Sinais e Sistemas Aplicações das séries e transformadas de Fourier • Séries de Fourier • Aplicações em Geral • Transformada de Fourier (TF) • Aplicações específicas da TF • Conclusões Baseado no seguinte material: http://www.dsc.ufcg.edu.br/~pet/ciclo_seminarios/tecnicos/2010/TransformadaDeF ourier.pdf ALLapolli Séries de Fourier Transformada de Fourier Exponencial Complexa: x(t ) C e k k jk0t 1 Ck x(t )e jk0t dt T0 T0 Trigonométrica: a0 x(t ) (ak cos k0t bk senk0t ) 2 k 1 ak Ck Ck bk j (Ck Ck ) 1 Ck (ak jbk ) 2 1 C k (ak jbk ) 2 2 0 T0 2 ak x(t ) cos(k0t )dt T0 T0 2 bk x(t ) sen (k0t )dt T0 T0 ak 2 Re(Ck ) bk 2 Im(Ck ) Transformada de Fourier Séries de Fourier Harmônica: x(t ) C0 Ck cos(k0t k ) k 1 a0 C0 2 Ck a b 2 k 2 k bk k arctg ak Transformada de Fourier Séries de Fourier Funções Periódicas são representadas por séries de Fourier Funções não periódicas são representadas por transformadas de Fourier (espectro do sinal) Uma representação de x(t) é uma decomposição em componentes que também são funções trigonométricas Transformada de Fourier Aplicações em Geral Física Química Teoria dos números Análise Combinatória Processamento de sinais Teoria das probabilidades Estatística Criptografia Sinal Fenômeno variável no tempo e no espaço. Os sinais são funções de uma ou mais variáveis independentes contendo informações acerca do comportamento ou natureza de um fenômeno físico. Exemplos: f(x) => Som F(x,y) => Imagem F(x,y,t) => Vídeo Transformada de Fourier Transformada de Fourier X ( ) x(t ) x ( t ) e jt dt 1 x(t ) X ( ) 2 1 X ()e jt d Transformada de Fourier Propriedades da Transformada de Fourier Propriedade Linearidade Deslocamento de tempo Deslocamento de frequência Sinal Transformada de Fourier x(t) X() x1(t) X1() x2(t) X2() a1x1(t)+a2x2(t) a1X1()+a2X2() x(t-t0) 𝑒 −𝑗𝜔𝑡0 𝑋(𝜔) 𝑒 𝑗𝜔0𝑡 𝑥(𝑡) Escalamento de tempo x(at) Inversão de tempo x(-t) X(-0) 1 𝜔 𝑋 𝑎 𝑎 X() Dualidade X(t) 2x(-) 𝑑𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 jX() Diferenciação no tempo Transformada de Fourier Propriedades da Transformada de Fourier Propriedade Diferenciação em frequência Sinal Transformada de Fourier (-jt)x(t) 𝑑𝑋(𝜔) 𝑑𝜔 𝑡 Integração 𝑥 𝜏 𝑑𝜏 −∞ 1 𝜋𝑋 0 𝛿 𝜔 + 𝑋(𝜔) 𝑗𝜔 Convolução x1(t)*x2(t) X1()X2() Multiplicação x1(t)x2(t) x(t)=xp(t)+xi(t) 1 𝑋 (𝜔) ∗ 𝑋2 (𝜔) 2𝜋 1 X()=A()+jB() X(-)=X()* Componente par xp(t) Re[X()]=A() Componente impar xi(t) jIm[X()]=jB() Sinal Real Transformada de Fourier Propriedades da Transformada de Fourier Propriedades ∞ ∞ 𝑥1 𝜆 𝑋2 𝜆 𝑑𝜆 = −∞ ∞ Relações de Parseval 1 𝑥1 𝑡 𝑥2 𝑡 𝑑𝜆 = 2𝜋 −∞ ∞ 1 2 𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 = 2𝜋 −∞ 𝑋1 𝜆 𝑥2 𝜆 𝑑𝜆 −∞ ∞ 𝑋1 𝜆 𝑥2 𝜆 𝑑𝜆 −∞ ∞ 𝑋(𝜔) 2 𝑑𝜔 −∞ A propriedade da dualidade, em destaque é normalmente utilizada para transformada em casos em que se conhece a transformada em um dos sentidos e que a transformada inversa é exige calculo complexo como integral de resíduo. Transformada de Fourier Alguns Pares de Transformada de Fourier x(t) d(t) d(t-t0) 1 𝑒 𝑗𝜔0 𝑡 cos0t sen0t u(t) u(-t) e-atu(t),a>0 X() 1 𝑒 −𝑗𝜔𝑡0 2d() 2d(-0) [d(-0)+d(-0)] j[d(-0)-d(-0)] 1 𝜋𝛿(𝜔) + 𝑗𝜔 1 𝜋𝛿 𝜔 − 𝑗𝜔 1 𝑗𝜔 + 𝑎 Transformada de Fourier Alguns Pares de Transformada de Fourier x(t) 1 𝑎2 + 𝑡 2 2 𝑒 −𝑎𝑡 , 𝑎 1 0 X() e-a|| 𝜋 −𝜔2 /4𝑎 𝑒 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑎 2𝑎 𝜔𝑎 >0 𝑡 <𝑎 𝑡 >𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑎𝑡 𝜋𝑡 −1, 𝑠𝑔𝑛 𝑡 = 0, 1, 1 0 𝑡<0 𝑡=0 𝑡>0 2 𝑗𝜔 ∞ ∞ 𝛿(𝑡 − 𝑘𝑇0 ) 𝑘=−∞ 𝑤 <𝑎 𝑤 >𝑎 𝜔0 𝛿(𝜔 − 𝑘𝜔0 ) 𝑘=−∞ Transformada de Fourier Aplicações específicas da TF Descrição Filtragem Segmentação Compressão Reconstrução Reconhecimento de Padrões Transformada de Fourier Aplicações específicas da TF Decomposição de um sinal unidimensional Função composta: Constituída da superposição de vários harmônicos Descrição das componentes da função 𝑓 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 7𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 5𝑠𝑒𝑛(3𝑥) + 4cos(5𝑥) Aplicações específicas da TF Onda Quadrada Transformada de Fourier Expansão em série de Fourier de uma onda quadrada: 3 C0=A/2 2 Amp Amplitude 2 1 0 -2 -6 -4 -2 0 -2 0 2 4 𝐴 = 2; a = 1; 𝑇0 = 4𝑎; 𝜔0 = 6 x(t) Amp -4 2 2𝜋 2𝐴 ;𝐶 = 𝑇0 𝜋 3 4 t(s) 6 0 -2 -6 -4 -2 0 2 4 t(s) 6 C.cos(30t)/3 2 Amp -6 2 C.cos(0t) 0 0 -6 1 2 Amp 2 0 -4 -2 0 2 4 t(s) 6 C.cos(50t)/5 0 -2 -6 -4 -2 0 2 4 -1 -2 t(s) 6 C.cos(7w0*t)/7 2 Amp Amplitude -2 0 -2 -3 -6 -4 -2 0 2 4 t(s) 𝑥 𝑡 = 𝐶0 + 𝐶 cos 𝜔0 𝑡 − 6 -6 -4 -2 0 2 cos 3𝜔0 𝑡 cos 5𝜔0 𝑡 cos(7𝜔0 𝑡) + − 3 5 7 4 t(s) 6 Transformada de Fourier Aplicações específicas da TF A utilização de um número infinito de amostras no domínio do tempo, consequentemente, um número infinito de pontos no domínio da frequência é um problema para a implementação da transformada de Fourier na prática (utilização de computadores). Dessa forma, utiliza-se a Transformada Discreta de Fourier (DFT) que utiliza um número finito de pontos no domínio do tempo e define uma representação discreta do sinal no domínio da frequência. Transformada de Fourier Transformada Discreta de Fourier (DFT) X () x[n] x[n]e jn n 1 x[n] X () 2 1 X ( )e 2 jt d Transformada de Fourier Exemplos: Sistema de comunicação (modulação) Multiplica-se um sinal f(t) por um sinal senoidal. Transladar o espectro de frequência Transformada de Fourier Exemplos: Filtragem (Domínio da Frequência) • No domínio original: Convolução • No domínio da Frequência: Transformada, seguida de um produto e uma transformada inversa. Transformada de Fourier Transformada de Fourier Transformada de Fourier Transformada de Fourier Transformada de Fourier Transformada de Fourier Exemplos: Sinais Biológicos • O eletrocardiograma é realizados em uma largura de banda menor: o interesse principal é medir o ritmo desprezando pormenores morfológicos. Transformada de Fourier Exemplos: Imagem • O coeficiente F(0,0) denota intensidade média da imagem. a • Os Coeficientes de baixos índices (frequências) são componentes da imagem que variam pouco. • Os coeficientes de alta frequência são associados a variações bruscas de intensidade. Transformada de Fourier Exemplos: Imagem • Espectros de Fourier de impressão digital. Sem ruído Com ruído Transformada de Fourier Exemplos: Imagem Filtragem Passa-Alta Filtragem Passa-Baixa Transformada de Fourier Exemplos: Filtragem Transformada de Fourier Exemplos: Transformada de Fourier Exemplos: Filtragem: minimização de ruído Transformada de Fourier Exemplos: Filtragem Passa-Alta (Realce de contornos, bordas) Transformada de Fourier Exemplos: Imagens Médicas Filtragem Passa-Alta (Realce de contornos, bordas) Transformada de Fourier Conclusões • Fenômenos periódicos ocorrem de maneira recorrente em várias aplicações. Estes podem ser modelados pelas séries de Fourier. • As séries de Fourier podem ser estendidas para funções não periódicas utilizando-se as Transformadas de Fourier. • Tanto as séries como as transformadas de Fourier são eficientes para resolução de problemas em diversas áreas.
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