LEILA MARIA LIMA BOTELHO
AS FUNÇÕES POLINOMIAIS NA EDUCAÇÃO BÁSICA
Uma proposta
Monografia apresentada ao Curso de
Especialização em Matemática para
Professores de Ensino Fundamental e
Médio, como requisito parcial para a
obtenção do Grau de Especialista.
Orientador: Prof. Dr. WANDERLEY MOURA REZENDE
Niterói
2005
LEILA MARIA LIMA BOTELHO
AS FUNÇÕES POLINOMIAIS NA EDUCAÇÃO BÁSICA:
Uma proposta
Monografia apresentada ao Curso de
Especialização em Matemática para
Professores de Ensino Fundamental e
Médio, como requisito parcial para a
obtenção do Grau de Especialista
Aprovada em julho de 2005
BANCA EXAMINADORA
Profª Dra. Elizabeth Belfort da Silva Moren – Universidade Federal do Rio de Janeiro
Profª Dra. Ana Isabel de Azevedo Spinola Dias – Universidade Federal Fluminense
Prof. Dr. Wanderley Moura Rezende – Universidade Federal Fluminense
Niterói
2005
BOTELHO, Leila Maria
512.942
B748
BOTELHO, Leila Maria
As funções polinomiais na educação básica: uma proposta. Por
Leila Maria Botelho. Niterói, RJ : [s.n.], 2005.
58p. : il.
Monografia de especialização - Universidade Federal
Fluminense. Orientador: Prof. Dr. Wanderley Moura Rezende.
1- Função polinomial. 2- Variabilidade. Mapa conceitual. 3Educação básica. 4- Produção intelectual. I- REZENDE, Wanderley
Moura, orientador. II- Universidade Federal Fluminense. Instituto
de Matemática. Pós-graduação em Matemática, instituição
responsável.
A André, Lucas, e Julia, com amor.
AGRADECIMENTOS
Ao Prof. Wanderley Rezende, pela dedicação com que conduziu a orientação
desta monografia.
À Profª Vera Lucia Hiratsuka, pela leitura do trabalho.
À Profª Tania Duarte, pelo auxílio com a língua inglesa.
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 7
CAPÍTULO 1 – BREVE HISTÓRICO DO CONCEITO DE FUNÇÃO..................... 9
CAPÍTULO 2 – OS MAPAS ................................................................................. 20
2.1 – O MAPA COMO INSTRUMENTO METODOLÓGICO................................. 20
2.2 – O MAPEAMENTO DOS LIVROS DIDÁTICOS........................................... 22
CAPÍTULO 3 – PROPOSTA DE ATIVIDADES ................................................... 43
3.1 – FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU ........................................................ 43
3.2 – FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2° GRAU ........................................................ 46
CONCLUSÃO ...................................................................................................... 52
OBRAS CITADAS ............................................................................................... 56
OBRAS CONSULTADAS .................................................................................... 58
RESUMO
Esta monografia trata do estudo da variabilidade das funções polinomiais do 1° e
2° graus, na educação básica. Historicamente, o conceito de função nasceu da
necessidade de cientistas em compreender uma realidade onde tudo varia.
Estudar a maneira com que as funções variam, além de conectar o ensino de
funções com a realidade e com a origem histórica do conceito, permitiria a
preparação do terreno para futuros estudantes de Cálculo. Inicialmente,
buscamos nesta pesquisa identificar no ensino das funções afim e quadrática a
presença do estudo da variabilidade destas funções. Para isto, foram usados
como fonte de observação livros didáticos da 8ª série do ensino fundamental e da
1ª série do ensino médio. Utilizamos o mapa como instrumento metodológico, que
em comparação ao seu sentido cartográfico, nos possibilitou seguir os caminhos
percorridos pelos livros para o ensino destas funções polinomiais. Numa etapa
posterior, foram propostas atividades sobre as funções afim e quadrática, que
incluem um estudo elementar sobre taxa de variação e a relação entre a
variabilidade destas funções e as progressões aritméticas.
Palavras-chave: variabilidade, função polinomial, mapa, educação básica.
8
ABSTRACT
This paper addresses the variability of first and second degree polynomial
functions in basic education. From a historical point of view, the concept of
function derived from scientists’ need to understand reality where everything is
variable. An analysis of the manner in which the functions vary lays the
groundwork for future calculus students aside from linking the function studies to
reality and to the historical origin of the concept. At first, this paper seeks to
identify in the teaching of linear and quadratic functions the existence of a study on
variability of these functions. For such purpose, 8th grade and 9th grade school
books were used as an observation source. The map used as a methodological
tool allowed us to apply its cartographic features to analyze the routes taken by
these text books for teaching the polynomial functions. At a subsequent stage, this
article proposes activities involving linear and quadratic functions, including a brief
analysis of the rate of change and the relationship between the variability of these
functions and arithmetic sequences.
Key-words: variability, polynomial functions, map, basic education.
9
INTRODUÇÃO
Esta monografia teve origem no Projeto de Pesquisa intitulado Proposta de
emersão das idéias básicas do Cálculo no Ensino Básico de Matemática, de
autoria do prof. Wanderley Moura Rezende. Serão abordados neste trabalho
aspectos relacionados ao ensino das Funções Polinomiais de 1° e 2° graus.
Grande parte das dificuldades encontradas pelos estudantes do ensino
superior na disciplina Cálculo é conseqüência da falta de preparação, na
educação básica, para o estudo desta matéria (Rezende, 2003). Ao contrário da
álgebra, da aritmética e da geometria, presentes no percurso escolar dos alunos
desde as séries iniciais até o ensino médio, as idéias do Cálculo são omitidas,
abordadas de forma superficial, ou evitadas na educação básica. Segundo o autor
acima, o monopólio da representação algébrica do conceito de função é um sinal
evidente desta omissão.
O conceito de função teve sua origem na tentativa de filósofos e cientistas
em explicar, descrever e prever os fenômenos naturais. A realidade que aqueles
cientistas buscaram compreender apresenta, de acordo com Caraça (1989), duas
características essenciais: fluência e interdependência. Temos então um
instrumento matemático (funções) inventado para uma melhor compreensão do
real - que tem na fluência/variabilidade uma de suas características principais.
Assim, um caminho natural para o estudo das funções seria caracterizá-las
conforme a maneira com que variam, estabelecendo-se, desta maneira, uma
verdadeira conexão com a realidade e sua origem histórica. Este caminho é
seguido no estudo de funções? Ou melhor, na educação básica, é estudado o
modo com que as funções variam?
10
Procuraremos nesta monografia responder a estas perguntas para as
funções polinomiais do 1º e 2º graus. Deste modo, o objetivo deste trabalho é
identificar, no ensino das funções afim e quadrática, a presença de idéias básicas
do cálculo, neste caso, o estudo da variabilidade destas funções.
Para alcançar tal objetivo, e tendo em vista as perguntas formuladas,
buscaremos observar o caminho percorrido por diversos textos didáticos para o
ensino das funções polinomiais do 1º e 2º graus. A metodologia utilizada para
esta observação será a mesma que, freqüentemente, nos auxilia a percorrer
qualquer caminho: a confecção de mapas.
Em termos cartográficos, mapa é um instrumento que serve para
orientação que mostra apenas o que é relevante para o reconhecimento de um
terreno ou para o percurso de um trajeto. O Capítulo 2 será dedicado à
construção dos mapas, sendo usados para isto livros didáticos da 8º série do
ensino fundamental e da 1ª série do ensino médio. Nosso mapeamento será
precedido de uma breve revisão teórica sobre o uso do mapa como instrumento
metodológico, tomando-se como referência principal a cartografia simbólica
delineada em Santos (2000).
No Capítulo 1 faremos um breve histórico do conceito de função,
procurando identificar as diversas interpretações/representações que estiveram
presentes na criação e no desenvolvimento do conceito. Esta revisão servirá
como base para as nossas reflexões sobre o modo como estas interpretações
históricas têm participado do ensino das funções afim e quadrática.
No Capítulo 3 serão propostas algumas atividades envolvendo a
variabilidade das funções afim e quadrática. Em algumas destas atividades, será
incluído um estudo elementar da taxa de variação. Em outras, buscaremos
explorar a conexão existente entre aquelas funções polinomiais e as progressões
aritméticas, baseado em teoremas de caracterização apresentados em Lima
(2001).
CAPÍTULO 1 - BREVE HISTÓRICO DO CONCEITO DE FUNÇÃO
O conceito de função, presente nos mais diversos ramos da ciência, teve
sua origem na busca de filósofos e cientistas em explicar a realidade e encontrar
métodos de investigação que permitissem estudar e prever os fenômenos
naturais. Segundo Caraça (1989), esta realidade apresenta duas características
fundamentais: a interdependência, que faz com que todas as coisas estejam
relacionadas umas com as outras e a fluência, que faz com que tudo no mundo
esteja em permanente mudança. Este mundo fluente já havia sido percebido pelo
filósofo pré-socrático Heráclito de Éfeso, que viveu na Grécia por volta do século
V a.C.. Na filosofia de Heráclito, a realidade era fundamentada no devir, que faz
com que todas as coisas mudem constantemente.
Caraça definiu ainda dois tipos de Leis Naturais: as leis qualitativas, que
dizem respeito à variação de qualidade de um objeto e as leis quantitativas, que
se referem às variações de quantidade. De acordo com o autor acima, o conceito
de função surgiu como instrumento adequado para estudar as variações
quantitativas presentes nos fenômenos naturais, tendo sido construído com duas
ferramentas principais: interdependência e variabilidade. Como estudar variações
de quantidade num mundo constituído de partes que dependem umas das outras
e que mudam a cada instante? Veremos a seguir que este conceito levou muito
tempo para ser aperfeiçoado e que, apesar de ter sido explicitado apenas a partir
do século XVIII, em algumas idéias anteriores já aparece de forma implícita.
Na Grécia Clássica, durante o período que antecede o surgimento da
filosofia, as explicações para os fenômenos naturais eram baseadas sobretudo
em mitos. Esta maneira de ver a natureza começou a mudar a partir da fundação
da primeira escola filosófica grega por Tales de Mileto, por volta de 600 a.C.,
12
escola a que Heráclito pertencia. A partir daí, os filósofos procuraram dar
explicações mais racionais para os eventos que ocorriam no mundo que os
cercava. Desse modo, uma pedra ao ser largada cai, não por ser esta a vontade
dos deuses, mas porque possuem uma qualidade chamada peso, que atrai os
corpos para o centro da terra. Fenômenos como este, segundo Platão (427-347
a.C.), deveriam ser estudados pela matemática. Tendo incorporado as idéias de
Heráclito sobre o devir, Platão acreditava que conhecimento obtido apenas
através da física não era muito útil, pois as coisas materiais mudam com o tempo;
as leis matemáticas, estas imutáveis, são a essência da realidade (Kline, 1990).
O estudo das mudanças físicas, principalmente do movimento, foi iniciado
na Grécia por Aristóteles (384-322 a.C.), discípulo de Platão. A física de
Aristóteles era qualitativa e este tipo de abordagem influenciaria a evolução da
ciência ainda por muito tempo. Veremos adiante que o conceito de função nasceu
a partir do momento em que os cientistas passaram a descrever o movimento de
forma quantitativa.
Para estabelecer o conceito de função - como relação entre grandezas que
variam - foi necessária a definição do conceito de variável, o que se deu,
inicialmente, a partir da simbolização da álgebra. O uso de símbolos ingressou na
matemática através de duas vias principais: pela álgebra desenvolvida na Grécia
por Diofanto e pela álgebra hindu. Além de introduzir a utilização de símbolos
para representar incógnitas, potências e operações, Diofanto, considerado o
criador da álgebra, foi pioneiro na resolução de equações indeterminadas. Os
matemáticos hindus, sobretudo a partir do século 2 d.C., desenvolveram uma
álgebra mais simbólica do que a de Diofanto, avançando também na resolução de
equações indeterminadas.
A partir da Idade Média, período iniciado pela queda do Império Romano
no ocidente em 476, a Igreja Católica expandiu aos poucos o seu domínio. Neste
tempo e durante os cinco séculos seguintes, praticamente nenhuma atividade
científica teve lugar na Europa. A busca pelo conhecimento obedecia aos limites
impostos pela doutrina cristã, o que impossibilitou qualquer avanço da ciência.
Esta situação começou a mudar por volta de 1100, quando os europeus
entraram em contato com os povos do oriente, através de viagens comerciais e
das Cruzadas. Os principais pensadores da Grécia foram traduzidos nesta época,
13
principalmente do árabe para o latim, e suas idéias foram disseminadas. Várias
Universidades foram criadas, como a de Bolonha, em 1088, e as de Paris, Oxford,
Cambridge, Salermo, por volta de 1200. O pensamento aristotélico foi adotado
como modelo para a filosofia/ciência na Idade Média, também conhecida como
filosofia escolástica.
Este modelo foi questionado por padres como Roger Bacon (1214-1294) e
Guilherme de Ockham (1300-1349), que criticaram fortemente as idéias de
Aristóteles e defenderam que as verdades científicas deveriam necessariamente
ser obtidas através da experiência. Na Universidade de Paris, o Bispo Nicolau de
Oresme
(1323–1382),
ao
estudar
o
movimento
uniformemente
diforme
(movimento com aceleração constante), representou num gráfico a velocidade
variando com o tempo da seguinte maneira: marcou instantes de tempo ao longo
de uma linha horizontal que ele chamou de longitudes e representou as
velocidades em cada tempo por linhas verticais, perpendiculares às longitudes,
que ele denominou latitudes:
Esta representação é duplamente significativa: por um lado mostra duas
grandezas relacionadas entre si, variando ao mesmo tempo, e por outro lado
ilustra esta variação através de um gráfico. O conceito de função se apresenta
implicitamente através da variabilidade e da interdependência entre as grandezas.
Faltavam algumas ferramentas que seriam fornecidas por matemáticos dos quatro
séculos seguintes.
Os escolásticos deixaram para o século XV explicações acerca dos
fenômenos naturais baseadas na doutrina cristã e na física qualitativa de
Aristóteles. Neste início do período Renascentista, surgiram na Europa novas
traduções em latim das obras gregas, e foi nesta época que os europeus
14
entraram em contato com o pensamento de Platão. Segundo Kline (1990), os
cientistas da época absorveram a filosofia platônica e combinaram estes
pensamentos com os da Igreja: Deus criou e governa todas as coisas através da
matemática.
Esta nova filosofia influenciou grandes cientistas, como o astrônomo
alemão Johannes Kepler (1571-1630), que adotou a teoria heliocêntrica de
Nicolau Copérnico (1473-1543) e enunciou leis matemáticas que descreviam o
movimento dos planetas. A terceira Lei de Kepler afirma que os quadrados dos
períodos orbitais dos planetas são proporcionais aos cubos dos semi-eixos
maiores das órbitas. Esta lei descreve de forma quantitativa um fenômeno físico e
expressa matematicamente a relação entre as duas grandezas envolvidas.
Podemos observar também a diferença entre esta e a 1ª Lei de Kepler, esta
qualitativa: os planetas descrevem em torno do sol uma elipse da qual o sol ocupa
um dos focos. Apesar de Kepler ter dado os primeiros passos na direção de uma
física quantitativa, o rompimento definitivo com a maneira aristotélica de explicar
os fenômenos naturais veio através de Galileu Galilei (1564-1642), considerado o
fundador da ciência moderna.
Galileu, italiano nascido em Pisa, apesar de ser um homem religioso,
chamou a atenção das autoridades da Igreja ao questionar publicamente dois
grandes pilares da filosofia cristã: o homem como centro do universo e a física de
Aristóteles como modelo para a ciência. Galileu adotou e ensinou a teoria
heliocêntrica nas Universidades de Pisa e de Pádua e, nesta época, seus
experimentos mostraram que o peso de um corpo não exerce influência na
velocidade da queda livre, contrariando Aristóteles, que dizia que corpos mais
pesados caem com velocidade maior. Estas novidades, que não eram bem vindas, levaram Galileu à prisão, período em que escreveu As duas novas
ciências. Nesta obra sobre dinâmica e resistência dos materiais, entre outros
resultados, enunciou a lei da queda dos corpos no vácuo: o espaço percorrido por
um corpo em queda livre é diretamente proporcional ao quadrado do tempo
levado para percorrer este espaço. Esta lei, assim como a 3ª Lei de Kepler, traz
em seu enunciado claramente o conceito de função. Ambos os cientistas
iniciaram uma nova era para a ciência, que, a partir deles, passou a ser
fundamentada na experimentação e no uso da matemática.
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A álgebra, que desde Diofanto e dos árabes não tinha feito quase nenhum
progresso, avançou no século XVI principalmente através da obra do matemático
francês François Viète (1540-1603). Na obra In Artem Analyticam Isagoge, Viète
chamou sua álgebra simbólica de logistica speciosa em oposição à logistica
numerosa, e esta distinção, segundo Kline (1990), traçou uma linha divisória entre
a álgebra e a aritmética. Nesta obra, além de utilizar a álgebra na solução de
problemas de construções geométricas, Viète introduziu uma convenção: “usou
uma vogal, para representar uma quantidade suposta desconhecida ou
indeterminada e uma consoante para representar uma grandeza ou números
supostos conhecidos ou dados” (Boyer, 1991). René Descartes (1596-1650), mais
tarde, usou as primeiras letras do alfabeto para quantidades conhecidas e as
últimas letras para as desconhecidas, como fazemos até hoje (Kline, 1990).
Descartes escreveu sua única obra matemática, La Géométrie, como um
apêndice do
Discours de la méthode, publicado em 1637, onde expõe suas
idéias científicas e filosóficas. Em La Géometrie, Descartes, assim como Viète,
utilizou a álgebra como ferramenta para a resolução de problemas geométricos.
As grandes inovações foram a associação de curvas a equações algébricas e o
uso de um sistema de coordenadas para relacionar as variáveis envolvidas
naquelas equações, procedimentos que deram origem ao que chamamos hoje de
geometria analítica.
Pierre de Fermat (1601-1665), que contribuiu para o desenvolvimento da
teoria dos números, da teoria das equações, da geometria analítica e do cálculo,
segundo Kline (1990), estava familiarizado com o trabalho de Viète com relação
ao uso da álgebra para resolver problemas geométricos. No seu estudo de
curvas, Fermat utilizou um sistema de coordenadas e relacionou as duas
variáveis que apareciam no final de uma equação a partir do seguinte princípio:
“Sempre que numa equação final encontram-se duas quantidades incógnitas,
temos um lugar, a extremidade de uma delas descrevendo uma linha reta ou
curva” (Boyer, 1991). A relação entre as incógnitas é estabelecida através de um
lugar geométrico, isto é, o que conhecemos hoje como expressão algébrica de
uma função, tanto para Fermat como para Descartes, era uma curva.
Segundo Kline (1990), a definição mais explícita de função do século XVII
foi dada por James Gregory em 1667, que definiu função como “uma quantidade
16
obtida de outras quantidades pela sucessão de operações algébricas ou por
qualquer outra operação imaginável”. Para Gregory, esta outra operação
imaginável era a passagem ao limite, que só seria completamente esclarecida
posteriormente.
O estudo de curvas, devido à sua aplicabilidade à ciência, era fundamental
para os matemáticos do século XVII. O estudo das diversas variáveis associadas
a uma curva (por exemplo, a tangente num ponto, a área sob a curva, o
comprimento e a velocidade de um ponto ao longo de uma curva) os levou a
estabelecer relações entre estas variáveis. Grandes matemáticos deste tempo
como Boaventura Cavalieri, Gilles Roberval, John Wallis e Isaac Barrow
estudaram a variação destas grandezas associadas a curvas. Em particular,
Fermat, Barrow, James Gregory, Evangelista Torricelli chegaram a perceber que
o problema da determinação da tangente era inverso ao do cálculo da área sob a
curva, mas não viram a generalidade ou a importância deste resultado. De
qualquer modo, estes matemáticos prepararam o terreno para que Newton e
Leibniz estabelecessem os fundamentos do Cálculo.
A
primeira
contribuição
de
Isaac
Newton
(1642-1727)
para
o
desenvolvimento do conceito de função, e que esteve presente na sua construção
do Cálculo, foi seu trabalho com séries infinitas. Segundo Boyer (1991), Newton
descobriu algo muito mais importante do que o Teorema Binomial, ao verificar que
a análise através de séries infinitas possuía tanta consistência quanto a álgebra
aplicada a quantidades finitas. As séries infinitas não seriam mais consideradas
instrumentos de aproximação, mas uma outra maneira de escrever as funções
que representavam.
A primeira publicação, em 1687, envolvendo suas idéias sobre o Cálculo foi
Princípios Matemáticos da Filosofia Natural. Apesar de não ser uma obra
estritamente matemática, segundo Kline (1990), o que Newton desenvolveu no
Cálculo foi em grade parte motivado pelo seu interesse nos problemas de física
tratados neste livro. Em três obras escritas anteriormente e que seriam publicadas
apenas no século XVIII, Newton já havia iniciado o desenvolvimento do cálculo:
Análise através de Equações com um Número Infinito de Termos, escrita em
1669, O Método de Fluxões e Séries Infinitas, escrita em 1671, e Quadratura de
Curvas, em 1676. Na primeira obra, Newton mostrou que a área sob uma curva
17
poderia ser determinada pelo processo inverso do cálculo da taxa de variação.
Apesar de a validade deste resultado ter sido observada anteriormente, Newton
foi o primeiro que percebeu sua generalidade. O Método dos Fluxões foi aplicado
a variáveis (fluentes) para o cálculo da taxa de variação (fluxos). O que
chamamos hoje de expressão algébrica de uma função era para Newton a
relação entre os fluentes.
Apesar de a primeira publicação do Cálculo de G. H. Leibniz (1646-1716)
ter sido feita em 1684, ele vinha redigindo informalmente, desde 1673, notas que
continham suas idéias. Uma de suas primeiras notas mostravam uma forma de
relacionar somas e diferenças entre termos de uma seqüência, que foram a base
para o estabelecimento de seu Calculus Summatorius ou Calculus Integralis e o
Calculus Differentiallis, expressões criadas por Leibniz. Ao longo de suas obras,
criou notações, como um S longo ∫ para integral, e estabeleceu fórmulas para
derivadas e integrais de diversas funções. Leibniz introduziu o uso das palavras
“constante”, “variável” e “parâmetro”.
Conforme já observamos, os principais objetos de estudo no século XVII
eram as curvas e seus conceitos associados. As variáveis associadas a uma
curva eram geométricas, e, em 1673, Leibniz utilizou pela primeira vez a palavra
“função” para indicar quantidades que variavam ao longo de uma curva, por
exemplo, a tangente. Segundo Kliner (1989), este interesse em curvas fez
também com que os matemáticos voltassem sua atenção para os símbolos que
apareciam nas fórmulas e equações, independente das curvas originais que estas
equações representavam.
Johann Bernoulli (1667-1748) experimentou várias notações como X , ξ e
finalmente
φx para uma função de x. Em 1718, Bernoulli definiu função da
seguinte maneira: “Chamamos aqui Função de uma grandeza variável, uma
quantidade composta de qualquer maneira desta grandeza variável e de
constantes” (Rüthing, 1984).
Para Bernoulli, cada função poderia ser representada por uma única
expressão analítica, podendo-se observar na definição acima o conceito de
função como combinação de símbolos algébricos. Esta “expressão analítica”
aparece na definição de função dada por Leonhard Euler (1707-1783) em seu
clássico Introductio in Analysin Infinitorum, de 1748, primeira obra em que o
18
conceito de função desempenha um papel central. Após definir o significado de
quantidade constante e quantidade variável, Euler enunciou, em 1748: “uma
função de uma quantidade variável é uma expressão analítica composta de
alguma maneira desta quantidade variável e números ou quantidades constantes”
(ibid.).
Euler não definiu “expressão analítica”, mas, segundo Boyer (1991), tinha
em mente funções algébricas e as funções transcendentes elementares
(exponenciais, logarítmicas e trigonométricas). Este termo não aparece na
definição de função que Euler deu em 1755: “se x denota uma quantidade
variável, então todas as quantidades que dependem de x ou são determinadas
por ele são chamadas suas funções” (Rüthing, 1984).
Euler é responsável pela introdução, em 1734, da notação f(x) para
designar uma função que depende da variável x. Em 1797, Joseph-Louis
Lagrange (1736-1813) definiu função:
Chamamos função de uma ou várias quantidades toda expressão para
cálculo na qual estas quantidades entram de uma maneira qualquer,
envolvidas ou não com outras quantidades que consideramos como
sendo dadas e valores invariáveis, enquanto as quantidades da função
podem assumir todos os valores possíveis. ... Designaremos em geral
pela letra f ou F, colocada antes da variável, toda função desta variável,
isto é, toda quantidade que depende desta variável e que varia com ela
segundo uma lei dada (ibid.).
Podemos observar tanto na definição de Lagrange como na de Euler (1755)
a presença da idéia de função como relação entre quantidades variáveis.
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) em seu Cours D’Analyse, obra
publicada em 1821, definiu os conceitos de função contínua, diferenciável e
integrável a partir da noção de limite. Segundo Silva (1999), Cauchy foi o principal
responsável pela transformação do cálculo diferencial e integral de variáveis (de
Newton e Leibniz) no cálculo diferencial e integral de funções, como temos hoje.
Sua definição de função não é muito diferente das enunciadas anteriormente.
Os matemáticos do século XVIII exploraram o uso de séries trigonométricas
relacionadas aos fenômenos astronômicos devido à sua periodicidade. Estas
séries foram estudadas por Joseph Fourier (1768-1830) em sua Teoria Analítica do
Calor, publicada pela primeira vez em 1822, o que provocou uma revisão no
19
conceito de função. O principal resultado matemático de Fourier nesta obra, de
acordo com Kliner (1989), é o seguinte:
Toda função f(x) definida no intervalo (- l , l ), pode ser representada neste intervalo por uma série
de senos e cosenos :
f ( x) =
∞
a0
nπ x
nπ x 

+ ∑  an cos
+ bn sen
, onde an e bn são dados por
2 n =1 
l
l 
an =
1
l
∫
l
−l
f (t )cos
nπ t
dt
l
e
bn =
1
l
∫
l
−l
f (t ) sen
nπ t
dt
l
Este resultado não era totalmente correto, e matemáticos como Gustav
Lejeune Dirichlet (1804-1859), nos anos seguintes, iriam fornecer condições para
que uma função pudesse ser representada como uma série de Fourier num dado
intervalo. Na fórmula acima, Fourier representou uma função com outra fórmula
algébrica, contrariando o pensamento vigente até então de que as funções
possuíam uma única expressão analítica.
A definição de função dada por Dirichlet é a seguinte:
Suponhamos que a e b são dois valores dados e x é a quantidade
variável que assume, gradualmente, todos os valores localizados entre a
e b. Se para cada x corresponde um único y, de modo que, enquanto x
percorre o intervalo de a até b, y = f(x) varia gradualmente da mesma
forma, então y é chamada função contínua de x para este intervalo. Além
disso, não é absolutamente necessário que y dependa de x no intervalo
inteiro de acordo com a mesma lei; sem dúvida, não é necessário pensar
somente em relações que possam ser expressas através de operações
matemáticas (Rüthing, 1984).
Dirichlet foi o primeiro a estabelecer o conceito de função como uma relação
arbitrária entre as variáveis, independente de fórmulas algébricas. Para mostrar a
natureza arbitrária desta relação, definiu a função:
c, se x é racional
f(x) = 
d, se x é irracional
Foi o primeiro exemplo de uma função que não era representada por uma
fórmula – combinação de símbolos matemáticos. O matemático inglês George
Stokes (1819-1903), acompanhando o entendimento de Dirichlet, percebeu a
20
importância de “pensar em funções independentes de todas as idéias de
expressão algébrica” (Silva, 1999).
A interpretação do conceito de função como transformação, onde cada
elemento x é transformado no elemento f(x), foi dada por George Boole (18151864):
Qualquer expressão algébrica envolvendo o símbolo x é chamada uma
função de x e pode ser representada sob a forma geral abreviada f(x). ...
Nestes mesmos princípios de notação, se em alguma função
transformarmos x em 1, o resultado será expresso pela forma f(1); se na
mesma função transformarmos x em 0, o resultado será expresso pela
forma f(0) (Rüthing, 1984).
Richard Dedekind (1831-1916) utilizou a idéia de aplicação para definir o
conceito de função:
Em uma aplicação de um sistema S uma lei é entendida, de acordo com a
qual cada elemento s de S está associado a um determinado objeto que é
chamado a imagem de s e denotada por φ(s); dizemos também que φ(s)
corresponde ao elemento s, que φ(s) é originada ou gerada pela aplicação
φ, que s é transformado em φ(s) pela aplicação φ (ibid.).
Na definição de função dada por G.H. Hardy (1877-1947) foram
enumeradas três características que devem ser satisfeitas por uma função
determinada pela relação entre duas quantidades variáveis x e y:
(1)
y é sempre determinado por um valor de x;
(2)
para cada valor de x para o qual y é dado, corresponde um e
somente um valor de y;
(3)
a relação entre x e y expressa através de uma fórmula analítica,
na qual o valor de y que corresponde a um dado valor de x pode ser
calculado por substituição direta de x. (Silva, 1999)
Uma tradução da definição de Hardy para a linguagem da teoria dos
conjuntos foi dada por Bourbaki em 1939:
Sejam E e F dois conjuntos distintos ou não. Uma relação entre uma
variável x de E e uma variável y de F é dita uma relação funcional em y,
ou relação funcional de E em F, se, para qualquer x∈E existe um único
y∈F, e apenas um, que está na relação dada com x. Damos o nome de
função à operação que associa a todo elemento x∈E o elemento y∈F que
se encontra na relação dada com x; dizemos que y é o valor da função
para o elemento x, e que a função é determinada pela relação funcional
considerada. Duas relações funcionais equivalentes determinam a mesma
função (Rüthing, 1984).
21
Podemos verificar através deste breve histórico que o conceito de função
passou por diversas mudanças e que sua construção foi bastante lenta.
Identificamos também algumas representações na evolução do conceito de
função através de sua história: função como relação entre quantidades variáveis,
como expressão analítica, como relação entre conjuntos e como transformação.
A idéia central do conceito de função, presente tanto no nascimento da
física quantitativa quanto em nosso cotidiano, é a de relação entre quantidades
variáveis. Não pensamos em fórmulas matemáticas ou em subconjuntos de um
produto cartesiano quando compramos um produto. O que fazemos é relacionar a
quantidade comprada com o preço a ser pago através do conhecimento que
temos sobre a maneira com que estas grandezas, quantidade e preço, variam.
O estudo da maneira como ocorre a variação das grandezas, por ter
participado de forma decisiva na construção de um método para a ciência e na
própria evolução da matemática devem estar presentes de alguma maneira no
ensino de funções. Procuraremos identificar esta presença no próximo capítulo,
paras as funções polinomiais do 1° e 2° graus.
CAPÍTULO 2 – OS MAPAS
Neste capítulo, construiremos mapas para que possamos observar como
ocorre o ensino das funções polinomiais do 1° e 2° graus na educação básica.
Segundo Lévy (1993), construir esquemas que abstraiam e integrem o sentido de
um texto ou, de forma mais geral, de uma configuração informacional complexa é
tarefa difícil. Afirma ainda o autor que as representações do tipo cartográfico
ganham cada vez mais importância, justamente para resolver este problema de
construção de esquemas.
A utilização do mapa como instrumento metodológico, em comparação ao
seu sentido cartográfico, foi feita originalmente pelo sociólogo Boaventura Santos,
que desenvolveu uma “concepção do direito enquanto mapa cognitivo dos
espaços de ordem e desordem em que nos movemos quotidianamente” (Santos,
2000). Ao comparar a realidade jurídica com mapas, criou uma metodologia de
análise que chamou de cartografia simbólica ou sociologia cartográfica.
Esta abordagem foi utilizada por Rezende (2003a), onde o autor construiu
mapas históricos e conceituais do Cálculo e mapas das dificuldades de
aprendizagem de natureza epistemológica do ensino de Cálculo. Usaremos
também neste trabalho esta idéia de mapa para observar como o tema “Funções
Polinomiais” é ensinado na educação básica. Antes, porém, faremos uma breve
revisão teórica sobre tema.
2.1 - O MAPA COMO INSTRUMENTO METODOLÓGICO
Em cartografia, mapa é a representação de algum espaço geográfico numa superfície plana.
Embora a palavra mapeamento signifique ato ou efeito de delinear espaço geográfico, de forma
estática, como princípio metodológico de pesquisa significa a compreensão da estrutura e dos
23
entes nela inseridos, a organização e a representação ou mapa dos dados em um contexto, de
forma dinâmica (Biembengut, 2003).
Comparando os mapas e o direito (conjunto de leis, normas, costumes e
instituições jurídicas), Santos (2000) afirma que “as relações existentes entre as
diferentes juridicidades e a realidade social são muito semelhantes às que
existem entre os mapas e a realidade espacial”. Segundo o sociólogo, para
desempenhar adequadamente suas funções, um mapa não pode coincidir
exatamente com a realidade. Jorge Luís Borges (apud Santos, 2000) conta a
história de um imperador que encomendou uma mapa exato do seu império, fiel
até o mínimo detalhe. Os melhores cartógrafos da época produziram então um
mapa de exatidão insuperável, pois coincidia ponto a ponto com o império.
Contudo, verificaram que o mapa não era muito prático, pois era do tamanho do
império.
Um mapa para ser útil tem que, inevitavelmente, distorcer a realidade. Segundo Santos (2000),
esta distorção da realidade se faz segundo três mecanismos principais: a escala, a projeção e
a simbolização.
A escala, primeiro mecanismo de representação/distorção da realidade, é a relação entre a
distância no mapa e a correspondente distância no terreno. O mapa de Borges, cópia exata e
fiel da realidade na escala de 1 para 1, onde nenhum detalhe foi esquecido, mostrou-se inútil.
A escala é um “esquecimento coerente” (Racine et al., 1983), e, na confecção de um mapa, a
decisão sobre quais aspectos serão omitidos e quais serão destacados é um fator essencial
para orientação através da realidade representada e sua compreensão. A escolha da escala
depende do uso que terá o mapa, do nível de detalhamento desejado e dos objetivos de quem
o elabora.
O segundo mecanismo de distorção da realidade utilizado na confecção de um mapa é a projeção, que, no
contexto geográfico, transforma as superfícies curvas da terra na superfície plana de um mapa. Esta
transformação não pode ocorrer sem que as formas, distâncias e outros atributos da realidade geográfica
sejam deformados. Os vários tipos de projeção não distorcem a realidade aleatoriamente; cada tipo de
projeção cria um campo de representação no qual os graus e as formas de distorção têm lugar segundo
regras conhecidas e precisas (Santos, 2000). A construção de um mapa pressupõe a existência de um
projeto em curso; “tudo é relevante ou deixa de sê-lo tendo em vista o projeto que se persegue”
(Machado, 2004). Assim, podemos assegurar que não existe neutralidade e ingenuidade na atitude de
24
mapear (Rezende, 2003a). Como na escala, a decisão sobre o tipo e o grau de deformação é baseada no
uso a que o mapa se destina e na intenção do cartógrafo.
A simbolização é o terceiro mecanismo da representação cartográfica utilizado na produção de mapas e se
refere aos símbolos gráficos usados para assinalar no mapa os elementos e as características do espaço
representado. É comum encontrarmos num mapa geográfico as regiões polares na cor branca; as cidades
representadas por círculos grandes ou pequenos, de acordo com a sua população, as fronteiras demarcadas
por linhas escuras e rios mostrados através de linhas azuis. Os símbolos utilizados num mapa são, em
geral, identificados através de legendas, que criam uma correspondência entre os símbolos gráficos
presentes no mapa e as diferentes características do espaço geográfico que está sendo representado.
2.2 - O MAPEAMENTO DOS LIVROS DIDÁTICOS
Escolhemos o livro didático como objeto de observação devido à facilidade
de acesso e ao fato de este instrumento apresentar, em geral, um bom universo
das alternativas didáticas utilizadas pelo professor em sala de aula. Inicialmente,
foi realizada consulta verbal junto a professores da educação básica para
identificar os textos adotados atualmente nas escolas ou utilizados por estes
docentes como fonte de consulta. Dentre os livros citados pelos professores,
foram selecionados 4 livros do ensino fundamental (8ª série) e 6 livros do ensino
médio (1ª série). Foram escolhidos livros de 8ª série que, no tópico “funções”,
identificam as funções polinomiais. Não foram usados livros de outros segmentos
do ensino fundamental, pois a introdução do conceito de função é feita, em geral,
a partir da 8ª série e o estudo sistemático das funções polinomiais, a partir da 1ª
série do ensino médio. Os textos didáticos utilizados para a confecção dos mapas
estão listados no final deste trabalho.
Para cada livro do ensino médio, foram construídos dois mapas, um para
cada função polinomial (a do 1º e a do 2º grau). Devido à forma simplificada como
estas funções são abordadas na 8ª série, alguns mapas neste nível de ensino
englobam ambas as funções polinomiais. O título de cada mapa fará referência à
função polinomial abordada (1G ou 2G) e ao autor (ou um dos autores) do livro
mapeado. Por exemplo:
1G - Dante
Em cada mapa, os tópicos usados para o ensino das funções serão representados no interior de retângulos
coloridos, que serão interligados a outros através de linhas ou setas. Não se pode compreender
25
verdadeiramente o significado das informações levantadas sem procurar expressar como os diversos entes
se interagem (Biembengut, 2003). Uma parte do mapa com o título citado no parágrafo anterior acima foi
reproduzida a seguir:
TABELA DE
VALORES
TAXA DE
VARIAÇÃO
GRÁFICO NO
PLANO
CARTESIANO
DEFINIÇÃO
As setas nos mapas indicam o caminho utilizado pelo autor para
desenvolver os tópicos ou introduzir algum conceito. No mapa acima, vemos que
a confecção da “TABELA DE VALORES” e a definição da “TAXA DE VARIAÇÃO”
foram feitas a partir da “DEFINIÇÃO” da função. Podemos verificar também que o
“GRÁFICO NO PLANO CARTESIANO” foi construído através da tabela de
valores. Para se construir o gráfico de uma função utilizamos outros conceitos
como o de eixos coordenados, par ordenado e a própria “DEFINIÇÃO” da função
afim. No entanto, a escolha da escala está associada à nossa intenção de
mapear, isto é, à projeção escolhida. Vale lembrar que nosso objetivo ao elaborar
mapas baseados nos textos didáticos era observar, sobretudo, como o estudo da
variabilidade das funções polinomiais do 1º e do 2º graus foi desenvolvido em
cada um deles. Isto é, o que se pretende aqui é verificar, mais especificamente,
se a função foi caracterizada a partir do seu comportamento variacional, como
ocorreu historicamente. Assim, ao definir a escala, optamos por representar no
mapa apenas os caminhos relevantes para a sua compreensão, tendo em vista a
projeção desejada.
Podemos ainda observar que num mapa sobre função afim, com uma
escala maior, o retângulo “DEFINIÇÃO”, por exemplo, poderia estar relacionado
com todos os outros através de setas, o que dificultaria a visualização de como o
tema é abordado no livro e não nos permitiria alcançar o nosso objetivo com a
ação de mapear. É certo que tudo pode ser relacionado a quase tudo, mas decidir
26
o que verdadeiramente importa é, cada vez mais, a grande questão (Machado,
2004).
As cores foram utilizadas nos mapas com a intenção de diferenciar o tipo
de abordagem que é utilizada em cada tópico. Utilizamos as mesmas cores em
todos os mapas, conforme a legenda abaixo:
ÁLGEBRA
GEOMETRIA
CÁLCULO
Através desta simbologia, podemos observar no mapa mostrado, por
exemplo, que a “DEFINIÇÃO” de função afim é feita do ponto de vista algébrico;
isto é, a definição de função afim é feita através de sua conhecida fórmula
algébrica f(x) = ax + b.
Em seguida mostraremos os mapas sobre o ensino das funções afim e
quadrática, que foram construídos tendo como base os livros didáticos escolhidos.
27
1G - Machado
DOMÍNIO
E IMAGEM
TABELA DE
VALORES
DEFINIÇÃO
GRÁFICO NO
PLANO
CARTESIANO
RAIZ DA
FUNÇÃO
SINAIS DA FUNÇÃO
INEQUAÇÕES E
SISTEMAS DE
INEQUAÇÕES
FUNÇÃO
CRESCENTE E
FUNÇÃO
DECRESCENTE
EQUAÇÃO
DO 1° GRAU
28
1G - Iezzi
DEFINIÇÃO
CRESCIMENTO E
DECRESCIMENTO
DOMÍNIO E
IMAGEM
TABELA
DE
VALORES
ZERO DA
FUNÇÃO
SINAL DA
FUNÇÃO
GRÁFICO NO
PLANO
CARTESIANO
(RETA)
INEQUAÇÕES
SISTEMAS DE
EQUAÇÕES
EQUAÇÃO
DO 1° GRAU
SEMELHANÇA
DE
TRIÂNGULOS
29
1G - Dante
POSIÇÃO RELATIVA
ENTRE DUAS RETAS
TABELA DE
VALORES
FUNÇÃO
LINEAR
GRÁFICO NO
PLANO
CARTESIANO
DEFINIÇÃO
TAXA DE
VARIAÇÃO
ESTUDO DO
SINAL
CRESCIMENTO E
DECRESCIMENTO
PROPORCIONALIDADE
ZERO DA
FUNÇÃO
EQUAÇÃO DO
1° GRAU
INEQUAÇÕES
30
1G - Paiva
TABELA DE
VALORES
DEFINIÇÃO
GRÁFICO NO
PLANO
CARTESIANO
EQUAÇÃO DO
1° GRAU
RAIZ DA
FUNÇÃO
ESTUDO DO
SINAL
CRESCIMENTO E
DECRESCIMENTO
INEQUAÇÕES
31
1G - Bianchini
TABELA DE
VALORES
GRÁFICO NO
PLANO
CARTESIANO
DEFINIÇÃO
CRESCIMENTO E
DECRESCIMENTO
ESTUDO DO
SINAL
INEQUAÇÕES
ZERO DA
FUNÇÃO
32
1G - Smole
POSIÇÃO
RELATIVA ENTRE
DUAS RETAS
SEMELHANÇA DE
TRIÂNGULOS
TABELA DE
VALORES
GRÁFICO NO
PLANO
CARTESIANO
(RETA)
EQUAÇÃO
DO 1°
GRAU
RAIZ DA
FUNÇÃO
ESTUDO
DO
SINAL
DEFINIÇÃO
VARIAÇÃO
DA FUNÇÃO
CRESCIMENTO E
DECRESCIMENTO
DA FUNÇÃO
INEQUAÇÕES
33
1G - Andrini
LEI DE FORMAÇÃO DO
TIPO
f(x) = ax + b
TABELA DE
VALORES
GRÁFICO NO PLANO
CARTESIANO
(RETA)
34
1G-Bigode
DEFINIÇÃO
INCLINAÇÃO
DA RETA
CRESCIMENTO E
DECRESCIMENTO
GRÁFICO NO PLANO
CARTESIANO
(RETA)
INTERSECÇÕES
COM OS EIXOS
RAIZ DA
EQUAÇÃO
ax + b = 0
35
1G e 2G - França
DEFINIÇÃO
TABELA DE
VALORES
GRÁFICO NO
PLANO
CARTESIANO
FUNÇÕES DO TIPO
y = ax + b
RETA
FUNÇÕES DO TIPO
y = ax² + bx + c
PARÁBOLA
36
1G e 2G - Imenes
DEFINIÇÃO
POLINÔMIO DO
1° GRAU
DEFINIÇÃO
POLINÔMIO DO
2° GRAU
TABELA DE
VALORES
TABELA DE
VALORES
GRÁFICO
RETA
GRÁFICO
PARÁBOLA
37
2G - Andrini
LEI DE FORMAÇÃO
DO TIPO
f(x) = ax² + bx + c
TABELA DE
VALORES
GRÁFICO NO PLANO
CARTESIANO
PARÁBOLA
CONCAVIDADE
EIXO DE SIMETRIA
VÉRTICE
38
2G - Bigode
DEFINIÇÃO
TABELA DE
VALORES
GRÁFICO NO
PLANO
CARTESIANO
CONCAVIDADE
COORENADAS
DO VÉRTICE
INTERSECÇÕES
COM OS EIXOS
EIXO DE
SIMETRIA
RAÍZES DA
EQUAÇÃO DO
2° GRAU
39
2G - Machado
DOMÍNIO
TABELA DE
VALORES
IMAGEM
VALOR
MÁXIMO
E VALOR
MINIMO
DEFINIÇÃO
VÉRTICE
GRÁFICO NO
PLANO
CARTESIANO
PONTO DE
MÁXIMO E
PONTO DE
MÍNIMO
CONCAVIDADE
RAÍZES E
SINAIS DA
FUNÇÃO
EQUAÇÃO DO
2° GRAU
INEQUAÇÕES
CRESCIMENTO E
DECRESCIMENTO
40
2G - Iezzi
PONTOS DE
MÁXIMO E
MÍNIMO
EQUAÇÃO DO 2°
GRAU
FORMA CANÔNICA
f (x) = a
[ ( x + 2a
b
)
2
-
∆
4a
2
VÉRTICE
]
DEFINIÇÃO
f(x)=ax²+bx+c
VALORES DE
MÁXIMO E
MÍNIMO
EIXO DE
SIMETRIA
TABELA DE
VALORES
IMAGEM DA
FUNÇÃO
GRÁFICO NO
PLANO
CARTESIANO
CONCAVIDADE
INEQUAÇÕES
DO 2° GRAU
SINAL DA
FUNÇÃO
ZEROS DA
FUNÇÃO
41
2G - Dante
EIXO DE
SIMETRIA
INCLINAÇÃO DA
RETA TANGENTE
TABELA DE
VALORES
GRÁFICO NO
PLANO
CARTESIANO
DEFINIÇÃO
ABERTURA
DA PARÁBOLA
CONCAVIDADE
TAXA DE
VARIAÇÃO
COORDENADAS
DO VÉRTICE
EQUAÇÃO DO
2° GRAU
SINAL DA
FUNÇÃO
IMAGEM DA
FUNÇÃO
VALORES
MÁXIMO E
MÍNIMO
INEQUAÇÕES
42
2G - Paiva
TABELA DE
VALORES
GRÁFICO NO
PLANO
CARTESIANO
EIXO DE
SIMETRIA
DEFINIÇÃO
CONCAVIDADE
SINAL DA
FUNÇÃO
QUADRÁTICA
SINAL DA
FUNÇÃO
AFIM
VALORES E
PONTOS DE
MÁXIMO E
MÍNIMO
VÉRTICE
EQUAÇÃO
DO 2° GRAU
INEQUAÇÕES
43
2G - Bianchini
TABELA DE
VALORES
DEFINIÇÃO
IMAGEM
GRÁFICO NO
PLANO
CARTESIANO
EIXO DE
SIMETRIA
VÉRTICE
CONCAVIDADE
INEQUAÇÕES
EQUAÇÃO
DO 2º
GRAU
ESTUDO
DO SINAL
RAÍZES DA
FUNÇÃO
VALORES MÁXIMO E
MÍNIMO
44
2G - Smole
CRESCIMENTO E
DECRESCIMENTO
EIXO DE
SIMETRIA
GRÁFICO NO
PLANO
CARTESIANO
TABELA DE
VALORES
DEFINIÇÃO
VÉRTICE
CONCAVIDADE
VALOR MÁXIMO E
VALOR MÍNIMO
IMAGEM DA
FUNÇÃO
INEQUAÇÕES
ESTUDO
DO SINAL
RESOLUÇÃO DE
EQUAÇÕES DO
2° GRAU
RAÍZES DA
FUNÇÃO
CAPÍTULO 3 – PROPOSTA DE ATIVIDADES
Como pudemos observar nos mapas do capítulo anterior, o ensino das
funções polinomiais de 1º e 2º graus é feito quase na sua totalidade de forma
algébrica. Dadas as definições, são desenvolvidos o estudo de gráficos,
crescimento, zeros, inequações e outros tópicos associados à fórmula algébrica
que definiu a função. O estudo da variabilidade das funções é praticamente
ignorado pelos textos, salvo raras menções à taxa de variação.
Na prática, não existem realmente vantagens em saber apenas se uma
função (relação entre grandezas variáveis) é crescente ou decrescente. Todos
sabem que o salário mínimo é função crescente do tempo. No entanto, esta
informação não é satisfatória, pois o que nos interessa na verdade é a variação
(crescimento) que terá este salário.
A familiarização com a variação de grandezas, por meio da análise de seu
comportamento, com a identificação de padrões e regularidades, é fundamental
para que o aluno inicie processos de generalização (Cândido, 2000). Proporemos
a seguir algumas atividades que possam ser apresentadas ao aluno do ensino
médio, paralelamente ao estudo algébrico das funções e que enfatizam a
variabilidade de cada uma das funções polinomiais do 1° e 2° graus.
Incluímos nestas atividades algumas relacionadas com a física. Como o
estudo do movimento participou de maneira efetiva da construção do conceito de
função, é natural que este estudo participe de alguma forma no ensino de
funções.
46
3.1 – FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU
O estudo da função afim é feito em geral baseado na seguinte definição:
“Uma função f de
é chamada função afim se existem dois
→
números reais a e b tais que f(x) = ax + b, para todo x ∈ R. ”
Dentre as diversas características da função afim que são normalmente
estudadas a partir da definição acima, pode-se incluir a taxa de variação média de
f no intervalo [x1 ; x2], dada por
f(x 2 ) - f(x1 )
.
x 2 - x1
ATIVIDADE 1:
Consideremos a função afim definida por f(x) = 3x + 2.
Podemos construir uma tabela relacionando f(x) para alguns valores de x,
por exemplo:
x
0
3
7
12
f(x)
2
11
23
38
Calculando a taxa de variação média em alguns intervalos, temos:
INTERVALO
Entre 0 e 7
TAXA DE VARIAÇÃO
f(x 2 ) - f(x1 )
x 2 - x1
Entre 3 e 7
f(x 2 ) - f(x 1 )
x 2 - x1
Entre 0 e 12
f(x 2 ) - f(x1 )
x 2 - x1
=
=
=
f(7 ) - f(0)
7-0
f(7) - f(3 )
7-3
7
=
f(12) - f(0)
12 - 0
23 - 2
=
=3
23 - 11
=
4
38 - 2
12
=3
=3
O cálculo da taxa de variação média desta função em outros intervalos, e o
cálculo desta taxa para outras funções afins levarão o aluno a generalizar que a
taxa de variação média de uma função da forma f(x) = ax + b é constante e
igual ao coeficiente a. Um cálculo simples constata que este fato é válido para
qualquer função afim, pois para estas temos, em qualquer intervalo [x1 ; x2]:
47
f(x 2 ) - f(x1 )
x 2 - x1
ax 2 +b - ax1 - b
=
x 2 - x1
=
a(x 2 - x1 )
x 2 - x1
= a .
ATIVIDADE 2:
Uma loja de doces está fazendo uma promoção na venda de balas de
acordo com a tabela progressiva abaixo, válida para compra de até 500 unidades.
Quanto pagarei por 400 balas?
Número de
balas
Preço a pagar
(em reais)
10
20
30
40
50
........
400
2,40
4,60
6,80
9,00
11,20
........
P
Esta tabela apresenta uma regularidade característica da função afim:
enquanto o número de balas está variando de “10 em 10”, o preço varia de “2,20
em 2,20”, isto é, a acréscimos iguais no número de balas, correspondem
acréscimos iguais no preço a pagar. Assim, neste problema, podemos relacionar
os valores de x (número de balas) com os respectivos f(x) (preço) através de uma
função polinomial do 1° grau, que possui taxa de variação média constante. Esta
taxa pode ser calculada, por exemplo, no intervalo [20,50]:
taxa de variação =
f(50)- f(20) 11,20 - 4,60 6,60
=
=
= 0,22
50 - 20
30
30
Como a tabela progressiva é válida para comprar até 500 balas, a taxa de
variação, por exemplo, no intervalo [40,400] também vale 0,22. Daí, se P é o
preço a pagar por 400 balas, temos:
0,22 =
f(400)- f(40) P - 9,00
=
400 - 40
360
A última igualdade acima nos leva imediatamente a P = 88,20. Podemos
observar que a determinação da taxa de variação da função foi suficiente para a
resolução do problema.
O tipo de regularidade presente na tabela do exemplo anterior faz com que
o conceito de Progressão Aritmética (P.A.) possa ser introduzido para o estudo da
48
variabilidade das funções afins. Uma função monótona f
de
→
que
transforma progressões aritméticas em progressões aritméticas é uma função
afim.
ATIVIDADE 3:
A tabela abaixo mostra a variação de posição de um trem que passava no
quilômetro 40 de uma ferrovia quando o movimento começou a ser observado
(t = 0). Depois de quanto tempo após o início da viagem, o trem passou pelo
quilômetro 120 da ferrovia?
Tempo (em horas)
0
1
2
3
4
Espaço (em quilômetros)
40
70
100
130
160
Estamos buscando uma função que relacione os tempos com os espaços.
Os dados da tabela nos mostram que a P.A. (0, 1, 2, 3, 4) está sendo
transformada pela função na P.A. (40, 70, 100, 130, 160). Sendo este fato
característico da função afim, a função f procurada possui taxa de variação
constante, dada, por exemplo, no intervalo [1;3] por:
f(3)- f(1)
130km- 70km
km
=
= 30
.
3 -1
2h
h
Estamos procurando o instante t correspondente ao espaço 120 km, isto é,
buscamos o valor de t tal que f(t) = 120. Como conhecemos a taxa de variação
média em qualquer intervalo de tempo, e sabendo que f(1) = 70, temos:
30 =
f(t)- f(1)
120 - 70
50
=
=
t -1
t -1
t -1
•
Da equação acima, concluímos que t = 2 horas e 40 minutos (8/3 h).
Em qualquer movimento, a taxa de variação média no intervalo [t1; t2] é
chamada Velocidade Média neste intervalo. Este tipo de movimento, onde o
corpo percorre espaços iguais em intervalos de tempo iguais, é chamado de
Movimento Uniforme. Sua função horária é uma função afim s(t) = vt + s0 , onde
v é a velocidade média (constante ) do movimento e s0 é a posição do móvel no
instante t = 0. Para o problema resolvido acima, no intervalo [0 ; 4], a velocidade é
49
de 30 km/h e a posição no instante t = 0 vale 40 km. Assim, a função horária
deste movimento é s(t) = 30t + 40.
3.2 – FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2° GRAU
O estudo da função polinomial do 2° grau (ou função quadrática) é feito
baseado na seguinte definição:
“Uma função f de
é chamada função quadrática se existem
→
números reais a, b e c, com a ≠ 0, tais que
f(x) = ax² + bx + c, para todo x ∈ R. ”
Uma atividade inicial para o estudo da variação da função quadrática pode
ser o cálculo de taxas de variação média para casos particulares desta função.
ATIVIDADE 4:
Consideremos a função f(x) = x². Podemos construir uma tabela para
alguns valores desta função:
x
0
1
2
3
4
5
6
f(x)
0
1
4
9
16
25
36
Podemos escolher dois intervalos diferentes e calcular a taxa de variação
da função para cada um deles:
INTERVALO
TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA
Entre 0 e 2
f(2) - f(0) 4 - 0
=
=2
2-0
2
Entre 2 e 6
f(6) - f(2) 36 - 4
=
=8
6-2
4
A função f(x) = x² assim como a função f(x) = x são crescentes, por
exemplo, no intervalo [1;5]. Isto pode deixar no aluno a falsa impressão de que
ambas as funções possuem exatamente o mesmo comportamento variacional
50
neste intervalo. Os valores obtidos na tabela acima mostram que a taxa de
variação média da função quadrática, ao contrário do que acontece com a função
afim, muda de acordo com o intervalo considerado.
ATIVIDADE 5:
Seja a função f(x) = x² + 3x. Vamos calcular a taxa de variação média desta
função em alguns intervalos da forma [x1 ; x2].
Consideremos inicialmente [x1 ; x2] = [1 ; 2].
A taxa de variação média neste intervalo é
f(2)- f(1) 10 - 4
=
=6.
2 -1
1
Tomaremos a seguir vários intervalos com x1 = 1, de modo que o outro
extremo do intervalo esteja cada vez mais próximo de 1.
[x 1 ; x2]
TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA
[1 ; 1,4]
f(1,4)- f(1) 6,16 - 4
=
=
1,4 -1
0,4
5,4
[1 ; 1,2]
f(1,2)- f(1) 5,04 - 4
=
=
1,2 -1
0,2
5,2
[1 ; 1,1]
f(1,1)- f(1) 4,51- 4
=
=
1,1-1
0,1
5,1
Aproximando x2 mais ainda de 1 ......
[1 ; 1,005]
f(1,005)- f(1) 4,025025 - 4
=
=
1,005 -1
0,005
5,005
Observando a tabela acima, é fácil perceber que a taxa de variação média
está se aproximando do número 5 à medida que tomamos x2 cada vez mais
próximo de 1 .
De modo geral, a taxa de variação média da função f(x) = ax² + bx + c no
intervalo [x1 ; x2] é dada por:
51
f(x2 )- f(x1 ) ax22 + bx2 + c -ax12 -bx1 - c
=
= a (x2 + x1 ) + b = a (2x1 + (x2 - x1 )) + b.
x2 - x1
x2 - x1
Assim, a taxa de variação média de função quadrática vale
2ax1 + b + a (x 2 - x1 ).
Esta última expressão significa que, à medida que x1 e x2 vão se tornando
cada vez mais próximos, a taxa de variação média em [x1 ; x2] vai se aproximando
de 2ax1 + b. Este fato foi verificado para a função f(x) = x² + 3x, onde a taxa de
variação se aproximava de 2ax1 + b = 5, para intervalos da forma [1 ; x2], com a
diferença (x2 –1) se aproximando de zero.
Podemos observar ainda que, como a taxa de variação média é sempre
calculada num intervalo, x1 será sempre diferente de x2 , e por mais próximos que
estes números estejam, a taxa de variação média nunca assumirá o valor 5. No
entanto, este valor pode ser calculado através da expressão 2ax1 + b, que fica
perfeitamente determinada dada uma função quadrática ax² + bx + c e um número
real arbitrário x1. Este número 2ax1 + b é chamado de “taxa de variação da função
quadrática ax² + bx + c no ponto x1” .
Esta taxa também é chamada de “taxa de variação instantânea” ou, em
problemas da física, de “velocidade instantânea”, calculada em um instante de
tempo. No movimento uniforme, como a velocidade é a mesma em todo
movimento, a velocidade média em qualquer intervalo de tempo coincide com a
velocidade em cada instante t.
ATIVIDADE 6:
Na observação de um movimento uniformemente variado (com aceleração
constante), foi construída uma tabela que mostra como varia a posição de um
móvel com o tempo.
Tempo (em horas)
0
1
2
3
4
5
t
Espaço (em quilômetros)
40
50
70
100
140
190
f(t)
52
A função quadrática serve como modelo para a descrição do Movimento
Uniformemente Variado. A função que relaciona a posição de um móvel com o
tempo neste tipo de movimento é dada por:
(I)
a = aceleração constante do movimento
a 2

s(t) = t + v 0 t + s0 , onde v 0 = velocidade no instante t = 0
2
s = posição do móvel no instante t = 0
 0
Já vimos que a taxa de variação instantânea (ou, neste caso, velocidade
instantânea) de uma função quadrática f(x) = ax² + bx + c, no ponto x0 é dada por
2ax0 + b, para qualquer x0 real. Isto significa que, num movimento uniformemente
variado, a velocidade instantânea no ponto t é dada pela função afim
(II)
a = é aceleração constante do movimento
v(t) = a t + v 0 , onde 
v 0 = velocidade no instante t = 0
As funções (I) e (II) são chamadas Funções Horárias do Movimento
Uniformemente Variado. Na tabela mostrada no início desta atividade, existe
algum tipo de regularidade que pode indicar que a função que relaciona o espaço
com o tempo é uma função quadrática?
ATIVIDADE 7:
Um ônibus de 48 lugares foi alugado para uma excursão. O preço por
passageiro é de R$30,00 reais acrescido de uma taxa de 1 real por lugar vazio no
ônibus. Nosso problema é determinar qual o número de passageiros maximiza a
rentabilidade para o dono do ônibus.
Podemos, inicialmente, construir uma tabela de valores que relacione
algumas variáveis presentes no problema.
Lugares vazios
0
Lugares ocupados Preço por passageiro
(em reais)
48
30
Rentabilidade
(em reais)
1.440
1
47
31
1.457
2
46
32
1.472
3
45
33
1.485
4
44
34
1.496
53
Vamos buscar a relação existente entre o número de lugares vagos e a
rentabilidade do dono do ônibus. Na atividade 2 relacionamos a variação das
funções afins com as de Progressões Aritméticas. Podemos perceber na tabela
acima que a P.A. (0, 1, 2, 3, 4) está sendo transformada na seqüência (1.440,
1.457, 1.472, 1.485, 1496) que não é uma P.A. no sentido usual. No entanto, se
considerarmos as diferenças entre dois termos consecutivos, a partir do segundo,
veremos que estas diferenças formam uma P.A. de razão –2, como mostra a
tabela a seguir:
Lugares vazios
Rentabilidade
(em reais)
0
1.440
1
1.457
2
1.472
3
1.485
4
1.496
Diferenças
1457-1440 = 17
1472-1457 = 15
1485-1472 = 13
1496-1485 = 11
Estas seqüências cujas diferenças entre dois termos consecutivos, a partir
do segundo, formam uma P. A. são chamadas de Progressões Aritméticas de
Segunda Ordem. E, sob certas condições, uma função que transforma
progressões aritméticas em progressões aritméticas de 2ª ordem é uma função
quadrática.
Como numa função da forma f(x) = ax² + bx + c, temos f(0) = c, no
problema acima, c = 1.440. Tomando-se outros dois valores da função: f(1) =
1.457 e f(2) = 1.472 , o sistema abaixo nos dá os valores de a = -1 e b = 18.
a + b + 1440 = 1457

 4a + 2b + 1440 = 1472
a + b = 17

4a + 2b = 32
Assim, a função que relaciona o número de lugares vagos no ônibus com a
rentabilidade é dada por f(x) = - x² + 18x + 1440. Esta função assume seu valor
máximo em x = 9. Logo, a rentabilidade é máxima se o ônibus tiver 9 lugares
vagos, isto é, se 39 passageiros comparecerem para a excursão.
Finalmente, podemos observar que na Atividade 6, a P.A. (0, 1, 2, 3, 4, 5) é
levada pela função f na P.A. de segunda ordem (40, 50, 70, 100, 140, 190). Isto
54
nos levaria a concluir que uma função quadrática serve de modelo para o
movimento uniformemente variado descrito naquela atividade.
CONCLUSÃO
Na revisão histórica do Capítulo 1, pudemos observar que na criação e
desenvolvimento
do
conceito
representações. Centraremos
de
função
estiveram
nossas atenções
presentes
apenas
diversas
em duas
delas,
importantes para o alcance dos objetivos propostos neste trabalho.
Na primeira, função é uma relação entre grandezas variáveis. Nesta
representação do conceito, de caráter dinâmico, o conhecimento sobre a maneira
com que estas grandezas variam levou a um gráfico relacionando duas grandezas
(Oresme), à expressão matemática que estabelece a relação entre as grandezas
(Galileu, por exemplo) e ao conceito de derivada (Newton).
Na segunda representação, função é uma relação entre elementos de
conjuntos estabelecida por uma fórmula. Esta interpretação, ao lado da idéia de
função como subconjunto especial de um produto cartesiano, se constitui numa
representação estática do conceito de função.
Ambas as representações do conceito de função, por sua importância no
desenvolvimento histórico do conceito e na própria evolução da ciência deveriam
estar presentes no ensino de funções.
No entanto, tendo como referência os mapas construídos no Capítulo 2, o
que observamos foi uma grande predominância, quase um monopólio, da
representação algébrica do conceito de função. O mapeamento realizado mostrou
uma ausência quase total, nos textos didáticos, de tópicos que analisem o
comportamento destas funções sob o ponto de vista da variabilidade. Qual o
motivo desta omissão? Qual a dificuldade em se tratar, no ensino médio, de
assuntos como “variabilidade” ou “taxa de variação”?
Não é objetivo deste trabalho responder a estas perguntas; no entanto não
podemos perder de vista um motivo pelo qual o assunto “funções” está inserido
56
nos programas da educação básica: a resolução de problemas. E nestes
problemas, aparecem grandezas, que por sua vez, variam. Saber como estas
grandezas variam, realmente não interessa? Qual seria a importância deste
estudo?
Para os futuros estudantes de Cálculo na educação superior, já foram
apontadas razões que justifiquem uma abordagem das funções sob ponto de vista
da variabilidade:
E para os outros alunos do ensino médio, aqueles que provavelmente
jamais estudarão derivadas e integrais? Os problemas do cotidiano ou das
ciências que podem ser resolvidos matematicamente em geral não trazem
fórmulas em seus enunciados. Trazem sim “quantidades variáveis” como tempo,
lucro, temperatura, peso, população, demanda, preço ou qualquer outra
grandeza. Não existem grandes vantagens em saber apenas que “o preço da
gasolina vai subir” ou que “as taxas de juros no varejo caíram”. O exercício da
cidadania, cada vez mais complexo nos dias de hoje, envolve também o
conhecimento sobre como e o quanto variam as grandezas presentes em
problemas que nos são apresentados em nossa vida cotidiana.
Não estamos aqui tratando de problemas, freqüentes nos livros do ensino
médio, como “O custo de produção numa fábrica é dado pela função c(p) = -p² +
300.........”. Este tipo de problema, também importante para o exercício de
técnicas algébricas essenciais ao estudo de funções (cálculo de raízes,
coordenadas do vértice e outras), é característico de uma abordagem do conceito
de função quadrática que parte desde o princípio da fórmula f(x) = ax² + bx + c. E
se o problema não tiver uma fórmula ou um gráfico? De quais ferramentas dispõe
o aluno para modelar o problema e decidir qual função pode ser utilizada no
processo de modelagem?
As
funções
polinomiais
estudadas
no
ensino
médio
possuem
características variacionais, que deveriam ser mostradas aos alunos. A
comparação entre estas características e o modo com que as grandezas variam
num determinado problema podem informar se alguma destas funções é
adequada para sua resolução.
57
O fato de os textos não abordarem o estudo da variabilidade das funções
polinomiais, conforme constatado no mapeamento realizado, certamente não é
impedimento para que os professores da educação básica o façam. Recente
documento da Secretaria de Educação do Estado do Rio de Janeiro, que contém
orientações para o desenvolvimento do currículo nas unidades escolares da Rede
Pública Estadual (SEE-RJ, 2004), figuram orientações para os professores como
“introduzir a idéia de taxa de variação” e “fazer a ligação da progressão aritmética
com a função afim” para o estudo da função polinomial do 1° grau, na 1ª série do
ensino médio. Em algum momento, estes tópicos deverão ser abordados em sala
de aula. Poderíamos ainda, a título de reflexão, perguntar se nós, docentes do
ensino médio, trazemos estes conhecimentos consolidados em nossa bagagem
didática para que possamos transmiti-los aos alunos de forma segura.
As atividades propostas no capítulo anterior, ainda que incompletas e longe
de esgotar o assunto, mostram como a variabilidade das funções afim e
quadrática podem ser tratadas no ensino médio, paralelamente ao estudo
algébrico destas funções. Os conceitos de velocidade média e instantânea
propiciam uma ótima oportunidade de estabelecer a relação interdisciplinar da
Matemática com a Física, assim como ocorreu historicamente.
O estudo, mesmo que intuitivo, da taxa de variação instantânea, além de
enriquecer o estudo das funções contribuiria, segundo Rezende (2003), para a
construção do campo semântico do conceito de derivada, ainda no ensino médio.
A construção deste campo ainda pode ser feita através do estabelecimento da
relação entre a taxa de variação e o coeficiente angular da reta tangente num
ponto. Apesar de não incluída nas atividades propostas, acreditamos que esta
abordagem pode ser incluída no ensino médio. Na verdade, não temos certeza de
que esta e as outras propostas “funcionarão” na educação básica. No entanto,
existe uma maneira de descobrir: através da prática em sala de aula e da
proposição de atividades deste tipo aos alunos.
O uso das progressões aritméticas para estudar a variabilidade das
funções afins e das progressões aritméticas de 2° ordem para a função
quadrática, foi baseado em resultados apresentados em Lima (2001), onde
também podem ser encontradas as suas demonstrações.
58
A idéia de progressão aritmética pode ser dada ao aluno ainda no ensino
fundamental, e o seu estudo mais sistemático no ensino médio pode incluir a
correlação desta seqüência com a variabilidade da função afim.
As progressões aritméticas de 2ª ordem podem ser vistas quando do
estudo da P.A. No estudo de funções, seria oportuno mostrar que a propriedade
de transformar progressões aritméticas em progressões aritméticas de 2ª ordem é
característica da função quadrática.
O importante é que mostremos aos estudantes que as funções afim e
quadrática possuem características que vão além das fórmulas f(x) = ax + b e
f(x) = ax² + bx + c e que podem ser utilizadas na resolução de problemas,
sobretudo quando tais expressões algébricas não estão disponíveis.
Procuramos nesta monografia verificar que os livros didáticos da educação
básica em geral não proporcionam um estudo sobre a variação das funções
polinomiais do 1° e 2° graus. Buscamos também justificar a importância deste
estudo e, através da proposição de atividades sobre a maneira como variam estas
funções, sinalizamos como esta abordagem pode ser feita.
Desse modo, esperamos com este trabalho ter contribuído para uma
reflexão sobre a necessidade de inserção no ensino médio de atividades sobre a
variabilidade das funções afins e quadráticas. Esta inclusão, até nos textos
didáticos, pode não estar muito distante, já que propostas de órgãos
governamentais já indicam este estudo como integrante do currículo do ensino
médio.
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