A ORIGEM DOS NÚMEROS
Aline Ferreira Marius*
Mariana Alves de Almeida**
*Professora de Ensino Fundamental e Educação Infantil da Rede Municipal de Ensino
de Curitiba. Licenciada em Matemática pela Universidade Tuiuti do Paraná. Aluna da
Especialização em Ensino da Matemática na Universidade Tuiuti do Paraná.
**Analista de Controle Operacional do Banco HSBC. Licenciada em Matemática pela
Universidade Tuiuti do Paraná. Aluna da Especialização em Ensino da Matemática na
Universidade Tuiuti do Paraná.
Cessão de Direitos de Publicação
O(s) autor (es) abaixo assinado(s) transfere(m) os direitos de publicação, impressa e
on-line, do artigo
"________________________________________________________________"à
revista Tuiuti: Ciência e Cultura, caso ele venha a ser publicado.Também declara(m)
que tal artigo é original, não está submetido à apreciação de outro jornal e/ou revista e
não foi publicado previamente.
O(s) autor (es) abaixo assinado(s) assume(m) a responsabilidade pela
veracidade das informações contidas no referido artigo.
Curitiba, __________________/200__.
(Mês)
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(nome e assinatura do(s) autor (es))
Resumo:
Este artigo mostra a evolução histórica da representação gráfica dos números de
uma maneira sucinta e objetiva. Registra a existência de várias hipóteses
“inventadas” para a criação dos algarismos. Deixa claro que o nome “arábicos” não
significa que foram os árabes quem os desenvolveram, apenas difundiram no
ocidente esta invenção que pode ser creditada ao espírito pŕático dos povos hindus.
Palavras-chave: Origem; Números; Evolução; fenômenos.
Abstract:
This article shows the historical evolution of the numbers graphical representation in
a succinct and objective way. It reports the several existence hypotheses “invented”
for the digits creation. It lets clear that the Arabic name doesn't mean that were the
Arabians who developed them, they just spread out in the occident this invention that
can be credited to the practical spirit of the Hindus.
Key Words: Origin; Numbers; Evolution; History.
1. Introdução
A origem dos símbolos que representam os algarismos indo-arábicos deve-se à
evolução do processo de contagem, fenômeno mental complicado, que se atribui
exclusivamente aos seres humanos apesar de algumas espécies de animais parecerem
possuir um sentido rudimentar do número (GONGORRA). Este processo de contagem
surgiu da necessidade advinda da organização de agrupamentos humanos em
pequenos grupos sociais que viviam da agricultura e do pastoreio, como será mostrado
na seção 2. Este processo baseava-se no princípio de correspondência biunívoca entre
duas quantidades sem que houvesse qualquer preocupação com a representação
simbólica da quantidade abstrata representada pelo número. Com o passar do tempo,
as quantidades foram representadas por expressões, gestos, palavras e símbolos,
sendo que cada povo tinha a sua maneira de representação. Este processo de
representação percorreu várias etapas durante a história das civilizações antigas e
contemporâneas até a representação que hoje é universalmente aceita e empregada,
isto é os algarismos indo-arábicos. A partir deste fato e de uma rica e sólida
documentação, desde o início do século XX obtiveram-se evidências de que nossa
numeração atual é de origem indiana, tendo sido difundida ao ocidente através dos
árabes.
2. O Início do Processo de Contagem
A necessidade de contar começou com o desenvolvimento natural das atividades
humanas, quando o homem foi deixando de ser caçador e coletor de alimentos para
fixar-se no solo (GONGORRA). Segundo contam os historiadores, somente após a
chegada das atividades comerciais houve uma evolução significativa da escrita e da
linguagem (LOPES, 2006).
As primeiras formas de agricultura de que se tem notícia, foram criadas há cerca
de dez mil anos na região que hoje é denominada Oriente Médio. A agricultura passou
então a exigir o conhecimento do tempo, das estações do ano e das fases da Lua e
assim começaram a surgir às primeiras formas de calendário.
No pastoreio, o pastor usava várias formas para controlar o seu rebanho. Pela
manhã, ele soltava os seus carneiros e analisava ao final da tarde, se algum tinha sido
roubado, fugido, se perdido do rebanho ou se havia sido acrescentado um novo
carneiro ao rebanho. Assim eles tinham a correspondência um a um, onde cada
carneiro correspondia a uma pedrinha que era armazenada em um saco.
A correspondência unidade a unidade não era feita somente com pedras, mas
eram usados também nós em cordas, marcas nas paredes, talhes em ossos, desenhos
nas cavernas e outros tipos de marcação (IMENES e LELLIS, 2005)
3. A Origem dos Símbolos
3.1 Os egípcios
Os grandes progressos que marcaram o fim da Pré-História verificaram-se com
muita intensidade a rapidez no Egito.
Para fazer os projetos de construção das pirâmides e dos templos, o número
concreto não era nada prático. Ele também não ajudava muito na resolução dos difíceis
problemas criados pelo desenvolvimento da indústria e do comércio.
Foi partindo dessa necessidade imediata que estudiosos do Antigo Egito
passaram a representar a quantidade de objetos de uma coleção através de desenhos
– os símbolos, e a criação doestes símbolos foi um passo muito importante para o
desenvolvimento da Matemática.
Há mais ou menos 3600 anos, o faraó do Egito tinha um súdito chamado
Aahmesu, cujo nome significa “Filho da Lua”.
Aahmesu ocupava na sociedade egípcia uma posição muito mais humilde que a
do faraó: provavelmente era um escriba. Hoje Aahmesu é mais conhecido do que
muitos faraós e reis do Antigo Egito. Entre os cientistas, ele é chamado de Ahmes. Foi
ele quem escreveu o Papiro Ahmes.
O Papiro Ahmes é um antigo manual de Matemática. Contêm 80 problemas,
todos resolvidos. A maioria envolve assuntos do dia-a-dia, como o preço do pão, a
armazenagem de grãos de trigo, a alimentação do gado (GUELLI, 1992).
Observando e estudando como eram efetuados os cálculos no Papiro Ahmes,
não foi difícil aos cientistas compreender o sistema de numeração egípcio. Além disso,
a decifração dos hieróglifos – inscrições sagradas das tumbas e monumentos do Egito
– no século XVIII também foi muito útil.
O sistema de numeração egípcio baseava-se em sete números-chave:
1
10
100
1 000
10 000
100 000
Os egípcios usavam símbolos para representar esses números.
Um traço vertical representava 1 unidade:
Figura adaptada de (GUELLI, 1992).
Um osso de calcanhar invertido representava o número 10:
1 000 000
Figura adaptada de (GUELLI, 1992).
Um laço valia 100 unidades:
Figura adaptada de (GUELLI, 1992).
Uma flor de lótus valia 1 000:
Figura adaptada de (GUELLI, 1992).
Um dedo dobrado valia 10 000:
Figura adaptada de (GUELLI, 1992).
Com um girino os egípcios representavam 100 000 unidades:
Figura adaptada de (GUELLI, 1992).
Uma figura ajoelhada, talvez representando um deus, valia 1 000 000:
Figura adaptada de (GUELLI, 1992)
.
Todos os outros números eram escritos combinando os números-chave. Na
escrita dos números que usamos atualmente, a ordem dos algarismos é essencial e, ao
escrever os números, os egípcios não se preocupavam com a ordem dos símbolos.
(GUELLI, 1992)
3.2 Os Romanos
A civilização romana foi, sem dúvida, uma das mais importantes da antiguidade.
Seu centro era a cidade de Roma. Desde sua fundação, em 753 a.C. até ser ocupada
por povos estrangeiros em 476 d.C. seus habitantes enfrentaram um número
incalculável de guerras de todos os tipos. Inicialmente, para se defenderem dos
ataques de povos vizinhos; mais tarde, nas campanhas de conquista de novos
territórios.
Apesar de a maioria da população viver na miséria, em Roma havia luxo e muita
riqueza, usufruída por uma minoria rica e poderosa. Roupas luxuosas, comidas finas e
festas grandiosas faziam parte do dia-a-dia da elite romana.
Foi nesta Roma de miséria e luxo que se desenvolveu e aperfeiçoou o número
concreto, que vinha sendo usado desde a época das cavernas. (GUELLI, 1992)
Os romanos não inventaram símbolos novos para representar os números;
usaram as próprias letras do alfabeto conforme a figura 1.
O sistema de numeração romano baseava-se em sete números-chave:
I tinha o valor 1.
V valia 5.
X representava 10 unidades.
L indicava 50 unidades.
C valia 100.
D valia 500.
M valia 1 000.
Quando apareciam vários números iguais juntos, os romanos somavam os seus valores.
E quando dois números diferentes vinham juntos, e o menor vinha antes do maior, subtraíam os
seus valores (assim, por exemplo, IV é igual a 4), mas se o número maior vinha antes do
menor, eles somavam os seus valores (enquanto que VI é igual a 6).
Como vimos o número 1000 era representado pela letra M. Assim, MM
correspondiam a 2000 e MMM a 3000. Para escrever números maiores que 3000, os
romanos usavam um traço horizontal sobre as letras que representavam esses
números mostrados na figura 2.
Figura 2: Algarismos Romanos maiores que 3000. Figura adaptda de (GUELLI, 1992
Um traço multiplicava o número representado abaixo dele por 1 000.enquanto
que dois traços sobre o M davam-lhe o valor de 1 milhão.
3.3 A Dificuldade dos Sistemas não Posicionais
O sistema de numeração romano foi adotado por muitos povos. Mas ainda era
difícil efetuar cálculos com este sistema. Por isso, matemáticos de todo o mundo
continuaram a procurar intensamente símbolos mais simples e mais apropriados para
representar os números.
E como resultado dessas pesquisas, aconteceu na Índia uma das mais notáveis
invenções de toda a história da Matemática: o sistema de numeração decimal.
(GUELLI, 1992)
Como vimos nas seções anteriores, ao escrever os números, os egípcios e os
romanos não se preocupavam com a ordem dos símbolos, pois os números eram
representados por figuras (egípcios) e letras do alfabeto (romanos), e isso dificultava os
cálculos do cotidiano para essas civilizações.
Esta simples adição exemplifica a grande vantagem do uso do sistema de
numeração posicional. No sistema posicional as unidades são somadas (6+7 = 13) e o
resultado é agregado posicionalmente na conta: 3 ocupa a coluna das unidades
enquanto que o 10 aparece na coluna das dezenas, é o famoso “ vai um”. Em seguida
somam-se a este 10, o 20 e o 40, resultando em 70, que aparece como 7 na coluna das
dezenas. A conta finaliza com a soma dos algarismos que representam as centenas.
Esta simplicidade não pode ser aplicada na mesma conta escrita com algarismos
romanos, à direita.
Então os egípcios criaram técnicas de calcular com seu sistema de numeração
utilizando números inteiros. Porém, estas técnicas não supriam todas as necessidades
de cálculos, pois os egípcios não tinham como expressar um pedaço de alguma coisa
através se seu sistema de numeração. Por isso, matemáticos de todo o mundo
continuaram a procurar intensamente símbolos mais simples e mais apropriados para
representar os números.
3.4 Os Gregos
No início do século XIX, historiadores das ciências alegaram que devíamos essa
numeração aos matemáticos da Grécia antiga. Segundo eles, o sistema teria nascido
nos meios neopitagóricos um pouco antes do início da era cristã. Do porto de
Alexandria teria passado a Roma na época imperial e um pouco mais tarde para a
Índia, por via comercial. De Roma teria sido transmitido em seguida à Espanha e às
províncias da África do Norte, onde teria sido adotado alguns séculos mas tarde pelos
conquistadores arábico-muçulmanos, enquanto seus vizinhos do Oriente próximo o
teriam recebido dos comerciantes indianos. A partir de então teriam sido constituídas,
de um lado, as formas gráficas dos algarismos europeus e magrebinos, e do outro, os
de aparência muito diferente dos algarismos indianos e árabes orientais. Como não foi
encontrado nenhum indício de um sistema do mesmo tipo que o nosso entre os gregos
da Antiguidade todas estas hipóteses foram infundadas (são infundadas). mesmo sem
haver registro documental histórico que possa indicar o mérito dos gregos na invenção
dos nossos algarismos esses autores estabilizaram-se em suas teorias e mantiveramse encerrados nelas.
Os gregos, como já dissemos, só empregaram durante a Antiguidade duas
espécie de notação numérica: uma primeira, matematicamente equivalente ao sistema
romano, e outra, de tipo alfabético. Sabe-se que, com exceção de alguns usos isolados
de época tardia, nenhuma das duas repousava sobre o princípio de posição nem
possuía zero. Assim esses sistemas eram impróprios para uma execução fácil dos
operações aritméticas, sendo que os cálculos eram feitos geralmente em pranchas
chamadas ábacos, sobre as quais colunas traçadas preliminarmente separavam as
diferentes ordens decimais. E, no entanto, a própria concepção desse tipo de
dispositivo poderia perfeitamente ter induzido os aritméticos dessa civilização a
descobrir inicialmente o princípio de posição, depois o zero, por eliminação das colunas
do instrumento, e a criar assim uma numeração operacional, como a que utilizamos.
Mas a história não é escrita no condicional: se os gregos não o fizeram é porque
estavam demasiado apartados das preocupações de ordem prática.
3.4 Os Hindus
Na verdade, devemos essa descoberta fundamental a outra linhagem de sábios
e calculadores: os matemáticos e astrônomos da civilização indiana. Diferentemente
dos gregos, estes tinham tido o espírito resolutamente voltados para aplicações,
animados por uma espécie de paixão pelos grandes números e pelo cálculo numérico.
Testemunhos vindos de todas as fontes em favor dessa tese são apresentados
nem quadro, na ordem cronológica até nossa era no livro “Historia Universal dos
Algarismos, tomo 2” de Georges Ifrah, página 11. Neste mesmo livro, outros
testemunhos provam que durante mais de mil anos os autores árabes jamais deixaram
de decretar que a descoberta da numeração devia-se aos indianos.
Depois de pesquisados várias formas de algarismos como, tibetanos, nepâlî,
oriyâ, telugu mostrados em figuras no livro “História Universal dos Algarismos, Tomo 2”
de Georges Ifrah, a partir da página 24, e muitas outras formas de algarismos indianos,
o autor Georges Ifrah, encontra uma hipótese mais aceitável, embora também não se
baseie em nenhuma documentação.
Segundo (IFRAH, 1997): “Essa hipótese repousa, antes de tudo no fato de as
civilizações terem sido submetidas às mesmas necessidades, sob as mesmas
condições iniciais. Elas adotaram, com freqüência de maneira independente, os
mesmos expedientes para chegar a resultados se não idênticos, ao menos similares.
Isto explica a existência de alguns algarismos de mesma feição e muitas vezes de
mesmo valor numérico que os algarismos brâhmî, que se encontram atestados em
outras civilizações”.
O brâhmî é considerado “mãe” de todas as escritas indianas, a origem dessa
escrita ainda não foi elucidada. Sabe-se, contudo, que a brâhmî deriva das antigas
escritas alfabéticas do mundo semítico (judaico) ocidental, sem dúvida por intermédio
de outra variedade aramaica, cujos espécimes ainda não foram encontrados (cf. M
Cohen; J. G. Février).
4. Algarismos Indo-Arábicos
Os algarismos Indo-Arábicos formam um sistema de numeração criado pelos
Hindus, aperfeiçoado e difundido ao longo dos séculos principalmente pelos árabes.
Todos os sistemas de numeração criados anteriormente foram substituídos pelos IndoArábicos, sistema que utilizamos e que o mundo usa até hoje, pois facilita o cálculo de
situações cotidianas por conter o algarismo zero, ser decimal e posicional. (IMENES e
LELLIS, 2005)
Os hindus tinham valiosos métodos de cálculos que eram feitos por meio de
apenas nove algarismos. A referência nove e não a dez símbolos significa que o passo
mais importante dado pelos hindus para formar seu sistema de numeração (a invenção
do zero) ainda não tinha chegado ao ocidente.
A idéia dos hindus de introduzir uma notação para uma posição vazia (um ovo de
ganso, redondo) ocorreu na Índia no fim do século VI. Mas foram necessários muitos
séculos para esse símbolo chegasse a Europa.
Com a introdução do décimo sinal (o zero), o sistema de numeração tal qual o
conhecemos hoje estava completo. Mas até chegar aos algarismos que hoje
aprendemos a ler e escrever os símbolos criados pelos hindus mudou bastante como
mostra a figura 3. (GUELLI, 1992)
Brâmine
Indiano
Árabe do leste
Árabe do oeste
Sânscrito (indiano)
Século XI
Século XV
Século XVI
Figura 3: Evolução dos Algarismos. Figura adaptada de (GUELLI, 1992).
Estudando os livros de Matemática vindos da Índia e traduzidos para língua
árabe, al-Khowarizmi (o mais brilhante matemático árabe de todos os tempos)
surpreendeu-se a princípio com aqueles estranhos símbolos que incluíam até um ovo
de ganso! Conforme figura 4.
Figura 4: Algarismos Indo-Arábicos. Figura adaptada de (GUELLI, 1992).
Al-Khowarizmi decidiu contar ao mundo as boas novas. Escreveu um livro
chamado Sobre a arte hindu de calcular, explicando com detalhes como funcionava
os dez símbolos hindus. Com este livro matemáticos do mundo todo tomaram
conhecimento do sistema de numeração hindu.
Os símbolos utilizados hoje ficaram conhecidos como a notação de alKhowarizmi, de onde se originou o termo latino algorismus. Daí o nome algarismo.
5. Hipóteses Fantasiosas Egípcias
Como citado no livro do IFRAH, segundo G. Beaujouan, “a origem dos
algarismos ditos 'arábicos' já foi objeto de trabalhos tão numerosos que todos os
testamentos perecem já ter sido dados, sem que seja possível resolver o debate senão
por convicção íntima”. Assim, é necessário recolocar a questão no ponto zero, levandose em conta a história da civilização indiana, como também convém recordar algumas
das principais lendas e teorias totalmente infundadas que circulam ainda em nossos
dias a esse respeito da origem dos algarismos.
Segundo uma tradição popular, ainda aceita no Egito e na África do Norte, os
algarismos “arábicos” teriam sido inventados por um geômetra originário do Magreb,
que teria imaginado dar aos nove algarismos significativos uma forma evocadora, de
acordo com o número de ângulos contido no desenho de cada um deles: um ângulo
para o grafismo do algarismo 1, dois ângulos para o algarismo 2, três ângulos para o
algarismo 3, e assim por diante como na figura 5.
Figura 5: Hipótese fantasiosa. Figura adaptada de (IFRAH, 1997) página 2.
Outros autores também apontaram essa teoria, como: P. Voizot que dá como
hipótese da formação dos algarismos a reunião dos pontos; Mario Bettini que diz que o
número de pontos que teriam inicialmente servido de representação ideográfica para as
nove unidades da primeira ordem decimal, que teriam sido ligados por traços para
formar os nove primeiros sinais conhecidos; Weidler propôs que a invenção dos
algarismos teria sido o resultado de uma partição da figura formada por um círculo e
dois de seus diâmetros, ou seja, todos os grafismos em questão teriam sido concebidos
nessa figura geométrica “como se tivessem sido fechados numa concha”; Carlos Lê
Maur, segundo o qual as linhas em questão teriam tirado sua forma de uma disposição
particular das pedras para contar, ou ainda do numero de ângulos que podem ser
obtidos a partir de certas figuras formadas por um retângulo, suas diagonais,
mediatrizes etc; e ainda a teoria de Jacob Leupold, conhecida como “lenda do anel de
Salomão”, os algarismos teriam sido formados sucessivamente a partir de tal anel, onde
teriam sido inscritos um quadrado e suas diagonais.
Estas teorias nos levam a crer que as formas de nossos algarismos atuais
seriam originárias da imaginação de um único indivíduo, que os teria criado de modo
que a forma de cada um deles guardasse a idéia do número representado, recorrendo
ora a uma notação gráfica fundada no mesmo número de ângulos, traços ou pontos
expressos pelo número em questão, ora às representações geométricas como o
triangulo, o retângulo, o quadrado ou o círculo, segundo uma regra simples de ordem
geométrica.
Ao levar em conta apenas a forma última dos algarismos modernos empregados
atualmente nas obras impressas tais teorias desprezam uma história muito longa, e
todos os desvios e meandros de uma lenta evolução que atravessou vários milênios.
Sempre no domínio da idéia preconcebida, uma tradição ainda viva em nossos
dias atribui aos árabes à invenção de nosso sistema atual, porém, os algarismos ditos
“arábicos” não tiveram nos árabes seus inventores. Há muitos anos, através de estudos
e provas de apoio, historiadores adquiriram a certeza de que essa denominação admitia
um grave erro histórico afinal, nenhum traço dessa tradição foi descoberto nos escritos
dos próprios árabes. Quanto a própria causa do erro, ela é compreendida tanto melhor
porque sabemos hoje que os algarismos em questão chegaram ao Ocidente no final do
século X por intermédio dos árabes e, pelo fato dos árabes terem atingido, na época,
um nível cultural e cientifico superior ao dos povos ocidentais, tais algarismos acabaram
por receber o apelido de “arábicos”.
Outra explicação fornecida vem da imaginação dos autores europeus do
Renascimento que, através das mesmas idéias preconcebidas e com o apoio de
argumentações ligeiras, evocaram também como inventores ora os egípcios, ora os
fenícios, os caldeus e os hebreus (civilizações que comprovadamente nada tiveram a
ver com essa descoberta), estas idéias podem ser pesquisadas de maneira clara no
livro “História Universal dos Algarismos, Tomo 2” de Georges Ifrah, página 6.
6. Conclusões
Para saber a origem dos números é preciso conhecer um pouco da história das
civilizações. A história dos números faz parte da história da humanidade afinal, as
coisas que deram origem a civilização levaram também a criação dos números. Para
estudar os símbolos dos algarismos que hoje usamos, muitas lendas e teorias foram
criadas porém estas não são válidas pelo fato do seu estudo basear-se nos símbolos já
existente hoje. Como no decorrer do tempo, as quantidades eram representadas por
expressões, gestos, palavras e símbolos, com cada povo tendo a sua maneira de
representação, desde o início do século XX, a partir de uma rica e sólida
documentação, obtiveram-se provas completas de que nossa numeração atual é de
origem indiana. Mesmo os árabes tendo “levado a fama”, estes estudos comprovaram
que de fato os árabes simplesmente divulgaram esta invenção e nos mostraram uma
lenta evolução dos números que atravessou vários milênios.
Referências Bibliográficas
-
IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo. Os números na história da civilização. Ano
2005. Editora scipione. São Paulo.
-
IFRAH, Georges. História Universal dos Algarismos, tomo 1. Ano 1997. Editora
Nova Fronteira. Rio de Janeiro.
-
IFRAH, Georges. História Universal dos Algarismos, tomo 2. Ano 1997. Editora
Nova Fronteira. Rio de Janeiro.
-
DICIONÁRIO Enciclopédico Conhecer - Abril Cultural. Disponível
http://www.somatematica.com.br/numeros.php pesquisado no dia 05/06/2008.
em:
-
GONGORRA,
Miriam;
SODRÉ,
Ulysses.
Disponível
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm
pesquisado no dia 05/06/2008.
em:
-
GUELLI, Oscar. Contando a História da Matemática – (1) A Invenção dos Números.
Ano 1992. Editora Ática. São Paulo.
-
LOPES, Alice Kazue Takahashi; RODRIGUES, Daisy Maria; CRUZ, Donizete
Gonçalves da; BALDINI, Loreni Aparecida Ferreira; MANOSSO, Márcia Viviane
Barbetta; LONGARETTI, Mirian; SCHERPINSKI, Neusa Idick; JUNIOR, Roberto
José Medeiros. Matemática Ensino Médio – Secretaria de Estado da Educação.
Ano 2006. Editora Eletrônica. Curitiba - Paraná.