Sumário
Lógica – Módulo 14
M. Sc. Luiz Alberto
[email protected]
1. Quantificações
1.1. Sentença Aberta
1.1.1. Sentença aberta com uma variável
1.1.2. Conjunto-verdade de uma sentença aberta
1.1.3. Sentenças abertas com duas variáveis
1.1.4. Conjunto-verdade de uma sentença aberta com duas variáveis
1.1.5. Sentenças abertas com n variáveis
1.1.6. Conjunto-verdade de uma sentença aberta com n variáveis
Aula Lógica – Módulos 14 e 15
QUANTIFICAÇÕES
– [INT-∀]: uma quantificação universal é verdadeira se, e somente
se todas as suas instâncias forem verdadeiras. Se houver pelo
menos uma instância falsa, então a quantificação universal será
falsa.
– [INT-∃]:
∃ uma quantificação existencial é verdadeira se, e somente
se houver pelo menos uma instância sua que seja verdadeira. Se
todas as suas instâncias forem falsas, então a quantificação
existencial será falsa.
–2–
Prof. Luiz Alberto
A Lógica das Sentenças Abertas
• O quantificador universal (∀) e o quantificador existencial
(∃) são símbolos lógicos.
Aula Lógica – Módulos 14 e 15
–1–
Prof. Luiz Alberto
• Sentenças Abertas com uma Variável
– Definição: uma sentença aberta com uma variável num conjunto A
ou simplesmente uma sentença aberta em A, é uma expressão P(x)
tal que p(a) é verdadeira (V) ou falsa (F) para todo elemento a
pertencente ao conjunto A, ou seja, para todo a∈A.
∈
– O conjunto A também é chamado de domínio da variável x.
X + 1 >10
Sentença Aberta
7 + 1 >10
Sentença Fechada
Aula Lógica – Módulos 14 e 15
–3–
Prof. Luiz Alberto
A Lógica das Sentenças Abertas
• Sentenças Abertas com uma Variável (Exemplos)
– São sentenças abertas em N= {1, 2, 3, ... ,n, ...} as
seguintes expressões:
(a) x+1>8
(c) x2 - 5x + 6 = 0
(b) x é primo
(d) x é divisor de 12
A Lógica das Sentenças Abertas
• Conjunto-Verdade de uma Sentença Aberta
– Definição: chama-se conjunto-verdade de uma sentença aberta
P(x) num domínio A. o conjunto de todos os elementos a∈A tais
que P(a) é uma proposição verdadeira.
– Formalmente o conjunto-verdade pode ser definido como:
VP = {x | x∈A
∈ ∧ P(x)=V}
– ou, mais simplesmente como:
– para os x∈N.
Aula Lógica – Módulos 14 e 15
VP = {x∈A | P(x)}
–4–
Prof. Luiz Alberto
A Lógica das Sentenças Abertas
• Conjunto-Verdade de uma Sentença Aberta
(Exemplos)
Aula Lógica – Módulos 14 e 15
–5–
Prof. Luiz Alberto
A Lógica das Sentenças Abertas
• Conjunto-Verdade de uma Sentença Aberta
(Exemplos - Continuação)
(a) O conjunto-verdade de P(x) = “x+1 > 8” em N={1, 2, 3, ...}
(conjunto dos números naturais) é dado por:
VP = {x∈
∈N | P(x)} = {x∈
∈N | x+1 > 8}= {8, 9, 10, ... } ⊂ N
(c) O conjunto-verdade de P(x) = “x é divisor de 10” em N={1, 2,
3, ...} (conjunto dos números naturais) é dado por:
VP = {x∈
∈N | x é divisor de 10}= {1, 2, 4, 10} ⊂ N
(b) O conjunto-verdade de P(x) = “x+7 < 8” em N={1, 2, 3, ...}
(conjunto dos números naturais) é dado por:
VP = {x∈
∈N | x+7 < 5}= ∅ ⊂ N
(d) O conjunto-verdade de P(x) = “x+5 > 3” em N={1, 2, 3, ...}
(conjunto dos números naturais) é dado por:
VP = {x∈
∈N | x+5 > 3}= {1, 2, 3, 4, ...} = N ⊂ N
Aula Lógica – Módulos 14 e 15
–6–
Prof. Luiz Alberto
Aula Lógica – Módulos 14 e 15
–7–
Prof. Luiz Alberto
A Lógica das Sentenças Abertas
• Sentenças Abertas com duas Variáveis
– Definição: Compreendendo dois conjuntos A e B,
entende-se por sentença aberta com duas variáveis em
A x B ou sentença aberta A x B, uma expressão p(x, y)
tal que p(a, b) é falsa (F) ou verdadeira (V) para todo
par ordenado (a, b) Є A x B.
– Exemplos:
• X é menor que y(x<y);
• Y é divisor de y(x | y).
Aula Lógica – Módulos 14 e 15
–8–
Prof. Luiz Alberto
• Sentenças abertas com n variáveis
– Definição: uma sentença aberta com n variáveis
num conjunto A1×A2×...×An, ou simplesmente
uma sentença aberta em A1×A2×...×An, é uma
expressão P(x1, x2,..., xn) tal que p(a1, a2,..., an) é
verdadeira (V) ou falsa (F) para todo ênupla (a1,
a2,..., an) ∈ A1×A2×...×An.
– Formalmente este conjunto-verdade pode ser definido como:
VP = {(x1, x2,..., xn) ∈ A1×A2×...×An | P(x1, x2,..., xn)}
– 10 –
• Conjunto-verdade de uma sentença aberta com
duas variáveis
– Definição: O conjunto-verdade de uma sentença aberta
p(x, y) em A x B é o conjunto de todos os elementos
(a, b) Є A x B tais que p(a, b) é uma proposição
verdadeira.
– Formalmente o conjunto-verdade pode ser definido
como:
Vp = {(x, y) Є A x B | p(x, y)}
A Lógica das Sentenças Abertas
Aula Lógica – Módulos 14 e 15
A Lógica das Sentenças Abertas
Prof. Luiz Alberto
Aula Lógica – Módulos 14 e 15
–9–
Prof. Luiz Alberto
A Lógica das Sentenças Abertas
• Conjunto-verdade de uma sentença aberta com
com n variáveis
– Definição: O conjunto-verdade de uma sentença
aberta P(x1, x2,..., xn) no domínio A1×A2×...×An é o
conjunto de todas as ênuplas (a1, a2,..., an) ∈
A1×A2×...×An tais que P(a1, a2,..., an) é uma
proposição verdadeira.
– Exemplo
• x + 4y + 2z < 22
Aula Lógica – Módulos 14 e 15
– 11 –
Prof. Luiz Alberto
Exercícios
Exercícios
Determinar o conjunto-verdade em N (conjunto
dos números naturais) de cada uma das sentenças
abertas a seguir:
(a) 2x = 6
(b) x-1<4
(c) x2 - 5x + 6 = 0
(d) x2 - x + 2 = 0
(e) x2 - 5x = 0
(f) x - 5 ∈ N
Aula Lógica – Módulos 14 e 15
• Dados os conjuntos A={2, 3, 5} e B={3, 6, 8, 11}
determinar o conjunto-verdade da sentença aberta
“x | y” (x divide y sem resto) em AxB.
• Dados os conjuntos A={-2, 0, 1, 2} e B={-1, 0, 3}
determinar o conjunto-verdade da sentença aberta
“x + y < 1” em AxB.
– 12 –
Prof. Luiz Alberto
Aula Lógica – Módulos 14 e 15
– 13 –
Prof. Luiz Alberto
Sumário
Lógica – Módulo 15
1. Quantificações - Continuação
1.1. Quantificador Universal ( )
M. Sc. Luiz Alberto
[email protected]
Aula Lógica – Módulos 14 e 15
– 15 –
Prof. Luiz Alberto
Quantificadores
Quantificadores
• Quantificadores são operadores lógicos aplicados a uma
variável e a uma expressão (uma sentença aberta simples
ou composta).
• Os quantificadores foram definidos para capturar
conceitos da linguagem natural como:
–
–
–
–
–
–
Para todo mundo ...
Não tem ninguém aqui que ...
Todos aqui ...
Tem alguém que poderia ...
Qualquer um que ...
Existe pelo menos um de nós ...
Aula Lógica – Módulos 14 e 15
– 16 –
• São considerados dois tipos de afirmações sobre vários
elementos de um domínio:
– Afirmações universais, que devem ser válidas para todos os
elementos de um domínio;
– Afirmações existenciais, que devem ser válidas para pelo menos
um dos elementos do domínio.
• Para cada um destes tipos de afirmações, corresponde um
diferente tipo de quantificador:
– Quantificadores universais, para representar as afirmações
universais.
– Quantificadores existenciais, para representar as afirmações
existenciais.
Prof. Luiz Alberto
Aula Lógica – Módulos 14 e 15
Quantificador Universal ( )
– 17 –
Prof. Luiz Alberto
Quantificador Universal ( )
• Seja uma sentença aberta p(x) em um conjunto
∅) e seja Vp o seu conjuntonão vazio A (A ≠ ∅
verdade:
• Quando Vp = A, isto é, todos os elementos do conjunto A
satisfazem a sentença aberta p(x), podemos, então,
afirmar:
–
–
–
–
“Para todo elemento x de A, p(x) é verdadeira (V)”
“Qualquer que seja o elemento x de A, p(x) é verdadeira (V)”
“Para todo x de A, p(x)”
“Qualquer que seja x de A, p(x)”
• Assim,
– ∀ x ∈ A: p(x)
• Portanto,
– ∀ x: p(x)
Aula Lógica – Módulos 14 e 15
– 18 –
Prof. Luiz Alberto
Aula Lógica – Módulos 14 e 15
– 19 –
Prof. Luiz Alberto
Quantificador Universal ( )
Quantificador Universal ( )
• É importante salientar que enquanto P(x) é uma sentença
aberta, a sentença quantificada (∀x∈A) (P(x)) não é mais
uma sentença aberta.
• A quantificação “fecha” uma sentença aberta,
transformando-a numa proposição simples que pode ser
verdadeira ou falsa no domínio A, dependendo do
conjunto-verdade VP ser ou não igual ao domínio A.
– tem um valor lógico que é verdade (V) se Vp = A e é falso (F) se
Vp ≠A.
Aula Lógica – Módulos 14 e 15
– 20 –
Prof. Luiz Alberto
Quantificador Universal ( )
– (∀x∈H)
∀ ∈ (x é mortal), para H o conjunto de seres humanos.
– (∀x∈N)
∀ ∈ (x+2 > x), para N o conjunto dos números naturais
– (∀x∈A) (x<7) , para A={0,1,2,3,4}
• Afirmações universais inválidas (falsas):
– (∀x∈H) (x é mãe), para H o conjunto de seres humanos.
– (∀x∈N) (x+2 > 2x), para N o conjunto dos números naturais
– (∀x∈A) (x∈N) , para A={0, 1, 2, 3, -3, 2.5, 4, 0.999, π}
– 22 –
Aula Lógica – Módulos 14 e 15
– 21 –
Prof. Luiz Alberto
Exercícios
• Exemplos:
• Afirmações universais válidas (verdadeiras):
Aula Lógica – Módulos 14 e 15
• Observe o exemplo abaixo:
(∀
∀x) (x é mortal).
• Essa proposição se lê “qualquer que seja x, e é mortal”, o que é uma
proposição verdadeira (V) no universo H dos seres humanos. Se a
variável da sentença aberta for outra, em vez da letra x, escreve-se o
qualificador universal ∀seguido
∀
da respectiva variável. Desta
forma, a expressão:
(∀
∀Fulano) (Fulano é mortal).
• Lê-se “qualquer que seja Fulano, Fulano é mortal”, que significa a
mesma coisa que a proposição anterior.
Prof. Luiz Alberto
• Sendo R o conjunto dos números reais,
determinar o valor lógico das seguintes
expressões:
(a) (∀
∀x∈
∈R) (|x| = x)
(e) (∀
∀x∈
∈R) (x+1 > x)
(f) (∀
∀x∈
∈R) (x2 = x)
Aula Lógica – Módulos 14 e 15
– 23 –
Prof. Luiz Alberto