Números Complexos 1. (Epcar (Afa) 2013) Considerando os números complexos z1 e z2, tais que: — z1 é a raiz cúbica de 8i que tem afixo no segundo quadrante — z 2 é raiz da equação x 4 x 2 12 0 e Im z2 0 Pode-se afirmar que z1 z2 é igual a a) b) c) d) 2 3 3 3 1 2 2 22 2 2. (Espcex (Aman) 2013) Sendo Z o conjugado do número complexo Z e i a unidade imaginária, o número complexo Z que satisfaz à condição Z 2 Z 2 Zi é a) z 0 1i b) z 0 0i c) z 1 0i d) z 1 i e) z 1– i 3. (Unicamp 2013) Chamamos de unidade imaginária e denotamos por i o número complexo tal que i2 1. Então i0 i1 i2 i3 a) 0. b) 1. c) i. d) 1 i. i2013 vale 3 3 3 i na forma algébrica e 2 2 w 3(cos θ isenθ) na forma trigonométrica, onde 0 θ 2π , assinale o que for correto. 4. (Uem 2012) Considerando dois números complexos, z 3 01) z w z w . π , então w z . 3 04) z 4 27z . 02) Se θ π 08) Se θ , então 2 10 zw w 9 z10 . 9 16) w 3 (z)3 (w)3 z3 w z . www.nsaulasparticulares.com.br Página 1 de 10 5. (Ufsm 2012) Observe a vista aérea do planetário e a representação, no plano ArgandGauss, dos números complexos z1, z2, ..., z12, obtida pela divisão do círculo de raio 14 em 12 partes iguais. Considere as seguintes informações: I. z2 7 3 14i. II. z11 z3 . III. z5 z4 z11. Está(ão) correta(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e II. e) apenas II e III. 2 1 i 1 6. (Fgv 2012) É dada a matriz A (a ij ) 3 3 tal que A 1 i 1 i sendo i a unidade 1 i 0 imaginária: i 2 1. a) Escreva a matriz B ( b ij ) 3 3 , substituindo os elementos da matriz A pelos seus números complexos conjugados, ou seja, b i j é o complexo conjugado do elemento a ij b) Determine a área do triângulo cujos vértices são os afixos dos elementos b23 e b32 e o afixo do determinante da matriz B. 7. (Insper 2012) Considere um número complexo z, de módulo 10, tal que z K i , em que 2 K é um número real. A parte real desse número complexo é igual a a) 5 3. b) 8. c) 5 2. d) 6. e) 5. www.nsaulasparticulares.com.br Página 2 de 10 8. (Espcex (Aman) 2012) Seja o número complexo z x yi , com x e y reais e i2 1. 3 4i Se x2 y2 20, então o módulo de z é igual a: a) 0 b) 5 2 5 5 d) 4 e) 10 c) z 9. (Ufpe 2012) Analise as afirmações seguintes sob ( ( ( 1 i 2 : ) z é uma das raízes quadradas do complexo i. ) z4 1. π π ) A forma trigonométrica de z é cos isen . 4 4 ( ) z2012 1. ( ) z, z3 , z5 e z7 são as raízes complexas da equação x 4 1 0. 10. (Insper 2012) No conjunto dos números complexos, o número 1 apresenta três raízes 1 i 3 1 i 3 e . Os pontos que correspondem às representações desses três 2 2 números no plano de Argand Gauss são vértices de um triângulo de área cúbicas: 1, a) b) c) d) e) 3 4 3 2 3 3 4 3 1 11. (Ifsp 2011) Sendo i a unidade imaginária, considere os números complexos z = 1 + i e w = z2 − z. Um argumento de w é a) . 3 b) . 2 2 c) . 3 3 . d) 4 5 . e) 4 12. (G1 - ifal 2011) O valor da potência (1 i)10 é: a) 11i. b) 5i. c) 32i. d) 50i. e) 1 5i. www.nsaulasparticulares.com.br Página 3 de 10 13. (G1 - cftmg 2011) A medida do argumento dos números complexos z x yi pertencentes à reta y x , em radianos, é π 5π . ou 4 4 π 3π b) . ou 2 2 π π ou c) 4 4 π 4π d) . ou 3 3 a) 14. (Mackenzie 2010) Se y = 2x, sendo x= 1 i ei= 1 i 1 , o valor de (x + y)2 é a) 9i b) – 9 + i c) –9 d) 9 e) 9 – i 15. (Fgv 2010) Sendo i a unidade imaginária, então (1 + i) 20 – (1 – i)20 é igual a a) –1024. b) –1024i. c) 0 d) 1024. e) 1024i. www.nsaulasparticulares.com.br Página 4 de 10 Gabarito: Resposta da questão 1: [A] Calculando as raízes cúbicas de 8i, temos: x3 8i 0 x3 2i 0 x 2i x2 2ix 4 0 x 2i ou x 3 i ou x 3 i. 3 Portanto Z1 3 i Resolvendo a equação x 4 x 2 12 0, temos: x2 2 1 49 1 7 x 3 x 3 2 1 2 x2 4 x 2i Portanto Z2 = 2i e z1 z2 3 i 2i 3 3i 3 2 32 12 2 3. Resposta da questão 2: [D] Se z a bi, com a e b reais, então z a bi. Desse modo, z 2z 2 zi a bi 2 (a bi) 2 (a bi) i 3a bi (b 2) ai. Logo, obtemos o sistema 3a b 2 a 1 . a b b 1 Portanto, o número complexo z que satisfaz a condição dada é z 1 i. Resposta da questão 3: [D] Calculando a soma dos 2014 termos de uma P.G de primeiro termo 1 e razão i, temos: i0 i1 i2 i3 i2013 1.(i2014 1) i2 1 2 (1 i) i 1 i 1 i 1 i 1 (1 i) Resposta da questão 4: 01 + 04 + 08 = 13. Dados Iniciais 3 3 3 2π 2π z i z 3(cos isen ) 2 2 3 3 (01) Verdadeiro. 2 2 3 3 3 z a b z 3 2 2 2 2 www.nsaulasparticulares.com.br Página 5 de 10 w 3 2 2 3 3 3 z a b z 3 2 2 2 2 3 Portanto, z w z z . w . z (3)(3)(3) (3)3 w . (02) Falso. Para θ π π 3 3 3 π i então w z . , temos: w 3(cos isen ) 3 3 2 2 3 (04) Verdadeiro. 3 3 3 81 81 3 z i 27z i 2 2 2 2 2π 2π 2π 2π z 3(cos isen ) z 4 3 4 cos 4 isen 4 3 3 3 3 1 3 81 81 3 z 4 81 2 2 2 2 Portanto, z4 27z . (08) Verdadeiro. π π π Para θ , Temos: w 3(cos isen ) w 3i e w 3i 2 2 2 10 3 3 3 3i 10 2 zw 2 Logo, 3i w 10 3 3 3 2 2 z10 . (16) Falso. 3 3 3 3 w 3 (z)3 (w)3 z3 w . (z) (w) . (z) 312 9 w z 9 318 Portanto, 9 3 w (z)3 (w)3 z3 w z 9 Resposta da questão 5: [B] I. FALSA, pois Z2 14 (cos30 i sen30) 7 3 7i. II. VERDADEIRA, pois Z11 e Z3 são simétricos em relação ao eixo das abscissas. III. FALSA, pois Z5 14 (cos120 i sen120) Z 4 14 (cos90 i sen90) Z11 Z3 14 (cos 60 i sen60) Z 4 Z11 14 14 cos(60 90) i sen(60 90) Z5 . Portanto, apenas a afirmação dois é verdadeira. www.nsaulasparticulares.com.br Página 6 de 10 Resposta da questão 6: 2 1 i 1 a) B = 1 i 1 i . 1 i 0 b) Calculando o determinante de B, temos: det(B) = – i – 1 + i – 1 – 1 – 2 = – 5. Logo, o afixo do det(B) é (–5,0) b23 = (0,1) e b32 = (0,–1). Desenhando o triângulo, temos: Logo, a área da figura será: 25 A 5. 2 Resposta da questão 7: [B] Escrevendo o número complexo z na forma algébrica, obtemos z (k i)2 (k 2 1) 2k i. Sabendo que | z | 10 e | z | | (k i)2 | | k i |2 k2 1, vem k 2 1 10 k 2 9. Portanto, Re(z) k2 1 9 1 8. Resposta da questão 8: [C] Sabendo que z1 |z | | x yi | 1 , com z2 0, obtemos | z | z2 | z2 | | 3 4i | x2 y2 2 3 4 2 20 25 2 5 . 5 Resposta da questão 9: V – F – V – F – V. Se z é uma das raízes quadradas do complexo i, então z2 i. De fato, www.nsaulasparticulares.com.br Página 7 de 10 2 1 2i 1 1 i z2 i. 2 2 Temos que z4 (z2 )2 i2 1. π π Escrevendo cos isen na forma algébrica, encontramos 4 4 2 2 1 1 π π cos isen i i z. 4 4 2 2 2 2 Como z 2 i, segue que z2012 (z2 )1006 i1006 i2 1. Sabendo que z 4 1, temos que z é raiz da equação x 4 1 0. Além disso, (z3 )4 (z4 )3 (z5 )4 (z4 )5 (z7 )4 (z4 )7 1 e, portanto, z3 , z5 e z7 também são raízes da equação x 4 1 0. Resposta da questão 10: [C] Localizando os afixos no plano complexo, temos o triângulo da figura. Calculando sua área: 3 3 1 1 2 2 2 A 2 3 3 2 A 2 A 3. 3 4 www.nsaulasparticulares.com.br Página 8 de 10 Resposta da questão 11: [D] W = (1 + i)2 – (1 +i) Desenvolvendo, temos: W = - 1 + i = (=1, i) Logo, seu argumento será 135o (90o + 45o). Resposta da questão 12: [C] Sabendo que i5 i4 i (i2 )2 i ( 1)2 i i, vem (1 i)10 [(1 i)2 ]5 (1 2i i2 )5 ( 2i)5 ( 2)5 i5 32i. Resposta da questão 13: [A] 45o π 5π e 225o 4 4 www.nsaulasparticulares.com.br Página 9 de 10 Resposta da questão 14: [C] x= 1 i 1 i i 2 2i i 2 2i i e y = 2i 1 i 1 i 2 12 i 2 (x+y)2 = (i + 2i)2 = (3i)2 = 9i2 = - 9 Resposta da questão 15: [C] (1 i)20 ((1 i)2 )10 (1 2i i2 )10 (2i)10 1024.i2 (1 i)20 ((1 i)2 )10 (1 2i i2 )10 ( 2i)10 1024.i2 logo (1 i)20 (1 i)20 0 www.nsaulasparticulares.com.br Página 10 de 10