Resolução das atividades complementares
Matemática
M7 — Função Exponencial
p. 6
1 (Furg-RS) O valor da expressão A 5
23
5
46
b)
10
2n 1 3 1 2n 1 2 2 2n 2 1
é:
2n 2 2 1 2n
11
2
46
d)
5
a)
c)
e)
Resolução:
2n ? 23 1 2n ? 22 2 2n  2
A 5
→ A 5
2n
n
12
22
A 5
1

2n ?  8 1 4 2 

2
1

2n ?  1 1
4

12 2
1
2
1
11
4
23
A 5 2
5
4
23 4
46
A 5
?
→ A 5
2
5
5
2 Encontre o valor da expressão
Resolução:
310 (32 2 3 2 1)
10
3 (3 1 1 1 1)
5
312 2 311 2 310 1
.
311 1 310 1 310
5
51
5
115
8
3 Aplicando a definição, calcule:
a) 4
21
1
4
 2
b)  
 3
21
c) (25)
22
 4
d)  
 3
3
2
Resolução:
1
a) 421 5
4
 2
b)  
 3
21
3
5
2
22
22
c) (25)
 4
d)  
 3
22
23
1
25
 1
e) 2 
 6
9
16
 3
f) 2 2 
 2
 1
e) 2 
 6
1
1
5
5
2
25 (25)
2
9
 3
5  5
 4
16
2216
23
8
27
23
5 2 63 5 2 216
 3
f) 2 2 
 2
23
3
8
 2
5 22  5
 3
27
4 (UEL-PR) Se x e y são números reais, então:
y
a) (3x)y 5 3x b) (2x ? 3y)2 5 22x ? 32y
c) (2x 2 3x)y 5 2xy 2 3xy 5 21xy
d) 5x 1 3x 5 8x
e) 3 ? 2x 5 6x
Resolução:
A única alternativa verdadeira é a b, pois (2x ? 3y)2 5 22x ? 32y
 4
5 (UFPI) Sejam x1 e x2 as soluções da equação exponencial  
 3
x1 1 x2 é:
a)
1
2
c)
5
2
b)
3
2
d)
7
2
x2 2 3 x 1 2
e)
Resolução:
 4
 3 
x2 2 3 x 1 2
 3
5 
 4
x2 2 2 x
 4
→  
 3
x2 2 3 x 1 2
 4
5 
 3
2x 2 1 2 x
x 2 2 3 x 1 2 5 2 x 2 1 2x
2x 2 2 5x 1 2 5 0
Logo: x1 1 x 2 5 2 1
1
5
5
2
2
x1 5 2 ou
1
x2 5
2
 3
5 
 4
9
2
x2 2 2 x
. O valor da soma
6 (Vunesp-SP) Uma fórmula matemática para se calcular aproximadamente a área, em metros
quadrados, da superfície corporal de uma pessoa, é dada por:
11 32
S(p) 5
p ,
100
onde p é a massa da pessoa em quilogramas.
Considere uma criança de 8 kg. Determine:
a) a área da superfície corporal da criança; 0,44 m2
b) a massa que a criança terá quando a área de sua superfície corporal duplicar. (Use a aproximação
2 5 1,4.) 22,4 kg
Resolução:
a)S(p) 5
2
11 32
p
100
b) 0,88 5 0,11 ? p 3
2
2
11
S(p) 5
? 8 3 5 0,11 ? 3 8 2 ⇒
100
⇒ 5 0,11 ? 22 5 0,11 ? 4
p 3 5 0,88  0,11 5 8 5 23
2
3
p 52
S(p) 5 0,44 m2
3 ?
2 3
?
2 3
2
 93
5  22 
 
9
29 5
p 5 22 5
28 ? 2 5 16 ? 1,4
p 5 22,4 kg
7 Resolva as equações:
a) 32x 2 28 ? 3x 1 27 5 0 {0, 3}
b) 4x 5 2x 1 1 1 48 {3}
Resolução:
a) 32x 2 28 ? 3x 1 27 5 0
Fazendo 3x 5 y, y2 2 28y 1 27 5 0
y9 5 27 e y0 5 1
Como 3x 5 27 ⇒ 3x 5 33 ⇒ x 5 3
3x 5 1 ⇒ 3x 5 30 ⇒ x 5 0
S 5 {0, 3}
b) 4x 5 2x 1 1 1 48
22x 5 2 ? 2x 1 48
Fazendo 2x 5 y
y2 2 2y 2 48 5 0
y9 5 26 e y0 5 8
Voltando a 2x 5 y, obtemos 2x 5 8 [ x 5 3
S 5 {3}
2
5x 2 2
 1
8 (UFAM) Seja a o menor número que é solução da equação
5 
 25 
125
número:
a) par
b) primo
c) não real d) divisível por 5
2
22 x
→ 5x
2
2 5
5 54 x
x2 2 5 5 4x
x 55
x 5 21
x 2 2 4x 2 5 5 0
Se a é o menor número a 5 21. Logo a 5 21 não é um número real
. Então, a é um
e) irracional
Resolução:
5x 2 2
 1
5  2
5 
53
22 x
9 (Vunesp-SP) Resolva as equações exponenciais, determinando os correspondentes valores de x.
x
x 11
x 2 2
 1
 1
 1
b)   1  
a) 7(x 2 3) 1 7(x 2 2) 1 7(x 2 1) 5 57 x 5 3
2 
5 2 207 x 5 23
 3
 3
 3
Resolução:
a) 7( x 2 3 ) 1 7( x 2 2) 1 7( x 2 1) 5 57 → 7 x ? 723 1 7 x ? 722 1 7 x ? 721 5 57
1
1
1
7 x  3 1 2 1  5 57
7
7
7
 1 1 7 1 72 
7x ? 
 5 57
73

57
5 57
73
7 x 5 73
7x ?
x 53
S 5 {3}
x
 1
 1
b)   1  
 3
 3
x 11
 1
2 
 3
x 2 2
 1
5 2 207 →  
 3
x
22

1
 1 
1
1
2

 3   5 2 207
3


x
1

 1 
 3  1 1 3 2 9  5 2 207


x
 3 1 1 2 27 
 1
 3  ? 
 5 2 207
3


x
 1
 23 
 3  ?  2 3  5 2 207
x
 1
 3  5 27
32x 5 33
2x 5 3
x 5 23
S 5 {23}
10 (UFSC) Determinar o valor de x na equação 5x 1 1 1 5x 1 5x 2 1 5 775. {3}
Resolução:
5 x (5 1 1 1 521 ) 5 775
1
775 ? 5

5 x  6 1  5 775 ⇒ 5 x 5
5 53 ⇒ x 5 3

5
31
S 5 {3}
11 (UFRN) Qual o conjunto solução da equação 42x 2 2 2 17 ? 4x 2 2 1 1 5 0? {0, 2}
Resolução:
42x ? 422 2 17 ? 4x ? 422 1 1 5 0
Fazendo 4x 5 y, temos:
y2
17y
2
1 1 5 0 ⇒ y 2 2 17 y 1 16 5 0
16
16
x
4 5 16 ⇒ 4x 5 42 ⇒ x 5 2
4x 5 1 ⇒ 4x 5 40 ⇒ x 5 0
Logo, S 5 {0, 2}
y9 5 16
y0 5 1
1
7
2 ? 220,5t , em que t
8
8
é o tempo em segundos. No mesmo eixo, move-se o objeto B, de acordo com a lei 22t.
Os objetos A e B se encontrarão num certo instante tAB. O valor de tAB, em segundos, é um divisor de:
a) 28
c) 24
e) 20
b) 26
d) 22
12 (FGV-SP) A posição de um objeto A num eixo numerado é descrita pela lei
Resolução:
Pelo enunciado da questão, os objetos A e B se encontrarão se:
1
7
22t AB 5 2 ? 220,5 ? t AB
8
8
Fazendo 220,5 ? tAB 5 y, temos:
1
7
y 2 5 2 ? y → 8 y 2 1 7y 2 1 5 0
8
8
 y 5 21 ou


1
 y 5 8
Para 220,5 ? tAB 5 21, não existe tAB [ IR
1
Para 220,5 ? tAB 5 → 220,5tAB 5 223 → 0,5 ? tAB 5 23
8
tAB 5 6 segundos, que é um divisor de 24.
13 (Mackenzie-SP) A soma das raízes da equação 22x 1 1 2 2x 1 4 5 2x 1 2 2 32 é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 6
e) 7
Resolução:
22x 1 1 2 2x 1 4 5 2x 1 2 2 32 ⇔
22x ? 21 2 2x ? 24 2 2x ? 22 1 32 5 0
2 ? 22x 2 20 ? 2x 1 32 5 0 ⇔ 22x 2 10 ? 2x 1 16 5 0
10  6
2x 5
⇔ 2x 5 8 ou 2x 5 2 ⇔ x 5 3 ou x 5 1.
2
A soma das raízes é 3 1 1 5 4.
p. 10
14 Esboce o gráfico das seguintes funções:
a) f(x) 5 3 x
Resolução:
a) f(x) 5 3x
 1
b) f(x) 5  
 3
x
 1
b) f(x) 5  
 3
x
y
y
3
3
2
1
�1
0
1
3
1
x
�1
1
3
0
1
1
x
15 (UEFS-BA) Os gráficos das curvas definidas por f(x) 5 2 ? 8x e g(x) 5
em um ponto que pertence ao:
a) eixo Oy
b) 1o quadrante
c) 2o quadrante
d) 3o quadrante
Resolução:
f(x) 5 g(x) → 2 ? 8 x 5
1
16 x
2 ? 23x 5 224x
23x 1 1 5 224x
3x 1 1 5 24x
7x 5 21
1
x 52
7
1
Se x 5 2 , temos:
7
1
3
2
2
 1
f 2  5 2 ? 8 7 → y 5 2 ? 2 7
 7
12
y 5 2
3
7
4
y 5 27
y 5 3 16
 1
O ponto  2 ,
 7
3

16  pertence ao 2o quadrante.

1
, x [ IR, se interceptam
16 x
e) 4o quadrante
16 (Mackenzie-SP) O gráfico mostra, em função do tempo,
f(x)
a evolução do número de bactérias em certa cultura. Dentre as
alternativas abaixo, decorridos 30 minutos do início das observações, o
valor mais próximo desse número é:
a) 18 000
d) 14 000
b) 20 000
e) 40 000
c) 32 000
f(t) � a � bt
8 � 104
104
Resolução:
Do gráfico, temos:
f(0) 5 104
a ? b0 5 104 [ a 5 104
f(3) 5 8 ? 104
a ? b3 5 8 ? 104
104 ? b3 5 8 ? 104 [ b 5 2
0
3
t (horas)
Portanto f(t) 5 104 ? 2t, onde t é, em horas, o tempo
decorrido.
f(0,5) 5 104 ? 20,5
f(0,5) 5 104 ?
2
Com 2  1,4, temos f(0,5)  10 000 ? 1,4 →
→ f(0,5)  14 000
17 (FGV-SP) Uma certa mercadoria foi promovida por uma substancial campanha de propaganda e,
pouco antes de encerrar a promoção, a quantidade diária de vendas era 10 000 unidades. Imediatamente
após, as vendas diárias decresceram a uma taxa proporcional às vendas diárias, tal que: V(t) 5 B ? ek ? t, sendo
B o número de unidades vendidas em determinado dia, V(t) a quantidade de vendas por dia, após t dias,
e 5 2,72 e k um número real.
Sabe-se que 10 dias após encerrar a promoção o volume diário de vendas era 8 000 unidades.
a) Qual o volume diário de vendas 30 dias após o encerramento da promoção? 5 120 unidades
b) Quando se espera que a venda diária seja reduzida a 6 400 unidades? no 20o dia
3
Considere que log 2 5
, sendo log 2 o logaritmo de 2 na base 10.
10
Resolução:
Nas resoluções a seguir, admitamos que, no período de “pouco antes de encerrar a promoção” até
o último dia da promoção, a quantidade diária de vendas tenha sido constantemente igual a 10 000
unidades.
De V(0) 5 B ? ek ? 0 5 B e V(0) 5 10 000, temos que B 5 10 000.
De V(10) 5 8 000, temos 10 000 ? ek ? 10 5 8 000 e, portanto, e10k 5 0,8.
a) V(30) 5 10 000 ? ek ? 30
b) V(t) 5 6 400
V(30) 5 10 000 ? (e10k)3
10 000 ? ek ? t 5 6 400
V(30) 5 10 000 ? (0,8)3
ek ? t 5 0,64
V(30) 5 10 000 ? 0,512
ek ? t 5 (0,8)2
V(30) 5 5 120 unidades
ek ? t 5 (e10k)2
ekt 5 e20k
t 5 20 dias
Resposta: a) 5 120 unidades b) 20 dias
 1
2x 2 3
18 (UFMA) O conjunto solução da inequação  
 16 
a) S 5 {x [ IR | x , 2}
b) S 5 {x [ IR | 2  x  5}
 1
  
 8
2x 1 2
é:
c) S 5 {x [IR | x  9}
d) S 5 {x [IR | x , 29}
e) S 5 {x [IR | 23  x  3}
Resolução:
 1
 16 
2x 2 3
 1
  
 8
2x 1 2
→ 228x 1 12  226x 2 6
28 x 1 12  2 6 x 2 6
22x  218
x  9
 1
x 1 3
19 (UFES) O conjunto solução, em IR, da inequação 3 x 2 3 .  
 9
a) {x [ IR | x . 23}
b) {x [ IR | 0 , x , 1}
é:
c) {x [ IR | x . 1}
d) {x [ IR | x , 1}
e) {x [ IR | x . 21}
Resolução:
3x 2 3 . 322(x 1 3)
a.1
x 2 3 . 22x 2 6 ⇒ 3x 1 3 . 0 ⇒ x . 2 1
S 5 {x [ IR | x . 2 1}
1
5
{x [ IR | 2 3  x  1}
20 (UFAL) No universo IR, qual o conjunto solução da inequação 5 x ? 52x 2 1 ? 523  ?
2
Resolução:
2
5 x ? 52x 2 1 ? 523  521 a.1
x2 1 2x 2 1 2 3  21
x2 1 2x 2 3  0
x9 5 2 3
x 2 1 2x 2 3 5 0
x0 5 1
�
�
1
�3
x
�
S 5 {x [ IR | 2 3  x  1}
21 (Vunesp-SP) Uma instituição bancária oferece um rendimento de 15% ao ano para depósitos feitos
numa certa modalidade de aplicação financeira. Um cliente deste banco deposita 1 000 reais nessa aplicação.
Ao final de n anos, o capital que esse cliente terá em reais, relativo a este depósito, é:
c) 1 000 ? 0,15n
e) 1 000 ? 1,15n
a) 1 000 1 0,15n
b) 1 000 ? 0,15n
d) 1 000 1 1,15n
Resolução:
Sendo Cn o capital (em reais) que o cliente terá ao final de n, anos, temos:
15 

Cn 5 1 000 ?  1 1

100 
n
⇒ Cn 5 1 000 ? 1,15n
22 (UFV-MG) O conjunto solução da inequação 5(x
2
. 1 é:
c) {x [ IR | x , 1 e x . 2}
d) {x [ IR | x , 1 ou x . 2}
a) {x | x [ IR}
b) {x [ IR | x . 0}
2 3x 1 2)
Resolução:
2
5(x 2 3x 1 2) . 1
2
5(x 2 3x 1 2) . 50; (a . 1)
x2 2 3x 1 2 . 0
Raízes: x 2 2 3 x 1 2 5 0
�
�
1
x9 5 1
x0 5 2
�
2
x
S 5 {x [ IR | x , 1 ou x . 2}
 1
23 (UFPA) O conjunto solução da desigualdade  
 2
a) {x [ IR | 22 , x , 2}
b) {x [ IR | x , 22 ou x . 2}
e) {x [ IR | 1 , x , 2}
x2 2 2
1
é:
4
,
c) {x [ IR | x , 0 ou x . 2}
d) {x [ IR | 0 , x , 2}
e) {x [ IR | x , 22 ou x . 0}
Resolução:
 1
 2 
 1
 2 
x2 2 2
,
x2 2 2
1
4
2
 1
,   ; (0 , a , 1)
 2
�
x2 2 2 . 2
x2 2 4 . 0
Raízes: x 2 2 4 5 0
�
�2
x9 5 2 2
x0 5 2
�
2
x
S 5 {x [ IR | x , 22 ou x . 2}
24 Determine o domínio D das seguintes funções:
1

2x 2 21 2 x  x ∈ IR | x  
2

Resolução:
a) 2x 2 21 2 x  0
2x  21 2 x
x12x
1
x 
2
b) y 5
a) y 5
1

D 5  x ∈ IR | x  
2

(0,1)x
2
2 5x
2 (0,1)26 D 5 {x [ IR | 2  x  3}
2
b) (0,1)x 2 5x 2 (0,1)26  0
2
(0,1)x 2 5x  (0,1)26
Como a base é positiva e menor que 1, temos:
x2 2 5x 1 6  0
x2 2 5x 1 6 5 0
�
x9 5 3
2
x0 5 2
�
D 5 {x [ IR | 2  x  3}
�
3
x