Soma dos Arcos
1. (Uerj 2013) Um esqueitista treina em três rampas planas de mesmo comprimento a, mas
com inclinações diferentes. As figuras abaixo representam as trajetórias retilíneas
AB  CD  EF, contidas nas retas de maior declive de cada rampa.
Sabendo que as alturas, em metros, dos pontos de partida A, C e E são, respectivamente,
h1, h2 e h3 , conclui-se que h1  h2 é igual a:
a) h3 3
b) h3 2
c) 2h3
d) h3
2. (Ufpe 2012) Analise a veracidade das afirmações seguintes sobre identidades
trigonométricas.
(
(
(
) sen4 x – cos4 x  sen2 x – cos2 x, para todo x real.
π

π

) sen   x   cos   x  , para todo x real.
4

4

kπ
2
, com k inteiro.
) tg x  cotg x 
, para x real e x 
2
sen  2x 
(
) 2cos2 x  cos  2x   3  4cos2 x, para todo x real.
(
) sen  x  y   sen  x  y   2cos x cos y, para quaisquer x e y reais.
3. (Ime 2012) O valor de y  sen70 cos50  sen260 cos280 é:
a)
3
3
2
3
c)
3
b)
3
4
3
e)
5
d)
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4. (Ufsm 2012) O pioneiro do abstracionismo nas artes plásticas, Wassily Kandisnky, nasceu
em Moscou, em 1866. Optou inicialmente pela música, o que refletiu em seu trabalho como
pintor, conferindo-lhe noções essenciais de harmonia. A figura a seguir, adaptada de um
quadro de Kandisnky, apresenta um triângulo ABC retângulo em A.
Sabendo-se que a diferença entre os ângulos x e y é 60°, o valor de sen x + sen y é
1
3
6
3
6
.
.
.
.
a) .
b)
c)
d)
e)
2
3
3
2
2
5. (Mackenzie 2012) O maior valor inteiro de k, para que a equação
apresente soluções reais é
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
3 sen x  cos x  k – 2
6. (Fuvest 2011) Sejam x e y números reais positivos tais que x  y   . Sabendo-se que
2
2
2
sen  y  x   1 , o valor de tg y  tg x é igual a
3
3
5
1
1
1
a)
b)
c)
d)
e)
2
4
2
4
8
7. (Upe 2011) Considerando a medida de ângulos em radianos, se θ  3π
dado que y  sen(θ  x) / sen(θ  x) , que
a) y  tan (θ+x)
b) y  cot an (θ-x)
4
é correto afirmar,
c) y  cot an( θ +x)
3
θ
d) y  tan (
+x)
3
e) y  tan ( θ -x)
3
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8. (Fgv 2009) No quadrilátero ABCD mostrado na figura a seguir, B e D são ângulos retos,
BC  x, CD  2x, AD  3x e   θ. Determine:
a) O comprimento dos segmentos AC e AB em função de x.
b) O valor de sen θ.
9. (Mackenzie 2009) Na figura, tg â é igual a:
a)
16
81
8
27
19
c)
63
b)
d)
2
3
e)
1
4
10. (Ufsm 2002) Considerando x ≠ y, a expressão sen(x + y).sen(x - y) é equivalente a
a) sen (x2 - y2)
b) sen x2 + sen y2
c) sen x sen y + cos x cos y
d) sen2 x cos2 y
e) cos2 y - cos2 x
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[D]
Como
sen15  sen(45  30)
 sen 45 cos30  sen30  cos 45 

2 3 1 2

 
2 2 2 2
6 2
4

Então:
sen15 
h1
a( 6  2)
 h1 
.
a
4
Além disso,
sen 45 
h2
a 2
 h2 
a
2
Então:
h1  h2 

a( 6  2) a 2

4
2
a( 6  2)
.
4
Por outro lado,
sen75  sen(45  30)
 sen 45 cos30  sen30 cos 45


2 3 1 2

 
2 2
2 2
6 2
4
Então:
sen75 
h3
a( 6  2)
 h3 
.
a
4
Portanto, h1  h2  h3 .
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Resposta da questão 2:
V – V – V – F – F.
Temos que
sen4 x  cos4 x  (sen2 x  cos2 x)  (sen2 x  cos2 x)  sen2 x  cos2 x,
1
para todo x real.
π

Sabendo que sen y  cos   y  , para todo y real, vem
2

π  π
π


π

sen   x   cos     x    cos   x  ,
4


4

2  4
para todo x real.
Como tg x 
cos x
sen x
, temos que
e cotg x 
sen x
cos x
tg x  cotg x 
sen x cos x

cos x sen x
sen2 x  cos2 x
sen x cos x
2

2 sen x cos x
2

,
sen(2x)

para x real e x 
kπ
, com k inteiro.
2
Sabendo que cos(2y)  2cos2 y  1, para todo x real, vem
2cos2 x  cos(2x)  2cos2 x  2cos2 x  1
 1  4 cos2 x  3  4 cos2 x.
Como sen(a  b)  senacosb  senbcosa e sen(a  b)  senacosb  senbcosa, temos que
sen(x  y)  sen(x  y)  sen x cos y  sen y cos x  sen x cos y  sen y cos x
 2sen x cos y.
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Resposta da questão 3:
[D]
y  sen70 cos50  sen 260 cos 280
y  sen70 cos50  ( sen10 cos80)
y
y
sen120  sen20
cos90  cos70

2
2

sen120  cos90  sen20  cos70

2
3
00
y 2
2
y
3
4
Resposta da questão 4:
[C]
De acordo com os dados do problema, temos o sistema:
 x  y  60


 x  y  90
Resolvendo o sistema temos x = 75° e y = 15°.
Utilizando uma das fórmulas de transformação em produto, temos:
75  15
75  15
2
3
6
sen75  sen15  2.sen
.cos
 2.sen45.cos30  2 


.
2
2
2
2
2
Resposta da questão 5:
[B]
3 sen x  cos x  k – 2 
3
1
k–2
k 2
sen x  .cos x 
 sen(x  30) 
2
2
2
2
O seno de qualquer arco varia de –1 a 1, então:
1 
k2
 1  2  k  2  2  0  k  4.
2
Logo, o maior valor inteiro de k é 4.
Resposta da questão 6:
[A]
Como x e y são arcos complementares senx = cos y , seny = cosx e tgx = 1/tgy
1
sen (y – x ) =
3
1
seny.cosx – senx.cosy =
3
1
cosx.cosx – senx.cosx =
3
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cos2x – sen2x =
1
3
cos2x – ( 1- cos2x) =
2.cos2x =
2
cos x =
1
3
1
+1
3
2
3
e sen2x = 1 – cos2x
logo sen2x =
1
3
1
1
e tg2x = 3 
2 2
3
logo, tg2y = 2
Portanto: tg2y – tg2 x = 2 – ½ = 3/2
Resposta da questão 7:
[D]
y  sen(θ  x) / sen(θ  x) =
sen . cos x  senx. cos 
1  tgx. cot g 1  tgx




( simplifica ndo por sen .cosx) 

 tg  x   tg  x 
sen . cos x  senx. cos 
1  tgx. cot g 1  tgx
4

3

Resposta da questão 8:
a) AC  13 x e AB  2 3 x .
b)
3
( 3  4) .
13
Resposta da questão 9:
[A]
Resposta da questão 10:
[E]
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