PUCRS –FAMAT – DEPTº DE ESTATÍSTICA
LISTA PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA – SÉRGIO KATO
Lista de Exercícios 3 – Variável Aleatória Contínua e Modelos Normal e Exponencial
1. Seja X uma v.a.c., que representa o tempo necessário para a pintura de uma peça de automóvel, em horas,
com função densidade de probabilidade dada por:
0; se x < 0

f(x)= 9x 2 − 8x 3 ; se 0 ≤ x ≤ 1
0; se x > 1

a)
b)
c)
d)
Determine:
a probabilidade de gastar menos de meia hora para a pintura; R. 0,25
a probabilidade para que o tempo gasto se situe entre ½ e ¾ h; R. 0,3828
o tempo médio gasto na pintura da peça; R. 0,65
o desvio padrão; R. 0,21
2. Um posto de gasolina recebe o combustível uma vez por semana. As vendas do passado sugerem uma
função densidade de probabilidade das vendas semanais X, medidas em milhares de litros, dada por: f(x)= X-1
quando 1<X<2, f(x)=3-X se 2<X<3 e f(x)=0 caso contrário.
Calcule
a) a probabilidade de que, em dada semana sejam vendidos 1,5 a 1,8 milhares de litros. R: 0,1950
b) a média de vendas semanais. R: 2,0
3. Seja Z uma variável aleatória Normal Padrão, determine:
a)
P(Z=0) R:0
b)
P(Z<1,96) R: 0,975
c)
P( Z ≤ -2,89) R: 0,00193
d)
P(Z>-1,33) R: 0,90824
e)
P( Z ≥ 2) R: 0,02275
f)
P(0,18<Z<2,11) R: 0,41115
g)
P( 1,31 ≤ Z ≤ 2,41) R: 0,8712
h)
P( Z > 4,36) R: 0
Determine o valor de z:
i)
P(Z<z)=0,09 R: z= -1,34
j)
P(-1,71<Z<z)=0,25 R: z= -0,54
4. Seja T uma variável aleatória com distribuição normal padrão. Calcule:
a)
P(T>6)
b)
O valor de t, tal que P(-t<T<t)= 0,90 R: t= 1,64
c)
O valor de t, tal que P(-t<T<t)= 0,99 R: t= 2,58
5.
a)
b)
c)
d)
Seja Z uma v. a. c. normalmente distribuída com média 0 e desvio padrão 1. Determine o valor de z1 tal que:
P( Z ≤ z1 ) = 0,0495 R: -1,65
P( Z ≤ z1) = 0,9474 R: 1,62
P( Z ≥ z1) = 0,0618 R: 1,54
P( Z ≥ z1) = 0,8212 R: -0,92
Sejam z1 e z2, simétricos, dois particulares valores de Z . Determine-os tais que:
e) P ( z1 ≤ Z ≤ z2 ) = 0,9216 R: -1,76 e 1,76
f) P ( z1 ≤ Z ≤ z2 ) = 0,8858 R:-1,58 e 1,58
6. A duração de certos tipos de amortecedores, em km rodados é normalmente distribuída, possui duração
média de 5000 km e desvio-padrão de 1000 km
a)
Qual a probabilidade de um amortecedor escolhido ao acaso durar entre 4500 e 6350 km? R: 0,60295
b)
Se o fabricante desejasse fixar uma garantia de quilometragem, de tal forma que se a duração do
amortecedor fosse inferior a garantia, o amortecedor seria trocado, de quanto deveria ser esta garantia para que
somente 1% dos amortecedores fossem trocados? R: 2670 km
7. Se a altura de 300 estudantes são normalmente distribuída com média igual a 172,72cm e variância 49,5cm2,
determine:
a)
quantos estudantes têm altura superior a 182,88cm; R: 0,07493*300= 22
b)
qual a altura que separa os estudantes em dois grupos de forma que um deles seja formado pelos 30%
mais altos. R: 176,41
8. Admitindo que a distribuição do quociente de inteligência (QI), de crianças de uma certa escola, seja normal
com média 100 pontos e desvio padrão de 10 pontos, calcule:
a)
a probabilidade de uma criança, tomada ao acaso desta escola, acusar QI superior a 120 pontos; R:
0,02275
b)
a probabilidade de crianças com QI na faixa de 90 a 110 pontos. R: 0,68268
9. Suponha que as notas de um vestibular tenham distribuição normal com média 60 e desvio-padrão de 15
pontos.
a)
se você prestou este vestibular e obteve nota igual a 80 pontos, qual a sua posição em termos de
unidades de desvios padrão, com relação a média das notas? R: 1,333
b)
Se foram considerados aprovados os candidatos que obtiveram nota mínima correspondente a 1 desvio
padrão acima da média, qual a nota mínima de aprovação na escala original? R: 75
10. O gerente de um banco tem seu domicílio no bairro A. Ele deixa sua casa às 8 h e 45 min dirigindo-se ao
emprego e iniciando seu trabalho as 9 h. A duração dessa viagem tem média de 13 min e desvio padrão 3 min.
Considerando que o tempo de duração da viagem tem distribuição normal, determine a probabilidade de o gerente
chegar atrasado ao banco. R. 0,2546
11. As vendas diárias de um restaurante têm distribuição normal com média igual a 53 unidades monetárias e
desvio padrão igual a 12 u.m.:
a) Qual a probabilidade das vendas excederem 70 u.m. em determinado dia? R: 0,0778
b) Esse restaurante deve vender no mínimo 30 u.m. por dia, para não ter prejuízo. Qual a probabilidade de que,
em certo dia haja prejuízo? R: 0,0274
12. Suponhamos que o nível educacional de adultos de certo pais apresenta distribuição normal com média de 11
anos e desvio padrão de 2 anos, determine:
a)
a probabilidade de que um adulto, escolhido aleatoriamente, tenha entre 9 e 14 anos de tempo de estudo.
R: 0,7745
b)
a probabilidade de que um adulto tenha mais de 18 anos de estudo. R: 0
c)
o número de adultos que se espera que tenham menos de 7 anos, considerando uma amostra de 500
adultos. R: 11,40
13. Certo tipo de condensador tem tempo de vida distribuído exponencialmente com média de 250 horas.
Determine a probabilidade destes condensadores durarem menos que 320 horas. R. 0,72196
14. Os tempos até a falha de um dispositivo eletrônico seguem o modelo exponencial com uma taxa de falha α =
0,012 falha/hora. Indique qual a probabilidade de um dispositivo escolhido ao acaso sobreviver:
a) a 100 horas? R. 0,3012
b) a 50 horas? R. 0,5488
15. Certo tipo de fusível tem duração de vida que segue uma distribuição exponencial com vida média de 100
horas.
a) Qual é a probabilidade de um fusível durar mais de 150 horas? R. 0,2231
b) Cada fusível tem um custo de R$ 10,00 e, se durar menos de 200 horas, existe um custo adicional de R$ 8,00.
Qual é o preço justo a pagar por cada fusível? R:16,92
16. Um componente eletrônico tem distribuição exponencial, com média de 50 horas. Suposta uma produção de
10 000 unidades, quanto deles espera-se que durem entre 45 e 55 horas? R. 737
17. O tempo de vida de certo dispositivo eletrônico é de 4.000 h e segue uma distribuição Exponencial. Determine
a probabilidade de que:
a) um dispositivo esteja funcionando no final de 2.000 h, dado que está funcionando no final de 1.000 h; R:
0,7788
b) num conjunto de 4 dispositivos, somente um queime antes de 3.000 h de funcionamento. R: 0,2224