Diferenciabilidade fracionária na
Teoria dos Números
Enno Nagel *
Estas são as notas que acompanham a minha palestra sobre
“Diferenciabilidade fracionária na Teoria dos Números” ministrada
no dia 26 de Novembro 2012 no Séminario Aritmética y Geometría
em Valparaíso.
Sumário
1
Funções diferenciáveis sobre os números reais
2
2
Funções r -vezes diferençáveis sobre espaços p-ádicos vetoriais
Definição da diferenciabilidade de grau 1
Diferenciabilidade iterada
Diferenciabilidade de grau real
Propriedades naturais deste espaço
3
3
4
5
5
3
Programa de Langlands p-ádico
6
4
Representação localmente algébrica
Indução de uma Representação
Liso, algébrico e localmente algébrico
A representação V de Breuil e Schneider
7
7
8
9
5
Reticulado unitário universal
Observações gerais
* Instituto
10
10
de Matemática da Universidade Federal de Alagoas, Maceió
1
A célula aberta padrão
Colando as células abertas
11
11
6
Norma de funções diferenciáveis
Restrição à célula aberta padrão
O reticulado unitário universal de i(χ )(N )
O exemplo fundamental
Caso geral
12
12
13
15
17
7
Conclusão
Resumo
Conclusão
18
18
19
Referências
19
1 Funções diferenciáveis sobre os números reais
Olharemos primeiro a situação clássica sobre R. Seja X ⊆ R um intervalo
aberto e f : X → R.
Definição. Uma função f é C1 no ponto x 0 ∈ X se
f 0(x 0 ) = lim
x→x 0
f (x) − f (x 0 )
x − x0
exista. Então f é C1 se f é C1 em todos os pontos x 0 ∈ X e é contínua.
Proposição 1.1. (Seja X compacto.) O espaço C1 (X , R) com a norma
k f k C1 = max{k f k sup , k f 0 k sup }
é completo.
Demonstração: Usa teorema fundamental do cálculo.
Se R é substituído por um corpo K não-Arquimediano, esta proposição falha.
Mas em qualquer forma precisamos de uma compensação deste resultado
visto que queremos construir completamentos de G -representações por estas
Cr -funções. Por isso vamos mudar a definição de derivabilidade tal que este
enuncio fica correto. Primeiro observamos o seguinte:
2
Proposição 1.2. A função f ∈ C1 (X , R) se e só se a função
f ]1[ (x,y) =
f (x) − f (y)
x −y
definida para todos x,y ∈ X desiguais estende-se a um função f [1] : X × X → R
contínua.
Demonstração: A direção ⇐ é fácil. Na outra direção, se (x,y) → (a,a) ∈ X ×X .
Então
f ]1[ (x,y) = f 0(ξ ) → f 0(a) = f [1] (a,a) com ξ ∈ [x,y]
onde a primeira identidade é verdadeira graças ao teorema do valor médio
e a segunda porque f é contínua. Isto é suficiente visto que f [1] (X × X ) ⊆
f ]1[ ({(x,y) ∈ X × X diferentes}) pela construção.
Corolário. (Seja X compacto.) O espaço C1 (X , R) é completo.
Demonstração: Como visto acima, a norma k f k = max{k f k sup , k f [1] k sup } é
igual a norma
k f k C1 = max{k f k sup , k f 0 k sup }.
Quanto a primeira norma, esta proposição é clara.
2 Funções r -vezes diferençáveis sobre espaços p-ádicos
vetoriais
Definição da diferenciabilidade de grau 1
Seja K um corpo não-Arquimediano não-trivialmente avaliado completo – por
exemplo Qp ou Fp ((t)) e as extensões deles. Visto que nesse caso não ha o
teorema do valor intermédio com todas suas consequências, em particular o
teorema do valor médio usado na prova da Proposição Proposição 1.2 acima,
propõe se a definição seguinte para obter um equivalente da Proposição 1.1:
Definição. Sejam X ⊆ K aberto e f : X → K. Então f é C1 no ponto a ∈ X se
lim
(x,y)→(a,a)
f ]1[ (x,y) com f ]1[ =
f (x) − f (y)
e x,y diferentes
x −y
existe. Então f é C1 se f é C1 em todos os pontos a ∈ X ou igualmente se f ]1[
estende a uma função f [1] contínua.
3
Agora nos ocupamos nos do problema de iterar a noção de diferenciabilidade:
Como definir uma função duas vezes diferenciável? Observamos que neste caso
f [1] é uma função em duas variáveis (ao contrario da função f [1] no caso real) e
não podemos iterar esta definição diretamente. Então já é necessário estudar o
caso de muitas variáveis para definir a diferenciação múltipla de uma função de
uma variável. Lembramos a definição de uma função derivável em argumentos
múltiplos.
Definição. Sejam V e E espaços vetoriais de dimensões finitas, X ⊆ V aberto e
f : X → E. Então f é C1 no ponto a ∈ X se existe um mapeamento linear A
tal que para todos ε > 0 existe U ⊆ X aberto tal que
f (x + h) − f (x) = A · h + R(x + h,x)
com o resto satisfazendo kR(x + h,x)k ≤ ε khk para todos x,y ∈ U .
Diferenciabilidade iterada
Isto não permite diretamente dar uma definição de diferenciabilidade general,
mas motiva a boa perspectiva para proceder em geral.
Definição. Sejam V , E,X ⊆ V e f : X → E como acima e supomos que V já
tem uma escolha de coordenadas. (Isto é V = Kd com e 1 , . . . ,ed a base natural.)
Então f é C1 se para todos x + h,x ∈ X com h ∈ K∗d a função f ]1[ (x + h,x)
definida por
(x + h,x) 7→ A ∈ HomK (V , E)
com
A · hk ek = f (x + h 1e 1 + · · · + hk−1ek−1 + hk ek ) − f (x + h 1e 1 + · · · + hk−1ek−1 )
estende-se a uma função contínua f [1] : X × X → HomK (V , E).
Notamos que X × X ⊆ V × V é de novo um espaço vetorial com coordenados
naturais e im f ⊆ HomK (V , E) é de novo um espaço vetorial de dimensão finita.
Definição. Dizemos que f : X → E é C2 se f é C1 e f [1] : X ×X → HomK (V , E)
é C1 . (E em geral f é Cn se f é Cn−1 e f [n−1] é C1 .
4
Diferenciabilidade de grau real
Lembramos nos que o objetivo era dar uma definição de funções r -vezes
diferenciáveis para r ≥ 0 em R. Por isso, escrevemos r = ν + ρ com ν ∈ N e
ρ ∈ [0, 1[.
Definição. Sejam V , E,X ⊆ V e f : X → E como acima. Então f é Cρ no ponto
a ∈ X se para todos ε > 0, existe um U ⊆ X aberto tal que
k f (x) − f (x)k ≤ ε kx − y k ρ para todos x,y ∈ U .
Em seguida f é Cρ se f é Cρ em todos os pontos a ∈ X .
Definição. Dizemos que f é Cr se f é Cν e f [ν] é Cρ .
Propriedades naturais deste espaço
Com esta definição concluída podemos estudar as propriedades destas funções.
Isto fez parte da minha tese. Visto que a definição é complicada e até o
momento não tínhamos muita teoria sobre a diferenciabilidade, mesmo as
propriedades naturais exigem de bastante trabalho para verificá-las. Por exemplo,
nos ([Nag11]) provamos o seguinte:
(i) É possível dar uma definição de diferenciabilidade local num ponto.
(ii) As funções r -vezes diferenciáveis podem ser compostas.
Em particular, ter uma boa definição de uma função r -vezes diferenciável
sobre uma variedade r -vezes diferenciável. (Não depende dos atlantes da
variedade.)
(iii) O espaço Cr (X , E) tem naturalmente uma topologia que torna-o um espaço
completo localmente convexo. Então as funções localmente polinomiais
de grau ≤ r e também as funções polinomiais (globalmente) densas em
Cr (X , E).
No caso de uma variável sobre Qp podemos dar descrições mais fácies das
funções r -vezes diferenciáveis.
5
(iv) Seja X ⊆ K aberto. Então f é uma Cr -função se o resto de polinómio de
Taylor
Rν f (x + h,x) = f (x + h) − [f (x) + f 0(x)h · · · − f (ν ) (x)/ν !hν ]
satisfaz uma função de duas variáveis x + h,x uma condição de convergência de grau o(|h|r ).
(v) Seja X = Zdp . O espaço de Banach C0 (X , K) (de funções contínuas) tem
uma base ortogonal importante que chama-se base de Mahler. Mostra-se
que as funções Cr (X , K) são as que os coeficientes de Mahler (an )n∈Nd
satisfazem |an |nr → 0 quando |n| = n 1 + · · · + nd → ∞.
(vi) Como consequência dos pontos anteriores, nos obtemos que sobre conjuntos abertos U ⊆ Qdp , as funções r -vezes diferenciáveis podem ser descritas
igualmente para uma condição de convergência do polinômio de Tayor.
3 Programa de Langlands p-ádico
Seja F um corpo p -ádico, isto é, uma extensão finita de Qp e E uma extensão
finita (bastante grande) de F. Vamos estudar ações de grupos com coeficientes
em F (o corpo do grupo) sobre espaços vetoriais sobre E (o corpo de coeficientes).
Definição. Uma representação de Galois p-ádica é uma ação continua do
grupo Gal(F̄/F) sobre um E-espaço vet. de dimensão finita.
Definição. Seja G = GLn (F). Uma G -representação de Banach unitária é
uma ação do grupo G sobre um E-espaço de Banach V tal que a topologia deste
pode ser definido por uma norma G -invariante. (I. é kv д k = kv k para todos
v ∈ V e д ∈ G .)
O programa de Langlands p-ádico: Vagamente, procura uma bijeção
natural (a precisar) ρ 7→ Π(ρ) entre as categorias seguintes:
{representações p -ádicas de Gal(F̄/F) de dimensão n}
l
{representações de Banach unitárias de GLn (F)}.
6
• Se n = 2 e F = Qp esta conjetura tem um sentido preciso, a bijeção é
mesmo funtorial, e foi verificada por Colmez, Berger, Breuil e outros.
• Em todos os outros casos, seja n > 2 ou F ⊃ Qp sabemos praticamente
nada.
Em [BS07] os autores associam a uma certa família de representações de
Galois cristalinas {ρ} uma certa G -representação localmente algébrica V , i. é
{ρ} 7→ V = representação localmente algébrica .
Conjetura de Breuil e Schneider: Se certas condições necessárias naturais
são satisfeitas, então V permita um completamento unitário V ,→ V̂ não nulo.
A vaga esperança é que todas as representações de Banach unitárias Π(ρ)
correspondentes fatoram através de V̂ , i. é
ρ
..
..
ρ
Π(ρ)
..
) .
Π(ρ)
5
(
6 Û
4 Representação localmente algébrica
Indução de uma Representação
Notação. Sejam o corpo do grupo F respectivamente de coeficientes E e G =
GLn (F) como previamente.
Subgrupos importantes em G : Fixamos os seguintes notações:
• Seja T ⊆ G o toro em G , i.é o subgrupo de matrizas diagonais com valores
em F∗ e T0 ⊆ T seu subgrupo aberto maximal compacto com valores o∗F ,
as unidades do anel dos inteiros oF de F.
• Seja P respectivamente P̄ o subgrupo de matrizas triangulares superiores
respectivamente inferiores em G , e
• N respectivamente N̄ o subgrupo de P respectivamente P̄ de matrizes
cujos valores diagonais equivalem 1. Seja N 0 ⊆ N o subgrupo compacto
aberto com valores em oF .
7
O método mais evidente para construir representações sobre um corpo p-ádico
E desse grupo é o seguinte: Pegamos
• Copias de grupos menores T1 = GLn1 (F),. . .,Td = GLnd (F) com n 1 + · · · +
nd = n, e
• Representações E-lineares χ 1 , . . . , χd delas.
Seja T = T1 × · · · × Td ⊆ G o produto delas e escrevemos χ = χ 1 ⊗ · · · ⊗ χd
para a representação de T associada pelo produto tensorial destas.
Definição. A G -representação E-linear, ou igualmente o E[G]-modulo, induzida
indTG χ do E[T ]-modulo χ ao grupo G é definida como o E[G]-modulo
indTG χ = χ ⊗E[T ] E[G].
O Exemplo mais elementar.
• Sejam n 1 = . . . = nd = 1, isto é, T1 = . . . = Td = F∗ , e
• χ 1 , . . . , χd : F∗ → E∗ caráteres.
Obtemos χ : T → E∗ . Como F∗ é abeliano e T = P ab (= quociente ab. max.),
segue que χ se estende unicamente através da projeção natural P → T ao
caráter χ : P → E∗ .
Descrição explicita: A G -representação induzida se descreve explicitamente
como
indG
χ = {f : G → E : f (p̄д) = χ (p̄) · f (д) para p̄ ∈ P̄,д ∈ G},
P̄
onde G opera pela translação a direita notada por f д := f (·д).
Escrevemos de agora em diante sucintamente i(χ ) para indG
χ.
P̄
Liso, algébrico e localmente algébrico
Além da estrutura de grupo G tem duas propriedades adicionais:
• A sua topologia totalmente desconexa herdada do corpo F, e
• a sua estrutura de variedade algébrica.
8
Definição. Seja V uma G -representação. Um vetor v em V é liso respectivamente algébrico respectivamente localmente algébrico se a sua órbita
ov : G →
д 7→
V
д ·v
é um mapa localmente constante respectivamente racional respectivamente
localmente racional.
Anotamos que ov é localmente algébrico se ha um espaço da dimensão finita
V0 ⊆ V e um grupo aberto G 0 ⊆ G tais que ov : G 0 → V0 é (a restrição de) um
mapeamento algébrico.
Definição. Denotamos com i(χ )lc respectivamente i(χ )alg respectivamente
i(χ )la a G -subrepresentação dada por todos vetores lisas respectivamente
algébricos respectivamente localmente algébricos em i(χ ).
Visto que G opera pelas translações temos explicitamente que
• i(χ )lc consisti das funções localmente constantes,
• i(χ )alg nas funções algébricas de G , isto é, das funciones polinomiais
nas coordenadas {Xij : i, j = 1, . . . ,n} de G e a sua determinante
det(X 11 , . . . ,Xnn ), e
• i(χ )la das funções sobre G que se restringem localmente a uma função
algébrica dessas.
A representação V de Breuil e Schneider
• Um caráter θ : T → E∗ é não-ramificado se ele é trivial sobre T0 ⊆ T (e
então fatorando através do quociente T /T0 = Zn deles).
• Um caráter algébrico ψ : T → F∗ é dominante se ele é da forma
(t 1 , . . . ,tn ) → t 1i 1 · · · tnin onde as potencias satisfazem i 1 ≤ . . . ≤ in . (Eles
parametrizam via ψ 7→ indG
(ψ )alg todas as representações algébricas
P̄
irreduzíveis de GLn .)
Exemplo de Breuil e Schneider: Seja χ = θψ o produto de um caráter nãoramificado e algébrico. Então a representação induzida localmente algébrica
construída por Schneider e Breuil V é dada por
V = i(χ )la .
9
Escrevemos sucintamente i(χ ) = i(χ )la .
5 Reticulado unitário universal
Lembramos que conjeturalmente, se certas condições naturais são satisfeitas,
V = i(χ ) possui uma seminorma G -inv. k·k não nula. Introduzimos o maior dos
espaços de Banach unitários sobre V .
Definição. Seja V uma G -representação. O completamento unitário universal
V → V̂ de V é a G -representação de Banach unitária tal que para todo morfismo
de G -representações E-linear V → W com W uma G -representação de Banach
unitária temos
V
(
V̂
/5 W .
Vamos explicitar este completamento. Por isso precisamos da observação
seguinte.
Interlúdio: Seminormas e Reticulados.
Definição. Seja E um corpo p -ádico e o = oE seu anel de inteiros. Um reticulado
num E-espaço vetorial V é um o-modulo L tal que para todo v ∈ V ha λ ∈ K∗
tal que λ · v ∈ L, isto é, K · L = V .
Observação. A noção de um reticulado L num espaço vetorial V equivale a uma
seminorma k·k sobre V na seguinte maneira:
k·k →
7
L = B≤1 (V ) = {x ∈ V : kx k ≤ 1}
L
7→ k·k def. por kv k := inf {c ∈ | E∗ | : v ∈ λL com |λ| = c}
Notamos que a equivalência entre uma seminorma k·k e a sua bola de unidade
B≤1 vale igualmente sobre R. A diferença é que o = B≤1 (F) é um anel e então
L = B≤1 (V ) um reticulado.
Observações gerais
Seja, como em nosso caso, a G -representação V finitamente gerado. Temos a
caraterização seguinte.
10
Observação. O espaço de Banach V̂ é o completamento relativamente à seminorma k·k L associada á qualquer reticulado L finit. gerado como oE [G]-módulo.
Chamamos L do reticulado unitário universal da G -rep. V .
Seja G um grupo compacto, V uma G -representação e k·k 0 uma norma
qualquer sobre V . Então a norma k·k sobre V dada por
kv k = max{kv д k 0 : д ∈ G}.
é G -invariante. Isto raciocino torna plausível que a forma de L somente depende
da parte não compacta em G .
Proposição 5.1. O reticulado unitário universal L da G -representação i(χ ) é dado
por qualquer reticulado finitamente gerado como oE [P]-modulo.
Demonstração. (Veja [Nag12, Corollary 3.3]): Usa a decomposição de
Iwasawa
G = KP
com K = GLn (oF ) um subgrupo max. compacto aberto de G .
A célula aberta padrão
Pela definição temos uma noção bem definida do suporte de uma função em
i(χ ) como subconjunto em F := P̄\G . Podemos:
• Olhar a inclusão da célula aberta padrão N ,→ F (com imagem densa),
e
• definir i(χ )(N ) = {f : G → E em i(χ ) com suporte em N }.
Este subespaço é estável sob a ação de P . Descrevemos no paragrafo seguinte
esta P -representação em mais detalhe.
Colando as células abertas
Construímos uma família de isomorfismos entrelaçando da G -representação
i(χ ) como se segue:
11
• Seja W = NG (T )/T o grupo de Weyl das matrizes de monômios em G .
Temos uma operação bem definida por W sobre os caráteres χ : T → E∗
pela conjugação χ w = χ (·w ).
• Seja δ P : tn 7→ | Adn (t)| a função modular de P = T N . Temos im δ P /δ Pw ⊆
p 2Z e então (δP /δPw )1/2 é bem definido.
• Seja θw = θ w ((δ P̄ /δ w )1/2 . Supomos que θ é regular, isto é, θw = θ se e
P̄
somente se w = 1, e que i(χ ) é irredutível.
Proposição (Operadores de entrelaçamento). Existe uma família de isomorfismos
de G -representações
Tw : i(χw ) → i(χ ) com χw = θw χ
para todo w ∈ W .
Os operadores de entrelaçamentos Tw para w ∈ W nos permitem colar i(χ ) a
partir da célula aberta padrão N . Mais exatamente:
Proposição (Colagem através dos entrelaçamentos). Temos
i(χ ) =
X
Tw (i(χw )(N )).
w∈W
Corolário (da Proposição acima e Proposição 5.1). O reticulado unitário universal
L de i(χ ) é da forma
X
L=
Lw
w∈W
onde Lw = Tw (Lw ) com Lw o reticulado unitário universal da P -representação
i(χw )(N ).
⇒ Vamos estudar a P -representação i(χ )(N ) e o seu reticulado unitário
universal L.
6 A norma unitária de funções diferenciáveis
Restrição à célula aberta padrão
Denotamos a operação de T por conjugação a esquerda respectivamente a
direita sobre N por t n = tnt −1 respectivamente por nt = t −1nt .
12
Lema 6.1. Pela restrição a N temos uma injeção de P -representações
i(χ )(N ) ,→ Cla
cpt (N , E) = {f : N → E : loc. pol. e de sup. cpt.}
se definamos o grupo P opera sobre Cla
cpt (N , E) como
f p = χ (p)f (·t n) para todos p = tn ∈ P com t ∈ T ,n ∈ N .
Nota. Notamos que N é um produto de copias de A1 = Spec(F[X ]) e então
Calg (N , E) = {f : N → E polinomial }.
Denotamos a imagem desta injeção f 7→ f |N por
ψ −la
Ccpt (N , E) ={f : N → E de suporte compacto : Para todos
n ∈ N ha U 3 n aberto em N tal que
f |U = p|U para um p ∈ IndGP̄ (ψ )alg }.
O reticulado unitário universal de i(χ )(N )
Proposição 6.2. Sejam
• 1N0 a função característica de N 0 ⊆ N , e
• ū o vetor do peso maximal único (a menos de um escalar) invariante pelo
grupo P̄ da G -representação racional irredutível i(ψ )alg .
ψ −la
O reticulado unitário universal L da P -rep. Ccpt (N , E) é
L = oE [P] · f
com f = 1N0ū |N .
Demonstração: Usa que t N 0 ⊆ N 0 fica arbitrariamente diminuto e depois
translata por N . A parte algébrica provem da teoria de rep. racionais.
Seja T + o submonoide dominante de T dado por
+
T := {
t1
...
!
td
: |t 1 | ≥ . . . ≥ |td |} = {t ∈ T : t N 0 ⊆ N 0 }.
ψ −la
Proposição. O ret. L ⊆ Ccpt (N , E) é livre ⇔ |χ (t)| ≤ 1 para todos t ∈ T + .
Recordamos primeiro o feito importante que L é livre se e somente se a sua
seminorma associada k·k L é uma norma.
13
Esboço da Prova da Necessariedade: Observamos que L é em particular estável
sob a ação de P . Seja f = 1t N0 ⊗ u |N com u o vetor do peso maximal da
G -representação i(ψ )alg . Temos u |N = 1 e f t = χ (t) · 1t N0 ⊗ u |N para t ∈ T .
Porque f n = f (·n) para n ∈ N , segue
f =
X
1t N0n = 1/χ (t) ·
n∈N / t N 0
X
f tn para t ∈ T + .
n∈N / t N 0
Graças a k f tn k = k f k para p = tn ∈ P a desigualdade triangular implica que
k f k ≤ 1/|χ (t)| maxn∈N / t N0 k f tn k = 1/| χ (t)|k f k .
Estratégia da prova da Suficiência.
Observação. O reticulado L é livre ⇔ A seminorma assoc. k·k L é uma norma.
⇒ Basta achar uma norma k·k tal que k·k ≤ k·k L .
Visto que L = oE [P] · f com f = 1N0 ⊗ ū |N , temos per def.:
⇒ A seminorma k·k L é a maior seminorma tal que P deixa o gerador f
invariante.
Porque satisfaz achar um tal norma menos de equivalência e P é um grupo,
estamos reduzidos ao seguinte:
Conclusão: Basta construir uma norma k·k satisfazendo:
(A) Invariância sob translação por N .
(B) Ha um número constante C ≥ 1 tal que
k 1t N0 ⊗ ū |N k ≤ C · | 1/θψ¯(t)|
para todos t ∈ T .
Simplificações adicionais. Supomos que |χ (t)| ≤ 1 para todos t ∈ T + . O
ψ −la
reticulado L ⊆ Ccpt (N , E) so depende da valorização |χ | : T → | E∗ | e por isso
constatamos as seguintes simplificações adicionais:
• A condição |χ (t)| ≤ 1 para todos t ∈ T + implica em particular que
| χ (z)| = 1 para todos z no centro Z de G .
• Como θ (t) = 1 e |ψ (t)| = 1 para todos t ∈ T0 podemos supor que χ é
trivial sobre T0 .
Corolário. Desde já podemos supor sem perda de generalidade que
χ : T /T0Z → E∗ .
14
O exemplo fundamental
Supomos n = 2, isto é, G = GL2 (F) e então N = F. Pela escolha de um
uniformizador π de F obtemos um isomorfismo
∼
Z → T /T0Z
n 7→ tαn
com tα =
π
!
1
.
Além disso, recordamos que χ = θψ com
• um caráter não ramificado θ : F∗ → E∗ , e
• um caráter algébrico dominante ψ que podemos escrever na forma
( a d ) 7→ ak+l bl
com k + l ≥ l em Z.
Proposição 6.3. Obtemos a descrição explicita
Cψ −la (N , E) = Clp≤k (F, E) :={f : F → E : f loc. pol. de grau
≤ k com suporte compacto}
e ação de P dada
• por f t = χ (t)f (d/a · _) para todo t = a d ∈ T , e
• por f n = f (· + n) para todo n ∈ N .
Demonstração: A representação algébrica irredutível I (ψ )alg de peso maximal ψ
tem uma base de produtos de k fatores consistindo das funções de coordenadas
a e b na linha
superior e da det. Restringindo a N da as funções de monômio
1 1 , 1 X , . . . , 1 Xk .
1
1
1
Seja
r = v(χ (tα )) ∈ R
com v a valoração de E normalizada tal que v(p) = 1.
• Recordamos que | χ | : T /T0 Z → | E∗ | com Z = T /T0Z e o reticulado L
em Cψ −la (N , E) somente depende de | χ | , obtemos que r determina L
respectivamente k·k L .
15
• Pelo suposto | χ (t)| ≤ 1 para todos t ∈ T + obtemos r ≥ 0.
Visto
• a descrição explicita de Cψ −la (N , E) na Proposição 6.3 prévia,
∼
• que χ : T → T /T0Z → E∗ e Z → T /T0Z via n 7→ tαn ,
as propriedades (A) e (B) acima da norma k·k = k·k L associada a L sobre
Clp≤k (F, E) se traduzem como se segue.
Basta construir k·k sobre Clp≤k (F, E) satisfazendo:
(a) Ha um número constante C > 0 tal que
k 1π n oF x k k ≤ C · |π | (k−r )n para todos n ∈ Z.
(b) Ela é invariante sob translação.
Para não nos perder em tecnicalidades, supomos aqui que r = 1.
Funções diferenciáveis.
Definição. Seja f ∈ Clp≤k (F, E). Definamos a função f ]1[ por
f ]1[ (x,y) =
f (x) − f (y)
x −y
para todos x,y ∈ F diferentes.
Como funções localmente polinomiais são em particular diferenciáveis, mostrase facilmente que
k f ]1[ k sup = sup{| f ]1[ (x,y)| : x,y ∈ F} < ∞.
Definição. A norma k·k C1 é definida sobre Clp≤k (F, E) por
k f k C1 = k f ]1[ k sup .
Proposição. A norma k·k C1 satisfaz as Propriedades (a) e (b) acima.
Demonstração: Ad (a): Pois o supremo de k f ]1[ k sup concorre todos pares de
elementos diferentes em N , ele não muda sob translação por N .
Ad (b): Mostramos que
k 1π n oF x k k C1 ≤ |π | (k−1)(n−1) = C · |π | (k−1)n
com C = 1/|π |n > 0 para todos n ∈ Z. Colocamos U = π n oF e δ = dia(U ) =
|π n | . Distinguimos dois casos:
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(i) Temos |x − y| ≤ δ : Distinguimos dois casos:
(a) Temos |x | ≤ δ : Então f ]1[ (x,y) é um polinomial de grau total k − 1
em x,y com |x |, |y| ≤ δ e por isso | f ]1[ (x,y)| ≤ δ k−1 .
(b) Temos |x | > δ : Então f (x) = f (y) = 0 e f ]1[ (x,y) = 0.
(ii) Temos |x − y| > δ . Então | f ]1[ (x,y)| < δ −1 k f k sup ≤ δ −1δ k = δ k−1 .
Caso geral
Restamos no caso n = 2, isto é, no caso de uma variável Cψ −la (N , E) =
Clp≤k (F, E). Seja r ≥ 0 um número real qualquer.
Definição. Seja i ≥ 0 e h 1 , ..,hi ,hi+1 ∈ F. Def. o operador de quociente de
diferença iterado ∆i _(·; h 1 , ..,hi ) sobre Clp≤k (F, E) por ∆0 f = f e
∆i+1 f (·; h 1 , ..,hi ,hi+1 ) = ∆i f (· + hi+1 ; h 1 , ..,hi ) − ∆i f (·; h 1 , ..,hi ).
Definição. Escrevemos r = ν + ρ ∈ R≥0 com ν ∈ N e ρ ∈ [0, 1[. Definimos a
norma k·k Cr sobre Clp≤k (F, E) por
k f k Cr =
sup
x ∈F,h∈F∗ν +1
|∆ν +1 f (x ; h)|
.
|h 1 | · · · |hνk | · |hνk +1 | ρ
Supomos agora n ≥ 2 qualquer.
Definição. Seja h = (1h ; . . . ; d h) ∈ Fi 1 × · · · × Fid . Definamos o operador de
lp
quociente de diferença iterado em múltiplas variáveis ∆i _(·; h) sobre Ccpt (F, E)⊗
· · · ⊗ Clp
cpt (F, E) por
∆i _(·; h) = ∆i 1 _(·; 1h) ⊗ · · · ⊗ ∆id _(·; d h).
Definição. Seja r ∈ Rd≥0 com d ∈ N. Escrevemos r = ν + ρ com parte inteira
ν ∈ Nd e parte fracionária ρ ∈ [0, 1[d . Definamos
k f k Cr :=
sup
x ∈Fd ,
h∈F∗ν1 +1 ×···×F∗νd +1
|∆ν +1 f (x ; h)|
k
k
k
ρk
k=1,...,d (| h 1 | · · · | hνk | · | hνk +1 | )
Q
aqui 1 = (1, . . . , 1) ∈ Nd .
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;
+
• Lembramos que, como variedade algébrica, N ' A1Φ com Φ+ = {εi − ε j :
i < j ∈ {1, . . . ,n}} as raízes positivas de G. (Aqui εi : T → F∗ a função
avaliando a coordenada i do toro.)
• Então Calg (N , E) = {f : N → E polinomial } e por conseguinte
Cla (N , E) = {f : N → E loc. polinomial com sup. compacto }.
Conclusão: Temos uma identificação natural
ι:
O
∼
Clp (F, E) → Cla (N , E).
α ∈Φ+
+
Definamos r ∈ RΦ≥0 como se segue: Temos um isomorfismo
N∆ → T + /T0Z
Y
(nα ) 7→
tα
α ∈∆
com ∆ = {εi − εi+1 } as racinas simples.
+
Definição. Definamos r ∈ RΦ≥0 por

v(χ (tα ))
rα := 
0

se α ∈ ∆,
caso contrário.
Definição. Fornecemos Cla−ψ (N , E) com a norma k·k definida por
k f k = kι −1 (f )k Cr .
Proposição (Lema 2.17 em [Nag12]). A norma k·k satisfaz as Propriedades (A) e
(B) acima.
7 Conclusão
Resumo
• Construímos a G -representação localmente algébrica
i(χ ) = {certas funções f : G → E localmente algébricas }.
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• Obtivemos que a sua seminorma unitária maximal k·k L é dado pelo
reticulado
X
L=
Tw (Lw )
w∈W
com Lw ⊆ i(χw )(N ) = { todas f ∈ i(χw ) suportadas em N } e certos
isomorfismos Tw : i(χw ) → i(χ ) para todos w ∈ W .
∼
ψ −alg
• Via f 7→ f |N observamos que i(χ )(N ) → Ccpt
certas funções localmente polinomiais.
(N , E) se descreve como
• Mostramos que Lw é livre se, e só se, | χw (t)| ≤ 1 para todos t ∈ T +
pela construção de uma norma k·k Cr ≤ k·k L de certas funções r -vezes
+
diferenciáveis para r ∈ RΦ≥0 .
Conclusão
Corolário. Supomos que para todo w ∈ W vale |χw (t)| ≤ 1 para todos t ∈ T + .
Então o reticulado unitário universal L da G -representação i(χ ) é da forma
L=
X
Lw
com Lw livre.
w∈W
• Isto ainda não mostra diretamente que L mesmo é livre.
• Até agora somente o caso G = GL2 (Qp ) é resolvido em geral por Berger e
Breuil em [BB10]. A demonstração deles esquisitamente revolta ao lado
da representações de Galois usando a Correspondência de Langlands
estabelecida para n = 2 e F = Qp .
Esperamos que esta estratégia ajuda resolver o caso mais geral através um
raciocínio mais direta.
Referências
[BB10] L. Berger and C. Breuil, Sur quelques représentations potentiellement
cristallines de GL2 (Qp ), Astérisque 330 (2010), 155–211.
[BS07] C. Breuil and P. Schneider, First steps towards p -adic Langlands functoriality, J. Reine Angew. Math. 610 (2007), 149–180. MR 2359853
(2009f:11147). DOI 10.1515/CRELLE.2007.070.
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[Nag11] E. Nagel, Fractional non-Archimedean differentiability, Univ. Münster, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät (Diss.), 2011. zbMATH 1223.26011. Confer http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:
hbz:6-75409405856.
[Nag12]
, The intertwined open cells in the universal unitary lattice of an unramified algebraic principal series, preprint (2012),
44 p. Confer http://www.math.jussieu.fr/~nagel/publications/
InterOpenCells.pdf.
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