PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Programa de Pós Graduação em Ensino de Ciências e Matemática
A UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE GEOGEBRA
NO ENSINO DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE:
Uma aproximação entre a Geometria Dinâmica e a Educação Estatística.
Lucas Rodrigues Duarte
Belo Horizonte
2010
Lucas Rodrigues Duarte
A UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE GEOGEBRA
NO ENSINO DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE:
Uma aproximação entre a Geometria Dinâmica e a Educação Estatística.
Dissertação apresentada ao Programa de PósGraduação em Ensino de Ciências e
Matemática da Pontifícia Universidade
Católica de Minas Gerais, como requisito
parcial para obtenção título de Mestre em
Ensino de Ciências e Matemática.
Orientador: Dimas Felipe de Miranda
Belo Horizonte
2010
FICHA CATALOGRÁFICA
Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
D812u
Duarte, Lucas Rodrigues
A utilização do software Geogebra no ensino da distribuição normal de
probabilidade: uma aproximação entre a geometria dinâmica e a educação
estatística. / Lucas Rodrigues Duarte, 2010.
129.: il.
Orientador: Dimas Felipe de Miranda
Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática.
1. Distribuição (Teoria da probabilidade). 2. Ensino e Aprendizagem. 3.
Software Livre. 4. Material didático. 5. Ensino Superior. I. Miranda, Dimas
Felipe de. II. Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Programa de PósGraduação em Ensino de Ciências e Matemática. III. Título.
CDU: 51:378
Lucas Rodrigues Duarte
A utilização do software Geogebra no ensino da distribuição
normal de probabilidade: uma aproximação entre a geometria
dinâmica e a educação estatística.
Dissertação apresentada ao Programa de
Pós-Graduação em Ensino de Ciências e
Matemática da Pontifícia Universidade
Católica de Minas Gerais.
____________________________________________
Prof. Dr. Dimas Felipe de Miranda – Orientador – (PUC Minas)
____________________________________________
Prof. Dr. João Mário Andrade Pinto (CDTN/UFMG e FEA/FUMEC)
____________________________________________
Profª. Dr. Eliane Scheid Gazirie (PUC Minas)
“O acaso não é mais que a medida de nossa ignorância. Os
fenômenos aleatórios são por definição, aqueles cujas leis
ignoramos.”
Henri Poincaré
RESUMO
Esta dissertação investigou o uso do software Geogebra, aplicado ao ensino e aprendizagem
da distribuição normal de probabilidade, com alunos do curso de graduação tecnológica em
gestão da Produção Industrial, em uma instituição de ensino superior de Belo Horizonte. A
proposta consiste na elaboração de uma sequência didática, composta por atividades
investigativas estruturadas, que destacam algumas simulações e construções do modelo
normal através do Geogebra. Os principais dados foram levantados durante a aplicação da
proposta metodológica, com duas diferentes turmas do mesmo curso, no primeiro e segundo
semestre de 2009. As análises e interpretação dos dados foram predominantemente
qualitativas, e os resultados mostram possibilidades e contribuições do uso do software ao
ensino e aprendizagem deste tópico, além de observar alguns obstáculos e conflitos cognitivos
associados ao estudo introdutório da distribuição normal de probabilidade.
Palavras-chave: Geogebra, distribuição normal de probabilidade, sequência didática,
atividade investigativa.
ABSTRACT
This dissertation investigated the use of software Geogebra, applied in the teaching and
learning of normal distribution probability, in students of technologic graduation in gesture of
industrial production of a university of Belo Horizonte. The proposal consists in elaborate a
didactic sequence, composed of organized investigative activity, which detach some
simulations and construction of normal model using Geogebra. The main data were built up
during the application of the methodological proposal in two different class of the same
course in the first and second semester of 2009. The analysis and interpretations of the data
were predominantly qualitative and the results shows possibilities and contributions of the
software use in teaching and learning of this topic, besides observation of some obstacles and
cognitive conflicts associated in the introductory study of normal distribution probability.
Key Words: Geogebra, normal distribution probability, didactic sequence, investigative
activity.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Interface Geogebra.................................................................................................... 41
Figura 2: Interface Geogebra.................................................................................................... 42
Figura 3: Representação do ponto ............................................................................................ 42
Figura 4: Mover ponto.............................................................................................................. 43
Figura 5: Modificando ponto.................................................................................................... 43
Figura 6: Modificando ponto.................................................................................................... 44
Figura 7: Representação de dois pontos ................................................................................... 44
Figura 8: Modificando ponto.................................................................................................... 45
Figura 9: Animação automática................................................................................................ 46
Figura 10: Reta por dois pontos................................................................................................ 47
Figura 11: Representação da reta.............................................................................................. 47
Figura 12: Modificando a equação da reta ............................................................................... 48
Figura 13: Representações de diferentes retas.......................................................................... 49
Figura 14: Habilitar seletor....................................................................................................... 50
Figura 15: Curva normal N[3,0.5]............................................................................................ 51
Figura 16: Área sob a cura normal N[3,0.5]............................................................................. 52
Figura 17: Modificando limites de integração.......................................................................... 53
Figura 18: Área sob a curva normal N[3,0.5], com limites associados a seletores.................. 53
Figura 19: Discretização da curva normal................................................................................ 54
Figura 20: Animação da aproximação normal ......................................................................... 55
Figura 21: Área ou probabilidade padronizada ........................................................................ 56
Figura 22: Área ou probabilidade padronizada ........................................................................ 57
Figura 23: Exibir planilha......................................................................................................... 59
Figura 24: Inserindo dados na planilha..................................................................................... 60
Figura 25: Ajuda histograma .................................................................................................... 60
Figura 26: Limites de classes e dados brutos ........................................................................... 61
Figura 27: Histograma .............................................................................................................. 61
Figura 28: Ordenar dados ......................................................................................................... 62
Figura 29: Valor da média ........................................................................................................ 63
Figura 30: Valor da mediana .................................................................................................... 63
Figura 31: Valor da moda......................................................................................................... 64
Figura 32: Valor do desvio padrão ........................................................................................... 65
Figura 33: Representação do Box plot, Histrograma e função N(30, 67)................................. 66
Figura 34: Ajuda do comando da caixa Box plot...................................................................... 66
Figura 33: Diagrama de dispersão ............................................................................................ 67
Figura 34: Coeficiente de correlação........................................................................................ 68
Figura 35: Reta de regressão .................................................................................................... 69
Figura 36: Regressão linear ...................................................................................................... 70
Figura 37: Curva normal N[3,0.5]............................................................................................ 72
Figura 38: Criar uma ferramenta .............................................................................................. 72
Figura 39: Selecione os objetos finais ...................................................................................... 72
Figura 40: Selecione os objetos iniciais ................................................................................... 73
Figura 41: Definindo nome, comando e ícone da ferrammenta ............................................... 73
Figura 42: Nova ferramenta criada........................................................................................... 74
Figura 43: Quincunx com duas classes de agrupamento.......................................................... 81
Figura 44: Quincunx com onze classes de agrupamento.......................................................... 81
Figura 45: Quincunx com vinte classes de agrupamento ......................................................... 81
Figura 46: possíveis formatos de agrupamento ........................................................................ 82
Figura 47: Simulação da aproximação normal dividida em dois retângulos............................ 82
Figura 48: Simulação da aproximação normal dividida em cinco retângulos.......................... 82
Figura 49: Simulação da aproximação normal dividida em grande quantidade de retângulos 83
Figura 50: Arquivo da segunda atividade................................................................................. 93
Figura 51: Arquivo da terceira atividade.................................................................................. 99
Figura 52: Protocolo de resolução, terceira atividade ............................................................ 100
Figura 53: Curva normal N(17, 0.5) ....................................................................................... 102
Figura 54: Protocolo de resolução, quarta atividade .............................................................. 105
Figura 55: Protocolo de resolução das questões 3 e 4 , quarta atividade ............................... 106
Figura 56: Protocolo de resolução, quarta atividade .............................................................. 107
Figura 57: Protocolo de resolução, quarta atividade .............................................................. 108
Figura 2: Quincunx com vinte classes de agrupamento ......................................................... 116
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 1: Representação gráfica da função de densidade de probabilidade N(0,1)................ 16
Gráfico 2: Diferentes curvas normais e quadrado de equi-área................................................ 17
Gráfico 3: Curva normal e pontos notórios .............................................................................. 18
Gráfico 4 : Área sob a curva normal entre os pontos [µ, a] ..................................................... 18
Gráfico 5 : Área sob a curva normal entre os pontos [µ, a] ..................................................... 19
Gráfico 6 : Área sob a curva normal entre os pontos [µ, a] ..................................................... 19
Gráfico 7 : Área sob a curva normal entre os pontos [µ, 2,5] .................................................. 20
Gráfico 8 : Área sob a curva normal entre os pontos [µ, z]...................................................... 21
Gráfico 9: Área de probabilidade da função Φ(z) ................................................................... 71
Gráfico 10: Representação de uma parábola ............................................................................ 79
Gráfico 11: Área de probabilidade P( µ ≤ z ≤ x1 ) .................................................................... 86
Gráfico 12: Área de probabilidade P( x2 ≤ z ≤ x1 ) ................................................................... 86
Gráfico 13: Área de probabilidade P( x2 ≤ z ≤ x1 ) ................................................................... 86
Gráfico 14 : Pontos notórios em relação à média e o desvio padrão........................................ 95
Gráfico 15: Representação de diferentes curvas normais......................................................... 96
Gráfico 16: Frequência de acertos das duas turmas ............................................................... 104
LISTA DE QUADROS
Quadro 1: Atividade com quincunx.......................................................................................... 89
Quadro 2: Atividade com quincunx.......................................................................................... 91
Quadro 3: Atividade com quincunx.......................................................................................... 91
Quadro 4: Segunda atividade.................................................................................................... 93
Quadro 5: Segunda atividade.................................................................................................... 94
Quadro 6: Segunda atividade.................................................................................................... 95
Quadro 7: Segunda atividade.................................................................................................... 97
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 13
2 DISTRUBIÇÃO NORMAL................................................................................................ 15
2.1 Síntese Histórica ...............................................................................................................15
2.2 O Modelo Normal .............................................................................................................16
2.3 Cálculo de Probabilidade.................................................................................................18
2.4 Distribuição normal Padronizada..................................................................................20
3. EDUCAÇÃO ESTATÍSTICA, ATIVIDADE INVESTIGATIVA E SEQUÊNCIA
DIDÁTICA .............................................................................................................................. 23
3.1 Educação Estatística, uma atitude didática em construção..........................................23
3.1.1 Educação Estatística e as tecnologias da informação .................................................. 25
3.1.2 As tecnologias da informação e as questões críticas..................................................... 27
3.1.3 O uso de softwares de geometria dinâmica no ensino de Estatística, uma possibilidade
empreendedora......................................................................................................................... 28
3.2 Atividade Investigativa, resolução de problemas e uma postura didática
questionadora..........................................................................................................................29
3.3 Sequência Didática ...........................................................................................................32
3.3.1 Análise da tipologia dos conteúdos ................................................................................ 35
3.3.1.1 O Conteúdo Conceitual .............................................................................................. 36
3.3.1.2 O Conteúdo Procedimental ....................................................................................... 37
3.3.1.3 O Conteúdo Atitudinal............................................................................................... 37
4. GEOGEBRA, UMA PODEROSA FERRAMENTA PARA EXPERIMENTAÇÃO... 38
4.1 A experimentação matemática através de simulações ..................................................38
4.2 Apresentando o Geogebra................................................................................................39
4.2.1 Interface .......................................................................................................................... 40
4.3 Explorando o Geogebra ...................................................................................................41
4.3.1 Construindo ponto a partir da “Barra de ferramentas” ............................................... 41
4.3.1.1 Modificando Objeto.................................................................................................... 43
4.3.2 Construindo ponto através do “Campo entrada de comando” ..................................... 44
4.3.3 Construindo um ponto genérico P=(a,b) ....................................................................... 45
4.3.3.1 Utilizando o recurso : animação automática............................................................ 46
4.3.4 Construindo Reta a partir da “barra de ferramentas”.................................................. 46
4.3.4.1 Construindo Reta através do “campo de entrada de comando”............................ 48
4.3.4.2 Construindo uma reta genérica................................................................................. 49
4.4 Representando o modelo normal ....................................................................................50
4.4.1 Procedimentos para construção do modelo normal N(µ, σ) ......................................... 51
4.5 Calculando área de probabilidade ..................................................................................52
4.5.1 Cálculo de integrais definidas ........................................................................................ 52
4.6 Soma Inferior e Superior de Reimann ............................................................................54
4.7 Distribuição Normal Padronizada (z) .............................................................................55
4.8 O pacote de Estatística .....................................................................................................58
4.8.1 Explorando as medidas Descritivas ............................................................................... 58
4.8.1.1 Histograma .................................................................................................................. 60
4.8.1.2 Cálculo das medidas de Centralidade....................................................................... 62
4.8.1.2.1 Cálculo da Média Aritmética..................................................................................... 62
4.8.1.2.2 Cálculo da Mediana ................................................................................................... 63
4.8.1.2.3 Moda.......................................................................................................................... 64
4.8.1.3 Medidas de Dispersão................................................................................................. 64
4.8.1.3.1 Desvio Padrão............................................................................................................ 65
4.8.1.4 Diagrama de Caixa (Box Plot) ................................................................................... 65
4.8.2 Análise de Regressão ...................................................................................................... 66
4.8.2.1 Coeficiente de Correlação .......................................................................................... 68
4.8.2.2 Regressão Linear ........................................................................................................ 68
4.8.3 Cálculo de Probabilidades.............................................................................................. 70
4.8.3.1 Cálculo de Probabilidades com o modelo Normal................................................... 70
4.8.4 Construindo suas próprias ferramentas ........................................................................ 71
4.8.4.1 Construindo uma ferramenta para construção do gráfico da função normal de
densidade de probabilidade N(µ, σ). ..................................................................................... 71
5 SALA DE AULA E O LABORATÓRIO DO PROFESSOR .......................................... 75
5.1 Pesquisa, pesquisa em educação Matemática e suas importâncias..............................75
5.2 Contexto e sujeitos da pesquisa .......................................................................................77
5.3 A elaboração da sequência didática ................................................................................78
5.3.1 Estruturação da Sequência didática .............................................................................. 79
5.3.1.1 Primeira atividade ...................................................................................................... 80
5.3.1.2 Segunda atividade....................................................................................................... 83
5.3.1.3 Terceira atividade....................................................................................................... 84
5.3.1.4 Quarta atividade ......................................................................................................... 85
5.4 Análise da sequência didática e a sequência dos conteúdos .........................................87
5.5 Análise da aplicação da seqüência didática e principais implicações educacionais ...88
5.5.1 Primeira Atividade (Aproximação normal) ................................................................... 88
5.5.2 Segunda Atividade .......................................................................................................... 92
5.5.3 Terceira Atividade........................................................................................................... 98
5.5.4 Quarta Atividade........................................................................................................... 101
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS............................................................................................ 109
REFERÊNCIAS: .................................................................................................................. 111
APÊNDICE ........................................................................................................................... 115
13
1 INTRODUÇÃO
Recentemente a estatística vem ganhando cada vez mais espaço nas mídias como nos
noticiários, jornais e revistas, sendo muito comum encontrar informações provenientes de
análises qualitativas de dados que sintetizam informações do cotidiano e da vida moderna.
Esta relevância que este tema tem alcançado também vem influenciando os currículos, o que
pode ser observado na importância e destaque que os PCN´s de ensino fundamental e médio
dão ao termo Estatístico e Probabilidade.
A autora espanhola, Batanero (2001), destaca a recente incorporação da Estatística, de
forma geral, ao currículo de Matemática nos diferentes níveis de ensino que vão desde o
ensino fundamental até o ensino superior. Ainda segundo esta autora, a importância que o
ensino de Estatística vem ganhando, tem influenciando o desenvolvimento e o estudo de
currículos específicos da área.
Por outro lado, a distribuição normal de probabilidade é um tema de grande
importância para o desenvolvimento da Estatística inferencial, e ao mesmo tempo também
tem sua relativa importância para Matemática, pois este fora objeto de estudo de grandes
nomes da Matemática como Gauss, De Moivre e outros.
A crescente relevância da Estatística no currículo atual, e ao mesmo tempo a grande
importância da distribuição normal de probabilidade como conteúdo, justificam as intenções
de pesquisa deste objeto, vinculado às práticas educativas.
Neste trabalho pretendemos apresentar algumas possibilidades de utilização do
software Geogebra aplicado ao ensino e aprendizado da distribuição normal de probabilidade,
destacando possíveis simulações e construções que o programa permite realizar.
De acordo com esta proposta, o problema deste trabalho é investigar “se é possível, e
como um software de geometria dinâmica, o geogebra, pode ser utilizado para o ensino e a
aprendizagem da distribuição normal de probabilidade?”.
Na tentativa de alcançar resposta à questão de pesquisa, o objetivo principal deste
trabalho foi elaborar uma sequência didática (ZABALA, 1998), composta por atividades
investigativas (PONTE, 2003), que colabore para o ensino e aprendizagem da distribuição
normal de probabilidade, utilizando alguns recursos do software Geogebra.
Assim pretende-se: explorar algumas funções básicas do software aplicado à
distribuição Gaussiana; elaborar um tutorial do programa, que ilustra aplicação de algumas
ferramentas do software para a construção de representações da distribuição normal de
14
probabilidade, além de mostrar algumas ferramentas da Estatística; elaborar e aplicar uma
sequência didática que possibilite o ensino deste tópico, aplicando algumas ferramentas do
software, através de atividades investigativas; e finalmente, realizar uma análise a partir de
observações deste processo múltiplo composto por quatro práticas.
Conforme a composição deste texto, o segundo capítulo começa com a síntese
histórica, destacando as colaborações dos matemáticos de diferentes épocas, mas de períodos
próximos, De Moivre e Gauss, em seguida são feitas discussões sobre a sistemática deste
modelo.
No terceiro capítulo, são apresentadas as principais discussões educacionais
começando pelo surgimento da educação estatística, passando pela relevância deste tema para
educação matemática. Seguindo esta ordem, à questão das novas tecnologias, também é
incorporado às temáticas da educação estatística e matemática. Finalizando o segundo
capítulo, são apresentados os principais fundamentos pedagógicos envolvidos e o conceito de
sequência didática e atividade investigativa.
No quarto capítulo o foco é o software, onde são apresentados alguns conceitos
básicos de utilização, passando-se à utilização do programa para representação e construções
com o modelo normal, além de mostrar algumas ferramentas do pacote de Estatística
acrescentadas a partir da versão 3.2.
No quinto capítulo, são discutidos os elementos metodológicos da pesquisa, descrição
das turmas envolvidas, a elaboração e apresentação das intenções de cada atividade, chegando
à análise dos dados registrados a partir das quatro práticas, com as duas turmas.
Nas considerações finais, os principais resultados da pesquisa são apresentados e
algumas questões educacionais ligadas ao ensino deste tópico são mencionadas, além de
sugestões para futuras pesquisas.
15
2 DISTRUBIÇÃO NORMAL
2.1 Síntese Histórica
A distribuição normal é um modelo matemático que representa uma importante
ferramenta da Estatística. O modelo normal tem no seu processo de construção histórica, um
rico estudo epistemológico que passa pelo desenvolvimento e evolução de diversas áreas da
matemática.
A distribuição normal tem sua origem associada à observação do erro de mensuração,
no séc. XVIII. Há indícios de que tais erros de mensuração eram observados principalmente
pelos astrônomos, pois na tentativa de estimar as órbitas de corpos celestes havia
necessariamente um fator de erro de observação. No início, este fenômeno ficou conhecido
como lei do erro (STEWART, 1991).
O primeiro matemático a trabalhar com as distribuições de probabilidade foi o francês
Abraham De Moivre, entre (1667-1754). De Moivre era um exilado político, que foi para
Inglaterra onde conheceu Newton e Halley e em 1697 foi eleito membro da Real Academia de
Ciências.
De Moivre foi um importante colaborador no desenvolvimento na teoria de
probabilidade. Ele procurou dar sentido algébrico à teoria das probabilidades, sendo o
primeiro matemático a trabalhar com a expressão da lei do erro, por volta de 1733.
∞
∫e
0
− x2
dx =
π
2
(1)
Apesar De Moivre ser o descobridor da função normal, este objeto reverencia outro
importante matemático, o alemão Karl F. Gauss (1777- 1855), pois atualmente é muito
comum encontrar em livros e artigos do ramo, o enunciado com o título distribuição
Gaussiana. Tal fato se deve em razão das contribuições do matemático alemão Karl F. Gauss,
que também trabalhou e realizou estudos sobre lei dos Erros.
Embora o trabalho de Moivre seja recente, Gauss desenvolvera a teoria do erro
independentemente, pois o trabalho de Moivre ficou perdido por certo tempo
(MONTGOMERY, 2003).
Gauss realizou estudos em diversas áreas da Matemática. É possível que ele tenha
trabalhado com a lei dos erros, pós 1810, período em que se aproximou dos estudos do
16
cosmos e dedicou-se à astronomia. No observatório de Gottingëm, onde Gauss ocupava o
cargo de diretor, trabalhou na construção de instrumentos e observações astronômicas, que
possivelmente o levaram a resultados significativos para formulação da teoria dos erros
(BOYER, 1974).
De acordo com o modelo de Gauss, cada medida ou mensuração é exatamente igual à
medida ideal mais o erro de medição. Logo, os resultados obtidos em consequência de
repetidas medidas, que se diferem um do outro, se distribuem em torno de um valor ideal, ou
valor nulo (FREEDMAN, 2007).
É importante observar o trabalho e a colaboração efetiva que Gauss teve na elaboração
da lei do erro. Assim, o termo Distribuição Gaussiana, não pode ser visto como um modismo
de alguns autores, como o caso do “discriminante de uma equação do 2º grau”, ser designado
como fórmula de Bhaskara.
2.2 O Modelo Normal
A distribuição normal é representada algebricamente pela função de densidade de
probabilidade, apresentada abaixo:
1
f ( x) =
⋅e
σ 2π
( x− µ )2
2σ 2
(2)
Gráfico 1: Representação gráfica da função de densidade de probabilidade N(0,1)
Fonte: Construído no Geogebra
A expressão (2) é uma função de densidade de probabilidade, pois satisfaz as duas
condições:
f ( x ) ≥ 0, ∀ x ∈ R/ ;
(3)
∫ f ( x)dx = 1
R/
.
(4)
17
A função f(x) é uma função exponencial de uma variável real, que possui dois
parâmetros (µ) a média e (σ) desvio padrão. Trata-se de uma função composta por três dos
mais importantes objetos numéricos: e, π e
2.
A curva normal possui as seguintes propriedades:
1.
É simétrica em relação ao centro;
2.
f(x) tem máximo em (x = µ);
3.
lim f ( x) = 0
O limite da função f(x) é igual a zero, quando (x) tende para mais,
x → ±∞
ou menos infinito.
4.
Tem dois pontos de inflexões em x = µ ± σ ;
5.
A área total compreendida entre a curva até o eixo das abscissas é igual a 1.
Em decorrência das propriedades (2) e (3), a curva normal é assintótica em relação ao
eixo das abscissas, em ambas as direções.
Em relação aos parâmetros, para cada curva normal com média (µ) e desvio padrão (σ),
existe um e somente um par ordenado N(µ,σ). Através dos valores da média e do desvio
padrão, pode-se identificar cada curva ou função normal.
O exato formato de cada curva normal também dependerá dos parâmetros (µ) média e
(σ) desvio padrão. A variação destes respectivos parâmetros implica nos movimentos de
translação e achatamento do gráfico. No entanto, todas as representações normais são
simétricas, têm formato semelhante ao contorno de um sino e a área total sob a curva é igual à
área do quadrado ABCD (gráfico 2), que tem ao todo uma unidade de área cartesiana ao
quadrado.
O plano cartesiano abaixo (gráfico 2), mostra três diferentes curvas normais de acordo
com os respectivos parâmetros (µ) e (σ).
Gráfico 2: Diferentes curvas normais e quadrado de área unitária
Fonte: Construído no Geogebra
18
Quando se utiliza o modelo normal, o valor da média indica o centro da distribuição, e
o desvio padrão mede a dispersão do conjunto, indicando a variabilidade em relação ao centro.
Aproximadamente 68% da área total da curva está localizada entre µ ± σ e
estendendo aproximadamente 95% da área total está localizada entre µ ± 2σ . O intervalo
maior µ ± 3σ da (gráfico 3), contempla aproximadamente 99,7% da área total compreendida
sob a curva e o eixo (x). Estes valores podem ser obtidos através do método empírico,
extraídos de qualquer conjunto numérico que seja modelado por uma distribuição normal.
Gráfico 3: Curva normal e pontos notórios
Fonte: Construído no Geogebra
2.3 Cálculo de Probabilidade
A probabilidade em distribuições normais sempre está associada a valores de área sob
a curva. A área total sob qualquer curva normal é sempre igual 1 ou (100% de probabilidade).
Para qualquer que sejam os valores da média (µ) e do desvio padrão (σ), a probabilidade de
uma variável aleatória (x) variar entre ( −∞, ∞) será sempre igual a 1 ou (100% de
probabilidade).
A probabilidade em distribuições normais será calculada em temos de valores
contínuos. Em síntese, a probabilidade de uma variável aleatória contínua que segue a
distribuição normal, (x) assumir um valor entre dois pontos quaisquer é igual à área sob a
curva normal entre estes pontos.
Gráfico 4 : Área sob a curva normal entre os pontos [µ, a]
Fonte: Construído no Geogebra
19
Observe que a área de probabilidade delimitada pelo o intervalo [µ, a] (gráfico 4) é
superior a área delimitada pelo intervalo [µ, b] (gráfico 5). Logo, podemos dizer que um dado
valor aleatório de (x) tem maior probabilidade de estar entre [µ, a] do que entre o intervalo [µ,
b].
Gráfico 5 : Área sob a curva normal entre os pontos [µ, b]
Fonte: Construído no Geogebra
O cálculo de probabilidade será efetuado em relação a um intervalo contínuo. Por
outro lado, a probabilidade de predizer um valor exato será igual a zero, pois:
P ( X = x0 ) =
x0
∫ f ( x)dx = 0
(5)
x0
Para efetuar cálculos de probabilidade com modelo normal, basta medir a quantidade
de área sob a curva e o eixo (x), em relação a um dado intervalo (a, b) ∈ R/ (gráfico 6).
Gráfico 6 : Área sob a curva normal entre os pontos [ a,b]
Fonte: Construído no Geogebra
Se os valores dos parâmetros (µ) e (σ) forem conhecidos, a área da região é dada por:
b
P(a < x < b) = ∫ f ( x)dx
(6)
a
O cálculo da área desta região exige recursos do cálculo diferencial integral, além de
que este tipo de função não possui integral algébrica. Neste o caso, o método de Simpson
pode ser utilizado, que é uma questão de interesse do cálculo numérico.
20
2.4 Distribuição normal Padronizada
O cálculo de probabilidade normal pode ser simplificado quando utilizamos valores
tabelados, que permitem encontrar facilmente os valores de probabilidades desejados.
Como a função de densidade de probabilidade representada pela expressão (2) está
associada aos parâmetros (µ) e (σ), neste caso é possível utilizar a escala padronizada (z), para
efetuar a mudança de variável, transformando a variável aleatória (x) na variável aleatória (z).
z=
x−µ
(7)
σ
A escala (z) permite associar os valores de (x), com valores da escala (z), de acordo
com os respectivos valores de (µ), (σ). Assim, não será necessário construir tabelas para cada
função normal N(µ,σ).
O valor da escala (z) indica intensidade de afastamento da variável (x) até a média (µ),
em relação ao desvio padrão (σ). Ou seja, é o comprimento relativo em desvios padrões, entre
a média (µ) até o ponto (x).
A distribuição normal padronizada é representada pela curva normal de parâmetros
N(0,1), indicada no (gráfico 7 ).
Gráfico 7 : Área sob a curva normal entre os pontos [µ, 2,5]
Fonte: Construído no Geogebra
Como a curva normal é simétrica, basta obtermos as áreas de apenas um dos lados. Os
valores (z) da (tabela 1) são os respectivos valores de áreas, compreendidas entre a média e
um ponto (x) à direita da média.
Se um dado conjunto que tem média (µ=10) e desvio (σ =0.5), vamos calcular a
probabilidade de (x) variar entre a média até o ponto (x= 11,25).
Primeiro calcula-se o respectivo valor de (z).
z=
(11,25) − (10)
⇒ z = 2,5
0,5
(8)
21
Com o valor de z= 2,5 a área compreendida entre a média (µ) e o ponto (x) é dado pelo
valor de (z) na (tabela 1), localizado na intersecção da vigésima primeira linha com sexta
coluna. P (10 ≤ x ≤ 11,25) = P (0 ≤ z ≤ 2,5) = 0,4938 ou 49,38% de probabilidade.
Gráfico 8 : Área sob a curva normal entre os pontos [0, z]
Fonte: Construído no Geogebra
A (tabela 1) representa os valores de área ou probabilidade compreendidas entre a
média (µ=0) até o ponto (z). No entanto, para uma distribuição de média e desvio padrão
qualquer, com a expressão (7) é possível converter a variável aleatória (x) em padronizada (z),
e com o respectivo valor de (z) encontra-se a probabilidade requerida.
Quando se utiliza o modelo normal para efetuar cálculo de probabilidades, muitas
vezes até passa despercebido o quanto o conhecimento Matemático precisou evoluir para que
fosse possível utilizar o modelo normal aplicado à probabilidades. O simples fato dos objetos
matemáticos serem utilizados pela Estatística de uma forma pragmática pode esconder a
essência de um verdadeiro estudo epistemológico que transcorreu até a forma atual. Pois o
conceito de área ou probabilidade com o modelo normal está associado a um dos principais
conceitos do cálculo que é a possibilidade de integração.
Um pouco mais a fundo, olhando para o desenvolvimento do cálculo, remete ao estudo
do pré-cálculo e a continuação desta observação percorre a teia de grande parte do território
da matemática, o que mostra a posição de destaque que o modelo normal exerce.
Mesmo que de uma forma indireta, o estudo do modelo normal mostra-se uma grande
extensão de trânsito livre entre diferentes áreas e conceitos matemáticos, que vai desde a
teoria de probabilidades passando pela análise real, geometria analítica, aritmética e outras
áreas, e ao mesmo tempo, a concepção do modelo normal dá passagem para outro importante
campo da ciência a Estatística Inferencial.
22
Tabela 1
Área ou probabilidade para distribuição normal padrão (ANDERSON, 2002)
23
3. EDUCAÇÃO ESTATÍSTICA, ATIVIDADE INVESTIGATIVA E SEQUÊNCIA
DIDÁTICA
3.1 Educação Estatística, uma atitude didática em construção
Recentemente a estatística vem ganhando cada vez mais espaço nas mídias como nos
noticiários, jornais e revistas, sendo muito comum encontrar informações provenientes de
análises qualitativas de dados, que sintetizam informações do cotidiano e da vida moderna.
Esta relevância que este tema tem alcançado também vem influenciando os currículos, o que
pode ser observado na importância e destaque que os PCN´s de ensino fundamental e médio
dão ao termo Estatístico e Probabilidade1.
Com relação à estatística, a finalidade é fazer com que o aluno venha a construir
procedimentos para coleta, organização, comunicar e interpretar dados, utilizando
tabelas, gráficos e representações que aparecem freqüentes em seu dia-adia.(BRASIL, pg 56, 1997)
Em termos da probabilidade, os PCN´s (1997) destacam a importância do efeito do
aleatório na natureza e a compreensão de que grande parte dos acontecimentos cotidianos são
frutos de eventos aleatórios. A escola deve trabalhar de forma intuitiva as noções de acaso e
incerteza, na medida em que se explorem situações experimentais em observação de espaços
equiprováveis.
Autores como Turkman e Ponte (2000), Batanero (2001), destacam a recente
incorporação da Estatística de forma geral, ao currículo de Matemática nos diferentes níveis
de ensino, que vão desde o ensino fundamental até o ensino superior. Ainda segundo Batanero
(2001), esta importância que o ensino de Estatística vem ganhando tem influenciado o
desenvolvimento e o estudo de currículos específicos da área.
No entanto, conforme Turkman e Ponte (2000), em muitos casos estes temas têm sido
colocados em segundo plano na estrutura curricular, sendo o primeiro tópico descartado em
caso de adaptação do programa de curso. Este fato pode ser explicado em grande parte pela
falta de aptidão e conhecimentos sobre o assunto, de muitos professores de matemática.
1
Lopes (2008) observa a incorporação do tema Estatística e Probabilidade no ensino infantil, destacando a
incorporação destes temas no currículo através de projetos, que podem ser propostos tanto pelo professor quanto
escolhidos pelos alunos.
24
A preocupação com a melhora do ensino e aprendizagem estatística é objeto de
interesse de estudo para própria estatística justificado pela necessidade de formação de
profissionais da área. Desta preocupação emerge a temática de uma Educação Estatística
associada ao estudo da didática deste assunto, que ao mesmo tempo também é temática de
interesse da educação matemática (BATANERO, 2001).
Todavia, a temática da educação estatística passa a ser objeto de estudo da educação
matemática como uma especificidade, na medida em que o “tratamento de informação” é
incorporado ao currículo de Matemática.
Apesar da aparente aproximação entre educação Estatística e Matemática, o mesmo já
não pode ser observado em relação à Estatística e à Matemática como ciências. Enquanto a
Estatística se consolida como uma ciência própria, se desvincula e segue uma tendência
natural de afastamento da Matemática como ciência pura. Este afastamento parece ser
próximo do que aconteceu com as demais ciências em relação à Filosofia.
Por outro lado existem pontos de contraste entre a educação Estatística e Matemática
que devem ser pontuados para que seja possível o desenvolvimento de pesquisas e
experimentação de métodos de ensino adaptados à proficiência e necessidades específicas da
Estatística (BATANERO, 2001).
Para Campos (2007), apesar da Estatística fazer parte da Matemática escolar, existem
pontos de discordância em relação à didática da Estatística, pois o trabalho Estatístico lida
com objetos e conteúdos de forma distinta da Matemática. No entanto, o autor destaca
aspectos de aproximação entre ambas reforçada pela educação crítica, que é pautada pela:
competência crítica do aluno, currículo crítico e o ensino e aprendizagem voltada para
resolução de problemas e questões investigativas.
A compreensão de um modelo de educação Estatística deve também estar voltada para
questões epistemológica da Estatística, que conta com sua axiomática própria. Em termos
desta axiomática, a base Matemática tem um caráter definidor dos conceitos Estatísticos.
A estrutura axiomática da Estatística pode ser divida de modo que princípios de
aleatório e a incerteza tenham elementos e aspectos de uma lógica ou determinística da
Matemática. Por outro lado, existem outros elementos tais como a escolha da forma de
organização dos dados, o resumo, a simplificação, a interpretação, a reflexão e a tomada de
decisões mostrando uma fase mais subjetiva do tratamento estatístico (CAMPOS, 2007). Este
tipo de tratamento estatístico mostra-se uma ferramenta eficaz na solução de problema geral
da ciência, na medida em que é possível analisar questões científicas particulares, através da
axiomática Estatística como uma ferramenta metodológica.
25
Em suma, os principais desafios da Educação Estatística refletem sobre o ensino e
aprendizagem diante de uma problemática e da importância do seu ensino; dos temas e de
como abordá-los; das dificuldades de ensino e aprendizagem; de como fazer a formação
inicial de professores, desenvolvimento e aperfeiçoamento de prática de ensino nesta área
(TURKAM; PONTE, 2000).
3.1.1 Educação Estatística e as tecnologias da informação
A evolução e a presença das Tecnologias da Informação (TIC´s) têm modificado a
ação humana e tornando o sistema cotidiano ligado à tecnologias, o universo on-line. Esse
efeito tem consequência em diversas áreas do conhecimento inclusive na Estatística como
ciência pura e também no ensino como uma potencial ferramenta metodológica.
A utilização de meios tecnológicos pode ser tão antiga quanto a nossa origem, pois
segundo Guimarães e Lages (1985) o primeiro computador utilizado pelo homem foi o
monumento de STONEHENGE, por volta de (2600 a.C.- 1700 a.C.). Este dispositivo é capaz
de trabalhar com dados astronômicos dos movimentos solares e lunares sendo capaz de prever
eclipses.
No entanto, a evolução concisa dos computadores passa obrigatoriamente pelo
desenvolvimento da idéia de números e base numérica. Destaque os nomes de Napier, Pascal,
Leibnitz e outros. Estes matemáticos colaboram na construção de equipamentos para
realização de cálculos, mas a evolução destes artefatos passou a ser tão proeminente que estes
instrumentos passaram a ser capaz, de ao mesmo tempo, além de processar dados, armazenar
informações como o próprio programa de instruções. A fantástica evolução e
desenvolvimento dos computadores são apontados como a grande façanha da Matemática, no
século XX (EVES, 2004).
Por outro lado, o desenvolvimento das tecnologias da informação tem surgido como
facilitador ao tratamento da informação, o que permite cada vez mais trabalhar com grandes
conjuntos numéricos de modo rápido, prático e seguro. Assim, a necessidade de utilização de
tecnologias da informação na análise numérica colabora para o desenvolvimento da própria
ciência e ao mesmo tempo gera novas perspectivas de ensino e aprendizado deste assunto.
Muitos são os estudiosos que apostam na utilização de tecnologias da informação para
o aprimoramento dos mecanismos de ensino e aprendizagem de Estatística.
26
Segundo Freitas (2000) a utilização de calculadoras gráficas no ensino de Estatística,
pode ser perfeitamente empregada sem desprezar os procedimentos de cálculo intermediários.
Para esse autor, tanto o ensino de Matemática como o ensino de Estatística devem tirar
proveito destas ferramentas utilizando-se do cálculo direto para se chegar na formulação de
conjecturas.
Para Canavarro (2000) estes equipamentos permitem tanto a professores e alunos,
rapidez e rigor na produção de medidas Estatísticas, o que possibilita ao aprendiz maior
concentração de sua atenção nos aspectos mais elaborados e complexos do trabalho, como na
interpretação, organização e simplificação. Assim, permitem ao aluno tratar os objetos
Estatísticos de uma forma exploratória e investigativa.
Batanero (2001) reconhece a importância das tecnologias da informação para o
trabalho estatístico e defende sua utilização no ensino deste tema devido às grandes vantagens
dos computadores com seu dinamismo, velocidade e crescente quantidade de novos softwares
que permitem explorar todos os aspectos do processamento de dados, o que possibilita
agregar novos tópicos ao ensino de Estatística.
As tecnologias da informação têm modificado a ação humana, e à medida que é
possível, utilizando-se essas ferramentas, mediar processos e gerar serviços mais eficientes e
seguros. A procura por métodos e procedimentos tecnológicos que agilizem a ação humana,
sempre foi objeto de interesse contínuo crescente, desde os primórdios aos dias atuais. É
importante observar que, assim como em outras áreas, os novos meios tecnológicos têm
gerado novas perspectivas de promoção do ensino e aprendizagem sustentável.
Diante de tais circunstâncias a utilização de tecnologias da informação no ensino
mostra-se como um caminho sem volta, pois ao negar a aproximação da ação humana com
novas tecnologias seria negar a própria evolução do conhecimento. Logo, cabe ao professor
procurar medidas e meios que possam aproximar sua prática das tecnologias, na medida em
que se possa aprimorar e enriquecer os processos de ensino e aprendizado.
27
3.1.2 As tecnologias da informação e as questões críticas
A utilização de tecnologias da informação e educação têm sido uma temática presente
nas últimas décadas, tanto no Brasil quanto no exterior e provavelmente esta discussão
permanecerá nos próximos anos. No entanto, o mais importante é evoluir sob aspectos
relacionados a esta discussão, de modo que se reflita, sobre o novo palco educacional e a
presença destes “novos atores”, os computadores e as demais tecnologias (BORBA, 2005).
Durante a década de 80 e parte da década de 90, a grande discussão ainda era sobre a
utilização ou não, de tecnologias da informação. Pois, ainda havia grandes preocupações e
dúvidas sobre as consequências e possíveis danos que as tecnologias poderiam causar,
tornando o aluno um mero operador, que apenas aperta teclados de uma máquina, que detém
ela própria, toda autossuficiência do raciocínio lógico-matemático (BORBA, 2005).
Este tipo de discurso pode ganhar força entre aqueles que pouco conhece sobre os
computadores, seu emprego e suas finalidades. Pois, se de algum modo o computador
passasse a ser o responsável pela formulação do raciocínio lógico-matemático, inserido na
resolução de problemas, o aluno não precisaria desenvolver estas habilidades e deixaria para o
computador.
Este tipo de tese pode ser facilmente refutado pela simples forma como as novas
tecnologias são utilizadas pelas pesquisas científicas de modo geral. Pois, dado um problema
científico qualquer, caberia ao investigador operar o computar e já teria a resposta. O que é
absurdo!
A idéia é utilizar as tecnologias da informação e tirar proveito dos inúmeros recursos e
capacidade de representações que estas mídias oferecem, do mesmo modo que outras mídias
como oralidade, lápis e papel também são utilizadas.
Segundo Borba (2005) a construção do trabalho escolar e produção de conhecimento
têm um forte vínculo e dependência de diferentes mídias.
[...] essa dependência existirá e estará bastante relacionada ao contexto educacional
em que nos encontremos. Esse contexto está sempre geográfica e historicamente
determinado e sua constituição depende também da disponibilidade de mídias como
a oralidade, lápis e papel e a informática. (BORBA, p 13, 2005)
Borba (2005) formula uma observação crítica quanto a como se utilizar estas mídias,
em especial as tecnologias da informação, e segundo ele é importante observar para quais
28
problemas educacionais o computador é a resposta, ou até mesmo como as novas tecnologias
podem colaborar para o processo ensino e aprendizagem.
Questões como estas não têm uma única resposta, pois se tratam de um processo
complexo que envolve vários fatores como a disponibilidade do professor, tradição didática,
parâmetros institucionais e outros que talvez não sejam tão fáceis de reconhecê-los.
Do ponto de vista epistemológico, estes tipos de questões são vistos como de enorme
valor, pois através de questões como estas, podem levar ao exercício da reflexão, e assim,
exercitar a dúvida e o questionamento na busca de soluções que permeiam o trabalho
científico.
A extensão deste trabalho, passa pelo exercício de se pensar, para quais problemas
educacionais o computador pode trazer soluções? E a nossa proposta, mostra um universo de
possibilidades de utilização de softwares de geometria dinâmica, aplicado ao ensino de
distribuições contínuas de probabilidade.
3.1.3 O uso de softwares de geometria dinâmica no ensino de Estatística, uma possibilidade
empreendedora
A utilização de programas de geometria dinâmica e educação estatística não é algo
inédito, pois desde 2000 em um artigo publicado pelo Departamento de Educação e de
Estatística e Investigação Operacional da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa,
os autores Santos e Pedro (2000), já tinham apresentado algumas das possibilidades de
incorporação de programas de geometria dinâmica ao ensino de Estatística.
Os programas de geometria dinâmica podem ser aplicados à estatística devido ao
simples fato que a geometria, e muito mais a geometria associada algum dinamismo
se aplicada a diversas situações mundanas. Outra desmistificação que deve ser feita
é o fato dos programas de geometria dinâmica poderem ser utilizados de mais
maneiras além da simples construção por parte dos alunos. (SANTOS, PEDRO,
2000, p.168)
Segundo os autores, os programas de geometria dinâmica podem ser utilizados de três
formas distintas: Trabalhos sobre situações já feitas; Substituição de Acetatos (slides);
Construções feitas pelos alunos.
29
Os autores dão alguns exemplos de aplicações de programas de geometria dinâmica
aplicados ao ensino dos seguintes tópicos: medidas de tendências centrais; correlação; e
construção de medidas descritivas gráficas, como quartis e diagrama box plot.
Podem ser feitas obviamente muitas outras sugestões para aplicação dos programas
de geometria dinâmica à estatística. [...]. Importante dizer que nós como professores
devemos tem um papel ativo, no sentido em que devemos procurar as nossas
próprias idéias, não ficando apenas acomodados a algumas idéias que nos foram
sugeridas. (SANTOS, PEDRO, 2000, p.177)
Por outro lado, a aplicação de novas tecnologias ao ensino não é algo tão simples, pois
a utilização destas ferramentas deve passar por um cuidadoso processo que, segundo Pais
(2008), retrata como vigilância didática. Uma vez que esse devido cuidado, se não for tomado,
pode conduzir ao fracasso da validade educacional.
A aplicação de uma teoria deslocada de seu território original torna-se estéril, perde
seu significado, obscurece sua validade e confunde a solução do problema estudado
naquele momento. Assim, é preciso sempre estar atento à eficiência de uma
interpretação pedagógica, o que depende fortemente da consciência de quem analisa
o fenômeno. Em suma, é necessário o exercício de uma vigilância didática. (PAIS,
2008, p.23)
Diante desta perspectiva apontada por Pais, a vigilância didática deverá ser um
exercício quase que constante de todo trabalho escolar, pois a princípio, pretendemos difundir
o saber e conhecimentos de ramos distintos das Ciências Matemáticas. Logo, o grande
desafio de nossa pesquisa será direcionado pela questão: como explorar o uso de um software
de geometria dinâmica no ensino de distribuição normal de probabilidade?
A possibilidade empreendedora de utilizar-se um software de geometria dinâmica,
aplicado ao ensino de distribuição normal, será estruturada por uma sequência didática
(ZABALA, 1998), composta por atividades investigativas (PONTE, 2003)
3.2 Atividade Investigativa, resolução de problemas e uma postura didática
questionadora
A atividade investigativa é uma proposta metodológica de ensino que procura romper
com a proposta tradicional e tecnicista. Este tipo de prática de ensino exige novas demandas e
coloca a questão do ensino e aprendizagem sob uma perspectiva problematizada. A aplicação
30
desta proposta didática pode ser um grande exercício de amadurecimento para os sujeitos
envolvidos no processo.
Segundo Ponte (2003) este tipo de trabalho ou prática de ensino, procura utilizar a
síntese do trabalho investigativo dos matemáticos, dentro dos limites circunstanciais da sala
de aula. Diante desta perspectiva há uma busca por situações onde o aluno possa exercitar a
ação investigativa ou ato de inquirir, e mediante esta ação coordenada, ou não, ele passa a ser
o agente responsável pela produção de conhecimento e significados próprios e coletivos.
No entanto, em contextos educacionais, investigar não significa trabalhar com
questões absolutamente complexas e sofisticadas, pois este tipo de prática visa à formulação
de questões, observação de regularidades e padrões, na medida em que se procura a
formulação de respostas fundamentadas em observações e experimentações com objetos
matemáticos.
Desse modo, investigar não representa obrigatoriamente trabalhar em problemas
muito difíceis. Significa, pelo contrário, trabalhar com questões que nos interpelam e
que se apresentam no início de modo confuso, mas que procuramos clarificar e
estudar de modo organizado. (PONTE, p 9, 2003)
É importante que o professor perceba esta possibilidade de utilizar a atividade
investigativa como uma poderosa forma de construção de conhecimento, na medida em que a
atividade possibilite ao aprendiz à formulação de conjectura, teste das questões levantadas e
até mesmo, quando possível, a formulação da prova formal. Para Ponte (2003) o processo de
investigação é caracterizado pelo estilo conjectura-teste-desmonstração.
Silva (1999) observa a atividade de investigação como um trabalho que envolve um
percurso de tentativa e erro, de modo que se permita formulação de conjecturas e teste, análise
de analogias, com o propósito de validar ou refutar questões levantadas. Assim, atividade de
investigação permite uma ação reflexiva e crítica sobre os objetos e conceitos matemáticos.
No entanto, para Silva (1999) as atividades matemáticas escolares devem privilegiar o
processo de experimentação, e sendo as atividades investigativas uma metodologia
privilegiada que legitime o processo de experimentação e permita a integração de atitudes,
capacidades e conhecimentos. Pois, deste modo, a aprendizagem matemática não ficará
restrita a um processo em que os alunos apenas têm contato com o produto final.
Embora o uso de atividades investigativas possa parecer uma possível solução para
muitos dos problemas de ensino e aprendizagem, ao contrário, este tipo de abordagem
metodológica traz uma série de dificuldades tanto para o professor quanto para os alunos.
31
Em um ambiente de investigação, o professor tem um novo papel, em que se coloca
como um mediador, que orienta para que os próprios alunos cheguem à construção de
respostas de forma autônoma e, ao mesmo tempo alinhar a prática com certas exigências
curriculares. A criação de um ambiente favorável à prática investigativa também é uma
atribuição do professor, pois os alunos necessitam de motivação para realizar as atividades.
Para os aprendizes, o ambiente de aprendizagem investigativa não o poupa de
exigências, pois neste cenário eles serão os grandes protagonistas responsáveis pela produção
de conhecimento coletivo e particular. Pois, diante de uma descoberta, eles tendem a
compartilhar as observações próprias com o grupo e com o professor.
Ponte (2003) coloca a questão, da postura do professor e dos alunos, como aspectos
problemáticos, pois,
“ não é evidente o modo de promover nos alunos (e nos professores) as atitudes e as
competências necessárias para o trabalho de investigação. Além disso, há sempre o
risco de propostas de trabalho investigativo resultarem na aplicação de
procedimentos rotineiros, como fazer tabelas ou procurar regularidades. Finalmente,
não é obvio como pode o professor articular a realização de investigações com os
outros tipos de atividades que necessariamente terão de existir na sala de
aula”(PONTE, p 10, 2003)
Essa questão crítica pode ser observada no momento inicial das atividades, pois
segundo Ponte (2003), quando os alunos têm pouca ou nenhuma experiência com atividades
investigativas, necessitam de certo estímulo ou “arranque da aula” e cabe ao professor mediar
este momento, e assim, garantir que todos tenham entendido os objetivos da atividade.
Por outro lado, o professor deve estar atento quanto às fases necessárias para resolução
de problemas. Segundo Polya (1995) quando se procura a solução de uma questão, em muitos
casos, o ponto de vista pode variar continuamente até que se chegue à solução.
Primeiro, temos de compreender o problema, temos de perceber claramente o que é
necessário. Segundo, temos de ver como os diversos itens estão inter-relacionados,
como a incógnita está ligada aos dados, para termos idéia da resolução, para
estabelecermos um plano. Terceiro, executamos o nosso plano. Quarto, fazemos um
retrospecto da resolução completa, revendo-a e discutindo-a.( POLYA, p 3, 1995)
A atuação e a intervenção do professor durante a atividade investigativa devem ser
observadas com cuidado, pois é preciso utilizar um método questionador, começando com
indagações ou sugestões genéricas, quando necessário, dar exemplos específicos e concretos
de modo provocativo, com o objetivo de intensificar o processo de experimentação na mente
do estudante (POLYA, 1995).
32
O importante é que a intervenção do professor permita ao aluno o exercício da
reflexão, e ao mesmo tempo, as questões apresentadas pelo professor possam corrigi-lo
através das possíveis contradições. Assim, o professor não dá respostas prontas, o que o
qualifica como um verdadeiro mediador de processos investigativos.
Uma pedagogia baseada em processos investigativos é algo complexo e exige do
professor uma série de habilidades múltiplas, que serão desenvolvidas e consolidadas com o
exercício da prática.
No entanto, Ernest (1996) observa que uma prática pedagógica voltada para inquirição
e investigação deve levar em conta o contexto social da turma. Esta questão deve ser
compreendida pelo professor, de modo que, a elaboração e aplicação das atividades devem
levar em conta as possibilidades da turma e do professor.
A abordagem pedagógica baseada no método de inquirição pode ter seus conceitos
bem amplos, estendendo desde a descoberta guiada até à abordagem investigativa. Segundo
Ernest (1996) este percurso, entre a descoberta guiada até a prática investigativa, envolve uma
grande mudança de postura do professor, que deixa de exercer o total controle sobre os
métodos utilizados pelos aprendizes e sobre a escolha, tais como dos conteúdos de
investigação. Diante desta perspectiva, os alunos ganham maior autonomia e poder de autoregulação da situação de investigação, e isto também exige um grande amadurecimento por
parte dos aprendizes, o que não será algo imediato e elementar.
3.3 Sequência Didática
Segundo Zabala (1998), a configuração de atividade e práticas educativas não é algo
simples, pois estes processos são altamente complexos e obedecem a múltiplos determinantes,
que podem ser apontados pelos parâmetros institucionais, tradições metodológicas,
capacidade real dos professores e também das condições físicas impostas. De acordo com a
linha de raciocínio do autor, a análise destas variáveis tem apelo em alguns aspectos concretos,
que buscam explicações parcelando a realidade, e podem perder o sentido unitário do
processo de ensino e aprendizagem.
33
Entender a intenção pedagógica exige situar-se num modelo que a aula se configura
como um microssistema definido por determinados espaços, uma organização social,
certas relações interativas, uma forma de distribuir o tempo, um determinado uso
dos recursos didáticos, etc., onde os processos educativos se explicam como
elementos estreitamente interligados neste sistema. Assim, pois, o que acontece na
aula só pode ser examinado na própria interação de todos os elementos que nela
intervêm. (ZABALA, 1998, p.16)
Ao analisar a fala do autor, podemos ter certa noção do local onde a pesquisa
educacional deve ser realizada, pois somente na sala de aula dispomos de todo esse sistema
complexo e articulado de variáveis, e seu estudo passa a ser interessante na medida em que
dispõem de dados provenientes deste recinto.
Para investigarmos melhor o processo de ensino e aprendizagem vamos apropriar da
unidade mais elementar que constituem este processo, que segundo este autor, denomina
como atividade:
[..] uma exposição, um debate, uma leitura, uma pesquisa bibliográfica, tomar notas,
uma ação motivadora, uma observação, uma aplicação, um exercício, o estudo, etc.
Desta maneira, podemos definir as atividades ou tarefas como uma unidade básica
do processo de ensino-aprendizagem, cujas diversas variáveis apresentam
estabilidade e diferenciação: determinadas relações interativas professo-aluno e
alunos-alunos, uma organização grupal, determinados conteúdos de aprendizagem,
certos recursos didáticos, uma distribuição do tempo e do espaço, um critério
avaliador; tudo isto em torno de determinadas intenções educacionais, mais ou
menos explícitas. (ZABALA, 1998, p.17)
A atividade, vista como uma unidade elementar tem papel importante para ilustrar os
diferentes estilos pedagógicos, embora esta ganhe outra dimensão quando se enquadra,
naquilo que Zabala (1998) chama de unidade curricular, ou sequência didática.
A maneira de configurar as seqüências de atividades é um dos laços mais claros que
determinam as características diferenciais da prática educativa. Desde o modelo
tradicional de “aulas magistral” coma seqüência: exposição, estudos sobre
apontamentos ou manual, provas, qualificações (até o modelo de “projetos de
trabalho global” escolha do tema, planejamento, pesquisa e processamento da
informação, índice, dossiê de síntese, avaliação), podem ver que todos têm como
elementos identificadores as atividades que compõem, mas que adquirem
personalidade diferencial segundo o modo como se organizam e articulam em
seqüência ordenadas. (ZABALA,1998, p.19)
A análise da prática docente a partir de uma sequência, mostra relevância pois essa
permite ampliar o significado da unidade elementar. Assim, novas unidades compõem a
unidade referencial, o que permite um estudo processual incluindo três fases: o planejamento,
aplicação e avaliação.
34
De um modo geral, Zabala (1998) analisa a sequência através dos elementos centrais
que a compõem juntamente com seus objetivos propostos. Logo, este autor define a sequência
didática como “conjunto de atividades ordenadas, estruturadas e articuladas para a realização
de certos objetivos educacionais, que têm um princípio e um fim conhecido tanto pelos
professores como pelos alunos.”(Zabala, 1998, p 18)
Esta maneira de estruturação da prática educativa, através da sequência didática,
permite articular diferentes atividades que compõem a unidade elementar. Assim, por meio da
sequência didática, Zabala (1998) coloca as diferentes formas de intervenção nas diferentes
atividades, seguindo o sentido ou objetivos de cada atividades dentro da seqüência ordenada,
e ao analisar a sequência pode-se ter uma noção panorâmica da função de cada atividade na
construção do conhecimento.
Nogueira Junior (2008) em sua pesquisa defende o uso de atividades investigativas
articuladas através da sequência didática de Zabala (1998). “A articulação das atividades se
faz necessária para garantir a construção do significado num contexto mais amplo, que
permite a interação entre os diferentes temas, resultando em diversas aplicações”.
(NOGUEIRA JUNIOR, 2008, p 55)
O contexto da atual pesquisa visa formatação de uma sequência didática de Zabala
(1998), estruturada através de atividades investigativas de Ponte (2003), que permita e
viabilize o ensino de distribuição normal de probabilidade através do software Geogebra.
Assim, a presente proposta procura apresentar o tópico proposto através de uma sequência de
quatro atividades ordenadas.
De um modo geral, o docente deve procurar partir das finalidades ou objetivos
educacionais propostos. Estes objetivos, que em muitos casos podem ser ou não explícitos,
são o ponto de partida para avaliar a prática educativa.
Para Zabala (1998) a análise da prática educativa deve seguir os objetivos
educacionais propostos, de modo que se faça uma observação ampla do processo atingindo o
que o autor chama de currículo oculto. Neste currículo oculto, estão inseridas aquelas
aprendizagens que se realizam no ambiente escolar, mas não aparece de uma forma explícita
ou palpável no plano de ensino, pois não estão apenas associados a habilidades e
competências.
Normalmente o termo “conteúdo” é o grande referencial daquilo que deve ser
ensinado e aprendido. Segundo Zabala (1998) a análise da prática visando apenas o conteúdo
com um sentido estritamente disciplinar e de caráter cognitivo, atende aos critérios de um
ensino acumulativo que decorrem de uma prática uniformizada e essencialmente transmissora,
35
através da aula magistral. Assim, caracterizando o que o autor chama de modelo tradicional,
onde as relações interativas devem seguir o fluxo professor/aluno de forma direta.
Zabala (1998) observa que a definição de conteúdo de aprendizagem deve ser vista sob
uma forma ampla, não-restrita apenas aos conteúdos disciplinares, na medida em que
aprender não abrange apenas as capacidades cognitivas, e sim também envolve uma série de
outras capacidades como a motora, afetiva, de relações interpessoais, inserção social e etc.
Diante desta circunstância de uma natureza de conteúdo tão variado, a análise concisa
da prática educativa deve seguir uma grande potencialidade tipológica do conteúdo, e assim,
agrupando-os como: conceituais atitudinais e procedimentais (ZABALA, 1998).
Esta classificação corresponde respectivamente às perguntas “o que se deve saber?”,
“o que se deve saber fazer?” e “como se deve ser?”, com o fim de alcançar as
capacidades propostas nas finalidades educacionais.(ZABALA, 1998, p 30)
Uma observação importante relativa à tipologia dos conteúdos é que esta não deve ser
a mesma em cada etapa ou período educacional. Zabala (1998) coloca que nas séries iniciais,
exista um maior equilíbrio dos diversos conteúdos, dando prioridade as procedimentais e
atitudinais, e à medida que vai se avançando nos demais níveis escolares há um incremento
dos conteúdos conceituais em detrimento dos demais.
3.3.1 Análise da tipologia dos conteúdos
Ao analisar as condições gerais de ensino e aprendizagem, diferenciando os conteúdos
segundo sua natureza tipológica, permite, segundo a percepção de Zabala (1998), identificar
as intenções do processo educativo.
No entanto, é importante observar que os princípios genéricos dos conteúdos se
aproximam, na medida em que se distinguem conforme a sua tipologia, independente do fator
disciplinar. Esta é uma importante observação, que tem efeito de aproximação entre a
aprendizagem de diferentes áreas.
36
Se mudarmos de ponto de vista e, em vez de nos fixar na classificação tradicional
dos conteúdos por matéria, consideramo-los segundo a tipologia conceitual,
procedimental e atitudinal, podemos ver que existe uma maior semelhança na forma
de aprendê-los e, portanto, de ensiná-los, pelo fato de serem conceitos, fatos,
métodos, procedimentos, atitudes, etc., e não pelo fato de serem abstratos a uma ou
outra disciplina. (ZABALA, 1998, p 39)
De acordo com Zabala (1998) o conhecimento de aprendizagem, sob uma forma
genérica, adquire característica determinada pela diferença tipológica de cada um dos diversos
tipos de conteúdos.
3.3.1.1 O Conteúdo Conceitual
Segundo o referencial teórico Zabala (1998), os conceitos ou princípios são entidades
abstratas, que se referem a determinados conjuntos específicos de símbolos e objetos, e
normalmente estão associados a estruturas que descrevem uma relação de causa-efeito.
Em síntese, o conteúdo conceitual é caracterizado pela necessidade de compreensão.
Logo, pode-se dizer que aprendeu um determinado conceito ou princípio, quando interpretar o
seu significado associado a diversos conceitos.
Em qualquer caso, esta aprendizagem implica uma compreensão que vai muito além
da reprodução de enunciados mais ou menos literais. Uma das características dos
conteúdos conceituais é que a aprendizagem quase nunca pode ser considerada
acabada, já que sempre existe a possibilidade de ampliar ou aprofundar seu
conhecimento, de fazê-la mais significativa. (ZABALA, 1998, 43 p)
A avaliação da aprendizagem é um processo complexo, e é muito difícil avaliar esse
processo devido a vários fatores, desde as condições gerais de aprendizagem de conceitos, até
o fato de ser composto por processos graduais e contínuos, que passa pela elaboração e
construção pessoal do conceito como algo inacabado.
37
3.3.1.2 O Conteúdo Procedimental
Os conteúdos procedimentais são aqueles que partem de um conjunto de ações
ordenadas dirigidas para a realização de um objetivo (ZABALA, 1998). Alguns exemplos de
conteúdos procedimentais: ler, calcular, traduzir, andar, saltar e etc.
No entanto, este conjunto de ações estruturadas é considerado suficientemente
diferenciado, de modo que a aprendizagem de cada uma delas tenha suas características de
aprendizagem específicas.
Segundo Zabala (1998) a aprendizagem de conteúdos procedimentais passa pela:
•
Realização das ações que compõem o procedimento são as condições para
promover o aprendizado.
•
A exercitação das ações múltiplas é o elemento imprescindível para o domínio do
conteúdo, e promove a aquisição de competência.
•
A reflexão sobre a própria atividade possibilita a aperfeiçoamento da atuação. Logo,
para melhorar a ação é importante refletir sobre as condições ideais.
•
A aplicação em contextos diferenciados permite utilizar o conteúdo em situações
nem sempre previsíveis. Assim, a aplicação do procedimento em diversas situações
promove a exercitação.
3.3.1.3 O Conteúdo Atitudinal
Os conteúdos atitudinais englobam uma série de naturezas suficientemente
diferenciadas, sendo agrupados de acordo com valores, atitudes e normas. Embora das
diferenças em dado momento é possível uma aproximação específica (ZABALA, 1998).
•
Os valores estão associados à questões éticas que permitem a posição de juízo de
valores sobre determinada conduta.
•
As atitudes estão próximas das formas de atuar, ou como cada pessoa posiciona sua
conduta diante de certos valores.
•
As normas são as regras de comportamento que serão seguidas em detrimento das
circunstâncias que obrigam todos os elementos do grupo.
38
Segundo Zabala (1998) o conteúdo atitudinal também é caracterizado pela relação de
componentes distintos como os componentes afetivos e cognitivos que contém cada um deles.
Assim, os processos vinculados à compreensão e elaboração dos conceitos
associados ao valor, somados à reflexão e tomada de posição que comporta, e
envolvem um processo marcado pela necessidade de elaborações complexas de
caráter pessoal. Ao mesmo tempo, a vinculação afetiva necessária para que o que se
compreendeu seja interiorizado e apropriado implica a necessidade de estabelecer
relações afetivas, que estão condicionadas pelas necessidades pessoais, o ambiente,
o contexto e a ascendência das pessoas ou coletividades que promovem a reflexão
ou a identificação com valores que se promovem. (ZABALA, 1998, p 47)
4. GEOGEBRA, UMA PODEROSA FERRAMENTA PARA EXPERIMENTAÇÃO
4.1 A experimentação matemática através de simulações
Muitos dos objetos matemáticos podem ser representados sob diferentes formas ou
registros que compõem um sistema coordenado, integrado e integrador, onde sempre é
possível articular e definir outras diferentes formas de representações matemáticas a partir de
uma dada forma de representação de um objeto ideal. No entanto, a noção de objetos
matemáticos ideais ou idealizados está próxima da noção platônica de um universo de objetos
abstratos que são palpáveis no mundo físico através de suas representações, e é no mundo
platônico ou ideal que residem os autênticos objetos matemáticos (DAVIS; HERSH, 1995).
O processo de experimentação matemática, ou a simples manipulação de objetos
matemáticos passa pelo elaborado sistema de abstração, que tem de um lado a entidade
matemática ou mundo dos objetos ideais, e do outro lado a representação deste objeto no
mundo físico. Em muitos casos esta percepção e associação destes universos paralelos, não se
dá sob uma forma congruente, o que pode dificultar o envolvimento à matemática.
Uma forma que permita a aproximação entre estes universos passa pelo uso de
diferentes formas de observação e simulação de fenômenos físicos, que estejam sujeitos, em
princípio, a certas leis ou teorias matemáticas.
Segundo Davis e Hersh (1995) o estudo ou experimentação com modelo matemático e
físico pode ser realizado sob diversas formas, mas o mais importante é utilizar a melhor forma
de representá-lo. Em muitos casos, a simulação em computadores pode surgir como uma
39
grande alternativa, pois quando for possível transmitir dados suficientes à máquina, e esta por
sua vez, for capaz de processar as informações, gera representações suficientes do objeto ou
modelo platônico.
Esta capacidade que os novos programas de computadores têm de representar os
objetos matemáticos através de representações simuladas, permite a interação da
representação física ou geométrica do objeto, com as demais representações como a algébrica
e outras, intensificando a capacidade de experimentação matemática, de modo que um objeto
genérico pode ser visto e animado.
A utilização destes novos recursos didáticos possibilita ao professor elaborar
problemas e questões investigativas, onde a procura por respostas matemáticas possa ser
conduzida de forma experimental, o que favorece as práticas de investigação intensificando a
exploração da situação, formulação de conjecturas e testes, até o estabelecimento de um
argumento final ou prova (SILVA, 1999).
4.2 Apresentando o Geogebra
O geogebra não é apenas um software de geometria dinâmica, pois este incorpora
tanto a geometria, a álgebra e também o cálculo. A grande versatilidade que o software
apresenta justifica em parte suas possibilidades em explorar e representar uma grande
variedade de conceitos matemáticos.
O GeoGebra é um sistema de geometria dinâmica. Permite construir vários objetos:
pontos, vetores, segmentos, retas, secções cônicas, gráficos representativos de
funções e curvas parametrizadas, os quais podem depois ser modificados
dinamicamente. (HOHENWARTER, p 6, 2009)
Este software é de domínio publico, não tendo fins comerciais e pode ser obtido
através de download no site do geogebra. O software foi desenvolvido por Markus
Hohenwarter, na universidade americana Florida Atlantic University, com a ajuda de diversos
colaboradores.
O formato da interface do programa caracteriza-se através de duas perspectivas: do
lado esquerdo fica a janela algébrica, onde ficam armazenadas as representações algébricas e
vetoriais; e do lado direito, na zona gráfica, aparece a representação geométrica do respectivo
40
objeto enfatizado. No entanto, os respectivos tratamentos ou modificações nos objetos podem
ser feitos tanto através da modificação de ordem algébrica ou geométrica.
4.2.1 Interface
Menu programa: apresenta os principais links de execução do programa;
Barra de ferramentas: apresenta os principais recursos para construção de desenhos
geométricos;
Campo para entrada de comandos: através do comando digitado constrói-se uma
representação algébrica, ou geométrica, ou ambas. Utilizando-se este campo pode se executar
praticamente todas as funções do software.
Lista de símbolos e algumas funções: Neste campo é possível selecionar alguns
símbolos ou funções periódicas como as funções trigonométricas.
Lista de símbolos e letras do alfabeto grego: Transforma a representação de algumas
letras maiúsculas e minúsculas do alfabeto grego, que recorrentemente são utilizadas na
escrita matemática.
Lista geral de comandos: Com este campo é possível utilizar todas as funções do
pacote básico do programa. Caso o usuário crie uma função própria, o que é possível, esta
função também ficará registrado neste campo.
É importante observar que os três campos de listas: lista de símbolos e algumas
funções, lista de símbolos e letras do alfabeto grego e lista geral de comandos, têm uma
aplicação usual semelhante. Pois, para utilizar qualquer um dos três campos, basta selecionar
uma função em um dos três campos, e em seguida aparecerá a sintaxe da função, selecionada,
no “campo para entrada de comando”.
41
Figura 1: Interface Geogebra
Fonte: Geogebra
4.3 Explorando o Geogebra
O Geogebra é um software muito versátil, onde é possível realizar várias construções
de representações planas. Devido a grande versatilidade de construções de representações do
programa, não será objetivo deste documento, esgotar os recursos do programa. Logo, a
exploração do software, se concentra em algumas formas de representação de ponto, reta e
funções.
4.3.1 Construindo ponto a partir da “Barra de ferramentas”
Para construção de pontos a partir da barra de ferramentas, basta selecionar na segunda
janela de ferramentas a opção “novo ponto”.
42
Figura 2: Interface Geogebra
Fonte: Geogebra
Uma vez selecionada a ferramenta, basta clicar com o cursor sob a janela de
representação geométrica, e logo se tem um ponto no plano.
Figura 3: Representação do ponto
Fonte: : Construído no Geogebra
Observe que tanto na janela de representações algébricas, quanto na janela de
representações geométricas, tem-se uma representação do mesmo objeto. Este objeto está
incluído na pasta de objetos livres, pois o mesmo foi criado de forma independente de
parâmetros.
43
4.3.1.1 Modificando Objeto
Todos objetos livres podem ser modificados através da janela geométrica, para isto
basta selecionar barra de ferramentas na sua primeira opção, mover ponto, e em seguida
clicando sobre o ponto, este pode ser arrastado.
Figura 4: Mover ponto
Fonte: Geogebra
A modificação da condição do ponto, também pode ser feita através da janela
algébrica, clicando duas vezes sobre o ponto A na janela algébrica. Então, altera-se as
coordenadas de A=(x,y), em seguida pressione a tecla enter, e o ponto será modificando
através das coordenadas.
Figura 5: Modificando ponto
Fonte: Geogebra
Ao clicar duas vezes sobre o ponto A no plano, também é possível modificar as
condições do mesmo. Neste caso aparecerá uma caixa com o título de “redefinir”.
44
Figura 6: Modificando ponto
Fonte: Geogebra
Neste caso, também é possível atribuir novas coordenadas ao objeto.
Todas modificações realizadas com o ponto, também podem ser feitas sob uma forma
análoga para os demais objetos como: retas, funções, cônicas e etc.
4.3.2 Construindo ponto através do “Campo entrada de comando”
Neste caso basta digitar no campo entrada as coordenadas do ponto B=(x,y), em
seguida enter e cria-se o ponto B. É importante observar que a “virgula” diferencia uma
coordenada da outra.
Figura 7: Representação de dois pontos
Fonte: Construído no Geogebra
45
4.3.3 Construindo um ponto genérico P=(a,b)
A construção de um ponto genérico permite utilizar o recurso de animação, neste caso
e nos demais, isto será possível através da ferramenta “seletor”, localizado na barra de
ferramentas. Esta ferramenta funciona como um parâmetro desejado.
Como o objeto é representado por meio de um par ordenado (a,b) há necessidade de
introduzir dois parâmetros, uma que se refere aos valores de (x), e outro para os valores de (y).
Selecione na penúltima barra de ferramentas a opção “seletor”, em seguida clique sob
a janela geométrica e defina as condições o parâmetro: nome (a); mínimo (-5); máximo (5); e
incremento (0.1).
Figura 8: Modificando ponto
Fonte: Geogebra
Uma vez definido este termos, clique em aplicar e o tem-se um parâmetro (a) que é um
objeto livre.
Repetindo os mesmo procedimento cria-se outro parâmetro independente (b). Para
finamente construir o ponto genérico que obedece aos parâmetros (a) e (b), basta digitar
P=(a,b) no campo de entrada de comandos, e tem-se um ponto P que é um objeto dependente.
Para animar o ponto P, selecione na caixa de ferramentas a opção mover e em seguida
clique sob o seletor para movimentar o parâmetro, e assim, ao movimentar o seletor (a) o
ponto P desloca-se horizontalmente, e ao movimentar o seletor (b) o ponto P desloca-se
verticalmente.
Observe que a movimentação nos parâmetros implica na modificação das coordenadas
do ponto P na pasta objeto dependente.
46
4.3.3.1 Utilizando o recurso : animação automática
Um vez que temos um ponto P=(a,b) definido pelas coordenadas dependes dos
parâmetros (a) e (b), com os respectivos seletores dos parâmetros já habilitados, clique com o
botão direito sobre o seletor que deseja animar automaticamente e selecione a opção
“Animação Ativada”.
Figura 9: Animação automática
Fonte: Geogebra
4.3.4 Construindo Reta a partir da “barra de ferramentas”
Assim como as construções de pontos podem ser feitas sob diferentes formas, para reta
não será diferente. Utilizando a barra de ferramentas selecione a opção “Reta Definida por
Dois Pontos”, logo após selecione dois pontos da janela geométrica.
47
Figura 10: Reta por dois pontos
Fonte: Geogebra
A utilização desta ferramenta permite a construção da reta a partir de dois pontos
quaisquer, e indifere se os pontos de passagem já estão ou não construídos. É importante
observar que esta ferramenta é uma aplicação do postulado da determinação da reta: dados
dois pontos quaisquer, existe uma e somente uma única reta, que os contém.
Figura 11: Representação da reta
Fonte: Construído no Geogebra
Os pontos independentes A e B, são geradores da reta a. Logo, a e equação da reta
aparece como um objeto dependente. Neste caso, os pontos A e B, objetos livres, podem ser
modificados no plano, o que modifica a condição da reta.
48
Uma observação sob a escrita da equação da reta a, é que está escrita sob a forma
implícita. Para modificar a representação algébrica da equação da reta, basta clicar com o
botão direito, sob a equação da reta e selecionar entre as opções: reduzida y=kx+d, ou
paramétrica.
Figura 12: Modificando a equação da reta
Fonte: Geogebra
4.3.4.1 Construindo Reta através do “campo de entrada de comando”
Para efetuar a construção da reta a partir do “campo de entrada de comando”, basta
digitar algum tipo de representação algébrica da reta: reduzida, implícita, paramétrica ou
vetorial. Exemplo:
•
Escreva a equação reduzida da reta y=-2*x+3;
•
Escreva a equação implícita da reta 2*x+3*y=0;
•
Defina um parâmetro (t=1), onde o parâmetro é arbitrário. Em seguida entre com a
expressão c: X=(0,2)+t*(1,1);
Observe que a letra (c) indica o nome da expressão na janela algébrica. Caso o
comando de entrada esteja sem esta letra, o programa define um ponto e não a função.
Funções vetoriais também podem ser definidas. No entanto, estas ficam restritas a um
intervalo definido.
Digite o comando: curva [expressão de x, expressão de y, variável “t”, t mín, t máx]
x= -1+ 2t
(9)
y=-1+t
(10)
49
Variável t admite os valores t=-10 e t= 10. E assim, utilizando o comando: Curva[-1+2*t, 1+t, t, -10,10]
Figura 13: Representações de diferentes retas
Fonte: Construído no Geogebra
4.3.4.2 Construindo uma reta genérica
Para construir uma reta genérica vamos utilizar a equação reduzida da reta:
y = ax + b
(11)
Neste caso, os parâmetros a e b, sendo os respectivos coeficientes angulares e lineares
devem ser definidos, cada um deles, por um seletor a e b.
Digite no campo para entrada de comando: (a= 1) e (b= 1), este valor do parâmetro é
arbitrário. Observe, que os valores (a) e (b) estão localizados na pasta de objetos livre.
Em seguida, clique sobre o parâmetro (a) na pasta de objetos livres, com o botão
direito e selecione a opção “exibir objeto” para liberar o seletor (a), e execute o mesmo
procedimento para o parâmetro (b).
50
Figura 14: Habilitar seletor
Fonte: Geogebra
Uma vez que os seletores a e b, estão definidos na janela geométrica, digite no campo
de entrada de comando a função y=a*x+b.
Movimente os seletores (a) e (b) e observe as variações da representação algébrica e
geométrica do objeto.
Neste exemplo foram habilitados dois seletores (a) e (b), através de outro caminho que
o proposto na seção 4.3.3. Isto mostra a grande versatilidade e flexibilidade do Geogebra.
4.4 Representando o modelo normal
Para representar a curva normal é preciso entrar com a sua devida expressão dada pela
função de densidade de probabilidade:
( x− µ )2
(2)
1
2
f ( x) =
⋅ e 2σ
σ 2π
Como esta função está associada a dois parâmetros média (µ) e desvio (σ), será
necessário definir um seletor para cada um dos parâmetros da função.
51
4.4.1 Procedimentos para construção do modelo normal N(µ, σ)
O procedimento para construção de um modelo normal genérico é semelhante ao
utilizado na construção da reta genérica, pois em ambos os casos estão associados a dois
parâmetros.
Digite no campo para entrada de comando: (µ =1) e em seguida (σ =1), as respectivas
letras do alfabeto grego mi e sigma podem ser encontrados no campo de “lista de letras e
símbolos do alfabeto grego”.
Habilite os parâmetros (µ) e (σ), e digite no campo de entrada de comandos a
expressão =1 / (σ *(2 * pi)^0.5) ℯ^(-(0.5)*((x - µ) / σ)²).
Uma vez que a curva normal foi apresentada nas respectivas janelas algébrica e
geométrica, movimente os parâmetros e observe os movimentos de translação e achatamento
do gráfico.
Figura 15: Curva normal N[3,0.5]
Fonte: Construído no Geogebra
52
4.5 Calculando área de probabilidade
O cálculo de áreas de probabilidades envolve o uso de técnicas de integração.
b
Logo, a probabilidade é P(a ≤ x ≤ b) = ∫ f ( x)dx , onde f(x) é a função de densidade de
a
probabilidade. Neste caso é uma aplicação de uma integral definida, onde os limites de
integração equivalem aos limites da variável aleatória (x).
4.5.1 Cálculo de integrais definidas
Para mostrar a ferramenta de integração vamos utilizar uma função de densidade de
probabilidade, definida na seção 4.4.1.
Para calcular a área de probabilidade, definida no intervalo [µ-σ,µ+σ], neste caso a
probabilidade de P ( 2.5 ≤ x ≤ 3.5) , digite o comando: Integral[função, limite inferior, limite
superior]. Neste caso Integral[f,2.5,3.5]
Figura 16: Área sob a cura normal N[3,0.5]
Fonte: Construído no Geogebra
53
Uma observação importante: nesse caso, os limites de integração são valores fixos. No
entanto, os limites de integração podem ser indicados através de um seletor, o que facilita a
manipulação da área de integração.
Para condicionar os limites de integração a dois novos seletores, entre com os
seguintes comandos: L_{sup}=1 e L{inf}=1
Em seguida habilite os dois novos seletores, clicando duas vezes sobre o valor da
integral, para redefinir as condições de integração.
Figura 17: Modificando limites de integração
Fonte: Geogebra
Modifique os limites superior e inferior, de acordo com os respectivos seletores
introduzidos, e confirme em ok.
Observe que não importa o nome dado ao seletor, qualquer letra bastaria.
Figura 18: Área sob a curva normal N[3,0.5], com limites associados a seletores
Fonte: Construído no Geogebra
54
4.6 Soma Inferior e Superior de Reimann
Através do comando “somasuperior” e “somainferior”, é possível representar a área
de integração através da soma inferior e superior de Reimann.
Exemplo da simulação da aproximação de normalidade com o Geogebra
Figura 19: Discretização da curva normal
Fonte: Construído no Geogebra
55
Neste exemplo mostra-se aproximação da área sob a curva normal, quando o número
de retângulos superior tende para infinito. Este exemplo enfatiza a discretização da curva
normal através de histogramas, quando o número de classes tende para infinito.
A discretização da área da curva normal tanto pode ser feito com o comando da soma
inferior, quanto superior. No entanto, no exemplo acima foi utilizado a soma superior.
Digite o comando Somainferior[função, x inicial, x final, nº de retângulos].
Observe que o número de retângulos pode ser animado, quando os valores inicial e
final são parametrizados por um seletor.
Figura 20: Animação da aproximação normal
Fonte: Construído no Geogebra
4.7 Distribuição Normal Padronizada (z)
A construção deste modelo com o seletor (z), que pode ser associado cada valor de (z)
ao um respectivo valor da variável aleatória (x), e vice versa.
56
A elaboração deste modelo depende da manipulação da expressão da contagem
padronizada.
z=
x−µ
σ
(7)
Na expressão acima, a média (µ) e o desvio padrão (σ) são constantes, (z) e (x) são as
variáveis.
Para a construção do seletor (z) é necessário reescrever a expressão da contagem (z),
de modo que (z) seja a variável livre, e (x) será variável dependente. Assim, temos:
x = µ + z.σ
(12)
Agora basta entrar com comando de construção de um ponto de abscissa igual
( x = µ + z.σ ) e ordenada igual a zero. Logo, este ponto pertencerá ao eixo (x), com seu valor
dependente de (z), quando a média(µ) e o desvio padrão (σ) são fixos.
Para construir a distribuição normal definida a partir dos seletores da média (µ) e do
desvio padrão (σ).
1. Crie e habilite um seletor (z).
2. Digite no campo de entrada de comando (µ+z.σ, 0), para criar o ponto parametrizado.
3. Para encontrar a área de probabilidade da média até o ponto definido em função de (z),
digite no campo de entrada de comando Integral[f,µ,µ+z*σ].
Figura 21: Área ou probabilidade padronizada
Fonte: Construído no Geogebra
57
Através desta construção é possível representar a área de probabilidade a partir da
média até o ponto Z, para cada valor do seletor (z). Logo, este modelo possibilita fazer a
construção da escala padronizada tabular, onde para cada valor de (z) tem-se a respectiva área.
Quando temos valores do seletor (z) menores que zero, a área de integração passa ser
representado por um número negativo. No entanto, esta representação da área, como um valor
negativo, pode criar uma certa confusão, pois se pode pensar, erroneamente, que para valores
de z negativos a área também será.
A resposta desta questão está associada às condições dos limites de integração, pois
quando o valor do seletor (z) é menor que zero, o limite superior de integração trabalha com
um valor inferior à média (µ), que nesta situação é o limite inferior de integração. Logo, como
o valor do limite inferior de integração é maior do que o valor do limite superior de integração,
a área será um número menor que zero.
Para evitar este tipo de situação, a sugestão é criar dois seletores (z), um sendo
superior e outro inferior, onde o valor do limite inferior de integração não ultrapasse o valor
do limite superior de integração.
Figura 22: Área ou probabilidade padronizada
Fonte: Construído no Geogebra
58
4.8 O pacote de Estatística
A partir da versão 3.2 do geogebra está incluso o pacote de Estatística, onde apresenta
algumas ferramentas descritivas, gráficas, regressões e distribuições de probabilidades
discretas e contínuas.
4.8.1 Explorando as medidas Descritivas
Para apresentar as funções de Estatísticas descritivas, vamos utilizar um conjunto de
30 dados que indica o tempo de espera (em minutos), de atendimento na fila de um banco, em
um determinado dia.
30-21-40-33-36-39-28-33-41-26
35-33-22-19-25-33-42-29-17-37
31-23-29-33-31-32-24-27-33-18
Quando trabalhamos com conjuntos numéricos é interessante habilitar a planilha, pois
facilita e dá agilidade no tratamento de dados. Para habilitar a planilha, basta clicar no menu
exibir, selecione planilha.
59
Figura 23: Exibir planilha
Fonte: Geogebra
Uma vez habilitada a planilha, vamos inserir os 30 dados, cada uma em uma célula.
Neste caso de A1 até A30.
60
Figura 24: Inserindo dados na planilha
Fonte: Geogebra
4.8.1.1 Histograma
O histograma é uma representação gráfica de uma distribuição de frequência, que
também pode ser representado através de outras composições gráficas e tabulares. De modo
geral, as distribuições de frequências são utilizadas como uma espécie de sumário do
agrupamento dos dados, divido em faixa de dados ou intervalos de agrupamento.
Com o Geogebra é possível gerar algumas representações gráficas de distribuições de
frequências como o histograma, sem antes, construir uma tabela de frequência.
Figura 25: Ajuda histograma
Fonte: Geogebra
61
Para gerar o histograma basta digitar o comando Histograma[<limites>, <dados do
conjunto> ] indicando os limites das classes de agrupamentos e a lista de dados ou lista de
frequências. Neste caso vamos utilizar as seguintes classes de agrupamentos:
17├22├27├32├37├┤42
Logo, os limites de classes serão inseridos na planilha da célula A1 até A6.
Figura 26: Limites de classes e dados brutos
Fonte: Geogebra
Finalmente, digite o comando Histograma[A1:A6, B1:B30] e a tecla enter.
Figura 27: Histograma
Fonte: Construído no Geogebra
Neste histograma, cada classe de agrupamento é representada por um retângulo de área
igual à contagem do número de dados agrupados em cada classe. Logo, a primeira classe é
representada por um retângulo de área igual a 4 unidades cartesianas ao quadrado, que
correspondem ao total de 4 dados {17,18,19,21} agrupados no intervalo (17├22).
62
Como cada um dos intervalos são de amplitudes constantes, e no primeiro, de 17 a 22
tem-se uma amplitude igual a 5 unidades, que corresponde à base do retângulo de dimensão
4/5 por 5, pois a área do retângulo é 4. E assim, na segunda classe tem-se um retângulo 5 por
1, terceira as dimensões são 7/5 por 5, na quarta 9/5 por 5 e última tem-se a mesma frequência
da segunda classe 5 por 1.
Como os dados brutos não estão ordenados na lista de células B1 a B30, para ordenar
os respectivos dados utilize o comando Ordenar[<lista de dados>]. Neste caso,
Ordenar[B1:B30].
Figura 28: Ordenar dados
Fonte: Construído no Geogebra
4.8.1.2 Cálculo das medidas de Centralidade
Uma vez que os dados do conjunto já estão definidos pela célula A1 até A30, para
calcular as medidas de tendência central (média aritmética, mediana e moda), basta entrar
com o comando de cada medida indicando a lista do conjunto.
4.8.1.2.1 Cálculo da Média Aritmética
Para calcular o valor da média, digite o comando Média [<lista de dados>], em
seguida a tecla enter. Neste caso, onde já temos a lista de dados definida, basta entrar com o
comando Média[B1:B30].
63
Figura 29: Valor da média
Fonte: Construído no Geogebra
Observe que o resultado da média está indicado na pasta de objetos dependentes
indicado pela letra (b).
4.8.1.2.2 Cálculo da Mediana
Digite o comando Mediana[<lista de dados>]. Neste caso, entre com o comando
Mediana [B1:B30].
Figura 30: Valor da mediana
Fonte: Construído no Geogebra
O valor da mediana está contido na pasta de objetos dependentes, representado pela
letra “c”.
64
4.8.1.2.3 Moda
Digite o comando Moda [<lista de dados>]. Logo, aplicando o comando
Moda[B1:B30].
Figura 31: Valor da moda
Fonte: Construído no Geogebra
O valor da moda, que é indicado como lista 1, pois dependendo da ocasião pode haver
mais de um valor. Como nos casos de amostras bimodal.
4.8.1.3 Medidas de Dispersão
Quando se trabalha com conjuntos numéricos, além da tendência da centralidade dos
dados, também é importante conhecer informações sobre o quanto próximos ou quanto
dispersos os dados estão em relação ao centro.
O geogebra apresenta as ferramentas que medem a dispersão dos dados como a
variância, o desvio padrão populacional e também covariância para distribuições de variáveis
conjuntas.
65
4.8.1.3.1 Desvio Padrão
Para encontrar o valor do desvio padrão de um conjunto, digite o comando
Desviopadrão[<lista de dados>]. Logo, para calcular o desvio padrão dos valores da lista
Desviopadrão[B1:B30].
Figura 32: Valor do desvio padrão
Fonte: Construído no Geogebra
Assim como para as medidas de centralidade, o valor do desvio padrão será
apresentado por uma letra contida na pasta de objetos dependentes, nesta ocasião expresso
pela letra “d”.
4.8.1.4 Diagrama de Caixa (Box Plot)
O geogebra também constrói o diagrama de caixa, que é uma interessante
representação gráfica. Pois, com ela é possível descrever, simultaneamente, uma série de
características de diferentes conjuntos numéricos, como a centralidade, dispersão, o desvio de
simetria e também identificar os outliers.
Para construir o diagrama digite o comando Boxplot[ valor de y, altura da caixa,<lista
de ddos>]. Para o exemplo, Boxplot[-3,1,B1:B30].
66
Figura 33: Representação do Box plot, Histrograma e função N(30, 67)
Fonte: Construído no Geogebra
O primeiro valor do comando, valor de y, define a posição do centro da caixa em
relação ao eixo da ordenada. E o segundo valor do mesmo comando, a altura da caixa, fixa o
comprimento da caixa em relação ao eixo da ordenada.
O comando do diagrama de caixa, também pode ser utilizado de outra forma. Pois, ao
invés de se informar os dados brutos, pode-se utilizar os valores: mínimo, primeiro quartil,
mediana, terceiro quartil, e máximo.
Figura 34: Ajuda do comando da caixa Box plot
Fonte: Geogebra
4.8.2 Análise de Regressão
Sempre quando possível estudar a relação de duas ou mais variáveis, a análise de
regressão surge como uma alternativa capaz de modelar a relação entre variáveis distintas,
possibilitando assim, o reconhecimento do comportamento de uma grandeza em função de
outra.
67
Com o geogebra, além do modelo de regressão linear, também é possível estimar os
modelos de regressão exponencial, logarítmica, logística, polinomial, potencial e seno.
Para explorar a ferramenta de regressão linear vamos observar a relação entre duas
variáveis de indicadores de desempenho pedagógicos/educacional: faltas e notas.
Os resultados da tabela abaixo indicam o percentual médio de faltas e percentual
médio de notas, para seis turmas, da área de Ciências Humanas, da Escola Estadual
Governador Milton Campos. Estes resultados correspondem ao acumulado do primeiro,
segundo e terceiro bimestre do ano de 2009.
Tabela 2
Percentual médio de faltas e notas
Turmas Faltas
Notas
111
14,00%
60,00%
103
13,30%
55,90%
107
14,00%
53,90%
105
15,80%
51,30%
101
18,30%
46,40%
109
21,20%
42,00%
Entre no campo de entrada de comando os seis pontos, indicando (faltas, notas) da
tabela, para obter o diagrama de dispersão dos pontos. Utilize as opções deslocar eixos e
reduzir, da barra de ferramentas, para enquadrar os pontos no campo visual.
Figura 33: Diagrama de dispersão
Fonte: Construído no Geogebra
68
4.8.2.1 Coeficiente de Correlação
Para
calcular
o
valor
do
coeficiente
de
correlação
utilize
o
comando
CoeficienteDeCorrelação[<lista de pontos>]. Para os valores da amostra, digite o comando
com a lista dos pontos CoeficienteDeCorrelação[{A,B,C,D,E,F}], o resultado é o valor de “a”
na pasta de objetos dependentes.
Figura 34: Coeficiente de correlação
Fonte: Construído no Geogebra
4.8.2.2 Regressão Linear
Para obter a reta de regressão de valores de y em x utilize o Comando
RegressãoLienarY [<lista de pontos>]. Neste caso considerando os seis pontos,
RegressãoLienarY [{A,B,C,D,E,F}].
69
Figura 35: Reta de regressão
Fonte: Construído no Geogebra
O modelo de regressão estimando é representado pela letra “b” na pasta de objetos
dependentes.
Utilizando o modelo de regressão para estimar o valor do percentual médio de notas,
correspondente ao percentual médio de faltas de 25%, encontramos um rendimento de
aproximadamente 34%. O que indica um valor baixo, pois o rendimento escolar mínimo é de
60%.
Para que o percentual médio de rendimento seja igual a 60%, o modelo de regressão
retorna o valor do percentual médio de faltas de 11,75 %.
Estes dados mostram que, nesta amostra, o percentual de até 25% de faltas, pode
comprometer o rendimento global das médias de notas, pois este é muito tolerante. Assim,
para que se obtenha um rendimento médio de no mínimo 60%, o percentual máximo de faltas
deverá ser menor ou igual a 11,75%.
70
Figura 36: Regressão linear
Fonte: Construído no Geogebra
4.8.3 Cálculo de Probabilidades
O geogebra permite fazer cálculos de probabilidade de algumas variáveis aleatórias
discretas e contínuas. No entanto, estas ferramentas não permitem a construção geométrica da
distribuição de probabilidade, e sim apenas realizar cálculos.
4.8.3.1 Cálculo de Probabilidades com o modelo Normal
Para efetuar cálculos com o modelo normal digite o comando Normal[média, desvio
padrão, valor de x]. Esta função retorna o valor da área sob a curva normal acumulada abaixo
do valor de x, também conhecida como probabilidade de Φ( z o ) .
71
Gráfico 9: Área de probabilidade da função Φ(z)
Fonte: Construído do Geogebra
4.8.4 Construindo suas próprias ferramentas
O geogebra, assim como outros programas de geometria dinâmica, possibilitam ao
usuário construir suas próprias ferramentas. Para construir uma ferramenta é necessário ter
como base uma construção já feita, indicar os objetos finais e iniciais da construção.
4.8.4.1 Construindo uma ferramenta para construção do gráfico da função normal de
densidade de probabilidade N(µ, σ).
Para efetuar a construção desta ferramenta, vamos tomar como base a construção
realizada na seção 4.4.1, onde há representação de uma curva normal construída a partir da
função de densidade de probabilidade, em relação aos parâmetros da média e do desvio
padrão.
72
Figura 37: Curva normal N[3,0.5]
Fonte: Construído no Geogebra
Utilize a opção ferramentas no menu, selecione criar uma nova ferramenta.
Figura 38: Criar uma ferramenta
Fonte: Geogebra
Na caixa de diálogo, indique os objetos finais da construção e os iniciais.
Figura 39: Selecione os objetos finais
Fonte: Geogebra
73
Defina a função “f”, como objeto final.
Figura 40: Selecione os objetos iniciais
Fonte: Geogebra
Os parâmetros da média (µ) e do desvio padrão (σ) serão os objetos iniciais da
construção.
Figura 41: Definindo nome, comando e ícone da ferrammenta
Fonte: Geogebra
Indique o nome da ferramenta, o comando e o informativo da ajuda. Também é
possível personalizar o ícone que aparecerá na barra de ferramentas. Após a conclusão,
verifique na barra de ferramentas a nova opção à direita.
74
Figura 42: Nova ferramenta criada
Fonte: Construído no Geogebra
Digite o comando FunçãoNormal[<média>, <DesvioPadrão>], indicando os
respectivos valores da média e do desvio padrão da curva normal que desejados, e enfim, temse o gráfico da função.
75
5 SALA DE AULA E O LABORATÓRIO DO PROFESSOR
5.1 Pesquisa, pesquisa em educação Matemática e suas importâncias
A concepção de pesquisa e o exercício do trabalho científico tem uma forte ligação
que sustentam o projeto de pesquisa, dando fidelidade e credibilidade aos dados e às
observações registradas no seu contexto.
No entanto, é importante discutir sobre a sua concepção, de modo que se possa fazer
uma reflexão da sua prática, na medida que seja possível contextualizar o conceito geral de
pesquisa dentro da concepção de educação Matemática, e assim poder analisar suas
implicações diante de processos educacionais.
Segundo Marconi e Lakatos (2001), o conceito de pesquisa é definido como um
conjunto de procedimentos formais, que associados ao método de pensamento reflexivo,
permite o tratamento científico para descobrir verdades parciais.
Para Bicudo (1993), a concepção de pesquisa parte da busca por compreensões
significativas, de modo que este processo consiste em andar em torno de uma interrogação ou
problema, buscando todas as possíveis dimensões de modo rigoroso e consistente. Embora
esta autora coloque esta busca como um processo inacabado, onde não há uma resposta
definitiva que consiga esgotar todas dimensões do fenômeno interrogado.
Fiorentini (2007) observa que apesar das diferentes definições que se queira dar ao
conceito de pesquisa, há sempre uma
ideia de que pesquisa é um processo de estudo que consiste na busca disciplinada
metódica de saberes ou compreensões acerca de um fenômeno, problema ou questão
da realidade ou presente na literatura o qual inquieta/instiga o pesquisador perante o
que se sabe ou diz a respeito.( FIORENTINI, 2007, p 60)
Apesar do conceito de pesquisa ser demasiadamente amplo, é notória a presença
comum da ideia de busca de verdades inesgotáveis, que de algum modo provoca uma
inquietação e ao mesmo tempo permite o exercício da reflexão sobre o problema.
76
Os aspectos gerais que compõem o conceito e o trabalho de pesquisa: interrogação,
rigor, análise sistêmica e metódica, reflexão, são elementos que integram a concepção de
pesquisa em qualquer que seja sua área de atuação, inclusive na educação Matemática.
É importante destacar que diante deste panorama geral, para cada área de atuação
haverá uma certa especificidade da concepção de pesquisa que segue os paradigmas e saberes
próprios da área de estudo.
Este fator pode ser observado dentro do contexto da Educação Matemática. Neste
sentido, pode-se perceber um aspecto subjetivo da Educação Matemática, qualificando a
pesquisa em educação matemática como uma área de domínio próprio.
A pesquisa em Educação Matemática não é uma pesquisa em Matemática, nem uma
pesquisa em Educação, embora trate de assuntos pertinentes a ambas, trabalhe com a
Matemática e utilize-se de procedimentos concernentes ao modo de pesquisa
próprios da Educação.(BICUDO, 1993, p 19)
Segundo Bicudo (1993), a região de inquérito da educação matemática está bem
definida, pois ela se configura através de questões de estudo levantadas pela própria Educação
Matemática, sendo algumas delas: a compreensão da Matemática, como fazer Matemática, as
interpretações elaboradas sobre os significados sociais, culturais e históricos da Matemática e
também as ações político-pedagógico da Educação Matemática.
Por outro lado, Garnica (2002) coloca a Educação Matemática como um objeto
transdisciplinar que tenha trânsito-livre entre áreas do conhecimento, de modo que não haja
fronteiras ou barreiras. De acordo com a proposta deste autor, ele procura desmistificar
posições assimétricas como professor/ pesquisador, teoria/prática, sujeitos/ objetos,
pedagógicas/ específicas.
O autor faz uma leitura ampla, e ao mesmo tempo simplista da Educação Matemática
como
(..) movimento que se institui no instante mesmo em que algo a que chamamos
Matemática ocorre num contexto de ensino e aprendizagem. Essa caracterização,
ainda que vaga, por outro lado, pretende afirmar a Educação Matemática como
constituindo-se em trajetória, como objeto transdisciplinar (..)(GARNICA, 2002, p
91)
Fiorentini (2007) caracteriza o movimento da Educação Matemática como resultado
de múltiplas relações estabelecidas como um conjunto de práticas que envolvem a
77
Matemática (específico) e processos pedagógicos constituídos a partir das dimensões
histórico-epistemológicas, piscocoginitivas, histórico-culturais e sociopolítico.
Por outro lado, é importante a análise das consequências e relevâncias educacionais da
pesquisa em Educação Matemática, pois podem questionar a sua real importância.
Segundo Bicudo (1993), as pesquisas em Educação Matemática são importantes, pois
permitem fazer estudos sistemáticos sobre a Matemática, como ela é constituída, os seus
significados e possibilitando conhecer mais sobre ela, a Educação.
O processo de fazer pesquisa em Educação Matemática também é importante, pois
promove uma transformação no professor, que ao fazer um estudo sistemático procurando por
soluções, tem sua promoção pessoal e profissional, capacitando-o para mais um campo de
atuação profissional e científico (FIORENTINI, 2007). Para o aprendiz, a pesquisa em
Educação Matemática também é importante, pois esta procura à universalização e ao
aprimoramento do ensino e aprendizagem da Matemática torna-o mais humanizado.
5.2 Contexto e sujeitos da pesquisa
A pesquisa foi desenvolvida com alunos de duas turmas distintas. A primeira turma
realizou as atividades entre abril e maio de 2009, e a segunda turma participou entre setembro
e outubro de 2009. Na ocasião, ambas as turmas cursavam a disciplina de Estatística do 2º
período do Curso de Graduação tecnológica de Gestão da Produção Industrial noturno, da
faculdade Unatec do centro universitário UNA, campus Barreiro.
As duas turmas apresentam um perfil bem diversificado em termos comparativos, mas
há algumas familiaridades como: cerca de um terço dos alunos das duas turmas trabalham na
área do curso, a maior parte dos alunos concluíram o ensino médio a menos de dez anos, o
que denotam a turma com um padrão típico de jovens que trabalham para pagar o curso.
A primeira turma apresentou um padrão diversificado em relação ao sexo, já a segunda
turma o sexo masculino é predominante.
Os demais professores, que ministraram aulas para ambas as turmas, as avaliaram sob
diferentes formas. Percebe-se uma avaliação positiva em relação à primeira turma. No
entanto, em relação à segunda turma foram apontando mais aspectos negativos que a primeira,
segundo a maioria dos docentes.
78
5.3 A elaboração da sequência didática
O processo de elaboração das atividades passa primeiramente pelo processo de
manipulação do modelo normal com o software Geogebra.
A construção do modelo normal com o programa não foi imediata, pois inicialmente
houve certas dificuldades e contratempos, até trabalhar com a sintaxe da função normal de
probabilidade abaixo.
1
f ( x) =
⋅e
σ 2π
( x−µ )2
2σ 2
(2)
A causa da dificuldade inicial era o desvio padrão (σ ) , pois quando trabalhamos com
o parâmetro sigma à direita do radical, o programa retornava erro de sintaxe.
f ( x) =
1
⋅e
2π σ
( x− µ )2
2σ 2
(13)
Neste momento, pensamos que poderia haver algum tipo de erro na escrita da
expressão e ao consultar Stevenso (1981) que, então, trazia a função de densidade de
probabilidade, com o desvio padrão dentro (σ ) do radical, como segue:
f ( x) =
1
⋅e
2πσ
( x− µ )2
2σ 2
(14)
(STVENSON, 1981, p 139)
Em função da ansiedade em resolver esta questão, não se pensou que poderia haver um
erro de impressão, e entramos com esta sintaxe no programa, o resultado foi surpreendente e
ao mesmo tempo desanimador, pois o programa fez a construção de uma outra função, de
representação gráfica semelhante a uma parábola.
79
Gráfico 10: Representação de uma parábola
Fonte: Construção do Geogebra
Uma vez observado o gráfico da função tivemos a percepção de que poderia haver um
erro de impressão, pois o gráfico apresentado era incompatível com da curva normal. Só então
tivemos a ideia de escrever o desvio padrão (σ ) multiplicando à esquerda do radical no
denominador e o resultado foi animador, pois o programa reconheceu a sintaxe e retornou seu
devido gráfico conforme função abaixo.
1
f ( x) =
⋅e
σ 2π
( x−µ )2
2σ 2
(2)
A dificuldade inicial em representar a função normal através do Geogebra foi
solucionada por uma questão da escrita, que mostra o quanto é delicada a representação ou
escrita dos objetos Matemáticos. No entanto, a tentativa de representar o modelo normal
através do programa proporcionou a procura de “como” o programa poderia ser utilizado na
representação da curva gaussiana.
Uma vez que a possibilidade de representar o modelo normal com o software era uma
realidade, surgem questões críticas, questiona Borba (2005), para quais problemas o
computador é a solução? E no contexto da atual pesquisa, como o software pode ser utilizado
para o ensino e aprendizagem da distribuição normal de probabilidade?
5.3.1 Estruturação da Sequência didática
Diante da questão de como utilizar o software Geogebra no ensino e aprendizagem da
distribuição normal de probabilidade, foram organizadas e elaboradas quatro atividades que
80
estruturam a sequência didática, e aplicadas às turmas cada uma delas em duplas, e em aulas
de uma hora e quarenta minutos.
5.3.1.1 Primeira atividade
Esta atividade foi a única da sequência que não foi aplicada no laboratório, e teve uma
duração de aproximadamente uma hora. Nesta atividade, tanto o software Geogebra, quanto
quincunx 2 foram utilizados com o auxílio de data show, para simular a aproximação da
distribuição normal através de eventos de distribuições binomiais, com 50% probabilidade de
sucesso.
Teixeira (2008) apresentou em sua pesquisa os diferentes resultados da utilização
quincunx, em diferentes níveis de ensino. Neste trabalho, foram realizadas atividades
experimentais envolvendo as Distribuições Normais e Binomiais de probabilidade, e faz
síntese sobre a engenhosa máquina de Francis Galton.
Em 1873-1874, Galton projetou um curioso aparelho experimental conhecido como
"quincunx" ou também Galton’s board (placa ou jogo de Galton). Essa máquina era
um engenhoso modelo físico da teoria dos erros, a qual ele acreditava ser aplicável a
muitos fenômenos no campo da Biologia e da Física. Encerrada atrás de um vidro,
havia uma seção transversal de um funil que se abria para um arranjo de pinos de
metal dispostos a intervalos iguais, com compartimentos verticais abaixo dos pinos.
Ao cair pelo funil, os chumbinhos de espingarda (ou bolinhas) se distribuiriam,
aleatoriamente, para a direita ou para a esquerda pelos espaços entre os pinos que
representavam, na teoria de Galton, as perturbações aleatórias independentes da
natureza. No final do processo, eles se acumulavam nos compartimentos inferiores
em pilhas que lembram uma curva normal. (TEIXEIRA, 2008, p 343)
No contexto da atual seqüência didática foram utilizados três diferentes experimentos
com a quincunx: o primeiro que gera histogramas de duas classes, o segundo que gera
histograma de onze classes e o terceiro que gera histograma de dezenove classes. As figuras
abaixo mostram o funcionamento do experimento.
2
Para realizar simulações com quincunx acesse o site mathsisfun.
81
Figura 43: Quincunx com duas classes de agrupamento
Fonte:disponível no site da mathsisfun
Figura 44: Quincunx com onze classes de agrupamento
Fonte: disponível no site da mathsisfun
Figura 45: Quincunx com vinte classes de agrupamento
Fonte: disponível no site da mathsisfun
A (figura 46) foi extraída da pesquisa de Teixeira (2008), que investigou a prática e
experimentação da quincunx, com alunos do ensino superior, médio e fundamental. No
contexto da pesquisa de Teixeira (2008), os quatro formatos foram sugeridos pelos alunos
envolvidos no trabalho, como prováveis formatos de agrupamento das bolinhas.
82
Uma vez que a quincunx é apresentada, antes de acionar o simulador foi perguntado à
turma: qual das opções de formatos abaixo seria o provável agrupamento das bolas?
Figura 46: possíveis formatos de agrupamento
Fonte: TEIXEIRA, 2008
Após o acionamento do simulador, aguarda-se o registro de uma quantidade relevante
de dados, então o professor perguntará novamente sobre o formato da distribuição observada.
Após esta discussão, o Geogebra foi utilizado para simular a discretização da curva
normal, através de retângulos da soma superior Reimann, a partir de dois retângulos tendendo
para uma grande quantidade de retângulos, e assim, aproximando a área da figura para área da
curva normal, conforme figuras abaixo:
Figura 47: Simulação da aproximação normal dividida em dois retângulos
Fonte: Construído no Geogebra
Figura 48: Simulação da aproximação normal dividida em cinco retângulos
Fonte: Construído no Geogebra
83
Figura 49: Simulação da aproximação normal dividida em grande quantidade de retângulos
Fonte: Construído no Geogebra
A atividade pretende apresentar a curva normal através da aproximação dos
histogramas gerados pela distribuição binomial simulados pela quincunx, e ao mesmo tempo
valorizar a percepção e a observação do aluno, na medida em que seja possível provocar uma
atitude observadora e ao mesmo tempo mostrar intuitivamente os procedimentos e conceitos
que gera a curva normal através de uma aproximação.
5.3.1.2 Segunda atividade
Uma vez que o modelo normal já foi apresentado, a segunda atividade investigativa
consiste basicamente em variar os parâmetros N ( µ , σ ) , da média e do desvio padrão da curva
normal, e observar os efeitos das variações destes parâmetros na curva normal. Esta atividade
foi realizada em dupla, cada dupla recebeu uma folha com a atividade e o arquivo em mídia
da atividade. De acordo com Santos e Pedro (2000), este tipo de atividade é classificada como
trabalho sobre situações já feitas, pois o arquivo que cada dupla recebeu funciona como um
modelo já pronto de uma Distribuição Normal, em que se pode variar os parâmetros (µ) e (σ),
e espera observar as variações nos padrões. Esta atividade é composta por dez questões que
além de investigar os efeitos das variações da média e do desvio padrão, investiga também
outros pontos notórios da variável aleatória, tais como:
( µ − 3σ , µ − 2σ , µ − σ , µ , µ + σ , µ + 2σ , µ + 3σ ) .
84
5.3.1.3 Terceira atividade
Esta atividade pretende introduzir o conceito da variável padronizada (z) através de
uma atividade investigativa guiada que possibilite a generalização da expressão, através de
um trabalho sobre situações já feitas (ou modelos) (SANTOS; PEDRO, 1999).
Neste caso, tendo em vista a expressão da variável reduzida (z) um modelo algébrico
representado simbolicamente, há uma certa dificuldade na compreensão deste termo.
Através da expressão da variável reduzida (z) é possível associar valor de (x) e (z),
uma vez que a média (µ) e o desvio padrão (σ) são fixos ou constantes. Neste caso, a média e
o desvio padrão são parâmetros da expressão.
Primeiramente a atividade coloca uma situação da curva normal, com os parâmetros
fixos, e pede ao aluno que atribua valores específicos de (z =-1,0,..2,..) com o seletor (z) e em
seguida observe no gráfico qual valor da variável (x) está associado àquele específico valor de
(z). Em seguida é feito o caminho inverso, para valores específicos de (x = 9.5, 10,..) e pedese quais são os respectivos valores de (z).
Em um segundo momento, a atividade trabalha a parte aritmética do cálculo com a
variável reduzida (z), pedindo ao aluno que faça a subtração dos valores de (x) e a média (µ),
em seguida divida pelo desvio padrão (σ). Assim, os próprios alunos percebem que é possível
fazer a conversão dos valores de (x) em valores de (z), e com detalhe, também podem simular
estes valores com o programa e visualizar a questão geometricamente.
Após a manipulação de diversos valores das variáveis (z) e (x) geometricamente, e o
tratamento aritmético com estes mesmos valores de (z) e (x), é proposta a passagem para
representação algébrica através da generalização do operatório aritmético. No entanto, a idéia
central não é simplesmente adotar a representação algébrica como o processo operatório
aritmético sob forma generalizada, mas adotar uma linha de desenvolvimento da notação
algébrica que passa necessariamente pelos processos de construção retórica, sincopada e
simbólico (LINS; GIMENEZ, 1997).
Para que seja possível esta transição de processos algébricos, a própria atividade guia
inicialmente como a descrição acima, para que o aprendiz perceba e possa concluir a
representação simbólica da variável padronizada (z).
z=
x−µ
σ
(7)
85
5.3.1.4 Quarta atividade
A quarta e última atividade que compõe a unidade didática visa a introdução do
cálculo de área de probabilidade com o modelo normal. Esta atividade é a mais extensa da
sequência didática e de certa forma perpassa pelos diversos conteúdos procedimentais,
conceituais e atitudinais trabalhados nas demais atividades. É importante lembrar que para
execução desta atividade foi elaborado um modelo próprio, assim como nas demais, ou
trabalhos sobre situações já feitas conforme (SANTOS; PEDRO, 1999).
A atividade faz inicialmente um breve comentário sobre a idéia de área de
probabilidade e como esta área se identifica na curva normal. Após a parte factual ou
introdutória são feitas algumas simulações com diferentes áreas de probabilidade,
inicialmente com os valores da média e do desvio padrão fixos é observado os diferentes
resultados quando (z= 1, 3 e -2), em seguida os valores da média e do desvio padrão são
modificados e novamente é observado as respectivas áreas de probabilidade quando (z= 1, 3 e
-2).
A intenção inicial é dar possibilidade para que o aprendiz perceba que independente
dos valores da média e do desvio padrão, a área de probabilidade é sempre relativa aos
respectivos valores de (z), e assim, introduzir a tabela normal padronizada (z).
Associando a idéia de área de probabilidade e seus respectivos valores de (z), a tabela
normal padronizada é apresentada, e a atividade pede para observar alguns valores de áreas de
probabilidade e o valor de (z) específicos, e comparar estes valores com o encontrado pela
representação gráfica do Geogebra. A intenção desta comparação é justificada pela pequena
diferença que há em alguns valores de (z) encontrados na tabela, e os representados pelo
programa. A diferença de valores é da ordem de até 0,01% de área de probabilidade, sendo
relativamente pequena.
Na parte final da atividade são apresentadas três situações problemas aplicáveis ao
modelo normal, que dispõem de diferentes recursos de solução.
Na primeira questão a área de probabilidade procurada, está localizada entre a média e
a variável aleatória. Este é um caso típico de aplicação direta, que está representada
genericamente a seguir.
86
Gráfico 11: Área de probabilidade
Fonte: Construção do Geogebra
P( µ ≤ z ≤ x1 )
Já na segunda, a área procurada está compreendida entre duas variáveis aleatórias que
estão em diferentes lados em relação à média, e assim ( x2 ≤ µ ≤ x1 ) . Neste caso, como há
duas variáveis aleatórias, também haverá dois respectivos valores de (z) e consequentemente,
duas área de probabilidade que compõem a área total compreendida através da adição das
áreas.
Gráfico 12: Área de probabilidade P( x2
Fonte: Construção do Geogebra
≤ z ≤ x1 )
Na terceira situação, também há duas variáveis aleatórias, porém ambas estão à direita
da média, e assim
( µ ≤ x2 ≤ x1 ) . Nesta circunstância, a área total é encontrada através da
subtração de duas áreas, o que pode causar certa dificuldade se não for bem representada.
Gráfico 13: Área de probabilidade P( x2
Fonte: Construção do Geogebra
≤ z ≤ x1 )
87
Nestas três últimas questões, todas elas deveriam ser respondidas manualmente e os
valores deveriam ser encontrados na tabela normal padronizada. No entanto, os alunos
poderiam utilizar o Geogebra para intensificar o processo de experimentação e possível
confronto de informações. Além disso, no arquivo da atividade havia uma ferramenta de
gabarito, que fornecia a resposta da atividade uma vez introduzida os dados iniciais.
Uma outra situação problema interessante, mas não discutida nesta atividade é o caso
da aplicação da normal inversa, quando é fornecida a área de probabilidade e pede o valor da
variável aleatória.
5.4 Análise da sequência didática e a sequência dos conteúdos
A metodologia de análise da unidade didática proposta, pretende discutir alguns
resultados observados nas duas turmas que praticaram a sequência, e, ao mesmo tempo
procurar fazer a avaliação da seqüência didática conforme propõe Zabala (1998), que observa
nas aprendizagens duas questões: a primeira, focada na potencialidade da sequência em
favorecer os significados da aprendizagem; e na segunda, relacionada à capacidade de
observação do professor em relação às compreensões, dificuldades e assim, procurando uma
atenção à diversidade.
O processo de avaliação da sequência é importante, pois quando bem aplicada
possibilita reforçar a atividade. Zabala (1998) propõe dez questões que articulam a avaliação
da sequência didática.
Na sequência didática existem atividades:
que nos permitam determinar os conhecimentos prévios que cada aluno tem em
relação aos novos conteúdos de aprendizagem?
cujos conteúdos são propostos de forma que sejam significantes e funcionais para os
meninos e as meninas?
que possamos inferir que são adequadas ao nível de desenvolvimento de cada aluno?
que representem um desafio alcançável para o aluno, quer dizer, que levam em conta
suas competências atuais e as façam avançar com a ajuda necessária; portanto, que
permitam criar zona de desenvolvimento proximal e intervir?
que provoquem um conflito cognitivo e promovam a atitude mental do aluno,
necessária para que estabeleça relações entre os novos conteúdos e os
conhecimentos prévios?
que promovam uma atitude favorável, quer dizer, que sejam motivadora em relação
à aprendizagem dos novos conteúdos?
Que estimulem a autoestima e o autoconceito em relação às aprendizagens que se
propõem, quer dizer, que o aluno possa sentir que em certo grau aprendeu, que seu
esforço valeu a pena?
88
que ajudem o aluno a adquirir habilidades relacionadas com o aprender a aprender,
que lhes permitam ser cada vez mais autônomo em suas aprendizagens?
(ZABALA, 1998, p 64)
Com relação à análise dos dados das atividades aplicadas, será fundamental observar
as diferentes concepções do ensino e aprendizagem, observadas através da tipologia de
conteúdos conceituais, procedimentais e atitudinais.
A aplicação da sequência, bem como a observação da realização das atividades
propostas, aproxima-se de um estudo naturalista ou etnográfico (FIORENTINI, 2007), pois a
coleta de dados foi realizada durante a execução da sequência, na presença do pesquisador.
Para efeito de procedimentos descritivos será apresentado: protocolos das atividades,
transcrição de falas e perguntas, descrições de observações e sensações vivenciadas durante a
prática. Estes são os principais elementos que compõem a base de dados que serão tratados
conforme análise de conteúdo (FIORENTINI, 2007).
5.5 Análise da aplicação da seqüência didática e principais implicações educacionais
5.5.1 Primeira Atividade (Aproximação normal)
As condições iniciais desta atividade foram diferentes em relação as duas turmas
participantes, mas ambas passaram pelo mesmo questionamento sobre o suposto formato da
figura gerada pelo experimento com a quincunx.
Na primeira turma, esta atividade foi muito aberta, podendo ser identificada como um
debate. Primeiramente, a quincunx foi apresentada e antes do seu funcionamento perguntou-se
sobre o provável formato do agrupamento das bolas (figura 46).
Inicialmente, muitos alunos da turma mostraram uma atitude pouco confiante em dizer
qual provável formato do agrupamento, talvez pelo fato da falta de critério ou até por não
terem compreendido o funcionamento da quincunx. Dentre aqueles que indicaram o possível
formato, a maior parte, ficou dividida entre o modelo normal e triangular, com apenas
algumas indicações para o modelo semicircular e nenhuma para o modelo quadrado.
Iniciou-se o funcionamento da quincunx em três diferentes condições: o primeiro que
gera histogramas de duas classes, o segundo que gera histograma de onze classes e o terceiro
89
que gera histograma de dezenove classes. E novamente perguntou-se, qual seria o formato do
agrupamento das bolas? Observou-se certa migração de votos, para opção do modelo normal,
porém não houve uma unanimidade.
Observada a simulação da quincunx, a turma pareceu estar um pouco mais à vontade e
alguns alunos fizeram observações que foram registradas conforme (Quadro 1).
Aluno 1
Aluno 2
Aluno 3
Aluno 4
Será que a quantidade de bolas influencia o formato?
Quanto mais bolas caem, parece que estabiliza o formato.
Varia conforme o número de amostras, tende a espalhar e
concentrar no centro.
Tendência à forma circular.
A curva de Gauss, mostra a centralidade e a dispersão do
processo.
Quadro 1: Atividade com quincunx
Fonte: Dados da pesquisa, primeira turma
Analisando as observações dos alunos, percebe-se a forma intuitiva e informal
utilizada para tentar explicar o formato do agrupamento gerado, que é característica da própria
formulação de conjecturas. Entretanto, a possibilidade do aluno formular conjectura é uma
importante etapa da atividade investigativa, que possibilita o debate próprio desta modalidade
de aula.
Os alunos 1 e 2 observam, ambos, a questão da quantidade de bolas poder influenciar
no formato do agrupamento e também a questão da maior ocorrência no centro, apesar destes
não indicarem o formato com precisão.
A conjectura levantada pelos alunos 1 e 2, é formalizada pela lei dos números grandes.
À medida que um experimento é repetido várias vezes, a probabilidade dada pela
freqüência relativa de um evento tende a se aproximar da verdadeira
probabilidade.(TRIOLA, 2008, p 114)
Já o aluno 4, faz referência ao provável formato do agrupamento de dados utilizando
um termo característico epistemológico (curva de Gauss), e também faz uma observação
mesmo que vaga, da idéia de centralidade e dispersão. Nesta fala observa-se a questão dos
conhecimentos prévios mobilizados para justificar sua observação, características do conteúdo
conceitual.
Por outro lado, a observação da aluna 3, mostra que o simples experimento não
garante uma resposta unânime, sendo passíveis de observações errôneas, que aponta a
90
possibilidade de obstáculo cognitivo e eventuais confusões, também constatados pela pesquisa
de (TEIXEIRA, 2008)
Os experimentos realizados permitiram concluir que a forma da distribuição normal
não é intuitiva ou espontânea para os alunos e que é importante trabalhar seus
conceitos prévios se o objetivo for a construção de uma aprendizagem efetiva dos
conceitos envolvidos. (TEIXEIRA, 2008, p 348)
No Terceiro momento da atividade, realizou-se uma simulação com o Geogebra, que
evidencia a aproximação da curva normal, através da sua discretização. Esta nova simulação
procurou discutir novamente a questão do formato da distribuição, porém é difícil dizer se
este novo experimento foi suficiente para atacar o conflito cognitivo de forma plena e
soberana, garantindo assim que cada aluno realizasse todas as etapas exigidas pelo processo
de aprendizagem, apesar da atitude favorável da turma e da aluna específica.
Na segunda turma, esta atividade foi proposta com algumas alterações que procuraram
explicar melhor o funcionamento da quincunx. A atividade foi aplicada juntamente com uma
folha de instruções composta por informações sobre a origem e funcionamento da quincunx,
além de conter a questão do provável formato do agrupamento das bolas, nas duas ocasiões,
antes e após o acionamento da simulação da quincunx. Assim, foi disponibilizada uma folha
para cada dois alunos, o que distribuiu à turma em duplas.
Assim como na primeira turma, antes do funcionamento da quincunx, pouco mais da
metade dos alunos indicaram o modelo normal, como o mais provável. Porém, a segunda
opção mais indicada foi o formato semicircular, uma minoria indicou o formato retangular e
não foram registradas indicações do formato triangular, que revelou até surpreendente, pois na
primeira turma esta foi a segunda opção de maior escolha.
Esta questão revelou alguns contrastes como ambas turmas concentraram suas
indicações em apenas três das quatro opções, sendo o modelo normal o mais sugerido sem
unanimidade. Porém, há ponto de divergência pois com exceção da primeira escolha as
demais não coincidem.
Após o acionamento da quincunx, sem nenhuma exceção todos indicaram o modelo
normal como provável formato. Este fato indicou uma total migração para o modelo normal.
Uma outra questão contida na atividade realizada com a segunda turma, perguntava se
o número de canaletas onde as bolas são armazenadas pode influenciar o formato do
histograma gerado. Na primeira turma esta questão foi debatida, mas não foram registradas as
91
observações. Então, resolvemos colocá-la como uma questão contida na própria atividade,
para que se pudessem efetuar registros. A intenção era observar se a questão do número de
classes poderia ser intuitiva ou espontânea.
Assim, a identificação do formato normal como provável formato da distribuição das
bolas, não obteve uma unanimidade. A associação do número de classe e o formato da
distribuição das bolas, também mostrou resultado semelhante, pois muitos alunos
responderam que o número de classes não afeta o formato da distribuição das bolas.
Não, quanto maior o número de canaletas menor será a chance das bolas irem
Dupla 1 para os extremos.
Dupla 2 Não, porque simulação em três experimentos manteve a distribuição normal.
Quadro 2: Atividade com quincunx
Fonte: Dados da pesquisa, segunda turma
Analisando as observações das duplas é notório que ambas não perceberam, que com o
aumento do número de classes há uma maior aproximação da distribuição com normal. A
dupla 1, apesar de observar que com o aumento do total de classes as bolas se concentram,
talvez não observaram que o centro da distribuição é bem definido quando o total de classes
aumenta.
A dupla 2 mostra não ter identificado as propriedades visuais do formato normal, pois
a dupla identifica até mesmo o primeiro histograma como normal.
Por outro lado a maior parte da turma observou que o número de classes de
agrupamento pode influenciar no formato do agrupamento. Dentre algumas duplas que
responderam, observe o (Quadro 3).
Sim, pois quanto menos canaletas maior será a tendência de um padrão
Dupla 3 retangular.
Sim, pois com apenas 2 canaletas, não seria possível uma distribuição normal.
Agora, com mais canaletas como por exemplo 11 e 19, a distribuição permanecia
Dupla 4 “normal”.
Sim, porque com um maior número de canaletas as bolinhas ficam mais
centralizadas,
Dupla 5 o que não acontece quando o número de canaletas vai diminuindo.
Quadro 3: Atividade com quincunx
Fonte: Dados da pesquisa, segunda turma
Parece que tanto as duplas 3, 4 e 5, diferente das duplas 1 e 2, observaram a questão
quando se tem poucas classes, e talvez assim puderam constatar que com apenas duas classes
a aproximação normal não é boa. Quando comparamos a observação da dupla 1 e 5, ambos
92
observaram a questão da centralidade quando o número de canaletas é grande, mas apenas a
dupla 5 comparou esta questão quando o número de classe diminui.
Assim, como na primeira turma, no terceiro momento realizou-se a simulação com o
Geogebra, que mostra a aproximação da curva normal partindo de uma distribuição retangular.
Este foi um momento rico em que a questão da aproximação da distribuição normal pôde ser
novamente debatida, porém utilizando um recurso adicional.
Analisando o retrospecto da aplicação da atividade nas duas turmas, primeiramente
constatou-se que a utilização da quincunx e também o Geogebra foram proveitosas, pois tais
recursos colaboram para o processo de experimentação, e assim possibilitando os trabalhos
investigativos, exploratórios e problematizados.
Quanto à participação ou atitude dos alunos, pode ser considerada boa, pois em
nenhuma das turmas foi observado uma postura crítica ou negativa quanto à atividade. O que
reforça a idéia de que o aluno reconheceu, em parte, a importância da atividade.
Em uma atividade que lida com exploração de questões investigativas, o aluno e a
turma trabalham com situações pouco comuns, que exige maior esforço e atuação do aprendiz,
pois há uma necessidade de se mobilizar uma atitude investigativa inquiridora que tira o aluno
de uma posição de conforto, o que reforça a questão do conteúdo conceitual, procedimental e
atitudinal.
5.5.2 Segunda Atividade
Essa atividade foi a primeira realizada no laboratório, com ambas as turmas. Nessa
ocasião, o objetivo principal era mostrar os efeitos das possíveis variações dos parâmetros da
média (µ) e do desvio padrão (σ) na curva normal, utilizando o Geogebra.
Tanto na primeira turma quanto na segunda turma, esta atividade foi realizada em
dupla. Na primeira turma, treze duplas executaram a atividade e na segunda turma, apenas
oito duplas realizaram a atividade.
Na primeira, e também na segunda turma, cada dupla recebeu uma folha da atividade e
um arquivo da mesma. Esta folha continha questões que procuravam explorar o efeito da
média e do desvio padrão na curva normal. O arquivo apresentava uma curva normal centrada
em oito (µ= 8), parametrizada em relação a dois seletores, um de cor azul associado à média e
outro de cor vermelho associado ao desvio padrão.
93
Figura 50: Arquivo da segunda atividade
Fonte: Construção do Geogebra
Fora a diferença da cor dos seletores, não havia qualquer discrição que indicava a
média e o desvio padrão, pois a idéia era investigar se as duplas eram ou não capazes de
associar a média e o desvio padrão ao seletores azul e vermelho.
Primeiramente, antes dos alunos alterarem os seletores azul e vermelho, foi pedido às
duplas que observassem a curva normal e ao mesmo tempo verificar se era possível identificar
alguma medida central deste conjunto.
Com exceção de apenas uma dupla, todas as demais identificaram o centro como a
medida do eixo da abscissa igual a 8. No entanto, é interessante observar que esta
identificação parece, de alguma forma, ser realizada a partir da possibilidade de mobilizar
conhecimentos prévios, como mostra o (Quadro 4).
Dupla 1 Observamos que a área central desta reta está voltada para o número 8, neste eixo.
A medida central seria 8 devido ao fato de estar posicionado na direção do ponto mais
Dupla 2 elevado da curva, o que indica o centro da curva.
Dupla 3
Dupla 4
No nº 8 está localizado a média, moda e mediana sendo estas medidas centrais.
Sim porque conseguimos observar que os dados estão tendenciando uma curva
gausiana centralizada onde média, mediana e a moda apresentam o mesmo valor
igual a (8).
Quadro 4: Segunda atividade
Fonte: Dados da pesquisa, primeira turma
A dupla 1 apresenta sua justificativa associando o centro com o ponto de maior área
sob a curva e a reta. O que parece para esta dupla especificamente ter identificado o centro da
curva normal, como um centro de distribuição de áreas.
94
Já a dupla 2 não observa a questão como um centro de distribuição de área, mas
identifica o centro a partir da projeção da curva até a medida do eixo das abscissas.
As duplas 3 e 4 utilizam os termos da média, mediana e moda para justificar a questão
da centralidade, o que mostra a utilização de conhecimentos prévios, para justificar esta
questão. No entanto, este mesmo fato não foi observado nas duplas 1 e 2, pois observaram
esta questão a partir de uma interpretação mais intuitiva, e assim não utilizando conceitos ou
termos já estudados.
A discussão desta questão é interessante, pois é possível fazer uma síntese através da
tipologia dos conteúdos. Nesta situação específica foi observada uma atitude exploratória/
observadora, mas foram poucas as duplas que utilizaram conteúdo conceitual para justificar
suas observações, o que parece nos mostrar o conteúdo atitudinal sendo o mais exercitado.
Talvez isto possa ser explicado pelo fato dos alunos nunca terem trabalhado com atividades
investigativas.
Nas duas próximas questões, pediu-se às duplas que movimentassem os seletores azul
(média) e vermelho (desvio padrão) e relatassem se houve ou não alguma variação no formato
da curva normal.
Em relação ao seletor azul (média) quase todas duplas observaram que a variação
deste seletor altera a medida do centro conservando o formato ou dispersão. Algumas duplas
observaram apenas a mudança na centralidade, e apenas três duplas não observaram a
alteração da centralidade do conjunto, apenas observaram a conservação do formato da curva.
Dupla 5
Dupla 6
Dupla 7
Não, pois a curva continuou a mesma.Tendo alteração na média de acordo com
o movimento do ponto azul.
A curva se desloca no eixo horizontal e o valor de µ se modifica seguindo o
movimento do ponto azul. O F(x) também sofre mudanças em seus valores.
No ponto azul a curva não se altera quando movimentando para esquerda ou
para direita.
Quadro 5: Segunda atividade
Fonte: Dados da pesquisa, primeira turma
A dupla 3 apesar de ter observado a centralidade indicando a medida da média,
mediana e moda, não registraram a alteração destas medidas, quando a curva normal realiza
movimento de translação.
Já a dupla 5 observou a questão da translação, mediante uma alteração da média e uma
conservação do formato.
95
A dupla 6 observou a questão da translação da curva normal e a modificação na função,
estes alunos identificaram que com a alteração do gráfico da função, a expressão também se
alterava.
Com relação a questão da variação do seletor vermelho (desvio padrão) a maior parte
das duplas observaram que a variação deste seletor modifica o formato da curva, mas algumas
duplas apresentaram certa dificuldade em perceber esta mudança.
Dupla 1
Dupla 7
Dupla 4
Dupla 6
Não há nenhum tipo de mudança nem de medida, nem da curva apenas
deslocamento de lugar.
Deslocando para direita seu ponto central diminui, deslocando para esquerda
seu ponto central diminui.
Quando se desloca para direita há um aumento na dispersão dos dados e a
curva tende-se a achatar. Quando desloca para a esquerda diminui a dispersão
dos dados e a curva se afunila.
À medida que se desloca o ponto vermelho, a curva se forma mais centralizada
ou mais dispersa respectivamente o desvio padrão se torna maior ou menor
Quadro 6: Segunda atividade
Fonte: Dados da pesquisa, primeira turma
Algumas duplas tiveram dificuldade em observar a questão da variação da dispersão, o
que justifica uma certa dificuldade em explicar o que acontece com o gráfico quando se altera
o seletor vermelho.
As duplas 4 e 6 associaram a dispersão ao movimento do seletor vermelho, a dupla 6
associou a variação da dispersão à alteração do desvio padrão.
Em seguida, a atividade fornece as instruções para construção dos pontos notórios
( µ − 3σ , µ − 2σ , µ − σ , µ , µ + σ , µ + 2σ , µ + 3σ ) . Uma vez com os pontos definidos, a
questão pede para fixar o seletor azul (média), na posição 6, e o seletor vermelho (desvio
padrão ), na posição 0.5. E assim, se procura debater a questão da simetria da curva normal.
Gráfico 14 : Pontos notórios em relação à média e o desvio padrão
Fonte: Construção do Geogebra
96
Após a construção dos 5 pontos como mostra a figura, pede-se para estimar a distância
dos segmentos AB , AD , AF e verificar se estas distâncias se conservam em relação aos
demais pontos à esquerda de A.
A maior parte das duplas observou que as distâncias à direita e à esquerda se
conservavam. No entanto, nenhuma dupla utilizou o termo “simetria” para justificar esta
observação, algumas duplas justificaram este fato em termos do desvio padrão e apenas uma
dupla não observou a conservação das distâncias à direita e à esquerda.
Na segunda turma, foram incrementadas algumas questões que procuraram discutir a
unicidade da curva normal, e assim, comparando duas diferentes curvas normais quanto à
centralidade e dispersão. No entanto, como os resultados observados na turma 1 foram bons,
as demais questões foram conservadas.
Assim, similarmente à primeira turma, a maior parte das duplas identificaram a
posição central da curva, e algumas duplas encontraram muitas dificuldades em explicar a
variação do centro e também da dispersão.
Com relação à questão da conservação dos pontos relativos à esquerda e à direita da
média, praticamente todas duplas relataram a conservação das distâncias em ambos lados,
porém nenhuma dupla fez referência ao termo simetria, acompanhando a primeira turma.
Para comparar duas diferentes curvas normais, foi criada uma ferramenta auxiliar, que
gera uma curva normal a partir do valor da média e do desvio padrão. Na antepenúltima
questão pedia-se para posicionar o seletor azul (µ= 6) e o seletor vermelho (σ= 0.5), em
seguida, entrar com o comando Distribuiçãonormal[9,0.2], que constrói o gráfico de um outra
curva normal com respectiva média e desvio padrão. A questão pedia para comparar os
valores da média e do desvio padrão das respectivas curvas.
Gráfico 15: Representação de diferentes curvas normais
Fonte: Construção do Geogebra
97
Para aumentar o contraste entre ambas curvas normais, foram utilizadas cores
diferentes, sendo que a curva parametrizada pelos seletores azul e vermelho é a de cor verde.
Algumas das observações dos alunos da segunda turma conforme o (Quadro 7).
Dupla 1 A segunda curva possui uma menor variação em relação à primeira.
Na curva verde há uma dispersão maior dos dados em relação à média, já na
curva preta há uma concentração dos dados em relação à média, e a média da
Dupla 2 curva preta é maior do que a verde.
Foi criada uma outra curva normal com seu ponto H posicionado no centro da
curva e na medida “9”. E as distâncias entre os outros pontos é de 0,2 para cada
Dupla 3 intervalo.
Dupla 4 A média da segunda curva é maior, e o desvio padrão da primeira é menor.
Quadro 7: Segunda atividade
Fonte: Dados da pesquisa, segunda turma
Observando as respostas das duplas, nem todas duplas identificaram a diferença das
curvas, através das diferenças das médias e dos desvios padrões. Isto reforça a hipótese de que
a observação da centralidade e da dispersão de curvas normais associada à variação dos
parâmetros (µ) e (σ), não é intuitiva ou óbvia. No entanto, as duplas 2 e 4 observaram esta
questão de forma satisfatória. Indicando assim, que a observação da experimentação visual
com tais objetos pode estimular a compreensão e a idealização destes objetos abstratos.
Na questão seguinte, pede-se para modificar os valores dos seletores de modo que as
duas curvas sejam coincidentes ou congruentes, e assim, seria possível debater a questão da
unicidade da curva normal.
A principio, a maioria das duplas precisou de ajuda para identificar o que seria a
coincidência das curvas. Uma vez compreendida esta questão, todas duplas perceberam que
bastava modificar o seletor azul para medida 9 e o vermelho para 0.2.
A última questão pedia para as duplas esboçarem o gráfico de duas curvas normais,
com diferentes médias e desvios padrões. A intenção era colocar sob investigação como os
alunos iriam construir este gráfico? A maior parte dos alunos não apresentou grandes
dificuldades em construir a representação gráfica, embora a maioria das duplas não tenha
utilizado o recurso do programa como um auxílio. Apenas 3 duplas primeiramente fizeram a
construção com o programa e depois passaram para o papel.
Após a análise da aplicação da segunda atividade em duas turmas distintas, algumas
observações relevantes puderam ser constatadas.
98
Em síntese, apesar da variação dos seletores azul (média) e vermelho (desvio padrão)
simular graficamente as variações da média com movimento de translação, e as variações do
desvio padrão com um movimento de achatamento (platicúrtica) e afinamento (leptocúrtico),
para muitas das duplas, esta questão pareceu não ser intuitiva ou óbvia. Porém, como a maior
parte das duplas distinguiram os diferentes movimentos, indica-nos que a exploração desta
situação através de simulações com o Geogebra possibilita uma identificação visual que
favorece a compreensão, permitindo criar uma zona de desenvolvimento proximal, e ao
mesmo tempo intensifica a possibilidade de diálogo e intervenção do professor.
Uma segunda observação que segue a tipologia de conteúdos trabalhados nesta
atividade, os alunos utilizaram um programa que desconheciam. Mesmo assim, puderam
executar a atividade de forma satisfatória, explorando novos conceitos da curva normal,
procedimentos de utilização do programa e também atitudes investigativas, de debate, ajuda e
cooperação entre os grupos. Embora nenhuma atividade educacional seja plena, foram
observadas diversas dificuldades individuais que cada um apresentou, ao registrar as
observações. Constantemente foi preciso que o professor incentivasse os alunos a anotarem
suas observações, pois os aprendizes se demonstravam inseguros.
Também não foram poucas as dificuldades encontradas pelo professor, pois ao mesmo
tempo em que tinha de orientar sem dar respostas prontas, provocando a observação do
próprio aluno, este também teve a função de pesquisador, o que o coloca sob condições de
aprendizado, não o poupando das inseguranças típicas deste processo.
5.5.3 Terceira Atividade
Essa atividade, realizada com as duas turmas no laboratório, teve como objetivo
introduzir a expressão da variável padronizada (z). Na execução da mesma, em ambas turmas,
os alunos participaram em duplas.
Do total de duplas que participaram da atividade, foram onze duplas da primeira turma,
e apenas oito da segunda. Assim, como na segunda atividade, cada dupla recebeu a folha da
atividade e o arquivo.
Na parte introdutória da atividade, havia uma síntese que reforçava alguns aspectos
discutidos na atividade anterior e um breve comentário sobre distribuição normal padronizada.
99
Após a parte introdutória da atividade, o arquivo do Geogebra era solicitado. Este
arquivo apresentava um curva normal associada a três seletores: o da média (µ= 8); do desvio
padrão (σ= 0.5); além da variável (z= 0), representado geometricamente pelo ponto Z.
Figura 51: Arquivo da terceira atividade
Fonte: Construção do Geogebra
Com os valores da média e do desvio padrão fixos em (µ= 8, σ= 0.5), a atividade pede
para que as duplas verifiquem quais valores do eixo (x), o ponto Z do gráfico é posicionado,
quando o seletor é fixo sobre os seguintes valores de (z= 1, -1, 2, 1.5), e também, quando (x=
9.5 e x= 10), quais valores do seletor (z) estão associados aos respectivos valores do eixo das
abscissas.
Na questão seguinte, para reforçar a associação da variável aleatória (x) e a variável
padronizada (z), novamente são feitas as transformações de valores de (z) em (x) e vice-versa.
No entanto, com outros valores da média (µ= 9) e do desvio padrão (σ= 0.2).
Após esta parte operatória onde os alunos realizaram conversões de valores de uma
variável para outra utilizando como suporte a representação geométrica, pede-se para realizar
as conversões já feitas, através do cálculo aritmético.
Por último, a atividade procura guiar a passagem do modelo de associação das
variáveis para sua representação algébrica, além de discutir o conceito da variável
padronizada (z) em termos da média e do desvio padrão.
Esta atividade, de acordo com uma observação da seqüência de conteúdos Zabala
(1998), pode justificar, e classificar a unidade didática, pelas intenções educacionais ou
100
objetos. Assim, na parte introdutória são reforçados aspectos factuais e conceituais da variável
padronizada (z), e logo é feita uma identificação gráfica de valores.
No segundo momento, utilizando o geogebra, as duplas realizaram diversos
tratamentos, de valores de (x) para (z) e vice-versa. Estes valores eram observados e
interpretados através da observação geométrica.
Esta conversão de valores exercita os conteúdos procedimentais, e ao mesmo tempo
mobiliza a capacidade de leitura gráfica. O que envolve também conteúdos conceituais.
No terceiro momento da atividade onde se enfatizou o tratamento dos mesmos valores
através do operatório aritmético, exploraram-se os conteúdos procedimentais típicos do
tratamento algorítmico que compõem o próprio cálculo aritmético elementar.
Na última parte da atividade, os conteúdos conceitual e procedimental são novamente
mobilizados respectivamente na identificação e na prática operatória com modelo algébrico. E,
finalmente, a última questão, que foca o conteúdo conceitual e procura fazer uma síntese da
interpretação da variável reduzida (z).
De modo geral, a observação da aplicação da atividade nas duas turmas mostrou certa
facilidade das duplas em realizar a parte introdutória operatória, onde foram realizadas
transformações de valores através da observação geométrica. Já no segundo momento, quando
o foco era o tratamento de valores mediante operatório aritmético, foram registradas algumas
dificuldades. No entanto, os maiores obstáculos foram observados nas últimas questões, onde
o conteúdo conceitual foi quase que predominante.
Figura 52: Protocolo de resolução, terceira atividade
Fonte: Dados da pesquisa, primeira turma, dupla 1
Nesta atividade, que tem em sua proposta a identificação de uma expressão algébrica,
guiada a partir do processo de construção retórico do modelo algébrico para registro
simbólico, que caracteriza a expressão da variável reduzida (z). O que chamou a atenção, foi o
101
fato da dupla ter observado o objeto através da forma sincopada, que é uma das três formas de
registro algébrico, compreendido entre o registro retórico e o simbólico.
No entanto, esta dupla teve dificuldade em responder a questão seguinte, pois seria
mais adequado utilizar a expressão sob a forma simbólica. Embora não seja possível associar
com total precisão este obstáculo à forma do registro utilizado, por outro lado, as duplas que
tiveram dificuldades em identificar a expressão algébrica da contagem (z), conseqüentemente
apresentaram dificuldades em realizar a parte final da atividade.
Apesar das eventuais dificuldades, a maioria das duplas conseguiu identificar a
expressão algébrica da variável padronizada (z). E assim, alguns foram capazes de utilizar a
expressão da forma correta, já outros mostraram algumas dificuldades, como o de efetuar o
cálculo literal.
Na última questão, por se tratar da interpretação do índice gerado pela variável
reduzida (z), exigia uma interpretação puramente conceitual. Mostrou que apesar de muitas
duplas identificarem a expressão algébrica da variável reduzida (z) e utilizar a mesma de
forma satisfatória, não foram capazes de explicar as relações envolvidas neste modelo.
É importante ressaltar a questão da aprendizagem conceitual conforme Zabala (1998),
que é observar a aprendizagem desta tipologia de conteúdo através da compreensão que vai
além da capacidade de reprodução de um enunciado. Por outro lado, a aprendizagem de
conceitos é um processo cíclico e contínuo composto por etapas, e como o próprio autor
coloca, este tipo de aprendizagem é algo que quase nunca pode ser dado como finalizado ou
acabado.
5.5.4 Quarta Atividade
A quarta e última atividade tem como proposta apresentar o cálculo da área de
probabilidade como o modelo normal utilizando a tabela da contagem padronizada (z). Dentro
desta proposta, o geogebra foi utilizado para representar áreas de probabilidade, e assim,
possibilitando comparar valores da tabela da variável padronizada (z), com as respectivas
áreas de probabilidade simuladas pelo programa. E finalmente, foi proposta a investigação do
cálculo de probabilidade, com o modelo normal, em quatro situações onde serão extraídos os
dados de análise da proposta metodológica.
102
Assim como nas atividades dois e três, a quarta atividade também foi realizada no
laboratório, sendo que, os alunos executaram a atividade em dupla. Da primeira turma,
participaram treze duplas e da segunda um total de quatorze duplas.
Cada dupla recebeu um arquivo da atividade, a tabela da variável padronizada (z) e a
folha da atividade. Embora os objetivos gerais da atividade foram os mesmos, para duas
turmas, houve uma pequena alteração na atividade, realizada com a turma dois, pois se
procurou reforçar a expressão da contagem (z) trabalhada na atividade anterior, uma vez que,
alguns alunos não haviam participado da atividade três, e participariam da última.
Em síntese, a atividade trazia inicialmente, um breve comentário sobre a idéia de área
de probabilidade e como esta área se identifica na curva normal. Após a parte factual ou
introdutória, foram feitas algumas simulações com diferentes áreas de probabilidade,
utilizando o geogebra, e ao mesmo tempo comparando estes valores com o da tabela da
variável reduzida (z), para que se introduza a idéia de cálculo de probabilidade com o auxílio
da tabela.
Finalmente foram apresentadas quatro questões a seguir:
1. Se a população masculina de determinada região tem altura média de 1.7 m e desvio
padrão de 0.05 m, determine a probabilidade de escolhermos ao acaso, um homem
desta população, que tenha altura entre 1.7m e 1.75m.
Sugestão: Para efetuarmos este cálculo devemos encontrar a área compreendida pelo
gráfico, entre os valores da média até 1.75m. Logo, calcule o valor de (z)
correspondente a x=1,75, em seguida procure este valor na tabela.
Figura 53: Curva normal N(17, 0.5)
Fonte: Construção do Geogebra
Utilize o Geogebra para confirmar o resultado encontrado. Sugestão: utilize média
(µ=17) e desvio padrão (σ=0.5)
103
2. Considerando a população de média (µ=1.7) e desvio padrão (σ=0.05), encontre a
probabilidade de escolhermos ao acaso um homem que tenha altura entre 1.7m e
1.79m. Utilize o geogebra para confirmar o resultado encontrado.
3. Considerando a população de média (µ=1.7) e desvio padrão (σ=0.05), encontre a
probabilidade de escolhermos ao acaso um homem que tenha altura entre 1.65m e
1.8m. Utilize o geogebra para confirmar o resultado encontrado.
4. Considerando a população de média (µ=1.7) e desvio padrão (σ=0.05), encontre a
probabilidade de escolhermos ao acaso um homem que tenha altura entre 1.75m e
1.8m. Utilize o geogebra para confirmar o resultado encontrado.
(Faça um esboço indicando a região na curva normal)
Na questão 1 é apresentada uma sugestão que procura guiar a resolução, pois a
intenção é explorar a tipologia procedimental que a resolução pede. De uma forma semelhante,
a questão 2 também foca na tipologia procedimental.
As resoluções das questões 3 e 4 vão além da tipologia procedimental, e assim,
exigindo, também maior compreensão conceitual. Pois, nestas questões as áreas ( ou
probabilidades) procuradas, envolve o domínio do conceito da área da região gráfica. Logo,
para estes casos a resolução não fica apenas na aplicação de algoritmo, pois será necessário
representar a área compreendida.
Tanto na primeira quanto na segunda turma, praticamente todas dupla conseguiram
calcular o valor das probabilidades, nas questões 1 e 2. Este fato pode ser associado a
tipologia de conteúdo exigida nestas questões. Já o mesmo não foi observado nas questões 3 e
4.
O (gráfico 16) mostra as distribuições de frequências de acertos por questões para duas
turmas.
104
Frequência de acertos
14
13
12
12
10
10
10
8
8
Primeira turma
6
Segunda turma
5
4
4
2
1
0
Questão 1
Questão 2
Questão 3
Questão 4
Gráfico 16: Frequência de acertos das duas turmas
Fonte: Dados da pesquisa
Com exceção da questão 4, nas demais questões, a turma dois apresentou maior
número de acertos, que a turma um. No entanto, o rendimento da turma um foi mais
significativo.
Este fato pode ser explicado pelo contexto em que as atividades foram aplicadas, em
ambas turmas. Na primeira turma, não houve registro de grandes problemas na execução da
atividade, e praticamente todas duplas finalizaram a atividade na mesma aula.
Porém, na segunda turma, houve alguns problemas de ordem técnica, com respeito aos
computadores, e com isto, a atividade não pode ser finalizada na mesma aula. Então, a turma
finalizou a atividade em classe, no dia seguinte, o que coincidiu com a aula de socialização da
atividade, e assim obteve informações privilegiadas.
Em virtude dos fatores registrados, entende-se que os dados registrados na primeira
turma tem maior neutralidade. No entanto, não podemos desprezar os dados obtidos por
ambas turmas, pois até mesmo na segunda turma houve observações importantes que
compõem a análise integral dos dados da sequência didática.
A seguir vamos analisar protocolos da (figura 54) que mostra uma resolução registrada
durante a aplicação da quarta atividade.
105
Figura 54: Protocolo de resolução, quarta atividade
Fonte: Dados da pesquisa, primeira turma, dupla 2
No protocolo (figura 54), observamos um erro onde a dupla apresenta como resposta
de probabilidade (p= 45,99), que corresponde na tabela da variável reduzida (z= 1,75). No
entanto, o valor correto a ser procurado era (z= 1,0), que corresponde a uma área de
probabilidade (p =34,12%). Apesar da dupla ter efetuado o cálculo correto do valor de (z), os
mesmos procuraram por um outro valor na tabela (z= 1,75). Provavelmente a dupla confundiu
o valor da variável aleatória (x= 1,75) com o valor de (z=1,0).
É notório que a dupla não foi capaz de perceber como as diferentes variáveis se
relacionam, e assim, estes cometeram o mesmo tipo de erro nas demais questões, o que
caracteriza um erro associado a tipologia conceitual, no que se refere a composição das
distintas variáveis (x) e padronizada (z).
106
Figura 55: Protocolo de resolução das questões 3 e 4 , quarta atividade
Fonte: Dados da pesquisa, segunda turma, dupla 3
107
Neste protocolo da (figura 55), vamos observar a resolução da mesma dupla nas
questões 3 e 4. Na questão 3, pede-se para efetuar o cálculo de probabilidade, que envolve a
soma de diferentes áreas de probabilidade.
No entanto, a dupla conseguiu executar corretamente o cálculo da área, e assim,
efetuando a representação correta das áreas de probabilidades à esquerda e à direita da média.
O que mais chama atenção, nesta resolução, não foi apenas o acerto dos procedimentos de
cálculo adequados, mas sim, o fato dos alunos ter representado corretamente a área procurada.
Já na questão 4, a dupla foi capaz de efetuar quase todos procedimentos de cálculo
corretos. Porém, os mesmos cometeram equívoco na representação da área procurada, e assim,
não foram capazes de perceber que a região procurada era obtida através da diferença das
áreas.
Do ponto de vista da tipologia de conteúdos podemos categorizar este erro como
conceitual. Pois, apesar da dupla ter executado os procedimentos corretamente, esbarrou na
compreensão da área procurada.
Na segunda turma, das duplas que responderam a esta questão, 50% apresentaram o
mesmo tipo de erro. Já na primeira turma, este mesmo erro não foi registrado.
Figura 56: Protocolo de resolução, quarta atividade
Fonte: Dados da pesquisa, segunda turma, dupla 4
Outro tipo de erro observado foi o apresentado no protocolo da (figura 56). Neste caso,
os alunos confundiram o valor da média (µ=1.7) com o valor da variável aleatória (x= 1.75).
Este fato pode ser observado pela representação apresentada, pois no gráfico o valor de (x=
108
1.75) ocupa o valor da média. Em relação à tipologia de conteúdos, a classificação deste tipo
de erros fica imprecisa, pois há uma composição de erros conceituais e procedimentais.
Figura 57: Protocolo de resolução, quarta atividade
Fonte: Dados da pesquisa, primeira turma, dupla 5
O último protocolo analisado retrata a questão 4 (figura 57). Nesta resolução,
apresentada pela dupla, a área de probabilidade procurada foi representada de forma adequada,
o que possibilitou o enquadramento da área ( ou região) procurada.
Apesar de poucas duplas terem executado a questão 4 de forma correta, pois apenas 5
duplas, nas duas turmas, conseguiram encontrar a área da região procurada. O que chamou
nossa atenção é o fato de todas estas duplas, terem representado corretamente a região
compreendida entre 1.75 até 1.80.
Esta regularidade, observada nas resoluções das duplas, que conseguiram executar
corretamente o cálculo de probabilidade, neste tipo de situação, nos mostra o quanto é
importante a compreensão da representação geométrica com modelo normal, para o ensino e
aprendizagem deste tópico.
Outro fato interessante, e até curioso, é que a antítese de uma boa representação da
região ou área de probabilidade, parece dificultar ainda mais o cálculo de probabilidade com
modelo normal. Ao mesmo tempo, a grande maioria das duplas que não conseguiu representar
corretamente a área procurada, não conseguiu efetuar o procedimento de cálculo correto.
109
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
A proposta deste trabalho foi apresentar uma possibilidade de utilizar o software
Geogebra aplicado ao ensino e aprendizagem da distribuição normal de probabilidade, através
da seqüência didática. Ao longo da pesquisa, foram observados alguns resultados a partir da
aplicação da seqüência didática nas duas turmas envolvidas na pesquisa.
Na primeira atividade, a proposta apresentava o modelo normal, mediante diferentes
simulações com a quincunx. Nesta atividade, o geogebra foi utilizado ao final das discussões,
para validar a aproximação da curva normal.
Os resultados da primeira atividade mostram que apesar de todo processo de
simulação e experimentação, não há garantia de uma unanimidade na identificação e
compreensão do modelo normal, de forma intuitiva ou óbvia, o que reforça a necessidade de
trabalhar os conceitos prévios, chamando a atenção na questão da observação da centralidade
do conjunto.
A segunda atividade tinha como objetivos, simular e investigar as variações dos
parâmetros da média (µ) e do desvio padrão (σ), analisando a associações das medidas destes
parâmetros, em relação aos movimentos de translação e achatamento do gráfico. A análise dos
dados desta atividade mostrou que o uso deste tipo de simulação, ajuda no processo de
identificação da centralidade e dispersão, apesar desta identificação não ter sido unânime para
todas duplas. Dentre as dificuldades observadas, a questão da dispersão parece superar a
identificação da centralidade.
Na terceira atividade, que trabalhava na expressão da variável padronizada (z), foram
utilizados dois tipos deferentes de linguagens de tratamento de valores, até que se chegasse a
um modelo algébrico, que definem as condições gerais desta sistemática.
Neste percurso, onde primeiramente o foco era o tratamento de valores de (x) em (z) e
vice-versa, através das representações geométricas, passando para uma segunda etapa, onde o
tratamento dos dados destas variáveis tinha como objetivo explorar e trabalhar as
propriedades aritméticas envolvidas. E no último momento, que seria o fechamento, onde se
procurou generalizar os padrões e regularidades aplicadas nas etapas anteriores, que resulta na
expressão da variável reduzida (z).
Nesta passagem pelas três etapas, da terceira atividade, apesar das tipologias
predominantes conceituais e procedimentais envolvidas, a principal questão observada parece
não estar apenas associada à tipologia de conteúdos, e sim mais próxima da evolução do nível
110
de linguagem ou representação envolvidas. Pois de alguma forma, as duplas que conseguiram
adaptar-se melhor as exigências de representações, de cada nível, obtiveram melhores
resultados. Desta observação surge a questão de como poder associar cada tipo de linguagem
às determinadas tipologias de conteúdos?
A última atividade, que corresponde ao fechamento da seqüência didática, teve como
propósito realizar o estudo do cálculo de probabilidade com o modelo normal. Os dados
analisados desta prática mostram o quanto é importante a questão da representação
geométrica neste tipo de situação. Pois, além de colaborar para interpretação da situação, ao
mesmo tempo permite observar melhor as representações equivocadas, ajudando a identificar
o conflito cognitivo, e assim, possibilitando ao professor controlar e entender melhor a
atividade mental do aluno.
Com relação à questão problema, de “como utilizar um software de geometria
dinâmica aplicada ao ensino e aprendizagem da distribuição normal de probabilidade?” Ao
longo deste trabalho mostraram-se algumas possibilidades de uso do software, aplicado ao
conteúdo proposto, através de uma seqüência didática estruturada.
Os principais resultados desta pesquisa apontam para a aceitação deste tipo de prática
como viável e sendo colaborativa para o ensino e aprendizado, principalmente quando a
ênfase for a interpretação de uma região geométrica. Embora se acredita que haja outras
maneiras e possibilidades de investigações desta mesma questão.
Quanto a sugestões para outros trabalhos e novos estudos, acredita-se haver um gama
enorme de possibilidades que passa pelo uso do software aplicado ao ensino das demais
distribuições contínuas como o caso das distribuições uniformes, exponencial, aplicado ao
ensino do teste de hipótese, aos tipos de erros I e II, a análise de variância, ao controle
estatístico de processos, ao estudo de análise de regressões, e além da possibilidade de utilizar
o pacote de ferramentas da Estatística descritivas, inclusos ao programa a partir da versão 3.2.
O uso do Geogebra aplicado ao ensino da distribuição normal de probabilidade, não é
mais que o resultado de uma iniciativa própria de um docente, em acreditar que pode
modificar sua prática lançando mão de idéias que possibilite a experimentação do exercício da
docência. Embora como em qualquer forma de experimentações, parece sempre haver a
presença de inúmeras incertezas, as quais possibilitam o confronto com os limites de nossos
saberes.
111
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ZABALA, A. A Prática Educativa: como ensinar. Porto Alegre: Artmed, 1998.
115
APÊNDICE
Alunos (as):
Disciplina: Estatística
Período:
Turno:
Curso:
Data:
/
/
Professor: Lucas R. Duarte
Nota:
Primeira Atividade - (Explorando simulação com a quincunx)
A quincunx é um modelo físico que simula eventos da teoria dos erros, esta máquina foi formulada por
Francis Galton entre (1873- 1874), uma curiosidade, Galton era primo de chales Darwin. Galton acreditava que
muitos dos fenômenos da Física e da Biologia poderiam ser modelados conforme a aleatoriedade deste
dispositivo.
A quincunx funciona a partir do lançamento de sucessivas bolas através de um funil. Ao cair pelo funil,
as bolas se distribuem aleatoriamente, tanto à direita quanto à esquerda dos espaços entre os pinos. No final as
bolas se acumulam no compartimento inferior ( ou canaletas), onde a freqüência das bolas acumuladas gera um
histograma, que indica a quantidade de bolas acumuladas em cada compartimento, conforme (figura 1)
Figura 1: Simulação da Quincunx
Fonte: disponível no site mathsisfun
116
Figura 2: possíveis formatos de agrupamento
Fonte: TEIXEIRA, 2008
1. A medida que uma quantidade significativa de bolas são lançadas. Qual dos formatos,
apresentados pela (figura 2), será o provável formato de agrupamento das bolas?
2. A pós observar a simulação de três diferentes experimentos com a quincunx, com duas
canaletas (compartimento de armazenamento), com onze canaletas e com dezenove canaletas.
Indique o provável formato do histograma gerado a partir das bolas armazenadas, justifique
sua resposta.
117
Alunos (as):
Disciplina: Estatística
Período:
Turno:
Curso:
Data:
/
/
Professor: Lucas R. Duarte
Nota:
Segunda Atividade - (Explorando média e desvio padrão)
1.
Observe a representação de uma distribuição normal, ao observar este objeto, você seria capaz de
identificar alguma medida centro deste conjunto? Justifique sua resposta.
Gráfico 1: Curva normal N(µ, σ)
Fonte: Construído no Geogebra
2.
Observe o seletor de cor azul no canto superior esquerdo da tela como indicado abaixo:
Clique sobre o ponto azul e movimente o mesmo. Você percebeu alguma
variação na curva normal?
3.
Clique sobre o ponto vermelho e movimente o mesmo. Ao movimentar o seletor vermelho, você notou
algum tipo de mudança ou variação na curva normal?
118
4.
Digite o seguinte comando no campo de entrada:
(µ , 0 )
Após digitar e pressionar a teclar enter, observe o surgimento do ponto A. Movimente novamente o seletor azul
e analise o desempenho da distribuição e do ponto A. De alguma forma o ponto A, indica ou não, alguma
propriedade da distribuição? Justifique sua resposta.
5.
Posicione o ponto A sob a medida de 6 unidades e em seguida digite os seguintes comandos no campo
de entrada abaixo:
(µ + σ , 0) , enter e em seguida, observe o surgimento do ponto B.
Segundo comando (µ − σ , 0 ) enter em seguida, observe o surgimento do ponto C.
Primeiro comando
Agora temos a distribuição e os três pontos A,B e C. Movimente os seletores azul e vermelho e observe as
variações dos pontos e do gráfico. É possível associar as movimentações dos seletores (azul, vermelho) às
variações do gráfico e dos pontos?
6.
Digite os seguintes comandos no campo de entrada abaixo:
(µ + 2σ , 0) enter em seguida, observe o ponto D.
(µ − 2σ , 0) enter em seguida, observe o ponto E.
(µ + 3σ , 0) enter em seguida, observe o ponto F.
(µ − 3σ , 0) enter em seguida, observe o ponto G.
Em seguida clique com botão direito sob o seletor azul e selecione a opção exibir rótulo, repita o mesmo
procedimento para o seletor vermelho.
Posicione o seletor azul na posição
µ=6
e posicione o seletor vermelho
σ = 0.5 .
Qual é a distância ( ou diferença) entre o ponto A e o ponto B? Qual é a distância ( ou diferença) entre o ponto A
e o ponto D? Qual é a distância ( ou diferença) entre o ponto A e o ponto F? Você mediu a distância do Ponto A
em relação aos pontos localizados à direita de A, verifique se as distâncias se conservam em relação aos pontos
localizados à esquerda de A? Justifique sua resposta.
7.
Modifique apenas o seletor azul (µ) para uma medida qualquer, verifique se as distâncias do ponto A,
em relação aos demais pontos se conservaram ou não. Justifique sua resposta.
119
8.
É possível aumentar ou reduzir as distância dos demais pontos em relação ao ponto A? Qual dos
seletores aumenta o intervalo das distâncias? (µ, σ)
9.
Posicione o seletor azul na posição
µ=6
e posicione o seletor vermelho
σ = 0.5 , em seguida
digite
o comando Distribuiçãonormal[9,0.2] e enter. Compare a posição das duas curvas normais, o que é possível
observar entre as médias e os desvios padrões das duas curvas ?
10.
Modifique os dois seletores de modo que as curvas sejam coincidentes. Para que as curvas sejam
coincidentes, o que é possível dizer sobre os valores de (µ, σ)?
11.
Se uma população tem média 4 e desvio padrão 1, e outra população tem média igual 5 e desvio padrão
igual a 0.5, esboce sob um mesmo gráfico, estas duas populações.
120
Alunos (as):
Disciplina: Estatística
Período:
Turno:
Curso:
Data: / /
Professor: Lucas R. Duarte
Nota:
Terceira Atividade - (Explorando a contagem z )
Existem infinitas distribuições normais, para cada uma temos uma média (µ) e um desvio padrão (σ). Logo, a
partir dos valores da média e do desvio padrão é possível identificar cada distribuição normal especifica. No
entanto, para toda e qualquer distribuição normal N(µ,σ), pode ser associada a uma distribuição normal particular.
Esta distribuição normal particular é conhecida como distribuição normal padronizada (ou distribuição normal
padrão), que é definida com média (µ=0) e desvio padrão (σ= 1).
Gráfico 1: Curva normal N(0,1)
Fonte: Construído no Geogebra
Nesta distribuição normal padronizada a escala horizontal do gráfico é denominada escala z.
Exemplo: Quando estamos nos referindo a um valor, que esta localizado a um desvio padrão em relação a média
à direita (µ+σ), este valor é (z= 1).
Da mesma forma um valor localizado a um desvio padrão em relação a média à esquerda (µ-σ), este valor é (z=1).
1.
Com base nas informações acima, observe os valores indicados na escala horizontal e estime o valor de
(z).
Gráfico 2: Curva normal N(0,1) e pontos A, B, C, D, E
Fonte: Construído no Geogebra
121
a)
Indique o da escala z para o ponto A. (z= )
b) Indique o da escala z para o ponto B. (z= )
c)
Indique o da escala z para o ponto C. (z= )
d) Indique o da escala z para o ponto D. (z= )
e)
Indique o da escala z para o ponto E. (z= )
Com o auxílio do geogebra faça as seguintes atividades.
2.
Ao abrir o arquivo atividade 2, observe o gráfico da distribuição normal que se tem, e indique a média e
o desvio padrão da distribuição normal dada.
Gráfico 3: Curva normal N(µ, σ)
Fonte: Construído no Geogebra
(µ=
)
(σ=
)
3.
Como foi dito na primeira página, toda distribuição normal pode ter seus respectivos valores do eixo (x)
associados escala padrão (z). Neste modelo do geogebra que vamos trabalhar, o seletor (z), tem esta
função de associar cada valor do eixo (x), a um respectivo valor da escala (z). Observe que inicialmente
o ponto z está localizado sob (x= 8) e indicando (z= 0).
Posicione o seletor (z), para os seguintes valores abaixo e indique os respectivos valores de x
correspondentes.
a) (z=1; x=
)
b) (z=-1; x=
c) (z=2; x=
)
)
d) (z=-1.5; x=
)
e) (z=
;x=10)
f) (z=
;x= 9.5)
g) (z=
; x= 7.25)
122
4.
Modifique o seletor para (µ=9) e (σ=0.2). Indique os respectivos valores de (z) e (x).
a) (z=-2.5;x=
)
b) (z= -2;x=
)
c) (z=2.5;x=
)
d) (z=
;x=9.2)
e) tome o de (x =9.2), subtraia a média (µ=9) deste valor. Em seguida divida o resultado pelo desvio padrão
(σ=0.2). Que valor você encontrou?
f) Repita o procedimento do item anterior para os seguintes valores de x={7.5;8.6;9.5} e verifique os valores
encontrados. Estes valores encontrados de são familiares ? Justifique sua resposta.
5.
Tomo os valores de (x) do exercício 3, faça a subtração como a média (µ=8). Em seguida divida o
resultado da subtração pelo desvio padrão (σ=0.5). Verifique se é possível associar os resultados desta
operação aos respectivos valores de (z)?
6.
O que acontece (você observou) quando realizamos a subtração, entre um valor de (x) e a média (µ), em
x−µ
 , foi
 σ 
seguida dividimos este valor pelo desvio padrão (σ)? Lembrando que este procedimento, 
realizado no exercício acima. Justifique sua resposta.
7.
Dado uma distribuição normal N(µ=50,σ= 10) de média e desvio padrão conhecidos, qual é o valor (x)
desta distribuição, que esta na posição (z =1.5)?
8.
Qual relação existe, entre a escala padronizada (z), a média (µ) e o desvio padrão (σ)?
123
Alunos (as):
Disciplina: Estatística
Período:
Turno:
Curso:
Data: / /
Professor: Lucas R. Duarte
Nota:
Quarta atividade – (Cálculo de Probabilidade em Distribuições Normais)
O cálculo de probabilidade em distribuições normais é uma importante ferramenta Matemática para
Estatística.
A probabilidade em distribuições normais sempre está associada a valores de área de probabilidade. Esta
área de probabilidade, por sua vez, é compreendida sob o gráfico da curva normal até o eixo (x). A área total
sob qualquer curva normal é sempre igual 1 ou (100% de probabilidade). Para qualquer que sejam os valores
da média (µ) e do desvio padrão (σ), a probabilidade de uma variável aleatória (x) variar entre ( −∞, ∞ ) será
sempre igual 1 ou (100% de probabilidade).
Gráfico 1: Área total sob a curva normal
Fonte: Construído no Geogebra
Como a distribuição normal é simétrica em relação a sua média (µ) a área, à direita ou à esquerda da média,
é 0.5 de unidade de área ou (50% probabilidade).
Gráfico 2: Área à esquerda da média da curva normal
Fonte: Construído no Geogebra
124
A probabilidade de observarmos todos os valores superiores à média é 50%.
Gráfico 3: Área à direita da média da curva normal
Fonte: Construído no Geogebra
Da mesma forma, a probabilidade de observamos todos os valores possíveis inferiores à média é de 50%.
A probabilidade em distribuições normais será calculada em temos de valores contínuos. Em síntese, a
probabilidade de uma variável aleatória (x), estar entre dois pontos quaisquer é igual à área sob a curva
normal. Como mostra a figura abaixo, a área entre [µ,a] é igual a probabilidade de P ( µ ≤ x ≤ a ) .
Gráfico 4: Área compreendida entre o intervalo [µ, a]
Fonte: Construído no Geogebra
Gráfico 5: Área compreendida entre o intervalo [µ, b]
Fonte: Construído no Geogebra
125
Observe que a área de probabilidade delimitada pelo o intervalo [µ, a] é superior à área delimitada pelo
intervalo [µ, b]. Logo, podemos dizer que um dado valor aleatório de (x), tem maior probabilidade de estar
entre [µ, a] do que entre [µ, b].
No entanto, sempre vamos efetuar cálculos de probabilidade, entre valores que podem variar em relação a
um intervalo. A probabilidade de predizer um valor exato será igual a zero.
O cálculo direto de probabilidade em distribuições normais exige recursos de cálculo infinitesimal, o que
não é um procedimento elementar. Diante deste impasse, a escala padronizada (z) surge como uma poderosa
ferramenta que possibilita-nos calcular a probabilidade em distribuições normais, em relação a qualquer
média (µ) e desvio padrão (σ).
1.
Dado os parâmetros da curva normal com os respectivos valores N(µ=0,σ=1). Utilize o a expressão
da escala padronizada z =
2.
x−µ
σ
, e verifique se
z = x , ou z ≠ x .
Com o auxílio do arquivo teste3 do geogebra faça a medida das seguintes áreas de probabilidades,
para os respectivos valores de z dados abaixo, quando a distribuição normal tem os seguintes
parâmetros N(µ=0,σ=1). Indique também o respectivos valores de (x).
a) (z=1;p=
; x=
)
Gráfico 6: Função normal N(0,1) e área compreendida entre o intervalo [µ=0, z=1]
Fonte: Construído no Geogebra
b) (z= 1.5;p=
; x=
)
Gráfico 7: Função normal N(0,1) e área compreendida entre o intervalo [µ=0, z=1.5]
Fonte: Construído no Geogebra
c) (z=-2; p=
; x=
)
126
Gráfico 8: Função normal N(0,1) e área compreendida entre o intervalo [µ=0, z=-2]
Fonte: Construído no Geogebra
3.
Modifique os valores da média (µ=4) e do desvio padrão (σ=0.4).
a)
Verifique se a área de probabilidade se conserva, quando z=1, z=3 e z=-2;
b) Verifique se o valor de x se conserva, quando
padronizada z =
4.
x−µ
σ
z=1, z=3 e z=-2. Utilize a escala
e calcule o valor de x, para cada um dos três valores de z citados.
Em um distribuição normal, para qualquer que seja os valores da média (µ) e do desvio (σ), quando
se z é fixo (exemplo: z=1), a área de probabilidade compreendida entre o centro e o ponto fixo
(z=1) não se altera? (justifique)
Tabela normal padronizada (z)
A distribuição normal padronizada permite associação da área de probabilidade entre qualquer distribuição
normal, através da escala padronizada. Pois, para cada valor de (z) fixo, a área sob a curva e os eixos
permanece a constante, independente dos valores da média (µ) e do desvio padrão (σ).
A tabela normal padronizada associa a área sob a curva de qualquer de distribuição normal, a partir da
média até o valor de z em questão.
Exemplos: Observe a área de probabilidade a partir da média até o valor de (z= 0.75) A tabela normal
padronizada associa a área sob a curva de qualquer de distribuição normal, a partir da média até o valor de (z)
em questão.
127
Gráfico 9: Função normal N(0,1) e área compreendida entre o intervalo [µ=0, z= 0.75]
Fonte: Construído no Geogebra
Tabela 1
Área ou probabilidade para distribuição normal padrão (ANDERSON, 2002)
Para determinar a área de probabilidade compreendida entra a média e (z= 0.75), devemos primeiro
identificar 0.7 na coluna à esquerda, em seguida, valor 0.05 na linha horizontal superior. O valor da área
será informado através da interseção da linha 0.7 e da coluna 0.05. Neste caso a probabilidade é de 0.2743
ou ( 27.43%).
128
5.
Encontre na tabela (z), os respectivos valores das áreas de probabilidade :
a) (z=1; p=
)
Gráfico 6: Função normal N(0,1) e área compreendida entre o intervalo [µ=0, z=1]
Fonte: Construído no Geogebra
b) (z= 1.5; p=
)
Gráfico 7: Função normal N(0,1) e área compreendida entre o intervalo [µ=0, z=1.5]
Fonte: Construído no Geogebra
c) (z=-2; p=
)
Gráfico 8: Função normal N(0,1) e área compreendida entre o intervalo [µ=0, z=1.5]
Fonte: Construído no Geogebra
Calculando áreas ou probabilidade com modelo normal
1.
Se a população masculina de determinada região tem altura média de 1.7 m e desvio padrão de 0.05 m.
Determine a probabilidade de escolhermos, ao acaso, um homem desta população que tenha altura entre
1.7m e 1.75m.
Sugestão: Para efetuarmos este cálculo devemos encontrar a área compreendida pelo gráfico, entre os
valores da média até 1.75m. Logo, calcule o valor de (z) correspondente a (x= 1,75), em seguida
procure este valor na tabela. (Faça um esboço indicando a região na curva normal)
129
2.
Considerando a população de média (µ=1.7) e desvio padrão (σ=0.05), encontre a probabilidade de
escolhermos, ao acaso, um homem que tenha altura entre 1.7m e 1.79m. (Faça o esboço da curva
normal e da área desejada. Em seguida utilize o geogebra para confirmar o resultado encontrado.)
3.
Considerando a população de média (µ=1.7) e desvio padrão (σ= 0.05), encontre a probabilidade de
escolhermos, ao acaso, um homem que tenha altura entre 1.65m e 1.8m. (Faça o esboço da curva
normal e da área desejada. Em seguida utilize o geogebra para confirmar o resultado encontrado.)
4.
Considerando a população de média (µ=1.7) e desvio padrão (σ= 0.5), encontre a probabilidade de
escolhermos, ao acaso, um homem que tenha altura entre 1.75m e 1.8m. Utilize o geogebra para
confirmar o resultado encontrado.
(Faça um esboço indicando a região na curva normal)
GABARITO:
Você também pode confirmar a resposta de cada item digitando o seguinte comando:
Probabilidade[média, desvio padrão, x máximo, x mínimo] e observe um valor de cor azul na janela da esquerda.