Arco Duplo
1. (Insper 2013) Movendo as hastes de um compasso, ambas de comprimento , é possível
determinar diferentes triângulos, como os dois representados a seguir, fora de escala.
Se a área do triângulo T1 é o triplo da área do triângulo T2, então o valor de cosθ é igual a
1
.
6
1
b) .
3
a)
3
.
3
1
d) .
2
c)
e)
6
.
6
2. (Fuvest 2013) Um caminhão sobe uma ladeira com inclinação de 15°. A diferença entre a
altura final e a altura inicial de um ponto determinado do caminhão, depois de percorridos 100
m da ladeira, será de, aproximadamente,
 θ  1  cos θ
Dados: 3  1,73; sen2   
.
2
2
a) 7 m
b) 26 m
c) 40 m
d) 52 m
e) 67 m
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3. (Fuvest 2013)
Um guindaste, instalado em um terreno plano, tem dois braços articulados que se movem em
um plano vertical, perpendicular ao plano do chão. Na figura, os pontos O, P 1 e P2
representam, respectivamente, a articulação de um dos braços com a base, a articulação dos
dois braços e a extremidade livre do guindaste. O braço OP1 tem comprimento 6 e o braço
P1P2 tem comprimento 2. Num dado momento, a altura de P2 é 2, P2 está a uma altura menor
do que P1 e a distância de O a P2 é 2 10. Sendo Q o pé da perpendicular de P2 ao plano do
chão, determine
ˆ entre a reta OP e o plano do chão;
a) o seno e o cosseno do ângulo P2 OQ
2
ˆ
b) a medida do ângulo OP P entre os braços do guindaste;
1 2
ˆ entre o braço OP e o plano do chão.
c) o seno do ângulo P1OQ
1
4. (Unicamp 2013) Um recipiente cúbico de aresta a e sem tampa, apoiado em um plano
3
horizontal, contém água até a altura a. Inclina-se lentamente o cubo, girando-o em um
4
ângulo θ em torno de uma das arestas da base, como está representado na figura abaixo.
a) Supondo que o giro é interrompido exatamente antes de a água começar a derramar,
determine a tangente do ângulo θ .
b) Considerando, agora, a inclinação tal que tan(θ)  1/4, com 0  θ  π/2, calcule o valor
numérico da expressão cos(2θ)  sen(2θ).
5. (Ufpe 2012) Analise a veracidade das afirmações seguintes sobre identidades
trigonométricas.
( ) sen4 x – cos4 x  sen2 x – cos2 x, para todo x real.
π

π

( ) sen   x   cos   x  , para todo x real.
4

4

kπ
2
, com k inteiro.
( ) tg x  cotg x 
, para x real e x 
2
sen  2x 
(
) 2cos2 x  cos  2x   3  4cos2 x, para todo x real.
(
) sen  x  y   sen  x  y   2cos x cos y, para quaisquer x e y reais.
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6. (Fuvest 2012)
No triângulo acutângulo ABC, ilustrado na figura, o comprimento do lado BC mede 15/5 , o
ângulo interno de vértice C mede α , e o ângulo interno de vértice B mede α 2 . Sabe-se,
também, que 2 cos(2α )  3cos α  1  0
Nessas condições, calcule
a) o valor de sen α ;
b) o comprimento do lado AC .
7. (Udesc 2012) A expressão cotg(2x)  cossec(2x) pode ser escrita como:
cos(x)  sen(x)
cos(x)sen(x)
b) tg(x)
a)
c) cotg(x)
d)
2 cos2 (2x)  sen(2x)


sen(4x)
2 cos(2x)  sen2 (2x)

e) 
sen(4x)
8. (Ifsp 2011) Sabendo que cos   sen 
6
, então o valor de sen  2  é:
3
a) -1
b) 
5
9
1
6
1
d)
3
5
e)
6
c)
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9. (Uepg 2010) Na figura a seguir, sabe-se que sen α =
01) x =
28
9
08) tg α =
02) y =
2
4
16 2
9
16) sen C M̂ B
10. (Uft 2010) Se sen 
1
, então, assinale o que for correto.
3
04) cos C M̂ B =
7
9
4 2
9
5
 3 
e    ,  , então o valor de tg(2  ) é:
13
 4

12
13
120
b) 
119
120
c)
119
d) 1
3
e)
3
a) 
11. (Ibmecrj 2009) Considere: sen x - cos x =
a , com a > 0.
Logo, sen 2x é igual a:
a) 1 - a
b) a - 1
c) a
d) a + 1
e) 2a
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12. (Ufsc 2009) Na figura a seguir determine a medida do segmento AB, em cm, sabendo que
sen a = 0,6.
13. (Fgv 2008) O valor de cos 72° - cos2 36° é idêntico ao de
a) cos 36°.
b) - cos2 36°.
c) cos2 36°.
d) - sen2 36°.
e) sen2 36°.
14. (Ufrgs 2008) Se cos x – sen x =
1
, então sen (2x) é igual a
2
a) 0,125.
b) 0,25.
c) 0,5.
d) 0,75.
e) 1.
15. (Uel 2008) Se cos (2x) = 1/2, então o valor de tan2 (x) + sec2 (x) é:
a) 1/3
b) 2/3
c) 1
d) 4/3
e) 5/3
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[A]
1 2
1
  sen , enquanto que a área de T2 é igual a 
2
2
sabendo que a área de T1 é o triplo da área de T2, vem
A área de T1 é dada por
1

2
2
 sen   3 
1

2
2
2
 sen 2. Logo,
 sen2  sen   3  2  sen   cos 
 cos  
1
.
6
Resposta da questão 2:
[B]
Considere a figura, em que h é a diferença pedida.
Sabendo que cos30 
3
, vem
2
2  30 
1  cos30
sen 
 sen2 15 

 2 
2
 sen15 
3
2
1
2
2  1,73
2
1
27

2 100
1 3  1,73
 sen15  
2
10
 sen15  0,26.
 sen15 
Portanto,
h  100  sen15  100  0,26  26 m.
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Resposta da questão 3:


a) sen P2ÔQ 
2
2 10

1
10

10
.
10
ˆ P  90 , pois  OP 2  P P 2   OP 2
b) OP
1 2
2
1 2
1
ˆ
ˆ
c) ΔOP1P2  ΔOP2Q logo P1OP
2  P2OQ  α


ˆ
Então, sen P1OQ
 sen  2α   2sen α.cos α  2 
2

6
2 10 2 10

6
3
 .
10 5
Resposta da questão 4:
a) Observando a figura abaixo, temos no triângulo assinalado:
a a

1
tgθ  4 4 
a
2
b) Se tan(θ)  1/4, com 0  θ  π/2, temos:
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senθ 
1
17
e cosθ 
4
17
Logo, cos 2θ  sen2θ  cos2 θ  sen2θ  2.sen θ.cos θ 
2
2
 4 
 1 
1
4
16 1
8
7

.




 
  2.
17 17 17 17 17 17
 17 
 17 
Resposta da questão 5:
V – V – V – F – F.
Temos que
sen4 x  cos4 x  (sen2 x  cos2 x)  (sen2 x  cos2 x)  sen2 x  cos2 x,
1
para todo x real.
π

Sabendo que sen y  cos   y  , para todo y real, vem
2

π  π
π


π

sen   x   cos     x    cos   x  ,
4


4

2  4
para todo x real.
Como tg x 
cos x
sen x
, temos que
e cotg x 
sen x
cos x
tg x  cotg x 
sen x cos x

cos x sen x
sen2 x  cos2 x
sen x cos x
2

2 sen x cos x
2

,
sen(2x)

para x real e x 
kπ
, com k inteiro.
2
Sabendo que cos(2y)  2cos2 y  1, para todo x real, vem
2cos2 x  cos(2x)  2cos2 x  2cos2 x  1
 1  4 cos2 x  3  4 cos2 x.
Como sen(a  b)  senacosb  senbcosa e sen(a  b)  senacosb  senbcosa, temos que
sen(x  y)  sen(x  y)  sen x cos y  sen y cos x  sen x cos y  sen y cos x
 2sen x cos y.
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Resposta da questão 6:
a) Observe o cálculo a seguir:
2.cos(2α )  3.cos α  1  0
2.(cos2 α  sen2α )  3.cos α  1  0
2.(2.cos2 α  1)  3.cos α  1  0
4 cos2 α  3.cos α  1  0
Δ  25
3  5
cos α 
8
1
4
cos α  1(não coném)
cos α 
2
15
 1
logo, senα = 1    
4
4
 
b) traçando uma reta r representada na figura, temos:
cos α 
1

4
15  5x
10
x
15  5x
10
x
10x  4 15  20x
30x  4 15
x
2 15
15
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Resposta da questão 7:
[C]
Sabendo que cos 2x  2cos2 x  1 e sen 2x  2 sen x cos x, vem
cos 2x
1

sen 2x sen 2x
1  cos 2x

sen 2x
cotg2x  cossec 2x 
1  2cos2 x  1
2 sen x cos x
cos x

sen x
 cotg x.

Resposta da questão 8:
[D]
Elevando ao quadrado os dois membros da igualdade, temos:
2
cos2  + sen2  - 2.sen  .cos  =
3
2
1 – sen(2  ) =
3
1
sen(2  ) =
2
Resposta da questão 9:
01+ 02 + 04 + 08 + 16 = 31
sen =
1
3
cos2 = 1 – (1/3)2 cos2 = 8/9 cos = 
1
sen
1
2
 3 

tg =
cos  2 2 2 2
4
3
2 2
2 2
 cos =
3
3
cos2 = cos2 - sen2  cos2 =
(01) Verdadeiro, cos 2 
7
x 7
28
  x
9
4 9
9
(02) Verdadeiro , tg 
y
28
4
9

7
9
y
2
16 2

 y
64
4
9
9
(04) Verdadeiro, cos C M̂ B = cos 2 =
7
9
(08) Verdadeiro, cálculo acima,
(16) Verdadeiro, sen C M̂ B =
y 4 2

4
9
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Resposta da questão 10:
[B]
2
144
 5
cos  = 1 -  
cos2  =
13
169
 
12
cos =
13
 5
 10
2.

2.tg
120
 12 
tg 2 

 12 
2
2

119
119
1  tg 
 5
1 

144
 12 
cos  = 1 – sen 
2
cos= 
2
2
12
(segundo quadrante)
13
5
sen
5
tg =
 13 
cos   12 12
13
Resposta da questão 11:
[A]
( sen x  cos x )2  ( a )2  1  2 sen x cos x  a  sen 2x  1  a.


sen 2 x
Resposta da questão 12:
96 cm
Resposta da questão 13:
[D]
Resposta da questão 14:
[D]
2
(cos x  sen x) 2   1   cos2 x  sen2 x  2sen x cos x  1  sen 2 x  3  0,75
  4
4
2
1
sen 2 x
Resposta da questão 15:
[E]
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