Revisão
Prof: Ricardo Gonçalves Quintão
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Sinais
• Sinais são ondas que se propagam através de meios físicos diversos ou até
mesmo pelo ar.
• Sinais Analógico e Digitais
A natureza é intrinsecamente analógica. Imagens e sons apenas podem ser
entendidos e produzidos pelo ser humano em forma analógica, uma vez que
os aparelhos auditivo e vocal produzem sinais contínuos no tempo. A
vantagem dos sinais digitais consiste na possibilidade da introdução de
códigos redundantes (adicionais) para controle de erros e também a
possibilidade de compactação sem perda da qualidade do sinal, capacidades
impossíveis em sinais analógicos. Vamos entender a diferença entre um sinal
analógico e um sinal digital.
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Sinais
• Sinal Analógico:
– Possuem variação contínua no tempo, ou seja, seu universo de valores é infinito.
• Qualquer instante de tempo que deseje amostrar possuirá um valor diferente
do instante de tempo anterior e do posterior. Outro detalhe é que este valor
poderá ser medido como 1 Hz, 1,01 Hz, 1,0100001 Hz ou qualquer número
de casas decimais, conferindo a sua característica “contínua”.
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Sinais
• Sinal Digital:
– Possuem um conjunto finito de valores, que pode variar de acordo com o número
de bits que se use para codificar cada amostra, mas ainda assim sempre será
finito.
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Formas de Onda
• Um sinal normalmente é representado por uma forma de onda. Como as
ondas são oscilatórias, elas possuem três características básicas: amplitude,
freqüência e fase.
– Amplitude:
A amplitude representa a altura da onda desde o eixo representativo do zero até o
seu ponto mais alto. Dependendo da origem do sinal, ela pode estar associada a
diversas características, por exemplo: no caso de sinais sonoros, a amplitude está
relacionada com o volume do som; no caso de sinais luminosos, ela está associada
a intensidade com que a luz é transmitida; etc.
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Formas de Onda
– Freqüência:
Devida a natureza oscilatória das ondas, ela acaba possuindo ciclos. Um ciclo é
toda variação feita pela onda a partir de um determinado ponto até ela retornar ao
mesmo ponto de forma que a seqüência seguinte seja uma repetição da anterior.
A medida de freqüência é justamente a quantidade de ciclos que a onda realiza em
um determinado período de tempo, exemplo: 10 ciclos a cada minuto, 50 ciclos
por hora, etc.
Quando a unidade de tempo representada para medir a quantidade de ciclos for o
segundo (ciclos por segundo), utiliza-se uma unidade especial denominada Hertz
(Hz), logo, se a freqüência for por exemplo 500 Hz, significa que a onda realiza
500 ciclos a cada segundo. Quando a freqüência se torna muito grande, é comum
utilizar seus múltiplos, como por exemplo: KHz, MHz, GHz, THz, etc.
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Sinais
A Figura abaixo mostra um exemplo de duas ondas com freqüências diferentes.
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Formas de Onda
– Fase:
O círculo trigonométrico possui alguns eixos especiais onde dois destes eixos são
muito utilizados para a geração de ondas. São os eixos horizontal e vertical que
representam os valores do cosseno e do seno respectivamente.
Trabalhando com este círculo trigonométrico, que por definição possui raio de
valor 1, ao se representar um vetor radial de tamanho unitário cujo ângulo com o
eixo horizontal é q, poderemos fazer duas projeções: uma no eixo horizontal
(eixo x) e neste caso o valor da projeção é chamado de cosseno de q, e a projeção
no eixo vertical (eixo y) onde neste caso o seu valor é chamado de seno de q.
Como o raio do círculo tem valor unitário, os valores destas projeções
(independente se for feita no eixo horizontal ou vertical) terá valores variando
entre 1 (maior valor) e -1 (menor valor).
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Sinais
A Figura abaixo ilustra um exemplo de seno e cosseno de um ângulo q no valor
de 30º. Repare que a diferença entre o seno e o cosseno é que o seno começa do
valor 0 e o cosseno começa do valor 1
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Sinais
Se variarmos continuamente este ângulo no tempo e fizermos um gráfico
representando os valores do seno ou do cosseno deste ângulo, teremos a
representação de uma onda denominada senoidal (no caso do seno) e cossenoidal
(no caso do cosseno).
As Figuras a seguir representa uma onda senoidal e um cosseinodal variando em
função do tempo e depois em função da fase. A freqüência utilizada no exemplo
é de 1 Hz ou seja, 1 ciclo a cada segundo
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Sinais
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Taxa de Transmissão Máxima de um Canal
• Em 1928, H. Nyquist formulou uma equação que define a taxa de transmissão
máxima para um canal de banda passante limitada e imune a ruídos.
Como veremos mais adiante, distorções podem ocorrer durante a transmissão
de um sinal por um meio físico devido a fatores como atenuação, ruídos, etc.
Alguns anos mais tarde, em 1948, Claude Shannon estendeu os resultados de
Nyquist para o caso de um canal sujeito a ruído térmico.
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Taxa de Transmissão Máxima de um Canal
• Teorema de Nyquist:
Nyquist provou que, se um sinal arbitrário é transmitido através de um canal
de largura de banda B Hz, o sinal resultante da filtragem pode ser
completamente reconstruído pelo receptor através da amostragem do sinal
transmitido, a uma freqüência igual a no mínimo 2B vezes por segundo.
Nyquist demonstrou que esta é a freqüência mínima de amostragem
necessária e, ao mesmo tempo, amostrar esse sinal a uma freqüência maior
que 2B é inútil, já que as freqüências componentes que seriam recuperadas
por tal amostragem já não existem no sinal devido à filtragem do canal.
Para sinais digitais, isso corresponde a dizer que o número de transições de
um nível de amplitude para outro no sinal original não pode ser maior do que
2B vezes por segundo.
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Taxa de Transmissão Máxima de um Canal
A quantidade de transições de amplitudes é chamada de baud. Em outras
palavras, através de um canal de largura de banda igual a B Hz, pode-se
transmitir um sinal digital de no máximo 2B bauds. Como 1 baud = log2 L
bps (onde L é o número de níveis utilizados na codificação), então a
capacidade D do canal na ausência de ruído é dada por:
D = 2B log2 L bps
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Fontes de Distorções de Sinais
Além dos efeitos de distorção dos sinais transmitidos oriundos da banda
passante limitada do meio físico, outros fatores causarão distorções nos sinais
durante a transmissão.
Entre eles encontramos: os ruídos presentes durante a transmissão, a
atenuação e os ecos. Passemos a analisar cada um desses fatores, seus
principais efeitos e a forma de contorná-los.
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Fontes de Distorções de Sinais
– Ruídos:
Em qualquer transmissão, o sinal recebido consiste no sinal transmitido
modificado por várias distorções inseridas durante a transmissão devida à
interferência de sinais indesejáveis denominados ruídos. O ruído é um dos
maiores limitantes do desempenho de sistemas de comunicação.
A quantidade de ruído presente numa transmissão é medida em termos da razão
entre a potência do sinal e a potência do ruído, denominado relação sinal-ruído.
Se representarmos a potência do sinal por S e a potência do ruído por N, a relação
sinal-ruído é dada por S/N. É muito comum utilizar-se, ao invés desta razão
diretamente, o valor 10 Log10 (S/N). O resultado obtido é uma medida da relação
sinal-ruído em uma unidade denominada decibel (dB). Uma relação de 10
corresponde a 10 dB; uma relação de 100 corresponde a 20 dB; uma relação de
1.000 corresponde a 30 dB e assim por diante.
Ruídos podem ser classificados em quatro tipos: ruído térmico, ruído de
intermodulação, crosstalk (linha cruzada) e ruído impulsivo.
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Fontes de Distorções de Sinais
 Ruído Térmico:
O ruído térmico é uniformemente distribuído em todas as freqüências do espectro
(sendo por isso freqüentemente citado como ruído branco) e sua quantidade é função
da temperatura.
 Ruído de Intermodulação
Quando sinais de diferentes freqüências compartilham um mesmo meio físico, pode-se
obter um ruído denominado de ruído de intermodulação. A intermodulação pode
causar a produção de sinais em uma faixa de freqüências, que poderão perturbar a
transmissão de outro sinal naquela mesma faixa. Este mau funcionamento acontece
devido a defeitos em componentes do sistema ou devido a sinais com potência muito
alta.
 Ruído de Crosstalk (Linha Cruzada)
Crosstalk é um ruído bastante comum em sistemas telefônicos. Quem de nós ainda
não teve a experiência de ser perturbado, durante uma conversação telefônica, por uma
conversação travada por terceiros? É o fenômeno que comumente chamamos de “linha
cruzada”. Este efeito é provocado por uma interferência indesejável entre condutores
próximos que induzem sinais entre si.
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Fontes de Distorções de Sinais
 Ruído Impulsivo:
Os tipos de ruído descritos até aqui tem magnitudes e características previsíveis de
forma que é possível projetar sistemas de comunicação que se ajustem a essas
características.
O ruído impulsivo, porém, é não contínuo e consiste em pulsos irregulares e com
grandes amplitudes, sendo de prevenção difícil. Tais ruídos podem ser provocados por
diversas fontes, incluindo distúrbios elétricos externos, falhas nos equipamentos etc.
O ruído impulsivo é, em geral, pouco danoso em uma transmissão analógica. Em
transmissões de voz, por exemplo, pequenos intervalos onde o sinal é corrompido não
chegam a prejudicar a inteligibilidade dos interlocutores. Na transmissão digital, o
ruído impulsivo é a maior causa de erros de comunicação.
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Fontes de Distorções de Sinais
 Lei de Shannon:
Vinte anos depois de Nyquist, Shannon provou, também matematicamente, que um
canal tem uma capacidade máxima limitada. A parte mais interessante de seu trabalho
discute canais na presença de ruído térmico.
O principal resultado de Shannon (conhecido como a Lei de Shannon) afirma que a
capacidade máxima Dmax de um canal em bits por segundo (bps) cuja largura de
banda é B Hz, e cuja relação sinal-ruído é S/N, é dada por:
Dmax = B Log2 (1 + S/N)
Um canal de 3.000 Hz (3 KHz), por exemplo, com uma relação sinal-ruído de 30 dB
(parâmetros típicos de uma linha telefônica) não poderá, em hipótese alguma,
transmitir a uma taxa maior do que 30.000 bps (30 Kbps), não importando quantos
níveis de sinal se utilizem ou qual a freqüência de sinalização. É importante notar que
este é um limite máximo teórico, e que, na prática, é difícil até mesmo se aproximar
deste valor. Muito embora vários esquemas tenham sido propostos, a lei de Shannon
constitui-se um limite máximo intransponível.
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Fontes de Distorções de Sinais
– Atenuações:
A potência de um sinal cai com a distância, em qualquer meio físico. Essa
atenuação é, em geral, logarítmica e por isso é geralmente expressa em um
número constante em decibéis por unidade de comprimento.
A atenuação se dá devida a perdas de energia por calor e por irradiação. Em
ambos os casos, quanto maiores as freqüências transmitidas, maiores as perdas.
A distorção por atenuação é um problema facilmente contornado em transmissão
digital através da colocação de repetidores que podem regenerar totalmente o
sinal original, desde que a atenuação não ultrapasse um determinado valor
máximo.
Para tanto, o espaçamento dos repetidores não deve exceder um determinado
limite, que varia de acordo com a característica de atenuação do meio físico
utilizado.
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Fontes de Distorções de Sinais
– Ecos:
Ecos em linhas de transmissão causam efeitos similares ao ruído. Toda vez que
há uma mudança de impedância (resistência oferecida aos sinais oscilatórios)
numa linha, sinais serão refletidos e voltarão por esta linha, podendo corromper
os sinais que estão sendo transmitidos.
Precauções para que a impedância de uma linha de transmissão não seja alterada
podem ser tomadas para evitar a reflexão dos sinais. A utilização de terminadores
e transceptores de alta impedância é um exemplo para evitar o eco em redes em
barra.
Em sistemas telefônicos, os ecos podem ser bastante desagradáveis quando
percebidos em intervalos maiores que dezenas de milissegundos. Nesses sistemas
é comum a utilização de canceladores de eco nos pontos onde é inevitável a
alteração da impedância.
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Técnicas de Modulação
• Todas as técnicas de modulação envolvem o deslocamento do sinal original,
doravante denominado sinal modulador ou modulante, de sua faixa de
freqüências original para uma outra faixa.
O valor desse deslocamento corresponde à freqüência de uma onda
denominada portadora.
Toda onda possui três características básicas explicadas anteriormente:
amplitude, freqüência e fase.
Quando se modula uma portadora, uma destas características será modificada
em função do sinal para que o destinatário possa, através da verificação da
característica usada na modulação, recuperar o sinal original.
O sinal modulador pode ser do tipo Analógico ou Digital levando a duas
categorias de modulação: a modulação analógica e a modulação digital.
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Técnicas de Modulação
• Modulação Analógica.
A modulação é chamada de analógica quando o sinal modulador for do tipo
analógico. Existem três técnicas básicas de modulação analógica.
– Modulação por Amplitude (Amplitude Modulation – AM);
Na modulação por amplitude, a portadora terá a sua amplitude sendo modificada
em função do sinal modulador. Neste caso, quando o sinal modulador aumenta
em amplitude, a portadora também aumentará e quando o sinal modulador
diminuir de amplitude, a amplitude da portadora também será diminuída. Um
cuidado importante a ser tomado é quanto a amplitude mínima da portadora. Se
ela ficar inferior a capacidade do receptor em identificá-la, o sinal será perdido.
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Técnicas de Modulação
– Modulação por Freqüência (Frequency Modulation – FM);
Na modulação por freqüência, a portadora terá a sua freqüência variando em
função do sinal modulador. Quando o sinal modulador aumenta em amplitude, a
freqüência da portadora será aumentada e quando o sinal diminuir de amplitude a
freqüência da portadora será diminuída. A aparência da portadora modulada fica
semelhante a um efeito de sanfona. Tal como no caso anterior, o aparelho
receptor analisará a variação na freqüência da portadora e assim reproduzirá o
sinal original.
– Modulação por Fase (Phase Modulation – PM).
Na modulação por fase, a portadora terá a variação da sua fase modificada em
função do sinal modulador. Conforme o sinal vai aumentando de amplitude, a
velocidade com que a fase varia também aumenta, enquanto que quando o sinal
diminui em amplitude, a velocidade com que a fase varia também é reduzida.
Neste caso a portadora modulada também possui a aparência do efeito sanfona,
mas a forma como este efeito é aplicado torna a onda modulada por fase diferente
da onda modulada por freqüência. O aparelho receptor, verificando a variação na
velocidade com que a fase varia, ele é capaz de recuperar o sinal original.
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Técnicas de Modulação
A Figura abaixo mostra as 3 técnicas de modulação analógica.
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Técnicas de Modulação
• Modulação Digital.
No caso específico do sinal modulador ser um sinal digital, utilizam-se as
mesmas técnicas apresentadas anteriormente, só que neste caso mudam-se as
denominações.
– Modulação por Deslocamento de Amplitude (Amplitude Shift Keying – ASK);
Na técnica ASK, a amplitude do sinal resultante da modulação varia de acordo
com a amplitude do sinal que se quer modular, mantendo-se a freqüência da onda
portadora constante. Diferente da modulação analógica, só existirão duas
amplitudes. Uma referente à modulação do valor um e outra referente ao valor
zero. No caso do valor zero, a amplitude é reduzida a ponto de não haver mais a
portadora, sendo visto como silêncio na transmissão.
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Técnicas de Modulação
– Modulação por Deslocamento de Freqüência (Frequency Shift Keying – FSK);
Na técnica FSK, mantém-se a amplitude da portadora constante. O que varia é a
freqüência de acordo com o sinal transmitido. Semelhante a técnica anterior, só
existirão duas freqüências diferentes. Um referente à modulação do valor um e
outra referente à modulação do valor zero.
– Modulação por Deslocamento de Fase (Phase Shift Keying – PSK).
Na técnica PSK, a transmissão do sinal é identificada por modificações na fase da
onda transmitida. A amplitude e a freqüência da onda portadora são mantidas
constantes. No exemplo da Figura a seguir, quando existe a alternância entre o bit
0 e o bit 1, a fase da portadora é deslocada de 180º.
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Técnicas de Modulação
A Figura abaixo mostra as 3 técnicas de modulação digital.
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Técnicas de Multiplexação
• Sempre que a banda passante de um meio físico for maior ou igual à banda
passante necessária para um sinal, podemos utilizar este meio para a
transmissão do sinal.
Na prática, a banda passante necessária para um sinal é, em geral, bem menor
do que a banda passante dos meios físicos disponíveis, como mostra a
figura abaixo.
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Técnicas de Multiplexação
• A pergunta natural a se fazer neste momento é: não seria possível aproveitar a
banda extra disponível para a transmissão de outros sinais?
Vamos supor a existência de três sinais (C0, C1 e C2) com a banda passante
necessária indicada na figura abaixo, não seria possível transmiti-los
simultaneamente através de um mesmo meio físico como mostrado nesta
mesma figura?
A resposta a essa pergunta é sim, e a técnica que permite a transmissão de
mais de um sinal em um mesmo meio físico é denominada multiplexação.
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Técnicas de Multiplexação
• Existem duas formas básicas de multiplexação:
– Multiplexação na Freqüência (Frequency Division Multiplexing – FDM);
– Multiplexação no Tempo (Time Division Multiplexing – TDM).
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Multiplexação na Freqüência
• Em primeiro lugar, se passarmos um filtro em cada um dos sinais da
Figura anterior de forma a preservar somente a faixa relativa à banda passante
necessária de cada um deles, teremos dado o primeiro passo para alojar esses
três sinais na forma desejada, sem que um sinal interfira no outro.
O passo seguinte é deslocar a faixa de freqüências original do segundo e do
terceiro sinal de forma que eles passem a ocupar as três faixas disjuntas, sem
sobreposição.
Como vimos anteriormente, a técnica de modulação permite esse
deslocamento de freqüência.
Dessa forma, os três sinais podem ser transmitidos no meio físico, cada um
deles ocupando uma banda ou canal distinto com tamanho necessário para a
sua transmissão
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Multiplexação na Freqüência
Como os sinais foram previamente filtrados de acordo com a sua banda
passante necessária, a informação de cada um deles está preservada e contida
naquela faixa de freqüência na qual está sendo transmitido e em nenhuma
outra.
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Multiplexação na Freqüência
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Multiplexação na Freqüência
Nessa figura, estão representados três sinais de voz através de seus espectros.
Um dos sinais foi modulado para a freqüência de 4 KHz à 8 KHz e um outro
foi modulado para a freqüência de 8 KHz à 12 KHz.
Os sinais são passados por filtros de forma a impedir que existam
componentes em outras freqüências que não a faixa a eles reservadas, faixas
estas de tamanho igual a 4 KHz.
Note que mencionamos anteriormente que a banda passante necessária para
um sinal de voz tem uma largura de 3 KHz, portanto, 4 KHz é mais do que
suficiente para a transmissão desses sinais.
Após terem sido filtrados, esses sinais podem trafegar simultaneamente pelo
meio físico.
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Multiplexação na Freqüência
Um receptor que deseje recuperar um dos sinais transmitidos numa linha
multiplexada na freqüência, deverá conhecer a faixa de freqüências que está
sendo utilizada para a sua transmissão.
Dessa forma, ele poderá deslocar o sinal recebido de forma a fazer o sinal
desejado ocupar novamente a sua faixa original (de 0 a n Hz).
O sinal demodulado pode a seguir ser filtrado para conter somente o sinal
original. A figura a seguir ilustra o processo de transmissão em uma linha
multiplexada na freqüência.
Equipamentos capazes de realizar modulações e demodulações de sinais são
denominados MODEMs (MOduladores/DEModuladores).
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Multiplexação na Freqüência
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Multiplexação no Tempo
• A Multiplexação por divisão do tempo se beneficia do fato de que a
capacidade (em bits por segundo) do meio de transmissão, em muitos casos,
excede a taxa média de geração de bits das estações conectadas ao meio
físico.
Quando isso ocorre, vários sinais podem ser transportados por um único
caminho físico, intercalando-se porções de cada sinal no tempo.
A multiplexação no tempo pode ser classificada em:
– síncrona
– assíncrona.
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TDM Síncrono
• No TDM síncrono (ou simplesmente TDM), o domínio do tempo é dividido
em intervalos de tamanho fixo T chamados frames;
• Cada frame é subdividido em N subintervalos {t1, t2, ..., tn} denominados
slots ou segmentos que formam uma partição dos frames que, por sua vez,
formam uma partição do tempo infinito, como mostra a figura abaixo.
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TDM Síncrono
• Denomina-se canal, ao conjunto de todos os slots, um em cada frame,
identificados por uma determinada posição fixa dentro desses frames.
Por exemplo, o canal 3 é forma pelo terceiro slot de cada frame.
• Canais podem ser alocados a estações que desejem transmitir.
• Cada estação deverá esperar o slot correspondente dentro de cada frame,
quando então poderá transmitir durante o tempo daquele slot, utilizando a
taxa de transmissão máxima suportada pelo meio físico.
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TDM Síncrono
• Quando uma estação que alocou um canal não estiver transmitindo (ou a taxa
de transmissão for menor do que a taxa assegurada pelo canal), tem-se um
desperdício de capacidade do meio físico, já que o canal alocado não pode ser
utilizado por qualquer outra estação até o momento da desconexão como
mostra a figura.
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TDM Assíncrono
• Uma alternativa ao TDM síncrono que procura eliminar o desperdício da
capacidade existente nesse esquema é o TDM assíncrono (também conhecido
por TDM estatístico ou STDM – Statistical TDM).
Nesse esquema, não há alocação de canal nem estabelecimento de conexão.
Parcelas de tempo são alocadas dinamicamente de acordo com a demanda das
estações.
Nenhuma capacidade é desperdiçada, pois o tempo não utilizado está sempre
disponível caso alguma estação gere tráfego e deseje utilizar o canal de
transmissão.
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TDM Assíncrono
Em compensação, no TDM assíncrono, cada unidade de informação
transmitida deve sempre conter um cabeçalho com os endereços de origem e
de destino como mostra a figura a seguir.
No TDM síncrono, cada canal já identifica o transmissor.
Em canais ponto a ponto com TDM síncrono, esse cabeçalho é totalmente
desnecessário já que o receptor também é identificado pela conexão.
Não havendo a noção de conexão dedicada, o canal é sempre compartilhado
no tempo por todas as estações a ele conectadas, sendo o acesso definido
como assíncrono.
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TDM Assíncrono
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Digitalização de um Sinal pela Técnica PCM
A transmissão digital é, em geral, mais vantajosa do que a analógica devido,
principalmente, à possibilidade de restaurarmos o sinal original mesmo na
presença de falhas ou ruídos no sistema.
A transmissão digital vem substituindo a analógica sempre que possível,
inclusive na própria rede telefônica, com a instalação de novas centrais e
cabos de fibra óptica.
A informação de voz é originalmente analógica.
Para utilizarmos as vantagens da transmissão digital, devemos codificá-la em
um sinal digital antes da transmissão.
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Digitalização de um Sinal pela Técnica PCM
Os dispositivos capazes de codificar informações analógicas em sinais
digitais são denominados CODECs (CODer/DECoder).
Agora examinaremos a principal técnica utilizada por CODECs, denominada
PCM (Pulse Code Modulation – Modulação por Código de Pulso).
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Digitalização de um Sinal pela Técnica PCM
A técnica PCM é baseada no teorema de Nyquist (ou teorema da
amostragem) visto anteriormente.
O teorema assegura que uma taxa de amostragem duas vezes superior que a
largura de banda do sinal (B) é suficiente para recuperar este sinal.
Utilizando uma taxa de amostragem maior ou igual a 2B, o sinal original deve
ser amostrado e, a cada amostra, deve-se associar um valor proporcional à
amplitude do sinal naquele ponto.
Este processo é conhecido como PAM (Pulse Amplitude Modulation –
Modulação por Amplitude de Pulso).
05/11/2015
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Digitalização de um Sinal pela Técnica PCM
A partir dos pulsos PAM, podemos produzir os pulsos PCM através de um
processo conhecido como quantização, onde cada amostra PAM é
aproximada a um inteiro de n bits.
No exemplo da figura apresentada mais a frente, escolhemos n = 3, dando
origem a oito níveis (23).
A saída PCM corresponde ao resultado dessa quantização.
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Digitalização de um Sinal pela Técnica PCM
Podemos calcular, a partir desse processo, a taxa gerada pela transmissão de
informações analógicas através de sinais digitais.
Considere o caso de sinais de voz, por exemplo. Se assumirmos que a banda
passante necessária desses sinais tem largura igual a 4.000 Hz (4 KHz), a taxa
de amostragem de Nyquist é, neste caso, igual a 8.000 amostras por segundo.
Se escolhermos essa taxa e codificarmos cada amostra com oito bits, a taxa
gerada será 8.000 x 8 = 64 Kbps.
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Série de Fourier
Sinal Original
1.2
1
Amplitude
0.8
0.6
Sinal Original
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Tempo
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Série de Fourier
Harmônicos de Fourier
1
0.8
n=1
n=2
n=3
0.6
Amplitude
n=4
n=5
0.4
n=6
n=7
0.2
n=8
n=9
n=10
0
-0.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
Tempo
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Série de Fourier
Primeiro Harmônico
1.2
1
Amplitude
0.8
1 Harmônico
0.6
Dados Originais
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Tempo
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Série de Fourier
Somatório dos 2 primeiros Harmônicos
1.2
1
0.8
Amplitude
0.6
2 Harmônicos
0.4
Dados Originais
0.2
0
-0.2
-0.4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Tempo
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Série de Fourier
Somatório dos 3 primeiros Harmônicos
1.4
1.2
1
Amplitude
0.8
0.6
3 Harmônicos
0.4
Dados Originais
0.2
0
-0.2
-0.4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Tempo
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Série de Fourier
Somatório dos 4 primeiros Harmônicos
1.4
1.2
1
Amplitude
0.8
0.6
4 Harmônicos
0.4
Dados Originais
0.2
0
-0.2
-0.4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Tempo
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Série de Fourier
Somatório dos 5 primeiros Harmônicos
1.2
1
0.8
Amplitude
0.6
5 Harmônicos
0.4
Dados Originais
0.2
0
-0.2
-0.4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Tempo
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58/63
Série de Fourier
Somatório dos 6 primeiros Harmônicos
1.4
1.2
1
Amplitude
0.8
6 Harmônicos
0.6
Dados Originais
0.4
0.2
0
-0.2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Tempo
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Série de Fourier
Somatório dos 7 primeiros Harmônicos
1.4
1.2
1
Amplitude
0.8
7 Harmônicos
0.6
Dados Originais
0.4
0.2
0
-0.2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Tempo
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60/63
Série de Fourier
Somatório dos 8 primeiros Harmônicos
1.4
1.2
1
Amplitude
0.8
8 Harmônicos
0.6
Dados Originais
0.4
0.2
0
-0.2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Tempo
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Série de Fourier
Somatório dos 9 primeiros Harmônicos
1.4
1.2
1
Amplitude
0.8
9 Harmônicos
0.6
Dados Originais
0.4
0.2
0
-0.2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Tempo
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Série de Fourier
Somatório dos 10 primeiros Harmônicos
1.2
1
Amplitude
0.8
0.6
10 Harmônicos
Dados Originais
0.4
0.2
0
-0.2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Tempo
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Série de Fourier
Amplitude de Média Quadrática dos Harmônicos
0.6
0.50383
0.5
Amplitude
0.4
Amplitude
0.3
0.24336
0.19544
0.2
0.16757
0.15924
0.11840
0.10099
0.1
0.03522
0.02670
0.00038
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Harmônicos
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