Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Intervalos de Números Reais
Cláudia Maria Diegues Araújo
1/11
Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
Representação de conjuntos
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Representação de conjuntos numéricos
Exemplo 1:
conjunto dos números naturais maiores do que 1 e
menores ou iguais a 5.
Cláudia Maria Diegues Araújo
2/11
Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
Representação de conjuntos
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Representação de conjuntos numéricos
Exemplo 1:
conjunto dos números naturais maiores do que 1 e
menores ou iguais a 5.
Representação em extensão:
Cláudia Maria Diegues Araújo
2/11
Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
Representação de conjuntos
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Representação de conjuntos numéricos
Exemplo 1:
conjunto dos números naturais maiores do que 1 e
menores ou iguais a 5.
Representação em extensão: {2, 3, 4, 5}
Cláudia Maria Diegues Araújo
2/11
Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
Representação de conjuntos
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Representação de conjuntos numéricos
Exemplo 1:
conjunto dos números naturais maiores do que 1 e
menores ou iguais a 5.
Representação em extensão: {2, 3, 4, 5}
Representação em compreensão:
Cláudia Maria Diegues Araújo
2/11
Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
Representação de conjuntos
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Representação de conjuntos numéricos
Exemplo 1:
conjunto dos números naturais maiores do que 1 e
menores ou iguais a 5.
Representação em extensão: {2, 3, 4, 5}
Representação em compreensão: {x ∈ N : 1 < x ≤ 5}
Cláudia Maria Diegues Araújo
2/11
Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
Representação de conjuntos
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Representação de conjuntos numéricos
Exemplo 1:
conjunto dos números naturais maiores do que 1 e
menores ou iguais a 5.
Representação em extensão: {2, 3, 4, 5}
Representação em compreensão: {x ∈ N : 1 < x ≤ 5}
Representação gráfica:
Cláudia Maria Diegues Araújo
2/11
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
Representação de conjuntos
Representação de conjuntos numéricos
Exemplo 1:
conjunto dos números naturais maiores do que 1 e
menores ou iguais a 5.
Representação em extensão: {2, 3, 4, 5}
Representação em compreensão: {x ∈ N : 1 < x ≤ 5}
Representação gráfica:
1
Cláudia Maria Diegues Araújo
2
3
4
5
6
2/11
Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
Limitados
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Intervalos limitados
Exemplo 2:
conjunto dos números reais maiores do que 1 e
menores ou iguais a 5.
Cláudia Maria Diegues Araújo
3/11
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Limitados
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Intervalos limitados
Exemplo 2:
conjunto dos números reais maiores do que 1 e
menores ou iguais a 5.
Representação em extensão:
Cláudia Maria Diegues Araújo
3/11
Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
Limitados
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Intervalos limitados
Exemplo 2:
conjunto dos números reais maiores do que 1 e
menores ou iguais a 5.
Representação em extensão: este conjunto tem uma infinidade de
elementos, por isso não é possı́vel representá-lo em extensão.
Cláudia Maria Diegues Araújo
3/11
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Limitados
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Intervalos limitados
Exemplo 2:
conjunto dos números reais maiores do que 1 e
menores ou iguais a 5.
Representação em extensão: este conjunto tem uma infinidade de
elementos, por isso não é possı́vel representá-lo em extensão.
Representação em compreensão:
Cláudia Maria Diegues Araújo
3/11
Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
Limitados
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Intervalos limitados
Exemplo 2:
conjunto dos números reais maiores do que 1 e
menores ou iguais a 5.
Representação em extensão: este conjunto tem uma infinidade de
elementos, por isso não é possı́vel representá-lo em extensão.
Representação em compreensão: {x ∈ R : 1 < x ≤ 5}
Cláudia Maria Diegues Araújo
3/11
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Limitados
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Intervalos limitados
Exemplo 2:
conjunto dos números reais maiores do que 1 e
menores ou iguais a 5.
Representação em extensão: este conjunto tem uma infinidade de
elementos, por isso não é possı́vel representá-lo em extensão.
Representação em compreensão: {x ∈ R : 1 < x ≤ 5}
Representação gráfica:
Cláudia Maria Diegues Araújo
3/11
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Limitados
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Intervalos limitados
Exemplo 2:
conjunto dos números reais maiores do que 1 e
menores ou iguais a 5.
Representação em extensão: este conjunto tem uma infinidade de
elementos, por isso não é possı́vel representá-lo em extensão.
Representação em compreensão: {x ∈ R : 1 < x ≤ 5}
Representação gráfica:
0 1 2 3 4 5 6
Cláudia Maria Diegues Araújo
3/11
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Limitados
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Intervalos limitados
Exemplo 2:
conjunto dos números reais maiores do que 1 e
menores ou iguais a 5.
Representação em extensão: este conjunto tem uma infinidade de
elementos, por isso não é possı́vel representá-lo em extensão.
Representação em compreensão: {x ∈ R : 1 < x ≤ 5}
Representação gráfica:
0 1 2 3 4 5 6
Cláudia Maria Diegues Araújo
3/11
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Limitados
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Intervalos limitados
Exemplo 2:
conjunto dos números reais maiores do que 1 e
menores ou iguais a 5.
Representação em extensão: este conjunto tem uma infinidade de
elementos, por isso não é possı́vel representá-lo em extensão.
Representação em compreensão: {x ∈ R : 1 < x ≤ 5}
Representação gráfica:
0 1 2 3 4 5 6
Cláudia Maria Diegues Araújo
3/11
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Limitados
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Intervalos limitados
Exemplo 2:
conjunto dos números reais maiores do que 1 e
menores ou iguais a 5.
Representação em extensão: este conjunto tem uma infinidade de
elementos, por isso não é possı́vel representá-lo em extensão.
Representação em compreensão: {x ∈ R : 1 < x ≤ 5}
Representação gráfica:
0 1 2 3 4 5 6
Cláudia Maria Diegues Araújo
3/11
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Limitados
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Intervalos limitados
Exemplo 2:
conjunto dos números reais maiores do que 1 e
menores ou iguais a 5.
Representação em extensão: este conjunto tem uma infinidade de
elementos, por isso não é possı́vel representá-lo em extensão.
Representação em compreensão: {x ∈ R : 1 < x ≤ 5}
Representação gráfica:
0 1 2 3 4 5 6
Cláudia Maria Diegues Araújo
0 1 2 3 4 5 6
3/11
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Limitados
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Intervalos limitados
Exemplo 2:
conjunto dos números reais maiores do que 1 e
menores ou iguais a 5.
Representação em extensão: este conjunto tem uma infinidade de
elementos, por isso não é possı́vel representá-lo em extensão.
Representação em compreensão: {x ∈ R : 1 < x ≤ 5}
Representação gráfica:
0 1 2 3 4 5 6
Cláudia Maria Diegues Araújo
0 1 2 3 4 5 6
3/11
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Limitados
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Intervalos limitados
Exemplo 2:
conjunto dos números reais maiores do que 1 e
menores ou iguais a 5.
Representação em extensão: este conjunto tem uma infinidade de
elementos, por isso não é possı́vel representá-lo em extensão.
Representação em compreensão: {x ∈ R : 1 < x ≤ 5}
Representação gráfica:
0 1 2 3 4 5 6
Cláudia Maria Diegues Araújo
0 1 2 3 4 5 6
3/11
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Limitados
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Intervalos limitados
Exemplo 2:
conjunto dos números reais maiores do que 1 e
menores ou iguais a 5.
Representação em extensão: este conjunto tem uma infinidade de
elementos, por isso não é possı́vel representá-lo em extensão.
Representação em compreensão: {x ∈ R : 1 < x ≤ 5}
Representação gráfica:
0 1 2 3 4 5 6
Cláudia Maria Diegues Araújo
0 1 2 3 4 5 6
3/11
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Limitados
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Intervalos limitados
Exemplo 2:
conjunto dos números reais maiores do que 1 e
menores ou iguais a 5.
Representação em extensão: este conjunto tem uma infinidade de
elementos, por isso não é possı́vel representá-lo em extensão.
Representação em compreensão: {x ∈ R : 1 < x ≤ 5}
Representação gráfica:
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5 6
Representação sob a forma de intervalo:
Cláudia Maria Diegues Araújo
3/11
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Limitados
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Intervalos limitados
Exemplo 2:
conjunto dos números reais maiores do que 1 e
menores ou iguais a 5.
Representação em extensão: este conjunto tem uma infinidade de
elementos, por isso não é possı́vel representá-lo em extensão.
Representação em compreensão: {x ∈ R : 1 < x ≤ 5}
Representação gráfica:
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5 6
Representação sob a forma de intervalo:
Cláudia Maria Diegues Araújo
]1, 5]
3/11
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
Limitados
Intervalos limitados
Compreensão
gráfico
{x ∈ R : a < x < b}
a
b
{x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
a
b
{x ∈ R : a ≤ x < b}
a
b
{x ∈ R : a < x ≤ b}
a
b
Cláudia Maria Diegues Araújo
Intervalo
]a, b[
aberto
[a, b]
fechado
[a, b[
fechado à esquerda
e aberto à direita
]a, b]
aberto à esquerda e
fechado à direita
4/11
Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
ilimitados
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Intervalos ilimitados
Exemplo 3:
conjunto dos números reais maiores do que 1.
Cláudia Maria Diegues Araújo
5/11
Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
ilimitados
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Intervalos ilimitados
Exemplo 3:
conjunto dos números reais maiores do que 1.
Representação em compreensão:
Cláudia Maria Diegues Araújo
5/11
Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
ilimitados
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Intervalos ilimitados
Exemplo 3:
conjunto dos números reais maiores do que 1.
Representação em compreensão: {x ∈ R : x > 1}
Cláudia Maria Diegues Araújo
5/11
Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
ilimitados
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Intervalos ilimitados
Exemplo 3:
conjunto dos números reais maiores do que 1.
Representação em compreensão: {x ∈ R : x > 1}
Representação gráfica:
Cláudia Maria Diegues Araújo
5/11
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
ilimitados
Intervalos ilimitados
Exemplo 3:
conjunto dos números reais maiores do que 1.
Representação em compreensão: {x ∈ R : x > 1}
Representação gráfica:
0
Cláudia Maria Diegues Araújo
1
2
3
4
5
5/11
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
ilimitados
Intervalos ilimitados
Exemplo 3:
conjunto dos números reais maiores do que 1.
Representação em compreensão: {x ∈ R : x > 1}
Representação gráfica:
0
Cláudia Maria Diegues Araújo
1
2
3
4
5
+∞
5/11
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
ilimitados
Intervalos ilimitados
Exemplo 3:
conjunto dos números reais maiores do que 1.
Representação em compreensão: {x ∈ R : x > 1}
Representação gráfica:
0
1
2
3
4
5
+∞
Representação sob a forma de intervalo:
Cláudia Maria Diegues Araújo
5/11
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
ilimitados
Intervalos ilimitados
Exemplo 3:
conjunto dos números reais maiores do que 1.
Representação em compreensão: {x ∈ R : x > 1}
Representação gráfica:
0
1
2
3
4
5
+∞
Representação sob a forma de intervalo:
Cláudia Maria Diegues Araújo
]1, +∞[
5/11
Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
ilimitados
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Intervalos ilimitados
Exemplo 4:
conjunto dos números reais menores ou iguais a 3.
Cláudia Maria Diegues Araújo
6/11
Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
ilimitados
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Intervalos ilimitados
Exemplo 4:
conjunto dos números reais menores ou iguais a 3.
Representação em compreensão:
Cláudia Maria Diegues Araújo
6/11
Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
ilimitados
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Intervalos ilimitados
Exemplo 4:
conjunto dos números reais menores ou iguais a 3.
Representação em compreensão: {x ∈ R : x ≤ 3}
Cláudia Maria Diegues Araújo
6/11
Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
ilimitados
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Intervalos ilimitados
Exemplo 4:
conjunto dos números reais menores ou iguais a 3.
Representação em compreensão: {x ∈ R : x ≤ 3}
Representação gráfica:
Cláudia Maria Diegues Araújo
6/11
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
ilimitados
Intervalos ilimitados
Exemplo 4:
conjunto dos números reais menores ou iguais a 3.
Representação em compreensão: {x ∈ R : x ≤ 3}
Representação gráfica:
−1 0
Cláudia Maria Diegues Araújo
1
2
3
4
6/11
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
ilimitados
Intervalos ilimitados
Exemplo 4:
conjunto dos números reais menores ou iguais a 3.
Representação em compreensão: {x ∈ R : x ≤ 3}
Representação gráfica:
−∞
Cláudia Maria Diegues Araújo
−1 0
1
2
3
4
6/11
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
ilimitados
Intervalos ilimitados
Exemplo 4:
conjunto dos números reais menores ou iguais a 3.
Representação em compreensão: {x ∈ R : x ≤ 3}
Representação gráfica:
−∞
−1 0
1
2
3
4
Representação sob a forma de intervalo:
Cláudia Maria Diegues Araújo
6/11
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
ilimitados
Intervalos ilimitados
Exemplo 4:
conjunto dos números reais menores ou iguais a 3.
Representação em compreensão: {x ∈ R : x ≤ 3}
Representação gráfica:
−∞
−1 0
1
2
3
4
Representação sob a forma de intervalo:
Cláudia Maria Diegues Araújo
] − ∞, 3]
6/11
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
ilimitados
Intervalos ilimitados
Compreensão
gráfico
{x ∈ R : x < b}
−∞
b
{x ∈ R : x ≤ b}
−∞
b
{x ∈ R : x > a}
a
+∞
{x ∈ R : x ≥ a}
a
+∞
Cláudia Maria Diegues Araújo
Intervalo
]−∞, b[
]−∞, b]
aberto
aberto à esquerda e
fechado à direita
]a, +∞[
[a, +∞[
aberto
fechado à esquerda
e aberto à direita
7/11
Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
∪e∩
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Reunião e Intersecção de Conjuntos
S
– Reunião
A reunião de dois conjuntos A e B é um conjunto
cujos elementos pertencem a A ou a B.
Cláudia Maria Diegues Araújo
A
B
8/11
Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
∪e∩
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Reunião e Intersecção de Conjuntos
S
– Reunião
A reunião de dois conjuntos A e B é um conjunto
cujos elementos pertencem a A ou a B.
T
A
B
A
B
– Intersecção
A intersecção de dois conjuntos A e B é um conjunto cujos elementos pertencem a A e a B (elementos comuns aos dois conjuntos).
Cláudia Maria Diegues Araújo
8/11
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
∪e∩
Reunião e Intersecção de Intervalos
Exemplo 5:
Sejam A = [−1, +∞[
A∪B= ?
Cláudia Maria Diegues Araújo
e
B =] − 3, 3[
A∩B= ?
9/11
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
∪e∩
Reunião e Intersecção de Intervalos
Exemplo 5:
Sejam A = [−1, +∞[
A∪B= ?
e
A∩B= ?
−3 −2 −1
Cláudia Maria Diegues Araújo
B =] − 3, 3[
0
1
2
3
+∞
9/11
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
∪e∩
Reunião e Intersecção de Intervalos
Exemplo 5:
Sejam A = [−1, +∞[
A∪B= ?
e
A∩B= ?
−3 −2 −1
Cláudia Maria Diegues Araújo
B =] − 3, 3[
0
1
2
3
+∞
9/11
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
∪e∩
Reunião e Intersecção de Intervalos
Exemplo 5:
Sejam A = [−1, +∞[
A∪B= ?
e
B =] − 3, 3[
A∩B= ?
−3 −2 −1
0
1
2
3
+∞
A ∪ B =] − 3, +∞[
Cláudia Maria Diegues Araújo
9/11
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
∪e∩
Reunião e Intersecção de Intervalos
Exemplo 5:
Sejam A = [−1, +∞[
A∪B= ?
e
A∩B= ?
−3 −2 −1
A ∪ B =] − 3, +∞[
Cláudia Maria Diegues Araújo
B =] − 3, 3[
0
1
2
3
+∞
A ∩ B = [−1, 3[
9/11
Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Notas:
O conjunto R é um intervalo ilimitado
R =] − ∞, +∞[
Cláudia Maria Diegues Araújo
10/11
Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Notas:
O conjunto R é um intervalo ilimitado
R =] − ∞, +∞[
Todo o intervalo é um subconjunto de R mas nem todo o
subconjunto de R é um intervalo.
[1, 5] é um intervalo e [1, 5] ⊂ R
{1, 2, 3} ⊂ R mas {1,2,3} não é um intervalo
Cláudia Maria Diegues Araújo
10/11
Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Notas:
O conjunto R é um intervalo ilimitado
R =] − ∞, +∞[
Todo o intervalo é um subconjunto de R mas nem todo o
subconjunto de R é um intervalo.
[1, 5] é um intervalo e [1, 5] ⊂ R
{1, 2, 3} ⊂ R mas {1,2,3} não é um intervalo
Entre dois elementos de um intervalo A de R não existe
nenhum elemento de R que não pertença a A.
Cláudia Maria Diegues Araújo
10/11
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
Notas:
A intersecção de dois intervalos é sempre um intervalo.
a
b
c
A ∩ B =]b, b] = ∅
Cláudia Maria Diegues Araújo
a
b
c
A ∩ B = [b, b] = {b}
a
b
c
d
A ∩ B = {}
11/11
Mat 9
Intervalos de Números Reais
Recorda Intervalos ∪ e ∩ de intervalos Notas
Notas:
A intersecção de dois intervalos é sempre um intervalo.
a
b
c
A ∩ B =]b, b] = ∅
a
b
c
a
A ∩ B = [b, b] = {b}
b
c
d
A ∩ B = {}
A reunião de dois intervalos nem sempre é um intervalo.
a
b
c
d
A ∪ B = [a, b] ∪ [c, d[
Cláudia Maria Diegues Araújo
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