = 0, cada auto-estado era rotulado por um
sı́tio i onde a partı́cula estava localizada. Quando t 6= 0, não é mais a maneira correta de
caracterizar auto-estados. Em vez disso, o auto-estado correto é o que tem um momento
definido k. Quantos auto-estados diferentes existem determinados pelos diferentes valores
permitidos para k = (2π/N a)m. Existem N diferentes valores de m levando a N autoestados independentes. Cada auto-estado tem uma energia dada por −0 −2t cos(2πm/N ).
Anteriormente quando t = 0, existiam também N auto-estados diferentes, tendo a ver com
diferentes sı́tios localizados. Agora, com t 6= 0, ainda há o mesmo número de estados, mas
eles são todos estendidos. Essa era uma afirmação importante no tempo que Bloch pro-
27
duziu seu primeiro auto-estado, pois diz que os elétrons estão espalhados ainda que haja
uma barreira de potencial. Por isso também que os elétrons podem se mover facilmente
através de uma densa rede de ı́ons positivos em sólidos.
1.2.4 Aplicação à estruturas reais de rede
O método da ligação forte dá uma ideia aproximada da dependência entre a estrutura de banda e a geometria da rede. O método é facilmente adaptado para qualquer tipo
de rede em qualquer dimensão. Essa também é uma forma muito eficiente de identificar
a zona de Brillouin para uma dada geometria da rede.
Rede quadrada: para uma rede quadrada bidimensional, um elétron no sı́tio i pode
saltar para qualquer um de seus quatro vizinhos em i ± x̂, e i ± ŷ. Então, a Hamiltoniana
da ligação forte será
H = −t
X
= −t
X
X
+
+
+
c+
+
c
+
c
+
c
c
−
µ
c+
i
i ci
i+x̂
i−x̂
i+ŷ
i−ŷ
i
i
+
c+
j ci + ci cj − µ
hiji
X
c+
i ci
(46)
i
onde hiji indicam todos os pares de vizinhos mais próximos da rede. Suprimimos o ı́ndice
de spin porque de qualquer modo ele não afeta o espectro de energia. Usando a expansão
ci = p
X
1 X ik.ri
1
eik.ri ck = √
e
ck
Nx Ny k
N k
(47)
a Hamiltoniana é produzida na forma diagonalizada
H =
X
(k − µ)c+
k ck
k
k = (kx , ky ), ri = (xi , yi )
(48)
onde k = −2t[cos kx + cos ky ] quando a constante da rede a é feita a unidade. Aqui observamos que a energia k é periódica tanto em kx como em ky com perı́odo de 2π. Apenas
aqueles vetores k não conectados por múltiplos de 2π são considerados independentes.
Isso leva ao conceito de primeira zona de Brillouin, ou 1BZ para abreviar, no qual para
a rede quadrada é dada por [−π, π] × [−π, π]. O número total de estados independentes (vetores k independentes) que se formam dentro de 1BZ é Nx × Ny = N , exatamente
28
combinando o número total de estados permitidos na rede quadrada composta de N sı́tios.
Rede triangular : A mesma aproximação aplicada à rede triangular saltando para
os vizinhos mais próximos, dá a Hamiltoniana diagonalizada da forma (48) com k =
√
√
−2t cos kx + cos(kx /2 + 3ky /2) + cos(kx /2 − 3ky /2) . Em geral, para uma rede Bravais, o espectro de energia da ligação forte é da forma
k = −t
X
eik.(rj −ri )
(49)
j∈i
abrangendo todos os sı́tios de vizinhos mais próximos j para i.
Rede hexagonal : As redes quadrada e triangular pertencem ao tipo de estrutura de
rede conhecida como rede Bravais, que se refere aos casos em que há um sı́tio atômico por
célula unitária. Em outras palavras, cada sı́tio se parece exatamente o mesmo que todos
os outros sı́tios em toda rede. O mesmo não pode ser dito da rede hexagonal, que é um
exemplo de uma rede não-Bravais. Existem dois sı́tios equivalentes nessa rede em vez de
um. Então, chamando-os de sı́tios-A e sı́tios-B, por exemplo, pode-se formalmente dividir
os operadores fermiônicos naqueles que pertencem às sub-redes A e B respectivamente.
1 X A ik.ri
c e
NA k k
1 X B ik.ri
= √
c e
NB k k
cA
= √
i
cB
i
(50)
onde ri se refere à coordenada de cada sı́tio da rede. A Hamiltoniana da ligação forte
para a rede hexagonal é escrita como
H = −t
X
c+
Bj cAi − t
X
i∈A
c+
Aj cBi − µ
i∈B
X
c+
Ai cAi − µ
i∈A
X
c+
Bi cBi .
(51)
i∈B
Escrevendo a Hamiltoniana no espaço de momento usando a Eq. (50),

H=
c+
Ak
c+
Bk
−µ
−t
P
j∈i
eik.(rj −ri )



−t
P
j∈i
eik.(rj −ri )
−µ
cAk
cBk

.
(52)
Diagonalizando a matriz, finalmente temos o espectro de energia da rede hexagonal
29
k = −µ ± |
X
eik.(rj −ri ) |
j∈i
= µ ± |3 + 2 cos
√
3ky /2
√
+ eikx /2−i 3ky /2 |
!
!
!
√
√
√
kx
3
kx
3
+
ky + cos
−
ky + cos 3ky |
2
2
2
2
= −µ ± |eikx + eikx /2+i
(53)
O sinal ± se refere a dois valores de energia diferentes permitidos para um dado
k. Existem duas bandas, que tocam uma a outra em certos pontos isolados no espaço-k.
Em contraste com a situação obtida para a rede Bravais que tem apenas uma banda
correspondente a cada k. O aparecimento de bandas múltiplas está ligado à existência de
vários sı́tios na rede em uma célula unitária. Na rede hexagonal, a célula unitária tendo
dois sı́tios equivalentes é a razão para ter duas bandas de energia para um dado k.
A Hamiltoniana localizada ao redor de cada ponto-k é semelhante a Hamiltoniana
de Dirac para partı́culas relativı́sticas em duas dimensões. Posteriormente construiremos
uma Hamiltoniana com bandas múltiplas com um claro intervalo de energia separando as
bandas superiores e inferiores. Esse tipo de estrutura de banda dá origem a um isolante.
O grafite é interessante porque fica no meio entre um metal e um isolante.
30
2 O MODELO DE DIRAC
O grafeno é um cristal bidimensional formado por átomos de carbono organizados
em uma rede hexagonal “honeycomb”: uma única camada de grafite. Um dos mais
interessantes aspectos fı́sicos do grafeno de um ponto de vista teórico é a profunda e
produtiva relação com a eletrodinâmica quântica (QED) e outros conceitos da teoria
quântica de campos. A conexão surge do fato que, em baixa energia, as excitações de
quase-partı́culas do sistema podem ser modeladas pela equação de Dirac sem massa em
duas dimensões espaciais. Nesse caso, a velocidade da luz c é trocada pela velocidade
de Fermi vF ' c/300. Começaremos com a derivação do modelo de Dirac a partir do
modelo da “Ligação Forte” e os cálculos da teoria quântica de campos no modelo de
Dirac (JACKIW; PI, 2007) serão apresentados.
2.1 Um resumo das caracterı́sticas do grafeno
2.1.1 Uma camada de grafeno
A construção da ação livre na fı́sica da matéria condensada é feita de uma forma
muito semelhante à teoria quântica de campos. A Hamiltoniana livre é determinada
pelas simetrias internas e discretas (cristal) do sistema. A “teoria de bandas” fornece
a relação de dispersão do material e as propriedades eletrônicas para um determinado
estado eletrônico ocupado. No caso de um sistema metálico, interações adicionais podem
abrir um intervalo (“gap”) e dar origem a vários estados isolantes não-triviais ou manter
o sistema sem intervalo dentro da classe universal do lı́quido de Landau Fermi 2 , o modelo
padrão para metais. O átomo de carbono tem quatro orbitais externos 2s2 , 2p2 capazes
de formar ligações moleculares. A estrutura cristalina do grafeno é formada por uma rede
hexagonal planar de átomos de carbono. Na estrutura do grafeno as ligações no plano σ são
2
Os elétrons de condução de um metal estão sujeitos a colisões com outros elétrons. Além disso, elétrons
em movimento produzem uma reação inercial no gás de elétrons, o que aumenta sua massa efetiva.
Os efeitos das interações elétron-elétron são geralmente descritos pela teoria de Landau de um lı́quido
de Fermi. O objetivo da teoria é proporcionar uma descrição unificada do efeito das interações. O
gás de Fermi é um sistema de férmions independentes; o mesmo sistema com interações é o lı́quido
de Fermi. A teoria de Landau permite determinar com boa aproximação as excitações elementares de
baixa energia de um sistema de elétrons com interações. Essas excitações são chamadas de quasepartı́culas; existe uma correspondência direta entre essas excitações e as excitações elementares de um
gás de elétrons livres. Uma quase-partı́cula pode ser vista como uma partı́cula isolada, acompanhada
por uma distorção local do gás de elétrons. Um dos efeitos da interação eletrostática entre os elétrons
é mudar a massa efetiva dos elétrons.
31
formadas de 2s, 2px e2py orbitais hibridizados em uma configuração sp2 , enquanto o orbital
2pz , perpendicular à camada permanece desacoplado. As ligações σ dão rigidez à estrutura
e as ligações π dão origem às bandas de valência e condução. As propriedades eletrônicas
do grafeno são baseadas na construção de um modelo para os elétrons π localizados na
posição da rede hexagonal atraı́dos pelas ligações σ. Alternativamente, as propriedades
mecânicas envolvem as ligações σ com energias caracterı́sticas da ordem de 7 − 10eV . As
excitações de baixa energia em torno da energia de Fermi terão energias caracterı́sticas
no intervalo de poucos meV até 1 eV. Várias redes cristalinas são classificadas como redes
Bravais e em duas dimensões podem ser geradas movendo um ponto arbitrário na rede ao
longo de dois vetores da rede definidos. Isso acontece, geralmente, em redes triangulares
e quadradas em duas dimensões. Esse não é o caso da rede hexagonal. Essa rede é muito
especial: Tem a menor coordenação em em duas dimensões (três) e tem dois átomos por
célula unitária. A rede hexagonal pode ser gerada movendo dois átomos vizinhos ao longo
dos dois vetores que definem uma sub-rede triangular. Essa é a primeira caracterı́stica
distinta que será responsável pelas propriedades exóticas do material.
A relação de dispersão da rede hexagonal é baseada no cálculo da ligação forte
apresentado anteriormente, destacando as propriedades principais, a primeira é que dois
átomos por célula unitária implica em uma função de onda bidimensional para descrever as propriedades eletrônicas do sistema. As entradas da função de onda são ligadas
à amplitude de probabilidade do elétron estar na sub-rede A ou B. O método da aproximação da ligação forte para o vizinho mais próximo reduz o problema à diagonalização
da hamiltoniana de um elétron.
H = −t
X
a+
i aj
(54)
i,j
onde a soma é sobre os pares de átomos de vizinhos mais próximos i, j sobre a rede e
ai , a+
j são os operadores de criação e aniquilação usuais. A função de onda Bloch tem que
ser construı́da como a superposição de orbitais atômicos dos dois átomos que formam a
célula primitiva:
Ψk (r) = CA φA + CB φB .
As autofunções e os autovalores da hamiltoniana são obtidos da equação
(55)
32

−t
P
j
eiakuj

CA
−t
P
j
iakvj
e

CA
 = E(k) 



CB

.
CB
(56)
onde uj é um trio de vetores conectando um átomo A com seu vizinho mais próximo B
δi , e vj o trio de seus respectivos opostos, a é a distância entre os átomos de carbono
e é o nı́vel de energia 2pz , tomado como a origem da energia. O parâmetro da forte
ligação t é estimado ser da ordem de 3eV no grafeno, define uma largura de banda (6eV)
e é uma medida da energia cinética dos elétrons. As autofunções são determinadas pelos
coeficientes CA e CB que são soluções da Eq. (105). Os autovalores da equação dão os
nı́veis de energia cuja relação de dispersão é
s
E(k) = ±t
1+
4 cos2
√
√
3
3
3
akx + 4 cos
akx cos aky ,
2
2
2
(57)
onde os dois sinais definem duas bandas de energia que estão degeneradas nos seis vértices
K da zona de Brillouin hexagonal. O sistema neutro com um elétron por sı́tio da rede está
meio preenchido. A superfı́cie de Fermi é formada por seis pontos de Fermi, onde apenas
dois são independentes. Esse é o aspecto mais importante do sistema relativo à suas
propriedades não usuais. A existência de uma superfı́cie de Fermi finita implica em uma
densidade de estados finita e na blindagem da interação de Coulomb. Além disso, permite
a construção da cinemática de Landau conduzindo à possibilidade da supercondutividade e
outras excitações coletivas ao contrário do sistema de elétrons livres. Um modelo contı́nuo
pode ser definido para excitações de baixa energia em torno de alguns dos pontos de Fermi,
chamado K1 , expandindo a relação de dispersão em torno desse ponto: k = K1 + δk que
da Eq. (105) fornece a hamiltoniana

3
H ∼ − ta 
2
0
δkx + iδky

.
δkx − iδky
(58)
0
O limite lima→0 H/a define a Hamiltoniana contı́nua
H = vF ~σ .~k,
(59)
onde σ são as matrizes de Pauli e o parâmetro vF é a velocidade de Fermi dos elétrons
33
estimada em vF ∼ 3ta ∼ c/300. Por isso, as excitações de baixa energia em sistemas sem
massa são modeladas como espinores carregados em duas dimensões espaciais movendo-se
na velocidade vF . O spin fı́sico do elétron foi desprezado na análise, a natureza espinorial
da função de onda tem origem nos graus de liberdade da sub-rede e é chamado pseudospin
na literatura do grafeno. A mesma expansão em torno de outro ponto de Fermi dá origem
a uma hamiltoniana invertida no tempo: H2 = vF (−σx kx + σy ky ). A degenerescência
associada aos pontos de Fermi (vales na linguagem de semicondutor) é considerada como
um sabor. Junto com o spin real a degenerescência total do sistema é a Eq. (57). A
estrutura quiral do espectro descrito acima e a natureza quântica do sistema da matéria
condensada (como oposto à TQC), permitem testar várias previsões da velha mecânica
quântica relativı́stica. Nos elétrons presentes no sistema do grafeno haverá tunelamento
com uma probabilidade de transmissão através de uma barreira de potencial degrau colidindo em incidência normal. Esse fenômeno conhecido como paradoxo de Klein foi
experimentalmente confirmado. Um fenômeno semelhante é o chamado Zitterbewegung
ou movimento de rápido tremor dos elétrons em um campo externo. Um fenômeno particularmente interessante é o colapso atômico supercrı́tico no grafeno, uma consequência
dos grandes valores da “constante de estrutura fina do grafeno”. Um outro fenômeno
muito interessante é a possı́vel realização do mecanismo de Swinger, isto é, a produção de
pares partı́cula-antipartı́cula carregadas guiadas por um campo magnético externo constante. Os fenômenos anteriores não são apenas realizações curiosas da mecânica quântica
relativı́stica, eles tem profundas consequências nos aspectos experimentais de sistemas
materiais, muitos deles não observados antes na matéria condensada. Em particular, o
paradoxo de Klein implica que impurezas e outras várias fontes comuns de desordem não
espalharão os elétrons no grafeno. Isso escapará a localização de Anderson, um resultado
muito importante que estabelece que qualquer quantidade de desordem em sistemas de
elétrons livres em duas dimensões espaciais localizará os elétrons transformando o sistema
em um isolante. O tunelamento Klein também é parcialmente responsável pela alta mobilidade na temperatura ambiente e pela excelente metalicidade do sistema. Zitterbewegung foi proposto enquanto uma explicação para a condutividade mı́nima de amostras
foi observada, um dos mais interessantes aspectos do grafeno cuja origem permanece incerta. Pode ser comprovado que os pontos de Fermi são estáveis topologicamente diante
de deformações da hamiltoniana preservando o produto da simetria discreta da reversão
temporal e inversão espacial. A estabilidade topológica é baseada no momento não trivial do espaço topológico dos pontos de Fermi e dele associado uma carga topológica não
trivial. Além disso, a função de onda em torno dos pontos de Fermi tem uma fase Berry
não trivial.
34
2.1.2 Múltiplas camadas de grafeno
Múltiplas camadas de grafeno consistem em uma superposição de várias camadas
de grafeno interconectadas por termos de “hopping”. Dependendo da orientação relativa
das camadas vários empilhamentos são possı́veis. O limite de baixa energia de alguns sistemas de múltiplas camadas dá origem também a modelos interessantes da TQC definidos
no contı́nuo. A dupla camada de grafeno é um dos casos melhor estudado. É relativamente fácil de obter e manipular experimentalmente e pode ser melhor que a única camada
para alguma potencial aplicação. Indicando dois átomos equivalentes na camada n como
(an , bn ). O modelo mais simples introduz “hoppings” t entre as camadas apenas entre
os vizinhos mais próximos. A hamiltoniana decorrente da dupla camada de grafeno na
vizinhança do ponto de Fermi K1 é



H(k) = 


0 k∗
k 0
0 0
t 0
0 t
0 0
0 k∗
k 0






(60)
e as bandas de energia são dadas por
t
k = ± ±
2
r
t2
+ |~k|2 .
4
(61)
No limite E t, pode-se obter uma hamiltoniana efetiva para as bandas de
menor energia. Para esse fim, deve-se reordenar as funções de onda de acordo com
(a1 , b1 , a2 , b2 ) → (a2 , b1 , a1 , b2 ), de modo que a nova base da hamiltoniana torna-se



H(k) = 


0 0
0 0
0 k∗
k 0

0 k∗

k 0 
≡
0 t 

t 0
H11 H12
H21 H22
onde Hij é um bloco 2 × 2. A identidade
!
(62)
35
Det(H − E)
= Det H11 − H12 (H22 − E)−1 H21 − E Det(H22 − E)
(63)
mostra que, para E t, a substituição H22 − E → H22 → reduz o cálculo das bandas de
menor energia para a diagonalização da hamiltoniana efetiva 2 × 2
Essa hamiltoniana efetiva envolve apenas os átomos (a2 , b1 ) que não estão ligados por
t. Sobre um ponto de vista de TQC a hamiltoniana é muito diferente. Tem quiralidade
como o caso de Dirac, mas a relação de dispersão é quadrática. Sobre um ponto de vista
da matéria condensada, esse também é um sistema muito interessante onde a superfı́cie
de Fermi reduz-se a um ponto, mas tem uma densidade finita no nı́vel de Fermi similar
à de metais padrão. A análise anterior pode ser facilmente generalizada para múltiplas
camadas de grafeno com empilhamento romboédrico. Esse tipo de empilhamento inclui
os ligados (b1 − a2 , b2 − a3 , ..., bN −1 − aN ) e a hamiltoniana efetiva, que envolve apenas os
átomos não ligados (a1 , bN ), é dada por
Hef f = −
1
tN −1
0 k ∗N
kN 0
!
.
(64)
Há uma carga topológica associada a esse tipo de sistema de múltiplas camadas
em torno dos pontos de Fermi cujo valor é ±N que também garante sua estabilidade
topológica. Note que não há estabilidade topológica para o empilhamento Bernal. Quatro interações de Fermi dão origem a várias quebras espontâneas de simetria, fases com
aberturas na teoria de perturbação, uma coisa que não ocorre em sistemas de uma camada.
2.2 Construindo o modelo de Dirac
No grafeno, a rede hexagonal é subdividida em duas sub-redes triangulares A e B.
O espaçamento da rede é d = 1, 42 Å. O vizinho mais próximo de um átomo da sub-rede
A pertence a sub-rede B e vice-versa. Adicionando a localização de um átomo na sub-rede
A qualquer um dos três vetores
√
√
δ1 = d(−1, 0), δ2 = d(1/2, 3/2), δ3 = d(1/2, − 3/2)
pode-se localizar um dos vizinhos mais próximos na sub-rede B.
(65)
36
Apenas a interação entre os vizinhos mais próximos será considerada, pois o modelo
da ligação forte usado para introduzir a hamiltoniana despreza a superposição de estados
localizados em sı́tios separados por uma distância maior que d. A interação que é levada
em conta é aquela entre os elétrons que pertencem ao estado de energia p. No cristal,
todos os elétrons nesse estado sentem o mesmo potencial, uma vez que a rede é formada
por um único tipo de elemento, formando um mar de elétrons. E a hamiltoniana tem a
seguinte forma
H = −t
3
XX
a† (rα )b(rα + δj ) + b† (rα + δj )a(rα ) ,
(66)
α∈A j=1
onde t é o chamado parâmetro de “hopping” e os operadores a† , a, b† , b são os operadores
de criação e aniquilação dos elétrons nas sub-redes A e B, respectivamente. São adotadas
as unidades ~ = c = 1. Esses operadores satisfazem as relações de anti-comutação usuais.
Representando a função de onda através de uma transformada de Fourier.
!
|ψi =
ψA (k)
X
eikrα a† (rα ) + ψB (k)
α∈A
X
eikrβ b† (rβ ) |0i
(67)
β∈B
A sub-rede A é gerada pelo deslocamento ao longo dos vetores δ2 − δ1 e δ3 − δ1 ,
o mesmo raciocı́nio é aplicado a sub-rede B. Essas duas sub-redes, A e B, formam duas
redes triangulares superpostas. Assim, dois momentos k1 e k2 são equivalentes se (n1 (δ2 −
δ1 ) + n2 (δ3 − δ1 )).(k1 + k2 ) ∈ 2πZ para todo inteiro n1 e n2 . Representantes da classe
de equivalência podem ser feitos em uma região compacta no espaço de momento - a
√
zona de Brillouin, que é um hexágono com vértices nos pontos v1 = 2π/3d(1, 1/ 3), v2 =
√
√
2π/3d(1, −1/ 3), v3 = 2π/3d(0, −2/ 3), v4 = −v1 , v5 = −v2 e v6 = −v3 . Os lados
opostos desse hexágono são identificados e os vértices v1 , v3 e v5 são equivalentes entre si,
bem como v2 , v4 e v6 também são.
Pode-se calcular
H|ψi = −t ψB
3
X
j=1
eikδj
X
α∈A
eikrα a† (rα ) + ψA
3
X
j=1
!
e−ikδj
X
eikrβ b† (rβ ) |0i
(68)
β∈B
de modo que a equação estacionária de Schödinger H|ψi = E|ψi transforma-se na equação
matricial
37

−tX
0


ψA
0

ψA
=E

−tX ∗

ψB

,
ψB
X=
3
X
eikδj .
(69)
j=1
Onde os autovalores são
E = ±t|X|.
(70)
O espectro é simétrico, com partes positivas e negativas se encontrando nos pontos onde
X = 0. Soluções para essas condições são facilmente encontradas e coincidem com os
vértices da zona de Brillouin. Como foi discutido anteriormente, apenas dois dos vértices
são independentes. Escolhendo K± = ±v6 = ∓v3 como duas soluções independentes,
chamadas de pontos de Dirac, que descrevem dois estados fundamentais independentes. O
±
próximo passo é expandir as funções de onda em torno desses pontos de Dirac, ψA,B
(q) ≡
ψA,B (K± + q). Supondo que |q| é pequeno comparado a 1/d ∼ 1 Kev. Então, chega-se
nas hamiltonianas

H± =
3td 
2
0
iq1 ± q2

 = vF (−σ2 q1 ± σ1 q2 ),
−iq1 ± q2
(71)
0
onde vF é a velocidade de Fermi, σi são as matrizes de Pauli. Substituindo os valores de
d e t = 2, 8 eV em vF = (3td)/2 obtém-se um número que está levemente abaixo do valor
usualmente aceitável vF = 1/(300). Introduzindo um espinor de quatro componentes ψ ≡
(ψA+ , ψB+ , ψA− , ψB− ) para unificar H± em uma única hamiltoniana de Dirac H = −ivF γ 0 γ a ∂a ,
a = 1, 2, onde o momento iq foi substituı́do pelas derivadas parciais, e

σ3
0
γ0 = 

,
0
σ3

iσ1
0
γ1 = 

,
0
iσ1

iσ2
0
γ2 = 

.
0
(72)
−iσ2
Essas matrizes gama 4 × 4 são usadas em uma representação redutı́vel que é uma soma
direta de duas representações equivalentes 2 × 2. Cada uma dessas representações para
as funções de onda das quase-partı́culas do grafeno é de algum modo similar à descrição
espinorial de elétrons em QED3+1 . Porém, no caso do grafeno esse ı́ndice de pseudo spin
se refere ao grau de liberdade da sub-rede em vez do spin real dos elétrons. O efeito total
do spin real, que não aparece no modelo de Dirac apresentado, está apenas na duplicação
38
do número de componentes espinoriais, de modo que aparecerão espinores de 8 componentes no grafeno (N=4 espécies de férmions de duas componentes). Então, o modelo da
ligação forte para energias abaixo de 1/d é equivalente ao modelo quase-relativı́stico de
Dirac, onde a velocidade da luz é substituı́da por vF . Deve-se manter em mente que o
modelo da forte ligação é por si só uma aproximação. Pode-se melhorar essa aproximação
considerando, por exemplo, acoplamentos entre átomos da mesma rede A ou B, que é
o acoplamento com o próximo vizinho mais próximo. A energia correspondente é estimada em torno de 0,1 eV, muito menor que o acoplamento com o vizinho mais próximo
t considerado anteriormente. Espera-se que com modificações adequadas o modelo de
Dirac seja válido pelo menos até as energias de ∼ 2 eV. Sobre várias circunstancias, pode
fazer sentido considerar as seguintes modificações do modelo de Dirac. Pode-se adicionar uma interação com o campo eletromagnético. Para preservar a invariância de gauge,
essa interação é introduzida pela troca da derivada parcial pela derivada covariante de
gauge: ∂ −→ ∂ + ieA. O potencial eletromagnético não está confinado à superfı́cie do
grafeno, mas, em vez disso propaga-se no ambiente de dimensão 3 + 1. Esse campo pode
ser um campo magnético externo, uma radiação eletromagnética clássica ou flutuações
quantizadas. As quase-partı́culas podem ter uma massa. Essa massa é usualmente muito
pequena, mas a introdução de um parâmetro de massa pode ser conveniente sobre fundamentos teóricos, isto é, para realizar a regularização Paulli-Villars. Um parâmetro tipo
massa muito importante é o potencial quı́mico µ, que descreve a densidade das quasepartı́culas. Esse parâmetro pode ser variado em experimentos aplicando uma barreira de
potencial em amostras de grafeno. Sem uma barreira de potencial, µ é frequentemente
muito pequeno em grafeno suspenso, mas pode ser significante em grafeno epitaxial devido
a interação com o substrato.
39
3 TEORIA QUÂNTICA DE CAMPOS NO GRAFENO
3.1 Interações elétron-elétron em uma única camada de grafeno
Vamos apresentar os principais aspectos do modelo da TQC das interações de
Coulomb de longo alcance no grafeno.
O modelo padrão não interagente para excitações eletrônicas no grafeno em torno
de um único ponto de Fermi (em unidades ~ = 1)é dado por
Z
H = vF
d2 rψ̄(r)γ i ∂i ψ(r),
(73)
onde i = 1, 2, ψ̄(r) = ψ + (r)γ 0 , e as matrizes gama podem ser escolhidas como γx =
σ2 , γy = −σ1 , γ 0 = σ3 . Onde, σi são as matrizes de Pauli e vF é a velocidade de Fermi,
o único parâmetro livre na Hamiltoniana. O tratamento da interação de Coulomb é que
faz a diferença entre o modelo do grafeno e a usual QED(2+1). Na definição da interação
de Coulomb em dimensões mais baixas deve-se esclarecer que o campo eletromagnético é
realmente definido em duas dimensões espaciais, ou as cargas são confinadas a um plano
enquanto o campo de Coulomb se propaga em três dimensões espaciais. O potencial
escalar no eletromagnetismo clássico é definido pela equação de Laplace em qualquer
número de dimensões. Equivalentemente na TQC é definido pela Lagrangeana
Z
L=
d(D+1) xFµν F µν , Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ ,
(74)
que tem duas derivadas espaciais. Em ambos os casos o potencial efetivo no espaço
de Fourier é V (k) ∼ 1/k 2 . Para ver a dependência espacial da interação deve-se usar a
transformada de Fourier V (k) e obter o resultado conhecido
V (r − r0 ) ∼













1
|r−r0 |
log(|r − r0 |)
|r − r0 |

D=3 





D=2





D=1 
(75)
Em duas dimensões espaciais a interação de Coulomb no espaço real é logarı́tmica.
No mundo real apenas as cargas estão confinadas ao plano do grafeno enquanto a interação
se propaga em três dimensões. Isso é codificado na forma usual da interação de Coulomb
40
(instantânea):
Hint
e2
=
2π
Z
2
d r1
Z
d2 r 2
Ψ̄(r1 )Ψ(r1 )Ψ̄(r2 )Ψ(r2 )
|r1 − r2 |
(76)
A interação anterior é inadmissı́vel em uma aproximação da TQC. Isso não é apenas
não-relativı́stico (ação a distância) mas também é não-local. Pode-se tentar formular o
problema de interação em uma linguagem de TQC acoplando os férmions ao campo de
gauge através da representação do acoplamento mı́nimo
Z
Lint = g
d2 xdtj µ (x, t)Aµ (x, t),
(77)
onde g = e2 /4πvF é a constante de acoplamento adimensional e a corrente eletrônica é
definida como
j µ = (Ψ̄γ 0 Ψ, vF Ψ̄γ i Ψ).
(78)
Agora, o problema é acoplar a corrente bidimensional a um potencial de gauge
tridimensional. Essa dificuldade foi resolvida usando o gauge de Feynmann
5µ Aµ = 0.
(79)
A Hamiltoniana é vista como aquela da eletrodinâmica (não-relativı́stica) em duas
dimensões espaciais:
Z
H = ~vF
d2 rΨ̄(r)γ µ (∂µ − igAµ )Ψ(r).
(80)
A não-relativı́stica pode ser usada de dois modos diferentes. Um é não-covariante
no sentido que as componentes de tempo e espaço da corrente têm diferentes velocidades.
Essa falta de covariância não invalida muitas das regras que fazem a vida fácil em TQC
como as identidades de Ward. Uma mais severa forma da não-relativı́stica é a fixação de
vF = 0. Essa quantidade considera que não há dependência temporal no propagador de
gauge. Os resultados obtidos nesse caso podem invalidar alguns resultados da TQC. Em
qualquer caso, apesar da identificação formal da Hamiltoniana com QED(2+1), os diferentes propagadores para o fóton produzem resultados diferentes mesmo quando adotada
uma aproximação relativı́stica (assumir uma interação de Coulomb retardada) do começo.
41
3.2 Quebra de simetria quiral
Abrir um gap (ou gerar uma massa) no grafeno é crucial para as aplicações eletrônicas.
A partir do ponto de vista da TQC, a massa do elétron (gap) é protegida pela versão 3D
da simetria quiral (SEMENOFF, 2012; ZHANG; LIU; HUANG, 2011)e então um gap
não será aberto por correções radiativas independente da ordem na teoria de pertubação.
Interações ou desordem podem abrir um gap na amostra fornecida no qual o produto da
reversão temporal vezes a simetria de inversão é quebrada (potencial escalonado, campo
magnético externo), ou quando dois pontos de Fermi estão envolvidos. Uma discussão das
várias “massas” que podem ser geradas no grafeno quando os graus de liberdade de vale
e spin são considerados. Mesmo se os dois pontos de Fermi são levados em conta em um
formalismo quadridimensional, é muito improvável que um gap será gerado espontaneamente pelas interações em uma única camada de grafeno e até agora não há evidências
experimentais para isso.
3.3 O funcional gerador
A possibilidade de formular a mecânica quântica em termos de integrais de caminho fornece a chave para uma formulação de integrais de caminho da teoria quântica de
campos. Podemos descrever o estado de um sistema em um dado tempo por |φ(~x)it 3 e
calcular a amplitude de transição entre esse estado e um novo estado em um tempo posterior t, mas estamos diante da necessidade de resolver esse problema em função dos estados
fı́sicos possı́veis do sistema. A forma de identificar os estados do sistema frequentemente
depende muito do sucesso da teoria de perturbação. Começamos com a aproximação de
ordem zero que corresponde à teoria livre. A teoria completa é construı́da adicionando
uma pequena perturbação à idealizada teoria de ordem zero e os efeitos dessa pequena
perturbação, que correspondem aos efeitos de interação, são calculados sobre os estados
de ordem zero. Esses passos são possı́veis apenas quando é possı́vel reconhecer a teoria
completa em termos de uma pequena perturbação sobre um sistema simples e, feito isso,
calcular as correções para os estados idealizados de ordem zero. Para encontrar essas
soluções temos que obter uma formulação de integral de caminho(RAMOND, 1989), essa
formulação não conta com o conhecimento do estado fı́sico do sistema. Quaisquer que
sejam os estados, deve haver um estado de menor energia, chamado de estado de vácuo.
Agora, queremos conhecer a amplitude de transição do sistema a partir do estado de
vácuo em t = −∞ para o estado de vácuo em t = +∞ na presença de uma força motriz
3
Por conveniência usaremos a notação para um campo escalar real como exemplo.
42
arbitrária. Isso significa que a qualquer momento nos reservamos ao direito de conduzir o
sistema de qualquer forma que quisermos, e vê-lo reagir. Essa vai ser a estratégia: resolver
a amplitude hΩ|ΩiJ para uma fonte arbitrária J(x), interpretar os resultados em termos
de amplitude de espalhamento e usar essas amplitudes para calcular as consequências
fı́sicas da teoria.
Tradicionalmente, a fonte adicionada ao campo local fornece um termo motriz
genérico uma vez que todas as fontes possı́veis podem ser construı́das a partir desse
termo. Quando a teoria de perturbação é aplicável, os campos locais serão interpretados
em termos de partı́culas. Começando com a mais simples teoria de campos: um campo
escalar auto-interagente, descrito pela ação
Z
S =
Z
=
1 2 2
1
µ
d x ∂µ φ∂ φ − m φ − V (φ)
2
2
(81)
d4 xL(φ, ∂µ φ).
(82)
4
Para construir a densidade de Hamiltoniana H, define-se o momento canônico
π(x) =
∂L
= ∂0 φ ≡ φ,
∂[∂0 φ]
(83)
e então realiza-se a transformada de Legendre
~
H(π, φ, 5φ)
= πφ − L
1 2 ~ ~
=
π + 5φ.5φ + m2 φ2 + V (φ).
2
(84)
(85)
A amplitude de vácuo para vácuo é definida como
Z
hΩ|ΩiJ ≡ W [J] = N
DφDπ ei(πφ̇−H+Jφ) ,
(86)
onde N é uma constante, a amplitude h...i agora significa integração sobre o espaçotempo e J(x) é uma fonte arbitrária. Após usar técnicas de integração para integrar sobre
π, obtém-se
W [J] = N
0
Z
1
1 2 2
µ
Dφ exp i
∂µ φ∂ φ − m φ − V (φ) + Jφ
.
2
2
(87)
Nesse caso Dφ (ou Dπ ) significa o produto de todos os dφk onde φk é o valor de φ
43
em x = xk . O integrando em (87) é oscilatório, isso significa que essa integral de caminho
não é bem definida. Há dois modos de remediar esse problema:
2
a) colocar um fator de convergência e−1/2(φ ) com > 0. Ou
b) definir W no espaço Euclideano fazendo,
x0 = −ix̄0
d4 x = −id4 x̄
∂µ φ∂ µ φ = −∂¯µ φ∂¯µ φ,
onde as barras denotam as variáveis no espaço Euclideano, ∂¯µ = ∂/∂ x̄µ . Então a
Eq.87 se transforma
Z
WE [J] = NE
1 2 2
1 ¯ ¯µ
∂µ φ∂ φ + m φ + V (φ) − Jφ
.
Dφ exp −
2
2
(88)
O expoente do integrando é agora negativo definido para m2 e V positivo quando
J = 0.
Em ambos os casos, o funcional gerador é usado para produzir as funções de Green
que são os coeficientes da expansão funcional
∞
X
(i)N
hJ1 J2 ...JN G(N ) (1, 2, ..., N )i1...N ,
W [J] =
N
!
N =0
(89)
ou
G(N ) (1, 2, ..., N ) =
1 δ δ
δ
...
W [J] |J=0
N
(i) δJ1 δJ2 δJN
(90)
onde Ji = J(x̄i ), etc., ..., h...i1...N significa integração sobre d4 x̄1 ...d4 x̄N . O objetivo é calcular as funções G(N ) (x̄1 , ..., x̄N ) perturbativamente ou de outro modo. No
espaço de momento serão identificadas como amplitudes de transição. Isso não é trivial uma vez que as amplitudes de transição devem satisfazer os critérios de completeza
e unitariedade. O funcional no espaço Euclideano WE [J] é usado para construir estas
(N )
funções GE (x̄1 , ..., x̄N ), elas são relacionadas a G(N ) por continuação analı́tica (rotação
de Wick), na qual pressupõe que singularidades não são encontradas no processo do contorno de rotação. Isso é suficiente para determinar a estrutura singular de G(N ) , mas
mostrar que isso é consistente com a unitariedade não é um problema trivial.
44
3.4 O operador de polarização baseado no modelo de Dirac
Vamos proceder com com os cálculos da teoria quântica de campos baseado no
modelo de Dirac(JACKIW; PI, 2007). Da Hamiltoniana pode-se derivar a ação
Z
S =
/
d3 xψ̄ Dψ,
/ = iγ̃ j (∂j + ieAj ) + ...
D
(91)
onde os pontos podem ser quaisquer dos termos adicionais descritos anteriormente,
em particular um termo de massa levaria a uma quebra de simetria quiral(JACKIW; PI,
2007; ZHANG; LIU; HUANG, 2011; SEMENOFF, 2012). O til sobre as matrizes γ
significa que as componentes espaciais são reescaladas.
γ̃ 0 = γ 0
γ̃ i = vF γ i
Férmions quantizados dão origem a uma ação efetiva para o campo magnético
externo (dado por uma soma de diagramas de 1 loop). Para a segunda ordem em A, isso
leva à ação efetiva
1
Sef f (A) =
2
Z
d3 p
Aj (−p)Πjl (p)Al (p),
(2π)3
(92)
onde Πjl é o operador polarização. Vamos considerar o operador polarização para
um único férmion de duas componentes massivo na temperatura zero, zero potencial
quı́mico e sem campo magnético externo. Cálculos fornecem
Π
mn
p̃j p̃l
α m
jkl
jl
= 2 ηj Ψ(p) g − 2 + iφ(p) p̃k ηln
vF
p̃
(93)
com jkl sendo o tensor de Levi-Civita totalmente antissimétrico de acordo com
012 = 1, ηjn = diag(1, vF , vF ), p̃m ≡ ηnm pn , α = e2 /(4π) ' 1/137 é a constante de
estrutura fina. A estrutura tensorial de Πmn é unicamente definida por invariâncias de
gauge e quase-relativı́sticas para duas funções, Ψ e φ, que são
45
2mp̃ − (p̃ + 4m2 )arctanh(p̃/2m)
2p̃
2marctanh(p̃/2m)
φ(p) =
−1
p̃
Ψ(p) =
(94)
(95)
p
Aqui p ≡ + pj pj e assumimos m > 0. Pode-se ter uma impressão de que tensor
de polarização é singular no limite vF → 0 ou de que Πjk é grandemente reforçado pela
pequenez de vF . Uma analise mais cuidadosa mostra que isso não é verdade, o tensor de
polarização permanece finito no limite vF → 0 e a frequência prevista não desaparece,
p0 6= 0. Para condições externas mais complicadas, como um campo magnético ou para
um potencial quı́mico não nulo, a invariância de quase-Lorentz é quebrada e o tensor de
polarização tem uma forma mais complicada. A importância particular de Πjk é devido
ao fato desse tensor definir como o campo magnético se propaga através do grafeno. A
R
2
+ Sef f , onde a
ação quadrática completa para o campo eletromagnético é − 41 d4 xFµν
3
ação efetiva é confinada a superfı́cie do grafeno que localizamos em x = 0. As equações
de movimento dessa ação contêm um termo singular
∂µ F µν + δ(x3 )Πνρ Aρ = 0
(96)
Estendemos Π a uma matriz 4 × 4 com Π3µ = Πµ3 = 0. A equação acima descreve
a propagação livre do campo eletromagnético fora da superfı́cie x3 = 0 sujeito a condições
apropriadas
Aµ |x3 =+0 = Aµ |x3 =−0 ,
(∂3 Aµ ) |x3 =+0 −(∂3 Aµ ) |x3 =−0 = Πµ ν Aν |x3 =0
(97)
sobre a superfı́cie.
Podemos interpretar o tensor de polarização em termos da condutividade do grafeno, onde a variação da ação efetiva com respeito a Ak produz um valor de espera da
corrente elétrica no grafeno j k ' Πkl Al .
46
4 CÁLCULOS DO OPERADOR DE POLARIZAÇÃO
4.1 Uma camada de grafeno - Equação de Dirac acoplada ao campo
eletromagnético
Com o intúito de apresentar os cálculos do operador de polarização advindo da ação
/ iremos rever rapidamente as notações compactas que simplificam o cálculo do
d3 xψ̄ Dψ
tensor de polarização tornando o cálculo realizado para o caso especı́fico do Grafeno
equivalente ao de uma ação de Dirac usual em D = 3(WEINBERG, 1996). Partindo das
definições usuais da métrica no espaço-tempo de minkowski em D = 3, (ηµν = (+, −, −))
e das regras de comutaçďão das matrizes γ:
R
{γ µ , γ ν } = 2η µν ,
e da regra de comutação
[γ µ , γ ν ] = i µν σ γ σ ,
somos capazes de obter as matrizes redefinidas que aparecem no problema do Grafeno
utilizando o seguinte tensor:

T µν
1

= diag(1, vF , vF ) =  0
0
0
vF
0

0

0 .
vF
(98)
Onde vemos as matrizes γ µ são reescaladas para γ̃ µ como γ̃ 0 = γ 0 para a parte temporal
e γ̃ i = vF γ i para a parte espacial. Claro está que as matrizes são verdadeiramente
reescaladas através deste tensor, uma vez que estas devem obedecer as seguintes regras:
γ̃ 0 = γ 0
γ̃ i = vF γ i ,
γ̃ 0 , γ̃ 0 = 2
i j
γ̃ , γ̃
= −2vF2 δ ij ,
{γ̃ µ , γ̃ ν } = 2η̃ µν .
47
Onde:
η̃ µν = (+1, −vF2 , −vF2 ),
(99)
[γ̃ µ , γ̃ ν ] = i αβ σ T ν β T µ α (T −1 )σ ρ γ̃ ρ ,
(100)
γ̃ µ = T µ ν γ ν
γ σ = (T −1 )σ µ γ̃ µ ,
(101)
p̃µ = T µ ν pν
(T −1 )
σ
µ
p̃µ = pσ
σ
pσ = (T −1 )
µ
T µ ν pν ,
(102)
Embora tenhamos definido a ação em Minkowsky, e realizemos os cálculos das
integrais também em Minkowsky é conveniente lembrar que para propagadores do tipo
Yukawa sempre é possı́vel realizar uma rotação de wick para o Euclideano na realização
dos cálculos das integrais. O motivo de lembrar aqui este fato ficará claro quando formos
realizar o o cálculo envolvendo duas camadas de Grafeno, onde uma rotação de Wick não
é bem definida devido a natureza dos pólos do propagador. A ação de Dirac acoplada ao
campo eletromagnético é:
Z
S =
d3 x iψ̄γ̃ µ (∂µ + ieAµ )ψ + mψ̄ψ.
(103)
Para realizar a bozonização, por meio de regras de Feynmann, devemos obter o propagador
livre. Pra tanto iremos nos utilizar da simples técnica de obter o mesmo à partir da
equação de movimento.
δL
= iγ̃ µ ∂µ ψ + mψ − eγ̃ µ ψAµ = 0
δ ψ̄
iγ̃ µ ∂µ ψ + mψ = eγ̃ µ ψAµ
σ ≡ eγ̃ µ ψAµ
48
Obtemos portanto diretamente a função de Green, onde G é a
4
(−γ̃ µ kµ + m)ψ = σ
ψ = Gσ
(−γ̃ µ kµ + m)Gσ = σ
(−γ̃ µ kµ + m)G = 1
G = (aγ̃ ν kν + b)
−aγ̃ µ γ̃ ν kµ kν + maγ̃ ν kν − bγ̃ µ kµ + mb = 1
Usando a relação de anti-comutação, {γ̃ µ , γ̃ ν } = γ̃ µ γ̃ ν + γ̃ ν γ̃ µ
a
− {γ̃ µ , γ̃ ν } kµ kν + maγ̃ ν kν − bγ̃ µ kµ + mb = 1
2
, e tendo em vista que as as matrizes : γ̃ 0 = γ 0 , γ̃ 1,2 = vF γ 1,2 carregam a velocidade de
Férmi. Transferimos a escala das matrizes γ̃ para os momentos kµ
a
− {γ µ , γ ν } k̃µ k̃ν + maγ ν k̃ν − bγ µ k̃µ + mb = 1
2
de tal forma que estes novos momentos k̃µ nada mais são que os momentos antigos reescalonados. Lembrando que:
{γ µ , γ ν } = 2η µν
, temos
a
− 2η µν k̃µ k̃ν + maγ ν k̃ν − bγ µ k̃µ + mb = 1
2
4
Usando a transformada de Fourier para substituir a derivada parcial pelo termo correspondente no
espaço de momento:
Z
ϕ(k) =
d3 x e−ik.x ϕ(x)
Z
ϕ(x) =
d3 k eik.x ϕ(k)
Z
∂µ ϕ(x) = ikµ d3 k eik.x ϕ(k)
Onde ∂µ ⇒ ikµ .
49
.
−ak̃ ν k̃ν + maγ ν k̃ν − bγ µ k̃µ + mb = 1
−ak̃ 2 + (ma − b)γ µ k̃µ + mb = 1
(
ma − b = 0
b = ma
−ak̃ 2 + mb = 1
−ak̃ 2 + m2 a = 1
a(−k̃ 2 + m2 ) = 1
a=
−1
(k̃ 2 − m2 )
.
Desta forma obtemos para propagador dos férmions:
G=−
i
(γ µ k̃µ + m)
(k̃ 2 − m2 )
(104)
Como é necessário obter as regras de Feynmann para realizar o cálculo a dois campos de calibre externos, vamos estudar o vértice de interações. Sabendo que o momento
P
total no vértice é conservado, i(−eγ̃ µ δ( p)), podemos utilizando teorema de Wick determinar facilmente a integral a ser calculada para a função de duas patas externas de
calibre a um loop como sendo:
tr(−ieγ̃ µ hψ̄(k + p)ψ(k + p)i(−ieγ̃ ν )hψ̄(k)ψ(k)i) =
!
β
α
k̃
+
m)
−i(γ
(
k̃
+
p̃)
+
m)
−i(γ
α
β
.
e2 tr γ̃ µ
γ̃ ν
2
2
2
(k̃ + p̃) − m
k̃ − m2
Agora, precisamos escrever todas as matrizes γ sem til para calcularmos o traço.
!
α
β
−i(γ (k̃ + p̃)α + m) λ −i(γ k̃β + m)
e2 T µ σ T ν λ tr γ σ
γ
=
(k̃ + p̃)2 − m2
k̃ 2 − m2


σ α λ β
σ α λ
σ λ β
2 σ λ
γ γ γ γ (k̃ + p̃)α k̃β + mγ γ γ (k̃ + p̃)α + mγ γ γ k̃β + m γ γ 
h
ih
i
e2 T µ σ T ν λ tr 
2
2
2
2
k̃ − m
(k̃ + p̃) − m
(105)
50
Integrando a eq. (105) em relação ao momento k.


Z
3
σ α λ β
σ α λ
σ λ β
2 σ λ
dk
γ γ γ γ (k̃ + p̃)α k̃β + mγ γ γ (k̃ + p̃)α + mγ γ γ k̃β + m γ γ 
h
ih
i
e2 T µ σ T ν λ
tr 
3
(2π)
(k̃ + p̃)2 − m2 k̃ 2 − m2
(106)
Reescalando a variável de integração.


Z
3
σ α λ β
σ α λ
σ λ β
2 σ λ
2
d k̃
γ γ γ γ (k̃ + p̃)α k̃β + mγ γ γ (k̃ + p̃)α + mγ γ γ k̃β + m γ γ 
e µ ν
h
ih
i
T σT λ
tr 
2
3
vF
(2π)
(k̃ + p̃)2 − m2 k̃ 2 − m2
(107)
Apenas para não carregar excessivamente a notação iremos, por hora, trocar p̃ ⇒ p e
k̃ ⇒ q.
σ α λ β
Z
γ γ γ γ (q + p)α qβ + mγ σ γ α γ λ (q + p)α + mγ σ γ λ γ β qβ + m2 γ σ γ λ
d3 q
e2 µ ν
T σT λ
tr
vF2
(2π)3
[(q + p)2 − m2 ] [q 2 − m2 ]
(108)
Do traço das matrizes γ.
5
tr(γ σ γ λ ) = η σλ
i σαλ
tr(γ σ γ α γ λ ) =
2
tr(γ σ γ α γ λ γ β ) = η σα η λβ − η αβ η σλ + η σβ η αλ .
Obtemos realizando o cálculo do traço das matrizes γ e as devidas contrações.
d3 q (q + p)λ q σ + (q + p)σ q λ − η σλ (q + p)α qα + m2 η σλ + 2i σαλ pα m
=
(2π)3
[(q + p)2 − m2 ] [q 2 − m2 ]
Z
d3 q 2(q + p)σ q λ − η σλ [(q + p)α qα − m2 ] + 2i mσαλ pα
e2 µ ν
T σT λ
=
vF2
(2π)3
[(q + p)2 − m2 ] [q 2 − m2 ]
Z
e2 µ ν
d3 q 2q σ q λ + 2pσ q λ − η σλ (q 2 + pα qα − m2 ) + 2i mσαλ pα
T σT λ
vF2
(2π)3
[(q + p)2 − m2 ] [q 2 − m2 ]
(109)
e2 µ ν
T σT λ
vF2
Z
De modo a resolver essa integral, fazendo uso de regularização dimensional(RAMOND,
1989),vamos reescrever o denominador usando a parametrização de Feynman. O objetivo
5
Os cálculos do traço das matrizes γ estão explı́citos no apêndice 1
51
desse método é reduzir os dois fatores no denominador em um único polinômio quadrático
em q. O preço é a introdução de um parâmetro auxiliar para ser integrado.
1
=
ab
Z
1
0
dx
[ax + b(1 − x)]2
(110)
onde, a ≡ (q + p)2 − m2 e b ≡ q 2 − m2
1
=
[(q + p)2 − m2 ] [q 2 − m2 ]
Z
1
1
dx
[(q + p)2 x − m2 x + q 2 − m2 − x(q 2 − m2 )]2
Z 1
1
=
dx
[q 2 + 2qpx + p2 x − m2 ]2
0
0
(111)
Substituindo (111) em (109), obtemos:
Z 1 Z
d3 q 2q σ q λ + 2pσ q λ − η σλ (q 2 + pα qα − m2 ) + 2i mσαλ pα
e2 µ ν
T σT λ
dx
.
vF2
(2π)3
[q 2 + 2qpx + p2 x − m2 ]2
0
(112)
Agora temos um denominador escrito em uma forma conhecida e podemos resolver em
d3 q usando a integração dimensional.
Z
Γ(A − ω)
d2ω q
=
2ω
2
2
A
ω
(2π) (q + 2qQ + M )
(4π) Γ(A)(M 2 − Q2 )A−ω
(113)
Onde, Q ≡ px e M 2 = p2 x − m2 . Para os termos da integral que não dependem do
momento no numerador.
Z
d3 q
(2π)3
Z
0
1
1
dx
=
[q 2 + 2qQ + M 2 ]2
Z
1
dx Γ(1/2)
1
3/2
(4π)
Γ(2) [−x(x − 1)p2 − m2 ]1/2
dx π 1/2
1
3/2
4π
1 [−x(x − 1)p2 − m2 ]1/2
0
Z
1
=
0
Z
= −
0
1
dx
1
8π [x(x − 1)p2 + m2 ]1/2
(114)
Para os termos que dependem de uma potência de qµ .
Z
d2ω q qµ
Γ(A − ω)
Qµ
=−
2ω
2
2
A
ω
2
(2π) (k + 2kQ + M )
(4π) Γ(A) (M − Q2 )A−ω
Onde, Qµ = xpµ .
Resolvendo para os termos que dependem de qα e q λ .
(115)
52
d3 q qα
x pα
x pα π 1/2
1
=
−
=
3
2
2
2
3/2
2
2
2
2
1/2
(2π) (q + 2qQ + M )
(4π) (−x p − m + p x)
8π [x(x − 1)p2 + m2 ]1/2
Z
(116)
E para q λ :
1
x pλ
8π [x(x − 1)p2 + m2 ]1/2
(117)
Para os termos que dependem do produto q µ q ν .
d(2ω) q
qµ qν
=
(2π)2ω (q 2 + 2kQ + M 2 )A
Γ(A − ω)
1 µν Γ(A − 1 − ω)
1
µ ν
Q Q
+ η
(4π)ω Γ(A)
(M 2 − Q2 )A−ω 2
(M 2 − Q2 )A−1−ω
Z
(118)
Onde, Qµ Qν = x2 pµ pν .
Resolvendo para o termo que depende de q σ q λ .
d3 q q σ q λ
=
(2π)3 (q 2 + 2qQ + M 2 )2
1
Γ(2 − 3/2)
1 σλ
Γ(1 − 3/2)
2 σ λ
+ η
xp p 2
(4π)3/2 Γ(2)
(p x − m2 − p2 x2 )1/2 2
(p2 x − m2 − p2 x2 )−1/2
1
1 σλ
π 1/2
2π 1/2
2 σ λ
=
xp p 2
+ η
(4π)3/2
(p x − m2 − p2 x2 )1/2 2
(p2 x − m2 − p2 x2 )−1/2
(
)
1
x2 p σ p λ
1/2
=
+ η σλ x(1 − x)p2 − m2
1/2
2
2
8π [x(1 − x)p − m ]
(
)
x2 p σ p λ
1
1/2
=−
+ η σλ (x(x − 1)p2 + m2 )
8π [x(x − 1)p2 + m2 ]1/2
Z
(119)
Para os termos que dependem de q 2 .
53
Z
q2
d2ω q
=
(2π)2ω (q 2 + 2qQ + M 2 )A
Γ(A − ω)
1
2ω Γ(A − 1 − ω)
2
Q
+
(4π)ω Γ(A)
(M 2 − Q2 )A−ω
2 (M 2 − Q2 )A−1−ω
(120)
Onde, Q2 = x2 p2 .
Resolvendo para o termo que depende de q 2 .
d3 q q 2
=
(2π)3 (q 2 + 2qQ + M 2 )2
p2 x2 (π)1/2
3
2(π)1/2
1
+
(4π)3/2 (p2 x − m2 − p2 x2 )1/2 2 (p2 x − m2 − p2 x2 )−1/2
1
3
p 2 x2
=
+
8π (x(1 − x)p2 − m2 )1/2 (x(1 − x)p2 − m2 )−1/2
"
#
x2 p 2
1
1/2
=−
+ 3 x(x − 1)p2 + m2
8π [x(x − 1)p2 + m2 ]1/2
Z
(121)
e substituindo as integrais calculadas em d3 q.
e2 µ ν
T σT λ
vF2
Z
1
dx
0
e2 µ ν 1
T σT λ
vF2
8π
+
Z
1
Z
d3 q 2q σ q λ + 2pσ q λ − η σλ (q 2 + pα qα − m2 ) + 2i mσαλ pα
=
(2π)3
[q 2 + 2qpx + p2 x − m2 ]2
(
dx −
0
2xpσ pλ
[x(x − 1)p2 +
−
m2 ]1/2
+
η σλ xp2
[x(x − 1)p2 + m2 ]1/2
2x2 pσ pλ
[x(x − 1)p2 +
m2 ]1/2
η σλ x2 p2
1/2
− 2η σλ x(x − 1)p2 + m2
1/2
+ 3η σλ x(x − 1)p2 + m2
[x(x − 1)p2 +
)
η σλ m2
i
mσαλ pα
−
−
=
[x(x − 1)p2 + m2 ]1/2 2 [x(x − 1)p2 + m2 ]1/2
m2 ]1/2
54
e2 µ ν 1
T σT λ
vF2
8π
+
(
1
Z
dx −
0
η σλ [x(x − 1)p2 ]
[x(x − 1)p2 + m2 ]1/2
e2 µ ν 1
T σT λ
vF2
8π
Z
e2 µ ν 1
T σT λ
vF2
8π
Z
2pσ pλ [x(x − 1)]
[x(x − 1)p2 +
−
(
1
dx −
0
(
1
dx
1/2
+ η σλ x(x − 1)p2 + m2
m2 ]1/2
η σλ m2
[x(x − 1)p2 + m2 ]1/2
2pσ pλ [x(x − 1)]
[x(x − 1)p2 + m2 ]1/2
i
mσαλ pα
−
2 [x(x − 1)p2 + m2 ]1/2
)
=
2η σλ [x(x − 1)p2 ]
+
[x(x − 1)p2 + m2 ]1/2
)
i
mσαλ pα
−
=
2 [x(x − 1)p2 + m2 ]1/2
2(η σλ p2 − pσ pλ ) [x(x − 1)]
[x(x − 1)p2 + m2 ]1/2
0
mσαλ pα
i
−
2 [x(x − 1)p2 + m2 ]1/2
)
=
(122)
Agora precisamos resolver duas integrais em x.
e2 µ ν 1
T σT λ
vF2
4π
(
p2 Θσλ
Z
1
dx
0
6
[x(x − 1)]
[x(x − 1)p2 + m2 ]1/2
i
− mσαλ pα
4
Z
0
1
dx
[x(x − 1)p2 + m2 ]1/2
)
=
(123)
onde:
Θνµ = η νµ −
6
kν kµ
k2
As integrais em x foram resolvidas no Mapple.
55
Z
1
dx
[x(x − 1)p2 + m2 ]1/2
0
Z
1
dx
0
p
2
1
= 2 p arctanh
p2
[x(x − 1)]
[x(x − 1)p2 + m2 ]1/2
1m
−
2 p2
1 m2
+ 2
4
p
1m
=
−
2 p2
p !
p2
= 2I1
2m
1 m2
+ 2
4
p
(124)
I1
2
m
p
σλ
2
I1 Θ =
−
+ m I1 Θσλ
2
4
(125)
(126)
Substituindo.
2
e2 µ ν 1
m
p
i σαλ
2
σλ
T σT λ
−
+ m I1 Θ − m pα I1
=
vF2
4π
2
4
2
2
p
i σαλ
e2 µ ν 1 m σλ
2
σλ
T σT λ
Θ −
+ m I1 Θ − m pα I1
vF2
4π 2
4
2
(127)
Este resultado resume o cálculo necessário para se obter a ação bozonizada relativa a ação
fermiônica do grafeno. Este resultado é já conhecido na literatura.
4.2 Duas camadas de grafeno
Agora iremos realizar o cálculo relativo a duas camadas de Grafeno. Em particular é interessante tornar a explicar que o cálculo de duas camadas é interessante não
apenas devido ao problema do grafeno em si mas também devido ao comportamento que
estas duas camadas conectadas por um potencial escalar apresentam. Como veremos a
seguir o comportamento confinado dos propagadores de férmions, i-particles (SORELLA,
2011), apresentam interessantes ligações nas mais diversas áreas. Apenas para citar um
tema distante do que estamos estudando que matemáticamente apresenta enorme similaridade com este problema é o caso de duas membranas supersimétricas com cargas opostas
que corresponde a um dos mecanismos associados ao confinamento atualmente em estudos. Partindo de uma ação de Dirac onde temos férmions na fundamental de SU(2)(LI;
ZHANG; WU, 2013) e realizando todos os cálculos no Euclideano (devido as i-particles
56
serem bem definidas apenas neste caso) temos:
T a , T b = ifabc T c ,
1
T a = σa,
2
1
i
T a T b = δ ab 1 + f abc T c
4
2
σ a σ b = δab 1 + iabc σ c
(128)
(129)
Escrevendo a ação é importante relembrar que as matrizes γ continuam reescaladas, apenas omitimos a redefinição por uma questão de simplicidade.
Z
S=
Z
S=
d3 x i ψ̄ i γ̃ µ (∂µ δij − ig(T a )ij Aµ a ) ψ j − imψ̄ i ψ i − 2ψ̄ i (T a )ij ϕa ψ j
(130)
d3 x i ψ̄ i γ̃ µ ∂µ ψ i − imψ̄ i ψ i − 2ψ̄ i (T a )ij ϕa ψ j + g ψ̄ i γ̃ µ (T a )ij Aµ a ψ j
(131)
Os dois primeiros termos da ação preservam a interação entre os vizinhos mais
próximos. O terceiro termo é um termo de mistura dos campos (potencial) que acontece
via acoplamento SU(2)(essa é apenas uma forma de colocar dois férmions, um para cada
camada), onde a matriz (T a )ij , onde a = 1, 2, 3 (número de geradores do grupo) faz o
acoplamento entre dois férmions(excitações coletivas) que pertencem um a cada plano do
grafeno e o termo ϕa = mδ a3 faz o papel de um potencial quı́mico ( “gap”, massa) e
contribui para o propagador.
Nesse caso, existem duas situações possı́veis, a primeira os dois planos interagem
entre si e a segunda um plano não sabe da existência do outro, quando o campo ϕa não
possui valor de espera.
Vamos calcular o propagador para essa ação, mas antes colocaremos o termo de
potencial efetivo na forma bilinear, lembrando que trataremos do caso em que ϕa = mδ a3 ,
portanto a interação dos férmions com um campo escalar contribui para o propagador.
iψ̄ i γ̃ µ ∂µ ψ i − imψ̄ i ψ i − 2ψ̄ i (T a )ij ϕa ψ j = ψ̄ i γ̃ µ ∂µ ψ i − imψ̄ i ψ i − mψ̄ i (σ a )ij ϕa ψ j
(132)
Escolhendo a matriz σ 3 , temos:
Z
S=
d3 x ψ̄ i (iγ̃ µ ∂µ − im) δij − m(σ 3 )ij ψ j + g ψ̄ i γ̃ µ (T a )ij Aµ a ψ j
(133)
57
O sinal do termo de massa depende da escolha dos elementos da matriz σ 3 . Da equação
de movimento temos:
µ
j
δL
3
=
(iγ̃
∂
−
im)
δ
−
m(σ
)
ψ + gγ̃ µ (T a )ij Aµ a ψ j = 0
µ
ij
ij
δ ψ̄ i
(134)
Substituindo na ação ∂µ ⇒ ikµ .
− (γ̃ µ kµ + im) δij + m(σ 3 )ij ψ j = −gγ̃ µ (T a )ij Aµ a ψ j
(135)
− (γ̃ µ kµ + im) δij + m(σ 3 )ij ψ j = σ
ψ j = Gσ
Onde, σ ≡ −gγ̃ µ (T a )ij Aµ a ψ j é uma fonte.
− (γ̃ µ kµ + im) δij + m(σ 3 )ij Gσ = σ
µ
(γ̃ kµ + im) δij + m(σ 3 )ij Gjk = −δik
(136)
(γ̃ µ kµ + im)Gik + m(σ 3 )ij Gjk = −δik
(137)
onde
σ3 =
1 0
0 −1
!
(138)
Os propagadores G12 e G21 são nulos. Calculando o propagador G11 .
(γ̃ µ kµ + im)G11 + mG11 = −1
(139)
G11 = A(γ̃ ν kν ) + Bm
(140)
58
A(γ̃ µ kµ + im)(γ̃ ν kν ) + Bm(γ̃ µ kµ + im) + mAγ̃ ν kν + Bm2 = −1
Aγ̃ µ kµ γ̃ ν kν + imAγ̃ ν kν + Bmγ̃ µ kµ + im2 B + mAγ̃ ν kν + Bm2 = −1
Ak 2 + imAγ̃ ν kν + Bmγ̃ µ kµ + im2 B + mAγ̃ ν kν + Bm2 = −1
(141)
Novamente, transferindo a escala das matrizes γ̃ para os momentos.
Ak̃ 2 + imAγ ν k̃ν + Bmγ µ k̃µ + im2 B + mAγ ν k̃ν + Bm2 = −1
(142)
Ak̃ 2 + mγ ν k̃ν [B + A(i + 1)] + m2 B(i + 1) = −1
(143)
Onde,
B + A(1 + i) = 0,
B = −A(1 + i)
Ak̃ 2 − Am2 (1 + i)2 = −1
A=
k̃ 2
G11 =
−1
,
− 2im2
B=
k̃ 2
(144)
(145)
−1
(1 + i)
− 2im2
o
n
−1
γ µ k̃µ − (1 + i)m
k̃ 2 − 2im2
(146)
(147)
(148)
Calculando o propagador G22 .
(γ̃ µ kµ + im)G11 − mG11 = −1
(149)
G22 = A(γ̃ ν kν ) − Bm
(150)
59
A(γ̃ µ kµ + im)(γ̃ ν kν ) + Bm(γ̃ µ kµ + im) − mAγ̃ ν kν + Bm2 = −1
Aγ̃ µ kµ γ̃ ν kν + imAγ̃ ν kν − Bmγ̃ µ kµ − im2 B − mAγ̃ ν kν + Bm2 = −1
Ak 2 + imAγ̃ ν kν − Bmγ̃ µ kµ − im2 B − mAγ̃ ν kν + Bm2 = −1
(151)
Novamente, transferindo a escala das matrizes γ̃ para os momentos.
Ak̃ 2 + imAγ ν k̃ν − Bmγ µ k̃µ − im2 B − mAγ ν k̃ν + Bm2 = −1
(152)
Ak̃ 2 + mγ ν k̃ν [A(i − 1) − B] − m2 B(i − 1) = −1
(153)
Onde,
A(i − 1) − B = 0,
B = A(i − 1)
Ak̃ 2 − Am2 (i − 1)2 = −1
A=
k̃ 2
G22 =
−1
,
+ 2im2
B=
(154)
(155)
(i − 1)
+ 2im2
k̃ 2
n
o
−1
γ µ k̃µ − (i − 1)m
k̃ 2 + 2im2
Gij = δi1 δj1 G11 (k̃) + δi2 δj2 G22 (k̃)
(156)
(157)
(158)
Onde, visando a simplificação dos cálculos subsequentes definiremos dois projetores
δi1 δj1 = O1 ij
(159)
δi2 δj2 = O2 ij .
(160)
Sua utilizção ao longo dos cálculos ficará evidente ao longo deste.
Gij = O1 ij G11 (k̃) + O2 ij G22 (k̃)
(161)
60
Da mesma forma como procedemos anteriormente para o caso de uma camada
de Grafeno vamos agora obter a regra de Vértice e calcular o loop. Sendo a regra de
P
Feynmann associada ao vértice dada por: −gγ̃ µ (T a )ij δ( p)
g
2
Z
g2 µ ν
T σT λ
vF2
Z
o
d k tr γ̃ (T )ij Gjk (k̃)γ̃ (T )kl Gli (k̃ − p̃) =
3
n
n
µ
a
ν
b
o
d k̃ tr γ (T )ij Gjk (k̃)γ (T )kl Gli (k̃ − p̃) =
3
σ
a
λ
b
(162)
A variável de integração foi reescalada. Novamente por simplicidade vamos renomear as variáveis p̃ ⇒ p e k̃ ⇒ q. Calculando o traço separadamente.
tr γ σ (T a )ij O1 jk G11 (q) + O2 jk G22 (q) γ λ (T b )kl O1 li G11 (q − p) + O2 li G22 (q − p) =
(163)
tr γ σ (T a )ij O1 jk G11 (q) + (T a )ij O2 jk G22 (q) γ λ (T b )kl O1 li G11 (q − p) + (T b )kl O2 li G22 (q − p) =
(164)
Usando as equações 159 e 160 e fazendo as devidas contrações.
tr γ σ [(T a )i1 δk1 G11 (q) + (T a )i2 δk2 G22 (q)] γ λ (T b )k1 δi1 G11 (q − p) + (T b )k2 δi2 G22 (q − p) =
(165)
tr γ σ (T a )i1 δk1 G11 (q)γ λ (T b )k1 δi1 G11 (q − p) + γ σ (T a )i2 δk2 G22 (q)γ λ (T b )k1 δi1 G11 (q − p)+
γ σ (T a )i1 δk1 G11 (q)γ λ (T b )k2 δi2 G22 (q − p) + γ σ (T a )i2 δk2 G22 (q)γ λ (T b )k2 δi2 G22 (q − p) =
(166)
Fazendo, i = 1, k = 1 no primeiro termo, i = 1, k = 2 no segundo, i = 2, k = 1 no terceiro
e i = 2, k = 2 no último, teremos:
tr γ σ G11 (q)γ λ G11 (q − p)(T a )11 (T b )11 + γ σ G22 (q)γ λ G11 (q − p)(T a )12 (T b )21 +
γ σ G11 (q)γ λ G22 (q − p)(T a )21 (T b )12 + γ σ G22 (q)γ λ G22 (q − p)(T a )22 (T b )22 =
(167)
Usando os produtos das matrizes T .
61
(T a )11 T b
(T a )12 T b
(T a )21 T b
(T a )22 T b
11
21
12
22
1 a3 b3
δ δ
4
1 a
1 ab
=
(σ )12 (σ b )21 =
δ − δ a3 δ b3 + iab3
4
4
1 ab
1 a
(σ )21 (σ b )12 =
δ − δ a3 δ b3 − iab3
=
4
4
1 a3 b3
=
δ δ
4
=
(168)
1 a3 b3 σ
δ δ γ G11 (q)γ λ G22 (q − p) + γ σ G22 (q)γ λ G22 (q − p) +
4
1 ab
δ − δ a3 δ b3 γ σ G11 (q)γ λ G22 (q − p) + γ σ G22 (q)γ λ G11 (q − p) +
4
i ab3 σ
λ
σ
λ
γ G22 (q)γ G11 (q − p) − γ G11 (q)γ G22 (q − p) =
4
tr
(169)
Quando encontramos termos que não se misturam devemos procurar por projetores. Vamos tentar ver de outra forma.
1
Oij+ = (δij + 2(T 3 )ij )
2
1
Oij− = (δij − 2(T 3 )ij )
2
(170)
Onde Oij+ só projeta i = j = 1 e Oij− só projeta i = j = 2.
Dá definição de projetor.
+
Oij+ Ojl
= Oil+
−
Oij+ Ojl
= 0,
+
=0
Oij− Ojl
−
Oij− Ojl
= Oil−
(
Gij = −
Onde.
Oij+ A(k, m) Oij− B(k, m)
+ 2
k 2 − 2im2
k + 2im2
(171)
)
(172)
62
A(k) = γ µ kµ − m(1 + i)
B(k) = γ µ kµ + m(1 − i)
(173)
Precisamos da álgebra entre as matrizes
T a , O+
= ia3 c T c
T a , O−
= −ia3 c T c
(174)
Retornando ao loop, agora com o propagador reescrito.
tr γ σ (T a )ij Gjk (k)γ λ (T b )kl Gli (k − p) =
"
(
tr γ σ (T a )ij
(175)
#
)
+
−
−
+
Ojk
B(k)
Ojk
A(k)
O
O
B(k
−
p)
A(k
−
p)
li
li
+ 2
γ λ (T b )kl
+
=
2
2
2
2
2
k − 2im
k + 2im
(k − p) − 2im
(k − p)2 + 2im2
(176)
(
tr γ σ A(k)γ λ B(k − p)
[k 2 − 2im2 ] [(k − p)2 + 2im2 ]
σ
)
λ
a
tr
γ
B(k)γ
A(k
−
p)
−
+tr (T )ij Ojk
(T b )kl Oli+
=
[k 2 + 2im2 ] [(k − p)2 − 2im2 ]
+
tr (T a )ij Ojk
(T b )kl Oli−
(177)
+
tr (T a )ij Ojk
(T b )kl Oli+ = 0
−
tr (T a )ij Ojk
(T b )kl Oli− = 0
1 ab
+
tr (T a )ij Ojk
(T b )kl Oli− =
δ − δ a3 δ b3 − iab3 = P−ab
2
a
1 ab
−
+
b
δ − δ a3 δ b3 + iab3 = P+ab
tr (T )ij Ojk (T )kl Oli =
2
(178)
63
σ
)
σ
λ
λ
tr
γ
B(k)γ
A(k
−
p)
tr
γ
A(k)γ
B(k
−
p)
+ P+ab 2
=
P−ab 2
[k − 2im2 ] [(k − p)2 + 2im2 ]
[k + 2im2 ] [(k − p)2 − 2im2 ]
(
(179)
Calculando o traço das matrizes gama:
No primeiro fator.
tr γ σ A(k)γ λ B(k − p) = tr γ σ [γ α kα − m(1 + i)] γ λ γ β (k − p)β + m(1 − i) ,
(180)
que fornece:
= tr γ σ γ α γ λ γ β kα (k − p)β + m(1 − i)tr γ σ γ α γ λ kα − m(1 + i)tr γ σ γ λ γ β (k − p)β
− 2m2 tr γ σ γ λ ,
(181)
e por fim:
i
i
k σ (k − p)λ + k λ (k − p)σ − η σλ kα (k − p)α − m(1 − i) σαλ kα − m(1 + i) σλβ (k − p)β − 2m2 η σλ
2
2
(182)
Agora o traço do segundo fator.
tr γ σ B(k)γ λ A(k − p) = tr γ σ γ β kβ + m(1 − i) γ λ [γ α (k − p)α − m(1 + i)]
(183)
= tr γ σ γ β γ λ γ α kβ (k − p)α − m(1 + i)tr γ σ γ β γ λ kβ + m(1 − i)tr γ σ γ λ γ α (k − p)α
− 2m2 tr γ σ γ λ
(184)
i
i
k σ (k − p)λ + k λ (k − p)σ − η σλ k α (k − p)α + m(1 + i) σλβ kβ + m(1 − i) σλα (k − p)α − 2m2 η σλ
2
2
(185)
Somando os dois termos e usando a parametrização de Feynmann (110), onde para
os denominadores de P−ab , a = k 2 − 2im2 e b = (k − p)2 + 2im2 , para os termos P+ab ,
a = k 2 + 2im2 e b = (k − p)2 − 2im2 , obtemos
64
d3 k
1
1
3
2
2
2
(2π) [k − 2im ] [(k − p) + 2im2 ]
o
n
m
k σ (k − p)λ + k λ (k − p)σ − η σλ kα (k − p)α − imσλα kα + (i − 1)σλα pα − 2m2 η σλ
2
Z
3
d
k
1
1
+P+ab
3
2
2
2
(2π) [k + 2im ] [(k − p) − 2im2 ]
n
o
m
k σ (k − p)λ + k λ (k − p)σ − η σλ kα (k − p)α + imσλα kα − (i + 1)σλα pα − 2m2 η σλ
2
(186)
P−ab
Z
Tratando os denominadores,
k 2 − 2im2 (1 − x) + (k − p)2 + 2im2 x = k 2 − 2xkp + xp2 + 4im2 x − 2im2
2
k + 2im2 (1 − x) + (k − p)2 − 2im2 x = k 2 − 2xkp + xp2 − 4im2 x + 2im2
(187)
1
d3 k
1
3
2
2
(2π) [k − 2xkp + xp + 2im2 (2x − 1)]
0
n
o
m
k σ (k − p)λ + k λ (k − p)σ − η σλ kα (k − p)α − imσλα kα + (i − 1)σλα pα − 2m2 η σλ
2
Z 1 Z
3
d
k
1
dx
+P+ab
(2π)3 [k 2 − 2xkp + xp2 + 2im2 (1 − 2x)]
0
n
o
m
σ
λ
λ
σ
σλ
σλα
α
σλα
2 σλ
k (k − p) + k (k − p) − η kα (k − p) + im kα − (i + 1) pα − 2m η
2
(188)
P−ab
Z
Z
dx
Usando as identidades,
k µ (k − p)ν
d3 k
(2π)3 (k 2 + 2kQ + M 2 )2
Z
d3 k
k α (k − p)α
(2π)3 (k 2 + 2kQ + M 2 )2
Z
d3 k
kµ
3
2
(2π) (k + 2kQ + M 2 )2
Z
d3 k
1
3
2
(2π) (k + 2kQ + M 2 )2
Z
Para a parte de P+ab :
Γ(1/2) [Qµ Qν − (M 2 − Q2 )η µν + Qµ pν ]
(4π)3/2
(M 2 − Q2 )1/2
Γ(1/2) [Qα (Qα + pα − 3M 2 + 3Q2 )]
=
(4π)3/2
(M 2 − Q2 )1/2
Γ(1/2)
Qµ
= −
3/2
2
(4π) (M − Q2 )1/2
Γ(1/2)
1
=
3/2
2
(4π) (M − Q2 )1/2
=
(189)
(190)
(191)
(192)
65
Q = −xp
M 2 = xp2 + 2im2 (1 − 2x)
(193)
Para a parte de P−ab :
Q = −xp
M 2 = xp2 + 2im2 (2x − 1)
(194)
Resolvendo as integrais em k:
Para o primeiro termo de P−ab usando a identidade 189:
k σ (k − p)λ
d3 k
=
(2π)3 [k 2 − 2xkp + xp2 + 2im2 (2x − 1)]
π 1/2 x2 pσ pλ − [xp2 + 2im2 (2x − 1) − x2 p2 ] η σλ − xpσ pλ
=
(4π)3/2
[xp2 + 2im2 (2x − 1) − x2 p2 ]1/2
1 xpσ pλ (x − 1) − [x(1 − x)p2 + 2im2 (2x − 1)] η σλ
8π
[x(1 − x)p2 + 2im2 (2x − 1)]1/2
Z
(195)
Resolvendo para o segundo termo de P−ab usando a identidade 189:
d3 k
k λ (k − p)σ
=
(2π)3 [k 2 − 2xkp + xp2 + 2im2 (2x − 1)]
π 1/2 x2 pλ pσ − [xp2 + 2im2 (2x − 1) − x2 p2 ] η λσ − xpλ pσ
=
(4π)3/2
[xp2 + 2im2 (2x − 1) − x2 p2 ]1/2
1 xpλ pσ (x − 1) − [x(1 − x)p2 + 2im2 (2x − 1)] η λσ
8π
[x(1 − x)p2 + 2im2 (2x − 1)]1/2
Z
Resolvendo para o terceiro termo de P−ab usando a identidade 190:
(196)
66
d3 k
η σλ k α (k − p)α
=
(2π)3 [k 2 − 2xkp + xp2 + 2im2 (2x − 1)]
π 1/2 η σλ {−xpα (−xpα + pα ) − 3 [xp2 + 2im2 (2x − 1)] + 3x2 p2 }
=
(4π)3/2
[x(1 − x)p2 + 2im2 (2x − 1)]1/2
1 η σλ {x2 p2 − 4xp2 − 6im2 (2x − 1) + 3x2 p2 }
=
8π
[x(1 − x)p2 + 2im2 (2x − 1)]1/2
Z
1 η σλ {4x2 p2 − 4xp2 − 6im2 (2x − 1)}
=
8π [x(1 − x)p2 + 2im2 (2x − 1)]1/2
1 η σλ {4x(x − 1)p2 − 6im2 (2x − 1)}
8π [x(1 − x)p2 + 2im2 (2x − 1)]1/2
(197)
Resolvendo para o quarto termo de P−ab usando a identidade 191:
Z
d3 k
kα
=
3
2
(2π) [k − 2xkp + xp2 + 2im2 (2x − 1)]
xpα
π 1/2
=
3/2
(4π) [x(1 − x)p2 + 2im2 (2x − 1)]1/2
1
xpα
8π [x(1 − x)p2 + 2im2 (2x − 1)]1/2
(198)
Resolvendo para o quinto e o sexto termo de P−ab usando a identidade 192:
Z
1
d3 k
=
(2π)3 [k 2 − 2xkp + xp2 + 2im2 (2x − 1)]
π 1/2
1
=
3/2
2
(4π) [x(1 − x)p + 2im2 (2x − 1)]1/2
1
1
8π [x(1 − x)p2 + 2im2 (2x − 1)]1/2
(199)
Juntando os termos 195, 196, 197, 198 e 199 de P−ab , mas tratando apenas o numerador:
67
2xpσ pλ (x − 1) − 2x(1 − x)p2 η σλ − 4im2 (2x − 1)η σλ − η σλ 4x(x − 1)p2
m
+η σλ 6im2 (2x − 1) − imσλα pα x + (i − 1)σλα pα − 2m2 η σλ =
2
m
2xpσ pλ (x − 1) − 2x(x − 1)p2 η σλ + 2im2 (2x − 1)η σλ − imσλα pα x + (i − 1)σλα pα − 2m2 η σλ =
2
σ λ
1
p
p
1
2
σλ
2
2
σλ
σλα
−x −
pα
i
−2x(x − 1)p η − 2 + 2im (2x − 1) − 2m η + m
p
2
2
(200)
Os resultados da integração em k para os termos de P+ab usando a identidade 189, 190,
191 e 192 são idênticos aos resultados de P−ab . Juntando os termos 195, 196, 197, 198 e
199 para tratar apenas o numerador de P+ab :
2x2 pσ pλ − 4im2 (1 − 2x) + 2x(1 − x)p2 η σλ − 2xpσ pλ
m
− x(x − 1)p2 − 6im2 (1 − 2x) − 3xp2 + 3x2 p2 η σλ + imσλα pα x − (i + 1)σλα pα − 2m2 η σλ =
2
(201)
2x(x − 1)pσ pλ − 4im2 (1 − 2x)η σλ − 2x(1 − x)p2 η σλ + x(1 − x)p2 η σλ
m
+6im2 (1 − 2x)η σλ + 3x(1 − x)p2 η σλ + imσλα pα x − (i + 1)σλα pα − 2m2 η σλ =
2 1
σ λ
2 σλ
2
2
σλ
σλα
2x(x − 1)p p − 2x(x − 1)p η + 2im (1 − 2x) − 2m η − m
−ix + (i + 1) pα =
2
σ λ
σλ
1
1
p p
2
2
2
σλα
σλ
−x +
−2x(x − 1)p η − 2 + 2im (1 − 2x) − 2m η − m
pα
i
p
2
2
(202)
Obtemos como resultado:
68
P−ab
8π
Z
1
dx
1
[x(1 −
+ 2im2 (2x − 1)]1/2
0
σλ
1
1
σλα
2 σλ
2
2
i
−2x(x − 1)p Θ (p) + 2im (2x − 1) − 2m η + m
−x −
pα
2
2
Z
P+ab 1
1
+
dx
2
8π 0
[x(1 − x)p + 2im2 (1 − 2x)]1/2
σλ
1
1
σλα
2 σλ
2
2
i
−2x(x − 1)p Θ (p) + 2im (1 − 2x) − 2m η − m
−x +
pα ,
2
2
x)p2
(203)
Onde
Θσλ = η σλ −
pσ pλ
p2
é o projetor transverso.
Resta resolvermos as integrais em x correspondentes aos termos que multiplicam
ab
P− , que são:
Z
1
dx
0
Z
1
dx
0
Z
1
dx
0
[−2x(x − 1)]
[x(1 − x)p2 + 2im2 (2x − 1)]1/2
2m2 [i(2x − 1) − 1]
[x(1 − x)p2 + 2im2 (2x − 1)]1/2
[i(1/2 − x) − 1/2]
[x(1 − x)p2 + 2im2 (2x − 1)]1/2
(204)
(205)
(206)
e os termos que multiplicam o P+ab
Z
1
dx
0
Z
1
dx
0
Z
1
dx
0
[−2x(x − 1)]
[x(1 − x)p2 + 2im2 (1 − 2x)]1/2
2m2 [i(1 − 2x) − 1]
[x(1 − x)p2 + 2im2 (1 − 2x)]1/2
[i(1/2 − x) + 1/2]
[x(1 − x)p2 + 2im2 (1 − 2x)]1/2
(207)
(208)
(209)
Resultado de 204:
m 12m3
1 (p4 + 12m4 )
p
−
+
p2
p4
p4
4 p2
(
" r
#
"r
#)
1 (p2 + 4im2 )
1
p2 (p2 + 4im2 )
p2
arctan
+ arctan
1−
2 −2im2
p2
2im2
2
p2
(210)
69
Resultado de 207:
m 12m3
1 (p4 + 12m4 )
p
+
+
p2
p4
p4
4 p2
(
" r
#
"r
#)
p2 (p2 − 4im2 )
p2
1
1 (p2 − 4im2 )
arctan
+ arctan
1−
2 2im2
p2
−2im2
2
p2
(211)
Resultado de 205:
2m2 (p2 + 4m2 )
8m3
p
−
p2
p2
p2
#
" r
(
" r
#)
1
1 (p2 + 4im2 )
1
p2 (p2 + 4im2 )
p2
+ arctan
1−
arctan
2 −2im2
p2
2 2im2
2
p2
(212)
Resultado de 208:
8m3
2m2 (p2 − 4m2 )
p
−
p2
p2
p2
(
" r
#
" r
#)
1 (p2 − 4im2 )
1
p2 (p2 − 4im2 )
1
p2
arctan
+ arctan
1−
2 2im2
p2
2 −2im2
2
p2
−
(213)
Resultado de 206:
2m
1 (p2 − 4m2 )
p
−
p2
p2
2 p2
#
"r
(
" r
#)
p2 (p2 + 4im2 )
p2
1 (p2 + 4im2 )
1
arctan
+ arctan
1−
2 −2im2
p2
2im2
2
p2
−
(214)
Resultado de 209:
2m
1 (p2 − 4m2 )
p
+
p2
p2
2 p2
(
" r
#
"r
#)
1
p2 (p2 − 4im2 )
p2
1 (p2 − 4im2 )
arctan
+ arctan
1−
2 2im2
p2
−2im2
2
p2
(215)
70
4.2.1 Análise em D=4
Em D=4 o traço de γ ı́mpar é zero, por isso não vão aparecer os termos com de
levi civita, caracterı́sticos de termos topológicos. É relevante ressaltar que se tivéssemos
férmions quirais o apareceria defido a γ 5 .
d4 k
1
1
4
2
2
2
(2π) [k − 2im ] [(k − p) + 2im2 ]
σ
k (k − p)λ + k λ (k − p)σ − η σλ k α (k − p)α − 2m2 η σλ
Z
d4 k
1
1
ab
+P+
(2π)4 [k 2 + 2im2 ] [(k − p)2 − 2im2 ]
σ
k (k − p)λ + k λ (k − p)σ − η σλ k α (k − p)α − 2m2 η σλ
P−ab
Z
(216)
d2ω k
k σ (k − p)λ
(2π)2ω (k 2 + 2kq + M 2 )2
1
q σ pλ
Γ(2 − ω)
qσ qλ
(M 2 − q 2 )
+
+
=
(4π)ω Γ(2) (M 2 − q 2 )2−ω 2(1 − ω) (M 2 − q 2 )2−ω (M 2 − q 2 )2−ω
(
)
Γ(2 − ω) q σ (q + p)λ + η σλ /2(1 − ω) (M 2 − q 2 )
=
(4π)ω Γ(2)
(M 2 − q 2 )2−ω
Z
(217)
Usando a parametrização de Feynmann para P−ab
1
1
=
2
2
2
[k − 2im ] [(k − p) + 2im2 ]
Z
1
0
dx
[k 2 − 2xkp + xp2 + 2im2 (2x − 1)]2
(218)
Integrando o primeiro termo:
1
k σ (k − p)λ (µ2 )2−ω
d2ω
=
(2π)2ω [k 2 − 2xkp + xp2 + 2im2 (2x − 1)]2
0
(
)
−xpσ (−xp + p)λ + η σλ /2(1 − ω) [x(1 − x)p2 + 2im2 (2x − 1)]
Z
Z
dx
Z
1
dx
0
Γ(2 − ω)(µ2 )2−ω
(4π)ω Γ(2)
[x(1 − x)p2 + 2im2 (2x − 1)]2−ω
(219)
q = −xp e M 2 = xp2 + 2im2 (2x − 1).
Para tratar as divergências que surgem em quatro dimensões usamos, ω = 2 − ,
depois separaremos a parte finita. É importante ressaltar que em D = 3 não temos o
problema de divergências. A integral dimensional é utilizada apenas como um mecanismo
Onde,
71
para regularização finita, ao passo que em D = 4 realmente é necessária uma regularização
para obter a parte finita das integrais.
Z
0
1
(
)
Γ()(4π) µ2 x(x − 1)pσ pλ − η σλ /2(1 − ) [x(1 − x)p2 + 2im2 (2x − 1)]
dx
=
(4π)2 Γ(2)
[x(1 − x)p2 + 2im2 (2x − 1)]2−ω
Z 1
dx
η σλ 2
2
σ λ
x(1 − x)p + 2im (2x − 1)
Γ() x(x − 1)p p −
2
2(1 − )
0 16π
−
p2
2im2
x(1 − x)
+
(2x − 1)
=
4πµ2 4πµ2
Usando as equações do apêndice 2:
1
1
p2 2im2
+ C1 + C2
1 − ln x(1 − x) 2 + 2 (2x − 1)
µ
µ
0
σλ η
σ λ
2
2
[1 + ln (4π)] x(x − 1)p p −
x(1 − x)p + 2im (2x − 1) =
2
Z
dx
16π 2
(220)
Tratando apenas o integrando e desprezando as ordens de 2 .
p2 2im2
1
+ C1 + C2 − ln x(1 − x) 2 + 2 (2x − 1)
µ
µ
2
p
2im2
−C1 ln x(1 − x) 2 + 2 (2x − 1)
µ
µ
σλ η
σ λ
2
2
[1 + ln (4π)] x(x − 1)p p −
x(1 − x)p + 2im (2x − 1) =
2
1
p2 2im2
+ C1 + C2 − ln x(1 − x) 2 + 2 (2x − 1)
µ
µ
2
2
p
2im
−C1 ln x(1 − x) 2 + 2 (2x − 1) + ln (4π)
µ
µ
p2 2im2
+C1 ln (4π) − ln x(1 − x) 2 + 2 (2x − 1)
µ
µ
σλ η
σ λ
2
2
ln (4π) x(x − 1)p p −
x(1 − x)p + 2im (2x − 1)
2
Voltando a integral em x:
(221)
72
Z
1
0
dx
16π 2
1
p2 2im2
+ C1 − ln x(1 − x) 2 + 2 (2x − 1) + ln (4π) + O()
µ
µ
σλ η
2
2
σ λ
x(1 − x)p + 2im (2x − 1) =
x(x − 1)p p −
2
(222)
Ficamos apenas com a parte finita em uma subtração mı́nima modificada.
Z 1
dx
p2 2im2
−ln x(1 − x) 2 + 2 (2x − 1)
2
µ
µ
0 16π
σλ
η
2
2
σλ
σ λ
=
(223)
x(x − 1)p − im (2x − 1)η
x(x − 1)p p +
2
O cálculo da integral do segundo termo de P−ab em (216) é idêntico ao resultado
anterior, apenas trocando σ → λ. Para integrar o terceiro termo trocamos σ → α e
λ → α. No último termo, o numerador do integrando não depende de k, então usamos a
identidade (113).
Organizando todos os termos do integrando em x.
1
dx
p2 2im2
+
(2x
−
1)
2x(x − 1)pσ pλ + η σλ x(x − 1)p2 −
−ln
x(1
−
x)
2
µ2
µ2
0 16π
2im2 (2x − 1)η σλ − 2m2 η σλ − η σλ x(x − 1)p2 − 2η σλ x(x − 1)p2 + 4im2 (2x − 1)η σλ
Z
(224)
1
dx
p2 2im2
=−
ln x(1 − x) 2 + 2 (2x − 1)
2
µ
µ
0 16π
σλ 2
σ λ
2
σλ
−2x(x − 1) η p − p p + 2im (2x − 1)η + 2im2 (i)η σλ
Z
(225)
1
dx
p2 2im2
ln x(1 − x) 2 + 2 (2x − 1)
=−
2
µ
µ
0 16π
2 σλ
2
−2x(x − 1)p Θ (p) + 2im (2x − 1 + i)η σλ
Z
(226)
73
Z 1
1
p2 2im2
2 σλ
=−
−
dx 2x(x − 1) ln x(1 − x) 2 + 2 (2x − 1) p Θ (p)
16π 2
µ
µ
0
Z 1
2
p
2im2
1
2 σλ
dx (2x − 1 + i) ln x(1 − x) 2 + 2 (2x − 1) 2im η
−
−
16π 2
µ
µ
0
(227)
=−
1 A(p, m, µ) p2 Θσλ + B(p, m, µ) 2im2 η σλ
2
16π
(228)
Os mesmos cálculos foram feitos para os termos P+ab . Onde encontramos o seguinte resultado para a parametrização de Feynman.
Z
Z
Z 1
1
d4 k
d4 k
1
dx
=
4
2
2
2
2
4
2
2
(2π) [k + 2im ] [(k − p) − 2im ]
(2π) 0 [k − 2xkp + xp + 2im2 (1 − 2x)]2
(229)
Os resultados da integração em k para o termo P+ab são os mesmo de (227) trocando
apenas 2x − 1 por 1 − 2x. Então,
1
P−ab A(p, m, µ) p2 Θσλ + B(p, m, µ) 2im2 η σλ
2
16π
n
o
1
ab
2 σλ
2 σλ
P
Ã(p,
m,
µ)
p
Θ
+
B̃(p,
m,
µ)
2im
η
−
16π 2 +
−
(230)
(231)
Onde,
1
p2 2im2
A(p, m, µ) = −
dx 2x(x − 1) ln x(1 − x) 2 + 2 (2x − 1)
µ
µ
0
Z 1
2
2im2
p
Ã(p, m, µ) = −
dx 2x(x − 1) ln x(1 − x) 2 + 2 (1 − 2x)
µ
µ
0
Z 1
p2 2im2
B(p, m, µ) =
dx (2x − 1 + i) ln x(1 − x) 2 + 2 (2x − 1)
µ
µ
0
Z 1
2
2im2
p
B̃(p, m, µ) =
dx (1 − 2x + i) ln x(1 − x) 2 + 2 (1 − 2x)
µ
µ
0
Z
Fatorando a função ln(x).
(232)
(233)
(234)
(235)
74
Caso A(p, m, µ):
1
m2
p2
dx 2x(x − 1) ln 2 x(1 − x) 2 + 2i(2x − 1)
−
=
µ
m
0
Z 1
Z 1
m2
p2
dx 2x(x − 1) ln 2 −
dx 2x(x − 1) ln x(1 − x) 2 + 2i(2x − 1) =
−
µ
m
0
0
Z 1
2
p2
1 m
ln 2 −
dx 2x(x − 1) ln x(1 − x) 2 + 2i(2x − 1)
3
µ
m
0
Z
(236)
Caso Ã(p, m, µ):
1
p2
m2
=
−
dx 2x(x − 1) ln 2 x(1 − x) 2 + 2i(1 − 2x)
µ
m
0
Z 1
Z 1
m2
p2
−
dx 2x(x − 1)ln 2 −
dx 2x(x − 1) ln x(1 − x) 2 + 2i(1 − 2x) =
µ
m
0
0
Z 1
2
p2
1 m
dx 2x(x − 1) ln x(1 − x) 2 + 2i(1 − 2x)
ln 2 −
3
µ
m
0
Z
(237)
Caso B(p, m, µ):
1
m2
p2
dx (2x − 1 + i) ln 2 x(1 − x) 2 + 2i(2x − 1)
=
µ
m
0
Z 1
Z 1
m2
p2
dx (2x − 1 + i) ln 2 +
dx (2x − 1 + i) ln x(1 − x) 2 + 2i(2x − 1) =
µ
m
0
0
Z 1
2
p2
m
dx (2x − 1 + i) ln x(1 − x) 2 + 2i(2x − 1)
i ln 2 +
µ
m
0
Z
(238)
Caso B̃(p, m, µ):
1
m2
p2
dx (1 − 2x + i) ln 2 x(1 − x) 2 + 2i(1 − 2x)
=
µ
m
0
Z 1
Z 1
m2
p2
dx (1 − 2x + i) ln 2 +
dx (1 − 2x + i) ln x(1 − x) 2 + 2i(1 − 2x) =
µ
m
0
0
Z 1
2
m
p2
i ln 2 +
dx (1 − 2x + i) ln x(1 − x) 2 + 2i(1 − 2x)
µ
m
0
Z
(239)
Integrando as equações (236), (237), (238) e (239) em x.
Caso (236):
75
m2
µ2
n p
1
1
p
p2 16m4 − p4 5p4 + 96m4 − 3ln(2i)p4
9 p6 16m4 − p4
2 2
p
p
8m
6
6
4
4
+ 3ip − 384m
+ arctan
16m − p arctan
2
p
8m2
"
!
!#)
2
2
2
2
4im
+
p
4im
−
p
+ 3p8 + 48m4 p4 − 1536m8 arctan p
− arctan p
16m4 − p4
16m4 − p4
(240)
1
ln
3
−
Caso (237):
m2
µ2
1
1
p
6
18 p 16m4 − p4
n
p
3iπp6 + 6ln(−2i)p6 + 192m4 p2 + 384πm6 − 10p6
16m4 − p4
"
!
!#)
2
2
2
2
4im
+
p
4im
−
p
+ 3072m8 − 96m4 p4 − 6p8 arctan p
− arctan p
16m4 − p4
16m4 − p4
(241)
1
ln
3
+
Caso (238):
m2
µ2
n p
1
p
p2 16m4 − p4 ln(2i)p2 − 4im2 − 2p2
p4 16m4 − p4
2
2 p
8m
p
4
2 2
4
4
+ 16im + 4m p
16m − p arctan
+ arctan
2
p
8m2
p
8m2
p2
4
4
4
−ip 16m − p arctan
− arctan
p2
8m2
"
!
!#)
2
2
2
2
4im
+
p
4im
−
p
+ 64im6 + 16m4 p2 − 4im2 p4 − p6 arctan p
− arctan p
16m4 − p4
16m4 − p4
n
p
1
p2 16m4 − p4 2(p2 − i) + ln(2i)(i − 1)
+ p
p2 16m4 − p4
2
2 2
p
8m
p
2
+ 4m (i − 1) + p (i + 1)
16m4 − p4 arctan
+
arctan
p2
8m2
"
!
!#)
2
2
2
2
4im + p
4im − p
+ 16m4 (i − 1) + p4 (1 − i) arctan p
− arctan p
4
4
16m − p
16m4 − p4
(242)
i ln
Caso (239):
+
76
m2
µ2
n p
1
p
p2 16m4 − p4 2p2 − ln(−2i)p2 − 4im2
p4 16m4 − p4
2 2
p
p
8m
4
4
2 2
4
4
+ 16im − ip − 4m p
+ arctan
16m − p arctan
2
p
8m2
"
!
!#)
2
2
2
2
4im
+
p
4im
−
p
+ 64im6 − 16m4 p2 − 4im2 p4 + p6 arctan p
− arctan p
16m4 − p4
16m4 − p4
n
p
1
+ p
p2 16m4 − p4 [(ln(−2i) − 2)(i + 1)]
p2 16m4 − p4
2
2 2
p
8m
p
2
16m4 − p4 arctan
+ arctan
+ 4m (i + 1) + p (i − 1)
2
p
8m2
"
!
!#)
2
2
2
2
4im + p
4im − p
+ (16m4 − p4 )(i + 1) arctan p
− arctan p
4
4
16m − p
16m4 − p4
(243)
i ln
+
77
CONCLUSÃO
Estudamos as propriedades do Grafeno e utilizamos a bosonização como uma possibilidade de se entender alguns dos comportamentos que este material apresenta. Este
estudo não é novo. No entanto o uso de um modelo de férmions em SU (2) para estudar o
comportamento de duas camadas de grafeno em interação é um assunto bastante atual de
pesquisa. Em particular a possibilidade de que uma estrutura do tipo i-particle possa ser
relevante para o problema é novidade. Fomos capazes de calcular uma ação bosonizada
que descreve este comportamento de i-particle, à saber uma ação que fornece propagadores com polos imaginários e portanto não dará contribuição para um correlator de 2
correntes mas apenas alguns correlatores de 4 correntes podem vir a ser candidatos para
observável. Claro está que não realizamos os cálculos para a obtenção destes correlatores
de 4 correntes. No entanto fomos capazes de realizar um estudo bastante interessante
sobre as propriedades de férmions com polos imaginários em D = 3 e D = 4. Tais resultados por si apresentam interesse nos estudo dos possı́veis mecanismos para se excluir os
férmions do espéctro observável.
78
REFERÊNCIAS
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levels. Phys. Rev. Lett., v. 111, n. 18, p. 186803, nov 2013.
NETO, A. H. Castro. Selected topics in graphene physics. Modern Theories of
Many-Particle Systems in Condensed Matter Physics Lecture Notes in Physics, v. 843,
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generation and exciton spectra in graphene. Phys. Rev. B, New York, v. 83, n. 11, p.
115438, mar 2011.
79
APÊNDICE A – Cálculo do Traço das Matrizes Gama
Traço de 2 matrizes γ,
tr(γ µ γ ν ) = tr({γ µ , γ ν } − γ ν γ µ )
= 2η µν − tr(γ ν γ µ )
= 2η µν − tr(γ µ γ ν )
2tr(γ µ γ ν ) = 2η µν
tr(γ µ γ ν ) = η µν
(244)
Traço de 3 matrizes γ̃,(D = 3)
tr(γ µ γ ν γ α ) = tr(γ α γ µ γ ν )
= tr(γ ν γ α γ µ )
= tr(γ µ γ ν γ α − γ µ γ α γ ν + γ µ γ α γ ν )
= tr(γ µ [γ ν , γ α ] + γ µ γ α γ ν )
= tr(γ µ i να σ γ σ + γ µ γ α γ ν )
= tr(i γ µ να σ γ σ ) + tr({γ µ , γ α } γ ν ) − tr(γ α γ µ γ ν )
2tr(γ µ γ ν γ α ) = tr(i γ µ να σ γ σ )
1
tr(i να σ γ µ γ σ )
=
2
i να µσ
ση
=
2
i ναµ
=
2
i µνα
=
2
(245)
Cálculo do traço de 4 matrizes γ.
80
tr(γ µ γ α γ ν γ β ) = tr(γ β γ µ γ α γ ν )
= tr(γ ν γ β γ µ γ α )
= tr(γ α γ ν γ β γ µ )
tr(γ µ γ α γ ν γ β ) = tr(γ µ γ α γ ν , γ β − γ µ γ α γ β γ ν )
= tr(2γ µ γ α η νβ ) − tr(γ µ γ α γ β γ ν )
= 2η µα η νβ − tr(γ µ γ α , γ β γ ν ) + tr(γ µ γ β γ α γ ν )
= 2η µα η νβ − 2η µν η αβ + tr(γ µ γ β γ α γ ν )
= 2η µα η νβ − 2η µν η αβ + tr( γ µ , γ β γ α γ ν ) − tr(γ β γ µ γ α γ ν )
2tr(γ µ γ α γ ν γ β ) = 2η µα η νβ − 2η µν η αβ + 2η µβ η αν
tr(γ µ γ α γ ν γ β ) = η µα η νβ − η µν η αβ + η µβ η αν
(246)
81
APÊNDICE B – Alguns conceitos úteis em regularização dimensional
B.1 Relações úteis em regularização dimensional
Γ() = Γ(1 + )
Γ() =
1
+ C1 + C2 + O(2 )
Γ()
Γ(1 − ) =
(1 − )
−1
(1 − ) = 1 + + ...
(247)
(248)
(249)
(250)
f () = (1 − )−1
(251)
∂f
= −1(1 − )−2 |=0 = −1
∂
(252)
ax = exp (ln ax ) = exp (x ln a)
1
a = exp ( ln a) = 1 + ln a + 2 (ln a)2 + O(3 )
2
(253)
(254)