Quantificação Parcial em Lógica de Primeira Ordem
Prof. Valdemar Neto
Instituto de Informática
Universidade Federal de Goiás
Julho de 2014
Quando uma sentença aberta possui pelo menos uma variável com um quantificador lógico
associado a ela e uma ou mais variáveis que não possuem um quantificador lógico associado, esta
sentença é dita uma sentença aberta com quantificação parcial.
Sentenças abertas não são proposições. Logo, ao contrário de proposições, em geral elas
possuem como solução um conjunto-verdade e não um valor lógico.
Exemplos de sentenças abertas com quantificação parcial:
a) Considerando o conjunto A = {1, 2, 3, 4}, (∀x∈A)(x divide y);
b) Considerando o conjunto A = {1, 2, 3, 4}, (∃ x∈A)(x divide y);
c) Considerando o conjunto S de todos os seres humanos, (∃ y∈A)(x é filho de y);
Obs.: divide significa que o resto da divisão para os valores considerados deve ser zero.
Para encontrar os conjuntos-verdade, duas premissas têm que ser levadas em consideração:
1. O conjunto-solução sempre diz respeito à variável dita livre, ou seja, aquela que não possui
quantificador associado a ela;
2. Para encontrar o conjunto-verdade, pode-se variar os valores da variável quantificada e ver
quais valores da(s) variável(eis) livre(s) atende(m) à sentença enunciada. Se for
quantificador universal (∀), realize a intersecção dos conjuntos encontrados. Se for o
quantificador existencial (∃), realize a união dos conjuntos.
Veja como resolver o item A segundo as premissas apresentadas:
Dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4}, o conjunto-verdade vai conter todos os valores que y pode
assumir de modo que para todo elemento de A substituído em x, a afirmação da sentença será
verdadeira, isto é, (∀x∈A)(x divide y).
Logo, uma forma de resolver é criar uma tabela para verificar quais os valores que atendem
em cada um dos valores assumíveis pela variável quantificada. A Tabela 1 apresenta os resultados.
Como o modo de realizar os cálculos é o mesmo para o quantificador existencial e universal, os
resultados são iguais. O que difere é a operação sobre os conjuntos solução para cada valor de x que
são encontrados. Acompanhe:
x
y (∀)
1
{1, 2, 3, 4}
2
{2, 4}
3
{3}
4
{4}
Tabela 1. Cálculo dos conjuntos parciais.
Para x=1, 1 divide 1, 2, 3, 4, que são os valores assumíveis por y. Para x=2, 2 divide 2 e 4.
Para x = 3, apenas 3 divide ele mesmo.
Para o item A, a solução é a intersecção entre todos os conjuntos pois só servem valores
assumíveis por y que tornam a sentença verdadeira para todo x pertencente a A. Logo, a solução é
conjunto-vazio (∅). Já para o quantificador existencial, a solução é a união dos conjuntos de modo
que a solução é {1, 2, 3, 4} pois existe sempre um x que divide y para qualquer y considerado.
Vejamos outro exemplo: Para o conjunto A = {1, 2, 3, 4}, (∀y∈A)(2x + y < 7). Utilizando o
mesmo método. A variável que vai variar seus valores é a quantificada (y), enquanto que a outra
terá um conjunto verdade associado a ela (x).
y
x
1
{1, 2}
2
{1, 2}
3
{1}
4
{1}
Tabela 2. Solução para um segundo exemplo.
Solução: ∀ é comparável a Intersecção neste contexto (porque tem que atender para todo
valor de y). Logo, a solução é: {1}. E realmente procede. Apenas para x=1, qualquer valor de y
torna a sentença verdadeira.
Se fosse ∃, a operação seria de União. Logo, a solução seria {1,2}, porque tanto para x=1
quanto para x=2 existem valores de y que tornam a sentença verdade. Entretanto, para x=3 ou x=4,
já não existem valores para y que satisfazem a inequação.
Vejam um último exemplo não matemático.
Considere um conjunto A = {a, b, c, d, e}, em que cada uma das letras representa uma
pessoa com os seguintes atributos:
Pessoa
Nome
Idade
Altura
a
Amanda
13
1,50m
b
Bruno
18
1,72m
c
Carla
22
1,75m
d
Danilo
30
1,80m
e
Eva
40
1,65m
Tabela 3. Pessoas
Considere as seguintes sentenças abertas: (∀ x∈ A)(x é mais alto(a) que y) e (∃ x∈ A)(x é
mais velho(a) que y).
Soluções:
y
x (altura)
x (idade)
a
{b, c, d, e}
{b, c, d, e}
b
{c, d}
{c, d, e}
c
{d}
{d, e}
d
{}
{e}
e
{b, c, d}
{}
Tabela 4. Solução para Sentenças Abertas referentes a Pessoas
Como para todo é intersecção, a solução para a primeira sentença é conjunto-vazio. Já para
a segunda é a união dos conjuntos parciais: {b, c, d, e}. Ou seja, Amanda é a única que se fosse
substituída no valor de x não forneceria valor para y para tornar a sentença verdadeira.