TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS: UMA INVESTIGAÇÃO COM
SITUAÇÕES-PROBLEMA SOBRE APRENDIZAGEM DE EQUAÇÕES DA
RETA
SILVA, Ronald de Santana da – UFRPE
[email protected]
BEZERRA, Elvis da Silva – UFRPE
[email protected]
Área Temática: Educação: Teorias, Metodologias e Práticas
Agência Financiadora: Não contou com financiamento
Resumo
Este trabalho foi uma proposta de intervenção no 3º ano do ensino médio, tendo como
finalidade por em prática os estudos de G. Vergnaud acerca da Teoria dos Campos
Conceituais, em específico a relação da tríade situações (S), invariantes (I) e representações
(R) na formação de um determinado conceito. Seu objetivo geral foi verificar a aprendizagem
de equação da reta através de atividades que englobassem o campo conceitual desse
conteúdo. Também nos direcionamos a realizar estudos acerca desse campo conceitual; a
investigar como os alunos utilizam os invariantes para resolver situações-problemas nessa
área de estudos; para isso elaboramos situações-problema no campo conceitual da equação da
reta, essas situações foram apresentadas através de uma ficha de atividade dividida em cinco
momentos. Para o desenvolvimento da pesquisa foram considerados quatro alunos voluntários
de uma escola pública, na qual tivemos encontros periódicos, divididos em quatro momentos,
dois destes foram reservados a aplicação do pré-teste e pós-teste, e nos demais foi realizada a
intervenção com a ficha de atividade, utilizando a carga horária das aulas de matemática,
própria do cronograma da escola. Tratamos os dados coletados de maneira quantitativa e
qualitativa para fomentar nossas análises. Como um dos resultados da intervenção realizada,
pudemos observar que houve uma significativa aprendizagem do conceito de equação da reta
para os quatro sujeitos da pesquisa, pois nos informaram, através dos dados, que o
encaminhamento para a obtenção de uma equação da reta foi apropriado por eles, mas foram
notórias suas dificuldades acerca de outros conceitos como os algébricos e aritméticos.
Palavras-chave: Teoria dos campos conceituais; Ensino de matemática; Geometria analítica.
Introdução
Este projeto mostra os resultados que se foram obtidos a partir do desenvolvimento e
aplicação de atividades sobre equação da reta, conteúdo de geometria analítica em matemática
do 3º ano do ensino médio, com finalidade de discutir a questão: fornecendo atividades e
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situações problematizadoras referente a um conceito, a aprendizagem desse pelos alunos
passa a ter uma característica de um aprendizado significativo? Utilizamos então a teoria dos
campos conceituais de Vergnaud, pois acreditamos que ela nos fornece bases para
subsidiarmos nossa metodologia.
Levamos em consideração que, a partir dessa concepção de como se dá a formação de
um conceito pelo indivíduo, os professores possam cumprir seus objetivos obtendo resultados
mais eficazes, pois acreditamos que os professores estão sendo orientados, quando elaboram
seu currículo de prática pedagógica, pelas Orientações Curriculares para o Ensino Médio, esse
informa que:
Para a escolha de conteúdos, é importante que se levem em consideração os
diferentes propósitos da formação matemática na educação básica. Ao final
do ensino médio, espera-se que os alunos saibam usar a Matemática para
resolver problemas práticos do quotidiano; [...] compreendam que a
Matemática é uma ciência com características próprias, que se organiza via
teoremas e demonstrações; percebam a Matemática como um conhecimento
social e historicamente construído; saibam apreciar a importância da
Matemática no desenvolvimento científico e tecnológico. (BRASIL, 2006,
p.69)
[...] A forma de trabalhar os conteúdos deve sempre agregar um valor
formativo no que diz respeito ao desenvolvimento do pensamento
matemático. Isso significa colocar os alunos em um processo de
aprendizagem que valorize o raciocínio matemático [...]. Também significa
um processo de ensino que valorize tanto a apresentação de propriedades
matemáticas acompanhadas de explicação quanto a de fórmulas
acompanhadas de dedução, e que valorize o uso da Matemática para a
resolução de problemas interessantes, quer sejam de aplicação ou de
natureza simplesmente teórica. (ibid, p.70)
Como objetivos desse trabalho apresentamos os seguintes: como geral, verificar a
aprendizagem de alunos do 3º ano do ensino médio sobre equação da reta através de
atividades relativas ao campo conceitual deste conteúdo. A partir dele, os objetivos
específicos são: realizar estudos acerca do campo conceitual da equação da reta; investigar
como os alunos utilizam os invariantes para resolver situações-problemas no campo
conceitual da equação da reta; elaborar situações-problema no campo conceitual da equação
da reta.
Uma proposta de Vergnaud é repensar as condições de aprendizagem com o objetivo
de que esta se torne significativa para os alunos. Nessa perspectiva, a Teoria dos Campos
Conceituais oferece condições para que identifiquemos dentro dos saberes científicos e
cotidianos os elementos necessários para tal aprendizagem. Essa teoria tem como um de seus
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aspectos relevantes o destaque dado ao tratamento do saber escolar, esse situado entre o saber
cotidiano e o científico. Dessa maneira, a teoria dos campos conceituais dá sentido ao saber
escolar fundamentando-o nos dois saberes já citados, para que não haja o prevalecimento de
uma dimensão sobre a outra. Cabe então à didática o desenvolvimento de situações que
possibilitem a mobilização de uma diversidade de conceitos (PAIS, 2001). Analisaremos
agora alguns aspectos da teoria dos campos conceituais.
Vergnaud (1996) defende que:
A teoria dos campos conceituais é uma teoria cognitivista que visa fornecer um
quadro coerente e alguns princípios de base para o estudo do desenvolvimento e da
aprendizagem das competências complexas, nomeadamente daquelas de relevam das
ciências e das técnicas. (VERGNAUD, 1996, p.155)
Temos então, que a teoria dos campos conceituais considera a existência de conceitos
interligados entre si, formando assim uma rede complexa de conceitos. Para que ocorra o
surgimento do conhecimento conceitual, esse deve emergir dentro de situações-problema, isto
é, os docentes devem fornecer situações problematizadoras que possuem significação para o
aluno, e que essas tenham como objetivo fornecer potencialidades para o surgimento e
aquisição do conceito e sua estrutura.
Segundo a teoria dos campos conceituais o conceito é constituído de três partes: o
conjunto de situações (S) que dá significado ao conceito, o conjunto de invariantes (I) e o
conjunto de representações simbólicas (R) que representam as situações e os procedimentos
para lidar com os invariantes.
Em seus estudos, Magina (2001), ratifica a idéia de Vergnaud de que um conceito não
dever ser estudado isoladamente e sim em situações que inter-relacionem vários conceitos.
Partindo desta idéia, os professores de matemática têm o desafio de fazer com que, em sala de
aula, aconteça uma melhor relação entre o conceito e a resolução de problemas, tornando-os
mais interessantes e compreensíveis para os alunos.
Os argumentos anteriores nos levaram a estudar um ramo da matemática, a geometria
analítica. Essa teve com principal função unir a geometria clássica com os estudos algébricos,
esses que estavam emergentes no séc. XVII (IEZZI, 2004, p 80). A Teoria dos Campos
Conceituais nos possibilita observar que ao tratarmos de um conteúdo da geometria analítica
como equação da reta, está envolvida uma diversidade de outros conteúdos, como por
exemplo, conceitos de álgebra; estudos sobre matrizes e cálculo de determinantes; noções
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básicas de geometria analítica como os axiomas de ponto, reta e plano; conceito de par
ordenado e estudos acerca da distância entre dois pontos entre outros. Esses conhecimentos
prévios são necessários para que o se possa fornecer situações para o aprendizado de equação
da reta. Isso nos aponta mais uma vez para a Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud,
onde percebemos que não se pode estudar um novo conceito matemático de forma isolada,
mas sim o relacionando com outros conceitos através de situações problematizadoras.
Metodologia
A pesquisa teve abordagem qualitativa, contendo tratamento de dados quantitativos.
Os dados quantitativos foram sistematizados e organizados em tabelas, para posterior
interpretação e inferências cabíveis.
O campo da pesquisa foi uma escola da cidade de Recife, da rede estadual de ensino
que dispõe de duas turmas do 3º ano do ensino médio. O alvo da pesquisa foi o 3° ano B tarde, contendo cerca de dezessete alunos na referida turma.
Para a amostra, todos foram convidados a participarem da pesquisa, sendo que quatro
alunos da turma já citada aceitaram o convite foram sendo, portanto, considerados para
sujeitos. Supomos que estes já viram na escola os conteúdos básicos para o estudo acerca de
algumas concepções de geometria analítica, no qual estão implícitos os conceitos de ponto,
reta, plano, plano cartesiano, par ordenado, entre outros conceitos relevantes ao aprendizado
de equações da reta.
Os instrumentos de coleta de dados foram os seguintes: um questionário de sondagem
que foi aplicado como pré-teste, e o mesmo para o pós-teste (ver Apêndice I); uma seqüência
didática que foi utilizada durante as intervenções (ver Apêndice II); também utilizamos
anotações através de um observador durante as atividades realizadas pelos alunos. A
intervenção mobilizou os alunos durante quatro (04) encontros.
De início foram discutidos quais os métodos que iriam ser utilizados para coletar os
dados que fundamentaram as discussões deste projeto. Os dados foram coletados durante a
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aplicação das atividades referidas anteriormente com os sujeitos da pesquisa, conforme já
justificado acima.
Em seguida, contatamos a escola previamente escolhida para participar da pesquisa.
Nesse contato, solicitamos ao professor responsável a permissão para que os alunos
participassem da intervenção; esses foram mobilizados através de quatro (04) encontros os
quais foram divididos da seguinte forma:
1º momento: aplicação do pré-teste;
2º momento: 1ª intervenção com uma seqüência didática;
3º momento: 2ª intervenção com uma seqüência didática;
4} momento: aplicação do pós-teste.
Por fim, foram transcritas todas as respostas dos alunos, analisados todos os
comentários e possíveis tentativas de solucionar os problemas que foram propostos para fim
de uma análise mais sistemática.
Resultado e discussão
Na Teoria dos Campos Conceituais consideramos a existência da interligação dos
conceitos entre si, formando uma rede complexa de conceitos. Para que ocorra o surgimento
do conhecimento conceitual, esse deve emergir dentro de situações-problema.
O interventor iniciou fornecendo situações problematizadoras através de uma ficha de
aula (ver Apêndice II) com situações potencialmente significativas para o surgimento e
aquisição do conceito nos alunos.
Observamos que, ao serem apresentados às situações, os alunos se mostraram
motivados. Isso foi evidenciado pela da atenção na aula e, no momento do intervalo, cerca de
10 alunos permaneceram na sala tentando resolver as situações propostas.
No que se refere aos conceitos mobilizados, Magina (2001), ratifica a idéia de
Vergnaud de que um conceito não dever ser estudado isoladamente e sim em situações que
inter-relacionem vários conceitos. Isso foi observado quando os alunos foram, nas situações
propostas, questionados pelo interventor sobre o seu conhecimento prévio para a resolução
das atividades. Alguns alunos informaram que:
“Isso tem alguma coisa a ver com aquilo de repetir as colunas?” (aluno 1)
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Ela estava se relacionando ao algoritmo do determinante de uma matriz, mas esse
conceito não estava formalizado, pois não conseguiu resolver o cálculo de determinante.
“Tem que substituir alguma coisa.” (aluno 2)
Essa fala foi proferida, quando os alunos foram confrontados com um problema em
que poderiam utilizar um sistema de equações do primeiro grau. Ele explicou para um colega,
sentado ao seu lado.
“Isso é matriz?!” (aluno 3)
Essa aluna apresentou essa resposta quando foi questionada a respeito do seu
conhecimento sobre matrizes, a partir de uma ilustração, apresentada pelo interventor, de um
determinante.A mesma também recorreu aos seus invariantes quando foi apresentado o
problema a do 3º momento, a partir dele, ela disse:
“Isso tem alguma coisa a ver seno, né?!” (aluno 4)
Os resultados do pré e pós-teste são observados nas Tabelas 1 e 2, onde serão
distribuídas as quantidades de alunos relacionadas com suas respostas:
Tabela 1: distribuição das respostas dos alunos no pré-teste
Tipos Respostas / Atividades
Certas
Raciocínio certo sem conclusão
Raciocínio certo com cálculo errado
Raciocínio errado
Não respondeu
1ª
0
0
0
0
4
2ª
0
0
0
0
4
3ª
0
0
0
0
4
4ª
0
0
0
2
2
Tabela 2: distribuição das respostas dos alunos no pós-teste
Tipos Respostas / Atividades
Certas
Raciocínio certo sem conclusão
Raciocínio certo com cálculo errado
Raciocínio errado
Não respondeu
1ª
0
1
2
0
1
2ª
1
0
3
0
0
3ª
1
0
1
0
2
4ª
0
1
1
0
2
10811
Ao cruzarmos os dois testes anteriores, notamos uma expressiva mudança na resolução
das atividades. Algumas situações necessitam de uma análise mais detalhada.
As respostas da Tabela 2 nos mostram que, para a primeira atividade, três alunos
conseguiram desenvolver o raciocínio certo, no entanto, um deles não conseguiu concluir,
pois na tentativa de resolver por condição de alinhamento não obteve sucesso desistindo
assim de resolver a atividade; e os outros concluíram com cálculo errado, devido à deficiência
dos conceitos algébricos, o que podemos observar na situação ilustrada a seguir:
Resolução do aluno 1 no pós-teste
Nesse mesmo quadro temos que, na segunda atividade, todos os alunos tentaram
responder. Apenas um obteve êxito, os demais apresentaram apenas a dificuldade em cálculos
algébricos e aritméticos, pois utilizaram o raciocínio certo. Podemos observar isto na
ilustração que segue:
Resolução do aluno 2 no pós-teste
Na terceira atividade do pós-teste, notamos que dois alunos utilizaram raciocínio certo,
mas um deles não conseguiu concluir a questão, pela deficiência em cálculos algébricos, isso
foi constatado na ultima etapa da resolução. Isto foi observado a seguir:
Resolução do aluno 3 no pós-teste
Na quarta atividade, os alunos foram confrontados com uma nova situação que não foi
tratada durante a intervenção, mas dois alunos utilizaram raciocínio certo. Um deles não
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concluiu e o outro apresentou dificuldade na identificação das coordenadas de um ponto no
plano cartesiano, quando o ponto se encontra em um dos eixos do plano. Essas observações
são vistas a seguir:
Resolução do aluno 4 no pré-teste
Resolução do aluno 4 no pós-teste
Conclusão
Ao afirmar que a Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud informa que para o
surgimento de um conceito, devemos fornecer uma diversidade de situações então cabe a
didática o desenvolvimento dessas que possibilitando a mobilização de uma diversidade de
conceitos (PAIS, 2001).
Dessa forma, com a intervenção realizada, podemos observar que evoluiu a
aprendizagem do conteúdo equação da reta para os quatro sujeitos da pesquisa, pois nos
informaram, através dos dados, que o encaminhamento para a obtenção de uma equação da
reta foi apropriado pelos alunos, mas foram notórias suas dificuldades acerca de outros
conceitos como os algébricos e aritméticos já mencionados.
Segundo a teoria dos campos conceituais os alunos construíram o conceito de equação
da reta a partir de um conjunto de situações (S) que deram significado ao conceito,
mobilizando um conjunto de invariantes (I), e utilizando um conjunto de representações
simbólicas (R), que representaram as situações e os procedimentos para lidar com o invariante
equação da reta.
A partir dessa pesquisa, encaminhamos a validade da mesma, bem como a realização
de outras pesquisas em turmas maiores nessa direção, inclusive em sala de aula.
Encaminhamos também que, de acordo com a nossa realidade, confirmada através dos
diversos exames nacionais e internacionais sobre conhecimentos de matemática em alunos de
nível básico, é a ocorrência de alunos despreparados para tratarmos de um assunto que
requeria mais conhecimentos prévios formalizados, por esse motivo não foi possível aplicar
10813
toda a seqüência didática planejada. Esperamos que estudos posteriores possam ser realizados
contornando tais obstáculos.
REFERÊNCIAS
IEZZI, Gelson, et al. Matemática: ciências e aplicações, 3º série: ensino médio. 2ª edição.
São Paulo: Atual, 2004.
MAGINA, Sandra, et al. Repensando Adição e Subtração: contribuições da teoria dos
campos conceituais. 2ª ed. São Paulo: PROEM, 2001.
PAIS, Luiz Carlos. Didática da Matemática: uma análise da influência francesa. 2ª ed. Belo
Horizonte: Autêntica, 2001, p. 51–63.
VERGNAUD, G. A teoria dos campos conceituais. In: BRUN, Jean (dir.). Didácta das
matemáticas. Trad. Maria José Figueiredo. Lisboa: INSTITUTO PIAGET, 1996, p. 155–191.
Apêndice I: Questionário de sondagem aplicado como pré e pós-teste.
10814
10815
Apêndice II: Seqüência didática aplicada na intervenção.
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO
Programa de Pós-Graduação em Ensino das Ciências
Aluno: ___________________________________________________________
Ficha de aula
1º momento:
Uma função pode ser representada a partir de
uma equação, de um diagrama, com pares
ordenados, ou com um gráfico no plano
cartesiano. Então, qual seria a representação
gráfica da função f(x)=3x-1?
2º momento:
Verifique se A(1,2), B(3,4) e C(4,6) estão
alinhados.
Determine m sabendo que os pontos A(2,m),
B(4,1) e C(-1,-4) estão alinhados.
Dado o gráfico abaixo, qual a função que o
representa?
Vamos determinar a equação da reta que
passa pelos pontos A(1,3) e B(2,4), sabendo
que um ponto C(x,y) é colinear aos outros
dois.
Verifiquem se P(1,2), pertence a seguinte
reta:
x y 1
2 3 1=0
3 4 1
10816
3º momento:
Determine a equação da reta da figura:
Calcule o coeficiente angular das retas nos
seguintes casos:
- A(1,2) e B(2,4), são pontos pertencentes a
reta r.
- Uma reta cuja inclinação mede 60°.
4º momento:
Qual a equação da reta apresentada na figura abaixo:
5º momento:
Geoplano: batalha de retas